Lerch & Grossman

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Minas

“Diseño pit final mediante algoritmo: Lerchs

& Grossman” Integrantes: Profesor: Contreras

Diseño y Planeamiento Minero

Daniel Núñez Z. Miguel Vásquez Z. Eduardo

Santiago, 5 de Marzo de

Índice -  Algoritmo

Lerchs Lerchs & Grossman Grossman (2D).

-  Algoritmo 2 ½D

(Johnson & Sharp).

-

Ventajas y Desventajas.

-

Ejemplos prácticos.

 Algoritmo Lerchs & Grossman 



Algoritmo de programación dinámica que permite determinar la configuración óptima de bloques, previamente valorizados en una sección transversal. El algoritmo trabaja con un modelo de bloques de un cuerpo mineralizado y de sus alrededores, y determina qué bloques deberían ser extraídos para obtener el máximo valor económico del rajo. De esta forma, este conjunto de bloques extraídos define el diseño óptimo del rajo final.

Ejemplo Práctico Paso1:  A partir de un modelo de bloques entregado, se representan secciones transversales con los beneficios económicos (Bij) que reportará cada bloque al explotarlo. i/j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

-2

-1

2

-2

-1

-1

-1

4

-1

2

-1

-1

-1

-2

-1

12

-1

-1

3

-1

3

-1

-1

6

-4

7

-2

-3

-1

-1

-1

4

-1

-1

-1

-12

-2

8

-1

-1

-1

-2

5

-2

-1

-2

-3

13

-1

-3

-1

-2

-1

Paso 2: Se construye la matriz de beneficios acumulados sumando los valores por columna y de arriba hacia abajo. Cada valor acumulado es designado por Mij.

1 0 -1 -1 -2 -1 -4 -2

-2 -1 -1 -1 -1

-1 -1 6 -1 -2

2 -2 -4 -12 -3

-2 -1 7 -2 13

-1 12 -2 8 -1

-1 -1 -3 -1 -3

-1 -1 -1 -1 -1

4 3 -1 -1 -2

-1 -1 -1 -2 -1

1 -1 0 -1 -1 -2 -2 -4

-2 -3 -1 -4 -1 -1 -5 -6 -1

-1 -2 -1 64 -1 3 -2 1

2 -2 0 -4 -12 -16 -19 -3

-2 -3 -1 74 -2 2 13 15

-1 11 12 -29 17 8 16 -1

-1 -1 -2 -3 -5 -1 -6 -9 -3

-1 -1 -2 -1 -3 -1 -4 -5 -1

4 37 -1 6 -1 5 -2 3

-1 -2 -1 -1 -3 -2 -5 -1 -6

Paso 3:  A continuación: Pij = Max ( pr, j-1) + Mij Donde: Pij = Corresponde al valor del coeficiente (i,j) de la nueva matriz. Max (Pr , j-1 ) = con r = -1, 0, 1 representa el máximo valor entre los coeficientes a la izquierda arriba, a la izquierda y a la izquierda abajo del coeficiente (i,j) de Lerchs & Grossman que se evalúa. Mij = Corresponde al coeficiente (i,j) de Lerch & Grossman que se está evaluando.

0 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 -2 -4

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -6

0 -1 -2 4 3 1

0 2 0 -4 -16 -19

0 -2 -3 4 2 15

0 -1 11 9 17 16

0 -1 -2 -5 -6 -9

0 -1 -2 -3 -4 -5

0 4 7 6 5 3

Se agrega una columna y una fila con valores 0, para poder aplicar el algoritmo.

0 -1 -2 -3 -5 -6

0 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 -2 -4

1 -1 -2 -4 -6 -8

1 0 -3 2 -1 -5

0 2 0 -2 -4 -16 -19

0 -2 -3 4 2 15

0 -1 11 9 17 16

0 -1 -2 -5 -6 -9

0 -1 -2 -3 -4 -5

0 4 7 6 5 3

Los números en azul, son los bloques antes del paso n°4.

0 -1 -2 -3 -5 -6

Paso 4: Se construye la nueva matriz con las flechas correspondientes. 0 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 -2 -4

1 -1 -2 -4 -6 -8

1 0 -3 2 -1 -5

1 3 2 -2 -14 -20

3 1 0 6 0 1

3 2 17 15 23 17

3 16 15 18 17 14

16 15 16 15 14 12

16 20 23 22 20 17

20 22 21 20 17 14

Paso 5: Busque el valor máximo de la última columna . Este es el beneficio máximo del pit óptimo. 0 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 -2 -4

1 -1 -2 -4 -6 -8

1 0 -3 2 -1 -5

1 3 2 -2 -14 -20

3 1 0 6 0 1

3 2 17 15 23 17

3 16 15 18 17 14

16 15 16 15 14 12

16 20 23 22 20 17

20 22 21 20 17 14

 Aplicando al modelo inicial. 1

-2

-1

2

-2

-1

-1

-1

4

-1

-1

-1

-1

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-1

12

-1

-1

3

-1

-1

-1

6

-4

7

-2

-3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-12

-2

8

-1

-1

-1

-2

-2

-1

-2

-3

13

-1

-3

-1

-2

-1

Beneficio: 1 – 2 – 1 – 1 + 6 + 2 – 2 – 2 – 1 + 7 – 1 + 12 – 2 + 8 – 1 – 1 – 3 – 1 – 1 + 4 + 3 – 1 = 22

Ventajas 







El método elimina el proceso de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La metodología es fácil de programar y es confiable en lo que hace. Es matemáticamente exacto. El método entrega un óptimo garantizado, es decir, no existe otra combinación de bloques que entregue mayor beneficio.

Desventajas 









Su mayor problema es la complejidad para suavizar el fondo de la explotación. Trabaja solo en 2 dimensiones (sección transversal). Como el método trabaja en 2 dimensiones de forma independiente, no hay ninguna seguridad de que una sección presente un diseño compatible, geométricamente, con la siguiente. Dificultad para incorporar cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque. El ángulo de talud utilizado es de 45°, supone bloques iguales en altura y ancho.

Evolución del método -Helmut Lerchs e Ingo F. Grossman

-Johnson, Sharp.

Año 1965 Optimización de rajos. Trabaja en una sección simple a la vez.

Año 1971 Trabaja a lo largo de las secciones como a través de éstas en un intento por unirlas.

-Koenigsberg

Año 1982 Trabaja en ambas direcciones al mismo tiempo.

Lerchs and Grossman 2 ½ D 





Es una mejora del método en 2D y fue propuesto por Johnson y Sharp en 1971.  Añade “parcialmente” una tridimensionalidad.

El algoritmo utiliza el concepto de bloque, para modelar el yacimiento.

Lerchs and Grossman 2 ½ D 



Se debe dividir en distintas secciones o tajadas el bloque a analizar. Cada una de estos colores representa una sección de análisis.

Secciones

Ejemplo Práctico -7 -7 -1 -1 -1 -8 -9

-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9

-8

-4

-7

-1

-2

-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5 -4 -4 -2 -1 -1 -4 -5 Seccione s

-9 -9

3

4

3

-9 -9

-8 -8

5

5

5

-9 -9

-9 -9 -9

4

4

-9 -9

-3 -4 -2

1

1

-6 -9

-6

-8

-1

-3

3

-5

-9

-8

-8

6

12

6

-9

-9

-8 -8 -8

5

3

-9 -9

-7 -7 -9

-1

Ejemplo Práctico

-3

-4

-2

1 1

1 1

-6 -6

-9 -9

-6

-8

-1

-3

3 3

-5 -5

-9 -9

-8

-8

6

12

6 6

-9 -9

-9 -9

-8

-8

-8

5

3 3

-9 -9

-9 -9

PIT 2 -3 1 -7

-4

-4

-2

-1

-1

-4

-5

-1

-9

-9

3

4

3

-9

-9

0

-8

-8

5

5

5

-9

-9

3

-9

-9

-9

4

4

-9

-9

-10

-5

-5

-4

-2

-4

-5

-5

-2

-8

-2

4

5

4

-3

-7

-5

-9

-9

3

12

7

-7

-7

5

-9

-9

-9

7

7

5

-9

-9

-7

-2

-1

-2

-7

-9

-1

-6

-5

1

5

1

-5

-4

0

-9

-9

4

5

9

-2

-1

-7

-4

-1

-2

9

3

-2

-1

-7

-7

-1

-1

-1

-8

-9

-1

-9

-9

-1

-2

-1

-3

-8

-5

-9

-5

1

3

1

-7

-7

-2

2

1

1

2

1

-2

7

-13

-19 -44

Ejemplo Práctico -3

-4

-2

1

1

-6

-9

-3

-4

-2

1

1

-6 -6

-9

-6

-8

-1

-3

3

-5

-9

-6

-8

-1

-3

3

-5

-9

-8

-8

6

12

6

-9

-9

-8

-8

6

12

6

-9

-9

-8

-8

-8

5

3

-9

-9

-8

-8

-8

5

3

-9

-9

Sección 1

2

-1

-2

-1

-1

-3

0

-5

0

-5

1

3

5

-7

-19

-7

-10

7

-13

-44

Ejemplo Práctico 2

-1

-2

-1

-1

-3

0

-5

0

-5

1

3

5

-7

-19

-7

-10

7

-13

-44

El valor neto se obtiene sumando los valores de bloque presentes a lo largo del contorno final. Valor de la corta = 2 + 0 + 5 + 0 + (-1) = 6

Ejemplo Práctico 1

1

-2 -1

-5 -4 -2

-1

4

-4 -5

5

4

-2 -1

4

-5

1 2

-5

-2 4

-5 1

1 -8 1 2

4

-2

-1

Ventajas 

Es matemáticamente exacto.

 Algoritmo “relativamente” fácil de





programar. Fácil de aplicar y rápido procesamiento, dependiendo de la cantidad de bloques y capacidad computacional.

Desventajas 





Dificultad para incorporar cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque, incluso cuando los bloques son cúbicos no siempre se obtienen ángulos de 45° Notable esfuerzo para suavizar el fondo de la explotación No entrega el resultado más “óptimo”.

GRACIAS…