Lengéstan S 01 Példatár SDOF Pápai

MECHANIKA „J”

S 01

S 01 Példatár Dr. Pápai Ferenc 2016.

LENGÉSTAN PÉLDATÁR EGY SZABADSÁGFOKÚ RENDSZEREK Tartalom 1.

KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK ELEMEI ..................................................... 1 1.1.

Tehetetlenségi nyomaték ................................................................................................................ 1

1.2.

Potenciális energia .......................................................................................................................... 3

2.

CSILLAPÍTATLAN SZABAD RENDSZEREK .............................................................................. 3

3.

CSILLAPÍTATLAN GERJESZTETT RENDSZEREK................................................................ 31

4.

SZABAD CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK .................................................................................. 38

5.

GERJESZTETT CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK ..................................................................... 44

Ez a példatár az irodalomjegyzékben feltüntetett források alapján lett összeállítva Jelölések c [m / N ]

 rad   Nm  s N / m f 1 / sec

ct

j  1

rugóállandó torziós rugóállandó rugómerevség rezgésszám, más néven: másodpercenkénti rezgésszám (néhol n -nel jelölve) képzetes egység

Alapképletek: Körfrekvencia, periódusidő:   2  f 

2 T

Steiner tétel: J Q  J S  m  t 2 SDOF csillapítatlan szabadlengés körfrekvenciája:  0 

s [rad / sec] m

1. KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK ELEMEI 1.1. Tehetetlenségi nyomaték [http://hu.wikipedia.org/wiki/Tehetetlenségi_nyomatékok_listája] Forgó mozgást végző J  mr 2 tömegpont Vékony hengerpalást nyitott végekkel, r sugárral és m J  mr 2 tömeggel

Ennél a képletnél feltételezzük, hogy a palást vastagsága elhanyagolható. A következő test speciális esete r1  r2 -re.

D:\_sajáttárgyak\_mechanika\_5 MSC Mechanika J\_példatárak HF kiírások\01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai.docx

2 Vastag hengergyűrű nyitott végekkel, belső sugár r1 , külső sugár

r2 , hossz h és tömeg m.



 

Tömör henger r sugárral, h magassággal és m tömeggel.

mr 2 Jz  2

Vékony tömör tárcsa r sugárral és m tömeggel.

mr 2 Jz  2

Jx  Jy 

Jx  Jy  Tömör gömb r sugárral és m tömeggel. Gömbhéj r sugárral és m tömeggel.

Egyenes körkúp r sugárral, h magassággal és m tömeggel Tömör téglatest h magassággal, w szélességgel, d hosszúsággal, és m tömeggel



1 m r12  r22 2 1 J x  J y  m 3  r12  r22  h 2 12 Jz 



 Ez az előző test speciális esete r1  0 -ra.



1 m 3  r 2  h2 12



mr 2 4

2mr 2 J 5

J

2mr 2 3

3 mr 2 10  3  r2 J x  J y  m  h 2  5  4 

Jz 

  

1 J h  m w2  d 2 12 1 J w  m h2  d 2 12 1 J d  m h 2  w2 12

Rúd L hosszal és m tömeggel

J center  Rúd L hosszal és m tömeggel

J end 

m  L2 12

m  L2 3

  

Hasonlóan tájolt kocka élhoszal:

J CM 

s

ms 2 6

Ez a képlet feltételezi, hogy a rúd végtelenül vékony (de merev) huzal. Ez speciális esete az előző testnek w  L és h  d  0 esetén. Ez a képlet feltételezi, hogy a rúd végtelenül vékony (de merev) huzal. Homogén tömegeloszlású egyenes prizmatikus rúd

Gördülő tárcsa kinetikus energiája A gördülő tárcsa kinetikus energiája két taggal írható le. Egyik tag a tárcsa súlypontja haladó mozgásának sebességéből adódik, a másik tag a tárcsa tengelye körüli elfordulásának szögsebességéből. 1 1 T  J   2  m  x 2 2 2 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

3 mr 2 A gördülés miatt a szögelfordulás és a középpont elmozdulás közötti kapcsolat: x  r   . Ebből   x / r a szögsebesség pedig   x / r . Behelyettesítve a kinetikus energia összefüggésébe. 2

A tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: J 

2

1 m  r 2  x  1 1m 2 1 1 3 m 2 T     m  x 2   x  m  x 2    x 2  2  r 2 2 2 2 2 2   J

 2

Tömegredukció [8, 29] Rugómerevség

y1  F 

3 3IE

1.2. Potenciális energia Kis szögekre

sin   

cos   1 

2

2 Nyugalmi helyzetben függőleges rúd potenciális energiája I. U ( )  m  g    (1  cos  ) U ( )  m  g    sin  ,  de sin    , ezért: U ( )  m  g    . 

(1)

Másik megközelítésben, a cos   1   2 / 2 egyenletből 1  cos    2 / 2. Ezt behelyettesítve (19-be a

helyzeti enrgia kifejezésére kapjuk U ( )  m  g     2 / 2 . Ennek  szerinti parciális deriváltja: U ( )  m  g    

2. CSILLAPÍTATLAN SZABAD RENDSZEREK 2.1 __________________________________________________________________________________ Valamely csillapítatlan lengőrendszer szabad mozgásának időfüggvénye x(t )  3  cos(2  t )  2  sin(t ) . Mértékegység: [ x(t )]  cm . Az általános elmozduláskoordinátára redukált rugómerevsége s  1000 N / m . Kérdések: - Mi a sebességváltozásának és gyorsulásának időfüggvénye? - Milyen kezdeti elmozdulás és kezdeti sebesség értékkel lett elindítva a rendszer a t  0 időpillanatban? - Mozgás közben mennyi a rendszer összenergiája? - Mennyi a mozgás percenkénti lengésszáma? 2.2. példa ___________________________________________________________________ [4, 212. o.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

4 A matematikai inga (mint rendszer) egyetlen anyagi pontból áll, egyszabadságfokú, holonom és konzervatív. Az általános elmozduláskoordináta q   . Feladat: A. Írja fel a matematikai inga mozgásegyenletét. B. Határozza meg a lengésifejét kis kitérésekre. Kidolgozás: A példa megoldásához a Lagrange egyenletet írjuk fel. A kinetikus energia a  szögsebesség függvényében 1 1 (1) T ( ,  )  mv2  m( ) 2 . 2 2 A potenciál a  függvényében, ha U  0 értékét a z  0 -nak megfelelő helyzetben vesszük fel (2) U ( )  m  g  z  mg  cos  . A Lagrange egyenlet d T T U (3)    0. dt    Képezzük a fenti összefüggésben szereplő mennyiségeket: d T U  m 2 sin  ,  mg 2 sin  dt   ezeket (3)-ba helyettesítve: (4) m 2  mg sin   0 .

A (4) egyenletet elosztva m 2 -tel kapjuk a mozgásegyenletet g   sin   0  B. Lengésidő kis kitérésekre: Kis kitérésekre sin    , ezt az (5) mozgásegyenletbe helyettesítve: g     0  A második tag együtthatójából a lengés körfrekvenciája g , 0  

(5)

(6)

(7) a lengés periódusideje pedig

T0 

2

0

 2

 . g

(8)

2.3. példa _____________________________________________________________________ [2, 77.o] A vázolt lengőrendszer a vízszintes síkban mozoghat. Az ábrán látható helyzetben a rugók erőmentesek. Az AB rúd merev, az A csukló súrlódásmentes. rad m Adatok: m  2 kg ; ; c0  0,01 c  2 10 3 ;   1,2 m Nm N Kérdések: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Számítsa ki a lengésidőt. C. Milyen c állandójú rugóval kell a c állandójút lecserélni, hogy a lengésidő pontosan T0  0,5 s legyen? 2.4. példa ___________________________________________________________________ [2, 78.old.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

5

A lengőrendszer függőleges síkban végezhet mozgást, az ábra szerinti háromféle elrendezésben. A rajzolt helyzet minden esetben a rugó erőmentes állapotának felel meg. A rendszer elemeinek mechanikai adatai azonosak az előző feladatba megadottakkal. Kérdések: 1. Végezhet-e a rajzolt helyzet körül a rendszer kis kitérésű lengéseket? 2. Ha igen, írja föl a differenciálegyenletet és számítsa ki a lengésidőt. 3. Hasonlítsa össze az eredményeket az előző feladat eredményeivel. 2.5. példa ________________________________________________________________ [3, 334. oldal] Az m tömegű, homogén tömegeloszlású merev rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandójú tömegtelennek tekintett hengeres csavarrugók csatlakoznak. A rúd " A" ” jelű vége csuklósan rögzített a rajz síkjára merőleges helyzetű tengely körül elfordulhat, "B" jelű vége pedig a c2 rugóállandóval jellemzett csavarrugóhoz csuklósan kapcsolódik. az " A" tengely súrlódásmentes. A rajzolt helyzet egyensúlyi és a rugók erőmentesek. Adott: m ;  1 ;  2 ; c1 ; c2 . Feladat: Határozza meg a vázolt rendszer sajátkörfrekvenciáját. Kidolgozás: Elmozduláskooordinátául  -t választva a rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenlet az AA tengelyre felírt forgómozgás alapegyenlete: 1 1 (1) J AA   12   2 c1 c2 ahol J AA a rúd tehetetlenségi nyomatéka az " A" jelű csuklón átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatva. 1 (2) J AA  m 2 3 Az (1) egyenletet 0-ra redukálva,  -t kiemelve és (2) alapján J AA -t behelyettesítve:  2 2  1 2 m    1    0  c1 c2  3   A  együtthatójával az egyenletet végigosztva: 3  2 2    2  1    0 m  c1 c2  A  együtthatójából vont négyzetgyök a vizsgált rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája:

(3)

(4)

3  12  2     (5) m 2  c1 c2  2.6. példa ___________________________________________________________________ [3, 335.o.]

0 

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

6 Az ábrán látható R1 és R2 sugarú m1 és m2 tömegű homogén tömegeloszlású korongok az O1 és O2 jelű, a rajz síkjára merőleges tengelyek körül forgórezgéseket végeznek. A két tárcsa egymáson csúszásmentesen gördül. Az R1 sugarú koronghoz co , az R2 sugarúhoz pedig co rugóállandóval jellemzett tömegelemnek tekintett spirál illetve csavarrugók O2 O1 csatlakoznak. Az és csapágyak súrlódásmentesek. A rajzolt helyzet egyensúlyi és a rugók erőmentesek. Adott: m1 ; m2 ; R1 ; R2 ; c0 ; c . Feladat: Határozzuk meg a vázolt forgórezgéseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát. n  ? Kidolgozás: Könyvben 2.7. példa ___________________________________________________________________ [3, 338. o.] A vázolt lengőrendszer egyszeres vonallal jelölt rúd-elemei merevek, de elhanyagolható tömegűek. A csuklós kapcsolatok és a kényszerek súrlódásmentesnek tekintendők. Adatok: m1  2kg ; m2  0,6kg ; a  20cm ; b  50cm ; c  1cm / N

Feladat: Számítsa ki vázolt rezgőrendszer szabad rezgésének rezgésidejét. T0  ? Kidolgozás: Könyvben Megoldás: T0  0,43 sec 2.8. példa ___________________________________________________________________ [3, 340. o.] A tömegtelennek, de merevnek tekintett pálca " A" végpontja csuklósan rögzített, míg a másik végére egy pontszerűnek tekinthető tömegű testet függesztettünk. A pálcához, az " A" felfüggesztési ponttól "" távolságban 2db "c" -vel jelölt azonos rugóállandójú, de tömegtelennek tekintett rugó csuklósan kapcsolódik. Az ábra szerint kialakított rezgőrendszer a függőleges síkban kis kitéréssel rezgőmozgást végez. A vázolt helyzet az egyensúlyi helyzetnek tekintendő. Adott: m ,  , a , c , g . Feladat: Határoza meg a rezgő inga másodpercenkénti rezgésszámát. f 0  ? Kidolgozás: Jelöljük U1 ( ) -vel a tömegpont helyzeti energiáját, mely U1 (0) : 0 , és U 2 ( ) -vel a rugókban felhalmozott potenciális energiát.

U1 ( )  mg  a  (1  cos  ) ;

U 2 ( ) 

1 2 2 2   ; 2 c

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

 

U1 ( )  mg  a sin   mg  a    U 2 ( ) 2 2     c

T ( ) 

1 ma2 2 2

Mozgásegyenlet:

Megoldás: Frekvencia:

T ( )   ma2    2 ma2  mg  a     2  0 c

f0 

1 0   T0 2



d T ( )  ma2   dt 

7

 1  2 2   mga  2  ma  c  2

2.9. példa _____________________________________________________________________ [2,78.o.] Határozza meg a vázolt egyszabadságfokú összetett lengőrendszer sajátlengéseinek  frekvenciáját. A rendszer vízszintes síkban mozog. m2  1kg ; Adatok: m1  2kg ;   0,5m ; cm c1  6 105 m / N ; c2  3 10 3 N A. Ha az A pont körül forgólengést végző merev rúd tömege elhanyagolható. B. Ha a merev rúd tömege: m3  1 kg , az egyéb adatok változatlanok. Kidolgozás:Megoldás:2.10. példa ___________________________________________________________________ [3, 341.o.] Az m tömegű és c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugóból áll és az ábrán vázolt rezgőrendszert függőleges helyzetben helyezzük oly módon, hogy a rugó „ A ” végét befogtuk. A modellt rezgésbe hozzuk úgy, hogy m tömegét nyugalmi helyzetéből függőleges irányban kitérítjük. A rendszer mért rezgésszáma n0 . Erőmentes állapotban a c rugó  0 hosszúságú. Az m tömeggel együtt az ábrán látható függőleges helyzetben  hosszúságúra nyúlik. 1 n0  180 Adatok: m  0,2kg ; ; perc  0  20cm (erőmentes rugóhossz) Feladat: A. Határozzuk meg a modell (  0  ? ) sajátkörfrekvenciáját. B. Számítsuk ki a rugó rugóállandóját. c  ? C. Mekkora lesz a rugó hossza nyugalmi állapotban? Kidolgozás: Nincs a könyvben Megoldás: 2 n0 A. Sajátkörfrekvencia  0   18,64rad / sec . 60 1 m  0,0141 . B. Rugóállandó c  2 N m 0 C. Rugó megnyúlt hossza    0  y0  0,228m . 2.11. példa ___________________________________________________________________ [10, 59.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

8 A terheletlenül  0  20cm hosszúságú rugó végére G  1,962 N súlyú testet erősítettünk. Ekkor a rugó statikusan megnyúlt, hossza 1  22,76cm . A tömeget ebből az egyensúlyi helyzetből v0  18,85cm / sec kezdősebességgel lefelé mozgásnak indítjuk. Feladat: A. Milyen határok között változik a rugóerő? B. Mekkora a tömeg legalsó és legfelső helyzetében a rugóban felhalmozott energia? C. Mennyi a rendszer percenkénti lengésszáma? Kidolgozás: könyvben Megoldás:2.12. példa __________________________________________________________________ [3, 342.o.] Az ábrán vázolt rezgőrendszer tömegének a súlya G . A c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugó legnagyobb alakváltozása rezgőmozgás közben X max , a maximális rugóerő Fr . Adatok: G  10 N ; Fr  100 N ; X max  0,05m . Feladat: A. Határozzuk meg a rugóállandó számértékét. c  ? B. Számítsuk ki a percenkénti rezgésszámot. n  ? C. Mekkora a legnagyobb rezgési sebesség? X ? max

Kidolgozás:

X max 0,05m m   5 10 4 . Fr 100 N N 1 1 1 B. Sajátkörfrekvencia:  0     44,287rad / sec cm G  4 10 c 5 10  g 9,81 A. Rugóállandó c 

Percenkénti rezgésszám. n0  9,55   0  422,94 / perc C. Legnagyobb rezgési sebesség: X max  X max   0  0,05m  44,287rad / sec  2,214m / sec 2.13. példa __________________________________________________________________ [3, 342.o.] A függőleges súrlódásmentes vezetékben m tömegű hasáb az ábrán bejelölt irányban haladó mozgást végezhet. A tömeghez  szögben c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugó kapcsolódik. Adott: m , c ,  . Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját.

Kidolgozás: Figyeljük meg a jobboldali ábrán, az általános helyzetben nyugvó F  1N erővel terhelt hasábra ható erőket! 1 cos   Megoldás:  0  c mc m 2 cos  2.14. példa __________________________________________________________________ [3, 343.o.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

9 Egy súlyú test, melyhez két c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugó csatlakozik, vízszintes irányú rezgéseket végez. A vázolt modell mért rezgésideje T0 . Adatok: G  5N ; T0  2 sec Feladat: A. Határozzuk meg a vázolt lengőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját. x B. Számítsuk ki a másodpercenkénti rezgésszámát. Kidolgozás: 1 A. feladat. A szabadlengés körfrekvenciája  0  . Ahol ce az eredő rugóállandó. Ebből ce m  ce kifejezve ce 

1 G 2 . A megadott adatok alapján  0  , m  . Behelyettesítve ce kifejezésébe: 2 g T0 0 m ce 

1  2   T0

2

 G   g



T02 g (2 sec) 2  9,81m / sec 2   0,199m / N . 4 2G 4 2  5 N

B. feladat. A másodpercenkénti rezgésszám a periódusidő reciproka: f 0 

1 1 .  0,5 T0 sec

Megoldás: A. feladat. ce  0,199m / N . 1 1 B. feladat. f 0   0,5 . T0 sec 2.15. példa __________________________________________________________________ [10, 69.o.] Az  hosszúságú m tömegű rúd „A” végét függőleges c rugóállandójú rugóhoz rögzítettük, a másik végét „B” csuklóhoz csatlakoztattuk. Az m 2 AB rúd súlypontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: J  . 2 Feladat: Határozzuk meg a rendszer sajátlengésének körfrekvenciáját. Kidolgozás:Megoldás:2.16. példa ____________________________________________________________ [I. HF.][3, 343.o.] Az m tömegű, homogén tömegeloszlású rúd „A” vége csuklósan rögzített. A rúdhoz az ábrán feltüntetett módon c0 és c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugók csuklósan kapcsolódnak. Az „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely súrlódásmentesen foroghat a csapágyban. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m  1kg ; c0  0,1rad / Nm ; c  0,1mm / N ;

1  1m ;

 2  0,7m .

Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a c rugóvég függőleges irányú elmozdulása. B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a vízszintes rúd  szögelfordulása. C. Elmozduláskoordináta az c rugóvég függőleges irányú elmozdulása. Írja fel a rugóvég elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0  0m ; v0  1,5m / sec . 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

10 Kidolgozás: A feladat kidolgozása az I. Házi feladat keretében történik Megoldás:

n0  9,55   0  9,55

A., B.

3  1 12     m 2  c0 c 

2.17. példa __________________________________________________________________ [3, 344.o.] Súrlódásmentesen csapágyazott merev m tömegű R sugarú homogén tömegeloszlású korong tömegtelennek tekintett merev rúddal egy mutató szárához csuklósan csatlakozik. A mutató szára merev és tömegtelen, a mutatófej ugyancsak m tömegű és pontszerűnek tekinthető. A tengelyhez c0 rugóállandójú spirálrugó, a mutató szárához pedig c rugóállandójú hengeres csavarrugó csatlakozik. A rugók elhanyagolható tömegűek. Az „A” és „B” csuklók súrlódásmentesek. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; g ; R ; c0 ; c . Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. Kidolgozás: Jelöljük  t -vel a tárcsa szögelfordulását.

t  2   . Kinematikai kapcsolat: Rt  2  R  Kinetikus energia: Tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: J tárcsa  mR2 / 2 . Tömegpont tehetetlenségi nyomatéka az „A” pontra: J m  m(3  R) 2      1  mR2  1 1 1 1  mR2 2 2 2 2 2 2 2 2 T  J tárcsat  J m   t  m  (3  R)      (2 )  m  (3  R)     m 2 R 2  9 R 2  2   2 2 2 2 2  2    2 J Jm Jm  tárcsa   J tárcsa  1 2 T  11 R m 2   2  J





red

T d T  J red  J red   dt  Potenciális energia: A tömegpont helyzeti energiájának zérus értékét a   0 szögelforduláshoz tartozó 1 tömegponthelyzethez választjuk. U m ( )  3Rmg  (1  cos  ) . Kis szögelfordulásokra cos   1   2 . 2 1 2 3 Ebből 1  cos    . Fenti kifejezésbe behelyettesítve U m ( )   mg 2 . Tehát a potenciális energia: 2 2  1 1 2 11 3R 1 1 11 3R 1  4 4R 2 2 2 2 2 2 U ( )  t  (2 R )  mg  4   (2 R )  mg     3mgR  2 2 c0 2c 2 2 c0 2 2 c 2 2  c0 c t  A Lagrange egyenlethez szükséges deriváltak:

k red

A   0 egyensúlyi helyzet stabilis, ha itt az U ( ) potenciális energiának minimuma van, tehát:

 U ( )  4 4 R 2     3mgR   0  c c0  k red

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

és

  2U ( )  4 4 R 2     3mgR   0 2 c  c0  k red

11 2

4 4R   3mgR . (Úgy is c0 c lehet fogalmazni, hogy a redukált rugómerevség pozitív.) Ekkor a rúd a függőleges, stabilis egyensúlyi helyzete körül rezgőmozgást képes végezni. A homogén mozgásegyenlet:  4 4R 2  2     0   11  R m    3 mgR J red  k red   0    c  c 0  J red vagyis a rugóállandók elég kicsik (illetve a rugómerevségek elég nagyok):

k red

 kred 1  4 4R 2      3 mgR A rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája:  0   J red c 11  R 2 m  c0  Megoldás:

 1  4 4R 2   0    3 mgR  c 11  R 2 m  c0  2.18. példa __________________________________________________________________ [3, 345.o.] Az m tömegű sugarú homogén tömegeloszlású korongot a súlypontjában súrlódásmentesen csapágyaztuk. Az ábrán vázoltak szerint a koronghoz c0 és c rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. A rendszer a vízszintes síkban végezhet forgórezgéseket. A vázolt állapot egyensúlyi állapotnak tekinthető, a rugók erőmentesek. R  6cm b  4cm c  2cm / N Adatok: m  3kg rad 0  1rad c0  0,4 Ncm Indítási feltételek: t  0 -nál   0 ;   0 Feladat: A. Számítsuk ki a vázolt rezgőrendszer rezgésidejét. T  ? B. Mekkora a korong legnagyobb szögsebessége? max  ? Kidolgozás:Megoldás: 2 2   1,42 sec sec A. Rezgésidő: T0  0 2  1 b2     mR2  c0 c  2  1 b2  rad     4,41 B. Korong legnagyobb szögsebessége: max  0  0 . 2   sec mR  c0 c  2.19. példa __________________________________________________________________ [3, 346.o.] Az egyik végén befogott, állandó keresztmetszetű acélrúd végére m pontszerű tömeget erősítettünk. A kör-keresztmetszetű, d átmérőjű  hosszúságú rúd anyagának rugalmassági modulusa E . A tömegponthoz c2 rugóállandójú rugó kapcsolódik. A rugó és a rúd tömege elhanyagolható. Adatok:   80cm E  21,5 106 N / cm 2 c2  0,04cm / N d  1cm Feladat: A. Számítsuk ki az  hosszúságú rúd y elmozdulás-koordinátához tartozó rugóállandóját. c1  ? B. Mekkora az y koordinátához tartozó eredő rugóállandó? ce  ? Kidolgozás:Megoldás: Átváltás nincs leellenőrizve 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

12

3 c c  0,16cm / N B. ce  1 2  0,032cm / N 3  IE c1  c2 2.20. példa __________________________________________________________________ [3, 347.o.] Az m tömegű test vízszintes, tökéletesen sima felületűnek feltételezett vezetéken a c rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekintett rugóban ébredő erő hatására „A” amplitúdójú rezgéseket végez. A rezgések száma egy perc alatt n0 . A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. 1 n  180 Adatok: m  0,2kg A  1cm perc Feladat: A. Mekkora a rezgőrendszer rugóállandója? c  ? B. Számítsuk ki a rugóban ébredő legnagyobb erőt a vizsgált rezgés közben. Fr , max  ? A. c1 

C. Mekkora a rezgőrendszer maximális kinetikus és potenciális energiája? Tmax  ? és U max  ? Kidolgozás: Megoldás: Átváltás nincs leellenőrizve 1 A  0,141cm / N . A. c  B. Fr , max   7,1N . 2 c (6 )  m

A2 1 U max   3,55 Ncm C. Tmax  m  A2 02  3,55 Ncm . 2c 2 2.21. példa _____________________________________________________________ MCD [3, 348.o.] Az ábra szerinti elrendezésben tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű testből valamint c1 , c2 és c3 rugóállandójú tömegtelennek tekinthető rugókból álló rezgőrendszer lengésének amplitúdója A . c3  1cm / N c1  0,5cm / N ; c2  2cm / N ; A  1cm Adatok: m  3,5kg Feladat. A. Mekkora a rezgőrendszer (x koordinátához tartozó) eredő rugóállandója? ce  ? B. Számítsuk ki a rendszer sajátkörfrekvenciáját.  0  ? C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő? F1  ? ; F2  ? ; F3  ? Kidolgozás:Megoldás: (c  c )  c cm 1 rad  6,325 A. ce  1 2 3  0,714 B.  0  c1  c2  c3 N sec ce m

A A A  0,4 N ; F2   0,4 N ; F3   1N . c3 c1  c2 c1  c2 c D. AB  A 1  0,2 N c1  c2 2.22. példa ____________________________________________________________ [1. HF.][3, 349.o.] C. F1 

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

13 Az „A” csuklóhoz csatlakozó m1 tömegű rúd egyenletes tömegeloszlású. A „B” és „E” és csuklóhoz tartozó rudak, valamint a c rugóállandójú csavarrugó tömegtelennek tekintendő. Az ábra szerinti elrendezésű modellnél a csuklókat súrlódásmentesnek, az m2 tömeget pontszerűnek tételezzük fel. Az ábrán feltüntetett helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. Adatok: m1  3kg ; m2  5kg ;   1m ; c  0,01m / N . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a felső rúd 1 szögelfordulása. n  ? B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta az alsó rúd  2 szögelfordulása. n  ? C. Elmozduláskoordináta a felső rúd 1 szögelfordulása. Írja fel az „F” rugóvég elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: 1 (0)  0,05 rad ; 1 (0)  2 rad / sec . Kidolgozás: A feladat kidolgozása az I. Házi feladat keretében történik Megoldás: 1 A., B. n0  9,55   0  9,55  12c(m1  m2 ) 2.23. példa __________________________________________________________________ [3, 350.o.] Az ábra szerinti elrendezésű mérőműszer mutatója fogasív segítségével egy R3 sugarú m3 tömegű homogén tömegeloszlású fogaskerékkel van kényszerkapcsolatban. A mutató szárát zérus tömegűnek tekintjük. A mutató szárának két vége m1 illetve m2 tömegű, ezeket pontszerűnek tekintjük. Mind az „A”, mind a „B” jelű csukló c01 és c02 súrlódásmentes és ezekhez rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető spirálrugók csatlakoznak. A mutató szárának tömege elhanyagolható. Adott: m1 , m2 , m3 , c01 , c02 , R2 , R3 ,  1 ,  2 Feladat: Határozza meg a vázolt lengőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát. f 0  ? Kidolgozás:-

Megoldás:

f0 

1 0 1   T0 2 2

1 1  R3     c01 c02  R2 



2



2

R    3   R2  2.24. példa __________________________________________________________________ [3, 351.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

1 m3 R32  m1 12  m2  22 2

14 Az m1 tömegű,  l hosszúságú homogén tömegeloszlású rúd „A” vége súrlódásmentes csuklóhoz kapcsolódik. A rúd felső végéhez erősített m2 tömeget pontszerűnek tételezzük fel. A rúdhoz 3 darab tömegtelennek tekinthető rugó kapcsolódik az ábrán feltüntetett elrendezésben. A mozgás síkja a vízszintes sík. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m1 , m2 , c0 , c1 , c2 ,  . Feladat. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer rezgésidejét. T0  ? Kidolgozás:Megoldás: T0 

2

0



2 1  1 a2 a2      J AA  c0 c1 c2 

ahol

J AA 

4 m1a 2  4m2 a 2 . 3

2.25. példa __________________________________________________________________ [3, 352.o.] A G súlyú hasáb lapja az elhanyagolható tömegű, erőmentes állapotban  0 hosszúságú hengeres csavarrugóra támaszkodik és a tökéletesen simának tekintett függőleges vezetékben mozoghat az ábrán látható módon. A rugó összenyomódása a ráhelyezett rugó hatására a0 . Adott: G , a0 , g . Indítási feltételek: t  0 -nál y  0 ; v  v0 . Feladat. A. Számítsuk ki, hogy mekkora lefelé irányuló v0 sebességgel indíthatjuk mozgásnak a rugón nyugvó hasábot az y  0 helyzetből, ha azt kívánjuk, hogy rezgés közben a rugótól még ne váljék el? v0  ? B: Mekkora a hengeres csavarrugó rugóállandója? c  ? Kidolgozás: Megoldás: a mg A. v0  a0   0  0 . B. c  . a0 mc 2.26. példa __________________________________________________________________ [3, 353.o.] Tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkon elhelyezett m tömegű testhez az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. Adott: m , c1 , c2 , x0 , v0 . Indítási feltételek: t0  0 -nál x  x0 ; x  v0 . Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró x(t ) függvényt. Kidolgozás:Megoldás: 11 1    0 m  c1 c2  2.27. példa __________________________________________________________________ [3, 354.o.]

x(t )  x0 cos  0t 

v0

sin  0t ,

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

0 

15 Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású korong az ábra szerinti elrendezésben „A” pontjában súrlódásmentesnek tekintendő csuklóhoz kapcsolódik. A korong a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket végezhet. A hozzákapcsolódó c1 és c2 rugóállandókkal jellemzett csavarrugók tömegtelennek tekintendők. A vázolt állapot egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A mozgás síkja a vízszintes sík. Adott: m , R , c1 , c2 ,  0 . Indítási feltételek: t0  0 -nál   0 ;   0 . Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró  (t ) függvényt. Kidolgozás:-. 8 8 Megoldás:  (t )  0 cos  0t  0 cos  t 3mc1 3mc2 2.28. példa __________________________________________________________________ [10, 69.o.] Az érdes síkon a korong csúszás nélkül gördül. A korong súlya G , sugara r . A korong súlypontján átmenő a mozgás síkjára merőleges tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték ismert. Feladat: Határozza meg a rendszer saját lengésének körfrekvenciáját. Kidolgozás: könyvben 1 Megoldás:  0  mg s   c m   2   2.29. példa __________________________________________________________________ [3, 355.o.] A tökéletesen simának feltételezett egyenes vezetékben m tömegű hasáb mozoghat. Az ábra szerinti elrendezésben tömegtelennek tekintett (b) jelű merev rúd csuklósan kapcsolódik a hasábhoz. A (b) jelű rúdhoz c1 és c2 rugóállandókkal jellemzett rugók csatlakoznak. A rajzolt helyzet egyensúlyi. A mozgás síkja a vízszintes sík. Adott: c1  1102 cm / N ; c2  2 102 cm / N . Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját, ce -t kis kitérésű rezgések esetén. Kidolgozás:c c Megoldás: ce  1 2  0,75 10 2 cm / N 4 2.30. példa __________________________________________________________________ [3, 355.o.] Az m2 tömegű hosszúságú homogén tömegeloszlású rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben 2 1 és 2 3 hosszúságú, tömegtelennek tekintett, de merev pálcák és c rugóállandójú ugyancsak tömegtelen rugó csatlakozik. A rajzolt helyzet egyensúlyi helyzetet jelent. Adott:  1 ,  2 ,  3 , m2 , c . Feladat: Számítsa ki a vázolt rezgőrendszer sajátrezgésének  0 körfrekvenciáját. Kidolgozás:01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

16 Megoldás:

0 

3 1 . 2 mc

2.31. példa ____________________________________________________________ [I. HF.][3, 356.o.] A tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m1 tömegű hasábhoz c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető rugó és a (d) jelű elhanyagolható tömegű merev rúd csatlakozik. A (d) jelű rúd jobb oldali vége az ábra szerinti elrendezésben egy R sugarú, m2 tömegű, homogén tömegeloszlású koronghoz csuklósan kapcsolódik. A korong az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelykörül forogva kis kitérésű rezgéseket végezhet. Az ábra szerinti helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. 1 rad Adott: m1  1kg ; m2  2kg ; R  0,1m ; c  m / N ; c0  0,05 ; b  0,05 m . 15 Nm Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját úgy, hogy elmozduláskoordináta az m1 tömegű test x elmozdulása.  0  ? B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját úgy, hogy elmozduláskoordináta a tárcsa  szögelfordulása.  0  ? C. Elmozduláskoordináta az m1 tömegű test x elmozdulása. Írja fel a tömeg elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0  0,01m ; v0  1m / sec . Megoldás: 2.32. példa __________________________________________________________________ [3, 357.o.] A tökéletesen simának feltételezett felületek között egyenesben vezetett m tömegű hasábhoz az ábra szerinti elrendezésben merevnek, de tömegtelennek tekintett pálcák és c1 , c2 , c3 , c4 rugóállandókkal jellemzett rugók csatlakoznak. A mozgás a vízszintes síkban történik. Adatok: c1  4 102 cm / N c2  6 102 cm / N c4  5 102 cm / N c3  3 102 cm / N Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját kis kitérésű rezgések esetén. ce  ? 4c  4c2  c3  c4 Megoldás: ce  1  3 10 10 2 cm / N . 16

2.33. példa __________________________________________________________________ [3, 358.o.] Az m tömegű  hosszúságú homogén tömegeloszlású vékony rúd az „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül kis kitérésű forgórezgéseket végezhet a vízszintes síkban. A vékony rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben c1 , c2 és c0 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A mozgás a vízszintes síkban történik. Adott: m ,  , c1 , c2 , c0 Indítási feltételek: t0  0 -nál   0 ;   0 . Feladat: Írja fel a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró  (t ) függvényt. Kidolgozás:-. 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

17

4 4 1   t 81mc1 81mc2 9m 2c0 2.34. példa __________________________________________________________________ [10, 68.o.] A  0 tehetetlenségi nyomatékú korong az O tengely körül ellenállás nélkül elfordulhat. A korong „A” pontjához a c rugóállandójú rugó kapcsolódik. Feladat: Határozza meg a rendszer lengésszámát kis kitérések esetén. Megoldás: Könyvben Megoldás:

 (t )  0  cos  0t  0  cos

2.35. példa __________________________________________________________________ [3, 358.o.] Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású korong, az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül forgórezgést végezhet. Az ábra szerinti elrendezésben a koronghoz két, egyenként c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett csavarrugó csatlakozik. A modell mért percenkénti rezgésszáma n0 . A vázolt helyzet egyensúlyi helyzetet jelent. 1 Adott: R  0,3m ; c  2 102 m / N ; n0  70 . perc Feladat: Számítsa ki a vázolt modell tömegét kis kitérésű rezgések esetén. m  ? Kidolgozás: 9,552  4 Megoldás: m  2  3,72 N sec 2 / m . n0  c 2.36. példa _____________________________________________________________ [1.HF][3, 359.o.] Tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű hasábhoz az ábrán vázolt módon m1 és m2 jelű, tömegtelennek tekintett „vékony” merev rudak kapcsolódnak. Az m2 jelű rúd az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. Az m tömegű testhez és az m2 jelű „vékony” rúdhoz az ábrán látható módon a c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók kapcsolódnak. A rajzolt állapot egyensúlyi állapotnak tekintendő. Adott: m  2kg ; c1  0,01m / N ; c2  0,005m / N m; d  1m ; b  1m . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát kis kitérésű rezgések esetén, elmozduláskoordináta az m tömegű test x elmozdulása. B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát kis kitérésű rezgések esetén, elmozduláskoordináta a függőleges rúd  szögelfordulása. C. Elmozduláskoordináta az m tömegű test x elmozdulása. Írja fel a tömeg elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0  0,01m ; v0  2,5m / sec . Kidolgozás: A feladat kidolgozása az I. Házi feladat keretében történik

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

18

f0 

Megoldás: A., B.

0  2

11 b2    2  m  c1 d c2  2

2.37. példa __________________________________________________________________ [3, 359.o.] Az ábrán látható módon a c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók végein egy-egy ütközőlap található. Az ütközőlapok az x  0 koordinátájú helyzetben, a tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű hasáb oldallapjaihoz éppen csak hozzáérnek. Az m tömeget x koordináta irányába nyugalmi helyzetéből kitérítve, rezgésbe hozzuk. Adatok: m  8kg ; c1  3 102 m / N ; c2  1102 m / N m. Feladat: Számítsa ki az egy teljes – szakaszonként szinuszos – rezgés megtételéhez szükséges időt. T  ? Kidolgozás:Megoldás: T0   mc1  mc2  2,45 sec





2.38. példa __________________________________________________________________ [3, 361.o.] Az ábrán vázolt m tömegből, c1 és c2 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett rugóból álló rezgőrendszer tökéletesen simának feltételezett egyenes vezetékben mozoghat. x1  3cm ; Adatok:  0  314rad / sec ;

v1  2cm / sec ;

t1  10 sec .

Feladat: Hogyan kell indítani T  t0  0 időpillanatban a rajzolt  0 sajátkörfrekvenciájú modellt ( x0  ? ,

v0  ? ), hogy az indítástól számított t1 idő múlva sebessége v1 , koordinátája x1 legyen? Kidolgozás:Megoldás: x0  A1  2,99cm ; v0  314  A2  18,58cm / sec ; A2  0,0592cm 2.39. példa __________________________________________________________________ [3, 361.o.] Az ábrán vázolt modell rugalmas, de elhanyagolható tömegű tengelyből és két egymáshoz kapcsolódó, merev, forgástengelyükre számítva J11 és J 22 tehetetlenségi nyomatékú merev fogaskerekekből áll. Adott: J11 ; J 22 ; d ; R1 ; R2 ;  ; G (csavarási rugalmassági modulusz) Feladat: Határozzak meg a vázolt modell percenkénti rezgésszámát. n0  ?

Megoldás:

n0  9,55   0  9,55

1  R2    c0  R1 

2

. 2  R2  J11    J 22  R1  2.40. példa __________________________________________________________________ [3, 363.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

19 Az ábrán vázolt rezgőrendszer egy két végén befogott, változó keresztmetszetű tengelyből és egy hozzá rögzített „ D ” átmérőjű v vastagságú,  fajsúlyú merev tárcsából áll. A változó keresztmetszetű tengely egyes szakaszainak átmérői d1 , d 2 , a szakaszok hossza:  1 ,  2 és  3 . A tengelyszakaszokat tömegtelennek, de rugalmasnak tekintjük. A tárcsát nyugalmi helyzetéből kis  szöggel elfordítjuk, (miközben a torziós tengely elcsavarodik), majd magára hagyjuk. Feladat. Mekkora lesz a rendszer sajátkörfrekvenciája?  0  ? Kidolgozás:c c c 32 g Megoldás: 0   1 2 3 4 D    v   (c1  c2 )  c3 2.41. példa __________________________________________________________________ [3, 363.o.] Az ábra szerinti elrendezésben G1 és G2 súlyú pontszerű testeket erősítettünk „vékony” merev tömegtelen „A” végpontjában ideális csuklóhoz kapcsolódó rúdhoz. A c és c0 rugóállandóval jellemzett csavar- és spirálrugók tömegtelenek. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

c0  0,02rad / Ncm ;   20cm . G1  40 N ; G2  20 N ; c  0,05cm / N ; Feladat. Határozza meg a csillapításmentes rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját.  0  ? Kidolgozás:900 1  c c0 Megoldás: 0   19,4rad / sec 2 m1    m2  (2  ) 2 2.42. példa __________________________________________________________________ [3, 364.o.] Merev, de tömegtelennek tekinthető, két végén súrlódásmentesen csapágyazottnak feltételezett (1) jelű tengelyhez az ábrán látható módon egy ugyancsak tömegtelen, egyik végén ütközővel ellátott „vékony”, de merev C  D jelű rudat erősítettünk. Erre a rúdra a szimmetriatengelyében átfúrt m tömegű golyót helyeztünk. Az m tömegű golyót c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugóval kapcsoltuk az (1) jelű tengelyhez. Az m tömeg és a rúd között mozgás közben fellépő súrlódást zérusnak tekintjük. A rendszert az A  B tengely körül állandó  szögsebességgel forgatjuk. m ; c ; d ;b . Adott: Adatok:

Feladat: Számítsa ki a vázolt m tömegből és c rugóból álló rezgőrendszer  0 sajátkörfrekvenciáját  függvényében.  0   0 ( )  ?

1  2 . mc 2.43. példa __________________________________________________________________ [3, 364.o.] Megoldás:

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

 0 ( ) 

20 Egy pontszerű m tömeg, valamint az ábra szerinti elrendezésben egy ehhez rögzített kétalátámasztású, c1 rugóállandójú laprugó és a c2 rugóállandójú hengeres csavarrugó rezgőrendszert képeznek. A rugókat tömegtelennek tekintjük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A pontszerű testet x irányban nyugalmi állapotából kissé kitérítjük, és utána magára hagyjuk. A rugó legnagyobb alakváltozása az „O” pontnál xmax . A súlyerő hatását elhanyagolhatjuk. Adatok:

m  0,3kg ; c2  0,02cm / N ;

c1  0,01cm / N , (az x koordinátához tartozó érték) xmax  4cm .

Feladat: A. Számítsa ki a vázolt rezgőrendszer x koordinátájához tartozó eredő rugóállandóját. ce  ? B. Mekkora a rendszer legnagyobb rezgési sebessége? xmax  ? Kidolgozás: Megoldás: c c A. ce  1 2  0,066cm / N B. xmax  xmax   0  2,83m / s c1  c2 2.44. példa __________________________________________________________________ [3, 366.o.] Egy m tömegű, homogén tömegeloszlású r sugarú korong csúszásmentesen gördülhet egy R sugarú görbülettel kialakított kényszerpályán. Az (1) jelű nyugalmi helyzetből a (2) jelű helyzetbe kimozdítva, majd elengedve, a korong az (1) jelű egyensúlyi helyzetéhez viszonyítva a kényszerpályán „jobbrabalra” gördül csúszásmentesen az ábrán vázoltak szerint. Adott: m , R , r , (sin    ) . Feladat: Mennyi a vázolt modell rezgésideje? T  ? Kidolgozás: 2 2 Megoldás: T0   0 2 g 3R  2r 2.45. példa ___________________________________________________________________ [2, 79.o.] Az m tömegű, R sugarú korong az R1 sugarú henger alakú érdes kényszerpálya felületén csúszásmentesen gördülhet. Adatok: m  0,5kg ;   0,8 R1  1m . R  0,2m ; Feladat: Határozza meg a korong mozgásának periódusidejét. Kidolgozás: Megoldás: 2.46. példa __________________________________________________________________ [3, 366.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

21 Az ábrán vázolt rezgőrendszer az  hosszúságú zérus tömegű merev rúdból, az m pontszerű tömegből és a hozzá kapcsolódó rugókból áll. A modell a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket végezhet. A c rugóállandóval jellemzett elhanyagolható tömegű hengeres csavarrugók „vékony”, merev,  hosszúságú zérus tömegű rúd „E” pontjához kapcsolódnak. A rúd „F” jelű vége a pontszerű tömeghez, másik pedig „O” ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges tengelyhez kapcsolódik a c0 rugóállandójú tömegtelennek tekinthető spirálrugóval együtt. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; c ; c0 ; d ,  , g . Feladat: Határozza meg, hogy milyen esetben lesz a vázolt rezgőrendszer  0 sajátkörfrekvenciája valós szám, képzetes szám vagy nulla. Kidolgozás:Megoldás:  1  1 d2   Ha  mg   0 , akkor valós szám, a modell rezgésre képes. 2  m  c0 2c  2  1 1 d   Ha  mg   0 , akkor  0  0 , a modell nyugalomban van. 2  m  c0 2c  2  1 1 d    mg   0 , akkor képzetes szám, x minden határon túl növekvő. Ha 2  m  c0 2c  2.47. példa __________________________________________________________________ [3, 368.o.] Az m tömegű, R sugarú homogén tömegeloszlású korong a vízszintes síkon csúszásmentesen gördülhet. Az ábrán vázolt módon a koronghoz a súlypontjától b távolságban c rugóállandójú, tömegtelennek tekintett rugó csuklósan csatlakozik. A vázolt helyzet egyensúlyi, és a rugó erőmentes. Adott: m  3kg ; R  6cm ; b  4cm ; c  2cm / N . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta c rugóvég tárcsához való csatlakozási pontjának vízszintes elmozdulása. f 0  ? B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a tárcsa  szögelfordulása. f 0  ? C. Elmozduláskoordináta c rugóvég tárcsához való csatlakozási pontjának vízszintes elmozdulása. Írja fel a pont elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0  1cm ; v0  0m / sec . Kidolgozás: 1 1 Rugóállandó helyett rugómerevséggel számolunk: s    0,5 N / cm . c 1/ 2 Kinematikai kapcsolat a rugóvég elmozdulás és a tárcsa szögelfordulás között. x  ( R  b)   . Kinematikai kapcsolat a tárcsaközéppont elmozdulás és a tárcsa szögelfordulás között y  R   . Tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: J  Kinetikus energia: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

m  R2 2

22 Ekin 





 1 2 1 2 1 2 1 1 1  mR2 1 3mR2 2 J  my  J  m( R   ) 2  J  mR2  2    mR2   2    2 2 2 2 2 2 2 2  2  J red

Kinetikus energia deriváltjai a Lagrange egyenlethez: d Ekin d   1 3mR2 2  3mR2        dt  dt   2 2 2  Potenciális energia és deriváltja a Lagrange egyenlethez: 1 1 1 U ( )  s  x 2  s  R  b  2  s  R  b 2  2 2 2 2

U ( )  s  R  b 2    s red

Homogén mozgásegyenlet: 3mR2 R   s b 2   0  2  s red J red

Szabadlengés sajátkörfrekvenciája:

0 

sred  J red

s  R  b   3mR2 2 2

2  s  R  b  3mR2

2

2  s  ( R  b) 2 1  3mR2 f0   0  Megoldás: A. B. T0 2 2 2.48. példa __________________________________________________________________ [3, 368.o.] Az R sugarú, 2m tömegű homogén tömegeloszlású korongot az O ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges, rögzített tengelyre súrlódásmentesen erősítettük. A korong egy m tömegű, ugyancsak homogén tömegeloszlású hasábra támaszkodik. A korong a hasábon csúszásmentesen gördülhet. Az m tömegű hasáb tökéletesen simának feltételezett alapon helyezkedik el. A koronghoz és a hasábhoz az ábra szerinti elrendezésben c0 , c és c1 rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekinthető rugók kapcsolódnak. A vázolt helyzet egyensúlyinak tekinthető, a rugók erőmentesek. rad Adatok: m  2kg ; R  0,5m ; c1  0,01m / N ; c  0,05 m / N ; c0  0,025 . Nm Feladat: A. Határozza meg a vázolt kis kitéréseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta az m tömegű test x vízszintes elmozdulása. n  ? B. Határozza meg a vázolt kis kitéréseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a tárcsa  szögelfordulása. n  ? C. Elmozduláskoordináta az m tömegű test x vízszintes elmozdulása. Írja fel a pont x elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0  0,05m ; v0  1,5m / sec . Kidolgozás: Rugóállandók helyett rugómerevséggel írjuk fel az összefüggéseket. s1  1 / c1  1 / 0,01m / N  100 N / m ; (1) s  1 / c  1 / 0,05 m / N  20 N / m ; s0  1 / c0  0,025rad / Nm  40 Nm / rad . A tárcsa forgástengelyére számított tehetetlenségi nyomatéka: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

23 1 (2) (2m)  R 2  mR2 . 2 A.1 Általános elmozduláskoordináta választása, kinematikai kapcsolatok felírása. A q általános elmozduláskoordináta legyen az m tömegű test x vízszintes elmozdulása, q  x. Kinematikai kapcsolat az alsó hasáb elmozdulása és a tárcsa között: x  (3) x  R  ,  . R A.2. A rugókban felhalmozott potenciális energia felírása: 1 1 1 (4) U  s1  x 2  s  x 2  s0   2 . 2 2 2 A kinematikai feltétel felhasználásával az utolsó tag is x függvényében felírható, (3) alapján  (4)-be helyettesítve: J0 

2

1 1 1 x s1  x 2  s  x 2  s0    . 2 2 2 R A.3. A kinetikus energia felírása. U ( x) 

(5) 2

J  1 1 1 1 1  x  Ekin ( x, x )  m  x 2  J 0   2  m  x 2  J 0      m  02   x 2 . 2 2 2 2 2 R  R A.4. Disszipáció függvény levezetése. Disszipáció nincs, a rendszer csillapítatlan. D( x )  0 . A.5. A Lagrange-egyenletben előírt deriválások elvégzése: Az (5) potenciális-energia általános elmozduláskoordináta szerinti deriváltja: s   1  U ( x)  s1  x  s  x  s0  x 2   s1  s  02   x . x R R   A (6) kinetikus energia deriváltjai:  Ekin ( x, x )  0 , x

(6) (7)

(8)

(9)

 J0  2  d  J0  J0  d Ekin ( x, x ) d   1  mR2      x  2mx (10)      m   x  m   x  m   x  m        dt   dt x dt x  2  R2  R2  R2  R 2     

A.6. Általános erőkomponensek meghatározása: A szabadmozgást vizsgáljuk, gerjesztő erőhatás nincs. (11) Q 0. A.7. Behelyettesítés a Lagrange-egyenletbe. Lagrange-egyenlet: d Ekin (q, q ) Ekin (q, q ) D(q ) U (q) (12)    Q. dt q q q q (12)-be behelyettesítve, (8),(9),(10),(11)-et: s   (13) 2mx   s1  s  02   x  0 . R   A.8. Homogén mozgásegyenlet. Megegyezik a fenti egyenlettel, mert gerjesztetlen a rendszer. A.9. Csillapítatlan sajátkörfrekvencia meghatározása. Szabadlengés periódusidejének számítása. s   (14) 2 m x   s1  s  02   x  0 . R   m red   s red

A rendszer sajátkörfrekvenciájának összefüggése: s s1  s  02 s R .  0  red  mred 2m Behelyettesítve a megadott értékeket: rad .  0  8,366 sec 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

(15)

(16)

24 A szabadlengés periódusideje: 2 2 (17) T0    0,7515 sec .  0 8,366 A. 10. Válaszfüggvény felírása a megadott kezdeti feltételekkel. v (18) xc (t )  x0 cos( 0t )  0 sin( 0t ) . 0 Másik alak: xc (t )  K sin( 0t   ) , ahol   v /  v2   arctg  0 0  . K  x02  02 , 0  x0  A.11. A rendszer energiája: 1 1 (19) W  sred  x02  mred  v02 . 2 2 A.12. Válaszfüggvény rajzolása a szabadlengés első öt periódusára. A megoldásfüggvény ábrázolása MatCAD környezetben:

B.1 Általános elmozduláskoordináta választása, kinematikai kapcsolatok felírása. A q általános elmozduláskoordináta legyen a tárcsa  szögelfordulása. q  . Kinematikai kapcsolat az alsó hasáb elmozdulása és a tárcsa között: x  R  .

(20)

B.2. A rendszer potenciális energiájának felírása. A rugókban felhalmozott potenciális energia felírása: 1 1 1 (21) U  s1  x 2  s  x 2  s0   2 . 2 2 2 A kinematikai feltétel felhasználásával az első két tag is  függvényében felírható: 1 1 1 1 (22) U ( )  s1  ( R   ) 2  s  ( R   ) 2  s0   2  ( s1  R 2  s  R 2  s0 )   2 . 2 2 2 2 B.3. A rendszer kinetikus energiájának felírása: (23) Ekin 

 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 m  x 2  J 0   2  m  ( R   ) 2  J 0   2  mR2  J 0   2   mR2  mR      mR  .  2 2 2 2 2 2 J0 





B.4. Disszipáció függvény levezetése. Disszipáció nincs, a rendszer csillapítatlan. D( x )  0 . B.5. A Lagrange-egyenletben előírt deriválások elvégzése: A potenciális energia általános elmozduláskoordináta szerinti deriváltja: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

(24)

25

  1 U ( )  ( s1  R 2  s  R 2  s0 )   2  ( s1  R 2  s  R 2  s0 )   . (25)   2 A kinetikus energia deriváltjai:  Ekin ( ,  )  0 , (26)  d Ekin ( ,  ) d  d (27)  mR2 2  2mR2 2  2mR22 . dt  dt  dt B.6. Általános erőkomponensek meghatározása: A szabadmozgást vizsgáljuk, gerjesztő erőhatás nincs. B.7. Behelyettesítés a Lagrange-egyenletbe. Lagrange-egyenlet:









d Ekin (q, q ) Ekin (q, q ) D(q ) U (q)    Q. dt q q q q (28)-ba behelyettesítve, (25),(26),(27),(28)-at: 2mR22  (s1  R 2  s  R 2  s0 )    0 .

B.8. Homogén mozgásegyenlet. Megegyezik a fenti egyenlettel, mert gerjesztetlen a rendszer. B.9. Csillapítatlan sajátkörfrekvencia meghatározása. Szabadlengés periódusidejének számítása: 2 2 mR s1R 2  sR2  s0  x  0 .  x   



mred



(28)

(29)

(30)

s red

A rendszer sajátkörfrekvenciájának összefüggése:

0 

sred s R 2  sR 2  s0 .  1 mred 2mR2

(31)

R 2 -tel való egyszerűsítés után ugyanaz az eredmény adódik, mint A.9.–ben, (15) összefüggésben.

sred s R 2  sR 2  s0  1 mred 2mR2 2.49. példa ___________________________________________________________________ [2, 79.o.] Az R; sugarú m tömegű korong rezgőmozgás közben csúszásmentesen gördül a vízszintes érdes talajon. Adatok: m  10kg ;   0,6m ; c  2 104 m / N ; Feladat: A. Számítsa ki a sajátfrekvenciát. B. Mekkora lehet a súlypont legnagyobb kitérése? Kidolgozás:Megoldás:2.50. példa ___________________________________________________________________ [2, 80.o.] A vázolt lengőrendszer AD és BC merev rúdjainak tömege elhanyagolható. A rendszer vízszintes síkban mozog, a csuklók súrlódásmentesek. Adatok: m  2,5kg ;   0,3m ; c1  3 105 m / N ; c2  2 105 m / N . Feladatok: A. Írja fel a rendszer mozgásának differenciálegyenletét. B. Számítsa ki a sajátlengés frekvenciáját. C. A lengőrendszer mozgását úgy indítjuk mozgásnak, hogy a t  0 pillanatban a „D” pontot jobbra elmozdítjuk xd 0  10mm -rel, majd magára hagyjuk. Írja fel az AD rúdnak az adott indításhoz tartozó mozgástörvényét. Megoldás: A., B. n  9,55 0 ;

0 

2.51. példa ___________________________________________________________________ [2, 81.o.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

26 Az m tömegű hasáb a hozzá erősített súlytalan merev karral együtt a sima egyenes vezetékben mozoghat. A hasábot a mindkét végén csuklós, ugyancsak elhanyagolható tömegű BC rúd, valamint két egyenlő rugóállandójú rugó kapcsolja a vele azonos tömegű, 3 hosszúságú merev rúdhoz, amely az „A” ideális csukló körül foroghat. A mozgás síkja vízszintes. Adatok: m  0,5kg ;   0,25m ; c  7,0362 103 cm / N ; Fmax  620 N . Feladatok: A. Írja fel a lengőrendszer differenciálegyenletét. B. Számítsa ki a sajátlengésidőt. C. Mekkora lehet a rúd maximális szögkitérése, ha a rugók karakterisztikája csak a megadott Fmax -nál kisebb rugóerő esetén tekinthető lineárisnak? 2.52. példa __________________________________________________________________ [10, 62.o.] A G súlyú, A keresztmetszetű,  hosszúságú prizmatikus keresztmetszetű rúd hosszának 1 / 3 -ad részéig  fajsúlyú folyadékba merül. A testet c rugóállandójú rugóra erősítettük fel. A rendszert a statikus egyensúlyi helyzetéből y mértékben a bejelölt irányban kimozdítottuk, ezért a rendszer lengéseket végez. Feladat: Határozza meg a rendszer lengésidejét. Kidolgozás: könyvben 2 G 1 Megoldás: T0    0 g A  1 c 2.53. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.] Határozzuk meg az ábrán bemutatott m tömegű, a forgástengelyre számított  s tehetetlenségi nyomatékú tárcsa lengésidejét, ha a tárcsa  szögelfordulása kicsi és a rugók a nyugalmi helyzetben terheletlenek. 2 1 Megoldás:  0  ( s1a 2  s2b 2 ) , T0  0 s 2.54. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.] Határozzuk meg az ábrán bemutatott m tömegű, a forgástengelyre számított  s tehetetlenségi nyomatékú tárcsa lengésidejét, ha a tárcsa  szögelfordulása kicsi és a rugók a nyugalmi helyzetben terheletlenek. Az „ a ” hosszúságú rúd tömege ma , a „ b ” hosszúságú rúd tömege mb , Kidolgozás:Megoldás: 2.55. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

27 Az m tömegű  s tehetetlenségi nyomatékú korong csúszás nélkül gördül a vízszintes síkon. Feladat: Határozza meg a rendszer sajátlengésének körfrekvenciáját. Kidolgozás: könyvben 4 1  c2 c1 Megoldás: . 0  s m 2 r 2.56. példa __________________________________________________________________ [10, 75.o.] Határozza meg a lengőrendszer lengésidejét. A 3a hosszúságú merev rúd súlya 3G . Adottak: a , c , g . Kidolgozás: Megoldás: -

2.57. példa __________________________________________________________________ [10, 75.o.] Elhanyagolható súlyú  hosszúságú IE „hajlítási merevségű” tartó szabad végére c rugóállandójú rugót erősítettünk. A rugón m tömeg leng. Feladat: Határozza meg a lengésidőt! Kidolgozás: Megoldás: -

2.58. példa __________________________________________________________________ [10, 76.o.] Az m1 g súlyú a sugarú tárcsa az A pont körül a függőleges síkban elfordulhat. A 2a hosszúságú m2 g súlyú merev rúd a B pont körül fordul el. A rúd és a tárcsa a C pontban csuklóval kapcsolódik egymáshoz. Feladat: Határozza meg a rendszer lengésidejét kis szögelfordulások esetén. Adatok: G1  400 N G2  30 N a  10cm c  0,025cm / N Kidolgozás: könyvben a2 2 . 4c T0   02  Megoldás: B 0 A  4 2.59. példa ___________________________________________________________________ [5, 12.o.] Az ábrán vázolt elrendezésű lengőrendszer rugóinak állandója c1  0,05cm / N ; c2  0,25cm / N ; c3  0,1cm / N . Az  3,5kg tömegű test lengésének amplitúdója K  1cm . 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

28 Feladat: A. Mekkora az eredő rugóállandó és a rendszer vetítő szögsebessége? B. Mekkora a lengőrendszer energiája? C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő és az egyes rugókban felhalmozott maximális energia? D. Mekkora amplitúdóval leng a és rugók közös „A” pontja? Kidolgozás: A. Először a c1 és c2 sorba-kapcsolt rugók (mindkettőt ugyanakkora erő terheli a tömeg K kitérésekor) eredőjét határozzuk meg: c12  c1  c2 Az így kapott rendszerben a c12 és c3 rugók párhuzamosan vannak kapcsolva (a tömeg K kitérésekor elmozdulásuk ugyanakkora) , eredőjük az 1 1 1   cr c12 c3 képlet alapján számítható. Ide c12 előbb kapott értékét behelyettesítve: 1 1 1   . cr c1  c2 c3 Ebből az eredő rugóállandó: (c  c )  c (0,05  0,2)  0,1 5 m cr  1 2 3   10 3 c1  c2  c3 0,05  0,2  0,1 7 N A rendszer vetítő szögsebessége: 1 1 0    20rad / sec cr  m 5 10  3 m Ns 2  3,5 7 s m B. Mekkora a lengőrendszer energiája? 1 1 1 Ns 2 2 2 2 E  m  vmax  m  ( K   0 )   3,5  0,01m  20rad / s   0,07 Nm 2 2 2 m C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő és az egyes rugókban felhalmozott maximális energia? Először kiszámítjuk a c3 rugó energiáját. A K  1cm amplitúdójú lengés a c3 rugóban (a rugóállandó K 1cm definíciója alapján) F3    10 N maximális erőt ébreszt. A c3 rugóban felhalmozott c3 0,1cm / N 1 1 1 1 (potenciális) energia U 3   K 2    0,05 Nm . A két sorbakapcsolt rugó energiája a teljes 2 c3 2 0,1cm / N energia mínusz a c3 rugóban felhalmozott energia U12  E  U 3  0,07  0,05  0,02 Nm . Ez az energia oszlik meg a két sorbakapcsolt rugó között, rugóállandójuk arányában. c 0,05 c 0,2 U1  1 U12   0,02  0,004 Nm U 2  2 U12   0,02  0,016 Nm c12 0,25 c12 0,25 D. Mekkora amplitúdóval leng a c1 és c2 rugók közös „A” pontja? A c1 rugó megnyúlása számítható a benne felhalmozott munka alapján, melyet az előbb meghatároztunk: 1 1 2 U1  KA , 2 c1 ebből

K A  2U1c1  0,2cm .

2.60. példa ___________________________________________________________________ [5, 18.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

29 Az egyik végén csuklóval megfogott, elhanyagolható tömegű, merev AB rúdra az ábra szerinti m  9kg tömegű testet erősítünk. A rúd közepéhez és „B” végéhez kapcsolt rugók állandója c1  0,09cm / N és c2  0,12cm / N . Feladat: Határozza meg a lengésidőt, ha az m test – a méretek miatt – tömegpontnak tekinthető. Kidolgozás: könyvben Megoldás: T0  0,421sec . 2.61. példa ___________________________________________________________________ [5, 22.o.] A homogén tömegeloszlású, állandó keresztmetszetű, merevnek tekinthető rúd a rajz síkjában az „A” csukló körül forgó lengéseket végez. A rúd hossza 2a  1,2m , tömege m  10kg . A rugóállandók c1  0,06cm / N és c2  0,1cm / N . A csillapító hatásoktól eltekintünk. Feladat: Helyettesítsük a rugókat egyetlen, a rúd végéhez kapcsolódó rugóval úgy, hogy a lengésidő ne változzék meg. A. Mekkora a helyettesítő rugó állandója? B. Mekkora a lengésidő? Kidolgozás: könyvben Megoldás:-

2.62. példa ___________________________________________________________________ [6, 36.o.] Az ábra rúdjai merevek és van tömegük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, és itt a rugó erőmentes. Írja fel az ábrán látható rendszer o potenciális és kinetikus energiáját, o mozgásegyenletet , o saját-körfrekvenciát. Kidolgozás: PPT Megoldás: 2

 1   U (1 )  s   a2 1  a1   12 2  2 

1 2   J11  m  12  J 22 21   12 2   2     s   a2 1  a1  s  2   0  red  J red 2 J11  m   12  J 22 21 2 2.63. példa ___________________________________________________________________ [6, 34.o.] Az ábra modelljén az  hosszúságú rúd merev, de tömegtelen, a rajta levő m tömeg pontszerű. (A modellbeli rudat akkor tekinthetjük tömegtelennek, ha a megfelelő valóságos rúd tömege az adott vizsgálatban elhanyagolható.) A modellnek a rajzolt helyzete egyensúlyi helyzet. A súlyerőt figyelmen kívül hagyjuk. T

Adott:

m, c, a, .

Feladat: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

30 A. Általános elmozduláskoordinátának a rugóvég elmozdulását választva írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Általános elmozduláskoordinátának a rúd elfordulását választva írja fel a mozgás differenciálegyenletét. C. Határozza meg a sajátlengési körfrekvenciát. Kidolgozás: PPT Megoldás: 2 a 1 A. m  2  x  s  x  0 B. m   2    s  a 2    0 C.  0   cm a 2.64. példa ___________________________________________________________________ [9, 74.o.] Vizsgáljuk meg az ábrán látható függőleges helyzetű, m tömegű,  hosszúságú, homogén tömegeloszlású rudat, amely az alsó „A” végpontja körül elfordulhat, a felső végpontja pedig egy vízszintes helyzetű, c rugóállandójú rugóval van kikötve úgy, hogy a rúd függőleges helyzetében a rugóerő nulla. Kérdés: A. Létrejöhet-e a rúd rezgőmozgása ezen függőleges helyzet körül? B. Írja fel a mozgásegyenletet. Kidolgozás: Az egy szabadságfokú rendszer általános koordinátájaként válasszuk a rúd  szögelfordulását a függőleges helyzethez képest. Kis szögelfordulásokat vizsgálva, alkalmazzuk a sin    és a 1 cos   1   2 közelítéseket. 2 A potenciális energia a rugóban felhalmozott rugalmas energiából és a rúd helyzeti energiájából tevődik össze. A rúd helyzeti energiáját a súlypont magasságával jellemezzük. 1 1   2 U rugó   (   ) 2 U rúd _ súlypont _ magasság  m  g  (1  cos  )  mg  2 c 2 2 2 A teljes potenciális energia: 1 1   2 1  2  U ( )  U rugó  U rúd _ súlypont _ magasság   (   ) 2  m  g      mg  2 2 c 2 2 2 c 2 A   0 egyensúlyi helyzet akkor stabilis, ha az U ( ) potenciális energiának minimuma van: U ( )   2   2U ( )  2  és   mg  0 ,    mg   0 , 2 c 2  2   c vagyis ha a rugóállandó elég kicsi (illetve a rugómerevség elég nagy): 1 1 s   mg 0 c 2 Tegyük fel, hogy ez a feltétel teljesül. Ekkor a rúd a függőleges, stabilis egyensúlyi helyzete körül rezgőmozgást képes végezni. Ennek mozgásegyenletéhez szükség van még a kinetikus energiára: 1 1 m 2 2 2   T ( )  J A      . 2 2 3 A mozgásegyenlet  2 m 2  d T T U      mg    0 .   0, dt    3 2  c Átrendezve: 3 g   3       0  mc 2 

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

31

3. CSILLAPÍTATLAN GERJESZTETT RENDSZEREK 3.1. példa ________________________________________________________________________ [F 1] Az ábrán egy csillapítatlan, gerjesztett lengőrendszer vázlatos képe látható. A rendszer az egyensúlyi helyzet körül ki kitérésű rezgéseket végez a vízszintes síkban. Az (1) és (2) jelű merev, prizmatikus rudak egymásra merőleges helyzetben vannak mereven összeerősítve. Mindkét rúd m tömegű, illetve  hosszúságú. Adatok: m  6kg ; s1  s2  s  5000 N / m ; r0  6mm .   0,5m ;

Feladat: Határozza meg, hogy a gerjesztett rezgés állandósult állapotban A.  mely értékeinél lesz az „A” pont xa (t ) kitérése ellenfázisban az r (t ) gerjesztéssel ( i  ? )! B. a gerjesztési körfrekvencia értékét a sajátkörfrekvencia kétszeresére választva (   2   0 ) mekkora lesz az s2 merevségű rugóban ébredő erő maximális értéke ( Fr 2, max  ? )! Kidolgozás: Megoldás: 3.2. példa ___________________________________________________________________ [3. 391.o.] A tökéletesen simának feltételezett sínek között egyenesbe vezetett m tömegű pontszerűnek tekinthető testhez az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandójú elhanyagolható tömegű hengeres csavarrugók kapcsolódnak. A c2 jelű rugó szabad végét y0 sin t függvény szerint változó koordinátával gerjesztjük (útgerjesztés). A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; c1 ; c2 ; y0 sin t . Feladat: A. Írjuk fel a rezgőrendszer differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását.  C. Ábrázoljuk a   függvényében az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldásában  x szereplő x0 amplitúdójának és a gerjesztő-függvény y0 amplitúdójának 0 hányadosát. y0 Kidolgozás: Könyv Megoldás: A vizsgált modell mozgását leíró differenciálegyenlet: y sin t  x 1 (1) mx  x  0 c1 c2 Az (1)-et rendezve, x együtthatójával végigosztva, majd x -et kiemelve: y 11 1 (2) x     x  0 sin t m  c1 c2  mc2 A rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája:

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

32

0 

11 1   . m  c1 c2 

(3)

A (3)-at (2)-be behelyettesítve:

x   02 x 

y0 sin t mc2

Folyt köv.

3.3. példa ___________________________________________________________________ [3. 394.o.] Az R sugarú m tömegű, homogén tömegeloszlású korong „A” pontjában a rajz síkjára merőleges ideális csapágyazású tengely körül forgórezgéseket végezhet. A koronghoz az ábra szerinti elrendezésben c0 , c1 , c2 és rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett spirál és hengeres csavarrugók kapcsolódnak. A c2 rugóállandójú rugó szabad végét Fg  F0 sin t törvényszerűség szerint változó erővel gerjesztjük. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; R ; c0 ; c1 ; c2 ; c3 ; F0  . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer rezonancia körfrekvenciáját. rez  ? B. Mekkora a gerjesztett rezgéseket végző tárcsa  szögkoordinátájának rezgési amplitúdója állandósult állapotban? 0  ? C. Határozza meg a tömegtelennek tekintett, c2 rugóállandójú rugó (1) jelű végének mozgástörvényét! y1 (t )  ? Kidolgozás: A. A vizsgált modell mozgását leíró differenciálegyenlet: 1 1 1 (1) J AA       Fg R  c0 c1 c2  ahol J AA a korong „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka: 1 (1) J AA  mR2 . 2 Az (1)-et rendezve, (2)-t behelyettesítve, majd  együtthatójával végigosztva és  -t kiemelve: 2  F0 2 1 1 1        sin t . 2  mR mR  c0 c1 c2  A rezgőrendszer rezonancia körfrekvenciája: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

33

rez   0 

2 1 1 1     mR2  c0 c1 c3 

Folytatás Könyvben

3.4. példa ____________________________________________________________________ [6. 72.o.] Az ábra rúdjai merevek és van tömegük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, és itt a rugó erőmentes. Írja fel az ábrán látható rendszer mozgásegyenletét.

3.5. példa ___________________________________________________________________ [3. 397.o.] Az m tömegű, tökéletesen simának feltételezett felületek között egyenesben vezetett testhez az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugók kapcsolódnak. Az m tömegű egyenesbe vezetett test „O” pontjához egy  hosszúságú „vékony” merev, tömegtelennek tekintett rúd kapcsolódik, melynek „D” jelű végére pontszerű m0 tömeget erősítettünk. Az  hosszúságú rúd, az m tömegű test „O” pontján átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül állandó  szögsebességgel forog. A vázolt rezgőrendszer a vízszintes síkban végzi a mozgását. Adott: m ; m0 ; c1 ; c2 ;  ;  ;  . Feladat: Határozzuk meg a vázolt gerjesztett rezgőmozgást végző modell x koordinátájának mozgástörvényét x(t )  ? az x(0)  0 és x (0)  0 jellemzőjű indítás esetén. Kidolgozás: Könyvben 3.6. példa ___________________________________________________________________ [3. 401.o.] Az m tömeg tökéletesen simának feltételezett vezetékben mozoghat. A tömeghez az ábra szerinti elrendezésben kapcsolt c rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugó másik végét kulisszás hajtómű mozgatja. A kulisszás hajtómű mechanizmusa, amint az ábrán is látható, a következő elemekből áll: Egy R sugarú tárcsából, mely az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül állandó  szögsebességgel forog, továbbá egy a tárcsán található „D” jelű csapból, mely a (B) jelű, simafalú vezetékben (kulisszában) mozoghat, amely mint merev test mereven az (e)-jelű vízszintes rúdhoz kapcsolódik.

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

34 Az (e) rúd a „B” és „E” jelű simafalú sínekben vízszintes irányban mozoghat. Az m tömeg állandósult rezgés állapotában a rezgőmozgást leíró x koordináta A amplitúdójának nagyságát ismerjük, és  feltételezzük, hogy az hányados nagyobb, mint 1 . (  0 a sajátlengés körfrekvenciája.) 0 Adatok: m  0,002 N sec2 / cm ; R  10cm ; c  0,01cm / N ; A  2cm . Feladat: Mekkora az sugarú tárcsa állandó szögsebességének nagysága?   ? Kidolgozás:-

  6 02  54,25rad / sec .

Megoldás:

3.7. példa ___________________________________________________________________ [3. 402.o.] Az ábrán látható sima, elhanyagolható tömegű cső belsejében tökéletesen simának feltételezett felületek között m tömegű testet helyeztünk el. A testet a csővel c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugó köti össze. A keretet a vízszintes síkhoz rögzített koordinátarendszerhez képest U  U 0 sin t törvényszerűség szerint mozgatjuk. Tegyük fel, hogy a tömeg csak a gerjesztett rezgésrésznek megfelelően mozog. Nyugalmi állapotban a c rugóállandójú rugó erőmentes. Adott: m ; c ;  ; U0 .

Feladat: Ábrázoljuk a rugóban ébredő periodikusan változó erő amplitúdóját  függvényében. F0 ( )  ? Megoldás:

F0 ( )  

U 0 2 c( 02   2 )

3.8. példa ______________________________________________________ MCD [5. 77.o.] [3. 403.o.] A B-D elhanyagolható tömegű, merev rúd „B” végét helytálló csuklóhoz rögzítettük, „D” végére pedig m tömegű pontszerű testet erősítettünk. A rúd „B” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül foroghat. Az ábra szerinti elrendezésben a rúdhoz c1 az m tömeghez rugóállandójú tömegtelennek tekinthető rugók c2 kapcsolódnak. A c2 rugóállandójú rugó „E” végét függőleges egyenesen y  y0 sin t törvényszerűség szerint mozgatjuk. A rezgőrendszer a vízszintes síkban végzi a mozgását. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adatok: m  100kg ; c1  0,001cm / N ; c2  0,0005cm / N ; y0  5cm ;   31,4rad / sec . Feladat: A. Határozza meg a tömeg gerjesztett lengésének amplitúdóját. B. Mekkora a c2 rugóban ébredő maximális erő számértéke? Fmax  ? C. Rajzolja fel jelleghelyesen a gerjesztés és a válasz szinorját. Kidolgozás: Válasszuk elmozdulás koordinátának a tömegpont x elmozdulását (kis  szögekre). 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

35 Rugóállandó helyett rugómerevséggel számolunk: s1  Kinematikai kapcsolat: x1  x / 2 . Tömegpont kinetikus energiája 1  T  m  x 2 , 2 A két rugó potenciális energiája:

1 1  1000 N / cm ; s2   2000 N / cm . c1 c2

T  m  x , x



d T  m  x . dt x

U  s1 1 2 1 1  x 1 1s       s2   x s1 x1  s2 x 2  s1    s2 x 2   1  s2   x 2 x  4 2 2 2 2 2 2 4   Homogén mozgásegyenlet: Sajátkörfrekvencia: s1  s2  s1  0  4  47,43rad / sec mx    s2   x  0 m 4  Inhomogén mozgásegyenlet s  mx   1  s2   x  s2 y0 sin t 4  Megoldást feltételezzük x(t )  x0 sin t alakban, behelyettesítjük fenti egyenletbe: 2

U  U1  U 2 

s    2 mx0 sin  t   1  s2   x0 sin  t  s2 y0 sin  t 4  s    2 mx0   1  s2   x0  s2 y0 Egyszerűsítés után: 4  s2 s 2 y0 m Ebből x0 kifejezve: x0   y0 2 s  1      02 2   m    s2  4  (A képletben az „ x0 ” a rúd „D” végpontjának függőleges irányú maximális elmozdulása, állandósult állapot feltételezésével.) Megoldás: A. A tömeg gerjesztett lengésének amplitúdója x0  7,911cm B. Fmax 

y0  x0 5  7,91   5822 N c2 0,0005

C. A két szinor egymással fázisban van,  körfrekvenciával forognak a komplex síkon az origó körül. A gerjesztés szinorának amplitúdója y0  5cm , a válasz szinorának amplitúdója x0  7,911cm x 7,911cm. 3.9. példa ___________________________________________________________________ [3. 404.o.] Az ábrán tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett, pontszerűnek tekinthető m tömegű test és a hozzá csatlakozó c rugóállandójú elhanyagolható tömegű rugóból álló rezgőrendszer modellje látható. F Az m tömegre Fg  F0 sin  t  0 sin 3 t törvényszerűség 3 szerint változó gerjesztő erő működik. Adott:

m ; c ; F0 ;  

0

. 2 Feladat: Határozza meg és ábrázolja a mozgást leíró differenciálegyenlet alapján az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását megadó függvényt. xinh. part (t )

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

36 Megoldás: Ellenőrizni

3.10. példa __________________________________________________________________ [3. 405.o.] Az egyik végén befogott, tömegtelennek tekinthető  hosszúságú tartó, mint c rugóállandójú laprugó „B” jelű végéhez csuklósan csatlakozik az R hosszúságú, elhanyagolható tömegű rúd. A „BE” rúd „E” jelű végére, m0 tömegű, pontszerű testet rögzítettünk. A B csuklóponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül az R hosszúságú rúd állandó 0 szögsebességgel forog. Feltesszük, hogy a laprugó hosszirányban mereven viselkedik. A laprugó „B” jelű végének elmozduláskoordinátáját jelöljük y -nal. (A mozgás a vízszintes síkban történik) Adott: m ; c ; R ; 0 . Feladat: Határozza meg a vázolt modell „B” pontjának y koordinátáját az idő függvényében, állandósult rezgési állapot figyelembevételével. y (t ) Kidolgozás:F0 m0 R02 Megoldás: F0  m0 R02 y (t )  sin  t  sin 0t 0 2 2 1 m0 ( 0   )  m002 c 3.11. példa __________________________________________________________________ [3. 406.o.] Az m tömegű homogén tömegeloszlású rúd „O” végpontja helytálló csuklóhoz kapcsolódik. A rúd a rajz síkjára merőleges „O” csuklón átmenő tengely körül forgórezgéseket végezhet a vízszintes síkban. A rúd „B”, „O” és „D” jelű pontjához c0 , c1 , c2 , és c3 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető rugók kapcsolódnak. A c3 rugóállandójú rugó „E” jelű végét





y  y0 sin  t törvényszerűség szerint mozgatjuk. Az „O” jelű csapágyat simának tekintjük. Az ábra szerinti helyzet egyensúlyi állapotot jelent, itt a rugók erőmentesek. Adott: m ; c0 ; c1 ; c2 ; c3 ;  ; y0 ;  . Feladat: A. Határozza meg az OB rúd „O” csapja körül végzett forgórezgésének rezgésidejét (T  ?) A gerjesztett rezgés vizsgálatnál az állandósult állapotot vegyük tekintetbe. B. Milyen körfrekvencia esetén lép fel rezonancia a  koordinátára vonatkozóan? (rez  ?) C. Határozza meg a

0 y0

hányadost állandósult lengésekre az  függvényében.

Kidolgozás:Megoldás:

3  1 2 2 2        m 2  c0 c1 c2 4c3  3.12. példa __________________________________________________________________ [3. 407.o.] A. T 

2

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

B. rez   0 

37 Az ábra szerinti rezgőrendszer  1 hosszúságú, c0 rugóállandójú, elhanyagolható tömegű, „A” végén befogott torziós tengelyből és „B” végpontján mereven hozzáerősített,  hosszúságú, merev, tömegtelennek tekinthető rúdból áll. Tételezzük fel, hogy az  1 tengely csupán a csavaró igénybevétel hatására szenved deformációt, a hajlítással szemben viszont „merev”. A BD rúd D végéhez egy m1  0 tömegű csapágyat erősítettünk, melyben az elhanyagolható tömegű EF rúd illeszkedik. Az „E” és „F” pontokban az EF rúdhoz mereven az ugyancsak elhanyagolható tömegű,  2 hosszúságú merev rudak kapcsolódnak, melyeknek végein m0 nagyságú pontszerű tömegek találhatók. Az EF rúd a D csapban  szögsebességgel forog. (A súlyerő hatásokat tekintsük a megoldásnál zérusnak.) Adott:  ;  1 ;  2 ; m0 ;  ; G csúsztató rugalmassági modulus, I p az AE rúd keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatéka. Feladat: Határozza meg a vázolt modell „D” pontjának y (t ) koordinátáját. (Csak a gerjesztett rezgésrészt vizsgáljuk.) Kidolgozás:1   2 Megoldás: ahol és  02  2 c0  1 . y (t )  22 sin  t , 2 I pG 2 c0 m0 0   3.13. példa __________________________________________________________________ [3. 408.o.] Az ábrán egy mechanikai elven működő műszer elvi vonalas vázlata látható. A műszer mutatójának tehetetlenségi nyomatéka az „A” ponton átmenő a rajz síkjára merőleges ideális csapágyazású tengelyre J AA . Az m tömegű testhez csatlakozó c rugóállandóval jellemzett rugót, valamint a hozzá kapcsolódó AD merev rudat tömegtelennek tekintjük. Az AD rúd a mutatóhoz mereven kapcsolódik. A modell a vízszintes síkban végezhet rezgőmozgást. A c rugó szabad vége a gerjesztés hatására U  U 0 sin  t törvényszerűség szerint mozog. Adott: m ; c ;  ;  ; U 0 ; J AA . Feladat: A. Írja fel a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenletet. B. Határozza meg az  gerjesztő körfrekvencia rezonanciaveszélyes értékét a  koordinátára vonatkoztatva. Kidolgozás:Megoldás: U0   2 2 B.  sin  t rez   0  ( J AA  m 2 )  c ( J AA  m 2 )  c ( J AA  m 2 )  c 3.14. példa __________________________________________________________________ [3. 409.o.] A.  

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

38 Az ábrán egy mérőműszer elvi vonalas vázlata látható. A berendezés egyrészt az OB jelű m tömegű, merev mutatóból áll, mely az „O” ponton átmenő és a rajz síkjárta merőleges tengely körül elfordulhat. Az „OB” rúdhoz a D csuklópontban egy zérus tömegű függőleges rúd közvetítésével kapcsolódik az ábra szerinti „A” keresztmetszeti területű dugattyú. A dugattyúház rögzített, a dugattyú és a dugattyúház között c rugóállandójú hengeres csavarrugó található. A mérőműszer mutatójának „B” jelű vége a dugattyúra működő p0  állandó nyomásnál u értékkel tér ki. A műszer rugózását az jellemzi, hogy p0  2MPa statikus nyomásnál az u  0,5cm . Adott:

t0  0,1sec ; 3

m  6 10 kg ;

p0  2MPa ;

A  1,6cm 2 ;

u  0,5cm ;

1  8cm ;

 2  2cm ;

  3,14rad / sec

Feladat: A. Számítsa ki a vázolt rezgőrendszer  gerjesztő körfrekvenciájának rezonanciaveszélyes értékét, ha a szelepre ható p nyomás nagysága p  p0 sin  t törvény szerint változik. (rez  ?)  x B. Határozza meg az 0 hányadost az függvényében. ( F0  p0  A) p0 0 Kidolgozás:Megoldás: 1 A. rez   0   80,32rad / sec 4 5 10  3,1 10 2 x B. R  0 p0

4. SZABAD CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK 4.1 példa ____________________________________________________________________ [3. 409.o.] A tökéletesen simának tekinthető vízszintes síklapra az m1 és m 2 tömegű pontszerű testeket helyeztük. A testekhez az ábrán látható módon „vékony” merev elhanyagolható tömegű, (b) jelű rudak kapcsolódnak csuklók segítségével. A rudak „A” és „E” jelű végét helytálló csuklóhoz erősítettük. Az m1 és m 2 testek közé c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető rugót és k csillapítási tényezőjű dugattyút iktattunk be. Az ábrán vázolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. Adott: m1 ; m2 ;  ; c ; k Feladat: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

39 A. Határozza meg az ábrán vázolt rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenletet. B. Mekkora a rezgőrendszer hozzárendelt körfrekvenciája? d  ? Kidolgozás: 9 A. (m1  16  m2 ) x1  9k  x1  x1  0 c B. A vizsgált rendszer (csillapítatlan) sajátkörfrekvencianégyzete: 9  02  (m1  16  m2 )  c A hozzárendelt (csillapított) körfrekvencia:

9 81k 2  k     (m1  16  m2 )  c 4(m1  16  m2 ) 2  2m  4.2 példa ____________________________________________________________________ [3. 373.o.] A tökéletesen simának tekinthető vízszintes síkra helyezett m tömegből c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek vett rugóból és k csillapítási tényezővel jelölt rezgéscsillapító szerkezetből álló rezgőrendszer modellje látható az ábrán.

d   02  

2

A rendszert a t0  0 időpontban az ábrán látható értelmű v0 kezdősebességgel rezgésbe hozzuk és azt tapasztaljuk, hogy a rezgést leíró x(t ) függvény amplitúdója 10 „teljes rezgés” után t  9 sec -ban a felére csökken. (A t0  0 időpontban legyen x  0 ). A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. Adott: m  0,02kg ; t  9 sec . Indítási feltételek: t  0 -nál x0  0 , x0  v0 . Feladat: Számítsa ki a csillapítóerő arányossági tényezőjét (csillapítási együtthatót). k  ? Kidolgozás: Könyvben Megoldás: k  0,0308N sec/ cm .

4.3 példa ____________________________________________________________________ [3. 377.o.] Az ábrán egy mérőműszer modellje látható. A mérőműszer mutatójának tehetetlenségi nyomatéka „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre J 00 , rugózása pedig olyan, hogy az „O”-n átmenő forgástengelyre működő M o nyomaték a mutató  0 elfordulását eredményezi. A mutatóhoz mereven kapcsolódik az elhanyagolható tömegű h hosszúságú merev kar, melynek „E” pontjához csuklósan csatlakozik a k csillapító dugattyú. A mutató csapsúrlódását zérusnak tekintjük. (A mozgás síkja a vízszintes sík.) A rajzolt állapot egyensúlyi, a co spirálrugó a vázolt alaphelyzetben nyomatékot nem fejt ki. A mutatót nyugalmi egyensúlyi helyzetéből 1  200 -kal kitérítve, az ábra szerinti, „A” kiinduló helyzetből kezdősebesség nélkül elengedve, a mutató az alaphelyzeten túllendül, majd ezt követően  2 -vel jellemzett „B” helyzetig jut el. A vizsgált rezgőrendszert enyhe csillapításúnak tekintjük. rad Adott: ; J oo  0,6 N sec2 cm ; c0  0,1 1  200 ;  2  20 . Ncm Feladat: A műszer J oo tehetetlenségi nyomatékú mutatóját kétszeres tehetetlenségi nyomatékú (2  J oo ) mutatóra cseréljük ki. A. Számítsa ki a modell rezgésidejét az eredeti mutató (T  ?) és a kicserélt mutató (T *  ?) esetében. B. Határozza meg a rezgéscsillapítás mértékét az eredeti mutató (  ?) és a kicserélt mutató (*  ?) esetében. 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

40 C. A rezgés említett jellemzői ( T * és * ) %-ban kifejezve milyen mértékben változnak a rugócsere következtében? Kidolgozás: Könyvben 4.4 példa ____________________________________________________________________ [3. 382.o.] Az ábrán látható rezgőrendszer összes rúdja merev, „vékony”, elhanyagolható tömegű. A c rugóállandóval jellemzett rugó tömegtelennek tekinthető. Az „O” csuklóval megfogott rúdnak van csak tömege. Az „O”-val jelölt és a rajz síkjára merőleges forgástengelynél ébredő csapsúrlódást zérusnak vesszük. A „DE” jelű derékszögben meghajlított merev rúd a „G” jelű sínben súrlódásmentesen mozoghat. Az „E”-ben a k 2 csillapítási tényezőjű munkahenger házát a „DE” derékszögben meghajlított merev rúdhoz erősítettük.

A „DE” rúd az „AB” rúdhoz a „D” csukló közvetítésével kapcsolódik. Az „AB” rúd „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges forgástengelyre számított tehetetlenségi nyomatékát jelöljük J oo -val. A mozgás a vízszintes síkban történik. Adott: J oo ;  1 ;  2 ;  3 ;  4 ; c ; k1 ; k 2 . Feladat: Írja fel a rezgőrendszer mozgását jellemző differenciálegyenletet! Kidolgozás:  4 Megoldás: J oo  k112  k2 ( 3   2 )   3  3  c 4.5 példa ____________________________________________________________________ [3. 383.o.] Az R sugarú, m tömegű, homogén tömegeloszlású korong az „A” pontban a rajz síkjára merőleges tengely körül forgórezgéseket végezhet. A koronghoz az ábra szerinti elrendezésben a c és c0 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett hengeres csavar- és spirálrugó csatlakozik, valamint csillapítási tényezővel jellemzett rezgéscsillapító. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A rendszert enyhe csillapításúnak tekintjük. Adott: m ; R ; b ; k ; c0 ; c . Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer csillapított körfrekvenciáját. (d  ?) Kidolgozás:Megoldás: 2

 2  1 b 2  kR2 k2   d       2   2  J AA m2  mR  c0 c  4.6 példa ____________________________________________________________________ [3. 383.o.]

 02

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

41 Egy rezgőrendszer a sebességével egyenesen arányos csillapítással rezgőmozgást végez. A q val jelölt elmozdulás-koordináta értékeket mérések alapján állapítottuk meg. Ennél a csillapításnál az egymást követő azonos értelmű koordináták számértékének logaritmusai számtani sorozatot képeznek. A méréssel meghatározott q koordináták számértékeinek logaritmusait a t idő függvényében az ábrán láthatjuk. Adott: m  0,765kg a rezgőrendszer tömege T  2,07 a rezgésidő mért értéke.

A q koordináták számértékeinek logaritmusai: ln q1  3,85 ln q2  3,74 ln q3  3,45 ln q4  3,34 ln q5  3,05 Feladat: A. Határozza meg a koordinátához tartozó csillapítási tényezőt. kq  ?

ln q6  2,94

ln q7  2,65

B. Számítsuk ki a rezgőrendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciáját.  0  ? C. Mekkora a q elmozdulás-koordinátához tartozó rugóállandó? cq  ? Kidolgozás:Megoldás: 1 2m k  rad B.  0  d2   C. cq  ?   3,07 T0 sec m 02  2m  4.7 példa _____________________________________________________________________ [2. 81.o.] A vázolt lengőrendszer m tömege vízszintes sima síkon mozoghat. A mozgásnak indított és magára hagyott rendszer lengésének amplitúdója 5 teljes lengés után a kezdeti érték egytizedére csökken. Adatok: m  5kg ; s  104 N / m . Feladat: A. Állapítsa meg a k csillapítási tényezőt. B. Írja föl a mozgás differenciálegyenletét. C. Írja föl a mozgásegyenletet, ha a kezdeti feltételek: t0  0 ; x(0)  5cm ; v(0)  0m / s Kidolgozás: Megoldás: 4.8 példa ____________________________________________________________________ [3. 385.o.] 2

A. k q 

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

42 Az ábrán egy mutatós műszer elvi vonalas vázlata látható. Az „A”-ban csapágyazott, a rajz síkjára merőleges tengely súrlódásmentes. A műszer tekercsét visszatérítő rugó rugóállandója c0 . A tekercs tehetetlenségi nyomatéka az „A”-n átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre J AA . A mutató, a spirálrugó és a műszer többi része tömegtelen. A modell enyhe csillapítású. Adott: J AA  4 108 Ncm sec2 ; R  0,4cm ; c0  1 106 rad / Ncm

Feladat: A. Számítsa ki a rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciáját.  0  ? B. Enyhe csillapítás esetén milyen nagyságú k csillapítási tényezőt kell választani ahhoz, hogy egy teljes rezgési periódus ideje a csillapítás nélküli rezgésidő 1,1 -szerese legyen? Kidolgozás:1 rad Megoldás: A.  0  .  0,5 sec J AA  c0

 02

4 2 R 4 Ncm  2,42 10 5 4 2 2 sec R 1,1  T 4.9 példa ____________________________________________________________________ [3. 386.o.] Az sugarú, tömegű, homogén R m tömegeloszlású korong csúszásmentesen gördülhet a vízszintes síkon. A koronghoz két darab c rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekintett csavarrugó kapcsolódik az ábra szerinti elrendezésben. A koronghoz kapcsolódik még az ábrán rajzolt módon a (b) jelű „vékony” merev, tömegtelennek tekintett rúd, amely az „O” pontjában a rajz síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. A rúd „A” jelű végpontja k csillapítási tényezővel jellemzett csillapítórendszerhez csatlakozik. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A rezgőrendszert enyhe csillapításúnak tételezzük fel. Adott: m , c , R , k . Feladat: A. Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját.  0  ? B. Mekkora a csillapított rezgés körfrekvenciája? d  ? Kidolgozás:-

B. k  J AA



2

100 k  B. d   02    . 27  m  c  3m  4.10 példa ____________________________________________________________________ [2. 82.o.] Az m tömegű, R sugarú korong az O ideális csukló körül foroghat. A kerületéhez csuklóval kapcsolt rugók merevsége egyenlő. A lengéscsillapítót a koronghoz mereven rögzített „a” hosszúságú kar A pontjához ugyancsak csukló kapcsolja. Adatok: m  4kg , R  0,5m , a  0,3m , c  2 104 m / N .

Megoldás:

A.  0 

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

43 Feladatok: A. Állapítsa meg a k csillapítási tényezőt úgy, hogy a megindított és magára hagyott lengőrendszer mozgása az „aperiódikus határeset”-nek feleljen meg. B. Rajzolja meg a kitérés-idő függvényt  (t ) -t a 0  t  5 sec intervallumban, ha az indítási feltételek: x(0)  0 , a A (0)  4 / m / s 2 .

4.11 példa ___________________________________________________________________ [3. 387.o.] A (b) jelű merev, elhanyagolható tömegű rúd „O” pontjában a rajz síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. Az ábra szerinti elrendezésben a (b) jelű elhanyagolható tömegű merev rudak „B” és „D” végpontjához c1 és c2 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető hengeres csavarrugók, az „E” ponthoz k csillapítási tényezővel jellemzett csillapítóhenger, és „F” pontjához pedig egy m tömegű pontszerűnek tekinthető test kapcsolódik. Az ábra a nyugalmi helyzetet mutatja, itt a rugók erőmentesek. (A mozgás síkja a vízszintes sík.)

Adatok:

1  19cm , c0  0,05rad / Ncm ,

 2  18cm , c1  0,02cm / N ,

k  0,05N sec/ cm ;

m  2 102 N sec2 / cm .

 3  18cm , c2  0,05cm / N

 4  12cm , vD0  2cm / sec ,

Feladat: A. Írja fel a rezgőrendszer differenciálegyenletét és a differenciálegyenletet megoldva határozza meg a BD rúd  szögelfordulás koordinátájának időtől való függését, ha t  0 időpontban   0 helyzetben a B-D rúd D végpontjának az ábrán látható vektorú v D 0 a kezdősebessége.  (t )  ? B. Határozza meg a rezgőrendszer hozzárendelt rezgésidejét. T  ? Kidolgozás:Megoldás: k  24

 v A.  (t )  D 0  e 2 J oo sin d t 1  v

ahol

d 

1  1 12  22  k 2 24      26,6rad / sec m 23  c0 c1 c2  4m 2 23

tehát  (t )  3,9 103  e7975t  sin(26,6  t ) ELLENŐRIZNI !!!!!!!! 2 B. Td   0,236 sec . d 4.12 példa ___________________________________________________________________ [3. 389.o.] A (b) jelű merev elhanyagolható tömegű rúd „A” végét a rajz síkjára merőleges, ideális csapágyazású tengelyhez kapcsoltuk. A (b) jelű rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben m1 és m2 tömegű pontszerű testet, valamint c0 és c rugóállandóval jellemzett elhanyagolható tömegű spirál és csavarrugókat, továbbá csillapítási tényezőjű k munkahengert erősítettük. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adatok: 1  20cm ,

 2  20cm ,

 3  10cm ,

c  0,05cm / N ,

m2  2 N sec2 / cm . m1  4 N sec2 / cm , k  0,05N sec/ cm , c0  0,02cm / N Feladat: Határozza meg a, hogy a vázolt rezgőrendszer erős, vagy enyhe csillapítású-e? Kidolgozás:Megoldás: A vizsgált rezgőrendszer gyengén csillapított, mert 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

44 2

 k  12    4,6 10 4 .  68,77  10     2  J AA  4.13 példa ____________________________________________________________________ [2. 83.o.] Az ábrán látható lengőrendszer adatai: Adatok: m  2kg , c  3 103 m / N ,

 02

2

c0  2 104 rad / Nm ,   1m , a  0,3m Feladatok: A. Mekkora a k csillapítási tényező, ha a két teljes lengés után az amplitúdó a kezdeti érték 0,05 -szörösére csökkent? x(t  2T )  0,05 x(t ) B. Határozza meg a rendszer lengésidejét. C. Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a rúd tömegét a kétszeresére növeljük? 4.14 példa ____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A vázolt fizikai inga lengését csak a levegő – sebességgel arányosnak tekinthető – ellenállása csillapítja. Ha az ingát 0  50 szélső helyzetből lökés nélkül indítjuk mozgásnak, 60 teljes lengés után áll meg. (Tekintsük „állónak” az ingát, ha kitérése 10 szögpercnél kisebb.) Adatok: m  5kg ,   0,7m , R  0,3m Feladat: Mekkora k csillapítási tényezővel jellemezhető ebben az esetben a légellenállás hatása?

5. GERJESZTETT CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK 5.1 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozzuk meg az  gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.

5.2 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

45 állapotban. C. Határozzuk meg az  gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.

5.3 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozza meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozza meg az  gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.

5.4 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozza meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozza meg az  gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.

5.5 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozzuk meg az  gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.

5.6 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] Az ábrán vázolt rendszer az  hosszúságú, elhanyagolható súlyú és m tömegű merev rúdból és az ennek végén rögzített tömegű golyóból áll. A rúd „A” végpontjában a függőleges helyzetű, rögzített csaphoz síkcsuklóval kapcsolódik és ekörül a vízszintes síkban forgó mozgást végezhet. P1 pontjában a csillapítási tényezőjű folyadékfék kapcsolódik a rúdhoz, és az M g  M 0 cos  t nyomaték terheli. A t0  0 időpillanatban a rúd helyzetét a 0  0 szög jellemzi, ebben a pillanatban a rugó terheletlen. 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

46 Feladat: Írja fel a mozgásegyenletet úgy, hogy a választott általános elmozduláskoordináta az A. x legyen. B. x1 legyen. C. x2 legyen. D.  2 legyen. Kidolgozás:M k 2 S 2 Megoldás. A. mx  22 x  21 x  0 cos  t D. m 2  k 22  S12  M 0 cos  t    5.7 példa ____________________________________________________________________ [1. 322.o.] Az ábra két tömegű, egy szabadságfokú rendszert ábrázol. A függőleges rúdhoz k tényezőjű folyadékfék kapcsolódik. Mindhárom rúdnak elhanyagolható a tömege és a tehetetlenségi nyomatéka, és tökéletesen merevnek tekinthető mindegyik. k Az ábra szerint M g  M 0 cos  t gerjesztő-nyomaték terheli a rendszert. A gerjesztő-nyomatékot a P0 és B pontokban ható – erőpárt alkotó M Fg  F0 cos  t  0 cos  t 0 nagyságú erőkkel állítjuk elő. Feladat: Írja fel a rendszer mozgásegyenletét. Kidolgozás: Megoldás a könyvben 5.8 példa ________________________________________________________________________ [F 1.] Az ábrán vázolt r sugarú, m1 tömegű, homogén tömegeloszlású és sima felületű korong mozgásállapotát a súlypontjához rendelt Ω  0 c1  c1  i P0 kinematikai vektorkettős jellemzi abban a t0  0 időpillanatban, amikor nekiütközik a nyugalomban levő m2 tömegű,  hosszúságú, homogén tömegeloszlású prizmatikus rúdnak. A rúd az ütközés hatására adott 2 kezdeti szögsebességgel mozgásnak indul, és kis kitérésű lengéseket végez az ábrán vázolt függőleges síkban. Mozgását az "A" ponton átmenő vízszintes tengely körüli szögelfordulását leíró  (t ) koordinátával jellemezzük. Feladat: 1.) Számítsa ki a csillapított rendszer rezgésének periódusidejét. (T  ?) 2.) Írja fel a lengőrendszer ( ütközés utáni ) mozgástörvényét!  (t )  ? 3.) Számítsa ki a.) a rúd maximális szögkitérését,  max  ? b.) a csillapító erő maximális értékét. Fd

max

?

4.) Határozza meg az m1 tömegű test ütközés előtti sebességét! c1  ? Adatok:

m1  8kg m2  6kg ,   1,2m ,

k *  1 (ütközési tényező)  (0)  0  0 ,  (0)  2  3rad / sec ,

k  48Ns / m , st  396 Nm / rad

g  9,81m / s 2 ,

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

47 5.9 példa _____________________________________________________________________ [2. 85.o.] Az ábrán vázolt, vízszintes síkban mozgó lengőrendszer mozgástörvénye állandósult állapotban (a saját-lengésrész lecsillapodása után)  (t )  0 cos(t   ) alakban írható, ha a rúd szögelfordulását választjuk független változónak. (Ha pl. a „B” pont elmozdulását vesszük fel független változónak, akkor e pont mozgástörvénye yB (t )  yB0 cos(t   ) alakú, ahol nyilván yB 0    0 )

Adatok:

m  2kg k  81,77 Ns / m ,

  0,8m F0  40 N .

c1  3 104 m / N ,

c2  5 104 m / N ,

Feladat: A. Mekkora a gerjesztő hatás  körfrekvenciája, ha a gerjesztett mozgás amplitúdója 0  0,1rad  5,72960 (Vagy y0  0,08m )? B. Mekkora ebben az esetben a gerjesztő hatás és a gerjesztett lengés fáziskülönbsége? C. Mekkora a rugókat feszítő legnagyobb erő? D. Mekkora a gerjesztő hatás átlagos teljesítménye? E. Mekkora a csillapítóerő legnagyobb értéke és a csillapítás átlagteljesítménye? F. Ha a gerjesztő hatást hirtelen megszüntetjük ( y g  0 lesz), hány lengés után csökken a kitérés yB  0,1mm -re? G. Mekkora  I gerjesztő körfrekvenciánál lesz a „B” pont kitérése éppen y0 nagyságú? (Lehet-e a „B” pont kitérése y0 -nál kisebb?) H. Feltéve, hogy a lengőrendszerünk lineáris differenciálegyenlete a rezonanciában kialakuló nagyobb kitérések esetén is érvényes marad, állapítsuk meg  0 értékét, ha    0 . (Az eredmények alapján ítéljük meg, hogy valóban lineáris marad-e a differenciálegyenlet?) I. Közelítőleg mennyi idő alatt alakulhatna ki rezonancia esetén ilyen nagy kitérésű lengés? 5.10 példa _______________________________________________________________________ [F 2.] Adatok: m  1,2kg k  28Ns / m s  104 N / m , st  180 Nm / rad ,

  0,4m , r0  10,08mm .

Feladat 1. Írja fel a lengőrendszer mozgásegyenletét! 2. Feltételezve, hogy a rendszer rezonanciában van, határozza meg az állandósult rezgés szögkitérésének maximum értékét! 3. Az állandósult állapotban számítsa ki a csavarrugóban ébredő erő maximumát!

5.11 példa ____________________________________________________________________ [2. 86.o.]

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai

48 A vázolt lengőrendszer jelű rúdjainak tömege elhanyagolható. Az m1 és m2 tömegek anyagi pontnak tekinthetők. A mozgás síkja vízszintes. Adatok: m1  2kg m2  3kg   0,3m c1  0,01cm / N , c2  0,005cm / N , k  10 Ns / m , y0  1,5cm . Feladatok: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Lehet-e állandósult állapotban az m2 tömeg kitérése 6cm , és ha igen, milyen  értéknél? C. Ha a csillapítást elhanyagoljuk,    /  0  0,8 -nál mekkora a c2 állandójú rugót feszítő legnagyobb erő? D. Mekkora a c2 állandójú rugót feszítő erő a csillapítást is figyelembe véve?

-.-

01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai