Lengéstan S 01 Példatár SDOF Pápai
September 11, 2017 | Author: Pápai Ferenc, Dr. | Category: N/A
Short Description
Példatár. Egy szabadsági fokú (SDOF) lengőrendszerek. Csillapítatlan - csillapított. Szabad - gerjesztett....
Description
MECHANIKA „J”
S 01
S 01 Példatár Dr. Pápai Ferenc 2016.
LENGÉSTAN PÉLDATÁR EGY SZABADSÁGFOKÚ RENDSZEREK Tartalom 1.
KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK ELEMEI ..................................................... 1 1.1.
Tehetetlenségi nyomaték ................................................................................................................ 1
1.2.
Potenciális energia .......................................................................................................................... 3
2.
CSILLAPÍTATLAN SZABAD RENDSZEREK .............................................................................. 3
3.
CSILLAPÍTATLAN GERJESZTETT RENDSZEREK................................................................ 31
4.
SZABAD CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK .................................................................................. 38
5.
GERJESZTETT CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK ..................................................................... 44
Ez a példatár az irodalomjegyzékben feltüntetett források alapján lett összeállítva Jelölések c [m / N ]
rad Nm s N / m f 1 / sec
ct
j 1
rugóállandó torziós rugóállandó rugómerevség rezgésszám, más néven: másodpercenkénti rezgésszám (néhol n -nel jelölve) képzetes egység
Alapképletek: Körfrekvencia, periódusidő: 2 f
2 T
Steiner tétel: J Q J S m t 2 SDOF csillapítatlan szabadlengés körfrekvenciája: 0
s [rad / sec] m
1. KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK ELEMEI 1.1. Tehetetlenségi nyomaték [http://hu.wikipedia.org/wiki/Tehetetlenségi_nyomatékok_listája] Forgó mozgást végző J mr 2 tömegpont Vékony hengerpalást nyitott végekkel, r sugárral és m J mr 2 tömeggel
Ennél a képletnél feltételezzük, hogy a palást vastagsága elhanyagolható. A következő test speciális esete r1 r2 -re.
D:\_sajáttárgyak\_mechanika\_5 MSC Mechanika J\_példatárak HF kiírások\01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai.docx
2 Vastag hengergyűrű nyitott végekkel, belső sugár r1 , külső sugár
r2 , hossz h és tömeg m.
Tömör henger r sugárral, h magassággal és m tömeggel.
mr 2 Jz 2
Vékony tömör tárcsa r sugárral és m tömeggel.
mr 2 Jz 2
Jx Jy
Jx Jy Tömör gömb r sugárral és m tömeggel. Gömbhéj r sugárral és m tömeggel.
Egyenes körkúp r sugárral, h magassággal és m tömeggel Tömör téglatest h magassággal, w szélességgel, d hosszúsággal, és m tömeggel
1 m r12 r22 2 1 J x J y m 3 r12 r22 h 2 12 Jz
Ez az előző test speciális esete r1 0 -ra.
1 m 3 r 2 h2 12
mr 2 4
2mr 2 J 5
J
2mr 2 3
3 mr 2 10 3 r2 J x J y m h 2 5 4
Jz
1 J h m w2 d 2 12 1 J w m h2 d 2 12 1 J d m h 2 w2 12
Rúd L hosszal és m tömeggel
J center Rúd L hosszal és m tömeggel
J end
m L2 12
m L2 3
Hasonlóan tájolt kocka élhoszal:
J CM
s
ms 2 6
Ez a képlet feltételezi, hogy a rúd végtelenül vékony (de merev) huzal. Ez speciális esete az előző testnek w L és h d 0 esetén. Ez a képlet feltételezi, hogy a rúd végtelenül vékony (de merev) huzal. Homogén tömegeloszlású egyenes prizmatikus rúd
Gördülő tárcsa kinetikus energiája A gördülő tárcsa kinetikus energiája két taggal írható le. Egyik tag a tárcsa súlypontja haladó mozgásának sebességéből adódik, a másik tag a tárcsa tengelye körüli elfordulásának szögsebességéből. 1 1 T J 2 m x 2 2 2 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
3 mr 2 A gördülés miatt a szögelfordulás és a középpont elmozdulás közötti kapcsolat: x r . Ebből x / r a szögsebesség pedig x / r . Behelyettesítve a kinetikus energia összefüggésébe. 2
A tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: J
2
1 m r 2 x 1 1m 2 1 1 3 m 2 T m x 2 x m x 2 x 2 2 r 2 2 2 2 2 2 J
2
Tömegredukció [8, 29] Rugómerevség
y1 F
3 3IE
1.2. Potenciális energia Kis szögekre
sin
cos 1
2
2 Nyugalmi helyzetben függőleges rúd potenciális energiája I. U ( ) m g (1 cos ) U ( ) m g sin , de sin , ezért: U ( ) m g .
(1)
Másik megközelítésben, a cos 1 2 / 2 egyenletből 1 cos 2 / 2. Ezt behelyettesítve (19-be a
helyzeti enrgia kifejezésére kapjuk U ( ) m g 2 / 2 . Ennek szerinti parciális deriváltja: U ( ) m g
2. CSILLAPÍTATLAN SZABAD RENDSZEREK 2.1 __________________________________________________________________________________ Valamely csillapítatlan lengőrendszer szabad mozgásának időfüggvénye x(t ) 3 cos(2 t ) 2 sin(t ) . Mértékegység: [ x(t )] cm . Az általános elmozduláskoordinátára redukált rugómerevsége s 1000 N / m . Kérdések: - Mi a sebességváltozásának és gyorsulásának időfüggvénye? - Milyen kezdeti elmozdulás és kezdeti sebesség értékkel lett elindítva a rendszer a t 0 időpillanatban? - Mozgás közben mennyi a rendszer összenergiája? - Mennyi a mozgás percenkénti lengésszáma? 2.2. példa ___________________________________________________________________ [4, 212. o.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
4 A matematikai inga (mint rendszer) egyetlen anyagi pontból áll, egyszabadságfokú, holonom és konzervatív. Az általános elmozduláskoordináta q . Feladat: A. Írja fel a matematikai inga mozgásegyenletét. B. Határozza meg a lengésifejét kis kitérésekre. Kidolgozás: A példa megoldásához a Lagrange egyenletet írjuk fel. A kinetikus energia a szögsebesség függvényében 1 1 (1) T ( , ) mv2 m( ) 2 . 2 2 A potenciál a függvényében, ha U 0 értékét a z 0 -nak megfelelő helyzetben vesszük fel (2) U ( ) m g z mg cos . A Lagrange egyenlet d T T U (3) 0. dt Képezzük a fenti összefüggésben szereplő mennyiségeket: d T U m 2 sin , mg 2 sin dt ezeket (3)-ba helyettesítve: (4) m 2 mg sin 0 .
A (4) egyenletet elosztva m 2 -tel kapjuk a mozgásegyenletet g sin 0 B. Lengésidő kis kitérésekre: Kis kitérésekre sin , ezt az (5) mozgásegyenletbe helyettesítve: g 0 A második tag együtthatójából a lengés körfrekvenciája g , 0
(5)
(6)
(7) a lengés periódusideje pedig
T0
2
0
2
. g
(8)
2.3. példa _____________________________________________________________________ [2, 77.o] A vázolt lengőrendszer a vízszintes síkban mozoghat. Az ábrán látható helyzetben a rugók erőmentesek. Az AB rúd merev, az A csukló súrlódásmentes. rad m Adatok: m 2 kg ; ; c0 0,01 c 2 10 3 ; 1,2 m Nm N Kérdések: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Számítsa ki a lengésidőt. C. Milyen c állandójú rugóval kell a c állandójút lecserélni, hogy a lengésidő pontosan T0 0,5 s legyen? 2.4. példa ___________________________________________________________________ [2, 78.old.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
5
A lengőrendszer függőleges síkban végezhet mozgást, az ábra szerinti háromféle elrendezésben. A rajzolt helyzet minden esetben a rugó erőmentes állapotának felel meg. A rendszer elemeinek mechanikai adatai azonosak az előző feladatba megadottakkal. Kérdések: 1. Végezhet-e a rajzolt helyzet körül a rendszer kis kitérésű lengéseket? 2. Ha igen, írja föl a differenciálegyenletet és számítsa ki a lengésidőt. 3. Hasonlítsa össze az eredményeket az előző feladat eredményeivel. 2.5. példa ________________________________________________________________ [3, 334. oldal] Az m tömegű, homogén tömegeloszlású merev rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandójú tömegtelennek tekintett hengeres csavarrugók csatlakoznak. A rúd " A" ” jelű vége csuklósan rögzített a rajz síkjára merőleges helyzetű tengely körül elfordulhat, "B" jelű vége pedig a c2 rugóállandóval jellemzett csavarrugóhoz csuklósan kapcsolódik. az " A" tengely súrlódásmentes. A rajzolt helyzet egyensúlyi és a rugók erőmentesek. Adott: m ; 1 ; 2 ; c1 ; c2 . Feladat: Határozza meg a vázolt rendszer sajátkörfrekvenciáját. Kidolgozás: Elmozduláskooordinátául -t választva a rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenlet az AA tengelyre felírt forgómozgás alapegyenlete: 1 1 (1) J AA 12 2 c1 c2 ahol J AA a rúd tehetetlenségi nyomatéka az " A" jelű csuklón átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatva. 1 (2) J AA m 2 3 Az (1) egyenletet 0-ra redukálva, -t kiemelve és (2) alapján J AA -t behelyettesítve: 2 2 1 2 m 1 0 c1 c2 3 A együtthatójával az egyenletet végigosztva: 3 2 2 2 1 0 m c1 c2 A együtthatójából vont négyzetgyök a vizsgált rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája:
(3)
(4)
3 12 2 (5) m 2 c1 c2 2.6. példa ___________________________________________________________________ [3, 335.o.]
0
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
6 Az ábrán látható R1 és R2 sugarú m1 és m2 tömegű homogén tömegeloszlású korongok az O1 és O2 jelű, a rajz síkjára merőleges tengelyek körül forgórezgéseket végeznek. A két tárcsa egymáson csúszásmentesen gördül. Az R1 sugarú koronghoz co , az R2 sugarúhoz pedig co rugóállandóval jellemzett tömegelemnek tekintett spirál illetve csavarrugók O2 O1 csatlakoznak. Az és csapágyak súrlódásmentesek. A rajzolt helyzet egyensúlyi és a rugók erőmentesek. Adott: m1 ; m2 ; R1 ; R2 ; c0 ; c . Feladat: Határozzuk meg a vázolt forgórezgéseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát. n ? Kidolgozás: Könyvben 2.7. példa ___________________________________________________________________ [3, 338. o.] A vázolt lengőrendszer egyszeres vonallal jelölt rúd-elemei merevek, de elhanyagolható tömegűek. A csuklós kapcsolatok és a kényszerek súrlódásmentesnek tekintendők. Adatok: m1 2kg ; m2 0,6kg ; a 20cm ; b 50cm ; c 1cm / N
Feladat: Számítsa ki vázolt rezgőrendszer szabad rezgésének rezgésidejét. T0 ? Kidolgozás: Könyvben Megoldás: T0 0,43 sec 2.8. példa ___________________________________________________________________ [3, 340. o.] A tömegtelennek, de merevnek tekintett pálca " A" végpontja csuklósan rögzített, míg a másik végére egy pontszerűnek tekinthető tömegű testet függesztettünk. A pálcához, az " A" felfüggesztési ponttól "" távolságban 2db "c" -vel jelölt azonos rugóállandójú, de tömegtelennek tekintett rugó csuklósan kapcsolódik. Az ábra szerint kialakított rezgőrendszer a függőleges síkban kis kitéréssel rezgőmozgást végez. A vázolt helyzet az egyensúlyi helyzetnek tekintendő. Adott: m , , a , c , g . Feladat: Határoza meg a rezgő inga másodpercenkénti rezgésszámát. f 0 ? Kidolgozás: Jelöljük U1 ( ) -vel a tömegpont helyzeti energiáját, mely U1 (0) : 0 , és U 2 ( ) -vel a rugókban felhalmozott potenciális energiát.
U1 ( ) mg a (1 cos ) ;
U 2 ( )
1 2 2 2 ; 2 c
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
U1 ( ) mg a sin mg a U 2 ( ) 2 2 c
T ( )
1 ma2 2 2
Mozgásegyenlet:
Megoldás: Frekvencia:
T ( ) ma2 2 ma2 mg a 2 0 c
f0
1 0 T0 2
d T ( ) ma2 dt
7
1 2 2 mga 2 ma c 2
2.9. példa _____________________________________________________________________ [2,78.o.] Határozza meg a vázolt egyszabadságfokú összetett lengőrendszer sajátlengéseinek frekvenciáját. A rendszer vízszintes síkban mozog. m2 1kg ; Adatok: m1 2kg ; 0,5m ; cm c1 6 105 m / N ; c2 3 10 3 N A. Ha az A pont körül forgólengést végző merev rúd tömege elhanyagolható. B. Ha a merev rúd tömege: m3 1 kg , az egyéb adatok változatlanok. Kidolgozás:Megoldás:2.10. példa ___________________________________________________________________ [3, 341.o.] Az m tömegű és c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugóból áll és az ábrán vázolt rezgőrendszert függőleges helyzetben helyezzük oly módon, hogy a rugó „ A ” végét befogtuk. A modellt rezgésbe hozzuk úgy, hogy m tömegét nyugalmi helyzetéből függőleges irányban kitérítjük. A rendszer mért rezgésszáma n0 . Erőmentes állapotban a c rugó 0 hosszúságú. Az m tömeggel együtt az ábrán látható függőleges helyzetben hosszúságúra nyúlik. 1 n0 180 Adatok: m 0,2kg ; ; perc 0 20cm (erőmentes rugóhossz) Feladat: A. Határozzuk meg a modell ( 0 ? ) sajátkörfrekvenciáját. B. Számítsuk ki a rugó rugóállandóját. c ? C. Mekkora lesz a rugó hossza nyugalmi állapotban? Kidolgozás: Nincs a könyvben Megoldás: 2 n0 A. Sajátkörfrekvencia 0 18,64rad / sec . 60 1 m 0,0141 . B. Rugóállandó c 2 N m 0 C. Rugó megnyúlt hossza 0 y0 0,228m . 2.11. példa ___________________________________________________________________ [10, 59.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
8 A terheletlenül 0 20cm hosszúságú rugó végére G 1,962 N súlyú testet erősítettünk. Ekkor a rugó statikusan megnyúlt, hossza 1 22,76cm . A tömeget ebből az egyensúlyi helyzetből v0 18,85cm / sec kezdősebességgel lefelé mozgásnak indítjuk. Feladat: A. Milyen határok között változik a rugóerő? B. Mekkora a tömeg legalsó és legfelső helyzetében a rugóban felhalmozott energia? C. Mennyi a rendszer percenkénti lengésszáma? Kidolgozás: könyvben Megoldás:2.12. példa __________________________________________________________________ [3, 342.o.] Az ábrán vázolt rezgőrendszer tömegének a súlya G . A c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugó legnagyobb alakváltozása rezgőmozgás közben X max , a maximális rugóerő Fr . Adatok: G 10 N ; Fr 100 N ; X max 0,05m . Feladat: A. Határozzuk meg a rugóállandó számértékét. c ? B. Számítsuk ki a percenkénti rezgésszámot. n ? C. Mekkora a legnagyobb rezgési sebesség? X ? max
Kidolgozás:
X max 0,05m m 5 10 4 . Fr 100 N N 1 1 1 B. Sajátkörfrekvencia: 0 44,287rad / sec cm G 4 10 c 5 10 g 9,81 A. Rugóállandó c
Percenkénti rezgésszám. n0 9,55 0 422,94 / perc C. Legnagyobb rezgési sebesség: X max X max 0 0,05m 44,287rad / sec 2,214m / sec 2.13. példa __________________________________________________________________ [3, 342.o.] A függőleges súrlódásmentes vezetékben m tömegű hasáb az ábrán bejelölt irányban haladó mozgást végezhet. A tömeghez szögben c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugó kapcsolódik. Adott: m , c , . Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját.
Kidolgozás: Figyeljük meg a jobboldali ábrán, az általános helyzetben nyugvó F 1N erővel terhelt hasábra ható erőket! 1 cos Megoldás: 0 c mc m 2 cos 2.14. példa __________________________________________________________________ [3, 343.o.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
9 Egy súlyú test, melyhez két c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugó csatlakozik, vízszintes irányú rezgéseket végez. A vázolt modell mért rezgésideje T0 . Adatok: G 5N ; T0 2 sec Feladat: A. Határozzuk meg a vázolt lengőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját. x B. Számítsuk ki a másodpercenkénti rezgésszámát. Kidolgozás: 1 A. feladat. A szabadlengés körfrekvenciája 0 . Ahol ce az eredő rugóállandó. Ebből ce m ce kifejezve ce
1 G 2 . A megadott adatok alapján 0 , m . Behelyettesítve ce kifejezésébe: 2 g T0 0 m ce
1 2 T0
2
G g
T02 g (2 sec) 2 9,81m / sec 2 0,199m / N . 4 2G 4 2 5 N
B. feladat. A másodpercenkénti rezgésszám a periódusidő reciproka: f 0
1 1 . 0,5 T0 sec
Megoldás: A. feladat. ce 0,199m / N . 1 1 B. feladat. f 0 0,5 . T0 sec 2.15. példa __________________________________________________________________ [10, 69.o.] Az hosszúságú m tömegű rúd „A” végét függőleges c rugóállandójú rugóhoz rögzítettük, a másik végét „B” csuklóhoz csatlakoztattuk. Az m 2 AB rúd súlypontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: J . 2 Feladat: Határozzuk meg a rendszer sajátlengésének körfrekvenciáját. Kidolgozás:Megoldás:2.16. példa ____________________________________________________________ [I. HF.][3, 343.o.] Az m tömegű, homogén tömegeloszlású rúd „A” vége csuklósan rögzített. A rúdhoz az ábrán feltüntetett módon c0 és c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugók csuklósan kapcsolódnak. Az „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely súrlódásmentesen foroghat a csapágyban. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m 1kg ; c0 0,1rad / Nm ; c 0,1mm / N ;
1 1m ;
2 0,7m .
Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a c rugóvég függőleges irányú elmozdulása. B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a vízszintes rúd szögelfordulása. C. Elmozduláskoordináta az c rugóvég függőleges irányú elmozdulása. Írja fel a rugóvég elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0 0m ; v0 1,5m / sec . 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
10 Kidolgozás: A feladat kidolgozása az I. Házi feladat keretében történik Megoldás:
n0 9,55 0 9,55
A., B.
3 1 12 m 2 c0 c
2.17. példa __________________________________________________________________ [3, 344.o.] Súrlódásmentesen csapágyazott merev m tömegű R sugarú homogén tömegeloszlású korong tömegtelennek tekintett merev rúddal egy mutató szárához csuklósan csatlakozik. A mutató szára merev és tömegtelen, a mutatófej ugyancsak m tömegű és pontszerűnek tekinthető. A tengelyhez c0 rugóállandójú spirálrugó, a mutató szárához pedig c rugóállandójú hengeres csavarrugó csatlakozik. A rugók elhanyagolható tömegűek. Az „A” és „B” csuklók súrlódásmentesek. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; g ; R ; c0 ; c . Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. Kidolgozás: Jelöljük t -vel a tárcsa szögelfordulását.
t 2 . Kinematikai kapcsolat: Rt 2 R Kinetikus energia: Tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: J tárcsa mR2 / 2 . Tömegpont tehetetlenségi nyomatéka az „A” pontra: J m m(3 R) 2 1 mR2 1 1 1 1 mR2 2 2 2 2 2 2 2 2 T J tárcsat J m t m (3 R) (2 ) m (3 R) m 2 R 2 9 R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 J Jm Jm tárcsa J tárcsa 1 2 T 11 R m 2 2 J
red
T d T J red J red dt Potenciális energia: A tömegpont helyzeti energiájának zérus értékét a 0 szögelforduláshoz tartozó 1 tömegponthelyzethez választjuk. U m ( ) 3Rmg (1 cos ) . Kis szögelfordulásokra cos 1 2 . 2 1 2 3 Ebből 1 cos . Fenti kifejezésbe behelyettesítve U m ( ) mg 2 . Tehát a potenciális energia: 2 2 1 1 2 11 3R 1 1 11 3R 1 4 4R 2 2 2 2 2 2 U ( ) t (2 R ) mg 4 (2 R ) mg 3mgR 2 2 c0 2c 2 2 c0 2 2 c 2 2 c0 c t A Lagrange egyenlethez szükséges deriváltak:
k red
A 0 egyensúlyi helyzet stabilis, ha itt az U ( ) potenciális energiának minimuma van, tehát:
U ( ) 4 4 R 2 3mgR 0 c c0 k red
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
és
2U ( ) 4 4 R 2 3mgR 0 2 c c0 k red
11 2
4 4R 3mgR . (Úgy is c0 c lehet fogalmazni, hogy a redukált rugómerevség pozitív.) Ekkor a rúd a függőleges, stabilis egyensúlyi helyzete körül rezgőmozgást képes végezni. A homogén mozgásegyenlet: 4 4R 2 2 0 11 R m 3 mgR J red k red 0 c c 0 J red vagyis a rugóállandók elég kicsik (illetve a rugómerevségek elég nagyok):
k red
kred 1 4 4R 2 3 mgR A rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája: 0 J red c 11 R 2 m c0 Megoldás:
1 4 4R 2 0 3 mgR c 11 R 2 m c0 2.18. példa __________________________________________________________________ [3, 345.o.] Az m tömegű sugarú homogén tömegeloszlású korongot a súlypontjában súrlódásmentesen csapágyaztuk. Az ábrán vázoltak szerint a koronghoz c0 és c rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. A rendszer a vízszintes síkban végezhet forgórezgéseket. A vázolt állapot egyensúlyi állapotnak tekinthető, a rugók erőmentesek. R 6cm b 4cm c 2cm / N Adatok: m 3kg rad 0 1rad c0 0,4 Ncm Indítási feltételek: t 0 -nál 0 ; 0 Feladat: A. Számítsuk ki a vázolt rezgőrendszer rezgésidejét. T ? B. Mekkora a korong legnagyobb szögsebessége? max ? Kidolgozás:Megoldás: 2 2 1,42 sec sec A. Rezgésidő: T0 0 2 1 b2 mR2 c0 c 2 1 b2 rad 4,41 B. Korong legnagyobb szögsebessége: max 0 0 . 2 sec mR c0 c 2.19. példa __________________________________________________________________ [3, 346.o.] Az egyik végén befogott, állandó keresztmetszetű acélrúd végére m pontszerű tömeget erősítettünk. A kör-keresztmetszetű, d átmérőjű hosszúságú rúd anyagának rugalmassági modulusa E . A tömegponthoz c2 rugóállandójú rugó kapcsolódik. A rugó és a rúd tömege elhanyagolható. Adatok: 80cm E 21,5 106 N / cm 2 c2 0,04cm / N d 1cm Feladat: A. Számítsuk ki az hosszúságú rúd y elmozdulás-koordinátához tartozó rugóállandóját. c1 ? B. Mekkora az y koordinátához tartozó eredő rugóállandó? ce ? Kidolgozás:Megoldás: Átváltás nincs leellenőrizve 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
12
3 c c 0,16cm / N B. ce 1 2 0,032cm / N 3 IE c1 c2 2.20. példa __________________________________________________________________ [3, 347.o.] Az m tömegű test vízszintes, tökéletesen sima felületűnek feltételezett vezetéken a c rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekintett rugóban ébredő erő hatására „A” amplitúdójú rezgéseket végez. A rezgések száma egy perc alatt n0 . A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. 1 n 180 Adatok: m 0,2kg A 1cm perc Feladat: A. Mekkora a rezgőrendszer rugóállandója? c ? B. Számítsuk ki a rugóban ébredő legnagyobb erőt a vizsgált rezgés közben. Fr , max ? A. c1
C. Mekkora a rezgőrendszer maximális kinetikus és potenciális energiája? Tmax ? és U max ? Kidolgozás: Megoldás: Átváltás nincs leellenőrizve 1 A 0,141cm / N . A. c B. Fr , max 7,1N . 2 c (6 ) m
A2 1 U max 3,55 Ncm C. Tmax m A2 02 3,55 Ncm . 2c 2 2.21. példa _____________________________________________________________ MCD [3, 348.o.] Az ábra szerinti elrendezésben tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű testből valamint c1 , c2 és c3 rugóállandójú tömegtelennek tekinthető rugókból álló rezgőrendszer lengésének amplitúdója A . c3 1cm / N c1 0,5cm / N ; c2 2cm / N ; A 1cm Adatok: m 3,5kg Feladat. A. Mekkora a rezgőrendszer (x koordinátához tartozó) eredő rugóállandója? ce ? B. Számítsuk ki a rendszer sajátkörfrekvenciáját. 0 ? C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő? F1 ? ; F2 ? ; F3 ? Kidolgozás:Megoldás: (c c ) c cm 1 rad 6,325 A. ce 1 2 3 0,714 B. 0 c1 c2 c3 N sec ce m
A A A 0,4 N ; F2 0,4 N ; F3 1N . c3 c1 c2 c1 c2 c D. AB A 1 0,2 N c1 c2 2.22. példa ____________________________________________________________ [1. HF.][3, 349.o.] C. F1
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
13 Az „A” csuklóhoz csatlakozó m1 tömegű rúd egyenletes tömegeloszlású. A „B” és „E” és csuklóhoz tartozó rudak, valamint a c rugóállandójú csavarrugó tömegtelennek tekintendő. Az ábra szerinti elrendezésű modellnél a csuklókat súrlódásmentesnek, az m2 tömeget pontszerűnek tételezzük fel. Az ábrán feltüntetett helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. Adatok: m1 3kg ; m2 5kg ; 1m ; c 0,01m / N . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a felső rúd 1 szögelfordulása. n ? B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta az alsó rúd 2 szögelfordulása. n ? C. Elmozduláskoordináta a felső rúd 1 szögelfordulása. Írja fel az „F” rugóvég elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: 1 (0) 0,05 rad ; 1 (0) 2 rad / sec . Kidolgozás: A feladat kidolgozása az I. Házi feladat keretében történik Megoldás: 1 A., B. n0 9,55 0 9,55 12c(m1 m2 ) 2.23. példa __________________________________________________________________ [3, 350.o.] Az ábra szerinti elrendezésű mérőműszer mutatója fogasív segítségével egy R3 sugarú m3 tömegű homogén tömegeloszlású fogaskerékkel van kényszerkapcsolatban. A mutató szárát zérus tömegűnek tekintjük. A mutató szárának két vége m1 illetve m2 tömegű, ezeket pontszerűnek tekintjük. Mind az „A”, mind a „B” jelű csukló c01 és c02 súrlódásmentes és ezekhez rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető spirálrugók csatlakoznak. A mutató szárának tömege elhanyagolható. Adott: m1 , m2 , m3 , c01 , c02 , R2 , R3 , 1 , 2 Feladat: Határozza meg a vázolt lengőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát. f 0 ? Kidolgozás:-
Megoldás:
f0
1 0 1 T0 2 2
1 1 R3 c01 c02 R2
2
2
R 3 R2 2.24. példa __________________________________________________________________ [3, 351.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
1 m3 R32 m1 12 m2 22 2
14 Az m1 tömegű, l hosszúságú homogén tömegeloszlású rúd „A” vége súrlódásmentes csuklóhoz kapcsolódik. A rúd felső végéhez erősített m2 tömeget pontszerűnek tételezzük fel. A rúdhoz 3 darab tömegtelennek tekinthető rugó kapcsolódik az ábrán feltüntetett elrendezésben. A mozgás síkja a vízszintes sík. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m1 , m2 , c0 , c1 , c2 , . Feladat. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer rezgésidejét. T0 ? Kidolgozás:Megoldás: T0
2
0
2 1 1 a2 a2 J AA c0 c1 c2
ahol
J AA
4 m1a 2 4m2 a 2 . 3
2.25. példa __________________________________________________________________ [3, 352.o.] A G súlyú hasáb lapja az elhanyagolható tömegű, erőmentes állapotban 0 hosszúságú hengeres csavarrugóra támaszkodik és a tökéletesen simának tekintett függőleges vezetékben mozoghat az ábrán látható módon. A rugó összenyomódása a ráhelyezett rugó hatására a0 . Adott: G , a0 , g . Indítási feltételek: t 0 -nál y 0 ; v v0 . Feladat. A. Számítsuk ki, hogy mekkora lefelé irányuló v0 sebességgel indíthatjuk mozgásnak a rugón nyugvó hasábot az y 0 helyzetből, ha azt kívánjuk, hogy rezgés közben a rugótól még ne váljék el? v0 ? B: Mekkora a hengeres csavarrugó rugóállandója? c ? Kidolgozás: Megoldás: a mg A. v0 a0 0 0 . B. c . a0 mc 2.26. példa __________________________________________________________________ [3, 353.o.] Tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkon elhelyezett m tömegű testhez az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. Adott: m , c1 , c2 , x0 , v0 . Indítási feltételek: t0 0 -nál x x0 ; x v0 . Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró x(t ) függvényt. Kidolgozás:Megoldás: 11 1 0 m c1 c2 2.27. példa __________________________________________________________________ [3, 354.o.]
x(t ) x0 cos 0t
v0
sin 0t ,
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
0
15 Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású korong az ábra szerinti elrendezésben „A” pontjában súrlódásmentesnek tekintendő csuklóhoz kapcsolódik. A korong a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket végezhet. A hozzákapcsolódó c1 és c2 rugóállandókkal jellemzett csavarrugók tömegtelennek tekintendők. A vázolt állapot egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A mozgás síkja a vízszintes sík. Adott: m , R , c1 , c2 , 0 . Indítási feltételek: t0 0 -nál 0 ; 0 . Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró (t ) függvényt. Kidolgozás:-. 8 8 Megoldás: (t ) 0 cos 0t 0 cos t 3mc1 3mc2 2.28. példa __________________________________________________________________ [10, 69.o.] Az érdes síkon a korong csúszás nélkül gördül. A korong súlya G , sugara r . A korong súlypontján átmenő a mozgás síkjára merőleges tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték ismert. Feladat: Határozza meg a rendszer saját lengésének körfrekvenciáját. Kidolgozás: könyvben 1 Megoldás: 0 mg s c m 2 2.29. példa __________________________________________________________________ [3, 355.o.] A tökéletesen simának feltételezett egyenes vezetékben m tömegű hasáb mozoghat. Az ábra szerinti elrendezésben tömegtelennek tekintett (b) jelű merev rúd csuklósan kapcsolódik a hasábhoz. A (b) jelű rúdhoz c1 és c2 rugóállandókkal jellemzett rugók csatlakoznak. A rajzolt helyzet egyensúlyi. A mozgás síkja a vízszintes sík. Adott: c1 1102 cm / N ; c2 2 102 cm / N . Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját, ce -t kis kitérésű rezgések esetén. Kidolgozás:c c Megoldás: ce 1 2 0,75 10 2 cm / N 4 2.30. példa __________________________________________________________________ [3, 355.o.] Az m2 tömegű hosszúságú homogén tömegeloszlású rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben 2 1 és 2 3 hosszúságú, tömegtelennek tekintett, de merev pálcák és c rugóállandójú ugyancsak tömegtelen rugó csatlakozik. A rajzolt helyzet egyensúlyi helyzetet jelent. Adott: 1 , 2 , 3 , m2 , c . Feladat: Számítsa ki a vázolt rezgőrendszer sajátrezgésének 0 körfrekvenciáját. Kidolgozás:01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
16 Megoldás:
0
3 1 . 2 mc
2.31. példa ____________________________________________________________ [I. HF.][3, 356.o.] A tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m1 tömegű hasábhoz c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető rugó és a (d) jelű elhanyagolható tömegű merev rúd csatlakozik. A (d) jelű rúd jobb oldali vége az ábra szerinti elrendezésben egy R sugarú, m2 tömegű, homogén tömegeloszlású koronghoz csuklósan kapcsolódik. A korong az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelykörül forogva kis kitérésű rezgéseket végezhet. Az ábra szerinti helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. 1 rad Adott: m1 1kg ; m2 2kg ; R 0,1m ; c m / N ; c0 0,05 ; b 0,05 m . 15 Nm Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját úgy, hogy elmozduláskoordináta az m1 tömegű test x elmozdulása. 0 ? B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját úgy, hogy elmozduláskoordináta a tárcsa szögelfordulása. 0 ? C. Elmozduláskoordináta az m1 tömegű test x elmozdulása. Írja fel a tömeg elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0 0,01m ; v0 1m / sec . Megoldás: 2.32. példa __________________________________________________________________ [3, 357.o.] A tökéletesen simának feltételezett felületek között egyenesben vezetett m tömegű hasábhoz az ábra szerinti elrendezésben merevnek, de tömegtelennek tekintett pálcák és c1 , c2 , c3 , c4 rugóállandókkal jellemzett rugók csatlakoznak. A mozgás a vízszintes síkban történik. Adatok: c1 4 102 cm / N c2 6 102 cm / N c4 5 102 cm / N c3 3 102 cm / N Feladat: Határozza meg a vázolt rezgőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját kis kitérésű rezgések esetén. ce ? 4c 4c2 c3 c4 Megoldás: ce 1 3 10 10 2 cm / N . 16
2.33. példa __________________________________________________________________ [3, 358.o.] Az m tömegű hosszúságú homogén tömegeloszlású vékony rúd az „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül kis kitérésű forgórezgéseket végezhet a vízszintes síkban. A vékony rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben c1 , c2 és c0 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A mozgás a vízszintes síkban történik. Adott: m , , c1 , c2 , c0 Indítási feltételek: t0 0 -nál 0 ; 0 . Feladat: Írja fel a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró (t ) függvényt. Kidolgozás:-. 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
17
4 4 1 t 81mc1 81mc2 9m 2c0 2.34. példa __________________________________________________________________ [10, 68.o.] A 0 tehetetlenségi nyomatékú korong az O tengely körül ellenállás nélkül elfordulhat. A korong „A” pontjához a c rugóállandójú rugó kapcsolódik. Feladat: Határozza meg a rendszer lengésszámát kis kitérések esetén. Megoldás: Könyvben Megoldás:
(t ) 0 cos 0t 0 cos
2.35. példa __________________________________________________________________ [3, 358.o.] Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású korong, az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül forgórezgést végezhet. Az ábra szerinti elrendezésben a koronghoz két, egyenként c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett csavarrugó csatlakozik. A modell mért percenkénti rezgésszáma n0 . A vázolt helyzet egyensúlyi helyzetet jelent. 1 Adott: R 0,3m ; c 2 102 m / N ; n0 70 . perc Feladat: Számítsa ki a vázolt modell tömegét kis kitérésű rezgések esetén. m ? Kidolgozás: 9,552 4 Megoldás: m 2 3,72 N sec 2 / m . n0 c 2.36. példa _____________________________________________________________ [1.HF][3, 359.o.] Tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű hasábhoz az ábrán vázolt módon m1 és m2 jelű, tömegtelennek tekintett „vékony” merev rudak kapcsolódnak. Az m2 jelű rúd az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. Az m tömegű testhez és az m2 jelű „vékony” rúdhoz az ábrán látható módon a c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók kapcsolódnak. A rajzolt állapot egyensúlyi állapotnak tekintendő. Adott: m 2kg ; c1 0,01m / N ; c2 0,005m / N m; d 1m ; b 1m . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát kis kitérésű rezgések esetén, elmozduláskoordináta az m tömegű test x elmozdulása. B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát kis kitérésű rezgések esetén, elmozduláskoordináta a függőleges rúd szögelfordulása. C. Elmozduláskoordináta az m tömegű test x elmozdulása. Írja fel a tömeg elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0 0,01m ; v0 2,5m / sec . Kidolgozás: A feladat kidolgozása az I. Házi feladat keretében történik
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
18
f0
Megoldás: A., B.
0 2
11 b2 2 m c1 d c2 2
2.37. példa __________________________________________________________________ [3, 359.o.] Az ábrán látható módon a c1 és c2 rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók végein egy-egy ütközőlap található. Az ütközőlapok az x 0 koordinátájú helyzetben, a tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű hasáb oldallapjaihoz éppen csak hozzáérnek. Az m tömeget x koordináta irányába nyugalmi helyzetéből kitérítve, rezgésbe hozzuk. Adatok: m 8kg ; c1 3 102 m / N ; c2 1102 m / N m. Feladat: Számítsa ki az egy teljes – szakaszonként szinuszos – rezgés megtételéhez szükséges időt. T ? Kidolgozás:Megoldás: T0 mc1 mc2 2,45 sec
2.38. példa __________________________________________________________________ [3, 361.o.] Az ábrán vázolt m tömegből, c1 és c2 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett rugóból álló rezgőrendszer tökéletesen simának feltételezett egyenes vezetékben mozoghat. x1 3cm ; Adatok: 0 314rad / sec ;
v1 2cm / sec ;
t1 10 sec .
Feladat: Hogyan kell indítani T t0 0 időpillanatban a rajzolt 0 sajátkörfrekvenciájú modellt ( x0 ? ,
v0 ? ), hogy az indítástól számított t1 idő múlva sebessége v1 , koordinátája x1 legyen? Kidolgozás:Megoldás: x0 A1 2,99cm ; v0 314 A2 18,58cm / sec ; A2 0,0592cm 2.39. példa __________________________________________________________________ [3, 361.o.] Az ábrán vázolt modell rugalmas, de elhanyagolható tömegű tengelyből és két egymáshoz kapcsolódó, merev, forgástengelyükre számítva J11 és J 22 tehetetlenségi nyomatékú merev fogaskerekekből áll. Adott: J11 ; J 22 ; d ; R1 ; R2 ; ; G (csavarási rugalmassági modulusz) Feladat: Határozzak meg a vázolt modell percenkénti rezgésszámát. n0 ?
Megoldás:
n0 9,55 0 9,55
1 R2 c0 R1
2
. 2 R2 J11 J 22 R1 2.40. példa __________________________________________________________________ [3, 363.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
19 Az ábrán vázolt rezgőrendszer egy két végén befogott, változó keresztmetszetű tengelyből és egy hozzá rögzített „ D ” átmérőjű v vastagságú, fajsúlyú merev tárcsából áll. A változó keresztmetszetű tengely egyes szakaszainak átmérői d1 , d 2 , a szakaszok hossza: 1 , 2 és 3 . A tengelyszakaszokat tömegtelennek, de rugalmasnak tekintjük. A tárcsát nyugalmi helyzetéből kis szöggel elfordítjuk, (miközben a torziós tengely elcsavarodik), majd magára hagyjuk. Feladat. Mekkora lesz a rendszer sajátkörfrekvenciája? 0 ? Kidolgozás:c c c 32 g Megoldás: 0 1 2 3 4 D v (c1 c2 ) c3 2.41. példa __________________________________________________________________ [3, 363.o.] Az ábra szerinti elrendezésben G1 és G2 súlyú pontszerű testeket erősítettünk „vékony” merev tömegtelen „A” végpontjában ideális csuklóhoz kapcsolódó rúdhoz. A c és c0 rugóállandóval jellemzett csavar- és spirálrugók tömegtelenek. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.
c0 0,02rad / Ncm ; 20cm . G1 40 N ; G2 20 N ; c 0,05cm / N ; Feladat. Határozza meg a csillapításmentes rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. 0 ? Kidolgozás:900 1 c c0 Megoldás: 0 19,4rad / sec 2 m1 m2 (2 ) 2 2.42. példa __________________________________________________________________ [3, 364.o.] Merev, de tömegtelennek tekinthető, két végén súrlódásmentesen csapágyazottnak feltételezett (1) jelű tengelyhez az ábrán látható módon egy ugyancsak tömegtelen, egyik végén ütközővel ellátott „vékony”, de merev C D jelű rudat erősítettünk. Erre a rúdra a szimmetriatengelyében átfúrt m tömegű golyót helyeztünk. Az m tömegű golyót c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugóval kapcsoltuk az (1) jelű tengelyhez. Az m tömeg és a rúd között mozgás közben fellépő súrlódást zérusnak tekintjük. A rendszert az A B tengely körül állandó szögsebességgel forgatjuk. m ; c ; d ;b . Adott: Adatok:
Feladat: Számítsa ki a vázolt m tömegből és c rugóból álló rezgőrendszer 0 sajátkörfrekvenciáját függvényében. 0 0 ( ) ?
1 2 . mc 2.43. példa __________________________________________________________________ [3, 364.o.] Megoldás:
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
0 ( )
20 Egy pontszerű m tömeg, valamint az ábra szerinti elrendezésben egy ehhez rögzített kétalátámasztású, c1 rugóállandójú laprugó és a c2 rugóállandójú hengeres csavarrugó rezgőrendszert képeznek. A rugókat tömegtelennek tekintjük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A pontszerű testet x irányban nyugalmi állapotából kissé kitérítjük, és utána magára hagyjuk. A rugó legnagyobb alakváltozása az „O” pontnál xmax . A súlyerő hatását elhanyagolhatjuk. Adatok:
m 0,3kg ; c2 0,02cm / N ;
c1 0,01cm / N , (az x koordinátához tartozó érték) xmax 4cm .
Feladat: A. Számítsa ki a vázolt rezgőrendszer x koordinátájához tartozó eredő rugóállandóját. ce ? B. Mekkora a rendszer legnagyobb rezgési sebessége? xmax ? Kidolgozás: Megoldás: c c A. ce 1 2 0,066cm / N B. xmax xmax 0 2,83m / s c1 c2 2.44. példa __________________________________________________________________ [3, 366.o.] Egy m tömegű, homogén tömegeloszlású r sugarú korong csúszásmentesen gördülhet egy R sugarú görbülettel kialakított kényszerpályán. Az (1) jelű nyugalmi helyzetből a (2) jelű helyzetbe kimozdítva, majd elengedve, a korong az (1) jelű egyensúlyi helyzetéhez viszonyítva a kényszerpályán „jobbrabalra” gördül csúszásmentesen az ábrán vázoltak szerint. Adott: m , R , r , (sin ) . Feladat: Mennyi a vázolt modell rezgésideje? T ? Kidolgozás: 2 2 Megoldás: T0 0 2 g 3R 2r 2.45. példa ___________________________________________________________________ [2, 79.o.] Az m tömegű, R sugarú korong az R1 sugarú henger alakú érdes kényszerpálya felületén csúszásmentesen gördülhet. Adatok: m 0,5kg ; 0,8 R1 1m . R 0,2m ; Feladat: Határozza meg a korong mozgásának periódusidejét. Kidolgozás: Megoldás: 2.46. példa __________________________________________________________________ [3, 366.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
21 Az ábrán vázolt rezgőrendszer az hosszúságú zérus tömegű merev rúdból, az m pontszerű tömegből és a hozzá kapcsolódó rugókból áll. A modell a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket végezhet. A c rugóállandóval jellemzett elhanyagolható tömegű hengeres csavarrugók „vékony”, merev, hosszúságú zérus tömegű rúd „E” pontjához kapcsolódnak. A rúd „F” jelű vége a pontszerű tömeghez, másik pedig „O” ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges tengelyhez kapcsolódik a c0 rugóállandójú tömegtelennek tekinthető spirálrugóval együtt. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; c ; c0 ; d , , g . Feladat: Határozza meg, hogy milyen esetben lesz a vázolt rezgőrendszer 0 sajátkörfrekvenciája valós szám, képzetes szám vagy nulla. Kidolgozás:Megoldás: 1 1 d2 Ha mg 0 , akkor valós szám, a modell rezgésre képes. 2 m c0 2c 2 1 1 d Ha mg 0 , akkor 0 0 , a modell nyugalomban van. 2 m c0 2c 2 1 1 d mg 0 , akkor képzetes szám, x minden határon túl növekvő. Ha 2 m c0 2c 2.47. példa __________________________________________________________________ [3, 368.o.] Az m tömegű, R sugarú homogén tömegeloszlású korong a vízszintes síkon csúszásmentesen gördülhet. Az ábrán vázolt módon a koronghoz a súlypontjától b távolságban c rugóállandójú, tömegtelennek tekintett rugó csuklósan csatlakozik. A vázolt helyzet egyensúlyi, és a rugó erőmentes. Adott: m 3kg ; R 6cm ; b 4cm ; c 2cm / N . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta c rugóvég tárcsához való csatlakozási pontjának vízszintes elmozdulása. f 0 ? B. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a tárcsa szögelfordulása. f 0 ? C. Elmozduláskoordináta c rugóvég tárcsához való csatlakozási pontjának vízszintes elmozdulása. Írja fel a pont elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0 1cm ; v0 0m / sec . Kidolgozás: 1 1 Rugóállandó helyett rugómerevséggel számolunk: s 0,5 N / cm . c 1/ 2 Kinematikai kapcsolat a rugóvég elmozdulás és a tárcsa szögelfordulás között. x ( R b) . Kinematikai kapcsolat a tárcsaközéppont elmozdulás és a tárcsa szögelfordulás között y R . Tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: J Kinetikus energia: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
m R2 2
22 Ekin
1 2 1 2 1 2 1 1 1 mR2 1 3mR2 2 J my J m( R ) 2 J mR2 2 mR2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 J red
Kinetikus energia deriváltjai a Lagrange egyenlethez: d Ekin d 1 3mR2 2 3mR2 dt dt 2 2 2 Potenciális energia és deriváltja a Lagrange egyenlethez: 1 1 1 U ( ) s x 2 s R b 2 s R b 2 2 2 2 2
U ( ) s R b 2 s red
Homogén mozgásegyenlet: 3mR2 R s b 2 0 2 s red J red
Szabadlengés sajátkörfrekvenciája:
0
sred J red
s R b 3mR2 2 2
2 s R b 3mR2
2
2 s ( R b) 2 1 3mR2 f0 0 Megoldás: A. B. T0 2 2 2.48. példa __________________________________________________________________ [3, 368.o.] Az R sugarú, 2m tömegű homogén tömegeloszlású korongot az O ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges, rögzített tengelyre súrlódásmentesen erősítettük. A korong egy m tömegű, ugyancsak homogén tömegeloszlású hasábra támaszkodik. A korong a hasábon csúszásmentesen gördülhet. Az m tömegű hasáb tökéletesen simának feltételezett alapon helyezkedik el. A koronghoz és a hasábhoz az ábra szerinti elrendezésben c0 , c és c1 rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekinthető rugók kapcsolódnak. A vázolt helyzet egyensúlyinak tekinthető, a rugók erőmentesek. rad Adatok: m 2kg ; R 0,5m ; c1 0,01m / N ; c 0,05 m / N ; c0 0,025 . Nm Feladat: A. Határozza meg a vázolt kis kitéréseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta az m tömegű test x vízszintes elmozdulása. n ? B. Határozza meg a vázolt kis kitéréseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát úgy, hogy elmozduláskoordináta a tárcsa szögelfordulása. n ? C. Elmozduláskoordináta az m tömegű test x vízszintes elmozdulása. Írja fel a pont x elmozdulásának időfüggvényét. Kezdeti értékek: x0 0,05m ; v0 1,5m / sec . Kidolgozás: Rugóállandók helyett rugómerevséggel írjuk fel az összefüggéseket. s1 1 / c1 1 / 0,01m / N 100 N / m ; (1) s 1 / c 1 / 0,05 m / N 20 N / m ; s0 1 / c0 0,025rad / Nm 40 Nm / rad . A tárcsa forgástengelyére számított tehetetlenségi nyomatéka: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
23 1 (2) (2m) R 2 mR2 . 2 A.1 Általános elmozduláskoordináta választása, kinematikai kapcsolatok felírása. A q általános elmozduláskoordináta legyen az m tömegű test x vízszintes elmozdulása, q x. Kinematikai kapcsolat az alsó hasáb elmozdulása és a tárcsa között: x (3) x R , . R A.2. A rugókban felhalmozott potenciális energia felírása: 1 1 1 (4) U s1 x 2 s x 2 s0 2 . 2 2 2 A kinematikai feltétel felhasználásával az utolsó tag is x függvényében felírható, (3) alapján (4)-be helyettesítve: J0
2
1 1 1 x s1 x 2 s x 2 s0 . 2 2 2 R A.3. A kinetikus energia felírása. U ( x)
(5) 2
J 1 1 1 1 1 x Ekin ( x, x ) m x 2 J 0 2 m x 2 J 0 m 02 x 2 . 2 2 2 2 2 R R A.4. Disszipáció függvény levezetése. Disszipáció nincs, a rendszer csillapítatlan. D( x ) 0 . A.5. A Lagrange-egyenletben előírt deriválások elvégzése: Az (5) potenciális-energia általános elmozduláskoordináta szerinti deriváltja: s 1 U ( x) s1 x s x s0 x 2 s1 s 02 x . x R R A (6) kinetikus energia deriváltjai: Ekin ( x, x ) 0 , x
(6) (7)
(8)
(9)
J0 2 d J0 J0 d Ekin ( x, x ) d 1 mR2 x 2mx (10) m x m x m x m dt dt x dt x 2 R2 R2 R2 R 2
A.6. Általános erőkomponensek meghatározása: A szabadmozgást vizsgáljuk, gerjesztő erőhatás nincs. (11) Q 0. A.7. Behelyettesítés a Lagrange-egyenletbe. Lagrange-egyenlet: d Ekin (q, q ) Ekin (q, q ) D(q ) U (q) (12) Q. dt q q q q (12)-be behelyettesítve, (8),(9),(10),(11)-et: s (13) 2mx s1 s 02 x 0 . R A.8. Homogén mozgásegyenlet. Megegyezik a fenti egyenlettel, mert gerjesztetlen a rendszer. A.9. Csillapítatlan sajátkörfrekvencia meghatározása. Szabadlengés periódusidejének számítása. s (14) 2 m x s1 s 02 x 0 . R m red s red
A rendszer sajátkörfrekvenciájának összefüggése: s s1 s 02 s R . 0 red mred 2m Behelyettesítve a megadott értékeket: rad . 0 8,366 sec 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
(15)
(16)
24 A szabadlengés periódusideje: 2 2 (17) T0 0,7515 sec . 0 8,366 A. 10. Válaszfüggvény felírása a megadott kezdeti feltételekkel. v (18) xc (t ) x0 cos( 0t ) 0 sin( 0t ) . 0 Másik alak: xc (t ) K sin( 0t ) , ahol v / v2 arctg 0 0 . K x02 02 , 0 x0 A.11. A rendszer energiája: 1 1 (19) W sred x02 mred v02 . 2 2 A.12. Válaszfüggvény rajzolása a szabadlengés első öt periódusára. A megoldásfüggvény ábrázolása MatCAD környezetben:
B.1 Általános elmozduláskoordináta választása, kinematikai kapcsolatok felírása. A q általános elmozduláskoordináta legyen a tárcsa szögelfordulása. q . Kinematikai kapcsolat az alsó hasáb elmozdulása és a tárcsa között: x R .
(20)
B.2. A rendszer potenciális energiájának felírása. A rugókban felhalmozott potenciális energia felírása: 1 1 1 (21) U s1 x 2 s x 2 s0 2 . 2 2 2 A kinematikai feltétel felhasználásával az első két tag is függvényében felírható: 1 1 1 1 (22) U ( ) s1 ( R ) 2 s ( R ) 2 s0 2 ( s1 R 2 s R 2 s0 ) 2 . 2 2 2 2 B.3. A rendszer kinetikus energiájának felírása: (23) Ekin
2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 m x 2 J 0 2 m ( R ) 2 J 0 2 mR2 J 0 2 mR2 mR mR . 2 2 2 2 2 2 J0
B.4. Disszipáció függvény levezetése. Disszipáció nincs, a rendszer csillapítatlan. D( x ) 0 . B.5. A Lagrange-egyenletben előírt deriválások elvégzése: A potenciális energia általános elmozduláskoordináta szerinti deriváltja: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
(24)
25
1 U ( ) ( s1 R 2 s R 2 s0 ) 2 ( s1 R 2 s R 2 s0 ) . (25) 2 A kinetikus energia deriváltjai: Ekin ( , ) 0 , (26) d Ekin ( , ) d d (27) mR2 2 2mR2 2 2mR22 . dt dt dt B.6. Általános erőkomponensek meghatározása: A szabadmozgást vizsgáljuk, gerjesztő erőhatás nincs. B.7. Behelyettesítés a Lagrange-egyenletbe. Lagrange-egyenlet:
d Ekin (q, q ) Ekin (q, q ) D(q ) U (q) Q. dt q q q q (28)-ba behelyettesítve, (25),(26),(27),(28)-at: 2mR22 (s1 R 2 s R 2 s0 ) 0 .
B.8. Homogén mozgásegyenlet. Megegyezik a fenti egyenlettel, mert gerjesztetlen a rendszer. B.9. Csillapítatlan sajátkörfrekvencia meghatározása. Szabadlengés periódusidejének számítása: 2 2 mR s1R 2 sR2 s0 x 0 . x
mred
(28)
(29)
(30)
s red
A rendszer sajátkörfrekvenciájának összefüggése:
0
sred s R 2 sR 2 s0 . 1 mred 2mR2
(31)
R 2 -tel való egyszerűsítés után ugyanaz az eredmény adódik, mint A.9.–ben, (15) összefüggésben.
sred s R 2 sR 2 s0 1 mred 2mR2 2.49. példa ___________________________________________________________________ [2, 79.o.] Az R; sugarú m tömegű korong rezgőmozgás közben csúszásmentesen gördül a vízszintes érdes talajon. Adatok: m 10kg ; 0,6m ; c 2 104 m / N ; Feladat: A. Számítsa ki a sajátfrekvenciát. B. Mekkora lehet a súlypont legnagyobb kitérése? Kidolgozás:Megoldás:2.50. példa ___________________________________________________________________ [2, 80.o.] A vázolt lengőrendszer AD és BC merev rúdjainak tömege elhanyagolható. A rendszer vízszintes síkban mozog, a csuklók súrlódásmentesek. Adatok: m 2,5kg ; 0,3m ; c1 3 105 m / N ; c2 2 105 m / N . Feladatok: A. Írja fel a rendszer mozgásának differenciálegyenletét. B. Számítsa ki a sajátlengés frekvenciáját. C. A lengőrendszer mozgását úgy indítjuk mozgásnak, hogy a t 0 pillanatban a „D” pontot jobbra elmozdítjuk xd 0 10mm -rel, majd magára hagyjuk. Írja fel az AD rúdnak az adott indításhoz tartozó mozgástörvényét. Megoldás: A., B. n 9,55 0 ;
0
2.51. példa ___________________________________________________________________ [2, 81.o.] 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
26 Az m tömegű hasáb a hozzá erősített súlytalan merev karral együtt a sima egyenes vezetékben mozoghat. A hasábot a mindkét végén csuklós, ugyancsak elhanyagolható tömegű BC rúd, valamint két egyenlő rugóállandójú rugó kapcsolja a vele azonos tömegű, 3 hosszúságú merev rúdhoz, amely az „A” ideális csukló körül foroghat. A mozgás síkja vízszintes. Adatok: m 0,5kg ; 0,25m ; c 7,0362 103 cm / N ; Fmax 620 N . Feladatok: A. Írja fel a lengőrendszer differenciálegyenletét. B. Számítsa ki a sajátlengésidőt. C. Mekkora lehet a rúd maximális szögkitérése, ha a rugók karakterisztikája csak a megadott Fmax -nál kisebb rugóerő esetén tekinthető lineárisnak? 2.52. példa __________________________________________________________________ [10, 62.o.] A G súlyú, A keresztmetszetű, hosszúságú prizmatikus keresztmetszetű rúd hosszának 1 / 3 -ad részéig fajsúlyú folyadékba merül. A testet c rugóállandójú rugóra erősítettük fel. A rendszert a statikus egyensúlyi helyzetéből y mértékben a bejelölt irányban kimozdítottuk, ezért a rendszer lengéseket végez. Feladat: Határozza meg a rendszer lengésidejét. Kidolgozás: könyvben 2 G 1 Megoldás: T0 0 g A 1 c 2.53. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.] Határozzuk meg az ábrán bemutatott m tömegű, a forgástengelyre számított s tehetetlenségi nyomatékú tárcsa lengésidejét, ha a tárcsa szögelfordulása kicsi és a rugók a nyugalmi helyzetben terheletlenek. 2 1 Megoldás: 0 ( s1a 2 s2b 2 ) , T0 0 s 2.54. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.] Határozzuk meg az ábrán bemutatott m tömegű, a forgástengelyre számított s tehetetlenségi nyomatékú tárcsa lengésidejét, ha a tárcsa szögelfordulása kicsi és a rugók a nyugalmi helyzetben terheletlenek. Az „ a ” hosszúságú rúd tömege ma , a „ b ” hosszúságú rúd tömege mb , Kidolgozás:Megoldás: 2.55. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
27 Az m tömegű s tehetetlenségi nyomatékú korong csúszás nélkül gördül a vízszintes síkon. Feladat: Határozza meg a rendszer sajátlengésének körfrekvenciáját. Kidolgozás: könyvben 4 1 c2 c1 Megoldás: . 0 s m 2 r 2.56. példa __________________________________________________________________ [10, 75.o.] Határozza meg a lengőrendszer lengésidejét. A 3a hosszúságú merev rúd súlya 3G . Adottak: a , c , g . Kidolgozás: Megoldás: -
2.57. példa __________________________________________________________________ [10, 75.o.] Elhanyagolható súlyú hosszúságú IE „hajlítási merevségű” tartó szabad végére c rugóállandójú rugót erősítettünk. A rugón m tömeg leng. Feladat: Határozza meg a lengésidőt! Kidolgozás: Megoldás: -
2.58. példa __________________________________________________________________ [10, 76.o.] Az m1 g súlyú a sugarú tárcsa az A pont körül a függőleges síkban elfordulhat. A 2a hosszúságú m2 g súlyú merev rúd a B pont körül fordul el. A rúd és a tárcsa a C pontban csuklóval kapcsolódik egymáshoz. Feladat: Határozza meg a rendszer lengésidejét kis szögelfordulások esetén. Adatok: G1 400 N G2 30 N a 10cm c 0,025cm / N Kidolgozás: könyvben a2 2 . 4c T0 02 Megoldás: B 0 A 4 2.59. példa ___________________________________________________________________ [5, 12.o.] Az ábrán vázolt elrendezésű lengőrendszer rugóinak állandója c1 0,05cm / N ; c2 0,25cm / N ; c3 0,1cm / N . Az 3,5kg tömegű test lengésének amplitúdója K 1cm . 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
28 Feladat: A. Mekkora az eredő rugóállandó és a rendszer vetítő szögsebessége? B. Mekkora a lengőrendszer energiája? C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő és az egyes rugókban felhalmozott maximális energia? D. Mekkora amplitúdóval leng a és rugók közös „A” pontja? Kidolgozás: A. Először a c1 és c2 sorba-kapcsolt rugók (mindkettőt ugyanakkora erő terheli a tömeg K kitérésekor) eredőjét határozzuk meg: c12 c1 c2 Az így kapott rendszerben a c12 és c3 rugók párhuzamosan vannak kapcsolva (a tömeg K kitérésekor elmozdulásuk ugyanakkora) , eredőjük az 1 1 1 cr c12 c3 képlet alapján számítható. Ide c12 előbb kapott értékét behelyettesítve: 1 1 1 . cr c1 c2 c3 Ebből az eredő rugóállandó: (c c ) c (0,05 0,2) 0,1 5 m cr 1 2 3 10 3 c1 c2 c3 0,05 0,2 0,1 7 N A rendszer vetítő szögsebessége: 1 1 0 20rad / sec cr m 5 10 3 m Ns 2 3,5 7 s m B. Mekkora a lengőrendszer energiája? 1 1 1 Ns 2 2 2 2 E m vmax m ( K 0 ) 3,5 0,01m 20rad / s 0,07 Nm 2 2 2 m C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő és az egyes rugókban felhalmozott maximális energia? Először kiszámítjuk a c3 rugó energiáját. A K 1cm amplitúdójú lengés a c3 rugóban (a rugóállandó K 1cm definíciója alapján) F3 10 N maximális erőt ébreszt. A c3 rugóban felhalmozott c3 0,1cm / N 1 1 1 1 (potenciális) energia U 3 K 2 0,05 Nm . A két sorbakapcsolt rugó energiája a teljes 2 c3 2 0,1cm / N energia mínusz a c3 rugóban felhalmozott energia U12 E U 3 0,07 0,05 0,02 Nm . Ez az energia oszlik meg a két sorbakapcsolt rugó között, rugóállandójuk arányában. c 0,05 c 0,2 U1 1 U12 0,02 0,004 Nm U 2 2 U12 0,02 0,016 Nm c12 0,25 c12 0,25 D. Mekkora amplitúdóval leng a c1 és c2 rugók közös „A” pontja? A c1 rugó megnyúlása számítható a benne felhalmozott munka alapján, melyet az előbb meghatároztunk: 1 1 2 U1 KA , 2 c1 ebből
K A 2U1c1 0,2cm .
2.60. példa ___________________________________________________________________ [5, 18.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
29 Az egyik végén csuklóval megfogott, elhanyagolható tömegű, merev AB rúdra az ábra szerinti m 9kg tömegű testet erősítünk. A rúd közepéhez és „B” végéhez kapcsolt rugók állandója c1 0,09cm / N és c2 0,12cm / N . Feladat: Határozza meg a lengésidőt, ha az m test – a méretek miatt – tömegpontnak tekinthető. Kidolgozás: könyvben Megoldás: T0 0,421sec . 2.61. példa ___________________________________________________________________ [5, 22.o.] A homogén tömegeloszlású, állandó keresztmetszetű, merevnek tekinthető rúd a rajz síkjában az „A” csukló körül forgó lengéseket végez. A rúd hossza 2a 1,2m , tömege m 10kg . A rugóállandók c1 0,06cm / N és c2 0,1cm / N . A csillapító hatásoktól eltekintünk. Feladat: Helyettesítsük a rugókat egyetlen, a rúd végéhez kapcsolódó rugóval úgy, hogy a lengésidő ne változzék meg. A. Mekkora a helyettesítő rugó állandója? B. Mekkora a lengésidő? Kidolgozás: könyvben Megoldás:-
2.62. példa ___________________________________________________________________ [6, 36.o.] Az ábra rúdjai merevek és van tömegük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, és itt a rugó erőmentes. Írja fel az ábrán látható rendszer o potenciális és kinetikus energiáját, o mozgásegyenletet , o saját-körfrekvenciát. Kidolgozás: PPT Megoldás: 2
1 U (1 ) s a2 1 a1 12 2 2
1 2 J11 m 12 J 22 21 12 2 2 s a2 1 a1 s 2 0 red J red 2 J11 m 12 J 22 21 2 2.63. példa ___________________________________________________________________ [6, 34.o.] Az ábra modelljén az hosszúságú rúd merev, de tömegtelen, a rajta levő m tömeg pontszerű. (A modellbeli rudat akkor tekinthetjük tömegtelennek, ha a megfelelő valóságos rúd tömege az adott vizsgálatban elhanyagolható.) A modellnek a rajzolt helyzete egyensúlyi helyzet. A súlyerőt figyelmen kívül hagyjuk. T
Adott:
m, c, a, .
Feladat: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
30 A. Általános elmozduláskoordinátának a rugóvég elmozdulását választva írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Általános elmozduláskoordinátának a rúd elfordulását választva írja fel a mozgás differenciálegyenletét. C. Határozza meg a sajátlengési körfrekvenciát. Kidolgozás: PPT Megoldás: 2 a 1 A. m 2 x s x 0 B. m 2 s a 2 0 C. 0 cm a 2.64. példa ___________________________________________________________________ [9, 74.o.] Vizsgáljuk meg az ábrán látható függőleges helyzetű, m tömegű, hosszúságú, homogén tömegeloszlású rudat, amely az alsó „A” végpontja körül elfordulhat, a felső végpontja pedig egy vízszintes helyzetű, c rugóállandójú rugóval van kikötve úgy, hogy a rúd függőleges helyzetében a rugóerő nulla. Kérdés: A. Létrejöhet-e a rúd rezgőmozgása ezen függőleges helyzet körül? B. Írja fel a mozgásegyenletet. Kidolgozás: Az egy szabadságfokú rendszer általános koordinátájaként válasszuk a rúd szögelfordulását a függőleges helyzethez képest. Kis szögelfordulásokat vizsgálva, alkalmazzuk a sin és a 1 cos 1 2 közelítéseket. 2 A potenciális energia a rugóban felhalmozott rugalmas energiából és a rúd helyzeti energiájából tevődik össze. A rúd helyzeti energiáját a súlypont magasságával jellemezzük. 1 1 2 U rugó ( ) 2 U rúd _ súlypont _ magasság m g (1 cos ) mg 2 c 2 2 2 A teljes potenciális energia: 1 1 2 1 2 U ( ) U rugó U rúd _ súlypont _ magasság ( ) 2 m g mg 2 2 c 2 2 2 c 2 A 0 egyensúlyi helyzet akkor stabilis, ha az U ( ) potenciális energiának minimuma van: U ( ) 2 2U ( ) 2 és mg 0 , mg 0 , 2 c 2 2 c vagyis ha a rugóállandó elég kicsi (illetve a rugómerevség elég nagy): 1 1 s mg 0 c 2 Tegyük fel, hogy ez a feltétel teljesül. Ekkor a rúd a függőleges, stabilis egyensúlyi helyzete körül rezgőmozgást képes végezni. Ennek mozgásegyenletéhez szükség van még a kinetikus energiára: 1 1 m 2 2 2 T ( ) J A . 2 2 3 A mozgásegyenlet 2 m 2 d T T U mg 0 . 0, dt 3 2 c Átrendezve: 3 g 3 0 mc 2
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
31
3. CSILLAPÍTATLAN GERJESZTETT RENDSZEREK 3.1. példa ________________________________________________________________________ [F 1] Az ábrán egy csillapítatlan, gerjesztett lengőrendszer vázlatos képe látható. A rendszer az egyensúlyi helyzet körül ki kitérésű rezgéseket végez a vízszintes síkban. Az (1) és (2) jelű merev, prizmatikus rudak egymásra merőleges helyzetben vannak mereven összeerősítve. Mindkét rúd m tömegű, illetve hosszúságú. Adatok: m 6kg ; s1 s2 s 5000 N / m ; r0 6mm . 0,5m ;
Feladat: Határozza meg, hogy a gerjesztett rezgés állandósult állapotban A. mely értékeinél lesz az „A” pont xa (t ) kitérése ellenfázisban az r (t ) gerjesztéssel ( i ? )! B. a gerjesztési körfrekvencia értékét a sajátkörfrekvencia kétszeresére választva ( 2 0 ) mekkora lesz az s2 merevségű rugóban ébredő erő maximális értéke ( Fr 2, max ? )! Kidolgozás: Megoldás: 3.2. példa ___________________________________________________________________ [3. 391.o.] A tökéletesen simának feltételezett sínek között egyenesbe vezetett m tömegű pontszerűnek tekinthető testhez az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandójú elhanyagolható tömegű hengeres csavarrugók kapcsolódnak. A c2 jelű rugó szabad végét y0 sin t függvény szerint változó koordinátával gerjesztjük (útgerjesztés). A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; c1 ; c2 ; y0 sin t . Feladat: A. Írjuk fel a rezgőrendszer differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását. C. Ábrázoljuk a függvényében az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldásában x szereplő x0 amplitúdójának és a gerjesztő-függvény y0 amplitúdójának 0 hányadosát. y0 Kidolgozás: Könyv Megoldás: A vizsgált modell mozgását leíró differenciálegyenlet: y sin t x 1 (1) mx x 0 c1 c2 Az (1)-et rendezve, x együtthatójával végigosztva, majd x -et kiemelve: y 11 1 (2) x x 0 sin t m c1 c2 mc2 A rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája:
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
32
0
11 1 . m c1 c2
(3)
A (3)-at (2)-be behelyettesítve:
x 02 x
y0 sin t mc2
Folyt köv.
3.3. példa ___________________________________________________________________ [3. 394.o.] Az R sugarú m tömegű, homogén tömegeloszlású korong „A” pontjában a rajz síkjára merőleges ideális csapágyazású tengely körül forgórezgéseket végezhet. A koronghoz az ábra szerinti elrendezésben c0 , c1 , c2 és rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett spirál és hengeres csavarrugók kapcsolódnak. A c2 rugóállandójú rugó szabad végét Fg F0 sin t törvényszerűség szerint változó erővel gerjesztjük. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adott: m ; R ; c0 ; c1 ; c2 ; c3 ; F0 . Feladat: A. Határozza meg a vázolt rezgőrendszer rezonancia körfrekvenciáját. rez ? B. Mekkora a gerjesztett rezgéseket végző tárcsa szögkoordinátájának rezgési amplitúdója állandósult állapotban? 0 ? C. Határozza meg a tömegtelennek tekintett, c2 rugóállandójú rugó (1) jelű végének mozgástörvényét! y1 (t ) ? Kidolgozás: A. A vizsgált modell mozgását leíró differenciálegyenlet: 1 1 1 (1) J AA Fg R c0 c1 c2 ahol J AA a korong „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka: 1 (1) J AA mR2 . 2 Az (1)-et rendezve, (2)-t behelyettesítve, majd együtthatójával végigosztva és -t kiemelve: 2 F0 2 1 1 1 sin t . 2 mR mR c0 c1 c2 A rezgőrendszer rezonancia körfrekvenciája: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
33
rez 0
2 1 1 1 mR2 c0 c1 c3
Folytatás Könyvben
3.4. példa ____________________________________________________________________ [6. 72.o.] Az ábra rúdjai merevek és van tömegük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, és itt a rugó erőmentes. Írja fel az ábrán látható rendszer mozgásegyenletét.
3.5. példa ___________________________________________________________________ [3. 397.o.] Az m tömegű, tökéletesen simának feltételezett felületek között egyenesben vezetett testhez az ábra szerinti elrendezésben c1 és c2 rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugók kapcsolódnak. Az m tömegű egyenesbe vezetett test „O” pontjához egy hosszúságú „vékony” merev, tömegtelennek tekintett rúd kapcsolódik, melynek „D” jelű végére pontszerű m0 tömeget erősítettünk. Az hosszúságú rúd, az m tömegű test „O” pontján átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül állandó szögsebességgel forog. A vázolt rezgőrendszer a vízszintes síkban végzi a mozgását. Adott: m ; m0 ; c1 ; c2 ; ; ; . Feladat: Határozzuk meg a vázolt gerjesztett rezgőmozgást végző modell x koordinátájának mozgástörvényét x(t ) ? az x(0) 0 és x (0) 0 jellemzőjű indítás esetén. Kidolgozás: Könyvben 3.6. példa ___________________________________________________________________ [3. 401.o.] Az m tömeg tökéletesen simának feltételezett vezetékben mozoghat. A tömeghez az ábra szerinti elrendezésben kapcsolt c rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugó másik végét kulisszás hajtómű mozgatja. A kulisszás hajtómű mechanizmusa, amint az ábrán is látható, a következő elemekből áll: Egy R sugarú tárcsából, mely az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül állandó szögsebességgel forog, továbbá egy a tárcsán található „D” jelű csapból, mely a (B) jelű, simafalú vezetékben (kulisszában) mozoghat, amely mint merev test mereven az (e)-jelű vízszintes rúdhoz kapcsolódik.
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
34 Az (e) rúd a „B” és „E” jelű simafalú sínekben vízszintes irányban mozoghat. Az m tömeg állandósult rezgés állapotában a rezgőmozgást leíró x koordináta A amplitúdójának nagyságát ismerjük, és feltételezzük, hogy az hányados nagyobb, mint 1 . ( 0 a sajátlengés körfrekvenciája.) 0 Adatok: m 0,002 N sec2 / cm ; R 10cm ; c 0,01cm / N ; A 2cm . Feladat: Mekkora az sugarú tárcsa állandó szögsebességének nagysága? ? Kidolgozás:-
6 02 54,25rad / sec .
Megoldás:
3.7. példa ___________________________________________________________________ [3. 402.o.] Az ábrán látható sima, elhanyagolható tömegű cső belsejében tökéletesen simának feltételezett felületek között m tömegű testet helyeztünk el. A testet a csővel c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugó köti össze. A keretet a vízszintes síkhoz rögzített koordinátarendszerhez képest U U 0 sin t törvényszerűség szerint mozgatjuk. Tegyük fel, hogy a tömeg csak a gerjesztett rezgésrésznek megfelelően mozog. Nyugalmi állapotban a c rugóállandójú rugó erőmentes. Adott: m ; c ; ; U0 .
Feladat: Ábrázoljuk a rugóban ébredő periodikusan változó erő amplitúdóját függvényében. F0 ( ) ? Megoldás:
F0 ( )
U 0 2 c( 02 2 )
3.8. példa ______________________________________________________ MCD [5. 77.o.] [3. 403.o.] A B-D elhanyagolható tömegű, merev rúd „B” végét helytálló csuklóhoz rögzítettük, „D” végére pedig m tömegű pontszerű testet erősítettünk. A rúd „B” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül foroghat. Az ábra szerinti elrendezésben a rúdhoz c1 az m tömeghez rugóállandójú tömegtelennek tekinthető rugók c2 kapcsolódnak. A c2 rugóállandójú rugó „E” végét függőleges egyenesen y y0 sin t törvényszerűség szerint mozgatjuk. A rezgőrendszer a vízszintes síkban végzi a mozgását. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adatok: m 100kg ; c1 0,001cm / N ; c2 0,0005cm / N ; y0 5cm ; 31,4rad / sec . Feladat: A. Határozza meg a tömeg gerjesztett lengésének amplitúdóját. B. Mekkora a c2 rugóban ébredő maximális erő számértéke? Fmax ? C. Rajzolja fel jelleghelyesen a gerjesztés és a válasz szinorját. Kidolgozás: Válasszuk elmozdulás koordinátának a tömegpont x elmozdulását (kis szögekre). 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
35 Rugóállandó helyett rugómerevséggel számolunk: s1 Kinematikai kapcsolat: x1 x / 2 . Tömegpont kinetikus energiája 1 T m x 2 , 2 A két rugó potenciális energiája:
1 1 1000 N / cm ; s2 2000 N / cm . c1 c2
T m x , x
d T m x . dt x
U s1 1 2 1 1 x 1 1s s2 x s1 x1 s2 x 2 s1 s2 x 2 1 s2 x 2 x 4 2 2 2 2 2 2 4 Homogén mozgásegyenlet: Sajátkörfrekvencia: s1 s2 s1 0 4 47,43rad / sec mx s2 x 0 m 4 Inhomogén mozgásegyenlet s mx 1 s2 x s2 y0 sin t 4 Megoldást feltételezzük x(t ) x0 sin t alakban, behelyettesítjük fenti egyenletbe: 2
U U1 U 2
s 2 mx0 sin t 1 s2 x0 sin t s2 y0 sin t 4 s 2 mx0 1 s2 x0 s2 y0 Egyszerűsítés után: 4 s2 s 2 y0 m Ebből x0 kifejezve: x0 y0 2 s 1 02 2 m s2 4 (A képletben az „ x0 ” a rúd „D” végpontjának függőleges irányú maximális elmozdulása, állandósult állapot feltételezésével.) Megoldás: A. A tömeg gerjesztett lengésének amplitúdója x0 7,911cm B. Fmax
y0 x0 5 7,91 5822 N c2 0,0005
C. A két szinor egymással fázisban van, körfrekvenciával forognak a komplex síkon az origó körül. A gerjesztés szinorának amplitúdója y0 5cm , a válasz szinorának amplitúdója x0 7,911cm x 7,911cm. 3.9. példa ___________________________________________________________________ [3. 404.o.] Az ábrán tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra helyezett, pontszerűnek tekinthető m tömegű test és a hozzá csatlakozó c rugóállandójú elhanyagolható tömegű rugóból álló rezgőrendszer modellje látható. F Az m tömegre Fg F0 sin t 0 sin 3 t törvényszerűség 3 szerint változó gerjesztő erő működik. Adott:
m ; c ; F0 ;
0
. 2 Feladat: Határozza meg és ábrázolja a mozgást leíró differenciálegyenlet alapján az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását megadó függvényt. xinh. part (t )
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
36 Megoldás: Ellenőrizni
3.10. példa __________________________________________________________________ [3. 405.o.] Az egyik végén befogott, tömegtelennek tekinthető hosszúságú tartó, mint c rugóállandójú laprugó „B” jelű végéhez csuklósan csatlakozik az R hosszúságú, elhanyagolható tömegű rúd. A „BE” rúd „E” jelű végére, m0 tömegű, pontszerű testet rögzítettünk. A B csuklóponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül az R hosszúságú rúd állandó 0 szögsebességgel forog. Feltesszük, hogy a laprugó hosszirányban mereven viselkedik. A laprugó „B” jelű végének elmozduláskoordinátáját jelöljük y -nal. (A mozgás a vízszintes síkban történik) Adott: m ; c ; R ; 0 . Feladat: Határozza meg a vázolt modell „B” pontjának y koordinátáját az idő függvényében, állandósult rezgési állapot figyelembevételével. y (t ) Kidolgozás:F0 m0 R02 Megoldás: F0 m0 R02 y (t ) sin t sin 0t 0 2 2 1 m0 ( 0 ) m002 c 3.11. példa __________________________________________________________________ [3. 406.o.] Az m tömegű homogén tömegeloszlású rúd „O” végpontja helytálló csuklóhoz kapcsolódik. A rúd a rajz síkjára merőleges „O” csuklón átmenő tengely körül forgórezgéseket végezhet a vízszintes síkban. A rúd „B”, „O” és „D” jelű pontjához c0 , c1 , c2 , és c3 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető rugók kapcsolódnak. A c3 rugóállandójú rugó „E” jelű végét
y y0 sin t törvényszerűség szerint mozgatjuk. Az „O” jelű csapágyat simának tekintjük. Az ábra szerinti helyzet egyensúlyi állapotot jelent, itt a rugók erőmentesek. Adott: m ; c0 ; c1 ; c2 ; c3 ; ; y0 ; . Feladat: A. Határozza meg az OB rúd „O” csapja körül végzett forgórezgésének rezgésidejét (T ?) A gerjesztett rezgés vizsgálatnál az állandósult állapotot vegyük tekintetbe. B. Milyen körfrekvencia esetén lép fel rezonancia a koordinátára vonatkozóan? (rez ?) C. Határozza meg a
0 y0
hányadost állandósult lengésekre az függvényében.
Kidolgozás:Megoldás:
3 1 2 2 2 m 2 c0 c1 c2 4c3 3.12. példa __________________________________________________________________ [3. 407.o.] A. T
2
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
B. rez 0
37 Az ábra szerinti rezgőrendszer 1 hosszúságú, c0 rugóállandójú, elhanyagolható tömegű, „A” végén befogott torziós tengelyből és „B” végpontján mereven hozzáerősített, hosszúságú, merev, tömegtelennek tekinthető rúdból áll. Tételezzük fel, hogy az 1 tengely csupán a csavaró igénybevétel hatására szenved deformációt, a hajlítással szemben viszont „merev”. A BD rúd D végéhez egy m1 0 tömegű csapágyat erősítettünk, melyben az elhanyagolható tömegű EF rúd illeszkedik. Az „E” és „F” pontokban az EF rúdhoz mereven az ugyancsak elhanyagolható tömegű, 2 hosszúságú merev rudak kapcsolódnak, melyeknek végein m0 nagyságú pontszerű tömegek találhatók. Az EF rúd a D csapban szögsebességgel forog. (A súlyerő hatásokat tekintsük a megoldásnál zérusnak.) Adott: ; 1 ; 2 ; m0 ; ; G csúsztató rugalmassági modulus, I p az AE rúd keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatéka. Feladat: Határozza meg a vázolt modell „D” pontjának y (t ) koordinátáját. (Csak a gerjesztett rezgésrészt vizsgáljuk.) Kidolgozás:1 2 Megoldás: ahol és 02 2 c0 1 . y (t ) 22 sin t , 2 I pG 2 c0 m0 0 3.13. példa __________________________________________________________________ [3. 408.o.] Az ábrán egy mechanikai elven működő műszer elvi vonalas vázlata látható. A műszer mutatójának tehetetlenségi nyomatéka az „A” ponton átmenő a rajz síkjára merőleges ideális csapágyazású tengelyre J AA . Az m tömegű testhez csatlakozó c rugóállandóval jellemzett rugót, valamint a hozzá kapcsolódó AD merev rudat tömegtelennek tekintjük. Az AD rúd a mutatóhoz mereven kapcsolódik. A modell a vízszintes síkban végezhet rezgőmozgást. A c rugó szabad vége a gerjesztés hatására U U 0 sin t törvényszerűség szerint mozog. Adott: m ; c ; ; ; U 0 ; J AA . Feladat: A. Írja fel a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenletet. B. Határozza meg az gerjesztő körfrekvencia rezonanciaveszélyes értékét a koordinátára vonatkoztatva. Kidolgozás:Megoldás: U0 2 2 B. sin t rez 0 ( J AA m 2 ) c ( J AA m 2 ) c ( J AA m 2 ) c 3.14. példa __________________________________________________________________ [3. 409.o.] A.
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
38 Az ábrán egy mérőműszer elvi vonalas vázlata látható. A berendezés egyrészt az OB jelű m tömegű, merev mutatóból áll, mely az „O” ponton átmenő és a rajz síkjárta merőleges tengely körül elfordulhat. Az „OB” rúdhoz a D csuklópontban egy zérus tömegű függőleges rúd közvetítésével kapcsolódik az ábra szerinti „A” keresztmetszeti területű dugattyú. A dugattyúház rögzített, a dugattyú és a dugattyúház között c rugóállandójú hengeres csavarrugó található. A mérőműszer mutatójának „B” jelű vége a dugattyúra működő p0 állandó nyomásnál u értékkel tér ki. A műszer rugózását az jellemzi, hogy p0 2MPa statikus nyomásnál az u 0,5cm . Adott:
t0 0,1sec ; 3
m 6 10 kg ;
p0 2MPa ;
A 1,6cm 2 ;
u 0,5cm ;
1 8cm ;
2 2cm ;
3,14rad / sec
Feladat: A. Számítsa ki a vázolt rezgőrendszer gerjesztő körfrekvenciájának rezonanciaveszélyes értékét, ha a szelepre ható p nyomás nagysága p p0 sin t törvény szerint változik. (rez ?) x B. Határozza meg az 0 hányadost az függvényében. ( F0 p0 A) p0 0 Kidolgozás:Megoldás: 1 A. rez 0 80,32rad / sec 4 5 10 3,1 10 2 x B. R 0 p0
4. SZABAD CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK 4.1 példa ____________________________________________________________________ [3. 409.o.] A tökéletesen simának tekinthető vízszintes síklapra az m1 és m 2 tömegű pontszerű testeket helyeztük. A testekhez az ábrán látható módon „vékony” merev elhanyagolható tömegű, (b) jelű rudak kapcsolódnak csuklók segítségével. A rudak „A” és „E” jelű végét helytálló csuklóhoz erősítettük. Az m1 és m 2 testek közé c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető rugót és k csillapítási tényezőjű dugattyút iktattunk be. Az ábrán vázolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. Adott: m1 ; m2 ; ; c ; k Feladat: 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
39 A. Határozza meg az ábrán vázolt rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenletet. B. Mekkora a rezgőrendszer hozzárendelt körfrekvenciája? d ? Kidolgozás: 9 A. (m1 16 m2 ) x1 9k x1 x1 0 c B. A vizsgált rendszer (csillapítatlan) sajátkörfrekvencianégyzete: 9 02 (m1 16 m2 ) c A hozzárendelt (csillapított) körfrekvencia:
9 81k 2 k (m1 16 m2 ) c 4(m1 16 m2 ) 2 2m 4.2 példa ____________________________________________________________________ [3. 373.o.] A tökéletesen simának tekinthető vízszintes síkra helyezett m tömegből c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek vett rugóból és k csillapítási tényezővel jelölt rezgéscsillapító szerkezetből álló rezgőrendszer modellje látható az ábrán.
d 02
2
A rendszert a t0 0 időpontban az ábrán látható értelmű v0 kezdősebességgel rezgésbe hozzuk és azt tapasztaljuk, hogy a rezgést leíró x(t ) függvény amplitúdója 10 „teljes rezgés” után t 9 sec -ban a felére csökken. (A t0 0 időpontban legyen x 0 ). A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes. Adott: m 0,02kg ; t 9 sec . Indítási feltételek: t 0 -nál x0 0 , x0 v0 . Feladat: Számítsa ki a csillapítóerő arányossági tényezőjét (csillapítási együtthatót). k ? Kidolgozás: Könyvben Megoldás: k 0,0308N sec/ cm .
4.3 példa ____________________________________________________________________ [3. 377.o.] Az ábrán egy mérőműszer modellje látható. A mérőműszer mutatójának tehetetlenségi nyomatéka „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre J 00 , rugózása pedig olyan, hogy az „O”-n átmenő forgástengelyre működő M o nyomaték a mutató 0 elfordulását eredményezi. A mutatóhoz mereven kapcsolódik az elhanyagolható tömegű h hosszúságú merev kar, melynek „E” pontjához csuklósan csatlakozik a k csillapító dugattyú. A mutató csapsúrlódását zérusnak tekintjük. (A mozgás síkja a vízszintes sík.) A rajzolt állapot egyensúlyi, a co spirálrugó a vázolt alaphelyzetben nyomatékot nem fejt ki. A mutatót nyugalmi egyensúlyi helyzetéből 1 200 -kal kitérítve, az ábra szerinti, „A” kiinduló helyzetből kezdősebesség nélkül elengedve, a mutató az alaphelyzeten túllendül, majd ezt követően 2 -vel jellemzett „B” helyzetig jut el. A vizsgált rezgőrendszert enyhe csillapításúnak tekintjük. rad Adott: ; J oo 0,6 N sec2 cm ; c0 0,1 1 200 ; 2 20 . Ncm Feladat: A műszer J oo tehetetlenségi nyomatékú mutatóját kétszeres tehetetlenségi nyomatékú (2 J oo ) mutatóra cseréljük ki. A. Számítsa ki a modell rezgésidejét az eredeti mutató (T ?) és a kicserélt mutató (T * ?) esetében. B. Határozza meg a rezgéscsillapítás mértékét az eredeti mutató ( ?) és a kicserélt mutató (* ?) esetében. 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
40 C. A rezgés említett jellemzői ( T * és * ) %-ban kifejezve milyen mértékben változnak a rugócsere következtében? Kidolgozás: Könyvben 4.4 példa ____________________________________________________________________ [3. 382.o.] Az ábrán látható rezgőrendszer összes rúdja merev, „vékony”, elhanyagolható tömegű. A c rugóállandóval jellemzett rugó tömegtelennek tekinthető. Az „O” csuklóval megfogott rúdnak van csak tömege. Az „O”-val jelölt és a rajz síkjára merőleges forgástengelynél ébredő csapsúrlódást zérusnak vesszük. A „DE” jelű derékszögben meghajlított merev rúd a „G” jelű sínben súrlódásmentesen mozoghat. Az „E”-ben a k 2 csillapítási tényezőjű munkahenger házát a „DE” derékszögben meghajlított merev rúdhoz erősítettük.
A „DE” rúd az „AB” rúdhoz a „D” csukló közvetítésével kapcsolódik. Az „AB” rúd „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges forgástengelyre számított tehetetlenségi nyomatékát jelöljük J oo -val. A mozgás a vízszintes síkban történik. Adott: J oo ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; c ; k1 ; k 2 . Feladat: Írja fel a rezgőrendszer mozgását jellemző differenciálegyenletet! Kidolgozás: 4 Megoldás: J oo k112 k2 ( 3 2 ) 3 3 c 4.5 példa ____________________________________________________________________ [3. 383.o.] Az R sugarú, m tömegű, homogén tömegeloszlású korong az „A” pontban a rajz síkjára merőleges tengely körül forgórezgéseket végezhet. A koronghoz az ábra szerinti elrendezésben a c és c0 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett hengeres csavar- és spirálrugó csatlakozik, valamint csillapítási tényezővel jellemzett rezgéscsillapító. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A rendszert enyhe csillapításúnak tekintjük. Adott: m ; R ; b ; k ; c0 ; c . Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer csillapított körfrekvenciáját. (d ?) Kidolgozás:Megoldás: 2
2 1 b 2 kR2 k2 d 2 2 J AA m2 mR c0 c 4.6 példa ____________________________________________________________________ [3. 383.o.]
02
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
41 Egy rezgőrendszer a sebességével egyenesen arányos csillapítással rezgőmozgást végez. A q val jelölt elmozdulás-koordináta értékeket mérések alapján állapítottuk meg. Ennél a csillapításnál az egymást követő azonos értelmű koordináták számértékének logaritmusai számtani sorozatot képeznek. A méréssel meghatározott q koordináták számértékeinek logaritmusait a t idő függvényében az ábrán láthatjuk. Adott: m 0,765kg a rezgőrendszer tömege T 2,07 a rezgésidő mért értéke.
A q koordináták számértékeinek logaritmusai: ln q1 3,85 ln q2 3,74 ln q3 3,45 ln q4 3,34 ln q5 3,05 Feladat: A. Határozza meg a koordinátához tartozó csillapítási tényezőt. kq ?
ln q6 2,94
ln q7 2,65
B. Számítsuk ki a rezgőrendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciáját. 0 ? C. Mekkora a q elmozdulás-koordinátához tartozó rugóállandó? cq ? Kidolgozás:Megoldás: 1 2m k rad B. 0 d2 C. cq ? 3,07 T0 sec m 02 2m 4.7 példa _____________________________________________________________________ [2. 81.o.] A vázolt lengőrendszer m tömege vízszintes sima síkon mozoghat. A mozgásnak indított és magára hagyott rendszer lengésének amplitúdója 5 teljes lengés után a kezdeti érték egytizedére csökken. Adatok: m 5kg ; s 104 N / m . Feladat: A. Állapítsa meg a k csillapítási tényezőt. B. Írja föl a mozgás differenciálegyenletét. C. Írja föl a mozgásegyenletet, ha a kezdeti feltételek: t0 0 ; x(0) 5cm ; v(0) 0m / s Kidolgozás: Megoldás: 4.8 példa ____________________________________________________________________ [3. 385.o.] 2
A. k q
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
42 Az ábrán egy mutatós műszer elvi vonalas vázlata látható. Az „A”-ban csapágyazott, a rajz síkjára merőleges tengely súrlódásmentes. A műszer tekercsét visszatérítő rugó rugóállandója c0 . A tekercs tehetetlenségi nyomatéka az „A”-n átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre J AA . A mutató, a spirálrugó és a műszer többi része tömegtelen. A modell enyhe csillapítású. Adott: J AA 4 108 Ncm sec2 ; R 0,4cm ; c0 1 106 rad / Ncm
Feladat: A. Számítsa ki a rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciáját. 0 ? B. Enyhe csillapítás esetén milyen nagyságú k csillapítási tényezőt kell választani ahhoz, hogy egy teljes rezgési periódus ideje a csillapítás nélküli rezgésidő 1,1 -szerese legyen? Kidolgozás:1 rad Megoldás: A. 0 . 0,5 sec J AA c0
02
4 2 R 4 Ncm 2,42 10 5 4 2 2 sec R 1,1 T 4.9 példa ____________________________________________________________________ [3. 386.o.] Az sugarú, tömegű, homogén R m tömegeloszlású korong csúszásmentesen gördülhet a vízszintes síkon. A koronghoz két darab c rugóállandóval jellemzett, tömegtelennek tekintett csavarrugó kapcsolódik az ábra szerinti elrendezésben. A koronghoz kapcsolódik még az ábrán rajzolt módon a (b) jelű „vékony” merev, tömegtelennek tekintett rúd, amely az „O” pontjában a rajz síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. A rúd „A” jelű végpontja k csillapítási tényezővel jellemzett csillapítórendszerhez csatlakozik. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A rezgőrendszert enyhe csillapításúnak tételezzük fel. Adott: m , c , R , k . Feladat: A. Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. 0 ? B. Mekkora a csillapított rezgés körfrekvenciája? d ? Kidolgozás:-
B. k J AA
2
100 k B. d 02 . 27 m c 3m 4.10 példa ____________________________________________________________________ [2. 82.o.] Az m tömegű, R sugarú korong az O ideális csukló körül foroghat. A kerületéhez csuklóval kapcsolt rugók merevsége egyenlő. A lengéscsillapítót a koronghoz mereven rögzített „a” hosszúságú kar A pontjához ugyancsak csukló kapcsolja. Adatok: m 4kg , R 0,5m , a 0,3m , c 2 104 m / N .
Megoldás:
A. 0
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
43 Feladatok: A. Állapítsa meg a k csillapítási tényezőt úgy, hogy a megindított és magára hagyott lengőrendszer mozgása az „aperiódikus határeset”-nek feleljen meg. B. Rajzolja meg a kitérés-idő függvényt (t ) -t a 0 t 5 sec intervallumban, ha az indítási feltételek: x(0) 0 , a A (0) 4 / m / s 2 .
4.11 példa ___________________________________________________________________ [3. 387.o.] A (b) jelű merev, elhanyagolható tömegű rúd „O” pontjában a rajz síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. Az ábra szerinti elrendezésben a (b) jelű elhanyagolható tömegű merev rudak „B” és „D” végpontjához c1 és c2 rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető hengeres csavarrugók, az „E” ponthoz k csillapítási tényezővel jellemzett csillapítóhenger, és „F” pontjához pedig egy m tömegű pontszerűnek tekinthető test kapcsolódik. Az ábra a nyugalmi helyzetet mutatja, itt a rugók erőmentesek. (A mozgás síkja a vízszintes sík.)
Adatok:
1 19cm , c0 0,05rad / Ncm ,
2 18cm , c1 0,02cm / N ,
k 0,05N sec/ cm ;
m 2 102 N sec2 / cm .
3 18cm , c2 0,05cm / N
4 12cm , vD0 2cm / sec ,
Feladat: A. Írja fel a rezgőrendszer differenciálegyenletét és a differenciálegyenletet megoldva határozza meg a BD rúd szögelfordulás koordinátájának időtől való függését, ha t 0 időpontban 0 helyzetben a B-D rúd D végpontjának az ábrán látható vektorú v D 0 a kezdősebessége. (t ) ? B. Határozza meg a rezgőrendszer hozzárendelt rezgésidejét. T ? Kidolgozás:Megoldás: k 24
v A. (t ) D 0 e 2 J oo sin d t 1 v
ahol
d
1 1 12 22 k 2 24 26,6rad / sec m 23 c0 c1 c2 4m 2 23
tehát (t ) 3,9 103 e7975t sin(26,6 t ) ELLENŐRIZNI !!!!!!!! 2 B. Td 0,236 sec . d 4.12 példa ___________________________________________________________________ [3. 389.o.] A (b) jelű merev elhanyagolható tömegű rúd „A” végét a rajz síkjára merőleges, ideális csapágyazású tengelyhez kapcsoltuk. A (b) jelű rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben m1 és m2 tömegű pontszerű testet, valamint c0 és c rugóállandóval jellemzett elhanyagolható tömegű spirál és csavarrugókat, továbbá csillapítási tényezőjű k munkahengert erősítettük. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek. Adatok: 1 20cm ,
2 20cm ,
3 10cm ,
c 0,05cm / N ,
m2 2 N sec2 / cm . m1 4 N sec2 / cm , k 0,05N sec/ cm , c0 0,02cm / N Feladat: Határozza meg a, hogy a vázolt rezgőrendszer erős, vagy enyhe csillapítású-e? Kidolgozás:Megoldás: A vizsgált rezgőrendszer gyengén csillapított, mert 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
44 2
k 12 4,6 10 4 . 68,77 10 2 J AA 4.13 példa ____________________________________________________________________ [2. 83.o.] Az ábrán látható lengőrendszer adatai: Adatok: m 2kg , c 3 103 m / N ,
02
2
c0 2 104 rad / Nm , 1m , a 0,3m Feladatok: A. Mekkora a k csillapítási tényező, ha a két teljes lengés után az amplitúdó a kezdeti érték 0,05 -szörösére csökkent? x(t 2T ) 0,05 x(t ) B. Határozza meg a rendszer lengésidejét. C. Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a rúd tömegét a kétszeresére növeljük? 4.14 példa ____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A vázolt fizikai inga lengését csak a levegő – sebességgel arányosnak tekinthető – ellenállása csillapítja. Ha az ingát 0 50 szélső helyzetből lökés nélkül indítjuk mozgásnak, 60 teljes lengés után áll meg. (Tekintsük „állónak” az ingát, ha kitérése 10 szögpercnél kisebb.) Adatok: m 5kg , 0,7m , R 0,3m Feladat: Mekkora k csillapítási tényezővel jellemezhető ebben az esetben a légellenállás hatása?
5. GERJESZTETT CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK 5.1 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozzuk meg az gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.
5.2 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
45 állapotban. C. Határozzuk meg az gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.
5.3 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozza meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozza meg az gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.
5.4 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozza meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozza meg az gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.
5.5 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját F0 ill. y0 tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans. Feladat: A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított fázisszögét állandósult állapotban. C. Határozzuk meg az gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.
5.6 példa _____________________________________________________________________ [2. 84.o.] Az ábrán vázolt rendszer az hosszúságú, elhanyagolható súlyú és m tömegű merev rúdból és az ennek végén rögzített tömegű golyóból áll. A rúd „A” végpontjában a függőleges helyzetű, rögzített csaphoz síkcsuklóval kapcsolódik és ekörül a vízszintes síkban forgó mozgást végezhet. P1 pontjában a csillapítási tényezőjű folyadékfék kapcsolódik a rúdhoz, és az M g M 0 cos t nyomaték terheli. A t0 0 időpillanatban a rúd helyzetét a 0 0 szög jellemzi, ebben a pillanatban a rugó terheletlen. 01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
46 Feladat: Írja fel a mozgásegyenletet úgy, hogy a választott általános elmozduláskoordináta az A. x legyen. B. x1 legyen. C. x2 legyen. D. 2 legyen. Kidolgozás:M k 2 S 2 Megoldás. A. mx 22 x 21 x 0 cos t D. m 2 k 22 S12 M 0 cos t 5.7 példa ____________________________________________________________________ [1. 322.o.] Az ábra két tömegű, egy szabadságfokú rendszert ábrázol. A függőleges rúdhoz k tényezőjű folyadékfék kapcsolódik. Mindhárom rúdnak elhanyagolható a tömege és a tehetetlenségi nyomatéka, és tökéletesen merevnek tekinthető mindegyik. k Az ábra szerint M g M 0 cos t gerjesztő-nyomaték terheli a rendszert. A gerjesztő-nyomatékot a P0 és B pontokban ható – erőpárt alkotó M Fg F0 cos t 0 cos t 0 nagyságú erőkkel állítjuk elő. Feladat: Írja fel a rendszer mozgásegyenletét. Kidolgozás: Megoldás a könyvben 5.8 példa ________________________________________________________________________ [F 1.] Az ábrán vázolt r sugarú, m1 tömegű, homogén tömegeloszlású és sima felületű korong mozgásállapotát a súlypontjához rendelt Ω 0 c1 c1 i P0 kinematikai vektorkettős jellemzi abban a t0 0 időpillanatban, amikor nekiütközik a nyugalomban levő m2 tömegű, hosszúságú, homogén tömegeloszlású prizmatikus rúdnak. A rúd az ütközés hatására adott 2 kezdeti szögsebességgel mozgásnak indul, és kis kitérésű lengéseket végez az ábrán vázolt függőleges síkban. Mozgását az "A" ponton átmenő vízszintes tengely körüli szögelfordulását leíró (t ) koordinátával jellemezzük. Feladat: 1.) Számítsa ki a csillapított rendszer rezgésének periódusidejét. (T ?) 2.) Írja fel a lengőrendszer ( ütközés utáni ) mozgástörvényét! (t ) ? 3.) Számítsa ki a.) a rúd maximális szögkitérését, max ? b.) a csillapító erő maximális értékét. Fd
max
?
4.) Határozza meg az m1 tömegű test ütközés előtti sebességét! c1 ? Adatok:
m1 8kg m2 6kg , 1,2m ,
k * 1 (ütközési tényező) (0) 0 0 , (0) 2 3rad / sec ,
k 48Ns / m , st 396 Nm / rad
g 9,81m / s 2 ,
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
47 5.9 példa _____________________________________________________________________ [2. 85.o.] Az ábrán vázolt, vízszintes síkban mozgó lengőrendszer mozgástörvénye állandósult állapotban (a saját-lengésrész lecsillapodása után) (t ) 0 cos(t ) alakban írható, ha a rúd szögelfordulását választjuk független változónak. (Ha pl. a „B” pont elmozdulását vesszük fel független változónak, akkor e pont mozgástörvénye yB (t ) yB0 cos(t ) alakú, ahol nyilván yB 0 0 )
Adatok:
m 2kg k 81,77 Ns / m ,
0,8m F0 40 N .
c1 3 104 m / N ,
c2 5 104 m / N ,
Feladat: A. Mekkora a gerjesztő hatás körfrekvenciája, ha a gerjesztett mozgás amplitúdója 0 0,1rad 5,72960 (Vagy y0 0,08m )? B. Mekkora ebben az esetben a gerjesztő hatás és a gerjesztett lengés fáziskülönbsége? C. Mekkora a rugókat feszítő legnagyobb erő? D. Mekkora a gerjesztő hatás átlagos teljesítménye? E. Mekkora a csillapítóerő legnagyobb értéke és a csillapítás átlagteljesítménye? F. Ha a gerjesztő hatást hirtelen megszüntetjük ( y g 0 lesz), hány lengés után csökken a kitérés yB 0,1mm -re? G. Mekkora I gerjesztő körfrekvenciánál lesz a „B” pont kitérése éppen y0 nagyságú? (Lehet-e a „B” pont kitérése y0 -nál kisebb?) H. Feltéve, hogy a lengőrendszerünk lineáris differenciálegyenlete a rezonanciában kialakuló nagyobb kitérések esetén is érvényes marad, állapítsuk meg 0 értékét, ha 0 . (Az eredmények alapján ítéljük meg, hogy valóban lineáris marad-e a differenciálegyenlet?) I. Közelítőleg mennyi idő alatt alakulhatna ki rezonancia esetén ilyen nagy kitérésű lengés? 5.10 példa _______________________________________________________________________ [F 2.] Adatok: m 1,2kg k 28Ns / m s 104 N / m , st 180 Nm / rad ,
0,4m , r0 10,08mm .
Feladat 1. Írja fel a lengőrendszer mozgásegyenletét! 2. Feltételezve, hogy a rendszer rezonanciában van, határozza meg az állandósult rezgés szögkitérésének maximum értékét! 3. Az állandósult állapotban számítsa ki a csavarrugóban ébredő erő maximumát!
5.11 példa ____________________________________________________________________ [2. 86.o.]
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
48 A vázolt lengőrendszer jelű rúdjainak tömege elhanyagolható. Az m1 és m2 tömegek anyagi pontnak tekinthetők. A mozgás síkja vízszintes. Adatok: m1 2kg m2 3kg 0,3m c1 0,01cm / N , c2 0,005cm / N , k 10 Ns / m , y0 1,5cm . Feladatok: A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét. B. Lehet-e állandósult állapotban az m2 tömeg kitérése 6cm , és ha igen, milyen értéknél? C. Ha a csillapítást elhanyagoljuk, / 0 0,8 -nál mekkora a c2 állandójú rugót feszítő legnagyobb erő? D. Mekkora a c2 állandójú rugót feszítő erő a csillapítást is figyelembe véve?
-.-
01-Lengéstan-SDOF-Példatár-Pápai
View more...
Comments