Leibniz - En El Laberinto -Escritos Sobre El Continuo

G. W. Leibniz

En el laberinto Escritos sobre el continuo

Introducción, traducción y notas de Manuel Luna Alcoba

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Gottfried Wilhelm Leibniz

En el laberinto Escritos sobre el continuo Introducción, traducción y notas de Manuel Luna Alcoba

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A Beltrán, que ni siquiera era un proyecto cuando este proyecto comenzó

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“Al caer la noche, vuelvo a casa y entro en mi estudio, en cuyo umbral me despojo de aquel traje de la jornada, lleno de lodo y lamparones, para vestirme con ropas de corte real y pontificia; y así ataviado honorablemente, entro en las cortes de los hombres de la antigüedad. Recibido por ellos amablemente, me nutro de aquel alimento que es privativamente mío, y para el cual nací... Y por cuatro horas no siento el menor hastío, olvido todos mis cuidados, no temo la pobreza ni me espanta la muerte” (carta desde el exilio de Nicolás Maquiavelo a Francesco Vettori, diciembre de 1513)

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Indice

Introducción general............................................................................................ 4 Consecuencia de la hipótesis general................

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Introducción.......................................................................................... 11 Consecuencia de la Hipótesis general publicada hace algún tiempo para explicar e l vacío

o en

Fenómeno

un

lugar

del

dela cual

adhesión se

ha

en

el

sacado

a i r e ...... ...................

el 17

Notas del traductor............................................................................... 23 Prefacio al opúsculo sobre la cuadratura aritmética..................................... 32 Introducción................

..33

Prefacio al opúsculo sobre la cuadratura aritmética del

.35

Notas del traductor............................................................................... 42 Principio enteramente general......................................................................... 44 I ntroducción....................................................................................... 45 Principio enteramente general, no sólo útil en matemáticas sino en física, por medio del cual, a partir de la consideración de la sabiduría divina, se examinan las leyes de la naturaleza. Se explica habiendo surgido la ocasión en lacontroversia con el R. P. Malebranche, y se advierten ciertos errores de los cartesianos....Al Notas del traductor............................................................................... 54 Historia del problema del continuo.................................................................56 Introducción........................................................................................... 57 Historia del problema del continuo...................................................59 Notas del traductor............................................................................... 74 Bosquejo de una geometría brillante...............................................................79 Introducción........................................................................................... 80 Bosquejo de una geometría brillante.................................................86 Notas del traductor............................

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INTRODUCCIÓN

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Optimista nacido en pésima situación histórica, escritor infatigable con escasos lectores, lector infatigable con escasa vista, defensor de la libre circulación de los escritos que casi no publicaba, viajero que no pudo hacer el viaje de su vida, doctor en derecho famoso como filósofo, filósofo inmenso que no vivió de la filosofía, empleado de una biblioteca a la que le dedicó un tiempo mínimo, grandioso cultivador del género epistolar sin vida privada, Leibniz es una de las personalidades más ricas y sorprendentes del rico y sorprendente mundo del Barroco. Godofredo Guillermo Leibniz nació en el peor de los mundos posibles, el mundo devastado por la Guerra de los Treinta Años, a la que aún le faltaban tres para finalizar. El futuro defensor de la unificación de las religiones dio sus primeros pasos en la muy protestante Leipzig, entre los últimos rescoldos de odios religiosos y el nacimiento de un nuevo orden. Lector voraz desde muy pronto, resulta casi imposible determinar cuándo y qué leyó. Pero, en cualquier caso, sus lecturas no tardaron en cristalizar. Su primer libro apareció a la luz pública cuando contaba apenas 20 años. La Dissertatio de arte combinatoria no es una obra de juventud, es un nuevo peldaño en una vieja tradición a la búsqueda de la mathesis universalis, del lenguaje de los pensamientos, y, también, un proyecto sobre el que volvería con insistencia a lo largo de su vida. De hecho, con esta tierna edad, ya manifestaba la brillantez y originalidad de pensamiento que le caracterizaría. A partir de este momento sus escritos aumentan en progresión geométrica. Llega un punto en que la proliferación de textos genera nuevos escritos, Leibniz declara que prefiere escribir de nuevo un opúsculo antes que ponerse a buscarlo en la montaña de papeles de su despacho. Su legado ocupa miles de documentos sobre centenares de temas: derecho, historia, metafísica, filosofía natural, lógica, religión, matemáticas, física, medicina, química, ingeniería, ajedrez, juegos en general, lingüística, política, geología, etc. Los especialistas con más de treinta años de leibnicianismo a sus espaldas apenas han podido revisar una pequeña parte de esta inmensidad. Nadie sabe de qué trata la pila de textos dedicados a medicina, por ejemplo. Hay pliegos que no han vuelto a ser leídos desde que fueron archivados... y siguen apareciendo escritos. Los cálculos sobre la tasa de escritura de Leibniz son espeluznantes. Debía redactar más de 20 folios diarios, aparte de mantener un vivo intercambio epistolar con su millar largo de corresponsales. Comparado con esta tasa de producción,

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Leibniz, el gran adalid de la República de las Letras, no publicó nada. Dos grandes escritos, los Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano y la Teodicea, además de un puñado de artículos. Ni siquiera la punta del iceberg. Algunos textos se quedaron por el camino de ser editados, la mayor parte, en fase de borrador. Otros no llegaron a tanto. Anotaciones en hojas sueltas, pequeños estudios, cálculos sin concluir, reelaborados, tachados y vueltos a reelaborar, y libros, decenas de libros, escritos y reescritos, inacabados, sólo bosquejados, terminados y tal vez perdidos, rechazados para su publicación... Leibniz dedicó la mayor parte de su vida a una tarea que no estaba destinada a ver la luz ni trescientos años después de su muerte. El más incansable escritor entre los filósofos de todos los tiempos, sólo encontrará lectores de su obra completa, con suerte, a finales de este siglo. La ciclópea tarea de editar las obras de Leibniz sigue en pañales. Los volúmenes publicados apenas dan para cubrir muy parcialmente los años iniciales. La inmensa mayoría de lo imprescindible sigue a la espera de una edición de la academia y buena parte de lo importante carece de una edición de cualquier género. Continuamos mirando ese gran universo que fue Leibniz por el ojo de una cerradura. Lo único comparable a la producción leibniciana es su actividad en todos los campos. Fundador de academias, recuperador de fondos bibliográficos, consejero político, diplomático, viajero, mediador en un sin fin de gestiones más o menos relacionadas con la filosofía, educador, promotor de la cultura, editor, espía, jamás fue un filósofo encerrado en una torre de marfil y ni siquiera en el entorno de una ciudad o un país. Desde muy pronto sintió el magnetismo del poder y ya no dejaría de correr detrás de él. Su primera misión fue ante la corte de Luis XIV en la que estuvo durante cuatro años. Estos cuatro años marcaron su eclosión intelectual. Amparado por la vida en la corte, Leibniz entra en contacto con las figuras más destacadas de la época. Como una esponja, asimila los conocimientos existentes en tomo a las más diferentes ramas del saber y, rápidamente, se pone a la vanguardia de casi todas ellas. Apegado al poder permanecerá con posterioridad en Hannover hasta el nombramiento del Elector como rey de Inglaterra. Después de esto, Leibniz verá alejarse el poder para siempre y quedará, por primera vez en su vida, atrapado en una ciudad provinciana de la que ya nunca se alejará por mucho tiempo. La culminación de su carrera, la llegada a Londres como filósofo oficial de la nueva

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familia real, se vio truncada por el único viaje que no le permitieron hacer. Si Leibniz sólo hubiese sido un prolifico escritor sobre una pluralidad de temas, ocuparía un lugar destacado en la historia de la filosofía. Pero ni la exuberante producción leibniciana, ni la actividad febril de su vida, son tan notables en él como la genialidad de sus ideas. Buena parte del mundo que estamos empezando a descubrir figura en los textos de Leibniz. Nuestros ordenadores se basan en el cálculo binario que él promovió, los conjuntos de Mandelbrot están descritos en la Monadologia y los determinantes fueron inventados por él. Por supuesto hay más, cálculos correctos de las primas de seguros, diseño de hélices, necesidad de los estudios históricos, máquinas calculadoras... Todo ello sin dejar de ser un hijo de su época, un pensador barroco atrapado en la tridimensionalidad del espacio, la monarquía como único sistema político y la ficción de los números negativos. Ésta es la naturaleza absolutamente fascinante de Leibniz, el que, con frecuencia, fuera mucho menos leibniciano que sus textos. Estamos ante un sistema filosófico tan o más grandioso por los problemas que plantea que por los que resuelve. Los textos leibnicianos son una excusa perfecta para pensar con y desde ellos. Cualquiera de sus escritos nos induce a la reflexión más que al asentimiento de unas doctrinas presentadas como la verdad absoluta. No es de extrañar que metafísicos, matemáticos, lógicos, juristas, lingüistas y personas de las más diferentes áreas del saber se acerquen a él buscando ideas nuevas, nuevos enfoques que aporten luz, eso tan romántico y falso que suele llamarse inspiración. Éste no es un fenómeno coyuntural de nuestra época: de modo más o menos indirecto Kant es un leibniciano, como muestran sus escritos precríticos; Fichte no dudó en decir de él que, "bien entendido", tenía razón; Napoleón alabó su proyecto sobre Egipto; son cientos las citas leibnicianas que pueden hallarse en Heidegger; Russell le dedicó un libro al igual que Deleuze; Keynes es un caso muy poco estudiado de leibnicianismo, aunque menos obsesivo que Gödel y de un modo menos expreso que Robinson. No quiero prolongar la lista más allá de lo necesario. Es el momento de hablar de una tarea poco espectacular, aunque sumamente importante y reveladora desde un punto de vista teórico. Más arriba hemos señalado dos aspectos de la maldición leibniciana: era miope y escritor compulsivo. A ello hay que añadir un tercero, sus necesidades ingentes de papel le hacían ser muy

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ahorrativo con tan preciado material. El resultado es que, cuando su letra no es ilegible por pequeña, lo es por convertirse en un garabato hecho a toda velocidad. Cuando uno cree que es imposible escribir peor, siempre aparece una tachadura, un borrón, una corrección que viene a rematarlo todo. Cuando uno piensa que el pliego se está acabando, siempre aparece un renglón que se curva, que se enrolla o, peor aún, una anotación metida en el último rinconcito sin ninguna indicación de dónde debe ir colocada. Transcribir un texto de Leibniz es una tortura que puede acompañar a una persona durante luengos años. No hay que ser muy mal pensado para darse cuenta de que la mayor parte de los textos de Leibniz publicados hasta ahora, o lo habían sido en vida de Leibniz, o existe de ellos copia hecha por un secretario o proceden de su propia mano excepcionalmente cuidadosa en ellos. Encontrar un inédito leibniciano entre los depositados en el Leibniz-Archiv de Hannover no es especialmente complicado. Transcribirlo es una tarea de titanes. Supone, en primer lugar, linealizar los textos. Las notas sin indicación de dónde se insertan, la enroscadura de ciertos renglones, exigen una decisión por parte del transcriptor. Después debe decidirse a qué se le va a prestar atención. ¿Cómo debe transcribirse una frase incorrecta gramaticalmente? ¿debe corregirse? ¿qué tipo de errores son enmendables? ¿qué es una tachadura? ¿cuándo una tachadura es significativa? ¿y un signo? ¿qué es un signo y qué es una mancha de tinta? Comparados con éstos los problemas de la traducción son problemas de estilo. Las ediciones de Gerhardt son fabulosas y difícilmente igualables, pero tampoco se les puede pedir que fuesen perfectas en todo momento. Incurre en un número mínimo de errores en comparación con el tamaño de sus ediciones, si bien alguno de ellos reviste importancia. El problema fundamental de Gerhardt es que no siempre transcribe del original manuscrito sino que, cuando le es posible, acude a las ediciones de la época de Leibniz, las cuales tampoco fueron perfectas. En buena medida, hemos seguido sus transcripciones, si bien cotejándolas con el original manuscrito. Ya sólo nos queda una última cuestión, la más fácil. Si Leibniz escribió tantas cosas como hemos dichos ¿por qué traducir precisamente escritos en tomo al continuo? La respuesta es simple, porque el problema del continuo es uno de los pilares centrales del sistema leibniciano. El lector de estos textos podrá apreciar

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cómo en tomo a él surgen las más diversas cuestiones, el bien y el mal, el cálculo infinitesimal, la dinámica, Dios, los mundos posibles, las sustancias y sus conceptos, el espacio y el tiempo, todos los grandes problemas a los que se enfrentó Leibniz están anudados en tomo a este tema. Junto al de la libertad, el del continuo fue uno de los dos grandes laberintos en los que, para beneficio de todos, quiso perderse Leibniz y, junto con la armonía preestablecida, fue uno de los logros por los que quiso que se le recordara. El problema del continuo es, pues, capital en Leibniz. Comprendida su solución habremos comprendido multitud de cosas que, inevitablemente, van enlazadas con ella. Pero aquí se plantea un problema. Precisamente por ser tan importante, precisamente por servir de hilo conductor a tantas cosas, el del continuo fue un tema al que Leibniz dedicó una gran cantidad de textos. Editarlos todos hubiese sido interesantísimo pero complejísimo. Nos hemos contentado con una selección de los más destacados, algunos de los cuales, como la Carta sobre un principio

genral, resulta escandaloso que no estuviesen

traducidos. Hemos intentado, en cualquier caso, que nuestra selección incluya la mayor variedad posible de perspectivas y fechas de redacción.

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Consecuencia de la Hipótesis general

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Introducción. La Consequence de l'Hypothese generabile tiene una estructura muy definida. En primer lugar, se enumeran un total de diez "fenómenos". Después se extraen siete consecuencias en las que se trata de dar explicación de esos fenómenos. Finalmente, se enuncia la ley de la continuación. No estamos ante una mera nota de trabajo, sino ante un proyecto de opúsculo muy elaborado. A este respecto hay que destacar que, mientras los "fenómenos" han sufrido varias alteraciones en su numeración, no hay ninguna corrección en la numeración de las consecuencias, como si Leibniz tuviera muy claro cuáles eran las consecuencias a sacar. El material en el que debe contextualizarse la Consequence de generala puede englobarse en cuatro grandes bloques: una serie de citas, más o menos detalladas, dispersas por su correspondencia, en especial con Oldenburg y Fabri; un conjunto de escritos en latín con formato de opúsculo y sólo incidentalmente referidos al problema de la adhesión (LH XXXVII, III, 69 f°-114 v°); tres folios (LH XXXVII, III, 115 r°-118 r°) redactados en latín sobre un tipo de papel diferente, carente de cualquier estructura o título y de una gran sobriedad expositiva; y, finalmente, un grupo de escritos en francés que muestran un progresivo desarrollo de la estmctura y las ideas que cuajan de modo nítido en la Consequence de IHypothese generalle (LH XXXVII, III, 128 f°-151 v°). Diversos indicios permiten datar los escritos en latín en los alrededores de 1682. Pese a que el título de esta obra aparece en el Bodemankatalog, y en el propio manuscrito de la mano de Leibniz, el registro del Leibnizarchiv carecía de dato alguno al respecto. Por ello, para la correcta datación del texto, hubo que recurrir a la marca de agua del papel*2. Ésta se reveló particularmente nítida. Se trata de una flor de siete pétalos por encima de un guante. Es una marca de agua bien conocida tanto por los especialistas en Leibniz como por los especialistas en escritos de finales del siglo XVII francés. Corresponde al período parisino de Leibniz, más concretamente, a los años 1673/5. Los datos paleográficos confirman esta datación. ’Cfr.: LH XXXVII, III, 150-1. Este texto ha sido editado en: Studia leibnitiana, Band XXVIII/1 (1996), págs. 1-16. 2Debo manifestar mi profundo agradecimiento al Pr. Dr. H. Breger, Director del Leibnizarchiv, quien, personalmente, se encargó de atender mi petición a este respecto.

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La correspondencia refleja claramente que el interés de Leibniz por los experimentos de Boyle y Huygens está centrada en los alrededores de 1673, mientras que las posteriores apariciones del tema de la adhesión a partir de la década de los 80 se sitúa en tomo al problema de la cohesión de los cuerpos tal y como es tratada en los escritos latinos. Hay además toda una serie de rasgos temáticos que pueden servir para una datación relativa. Así, por ejemplo, las alusiones a los pliegues como elementos explicativos comienzan a proliferar a partir de los años 1675-6. Sin embargo, hacia esos años empieza a ser abandonada la teoría del choque que considera éste como resultado de una pluralidad de choques más pequeños e independientes, teoría ésta característica de la Theoria

abstracti. Ambos

elementos están presentes en estos escritos. También al período de 1670/1 pertenece la utilización de la luz como factor homogeneizador de los movimientos de que hará gala la Consequence d'une Hypothese generalle. Aunque la referencia a otros textos no abunda, la Recherche de la Raison de ces phenomenes, cita explícitamente el artículo de Chr. Huygens de 1673 (cfr.: LH XXXVII, III, 143 v°) y hay numerosos detalles (indicados en las notas finales) que parecen remitir a las Propositiones qucedam physicce de finales de 1672. El contenido del opúsculo es fácil de resumir. Galileo había observado que dos placas de mármol o metal perfectamente pulidas se adherían fuertemente hasta el punto de que tirando de una de ellas podemos alzarlas ambas. Por chocante que parezca, Galileo explicó el fenómeno por el horror vacui. En principio el problema parecía resoluble apelando a la presión ejercida por el aire en la parte exterior de las placas. Tal fue, en efecto, la solución dada por R. Boyle. Pero en un artículo publicado en el Journal de Savants de la edición de Amsterdam el 25 de julio de 1673, pags. 112-3 y recensionado en Philosophical Translation, vol. 7, n° 86, pags. 5027-9, cuatro días más tarde, Chr. Huygens mostraba que el fenómeno se producía incluso en ausencia total de aire. La solución huygeniana planteaba la existencia, también en el vacío, de algún tipo de presión externa a las placas que las hacía mantenerse unidas. Al parecer, Leibniz tuvo ocasión de leer la propuesta de Boyle durante su viaje a Inglaterra a comienzos de 1673 y las de Huygens a su regreso de tal viaje. La serie de escritos de Leibniz mencionados anteriormente describen reiteradamente los experimentos de Galileo, Guericke, Huygens, Boyle y Torricelli, analizando y criticando las teorías propuestas por estos autores para explicarlos.

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Algunos incluyen también la propuesta de nuevos experimentos a hacer o ya hechos. Los opúsculos en francés dejan muy claro que para dar cuenta del fenómeno de la adhesión habrá de postularse algún tipo de causa o razón de ser, no bastando la mera constatación de un vínculo como algo último y peculiar de la materia. En este sentido, la unión es vista como un proceso, el resultado de una actividad y no el principio del cual partir para explicar las cosas, algo que ocurre en los escritos latinos. Entre los mecanismos propuestos, Leibniz tiene primero a mano el ya sugerido en la Hypothesis physica nova del invierno de 1670/71, a saber, la presión ejercida por una materia sutil en virtud de su natural agitación intema, que penetra incluso en un recipiente vacío. Pero lo que los textos aquí analizados muestran es la progresiva insatisfacción que esa solución genera en su propio autor. Poco a poco, los escritos en francés, van mostrando que, para explicar la adhesión de las placas, es necesario algo más que la agitación intema. El centro explicativo comienza así a desplazarse al hecho mismo del movimiento general que busca disipar las heterogeneidades. El movimiento que llena el universo tiene tendencia a aunar la materia unificándola y homogeneizándola. Ahora bien, si identificamos la Naturaleza con ese movimiento general, podemos afirmar que la Naturaleza tiene tendencia a la uniformidad. La mejor manera de entender esta uniformidad es como carencia de intersticios, de vacío, en su interior. En este sentido, la disolución de los cuerpos será vista como un ejemplo de la ruptura de su continuidad interna. Por tanto, puede afirmarse que la naturaleza trata de impedir la discontinuación de los cuerpos sensibles. La hoja 150 v° se refiere a tal proposición como "cette regle ou cette loix de la Nature". El que la Naturaleza impida la discontinuación es, pues, una auténtica ley natural, más concretamente, la ley de la continuación de los cuerpos sensibles. No estamos, pues, ante la teoría clásica que exigía la unidad de un cuerpo para declarar su continuidad, ni en una teoría de resabio cartesiano que exigiese la repetición uniforme para llegar a esta conclusión. Tampoco nos encontramos ante la exigencia, para conformar un continuo, de una serie ordenadora externa a él como ocurría en la Theoria motu abstraed. No obstante, aún no nos enfrentamos a la reciprocidad de orden y continuidad característica del período de madurez. Lo que aquí se afirma es una especie de paso previo, a saber, que unidad y continuidad tienen una fuente común: el movimiento general, la Naturaleza. No hay coimplicación y ni siquiera reciprocidad entre ellos, sino participación en un fundamento común. Pero el problema no es de índole estrictamente física, por más

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que las discusiones se restrinjan a ese plano. Una breve nota marginal muestra que los problemas de la condensación y rarefracción son analizados por Leibniz teniendo delante la necesidad de explicar racionalmente el milagro de la Eucaristía. El que la Naturaleza impida la discontinuación de los cuerpos sensibles permite entender su continuidad y el mantenimiento de su unidad con independencia de lo que ocurra con su espíritu unificador. De este modo, serviría de garante a la transubstanciación. El resultado, que podría parecer sorprendente (hay un hilo temático que abarca desde la preocupación por la adhesión de placas en el período parisino hasta la teoría del vínculo substancial), no lo es tanto. El hecho de que ya en 1673/5 Leibniz tuviese en mente el problema eucaristico al tratar el problema del continuo solo confirma el entrelazamiento que existe entre ambas teorías. El interés de la Consequence de

VH g eneralle es múltiple. Po

parte, muestra el modo que tenía Leibniz de entender los experimentos sobre el vacío durante su período parisino. Por otra, arroja una luz completamente nueva sobre el problema del continuo en Leibniz. Naturalmente esto conlleva que la Consequence de I'Hypothese generalle y toda la temática que la envuelve, abre más preguntas de las que cierra. Un censo sobre la base de la Edición de la Academia, los escritos filosóficos y matemáticos editados por Gerhardt, los opúsculos publicados por Couturat, alrededor de 4.000 hojas de manuscritos y algunos otros materiales, arroja un cómputo de 49 ocurrencias de la ley de continuidad. Por supuesto, no pretendo que este cómputo sea exhaustivo, pero sí creo que esta muestra puede ser suficientemente representativa. En ningún momento después de 1675 se habla, como hace la Consequence de l'Hypothese generalle de ley de la continuación de los cuerpos sensibles, ni se afirma literalmente que la naturaleza impida la discontinuación. Además, no he encontrado ninguna "ley de continuidad" o "de la continuación" ni ninguno de sus enunciados en el período comprendido entre 1675 y 1687, si bien carecemos de la datación de cinco textos. ¿Es entonces la "ley de la continuación" un caso de la "ley de continuidad"? Ante todo, la ley de la continuación lo es de los cuerpos sensibles, precisamente, aquello que pasará a partir de 1676 a formar parte de los entes por agregación y, por tanto, algo característicamente discontinuo. Sólo la introducción del vínculo substancial hubiese permitido hacer de los cuerpos orgánicos un orden, convertirlos en algo continuo. Ahora bien, el milagro de la Eucaristía es precisamente uno de los temas presentes en la preocupación leibniciana por la adhesión de las placas.

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Un segundo elemento a tener en cuenta es la diferencia que pueda haber entre "continuidad" y "la continuación". Ciertamente, mientras la "continuidad de las partes" es una expresión neutra en cuanto al sujeto que ejerce esa continuidad, "la continuación entre las partes" señala que el agente está en las partes mismas. No obstante, esta diferencia tiende a esfumarse, pues lo que impide la discontinuación no son las partes sino la Naturaleza. Lo importante es esto: las partes poseen continuidad porque están ordenadas, son una continuación de la otra porque están unidas. El tránsito de hacer énfasis en la unidad a hacerlo en el orden es el tránsito de 1675 a 1676. En cualquier caso, no se trata de una reedición de la doctrina escolástica. Unidad y continuación no son premisa y consecuencia, sino resultados ambos de un fundamento común. Llegamos así al tercer elemento que pudiera separar la ley de la continuidad de la ley de la continuación. Desde luego no se volverá a afirmar tras 1675 que la Naturaleza impida la discontinuación, pero debo confesar mi impotencia para establecer matices significativos que separen esta enunciación de las características a partir de 1687. La "Naturaleza" identificada aquí con el movimiento general, pasará a significar posteriormente la causa de las apariencias. Es más, definida ella misma como movimiento, la enunciación presupone ese elemento dinámico que luego se haría explícito en las enunciaciones de la ley de continuidad posteriores. Queda distinguir entre "impedir" y "no actuar", "no transitar", "no mutar", al cabo, la diferencia entre un verbo transitivo y otros que no lo son, lo cual nos vuelve a remitir a la primera de las diferencias señaladas. Finalmente, en lo que respecta a las relaciones de ambas con los sistemas en los que se encuadran, señalemos que la ley de continuidad guarda con el principio general del orden la misma relación que la ley de la continuación con un corolario de aquél: a

el equilibrio universal . En definitiva, la ley de la continuación de los cuerpos sensibles no es, estrictamente, la ley de continuidad, si bien su parentesco es algo más que un simple "parecido de familia". Resulta, pues, fuera de toda duda que, mucho antes de 1687, el sistema poseía ya una estructura capaz de distribuir enunciados acerca del continuo identificable con una ley de continuidad. Por tanto, si Leibniz dice que en 1687 enunció por vez primera la ley de continuidad, tal vez hayamos de darle la razón, pero matizando que ya entre 1673 y 1675 había enunciado la ley de la continuación de los cuerpos sensibles. 3Cfr.: Leibniz, Primee Veritates, 1689, en Opuscules et fragments inédits de Leibniz , par Louis Couturat (en lo sucesivo, C), Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1966, pag. 519.

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Este es el fin de nuestra presentación y, a la vez, el comienzo de las preguntas. ¿Cómo puede explicarse el largo paréntesis entre 1675 y 1687 sin una sola enunciación, cuando estaba claro que el sistema necesitaba una ley de continuidad? ¿por qué la ley de la continuación o su inevitable análogo, la ley de continuidad, no aparecen en el Pacidius Philalethi por ejemplo? ¿por qué desapareció la ley de la continuación pese a que el problema de la adhesión reaparecerá esporádicamente en sus escritos? Ignoro en gran medida las respuestas a estas preguntas, lo que sí creo saber es que, el mero hecho de plantearlas, exige una profunda transformación del modo hasta ahora habitual de interpretar la teoría leibniciana del continuo. Los dibujos de este texto son obra de quien suscribe.

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G. W. Leibniz, Consecuencia de la Hipótesis general publicada hace algún tiempo para explicar e I F e n ò m e n o d e l a a d h e s i ó n e n e l v a c í o o e n un l u g a r d e l c u a l s e h a s a c a d o e l a i r e 1, 1 6 7 3 / 5 .

I ll

Experiencias

:hecas Los licores no fluyen de un tubo estrecho abierto sólo

por un lado aunque se invierta (2) con tal que la altura del licor no sea muy grande, pues hay alturas determinadas, según el tipo del licor, (no siendo necesaria una muy grande para los licores más pesados) que lo hacen caer, como el agua, que necesita de cerca de 30 pies y el mercurio de 27 pulgadas de altura. Si la experiencia se hace en el aire libre, como por ejemplo, si un tubo de vidrio abierto en la parte superior se tapa por la parte inferior, se llena de agua y se invierte después diestramente, el agua no podrá fluir. Fenómeno l . 2 Los licores no fluyen de un vaso que esté abierto sólo por un agujerof.] Fen.

2.Siempre que la altura del licor no se aumente demasiado, según el tipo de

licor, hasta cierta medida determinada, puesto que entonces caen. Fenóm. 3. Se ha observando que si el tubo está en un recipiente del cual se ha sacado el aire con la bomba del Sr. Guericke, el licor fluye, como si hubiese un agujero en lo alto del tubo[.] Fenóm. 4 Pero cuando en el agua, o cualquier otro licor que haya permanecido en el vacío, se purga de aire o se agota la materia propia para producir aire, haciendo continuamente pequeñas burbujas, se obtiene al fin que cuando se utiliza este agua purgada de aire en el tubo, no fluye. Aunque la experiencia está hecha en el vacío y hay quienes no aceptan del vacío [.] Fenóm. 5 No obstante, cuando ha recibido un choque o cuando una nueva burbuja de aire se engendra en el fondo del agua o cuando se la hace entrar, llegando a subir a una cierta altura del tubo, entonces el licor se separa y cae como de ordinario. /8/

Fenóm. 6 Esta altura es justamente la misma que la altura a la que el licor

permanece todavía suspendido (antes de caer como de ordinario). Fenóm. 7. Lo mismo ocurre con el mercurio fuera del recipiente. Pues, como el 17

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G. W. Leibninz

agua ordinaria, bien que de un peso pequeño, cae en el recipiente en el que se ha hecho el vacío, puesto que el obstáculo del aire ha sido superado, por lo mismo el mercurio ordinario cae en el aire libre, porque su peso es grande. Pero como (por el fenómeno precedente) el agua aunque sin aire, purgada, no cae en el recipiente, por lo mismo el mercurio purgado no cae en el aire aunque su altura sea más grande que de ordinario y tenga hasta 70 pulgadas en lugar de 27. Fenóm. 8 Si un licor purgado permanece largo tiempo en el vacío en un cierto lugar, es preciso que el choque sea más fuerte para separarlo. Fenóm.

9.Se había creído que dos placas bien unidas no se separarían a causa de

la presión del aire, pero se ha probado que la misma adhesión tiene lugar también en el vacío o en un recipiente sin aire3. Fenóm. 10 El sifón de dos brazos desiguales produce su efecto tanto en el vacío como en el aire. De estos fenómenos

se pueden sacar, en primer lugar, las siguientes

consecuencias: Consecuencia 1. Que el temor al vacío no contribuye en nada. De otro modo, la diferencia del recipiente lleno o vacío y del licor natural o purgado no cambiaría los fenómenos4. Consec. 2 Que la resistencia del aire es la causa del fenómeno 1. como parece 3.

según los fenóm. 2. y

Consec. 3 Que la adhesión de dos placas en el vacío no proviene ni de una cierta cola insensible ni de ninguna otra razón que se pueda 191 encontrar en los cuerpos unidos mismos, sino de una presión exterior. La razón se halla en que, de otro modo, la separación transversal de dos poros correspondientes y adheridos juntos en las placas sería tan difícil como la directa: contra el fenóm. 9 pues se ha hallado que las dos placas se deslizan fácilmente, la una perpendicular a la otra (igual en el vacío) mientras resisten a la separación5. Consec. 4. Se sigue, pues que queda siempre cierta materia en la cavidad del recipiente en el cual se saca el aire, que puede ejercer esta presión sobre los dos cuerpos adheridos juntos. No digo, por tanto que haya poros en el vidrio para el paso de esta materia, pues se puede explicar todo esto por la sola propagación de la presión, la cual pasa por todos los hasta lo indefinido6. 18

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Consecuencia de la hipótesis general

Es preciso también que la presión de esta materia no sea más fuerte que la del aire, pues, de otro modo, las placas no caerían venciendo la columna de aire, contra el cálculo. Y, sin embargo, parece ser más fuerte, porque sostiene el mercurio a una altura el doble que de ordinario. Digo el doble por no decir que basta con unir estas dos presiones juntas. Pero es preciso examinar la presión de las placas, pues puede ser que haya dos presiones y que haga falta más fuerza que para vencer el aire, como con el mercurio purgado. Consec. 5. En fin es preciso también que esta presión se haga por un movimiento, o por un esfuerzo de una materia menos gmesa que el aire sensible. /10/ Queda en este momento dar Razón por una Hipótesis de la manera en que se produce esta presión7. Y si se responde que esta presión no es igual a causa de que las partes del licor purgado que corresponden a las partes continuas del vidrio entre los poros, no son presionadas por los dos lados y que así hay más materia presionante de un lado que del otro, se sigue que hace falta considerar la cantidad de la apertura o de la materia sutil que presiona, si es que esta desigualdad es la causa de la suspensión. Y, en consecuencia, el poco de materia que se encuentra en la burbuja, no iguala toda la presión de la materia sutil hacia la parte inferior del vidrio ni de la materia sutil que entra libremente por la apertura del tubo hacia abajo. Se tiene, por tanto, la elección o por [se interrumpe] Si el líquido se separa cuando la burbuja no toca el vidrio, experiencia [se interrumpe] Cuando se pmebe con el mercurio: hasta la altura posible, a saber, si lo sobrante se separará solamente y el resto permanecerá suspendido en lo alto. Experiencia a hacer sobre esta materia con las dos placas8. * Cuánta altura [alcanza] el mercurio purgado de aire. Es preciso dejar las placas en el vacío en un licor como en el agua, para ver si habrá alguna diferencia. Experiencia a hacer[:] sujetar el tubo en el vacío o romperlo en lo más alto para ver si cae entonces. Principalmente habiendo quedado un largo tiempo en reposo. Experiencia a hacer con las placas agujereadas. Si las placas son golpeadas juntas, cuando se aproximan una a otra.

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Experiencia con una bomba succionadora: si acaso el vacío purgado de aire puede [hacer] burbujas, esto regularía el contenido, o si acaso pompas más pesadas, si el licor ha sido largo /1 1/

Es preciso hacer la experiencia de si con el mercurio purgado de aire, el

mercurio no cae antes de que la burbuja haya llegado a 27 pulgadas de altura[.] Consec. 6. Se puede explicar bien e\ fenómeno 9 o la adhesión de dos placas en el vacío por un licor o materia fluida en la cual se supone la existencia de un movimiento en todos sentidos, por lo que las ondas golpean las superficies exteriores de las placas[.] Pero será difícil explicar por este movimiento de una materia sutil en todos los sentidos el fenómeno del licor purgado de aire. Pues el movimiento de esta materia sutil continuará igualmente cuando se engendre aire en el licor y como es capaz de presionar el licor hacia la superficie del vidrio, a pesar de su peso, será también capaz de impedir que una pequeña burbuja de aire penetre entre los dos y se dilate como vemos que hace. No basta con decir que esta materia sutil encuentra lugar en la burbuja, golpea así el licor suspendido de ambos lados y lo hace reposar lo mismo que lo ha presionado contra el vidrio. Pues, sin insistir sobre el que esta misma presión impedirá la generación de la burbuja, y por tanto, que no bastará que la burbuja se coloque entre el licor y la superficie interior del vidrio, es preciso considerar que el pequeño golpe del movimiento en todos los sentidos de la materia sutil insinuado en una pequeña burbuja, no puede igualar ni destruir todos los otros que el licor recibe de todos lados y por los que es empujado hacia la materia interior del vidrio. Y es preciso observar que hay en esto una gran diferencia entre la presión universal de una cosa, como la de la Atmósfera, y la presión del movimiento en todos sentidos del licor. Pues la presión universal es igual aunque haya solamente un pequeño paso, como cuando el Mercurio suspendido en el tubo de Torricelli cae si se agujerea el tubo en la parte superior con una aguja, puesto que la Masa hace un esfuerzo general de distribuir igualmente las fuerzas por todas partes. Pero el Movimiento de un licor en todos sentidos, es particular a cada parte de la masa9. Si éste no es un esfuerzo como el de la fuerza [el resto está tachado]... como nosotros experimentamos en el aire, en el cual el /12/ movimiento no es en todos los sentidos y en el cual no hay ondas para este efecto, aunque el esfuerzo sea en todos sentidos. 20

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Si se explica el movimiento en todos sentidos de esta manera, por un simple esfuerzo, lo apruebo enteramente y me serviré de él yo mismo posteriormente. Pero creo no tener necesidad de otra cosa que del aire, del cual estamos persuadidos por tantas experiencias, sin emplear una materia puramente supuesta que pasa por los poros del vidrio. Creo igualmente que la Hipótesis supondría que el movimiento en todos sentidos de la materia pasando por los poros del vidrio (para ocupar el lugar cuando se saca el aire) y encerrado en la pequeña burbuja no sería capaz de igualar todos los otros golpes con que esta materia se combate a sí misma. Pues si hay poros, el susodicho movimiento en todos los sentidos atravesando el vidrio, hará caer el líquido purgado que está suspendido en el tubo a causa de que el licor suspendido no es presionado por los dos lados, como ocurre cuando se da entrada al aire pinchando el tubo de Torricelli en la parte superior. Consec. 7 Parece que se puede extraer de estos fenómenos juntos una observación general, a saber, que la Naturaleza trata de impedir la discontinuación de los cuerpos

senibl10. Pues igual en el vacío, donde no hay cuerpos /13/ sensibles, los

dos sólidos no se separan simplemente, como se ve por el fenómeno 9 de las placas: ni dos líquidos, por el fenómeno 9, 10 o sifón de brazos desiguales; ni un sólido de un líquido por los fenómenos 5 y 7 del licor purgado de aire. Pero tan pronto como se interpone un cuerpo sensible que se puede extender o tomar un mayor volumen entonces esta adhesión cesa, y los cuerpos adheridos se separan, porque todo el lugar entre los dos puede ser rellenado por el aire que se extiende por este efecto11. Por tanto lo que da razón de esta regla /14/ o de esta ley de la Naturaleza, daría razón igualmente al mismo tiempo de todos estos fenómenos. Para dar razón de un fenómeno de la Naturaleza es preciso siempre tratar de explicarlo por otros fenómenos y evitar Hipótesis tanto como sea posible. Y por este efecto he tratado de dar razón de todos los efectos de la naturaleza (al menos de un modo general) sin utilizar una Hipótesis u otro principio que este fenómeno incontestable del movimiento de la luz del Sol alrededor de la Tierra en el ecuador y en los círculos paralelos al ecuador, de lo cual se saca la consecuencia de otro movimiento hacia los polos por los meridianos porque la materia más gruesa que la de la luz, pero menos gruesa que los cuerpos sensibles, que son rechazados del

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ecuador y paralelos por el movimiento de la luz, no pudiendo ir hacia el centro, a causa de los cuerpos más gmesos, es apartada hacia los polos. Pues la luz, por su rapidez, trata o de disipar o de rechazar todos los obstáculos y todos los cuerpos heterogéneos o demasiado gruesos que perturban su movimiento hacia el lugar donde el movimiento es menos rápido, es decir, hacia el centro y (en caso que no puede hacia el centro), hacia el polo12. Pero en el caso de que los cuerpos no puedan /15/ ser apartados ni disipados, el movimiento general le hace al menos ocupar el lugar y la situación más propia según la conveniencia universal, para ser impedido lo menos que sea posible. Mediante estas consecuencias necesarias de un fenómeno general incontestable, intento dar razón de los fenómenos más particulares del peso del resorte y del mismo imán13; y creo poder sacar igualmente alguna consecuencia, sin hacer ninguna hipótesis nueva, para dar razón de estos fenómenos de la adhesión en el vacío o de la ley de la continuación de Cuerpos sensibles. Pues según lo que espero mostrar en otra parte más ampliamente, se sigue de este movimiento público, la Regla general del equilibrio universal, es decir, se encuentran fuerzas iguales por todas partes. De suerte que el peso compensa el resorte, la velocidad compensa la pequeñez, /16/ la firmeza del obstáculo el esfuerzo superado. En consecuencia, si hay un lugar mal provisto de fuerzas y que no opone mucha resistencia para equilibrar los cuerpos ambientes, toda la naturaleza se esforzará para hacerle justicia y lo separará tanto como le sea preciso de todas las otras partes del mundo y esto en un momento. Es fácil de aplicar esto a nuestro propósito, pues tan pronto como se separan dos cuerpos, como dos placas, es preciso que se encuentre un cuerpo con un esfuerzo cualquiera entre ellos. No a causa del miedo al vacío, sino porque toda la masa actúa contra un lugar donde no hay esfuerzo. Pues hay [el resto de la frase está tachada], a saber, el del peso que trata de separar los cuerpos y que bien puede igualar el del resorte de un poco de aire que se introduce después. Respondo a esta objeción bastante difícil en apariencia que la fuerza del peso, o de un resorte (como de hierro) es finita. Y llega al reposo teniendo su término. La del aire es infinita pues se abriría siempre; sería preciso, pues, en este lugar, o aire o un cuerpo que resista a la presión general14.

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Notas del traductor *La estructura y terminología características de la Consequence de VHypothese gem m ile va componiéndose a través de los sucesivos escritos en francés (cfr.: LH XXXVII, III, 128 r°-149 v°). El opúsculo por el fondo y la forma, más directamente relacionado con la Consequence de VHypothese

gem m ile es el De Vunion des corps purges d'air qui se trouvent joint par une pression distente (sic) de celle de Vatmosphere (LH XXXVII, III, 128 r°-135 v°). Escrito, como la Consequence de VHypothese gem m ile en 4°, usa sólo una columna a la izquierda y rellena el resto con notas o dibujos. Está dividido en dos secciones bajo los encabezados: "Phenomenes, ou Experiences toutes faites" y "De ces phenomenes on peut tirer premierement les Consequences suivantes". En total se enumeran seis consecuencias de las cuales la quinta se prolonga en un largo discurso de cinco hojas. La hoja en el que se recogen las otras cuatro consecuencias y el comienzo de la quinta aparece ostensiblemente tachado.

2 La enumeración de los diferentes experimentos realizados en torno al problema del vacío o de la adhesión de placas es una característica de los textos que, siguiendo el catálogo de Bodemann van del LH XXXVII, III, 91 r° al 150 v°. En la Recherche de la Raison de ces phenomenes avec des

Experiences projettées pour s ’en éclaircir d'avantage; et une Hypothese Nouvelle (LH XXXVII, III, 136 r°-148 v°), una pretendida numeración de párrafos termina en el número tres y posteriormente resultan todos tachados. El De Vunion des corps purges , enumera hasta un total de 10 experimentos de Galileo, Huygens, Pascal y Boyle. Pero los mismos experimentos, así como otros de Torricelli y Guericke, serán de nuevo revisados en los escritos de los alrededores de 1682, tales como los escritos sin título LH XXXVII, III, 99 v°, ss. (numerando un total de 19, con frecuentes tachaduras que a veces abarcan folios enteros -en particular LH XXXVII, III, 101 v° y 102 v°-), el De Firmitate corpomm (LH XXXVII, III, 69 r°-70 v°), la Propositio Experimentomm Novorum quitus sumios omnes

controversies circa Æris presionem videntur definiri posse (LH XXXVII, III, 107 r°-114 v°), el De Nova pressione äeris subtilioris edam intro locum æere communi exhaustum deprehensa et in dere libero pressionem à cylindro äeris crassi ortam longe superative , (LH XXXVII, III, 115 r°-116 v°) y los escritos sin título LH XXXVII, III, 91 r°-99 v°. Estos últimos, carecen de numeración interna de los fenómenos estudiados y reinician, una y otra vez, el estudio de los mismos experimentos. Algunos de ellos, tales como sumergir las placas adheridas en agua, parecen ser la realización de experimentos propuestos en la Consequence de VHypothese gem m ile. Además, especialmente la Propositio

Experimentomm Novorum , suele describir experimentos ideados por Leibniz referentes al tema (cfr.: LH XXXVII, III, 113 r°). 3 La primera de las citas del problema de la adhesión de placas que hemos podido localizar en los escritos de Leibniz, es un párrafo tachado de las Propositiones quædam physicæ , (cfr.:

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com ienzos/Otoño-1672, dritter Entwurf, prop. 22, AK VI, 3, 39), en donde se explica este fenómeno por el movimiento universal que da lugar a la uniformidad de las partes de un cuerpo. En la correspondencia, la primera mención de este fenómeno se sitúa en una carta a Oldenburg de 8 de marzo de 1673. En ella Leibniz sugiere a su interlocutor que indague la reacción de Boyle ante una comunicación de Huygens que probablemente constituía un anticipo del artículo más arriba mencionado (cfr.: Ak III, 1, 41). Ante la carencia de una respuesta por parte de Oldenburg, Leibniz insiste en los mismos términos el 26 de abril de 1673 (cfr.: Ak III, 1, 86). Con fecha 5 de junio de 1673, Oldenburg le responde que Boyle asegura haber hecho el experimento en el vacío con el resultado de la separación de las placas. En una carta de 18/28 de noviembre de 1676, Leibniz da la razón a Huygens frente a Boyle en el sentido de que las placas no se separan ni aún en el vacío. También la proposición 13 de la carta a Honorato Fabri de 17 de mayo de 1677 hace mención del problema de la adhesión de placas y se halla en el contexto de una serie de proposiciones que recuerdan las que aparecen en la Consequence de VHypothese gem m ile (cfr.: Ak III, 2, 135). En los escritos sobre el vacío de la década de los 80, el tema de la adhesión de placas va ocupando progresivamente un segundo lugar. El De duabus tabulis plani in loco clauso aqua pleno

divellendis (LH XXXVII, III, 118), que posiblemente es un trabajo preparatorio a una carta a Edmé Mariotte de finales de julio, principios de agosto de 1682 (cfr.: Ak III, 3, 677), está dedicado exclusivamente a la adhesión de placas, problema que se soluciona aludiendo a la plenitud del recipiente incluso en el vacío, si bien no se aportan mayores explicaciones. El Pro pressione æris

contra Funiculum (LH XXXVII, III, 117 r°-v°), de los alrededores de 1680, aunque hace referencia a la adhesión de placas, tiene por tema central la elasticidad del aire. También aparece citado el problema en el De Nova pressione äeris , (habla de "marmora polita" en vez de placas, cfr.: LH XXXVII, III, 116 r°). Por su parte, el De Firmitate corporum (LH XXXVII, III, 69 r°-70 v°), según la edición de la Academia un escrito preparatorio a la carta de Leibniz a Edmé Mariotte de 14-IX-1682 (cfr.: Ak III, 3, 712 ss.), da un pequeño giro al poner la adhesión de placas como ejemplo para explicar la cohesión de los cuerpos. Se renuncia con ello a explicar el fenómeno mismo y el escrito se limita a enumerar posibles soluciones: el peso, la elasticidad del aire o de otro cuerpo sólido o líquido que llene el recipiente en que se encuentran las placas. No hay decisión por una u otra alternativa, aunque se asegura que la solidez de los cuerpos ha de explicarse también por la presión de un fluido que lo llena todo. En los escritos sin título LH XXXVIII, III, 91 r°-106 v°, la gravedad de la columna de aire, solución ligada al nombre de Guericke, es rechazada igualmente como vía explicativa porque el fenómeno se sigue produciendo en el vacío, asumiéndose sin más que la adhesión de placas es un ejemplo de la coherencia de los cuerpos. La discusión pasa entonces a la misma naturaleza de la gravedad y el aire, así como a la presión ejercida por éste. Esto contrasta con la Recherche de la

Raison de ces phenomenes que, haciendo referencia a "un petit Essay imprimé il y a deux ans" intenta dar cuenta de la solidez de los cuerpos por la existencia de un esfuerzo interno. Ciertamente en el

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parágrafo 22 de la Hypothesis physica nova puede leerse: "omnia enim dura sunt motu quodam intestino in se redeunte" (Leibniz, Hypothesis physica nova , Invierno-1670/71, § 22, Ak VI, 2, 230).

*Una afirmación semejante puede encontrarse en el escrito sin título LH XXXVII, III, 98 v°, el cual concluye, que todo lo que vulgarmente se atribuye al horror al vacío y lo que los científicos adscriben al peso del aire (soluciones de Galileo y Guericke), se debe a un "conatum Naturce ad

uniformitatem".

5Ésta es la base del Pro pressione æris contra Funiculum (LH XXXVII, III, 117 r°-v°), escrito contra la teoría del funículo cuya alusión (cfr.: 117 v°) a la carta de un jesuíta del año 1680 permite datarlo en los alrededores de esta fecha. Del mismo modo, los escritos sin título LH XXXVII, III, 91 r°-106 v° rechazan la posibilidad de que la unión de las placas sea resultado de un vínculo que las una como lo demuestra su capacidad de deslizamiento horizontal. En efecto, desde la Recherche

de la Raison de ces phenomenes la unión es vista como algo activo , o bien resultado de una acción, por parte de los cuerpos que la conforman, sean éstos sólidos o líquidos. Por ello se critica la teoría de Bacon según la cual la simple substracción del aire causa la unión de los cuerpos (cfr.: LH XXXVIII, III, 143 r°).

6Esto es un abandono, cuando menos parcial, de lo defendido en la Recherche de la Raison

de ces phenomenes (cfr.: LH XXXVII, III, 141 r°) y de las prolijas explicaciones acerca de los poros procedente del De Vunion des corps purges (cfr.: LH XXXVII, III, 130). Este escrito analizaba detalladamente las consecuencias que para la teoría se seguirían de la existencia de poros en los cuerpos, y planteaba tres posibilidades. La primera es que un poro coincida con otro poro, lo cual, razona Leibniz, no contribuye ni a la unión ni a la separación de la placas. Una segunda posibilidad es que un poro coincida con la parte sólida de la placa, en cuyo caso la tendencia a separarse originada por el aire que penetra en él se ve compensada por la tendencia a la unidad de la presión que se ejerce desde fuera de la parte sólida. Por último, si coinciden dos partes sólidas, hay entre ellas una tendencia a la unidad debida a la presión externa. A sí pues, la presencia de poros no influye para nada en la unión o no de las placas. En el seno de estas descripciones Leibniz se pregunta también si la separación de las placas produce sonido.

En el De Vunion des corps purges una cruz de grandes proporciones servía para invalidar el primer folio dedicado a la quinta consecuencia que, en esencia, era una explicación del fenómeno de adhesión de placas en virtud de la agitación interna de una materia sutil que penetra incluso en el recipiente vacío (cfr.: LH XXXVII, III, 129 r°-v°). Desde el momento en que, como vimos en la nota anterior, se deja de lado la importancia para nuestros fenómenos de la existencia de poros, también las

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teorías que apelen a la presencia de una materia sutil deben ser rechazadas (cfr.: Leibniz, Recherche

de la Raison de ces phenomenes, LH XXXVII, III, 146 v° ss y Propositiones quædam physicæ , com ienzos/Otoño-1672, prop. 22, Ak VI, 3, 39). De hecho, el De Nova pressione äeris (cfr.: LH XXXVII, III, 115 r°-116 v°) llega a presentar el experimento de las placas como refutación de la existencia de un aire sutil que penetra por los poros de los cuerpos. A partir del De Vunion des corps

purges se ha producido, en efecto, una importante matización. Las placas están unidas, no por la presión de una materia sutil que penetre por los poros del recipiente, sino en virtud de la presión del aire que resta en el vacío (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r°). Sin embargo, la Consequence de V.Hypothese

gem m ile , prefiere hacer recaer el peso explicativo sobre la presión universal, que se trasladaría al interior del recipiente por la elasticidad, siquiera sea mínima, de sus paredes.

8También en el De l'union des corps purges se describen nueve experimentos bajo el encabezado "Experiences à faire en cette matière" (cfr.: LH XXXVII, III, 135 r°). De ellos al menos los cinco primeros han sido tachados.

9E1 De l'union des corps purges marcaba, una notable diferencia entre el caso de la adhesión de placas y el del tubo invertido en la cubeta. Pese a que ambos fenómenos se explican por la presión de la atmósfera, el líquido del tubo cae en cuanto éste es pinchado. Por contra, las placas sólo se separan por una burbuja de aire que penetra entre ellas o por un pequeño golpe. La razón hay que buscarla en la naturaleza de los líquidos, que, al plegarse, transmiten con mayor facilidad el aire de lo que lo hacen las placas sólidas (cfr.: LH XXXVII, III, 131 r°). Con ello se introduce la noción de pliegue que será vinculada estrechamente al problema del continuo, en especial a partir de 1675 (recuérdese, por ejemplo, el Pacidius philalethi, 29-VIII/10-XI-1676, Ak VI, 3, 555). En la

Recherche puede advertirse un nuevo matiz en estos planteamientos. Tras aludir a una "regla general demostrada en otra parte", aclara que en los líquidos ("continues") las partes superiores ejercen presión sobre las inferiores en razón de la altura que los separa. Además, los líquidos ("continues") se empujan entre sí en razón de su densidad ("de l'espece de leur consistence") sin que haya que tener en cuenta la cantidad de los mismos en contacto. La combinación de ambos hechos permitiría explicar, por una parte, el fenómeno del sifón de brazos de desiguales y, por otra, que la burbuja de aire pueda separar dos placas compensando la presión ejercida por toda la atmósfera (cosa que se analiza detenidamente en LH XXXVII, III, 144 r°-145 r°). Pero cuando se trata de dos placas adheridas, ya no estamos ante dos líquidos, sino ante un sólido presionado por el movimiento del éter. Aquí hemos de vérnosla, pues, con un choque que no es tal, sino que oculta una pluralidad de pequeños choques independientes unos de otros que se compensan entre sí (cfr.: LH XXXVII, III, 145 r°-v°). La innovación que esto supone respecto del De l'union des corps purges , es la asociación explicita del carácter plegable de los líquidos con su continuidad y, a la vez, el mantenimiento de la existencia de

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pequeños choques independientes en el caso de dos sólidos que interaccionan, algo característico de la

Theoria motus abstracti. Esta diferencia entre cuerpos sólidos y líquidos permite, además, distinguir entre una solidez primitiva y una sensible (cfr.: LH XXXVII, III, 137 v°). La solidez primitiva tiene su origen en el movimiento del éter y su descripción coincide con éste tal y como aparecía en los dos escritos del invierno de 1670/71. Incluso se retoma la afirmación de la división al infinito y la existencia de mundos cada vez más pequeños. Aunque esta solidez primitiva ha sido la base de la solución boyleana al problema de la adhesión de placas, se necesita algo más, pues la simple agitación del éter es demasiado débil. Leibniz continúa con un análisis crítico de diversas hipótesis sobre el tema sin terminar de aclarar qué sea eso de la "solidez sensible". La página siguiente de la Recherche

de la Raison (LH XXXVII, III, 146 r°), comienza anunciando que se ha terminado el estudio de las hipótesis de los demás, todas ellas susceptibles de crítica, y se pasa a la elaboración de las teorías propias. Antes que ello ocurra, el texto se interrumpe en 146 v°.

10Esta expresión no está aislada en el seno de los escritos franceses que engloban la

Consequence de VHypothese generalle. La consecuencia sexta del escrito De Vunion des corps purges , posee el carácter de una observación más general, consistente en que "la nature tache d'empecher la discontinuation des corps sensibles " (LH XXXVII, III, 131 v°). Inmediatamente después el manuscrito se interrumpe sin que sea posible apreciar la existencia de un punto final. Destaquemos de esta observación general la universalidad de su enunciado. Aunque se mencionan los fenómenos que la apoyan, de lo que se habla aquí no es ya de placas, tubos o sifones, sino de "la naturaleza". Esto marca una cesura importante con las consecuencias anteriores, pues se abandona la explicación pormenorizada de los experimentos. A partir de su aparición, se convierte en el eje alrededor del cual gira todo el problema. Hasta una veintena de hojas del De Vunion des corps purgés tratan de sistematizar, de explicar, de aclarar qué es la naturaleza, por qué trata de impedir la discontinuación y cómo lo hace. Por "Naturaleza" se entiende el movimiento general del pleno que todo lo llena. La Naturaleza tiene un efectivo esfuerzo, una capacidad de actuar que se manifiesta especialmente en el vacío. Esta tendencia natural afecta sólo a los cuerpos sensibles, o, como dice en otra parte "grossiers", no a las minúsculas partes de que éstos pudieran constar. Tal restricción resulta importante pues hace compatible los textos aquí analizados con, por ejemplo, la Demonstratio contra

Atomos sumía ex Atomorum contactu de octubre de 1690. El eje de esta refutación del atomismo era pecisamente la idea de que si la cohesión de los cuerpos se originase por el simple contacto de sus superficies no habría elasticidad ni disolución. En efecto, si la coherencia se entiende como simple contacto, todo choque será inelástico o bien, dependiendo de la forma de los átomos, dará siempre como resultado un compuesto. Es más, imaginando los átomos delimitados por superficies lisas, la unión de estas superficies habrá de ser instantánea, en el momento en que su coincidencia sea total, el compuesto será coherente, pero nunca antes. En realidad, tampoco podrá hablarse de un después de

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los átomos individualmente. Una vez la cohesión entre ellos se ha establecido, no puede imaginarse un movimiento que los separe (cfr.: GP VII, 287). La idea de que el movimiento general de la naturaleza, afecte únicamente a los cuerpos sensibles, trata de impedir, precisamente, el dejar la puerta abierta al atomismo.

1h ien do la materia movimiento o esfuerzo, la condensación consistirá en la concentración de los esfuerzos que constituyen la materia en un pequeño receptáculo. La rarefracción será, por contra, su dispersión por un gran espacio. A sí entendida la rarefracción elimina toda la problemática en torno a la existencia del vacío. No hay verdadero vacío, a lo sumo, la cámara que contiene nuestras placas adheridas poseerá una baja concentración de materia, quiero decir, una gran dispersión de una escasez de esfuerzos. Por su parte, la condensación nos ha preparado para explicar otros fenómenos "sans qu'on doiue plus avoir peur de ces deux grands phantômes d'une philosophie peu fondée: de la

penetration des dimensions du Vuide que quelques uns ont crüe impossible même au Toutpuisant -la question séstant échauffé à l'ocasion des controverses de l'Eucharistie- et du Vuide" (Leibniz,

Recherche de la Raison de ces phenomenes, LH XXXVII, III, 143 v°). A sí pues, los problemas que venimos discutiendo no son problemas estrictamente físicos. Bajo una tal apariencia subyace un importante problema teológico. Siendo la materia puro esfuerzo, condensarla no implica cambiarla de ningún modo esencial. Ahora bien, la Theoria motu abstraen establecía que aquello que recoge, que "recuerda" los diferentes conatus es el alma. La ley de la continuación de los cuerpos sensibles, el mantenimiento de la continuidad por parte de la Naturaleza, es también un modo de explicar la unidad de los cuerpos, aspecto esencial para entender lo que ocurre en la Eucaristía. Pero, precisamente el mantenimiento de la unidad del compuesto sustancial por el afianzamiento de su continuidad, el racionalizar el milagro eucaristico, fue la tarea encomendada ¡al vínculo substancial!. ¡Los primeros brotes de la teoría leibniciana del continuo conducen directamente a la carta a des Bosses de 19 de mayo de 1716!.

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También la Recherche de la Raison de ces phenomenes, comienza la página 144 r°

haciendo profesión de humildad. Afirma que, para poder dar cuenta de todos los fenómenos es preciso guardarse de hacer hipótesis en la medida de lo posible. De esas hipótesis en la Recherche sólo quedaba libre el hecho de la presión del aire. Esta idea ya había aparecido en el De l'union de corps

purges (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r°), donde se enunciaba la tendencia a impedir la discontinuación por parte de la naturaleza. La página 132 r° hace referencia a "un petit traité pas encor publié, ny meme assez poli pour l'exposer à l'hazard de la censure publique" el cual contiene la proposición según la cual el movimiento general trata de amasar la materia heterogénea para hacerla menos heterogénea (la referencia bien pudiera ser a las Propositiones quœdam physicæ , comienzos/Otoño1672, especialmente las props. 23 y 24, Ak VI, 3, 39 ss.). Leibniz razona larga y detalladamente cómo

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el movimiento de una materia que llenase el espacio en torno a una esfera, terminaría por agrupar los cuerpos en sus polos. Nuestro autor lo ve tan claro que no duda en añadir al final del razonamiento "Q.E.D.". Posteriormente se tachan las tres letras y se agrega que esta esfera rodeada de una materia fluida en movimiento puede ser tomada a imagen de la tierra, concluyendo por fin que la naturaleza (en minúsculas ahora), se opone a la discontinuación de los cuerpos sensibles. Leibniz mismo se da cuenta de que está muy alejado de las cubetas, las bombas de vacío y el mercurio, por lo que señala que la relación entre esta proposición y los fenómenos se aclarará a continuación por el análisis de las objeciones que puedan hacerse a sus propuestas. En total son seis las objeciones que se analizan, llegando a la poco concluyente afirmación de que el esfuerzo de la naturaleza o movimiento general tiende a unir los cuerpos heterogéneos o a disgregarlos si son susceptibles de disgregación. En realidad es el propio vacío el que hace que los cuerpos se unan, pero la presencia de aire en el recipiente pone de manifiesto "el esfuerzo que la naturaleza hace contra la discontinuación de los cuerpos sensibles". El resultado no puede estar más alejado del matemático "Q.E.D.". Ahora resulta que el movimiento general puede tanto unir como disgregar, que el aire que resta en el recipiente tiende tanto a unir los cuerpos como a separarlos y que el vacío es necesario para que se manifieste el esfuerzo del pleno universal. La salvedad es que, en el presente escrito, se introduce la luz en lugar del simple "movimiento general" que allí aparecía. Por qué introducir la luz en lugar del movimiento general es algo que aclara la Hypothesis physica nova : "Lux nihil aliud, quam rei agitado instentina" (Leibniz, Hypothesis physica nova , invierno-1670/71, § 56, Ak VI, 2, 247). La luz corno agente causal de la distribución de cuerpos y materiales es un recurso frecuente de la Hypothesis physica

nova (cfr.: Invierno-1670/71, §§ 5 y ss., Ak VI, 2, 224 ss. -pasaje en donde, por cierto, se enuncia la infinita divisibilidad del continuo-), la Summa Hypotheseos physicæ novæ (cfr.: segunda mitad de 1671, dritter Entwurf, §§ 7 y 17, Ak VI, 2, 344 y 347), las Propositiones quædam physicæ (cfr.: comienzos/Otoño-1672, props. 8-14, Ak VI, 3, 19-29) y la carta a Fabri de 1677 (cfr.: Prop. 17, Ak III, 2, 138). En la página LH XXXVII, III, 98 v° de los escritos sin título, se establece el carácter no violento y recíproco de la tensión y la comprensión para afirmar como consecuencia que la compresión ejercida sobre los cuerpos proviene de la luz del Sol. La luz ejerce una presión sobre los cuerpos rechazando las partes de éstos hacia el centro de la Tierra. Cuando los cuerpos son rechazados por el centro, o bien chocan con otros que les impiden el movimiento o bien se produce una tendencia a la disgregación. D e este modo, la luz provoca presión y comprensión en el éter sometiéndolo a un flujo perpetuo, el cual, a su vez, tiende a la distribución uniforme tanto del mismo movimiento como de la materia.

13La Recherche de la Raison de ces phenomenes (cfr.: LH XXXVII, III, 137 r°) lanza como hipótesis, aunque sin posterior análisis, la idea de que la unión de los cuerpos en el vacío está vinculada con la naturaleza de los imanes. También el De l'union des corps purges , postula que los

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problemas de la adhesion, la gravedad y la imantación, tienen una naturaleza común, la tendencia de la luz a redistribuir homogéneamente la materia (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r°). Algo semejante se decía en la Hypothesis physica nova poniendo además este fenómeno en conexión con el movimiento del éter hacia los polos (cfr.: Invierno-1670/1, § § 3 4 bis y 35, Ak VI, 2, 238), en la Theoria motus

abstracti (cfr.: Invierno-1670/1, Def. 22 y Th. 20, Ak VI, 2, 264 y 270 respectivamente) y, muy particularmente, en las Propositiones quædam physicæ , que explica los fenómenos de la imantación y la gravedad por un "conatum presionum ad æquilibrium" (comienzos/Otoño-1672, prop. 22, Ak VI, 3, 38 y prop. 29 Ak VI, 3, 54).

14Este párrafo final es particularmente enjundioso. El texto asume como natural la distinción entre movimiento público o correspondiente al sistema (obsérvese que se ha tachado la palabra "General") y movimiento puro o privado, que se establece en el Leges Reflexionis et refractionis

Demonstratce de la segunda mitad de 1671 (cfr.: Ak VI, 3, 314). Apenas tres líneas más abajo de tal distinción, prosigue diciendo: "Ita descensus gravium non minus a systematis æquilibrio est, quam ascensus liqui in agua ab æquilibrio aquæ alioquin turbato". Pero la idea de semejante equilibrio aparece ya en la Hypostesis physica nova , § 20, (cfr.: Invierno-1670/71, Ak VI, 2, 228) y de un modo que evoca la parte final de la Consequence de l Hypothese generalle en el § 57 de la misma obra (cfr.: Ak VI, 2, 247 ss.). Las Propositione quædam physicæ , por una parte, afirman que todo medio continuo tiende al equilibrio universal (cfr.: comienzos/Otoño-1672, dritter Entwurf, prop. 36, Ak VI, 3, 65 s.) y, por otra, pone en conexión el equilibrio con la armonía (cfr.: Op. cit., prop. 30, Ak VI, 3, 57). Como es bien sabido, la reciprocidad de continuidad y armonía es algo característico del período de madurez. De hecho, el Primæ Veritates, de los alrededores de 1689, retoma el ejemplo de la balanza y cita a Arquímedes como padre del postulado de que si "brachiis libræ et ponderibus positis æqualibus, omnia sint in æquilibrio" (C 519). Ahora bien, ¿de qué es ejemplo este postulado? es un ejemplo del principio según el cual "omnia ab una parte se habent ut ab alia parte in datis [determinatibus], etiam in quæsitis seu consequentibus omnia se eodem modo habitura utrinque" (loe. cit.). Esto es, el equilibrio de la balanza es un ejemplo del axioma "datis ordinatis etiam quæsita sunt ordinata", base del principio generai del orden (cfr.: Leibniz, Lettre de M. L sur un

principe generai utile à l'explication de lois de la nature par la consideration de la sagesse divine, pour servir de replique à la réponse du R. P. D. Malebranche, 1687, GP III, 51-2). Sobre la vinculación entre este principio y la ley de continuidad, puede verse el Specimen Dynamicum pro

admirandis Naturæ Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegentis et ad suas causas revocandis, de 1695, (cfr.: Pars II, GM VI, 249-50). Es más, esa "Regla del equilibrio universal" recuerda bastante a una ley de conservación y, de hecho, existe también un texto de madurez donde se vincula la ley de continuidad y la ley de la conservación de la fuerza (cfr.: Leibniz, Essay de

Dinamique sur les loix du mouvement, où il est monstré, qu'il ne se conserve pas la même Quantité de

30

Consecuencia de la hipótesis general

rAction motrice , 1695, GM VI, 229). En definitiva, hay un paralelismo casi perfecto entre las relaciones que guarda la ley de continuidad con el principio general del orden y las leyes de conservación, de una parte, y la ley de la continuación y ese corolario de aquéllas que al cabo sería la "Regla del equilibrio universal", de la otra.

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Prefacio al Opúsculo sobre la Cuadratura aritmética

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Introducción. El Prefacio al opúsculo sobre la cuadratura aritmética del círculo, tiene, según las fuentes, dos dataciones. Una es finales de 1675 y la otra otoño de 1676. A nuestro entender, la más probable es la primera, ya que guarda un profundo parecido con la carta a Oldenburg de 30-II-167512y con la carta remitida a La Roque a finales de 1675 . La lista de precursores que allí se cita es muy semejante con la que proporciona este texto. El original abarca tres páginas y tres cuartos de otra y ha sido editado por Gerhardt3, aunque con algunos errores que hemos tratado de enmendar. Como su propio nombre indica, estamos ante el prefacio al escrito De Quadratura Arithmetica Circuli, Ellipseos et Hyperbolæ, cujus corollarium est Trigonometria sine Tabulis, terminado en el año 1675 y entregado primero a Saudry, después a Hansen y, tras diferentes avatares, a D. Elsevir, para que se encargara de su edición una vez Leibniz abandonó París. En este opúsculo, además de la cuadratura aritmética del círculo se exponía el método para el desarrollo de series que permitiesen hallar el arco a partir del seno o el seno a partir del arco, método éste que no pertenecía al propio Leibniz. Comoquiera que la edición sufrió un sin fin de retrasos, cuando estuvo preparada, Leibniz había encontrado ya su propio método para el desarrollo de tales series. De aquí que acabase por descartar su publicación e inédito permanece hasta nuestros días salvo una edición parcial4. Afortunadamente, el prefacio de dicho escrito ha corrido mejor suerte por tratarse de un breve, pero conciso texto, en el que Leibniz hace un repaso, como dice él mismo, por sus antecedentes, por lo que se ha hecho y se ha de hacer para, al fin, aportar su aproximación a la cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, al número n. Este escrito presenta ligeras variaciones respecto a sus predecesores. Así, en la carta a Oldenburg

anteriormente mencionada, las cuadraturas

"aproximatorias"

son

clasificadas en numéricas o lineales. Las primeras son ejemplificadas por 'Cfr.: Ak III, 1, 202 y ss. 2Cfr.: Ak III, 1, 338. 3Cfr.: Die mathematischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, ed. von G. D. Gerhardt, 7 vols., Georg Olms Verlag, Hildesheim-New York, 1971 (en lo sucesivo GM), vol. V, págs. 93-8. 4Cfr.: Scholtz, L. Die exakte Grundlegung der Infinitesimalrechnung bei Leibniz , Marburg, 1934.

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Arquímides, Ludolf de Colonia y Wallis, en tanto que las segundas son ejemplificadas por Snell y Huygens. Las cuadraturas exactas, por su parte, serán mecánicas o aritméticas. Estas son caracterizadas porque no vienen dadas por ciertos números, sino por una serie infinita de números. Y en este momento, a diferencia del Prefacio, se menciona a Mercator y a la cuadratura de la hipérbole de W. Brounckers. Aparte se hallan la cuadratura analítica y la geométrica, que se realiza mediante constmcciones geométricas. La cuadratura analítica se efectúa a través de una expresión algebraica con un número finito de partes. Básicamente ésta es también la clasificación que aparece en la carta a La Roque, con la salvedad de que, para la cuadratura geométrica se propone también el nombre de "física".

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ie

G. W. L. Prefacio al opúsculo sobre la cuadratura aritmética del

/93/

1675.

Puesto que el problema de la Cuadratura del Círculo se encuentra en todos

los lugares y en brillantes estudios de investigación, escritos además por hombres absolutamente expertos y célebres en Geometría, será valioso exponer brevemente la naturaleza de la cuestión (que parece haber sido buscada desde siempre), qué se defendió antes de nosotros, qué rechazamos y qué quedará por hacer a la posterioridad. Cuando Pitágoras y sus discípulos expusieron los elementos de la Geometría rectilínea, después redactados en un cuerpo por Euclides, ya se demostró que, para cualquier figura rectilínea plana dada, puede crearse un cuadrado igual, lo cual es evidentemente muy simple y, en cierto modo, es una medida de lo que queda. Empezó entonces a pensarse si no podría crearse una figura rectilínea igual al círculo y, por tanto, igualarlo al cuadrado. Y esto es lo que vulgarmente se llama la cuadratura del círculo, pues si pudiera describirse cierto Triángulo, u otro Polígono cualquiera, igual al círculo, en todo caso sería en potencia igual al cuadrado. Y puesto que Arquímedes señaló que un Triángulo rectángulo cuya altura sea de un 2

radio y la base como la circunferencia extendida en recta, sería el doble del círculo , si alguien encontrase alguna recta igual a la circunferencia del círculo, daría con nuestra cuadratura. Al llegar aquí, algunos que oyen la explicación, se admiran al ver facilísimo lo que tanto tiempo han buscado los Geómetras, pues ¿qué más fácil, que hallar una recta igual a la circunferencia circundando el círculo con un hilo material y después extendiéndolo en línea recta y midiéndolo? Con el mismo derecho pueden decir que el círculo se cuadra fácilmente si una masa de cera, primero circular, después se vuelve una figura cuadrada, o si el agua de un cilindro cavado en madera se pasa a uno excavado en forma cuadrada, pues, a partir de la altura del agua, aparece cómo 35

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G. W. Leibniz

es el círculo -que es la base del cilindro- al cuadrado -que es la base del madero o prisma excavado- y si el agua se eleva el doble o triple más alto en el prisma que en el cilindro, el círculo será la mitad del cuadrado o un tercio y, de tal modo, otro cuadrado que sea el doble o el triple, será igual al círculo, en lo cual no hay ningún problema para la Geometría. Es sabido, en verdad, que no es tal cosa la que buscan los Geómetras, sino un camino para su investigación por el que, sin /94/ el círculo material o su transformación o aplicación al plano, pueda encontrarse y designarse la recta igual a la circunferencia, o también el lado del cuadrado igual al círculo, con cierto arte y regla o instrumento que tenga la capacidad de formar una línea recta, como son aquéllos con los que se describen los Círculos, Elipses u otras líneas. Por consiguiente, no se busca la cuadratura del círculo por el hilo extendido en recto, ni tampoco por la rueda hecha rodar en el plano o la regla aplicada en contacto sucesivo con las partes materiales de la circunferencia. De aquí, además, que no sea la que se busca la cuadratura del círculo mostrada por el contacto con la Hélice de Arquímedes, ni por tal la vendió Arquímedes . Sin duda la Hélice es una línea curva que describe un recorrido avanzando por los radios alrededor del centro y de éste hacia la circunferencia, tocando al plano subyacente con su vértice inmóvil y dejando en él rastros de su movimiento, compuesto a partir de lo recto y lo circular. En esta medida se entiende que el movimiento de los radios alrededor del centro y el recorrido en el radio es uniforme o proporcional. Tal línea no está en nuestro poder, pues (sin un círculo material) hasta ahora no hemos podido hacer que los radios se muevan siempre con velocidad igual o proporcional alrededor de los centros y a lo largo del radio. Además, si ya estuviese D

descrita,

debería

aplicarse

cierta

regla

tangente a esta hélice sacada materialmente del plano, por la cual se determinaría necesariamente la recta igual al círculo. Por otra parte, con el Problema de la Cuadratura del Círculo está conectado el problema de la sección universal del Angulo, o Trigonometría Geométrica, cuyos ángulos

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Prefacio al opúsculo de la cuadratura aritmética del círculo

pueden tratarse, naturalmente, a semejanza de los de líneas rectas. Por ejemplo, puede encontrarse un ángulo, que tenga a otro dado una razón dada de número a número, o también de recta a recta, lo mismo que, a partir de los lados dados de un Triángulo, puede encontrase la cantidad del ángulo o la razón del arco tendido bajo éste a su circunferencia toda y como, inversamente, con un ángulo y dos lados, o con dos ángulos y un lado dado, se llega geométricamente de modo parecido al Triángulo. Todo esto puede demostrarse también sin Tablas si se da la Cuadratura plena,esto es, del círculo y de todas sus partes, naturalmente

plena del Círculo, digo

de los segmentos, como CEFC, y de los sectores como ABDC. Sin duda, de esta manera, puede encontrarse también una recta igual a cualquier porción o arco de circunferencia, por ejemplo BDC, como señaló Arquímedes, y de ahí el arco (y lo que le corresponde en el ángulo) puede tratarse a semejanza de las líneas rectas, lo cual sería mucho más útil que la sola cuadratura del círculo. En efecto, de este modo, sin aquella Tabla de Senos, podríamos resolver todos los problemas Trigonométricos y /95/ nadie ignora cuán grande es el uso de la Trigonometría en todas las cuestiones matemáticas. Por otra parte, la Cuadratura del círculo igualmente plena y menos plena es o empírica o racional: la Empírica, se hace por el hilo extendido y otras transformaciones e intentos, y ésta ya la hemos rechazado; la Racional, se descubre por cierta teoría y siguiendo una regla nacida a partir de la naturaleza de la cosa. La Racional es exacta o aproximada, y una y otra o por cálculo o por trazado de Líneas: por cálculo finito o infinito y por números racionales o irracionales. Todas las aproximaciones a la cuadratura se llaman Mecánicas, se haga por el trazado de líneas, como los ingeniosísimos Willebord Snell4 y en primer lugar ningún otro que Christian Huygens5, o se haga por cálculo, como lo hicieron Arquímedes, Metius6, Ludolpho de Colonia , Jac. Gregorio Scoto y otros . Arquímedes, ciertamente, vio que, por medio de Polígonos inscritos y circunscritos, puede aproximarse la magnitud del círculo cuanto se quiera10. En efecto, si dos Polígonos semejantes, como los que Euclides enseña a delinear, por ejemplo los Trígonos, Hexágonos, u otros, se inscriben y circunscriben en el círculo, podrían, por la bisección de los ángulos que incluyen (pues la bisección de los ángulos puede hacerse por los 37

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G. W. Leibniz

Elementos) inscribirse y circunscribirse otros dos con el doble número de lados o ángulos que se tenían, y esto puede continuarse al infinito, cayendo siempre el círculo entre los últimos inscrito y circunscrito. Es decir, si comienzas por los trígonos, se sigue por los hexágonos, dodecágonos, 24agonos, 48agonos, 96agonos, inscritos y circunscritos de modo semejante, pudiéndose proceder de este modo hasta donde quieras y, puesto que en estas bisecciones de los polígonos siempre puede tenerse geométricamente el área con bastante exactitud numérica, siempre se tendrán las áreas entre las que cae el círculo, aproximándose siempre al mismo y, de esta manera, puede hacerse que el error sea menor que cualquiera dado, esto es, si se me pide un número que exprese la razón de la circunferencia al diámetro tan aproximada que no difiera en verdad como la centésima a la milésima u otras partes de la unidad, esto puede hacerse continuando la bisección. Este método lo comenzó Arquímedes, Metius lo llevó más lejos, pero mucho más lo prolongó la increíble labor producida por Ludolfo de Colonia, quien, si hubiese conocido los compendios nacidos hoy día, al menos habría visto aliviado su trabajo en gran parte. A partir de las proporciones halladas, para el uso en los muy pequeños, basta la Arquimédica, a saber, que la circunferencia es al diámetro como 22 a 7 11; en las medianas, la de Metius, que es como 355 a 113; en las grandes basta con que se use la fracción de Ludolpho, que es como ... /96/a ... Hallada la razón del diámetro a la circunferencia, puede medirse con facilidad cualquier otro arco por medio de la Tabla de Senos. Pues, si alguien extrae de la tabla el seno de medio minuto y lo duplica, tendrá la cuerda de un minuto o el arco mismo, que es la 21600ava parte de la circunferencia. La cuerda que se desea puede suponerse, con mediocre exactitud, igual a su arco y, de este modo, para encontrar la longitud correspondiente, por ejemplo, a siete grados, puesto que contiene 420 minutos, basta encontrar la longitud de la cuerda de un minuto a partir de la Tabla y multiplicarla por 420. Si alguien quiere proceder aún con mayor exactitud, puede usar del mismo modo los minutos y segundos del seno. Y, ciertamente, esta cuadratura del Círculo por partes, aunque sea Racional, se llama no obstante Mecánica. Es exacta también la que muestra la magnitud buscada del Círculo o arco exactamente, y ésta es Lineal o Numérica, es decir, o por 38

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Prefacio al opúsculo de la cuadratura aritmética del círculo

el trazado de líneas o por la expresión de los valores. El valor puede expresarse exactamente por la cantidad o por la progresión de la cantidad, cuya naturaleza y modo de continuación se conoce. Por la cantidad, por ejemplo, si se da algún número racional o irracional o también Algebraico, incluido en cierta ecuación, por el que se expresa el valor del arco del círculo. Por progresión, si se muestra cierta progresión, de la cual se da la regla de continuación al infinito, que expresa exactamente, tomada toda a la vez, el valor del arco o del círculo. La primera expresión la llamo Analítica, la posterior, en fin, como la progresión procede por números racionales, parece que puede proponérsele con razón el título de Cuadratura Aritmética cuando digo: Si el cuadrado del diámetro es 1, el círculo se iguala a la progresión completa de la fracción de los impares alternativamente . . . . . . . l i l i l í .. _ . positivos y negativos baio la unidad, esto e s , --------1---------- 1--------- etc., al infinito, 1 3 5 7 9 11 como se demostrará en este opúsculo, donde no puede negarse que se halla precisamente cierto valor exacto del círculo y alguna expresión de su magnitud completamente verdadera. Alguien dirá que, la misma serie completa de estos números, no es nada en absoluto, pues puede aumentarse y disminuirse. Con tal convicción pueden ser anulados muchos teoremas. Me pregunto, cómo es posible que no sea nada, si expresa el valor del círculo, a menos que juzguemos que tampoco éste es nada. Pero si es algo, por consiguiente, descubrimos, en todo caso, cierto valor exacto del círculo. Y si alguien hallase alguna vez la progresión de los caracteres, del mismo modo como puede continuarse al infinito sin cálculo la conocida expresión de Ludolfo (generalmente se necesita cierta regla para mantener constante una progresión tal), lo cual /97/ sería bellísimo, tendría la cuadratura Aritmética del círculo en íntegros, así como nosotros la dimos en fracciónales. Pero opino que esta regla sería dificilísima e inútilmente compuesta y de menor belleza para demostrar teoremas. En la nuestra, resplandece cierta maravillosa simplicidad de naturaleza -por ejemplo, los mismos números, que son las diferencias de todos los cuadrados en orden , expresan la razón del círculo al cuadrado del diámetro-, de tal modo que difícilmente la expresión analítica del círculo se hará por una cantidad y, si alguna vez se hallase tal cantidad, la posteridad encontraría más hermosa la

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G. W. Leibniz

expresión, excepto que, con la misma regla se halla no sólo el círculo, sino cualquiera de sus partes, no sólo la circunferencia, sino cualquier arco, lo cual es imposible que se haga de la misma manera con la expresión analítica. De nuestra regla general y por esto, de la Cuadratura Aritmética plena, se obtiene, suponiendo la Tangente, b, no mayor que el radio, y siendo el radio la Unidad, que, i b9 b u evidentemente, el arco, no es mayor al cuadrante q u e ---------- 1------------- 1-----------1 3 5 7 9 11 etc. Por lo que los problemas Trigonométricos aparecen resueltos sin tablas. De lo cual enseguida veremos más. Además, quedan dos cuadraturas exactas, una Lineal 0 Geométrica, la otra Analítica. Ciertamente, no todo lo Analítico es Geométrico. En efecto, pueden expresarse ciertas magnitudes, que no pueden mostrarse con el trazado de líneas por las artes conocidas y, al contrario, pueden trazarse líneas por instrumentos cuya expresión aún no está en nuestro poder. Sin duda, alguna vez se muestran Líneas Geométricas, tan geométricas como las parábolas e hipérboles y necesarias únicamente para solucionar algunos problemas, que los Cartesianos describen no menos fácilmente por los movimientos de reglas avanzando con alguna proporción y, sin embargo, no pueden referirse con el cálculo a ninguna ecuación ni dimensión. También será cuadratura perfecta aquella que sea a la vez Analítica y lineal, o que se constmya de igual manera que las líneas referibles a ecuaciones de ciertas dimensiones. Su imposibilidad fue afirmada por el ingeniosísimo Gregory en el libro De la Verdadera Cuadratura del Círculo , pero ciertamente en aquel tiempo no acabó la demostración, si no me equivoco. Yo no veo aún qué impide medir la circunferencia misma o alguna parte determinada suya y que la razón del arco a su seno se exprese por una ecuación de cierta dimensión. Pero la relación del arco al seno es imposible de resolver en general para las ecuaciones de cierta dimensión, como demostraré en el opúsculo, a partir de lo cual /98/ se deduce este Corolario: "No puede

hallarse la cuadratura plena analítica, expresada por una

ecuación con términos cuyas dimensiones sean números racionales, más perfecta que la que dimos cuando dijimos que el arco no es mayor al cuadrante que b b 3 b5 b 1 b9 b u „ . , , , „ ---------- 1------------- 1------------ etc. Suponiendo su tangente b y el radio 1 . En efecto, 1 3 5 7 9 11

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Prefacio al opúsculo de la cuadratura aritmética del círculo

como quiera que se haga, en todo caso se progresa al infinito, pues de otra manera, como se ha indicado, o no será plena, o no mostrará cualquier arco, o será con seguridad de muy elevada dimensión, lo cual hemos demostrado que es absurdo. Pero si progresa al infinito, en cualquier caso, no es más perfecta que la que dimos. Puesto que su imperfección consiste en que progresa al infinito, es posible que sea por fortuna más cómoda y simple que la nuestra, pero esto nos interesa poco, sobre todo cuando ni siquiera hace verosímil que pueda hallarse una expresión en alguna índole más simple y más natural y que impresione más a la mente, salvando la generalidad. Lo cual se demuestra fácilmente del siguiente modo. Sea la ecuación hallada de cierto grado cualquiera, por ejemplo, cúbica, cuadrato-cuadrática, sordosólida o de quinto grado, de sexto grado, y así sucesivamente, de tal manera que la ecuación hallada tenga alguna dimensión máxima y por exponente un número finito. Supuesto esto, puede trazarse la línea curva de este grado, de modo que la abscisa exprese el seno, y la ordenada el arco o al contrario. En consecuencia, el arco o el ángulo de la línea podrá necesariamente dividirse en una razón dada, o del arco, que tiene una razón dada, a lo precedente, se hallará el seno. Por consiguiente, el problema de la sección universal del ángulo será de cierto grado, naturalmente sólido o sordosólido, o de otro grado más alto, sin duda el señalado por la naturaleza o ecuación de la línea susodicha. Pero esto es absurdo. En efecto, es sabido que son tantos los diferentes grados del problema, cuantos son los números (al menos impares) de la sección: pues la bisección del ángulo es un problema plano, la trisección un problema sólido o cónico, la quinta sección es un problema sordosólido y así sucesivamente al infinito; el problema se hace más alto cuanto mayor es el número de partes iguales en las que está dividido el ángulo, lo que según los Analíticos es cosa reconocida y podría probarse de modo universal, si correspondiese en este lugar. Es imposible, en consecuencia, que la relación del arco al seno se exprese en general por las ecuaciones de cierto grado determinado. Q. E. D.

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G. W. Leibniz

Notas del traductor 1 El Prefacio a la cuadratura aritmética del círculo está escrito en 2o abarcando 3 páginas y tres cuartos de otra. Para la traducción hemos seguido la edición de Gerhardt (GM V, 93-8) corrigiéndola en algunos puntos por su cotejo con el manuscrito.

Se refiere a la proposición 1 de la obra de Arquímedes Medida del círculo (cfr.: Científicos

griegos , recopilación, estudio preliminar, preámbulos y notas por Francisco Vera, vol. II, Aguilar, Madrid, 1970, pág. 94 -en ésta, como en las restantes citas de Arquímedes, quisiera manifestar mi agradecimiento a la Prof. Dra. Carmen Hernández de la Universidad de Sevilla, cuyos enormes conocimientos en la materia me han sido de gran ayuda).

Lo que hizo Arquímedes en su obra Sobre las espirales fue obtener cuadraturas diversas de áreas relacionadas con la espiral (III, prop. 20 y ss.) y mostrar cómo, teniendo un arco de círculo, puede obtenerse la dimensión del círculo o al contrario. La cuadratura arquimédica de la espiral fue la base sobre la cual los matemáticos del siglo XVII obtuvieron sus cuadraturas, si bien por procedimientos geométricos y poco rigurosos (cfr.: González Urbaneja, P. M. Las raíces del cálculo

infinitesimal en el siglo XVII, Alianza Editorial, Madrid, 1992, págs. 69 ss.). 4 Se está refiriendo al cálculo abreviado de la cuadratura del círculo por medio de aproximaciones geométricas expuesto por W. Snell (1580-1626) en su Cyclometricus, Leiden, 1621.

5 Christian Huygens (1629-1695), matemático y científico suizo con quien Leibniz mantuvo una larga correspondencia. Alude, probablemente, a la demostración y ampliación de la regla de Snell expuesta por Huygens en su D e circuii magnitudine inventa, Leiden, 1654.

6 Adriaen Antonisz Metius (1527-1607), matemático e ingeniero francés que dio la aproximación n = 355/113, publicada por su hijo (Adrien Metius) en su obra Problemata Astronomica, geometrice delineata, Leyde, 1625. 7

Ludolph von Ceulen (1540-1610), matemático holandés que en sus Fundamenta

arithmetica et geometrica , Leiden, 1615, daba una aproximación a n de 32 cifras calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 262 lados. Se dice que este valor, denominado número ludolfiano, fue su epitafio. g

James Gregory (1638-1675) en su Geometrice pars universalis, Padua 1668, pág. 123, tras

dar una cierta aproximación a la cuadratura del círculo acababa por confesar que "... me nullo modo potuisse invenire rationem inter curvam ellipticam vel hyperbolicam et rectam ..., ita ut facile credam, hanc rationem esse non analyticam, et uno gradu esse superiorem illa inter circulum et diametri

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quadratura". La serie de Gregory para el cálculo del arco tangente de 1, hallada en 1671, era 1

i

i

i

3

5

7

^ ij

— = I ------- 1-------------b . . . = > ---------- . El problema de esta serie es que, programando un

4

2n +1

n=0

superordenador de los actuales para efectuar las sumas y multiplicaciones, no llegaría a proporcionar una cifra exacta de pi por año.

9

Listas semejantes pueden encontrarse en Leibniz a Oldenburg, 30-III-1675 y Leibniz a La

Roque, finales-1675, Ak III, 1, 202 y 338 respectivamente.

10 Los polígonos inscritos y circunscritos aparecen en el tratado de Arquímedes Sobre la esfera y el círculo, Libro I, proposiciones 6 y 7 (cfr.: Científicos griegos , voi. 1, págs. 30-1).

11 La proposición 2 del escrito de Arquímedes Medida del círculo afirma: "La razón de un círculo al cuadrado de su diámetro es aproximadamente la de 11 a 14". En la proposición 3 del mismo tratado se demuestra que "la circunferencia de un círculo es igual al triple del diámetro y una parte de éste menor que la séptima, y mayor que diez setenta y un avos del diámetro" (cfr.: Científicos griegos , voi. 2, págs. 96 y ss.).

12 Se refiere a que l 2-02 = 1; 22 - l 2 = 3; 32 - 22 = 5, etc.

13 Cfr.: Gregory, J. Vera circuii et hyperbolce quadratura , Padua, 1667.

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Principio enteramente general

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Introducción. La Carta sobre un principio general, es, probablemente, el escrito más citado a propósito del continuo y también el peor leído. Esta carta tiene dos versiones, la primera, en francés, fue publicada en las Nouvelles de la République des lettres en julio de 1687. La segunda, en latín, parece ser posterior dado que es algo más extensa que aquélla y el manuscrito original muestra una pulcritud de la que carece el manuscrito de la versión francesa. Su título parafrasea un famoso ejemplo utilizado en la gramática latina y atribuido a Cicerón (“novum quoddam genus dicendi”). En cualquier caso, corresponde también a 1687. La interpretación tradicional de Leibniz afirma que en esta carta se encuentra la primera enunciación del principio de continuidad. En realidad, de lo que habla esta carta no es de otra cosa que del principio general del orden, como deja perfectamente claro el título. Según el principio general del orden, si la diferencia disminuye por debajo de cualquier magnitud en los datos, lo mismo ocurrirá en los resultados. No se nos habla, pues, de tránsitos, mutaciones o cambios, sino de la covariación de series, de la influencia de unos cambios en otros. No es tarea de la ley de continuidad justificar las influencias aparentes, explicar las covariaciones, esto es misión de la armonía preestablecida. Tarea de la ley de continuidad es prohibir que haya una variación por saltos. Aunque en el texto se menciona la continuidad, puede observarse que no se dice en ningún momento "mi ley de continuidad consiste en ...", "mi principio de continuidad consiste en ... ", o "mi axioma de continuidad consiste en ...". Por tanto, si no se dice que la ley de continuidad consista en ... este texto, en contra de lo que piensa la mayoría de intérpretes y tal vez el propio Leibniz, no puede estar enunciando la ley/principio/axioma de continuidad. Parece obvio que si no se enuncia que "X es ... " no se está diciendo de X que sea nada. Ahora bien, la ley de continuidad ocupa en la teoría del continuo el mismo lugar que el principio general del orden en la teoría de la armonía preestablecida. Y, según Leibniz, ambas teorías eran sólo dos aspectos diferentes de una y la misma cosa. El resultado es que, ya en 1689, en una carta de 20/30 de septiembre a Joh. Bernoulli, Leibniz asegura, sin especificar el artículo ni la fecha, haber enunciado en las Nouvelles su axioma

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que consiste en la ley de continuidad (sic!)123.A partir de este momento se multiplican las alusiones a este nebuloso artículo, supuestamente aparecido en las Nouvelles donde se enunciaba por primera vez la ley de continuidad . Incluso, el escrito LH XXXV, VH, 19, de 2-II-1708, sostiene que en ese artículo (de nuevo sin número ni fecha), se afirmaba que la ley de continuidad procede de la aplicación a la física del cálculo infinitesimal. Pero no todas las citas son erróneas. Curiosamente, el único texto que cita de modo completo el número de artículo y fecha de la Carta sobre un principio general es también el único que afirma que en este escrito se enuncia el principio general del orden y se establece su relación con la ley de continuidad . En realidad, ya hemos visto cuál era la primera enunciación de la ley de continuidad. Los dibujos han sido tomados de la Vorausedition.

1Cfr.: GM III, 544-5. 2Cfr.: Leibniz, Nouveaux Essais , Prefacio, 1703/4, GP V, 49 = Ak VI, 6, 56; Essais de Theodicée sur la bonté de Dieu , la liberté de l'homme et l'origine du mal, § 348, 1710, GP VI, 321; Leibniz a Grandi, 6-IX-1713, GM IV, 219; Epistola ad V. Cl. Christianum Wolfium Proffessorem matheseos habensum circa scientia infiniti, 1713, GM V, 385; y Réponse aux reflexions contenues dans la seconde Edition du Dictionaire critique de M. Bayle article Rorarius sur le système de l'Harmonie préétablie , GP IV, 568-9. 3Cfr.: Leibniz, Specimen Dynamicum pro admirandis Naturæ Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis, Parte II, 1695, GM VI, 249-50.

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G. W. Leibniz, Principio enteramente general, no sólo útil en matemáticas sino en fisica, por medio del cual, a partir de la consideración de la sabiduría divina, se examinan las leyes de la naturaleza. Se explica habiendo surgido la ocasión en la controversia con el R. P. Malebranche, y se advierten ciertos errores de los cartesianos1, 1687-8.

/2373/ Este Principio General del Orden tiene origen en el infinito, y es de gran uso en el raciocinio, aunque no es lo bastante usado ni conocido en su amplitud. Es de absoluta necesidad en Geometría, pero tiene también éxito en Física, puesto que la suprema sabiduría, que es la fuente de todas las cosas, actúa como el más perfecto de los Geómetras y observa la Armonía, a cuya belleza nada puede acercarse. Y, de esta manera, empleo frecuentemente este principio como prueba o examen, como piedra de toque desde donde, con seguridad y sólo por el aspecto exterior, puede determinarse la falsedad de muchas opiniones de escasa coherencia, sin pasar a una discusión más detallada. Puede enunciarse de este modo: Cuando la diferencia de dos casos puede disminuirse por debajo de toda cantidad en los datos o en lo que se pone, es necesario que disminuya al mismo tiempo por debajo de toda cantidad en lo buscado o en las consecuencias que, a partir de lo que se pone, resultan. O como se dice más

familiarmente:

Cuando los casos (o los datos) se aproximan

continuamente, tal que finalmente desaparecen uno en el otro, necesariamente las consecuencias o eventos (o lo buscado) correspondientes hacen lo mismo. Lo cual depende de este principio más general: Ordenados los datos, está ordenado también lo buscado . Pero las reglas se aclaran con ejemplos fáciles que muestran mejor su razón por /2374/ la transferencia a la práctica. Sabemos que por la sombra o proyección de los círculos se generan Cónicas y la proyección de las rectas son rectas. Si la recta corta ahora al círculo en dos puntos, también la recta proyectada cortará la proyección del círculo, por ejemplo, la Elipse o Hipérbole, en dos puntos. Pues bien, cuando la recta corta al círculo, puede moverse progresivamente de modo que se aleje más y más hacia su exterior y los puntos de intersección se acerquen más y más entre sí, hasta que finalmente coincidan, en cuyo caso la recta o toca al círculo o comienza a alejarse del mismo. Sucede entonces que, los puntos proyectados de intersección de la recta y el círculo, o los puntos de intersección de la

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G. W. Leibniz

recta proyectada con la proyección del círculo, se acercan continuamente, y en fin, si los puntos de intersección desaparecen uno en el otro, también las proyecciones desaparecen una en la otra y, por tanto, donde la recta toca al círculo, también la proyección toca a la línea cónica, proyección del círculo. Lo cual figura entre los más importantes teoremas de las Cónicas y no entre los circunloquios y preparativos de las figuras o en una Cónica separadamente, como suele sucederle a otros, sino que se demuestra de modo general por una fácil intuición de la mente. Se sabe que el caso o la suposición de una Elipse se puede aproximar cuanto se desee al caso de la Parábola, tal como la diferencia entre Elipse y Parábola puede hacerse menor que cualquier diferencia dada, con tal que uno de los focos de la Elipse esté lo bastante alejado del más próximo a nosotros, pues entonces los radios de aquel foco alejado se diferencian tan poco de los paralelos como se quiera y, por tanto, todos nuestros principios, todos los Teoremas Geométricos de la Elipse, pueden aplicarse a la Parábola, considerando ésta como una Elipse uno de cuyos focos está infinitamente alejado de aquí o (si se quiere evitar la expresión "infinito") como figuras que difieren de las Elipses menos que cierta cantidad dada. Transfiramos el mismo Principio a la Física. Por ejemplo, el reposo puede considerarse como la velocidad infinitamente pequeña o como una lentitud infinita. Así pues, lo que es verdadero de la velocidad y de la lentitud en general, debe ser también, a su modo, verdadero del reposo o de la lentitud máxima y, por tanto, quien quiera dar reglas del movimiento y del reposo, debe recordar que la regla del reposo debe ser concebida necesariamente como cierto corolario o caso especial de la regla del movimiento. Si esto no sucede, será una señal cierta de que las reglas están mal constituidas y son mínimamente consistentes entre sí. De este modo, la igualdad puede considerarse como una desigualdad infinitamente pequeña, en la cual la diferencia es menor que cualquiera dada. Fue también por el descuido de esta consideración, que Descartes, hombre de gran ingenio, erró en la constitución de sus leyes de la naturaleza. No /2375/ repetiré ahora otra fuente de sus errores, objetada por mí con anterioridad, a partir de la confusión de la fuerza y la cantidad de movimiento . Sólo señalo cómo falta a este principio nuestro aquí expuesto. Tomemos, por ejemplo, las reglas del movimiento primera y segunda que nos 48

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Principio enteramente general

trasmiten los Principios de la

filosía; afirmo que se contradicen entre sí. En efec

la segunda de estas reglas es: Si dos cuerpos B y C chocan directamente con igual velocidad, y B es mayor que C, C rebota con la velocidad inicial, B continúa su movimiento y, de esta manera, ambos conjuntamente irán en la dirección en la que primero iba B. Pero, según la primera de estas reglas, siendo B y C iguales y chocando directamente con la misma velocidad, rebotan ambos con la velocidad con ,

4

que venían . IB

2 B 2C

1C

□

□O

O

íB y iC, sitio Cartes, reg. 1.

3C

3B IB

2B 2C

□

Do

antes del choque, 2C,

1C

2B

y

en el choque, 3B y 3C

en tiempo igual desde el Cartes. reg. 2

□ 0

choque que iB y 1C al

3B 3C

principio

antes

del

choque. Y estará en este lugar según Descartes. 1B2B igual 1C2C igual 2B3B igual 2C3C.

Yo niego que la diferencia entre estos dos casos de igualdad y desigualdad sea razonable. Pues, como la desigualdad de los cuerpos decrece más y más y, finalmente, puede hacerse como se quiera de pequeña, de esta manera la diferencia entre los dos supuestos, desigualdad e igualdad, será menor que cualquiera dada. Entonces, en virtud de nuestro principio y, por tanto, a la luz natural, la diferencia entre los efectos y las consecuencias de estas suposiciones, también debe decrecer continuamente y finalmente hacerse menor que cualquiera dada. En verdad, si la segunda regla es igual de verdadera que la primera, ocurre lo contrario. Pues, por la segunda regla, el aumento como se quiera de pequeño de un cuerpo B, antes igual al mismo C, no produce en el efecto /2376/ una diferencia como se quiera de pequeña, ni

paulatinamente

creciente

por

aumento

continuo,

como

debiera,

sino

instantáneamente al máximo. De tal manera que esta adición indefinidamente pequeña, a partir de la reflexión absoluta de B con toda su velocidad, produce la continuación absoluta de B también con toda su velocidad, lo cual es un gran salto de un extremo al otro, cuando la razón ordena que, aumentada alguna magnitud y, por esto la potencia de B, se refleje o rebote poco menos que antes, de tal manera 49

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G. W. Leibniz

que si el aumento o el exceso es propiamente imperceptible y casi inexistente, también la disminución del rebote será muy pequeña y casi sin importancia. Semejantes incongmencias se desprenden de las reglas del movimiento de Descartes, con las que no vamos a proseguir. Por otra parte, como el R. P. Malebranche -que en el libro de la Búsqueda de la Verdad enseña muchas cosas excelentes y corrige algunos dogmas de la Filosofía Cartesiana- también ha aceptado las reglas del movimiento construidas por otros, he juzgado de interés anotar que, de este modo, no se evitan las incongruencias5. He hecho esto con alegría, puesto que he considerado que no lo soportará de mala gana por su declarado amor a la verdad y, a partir de aquí, he creído útil mostrar ésta como advertencia, para que nos guardemos de los errores que también engañan a los hombres de gran talento. Sea entonces el ejemplo que propusimos para esta sentencia: un cuerpo B como 2, de velocidad 1B 2B como 1, y un cuerpo C como 1, con velocidad 1C 2C como 2, que chocan directamente entre sí. Se estableció que ambos rebotan con la velocidad con que venían. Pero si la velocidad o la magnitud del otro cuerpo B aumenta tan poco como se quiera, se afirma que ambos cuerpos van juntos en la misma dirección hacia la que se dirigía B con cierta velocidad común, que será alrededor de cuatro tercios, o que excede la velocidad inicial de B en una tercera parte, si suponemos naturalmente que el aumento de la potencia producido con respecto a B es tan pequeño, que pueden considerarse dignos de mantenerse sin error los primeros números. IB □

¿quién

0

□O

JC

3B

237/ Pero

/

1C

2B2C

cree

que

por un cambio tan Malebranch.

IB

2B 2C

□

□O

3B 3C 1C □ 0

0

pequeño como el hecho

en

la

suposición respecto de B, suija tan gran diferencia en el resultado, tal que cesa todo rebote y se hace un salto grandísimo de un extremo a otro?. B, que al principio rebotaba con una velocidad como

1,

ahora, únicamente porque se ha añadido una

pequeña potencia, no sólo no rebota, sino que además progresa con velocidad como 4

—. Con esto se llega de nuevo a un paralogismo: el choque con el cuerpo contrario 50

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Principio enteramente general

C, no repele o retarda el cuerpo B de ningún modo, sino que, en cierta manera, lo arrastra consigo, y aumenta su conatus con el del contrario. En efecto, mientras antes del choque B se movía con velocidad como 1, ahora, después de chocar con el 4

cuerpo contrario C, continúa el movimiento con velocidad como —. Considero que no puede decirse tal cosa. Cuando yo advertí esto en mi Réplica al Dn. Abb. D. C. Not. de la Rep. lit. mes de Feb. de 1687 p. 139, el R. P. Malebranche respondió con ingenuidad sumamente loable en abril del mismo año, pág. 48, que reconocía que esta advertencia mía tenía algo en el fondo, ya que estas paradojas han nacido a consecuencia de hipótesis reconocidas como falsas en sí y refutadas. En efecto, en su obra Búsqueda de la Verdad, libro 6 , cap. último se razona a partir de la hipótesis de los cuerpos perfectamente duros cuando, en realidad, la dureza es el resultado de la compresión. No se origina, como juzgaba Descartes, del reposo de las partes, y por tanto, nunca será perfecta y absoluta. Sin embargo, si se supone que Dios crea cuerpos perfectamente duros y, a la vez, conserva la misma cantidad de movimiento (lo cual, el mismo R. P. si examinase mi demostración, posiblemente no podría verlo con mayor claridad) o bien (como pienso) la misma cantidad de fuerza, tomando como cosa probada aquellas consecuencias casi increíbles señaladas por mí, debe resultar o es necesario que, el cuerpo más débil C cambie la determinación del más fuerte, o el cuerpo más débil se aleje sin intervención del medio Elástico del más fuerte, siendo la velocidad del más fuerte mayor que la del más débil, lo cual se ve hasta qué punto es poco creíble. A lo cual he respondido /2378/ algo en las Not. de la Rep. lit., Jun. 1687, pág. 745. Y ciertamente no evito decir que mucho de todas estas cosas es de lo más increíble, como que el cuerpo B arrastre al otro C. Aun cuando admitiésemos algo semejante a lo que quiere el R. P. Malebranche, que no es el cuerpo más lento el que da su movimiento al más rápido, sino que es Dios quien con ocasión de la colocación del cuerpo produce en él tal movimiento, no está claro tampoco por qué, sin aquel medio elástico, no podría el cuerpo C, dar el movimiento que dicta el cálculo de las fuerzas conservadas al movimiento más veloz, B, con ocasión del cual se hace esto. En todo caso, lo mismo puede extraerse de la sentencia confirmada que niega la verdadera acción de los cuerpos en los cuerpos. Sea como fuere, si Dios quiere crear cuerpos perfectamente duros, salvando en todo 51

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G. W. Leibniz

la semejanza con lo actual, se sigue de nuestro Principio General que las razones correspondientes, serían las mismas que las de las Leyes de los cuerpos duros que se hallan de verdad en el mundo, esto es, se deducen de las de los Elásticos, concibiendo los duros como Elásticos perfectísimos, que se restituyen en sí con una prontitud infinita6. Y, aunque se reconozca que las leyes del movimiento dependen de la voluntad divina, como señala el R. P. Malebranche, sin embargo, la misma voluntad divina conserva cierto orden y razón en todo lo que hace, haciéndolo convenir entre sí y, de aquí, no se infringe este Principio General transmitido en las leyes de la construcción de la naturaleza, ni pone fundamentos mal ligados y con huecos. Y, si ocurriesen irregularidades en la naturaleza de la manera que admite el R. Padre, creo que propiamente los Geómetras no estarían menos atónitos que si las propiedades de las Elipses no pudieran adecuarse a la Parábola del modo arriba prescrito. Pero opino que no se hallará ningún ejemplo en la naturaleza, lo cual hasta ofendería la razón. Además lo que en los principios simples y abstractos son paralogismos, en los fenómenos concretos de la naturaleza son sólo paradojas. Pues en los cuerpos compuestos puede hacerse que un cambio pequeño en los datos provoque un gran cambio en los efectos. De esta manera, la chispa inyectada en una enorme masa de pólvora puede dar la vuelta a una ciudad, y /2579/ vemos que algún elástico tenso, detenido por un obstáculo pequeño y liberado por un leve toque, ejerce una gran fuerza. Pero esto, lejos de ser contrario a nuestro principio, más bien recibe explicación por él. Mas, en los principios y en las cosas simples no puede admitirse tal cosa, de otro modo, la naturaleza no sería efecto de la sabiduría divina. A partir de aquí se muestra (poco mejor de lo que comúnmente se propone), cómo la verdadera Física se extrae de la fuente de las perfecciones divinas. Pues Dios es la última razón de las cosas y el conocimiento de Dios no es menor principio de las ciencias que su esencia y su voluntad principios de las cosas. Quienquiera que esté versado en las interioridades de la Filosofía reconoce esto. Pero hasta ahora pocos pudieron, a partir de la consideración de las propiedades de Dios, deducir algunas verdades de peso en las ciencias. Tal vez estos ejemplos despierten a algunos. Se santifica la Filosofía, revertiendo sus riachuelos a la fuente de la sagrada 52

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Principio enteramente general

7

Teología natural . Y hasta tal punto es inapropiado el rechazo de las causas finales y la consideración de una Mente sapientísima, causa del

buen actuar -como hace

Descartes-, y por tanto -en opinión de Spinoza-, que la bondad y la belleza son cosas arbitrarias o relativas a nosotros y alejadas de Dios que, por contra, a partir de la consideración de su Mente, se deducen los más poderosos dogmas de la Física. Esto lo observó ya claramente Sócrates en el Fedón de Platón, razonando contra Anaxágoras y otros filósofos demasiado Materialistas, que reconocían un principio superior a la materia y, sin embargo, no lo usaban en toda su capacidad cuando filosofaban acerca del universo (en el cual se muestra que la Mente lo ordena todo óptimamente, siendo la razón de todas las cosas que ha tenido a bien producir conforme a su fin), refugiándose más bien en el movimiento y los choques de cuerpos brutos, confundiendo las condiciones e instrumentos con las verdaderas causas. Es (dice Sócrates) como si, para dar razones de por qué yo estoy sentado en la cárcel esperando la bebida fatal y no más bien en fuga hacia Boecia y otros pueblos, como podría, se dijese que hago esto porque tengo huesos y tendones y músculos doblados de la manera que es necesario para estar sentado. En verdad ni estos huesos ni los músculos estarían aquí, ni me veríais sentado, si la Mente no juzgase más digno que Sócrates sufra las leyes a que Sócrates se burle de ellas . Este texto de Platón merece ser leído enteramente. Los efectos de la naturaleza pueden y deben explicarse Matemática y Mecánicamente por principios semejantes a los establecidos, sin olvidar en modo alguno los usos y fines admirables dispuestos por la Providencia. Pero los principios de la Física y, del mismo modo, de la Mecánica, no pueden deducirse más ampliamente de la necesidad de las leyes mecánicas si no se hace entrar en consideración la razón necesaria que de éstas da inteligencia.

la suprema

Esto, al fin y al cabo, es conciliar la piedad con la razón. Si lo

considerasen así Henry Moro y otros hombres doctos y píos, temerían menos y no concebirían el incremento de la Filosofía Mecánica o Corpuscular como detrimento de la religión. Y hasta tal punto es inapropiado que aleje de Dios y de la Substancia inmaterial que estas correcciones, adecuadamente entendidas, más bien, conducen mucho mejor que antes hicieron los filósofos a aquellas sublimidades.

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G. W. Leibniz

Notas del traductor 1. La version latina aparece en GM VI, 129 ss y en la Vorausedition zur Reihe VI -

Philosophische Schriften in der Ausgabe der Akademie der DDR bearbeitet von der LeibnizForschungsstelle der Universität Münster, Satz: Pagina GMBH, Tübingen, 1983.

2. De este modo queda enunciado el principio general del orden al que alude el título de ambas versiones de la carta. El principio general del orden es uno de los ejes de la teoría de la armonía preestablecida al determinar cómo cambiará una serie con la variación de otra.

3. Alude a la Brevis demonstratio Errori memorabilis Cartesii et aliorum circa Legem

naturalem, secundum quam volunt a Deo eandem semper quantitatem motus conservan, qua et in re mechanica abutuntur, publicado en las Acta Eruditorum de Leipzig, III-1686, págs. 161-3 (GM VI, 117-19, -ED 3 ss.-). Para la estimación leibniciana de la fuerza como m-v véase, por ejemplo, el § 17 del Discurso de metafísica , I/II-1686, GP IV, 442-3, (EF 299-300).

4. Las leyes de Descartes sobre el movimiento aparecen en Principes de Philosophie , Parte II, arts. 46-7, en Oeuvres de Descartes , vol. IX, publiées par Ch. Adam et P. Tannery, Paris, J. Vrin, 1989.

5. Para las críticas de Leibniz a Malebranche, cfr.: Leibniz a Bayle, GP III, 46-9 y Mouy, P.

Les lois du Choc des corps d'après Malebranche, Paris, Libraire Philosophique J. Vrin, 1927. 6. Leibniz no admitía ni los cuerpos absolutamente duros ni los absolutamente elásticos, pues darían lugar a mutaciones por saltos, lo cual va contra la ley de continuidad (cfr.: Leibniz a de Voider, s/f, GP II, 161 y Leibniz a Spanheim, 6/16-IV-1696, Ak I, 12). En vez de cuerpos duros hemos de hablar de cuerpos firmes, esto es, cuerpos duros en comparación con otros (cfr.: Leibniz,

Adnimadversionem in partem generalem Principiorum Cartesianorum, Ad partem secundam, Ad. artic. (54.55), GP IV, 388 y Leibniz a Hartsocker, 20-X-1710, GO III, 505). A su vez, en lugar de cuerpos perfectamente elásticos hemos de hablar de resortes (cfr.: Leibniz a Edmé Mariotte, 2a mitadVIII-1681, GM VII, 48; Remarques sur les lois de la communication des mouvements de

Malebranche, 1699, en Robinet, Malebranche et Leibniz, pág. 329; Leibniz, Essays de Dynamique, 1691, §§ 25-6, GM VI, 228-230 -ED 157-160 y 121, n. 77-; y Gueroult, Leibniz. Dynamique et

métaphysique, pág. 301). 7. Probable referencia a Cicerón: "Tardi ingenii est rivulos consectaris, fontes rerum non videre" (De Oratore , Lib. II, 27).

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Principio enteramente general

8.

A este pasaje de Platón está dedicado también el § 20 del Discurso de metafísica, I/II-

1686, GP IV, 446 (EF 304-6).

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Historia del problema del continuo

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Introducción. Este escrito que aquí presentamos carecía de título en el original y tampoco Bodemann le adjudicó título alguno en su catálogo. En cambio, el catálogo del Leibniz-Archiv propone el título "Geschichte des Kontinuitátsprinzimpiums", datándolo en 1693. En cuanto a lo primero, nos parece más apropiado el que aquí proponemos, pues en el texto no se menciona ningún "principio de continuidad". Por lo que hace a la datación, en ningún caso puede ser anterior al 14 de septiembre de 1693, ya que cita un artículo aparecido en el Journal des Savans de esa época. El escrito en sí es de extraordinaria complejidad y riqueza. Complejidad, sobre todo, por la extremada dificultad en la lectura de algunos pasajes de sus cuatro páginas. A ello se añaden párrafos que parecen reflejar un auténtico "vuela pluma" con frases sincopadas en un nombre y un par de sustantivos, yuxtaponiendo en algunas líneas un sin fin de citas. La riqueza del texto proviene, en primer lugar, de que en él se analizan ejemplos y problemas en tomo al continuo que rara vez vuelven a aparecer en los textos de Leibniz. Pero, sobre todo su riqueza proviene de la enumeración detallada de planteamientos en tomo al continuo conocidos por Leibniz. Lo que este texto descubre son las insospechadas fuentes de las que ha bebido la teoría leibniciana del continuo. Y digo insospechados porque, como se observará, los nombres traídos a colación no son los de Descartes, Pascal o Suárez, sino los de Maire, Piccolomini o Fonseca, además de personajes mucho más remotos como Stem, Aresio o Vallès. Lo que presentamos aquí no es, pues, un texto que selle o aclare nada. Bien al contrario estamos ante un texto que debe abrir nuevas líneas de investigación en tomo al problema del continuo en Leibniz. Pese a todos nuestros esfuerzos el texto sigue presentando en nuestra transcripción un buen número de palabras ilegibles y, posiblemente, más de un error. Ni siquiera hemos podido llegar a establecer con absoluta certeza la identidad de algunos personajes citados. Eximiéndoles de toda responsabilidad en las posibles fallas de esta edición, quisiera mostrar mi agradecimiento al Director del Leibniz-Archiv de Hannover, Prof. Dr. H. Breger, quien en todo momento me animó y ayudó a preparar esta edición; al Director de la Leibniz-Forschungsstelle de Münster, Prof. Dr. H. Scheppers, debo agradecerle poner a mi disposición los materiales de esta

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institución; finalmente, he de mencionar a los miembros de la susodicha institución, que hicieron particularmente agradables mis arduos momentos de trabajo en Münster.

Los dibujos proceden de la edición en el Studia leibnitiana.

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Leibniz, G. W. Historia del Problema del continuo1, 1693.

/184/

A partir de las proposiciones escogidas y atribuidas en el Concilio de

Constanza 2 a Wicleff3, el presente es una línea matemática continua que se compone de dos, tres o cuatro puntos inmediatos. El tiempo es, fue o será, compuesto de instantes inmediatos. Dice Aristóteles que para los pitagóricos y Platón, podía haber infinito en las cosas sensibles, Phys. lib. 3, c. 4. Según Laercio, para Crisipo 4 existen divisiones de la materia al infinito (en contra de Zenón). Plutarco, en su libro Observaciones comunes contra los estoicos, objeta a los estoicos, que la gota de vino puede difundirse por todo el océano5. /185/

Zenón (no el Estoico, sino el primer Eléata) según Arisi, lib.

6

Phys.

c. 9 negaba el movimiento, porque no se pueden recorrer partes infinitas en un tiempo finito. Lo mismo refleja el argumento de Zenón que se llama Aquiles, según el cual, Aquiles, por muy veloz que corra, no puede alcanzar a la tortuga... Todos los escolásticos y matemáticos siguen a Aristóteles, excepto Johanne Majore6, que compone el continuo de infinitos puntos, pero duda en la Disp. 2 q. 1, pues termina diciendo: valga esta paradoja cuanto pueda valer... Tomando en consideración círculos concéntricos se pregunta si acaso son tantos los puntos en el mayor como en el menor (se dice que, como en el caso del número de todos los números y del número de los cuadrados y de los cubos, no es ningún número) y no quieren conceder a Euclides que se trace una recta de un punto a otro dado7. Argumentos: El tiempo se compone de instantes, pues se compone de los que existen en él, en él sólo existen instantes, en consecuencia sólo existen los instantes. En verdad, el tiempo no es nada, no es más ente que el movimiento. Las cosas se mueven. Las cosas son, fueron y serán. Y otras tantas transcurrieron entre ellas. Y esto es lo que consideramos la acción uniforme cuyos efectos continuos son 59

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G. W. Leibniz

semejantes entre si. 8

9

Hr. Bernoulli con su espiral, los sólidos infinitos de Torricelli con la asíntota. El ángulo de contacto peletario [según] Vieta del principio de Arquimides [se sigue que pasa] por todos los intermedios, en consecuencia desigual, lo cual va contra Hobbes10. El paralogismo de Suisset, el paralogismo de Albio en su Eue lides

; el paralogismo en Monconisio . Las objeciones de los escépticos, de Sexto Empírico . Los insolubles de 14. Para Suisset15, del cual Scaliger16 dice que casi excedía el límite del ingenio humano, el argumento de Zenón era que el más veloz no puede alcanzar al más lento pues en cualquier instante se consume un punto y así, en igual tiempo, el total de puntos es la misma línea. De otro modo se sigue o que el más veloz está al mismo tiempo en muchos lugares o que el más lento no se mueve continuamente, en contra de la Hipótesis. La repetición de mórulas iguales es inútil cualquiera que sea la proporción (+contribuye a que haya velocidades diferentes entre sí el que haya muchas [morulas] diferentes+). Vallès lib. 3 controvers. 1 c.

8

17

intercala estas mórulas. Pero, /187/ que en la tortuga la causa no conserva la proporción, se sigue de que si la tortuga progresa una centésima en cualquier momento, el perseguidor no puede aumentar indefinidamente la velocidad ni aunque se dé un cuerpo cien veces más veloz. Como lo más cercano al centro agita lo más lejano, el movimiento se moverá de lo que está en reposo a lo que se mueve. El punto que toca a un punto lo penetra. Dos

D

1

mB

puntos son más que uno, pero no hacen un continuo. i ' Pongamos que ABC, DEF, GIH, son tres cuerpos cónicos que se tocan en los puntos B, E, H.

Claramente, B y H se tocan, se ve también que permanece un cierto orden BEH, en el cual E es el medio entre B y H. Sobre la recta sin movimiento AB, se trazan CD, EF, perpendiculares a AB. Se pregunta si acaso, como ambos llegan a B, puede decirse que B sea el medio entre ellos. Respondo así. Podemos concebir en lugar de las rectas, conos, cuyos ejes son rectas para que ninguno pueda considerar que no hay ninguna recta. Tenemos en consecuencia tres puntos inmediatos entre sí. De este modo B es el medio así señalado. Pongamos que AB está en línea recta respecto a 60

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Historia del problema del con tinuo

LM, M y B se tocan, y después de B los puntos D y F pasan a M y no hay ningún intermedio, por tanto o B o M está situado entre ellos. Algo semejante ocurre con tres puntos inmediatos entre sí si se trazan rectas de manera análoga o, en lugar de estos conos, infinitos conos, porque pueden concebirse infinitos conos que se tocan geométricamente. Así tenemos infinitos puntos dispuestos en serie, que, sin embargo, no son distantes entre sí respectivamente, lo cual es bastante justo y elegante. Niegan que haya partes en el continuo Th. Anglus y Dygbi

pero la parte no

es nada sin el todo. Las partes indefinidas pertenecen al continuo imaginario, las definidas a las cosas. Arist. lib. 3 c.

de

6

anim : el punto y el indivisible aparecen como privac

y son conocidos por el intelecto como lo malo y lo negro, por su contrario. Pablo Aresio, obispo deritonense en su com. a Arist. de Generatione atacó brillantemente los indivisibles positivos según Fromondio 19 en Comp. Continui c. 32. El mismo Fromondio argumenta así: (ibid.) "sea un globo con dos hemisferios uno negro y el otro blanco, y en medio una superficie de un tercer color. Supongamos que se cambia este color en negro ¿Acaso algo tocará al hemisferio negro?". /188/ Respondo que no hay superficie intermedia ni puede haberla y, en todo caso, no se dan tales indivisibles que existan por sí en vez de lo blanco y lo negro. Tomemos la línea que sirve de eje del movimiento y el reposo, las dos partes de la línea, según mi sentencia, no se unen en un punto medio, sino que cualquiera es un punto extremo. Pero la recta que la corta ¿en cuál de los externos cae? Respondo que la recta que corta no es otra cosa que el término y, así, incide en la otra. Pero si la razón en la que se encuentran es nula, se dice entonces que los tres puntos se continúan. Pregunto si la extensión CD incide en A o en B. Pregunto si D roza EA, tendiendo de E hacia A, ¿cuánto más es necesario que vaya para que llegue a B? Así pues, el extremo del tiempo LM estaría en A y el inicio del tiempo NP estará en B. n m

Si la línea fuese un agregado de puntos y de cualquiera de ellos a cualquier otro se diese una recta habría tantos puntos en la diagonal como en el lado,

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G. W. Leibniz

lo cual es absurdo. Lo mismo ocurre en el rectángulo, y en dos círculos concéntricos. Si se me dice que dos instantes de tiempo son entre sí inmediatos como sólo comprenderá el tiempo

y

no

Imsino el tiempo In aumentado en un solo

menor en un solo punto que pn, porque como puede haber estados opuestos en Im y pn, así puede haberlos en In y pr. Pero nada más absurdo que esto, pues la infinidad de tales instantes inmediatos entre sí no por esto constituyen una parte del tiempo. De modo semejante se prueba esta inmediatez de los instantes a partir de la inmediatez de los puntos poco antes señalada. Journal des Savans, 14 Sept. 93 de la suma de las solicitaciones infinitas y que la naturaleza no produce jamás ninguna acción más que por una multitud verdaderamente infinita de causas concurrentes. Fonseca

sigue la vía de los indivisibles positivos, a lo largo de las

superficies extremas de los cuerpos dos puntos de contacto entre el globo y el plano. Alexander

Picolomini

negaba

que

Dios

pudiera

perfectamente esféricos, lo mismo establece Pablo Aresi

crear

cuerpos

Obispo derithonense,

Com. a Arisi, de Gen. et Corrup. lib. 1, d. 2, q. 23, sección 7. Fromondio cap. 33 defendía que el plano toca al globo en la parte indicada. Pues aunque sea asignable la parte en la cual se produce el contacto, sin embargo no es asignable la parte próxima

/189o en una prim esto por sí contacto x + dx . Leibniz entiende por mutación el aspecto lógico del movimiento, el paso de un contrario a otro23. En este sentido, ninguna mutación, al igual que ningún movimiento, se hace por saltos . Ejemplos de mutación los hay en abundancia: la flexión , la acción , la apetición, e tc .... El tiempo puede definirse como el orden de la mutación27. El movimiento, por ser un cambio de lugar, se relaciona con el espacio y, por supuesto, es continuo . La extensión se define como la magnitud del espacio . De este modo, al igual que hiciera Spinoza, se diferencia entre espacio y extensión. Ciertamente, en su uso, uno y otro término tienden a confundirse, pero hay una distinción genética clara. El espacio nace de la difusión del lugar . La extensión nace del sitio, entendido 31

como un modo de determinación de la distancia . El sitio es algo previo a la 22Cfr.: Leibniz, Abregé de la dispute en forme sur l'estime de la force, LH IV, II, 8, 4; texto sin título, 2-II-1708, LH X X XV , VII, 19; Leibniz a Varignon, 2-II-1702, GM IV, 92; Leibniz a Joh. Bernoulli, 29-VII-1698, GM III, 524 y s/f, GM III, 536; Leibniz a Jac. Bernoulli, 3-XII-1703, GM II, 81; y Breger, H. "Weyl, Leibniz und das Kontinuum", en Internationaler Leibniz-Kongreß, 1988, Vorträge, pág. 481. 23Cfr.: Leibniz, De affectibus, 10-IV-1679, Grua 412. 24Cfr.: Leibniz, Ad relationem Actorum Junii, p. 3033, ca. IX-1688, LH XX XV , V, 4, 2, (17) y LH XXXVII, IV, 56. 25Cfr.: Leibniz, De vi ictus, ll-V II-1677, LH XXXVII, V, 169. 26Cfr.: Lebiniz, De affectibus, 10-IV-1679, Grua 513. 27Cfr.: Leibniz, Initia rerum mathematicarum metaphysica, 1714-6, GM VII, 18 -trad. esp. EF 581-; anotaciones a la carta a des Bosses de 12-XII-1712, GP II, 433; Leibniz a de Voider, 20-VI1704, GP II, 269; Leibniz a Ch. Schulenburg, GP III, 622; LH XXXVII, V, 134; LH IV, VII, c, 92; y Poser, H. Zur Theorie der Modalbegriffe bei G. W. Leibniz, Franz Steiner Verlag, GMBH, Wiesbaden, 1969, pág. 78. 28Cfr.: Leibniz, Initia rerum mathematicarum metaphysica, 1714-6, GM VII, 20 -trad. esp. EF 584-; Dynamica de Potentia, Parte I, Sección 2, cap. I, GM VI, 320-2; y Specimen Dynamicum, 1695, GM VI, 237 -trad. esp. ED 60-. 29Cfr.: Leibniz, Nouveaux Essais, II, 5, §§ 5 y 14, 10, 1703/4, GP V, 116 y 138 respectivamente; Initia rerum mathematicarum metaphysica, 1714-6, GM VII, 18 y 21 -trad. esp. EF 585-; y Jalabert, J. Le Dieu de Leibniz, Ia ed., PUF, Paris, 1967, pág. 189. 30Cfr.: Leibniz, L'entretien de Philarètes et d'Ariste, IV-1712/VI-1714, en Robinet, A. Malebranche et Leibniz, relations personelles, Vrin, Paris, 1955, págs. 64, n. 3 y 444 = GP VI, 585.31* 31Cfr.: Leibniz a des Bosses, 24-IV-1709, GP II, 370 y Circa Geometrica Generaba, (56), 1682, pág. 62.

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extensión y, por tanto, el punto, también el punto metafisico, puede tener sitio sin tener extensión. Para generar la extensión a partir del sitio, hay que añadirle a éste la continuidad , de aquí que, a veces, se defina la extensión como magnitud del continuo

o, simplemente, como un continuo de partes coexistentes . Hay varias

definiciones del situs. La primera, en un sentido plenamente escolástico presuponía el lugar, es decir, el sitio es el lugar de las partes . Una segunda aparece en el Marii Nizolii de 1670, reduciendo el sitio a la figura, a la configuración de muchos . Esta definición del sitio, que es de carácter métrico, aunque sin referencia a la línea recta, se conserva hasta 1714/637. Otra definición, del año 1679, vincula el carácter métrico del sitio con la distancia mínima de un punto a otro38. No deja de ser curioso que, en un tratado de geometría, traiga Leibniz a colación la composición del continuo, pese a sus repetidas afirmaciones de que los geómetras no se ocupan de él . La definición de continuo que aquí aparece ("un todo cuyas partes cointegrantes cualesquiera tienen algo en común"), está tomada, como el propio Leibniz reconoce, de Pascal, aunque con otro significado. Lo que las partes tienen en común no son sus límites o sus bordes. Lo que las partes tienen en

32Cfr.: Leibniz a des Bosses, 24-IV-1709, GP II, 370. 33Cfr.: Leibniz, Specimen demonstrationum de natura rerum corporearum ex phænomeni, LH XXXVII, III, 155; Parkinson, G. H. R. "Leibniz's Paris writtings in relation to Spinoza" en Leibniz à Paris en Studia Leibnitiana Sonderheft, XVIII, Franz Steiner Verlag, GMBH, Wiesbaden, 1978, voi. II, pàg. 82; Böhme, G. Zeit und Zahl. Studien zur Zeittheorie bei Platon, Aristoteles, Leibniz und Kant, Vittorio Klostermann, Frankfurt am Main, 1974, pág. 203; y Gurwitsch, A. Leibniz. Philosophie des Panlogismus, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1974, pág. 376. 34Cfr.: Leibniz, Définitions logiques et métaphysiques, C 408; Characteristica geometrica. De lineis et angulis, com ienzos/Verano-1673, Ak VII, 1, 116; Tables de définitions, 28-IV-1704, C 438; Leibniz a de Voider, 11-1703, GP II, 221; LH IV, VII, c, 79; y fragmento sin título, 1679, en Editions critiques de manuscrites de Leibniz, cit. en Echeverría, J. "Infini et continu dans les fragments géométriques de Leibniz" en Uinfinito in Leibniz, pág. 74. 35Cfr.: Leibniz, Dissertano de Arte Combinatoria , 1666 -3-, GM V, 14 = Ak VI, 1, 172. 36Cfr.: GP IV, 171 = Ak VI, 2, 441. 37Cfr.: Leibniz, Initia rerum mathematicarum metaphysica, GM VII, 18 (en la trad, esp., -EF 582-, figura situs en lugar de "posición"). 38Cfr.: Echeverría, "Cálculos geométricos en Leibniz", pág 35 y ss. Para la relación entre el sitio y lo cualitativo, véase Beiaval, Y. Leibniz critique de Descartes , Libraire Gallimard, Ia ed., Paris, 1960, pág. 136.39* 39Cfr.: estudio previo de Leibniz a la carta XIII a Arnauld, 21/31-VIII-1686, GP II, 73; Leibniz,

De Arcanis sublimium vel de summa rerum , 11-11-1676, Ak VI, 3, 475; Leibniz a Arnauld, 28-XI/8X II-1686, GP II, 77-8; LH I, III, 153; y Leibniz, Essais de Theodicée , § 24, 1710, GP VI, 65.

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común es el orden y la homogeneidad que existe entre ellas40. Otro modo de definir lo continuo es como un todo cuyas partes son indeterminadas41. El resultado es que, de acuerdo con el ejemplo que da Leibniz, el tránsito del interior al exterior de un ámbito nunca podrá hacerse por saltos . Señalemos, para terminar, que en este texto parece como si Leibniz hubiese entrevisto la posibilidad de la existencia de espacios de más de tres dimensiones. En términos actuales, la idea que se está exponiendo sería equivalente a nuestro espacio de fases, es decir, un espacio en el que cada variable del sistema viene representada por una dimensión. Pero, inmediatamente, Leibniz introduce un principio de reductibilidad de las dimensiones: que un sistema pueda analizarse mediante múltiples

dimensiones

no

significa que

esté

constituido

por ellas43. La

tridimensionalidad es siempre más simple que cualquier reconstrucción que se haga de ella mediante un número mayor de dimensiones.

Los dibujos han sido tomados de Die mathematischen Schriften.

40Cfr.: LH XXXVII, V, 136 y Essai d'une Géométrie fondée sur la contenance et la congruence, C 547. 41Cfr.: Leibniz, Table de définitions, 1702/4, C 438-9 y 476; LH IV, VII, c, 96; y LH IV, VIII, 29,

102. 42Aunque aquí quizás sería más preciso hablar de "conjuntos tupidos" que de "conjuntos difusos" (cfr.: Peña, L. "Algunos debates filosóficos sobre los conjuntos difusos", Ideas y valores, n° 78, Univ. Nac., die. 88, pág. 4). 43Cfr.: Leibniz, Dynamica de Potentia, Props. 14 y 16, Probi. 2, 1695, GM VI, 314-6.

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G. W. Leibniz, Bosquejo de una Geometría brillante1, 1682.

/260¡

Los hombres de fino juicio han observado con frecuencia que los Geómetras

enseñan sin duda cosas muy ciertas, verdaderas y confirmadas, de tal manera que no puede negarse el progreso, sin embargo el espíritu no se aclara suficientemente ni penetra en los principios hallados, mientras el lector se sienta atrapado y constreñido . Comprender puede no ser suficiente tampoco, como ocurre en esos casos en que el asunto hace que los hombres admiren, más que entiendan, las demostraciones de los Geómetras. Ni basta que se perciban sus frutos para la corrección del intelecto, provechosa también en otras disciplinas, en las que, con todo, veo la poderosísima utilidad de las demostraciones de los Matemáticos. Pues bien, como, meditando sobre estas cosas, se atina a menudo con muchísimas que permiten mostrar las causas dadas y los principios descubiertos, da gusto escribir de estos asuntos con términos familiares y estmctura libre, según viene a la mente, más rígida en otro momento al exponer las razones observadas. Los Geómetras usan o pueden usar varias nociones tomadas de otros ámbitos, a saber, las de lo mismo y lo diverso o lo coincidente y no coincidente, lo que está contenido o lo que no está contenido, lo determinado y lo indeterminado, lo congmente e incongruente, lo semejante y desemejante, el todo y la parte, lo igual, mayor y menor, lo continuo o discontinuo, la mutación y, finalmente, lo cual les es propio, el sitio y la extensión. /26U

La doctrina de lo coincidente o no coincidente es la misma doctrina que la de

las formas de los silogismos. Aquí asumimos que los que coinciden con un tercero coinciden entre sí, si de dos coincidentes, uno no coincide con un tercero, el otro tampoco coincidirá con él . De esta manera, los Geómetras enseñan que el punto en el que se cortan dos diámetros del círculo (esto es, las rectas que cortan el círculo en dos partes congruentes) coinciden con el punto en que se cortan otros dos diámetros de este círculo. Véase fig. 1. De la doctrina de lo que está contenido en otro, hay también alguna parte en 86

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Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

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las demostraciones por enlace en los Primeros Analíticos de Aristóteles, pues él advirtió que el predicado está contenido en el sujeto4. Por supuesto, la noción del predicado en la noción del sujeto, aunque además, inversamente, los individuos del sujeto están entre los individuos del predicado. Y también pueden demostrarse muchas cosas generales del continente y el contenido o inexistente, útiles en el futuro tanto para los Lógicos como para los Geómetras5. De los cuales di el siguiente ejemplo: tan pronto se ha demostrado que A está contenido en B y B en C, se ha demostrado que A está contenido en C, fig. 2; así, si A está contenido en L, y B está contenido en L, el compuesto a partir de A y B estará contenido en L, fig. 3; igualmente, si A está contenido en B, y B está contenido en A, A y B coinciden, fig. 4. Además, solucioné problemas como encontrar varios números cualesquiera tales que, a partir de ellos, no se componga ninguno nuevo. Esto ocurre si están sucesiva y alternativamente uno en el otro, por ejemplo, si A está contenido en B y B en C y C en D, etc., no puede componerse ninguno nuevo. Puede demostrase de otro modo. Sean los cinco A, B, C, D, E, y A + B coincide con C, y A está en D, finalmente, B + D coincide con E, ahora ninguno de ellos puede componer uno nuevo comoquiera que se combinen. A partir de lo cual muestro también, cómo deben relacionarse los números dados en cuanto a la coincidencia e inexistencia para establecer combinaciones útiles a la composición de algo nuevo. Y de esto, de las fórmulas universalmente aceptadas, se ocupa parte de la Ciencia Combinatoria general, a la cual, como se ha señalado, se subordina no sólo la Geometría, sino la Logística o Mathesis

universalis, que trata de las Magnitudes y las Razones en general.

Sigue la doctrina de lo determinado y lo indeterminado, por supuesto, cuando está circunscrito a ciertos datos buscados, de los que solamente uno puede satisfacer las condiciones. Se dice semideterminado cuando pueden mostrarse no exactamente uno, sino muchos, aunque en cantidad definida o finita, que satisfacen las condiciones. De este modo, dados dos puntos, A y B, está determinada la recta AB (fig. 5) o la vía mínima del uno al otro; pero si se busca en el plano el punto C /262¡ cuya distancia a los puntos A y B son magnitudes conocidas, el problema es semideterminado, ya que pueden hallarse dos puntos en este plano C y (C) que satisfagan lo buscado. Mas, sólo puede hallarse un círculo que pase por tres puntos 88

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(Lì

Jo Fig. 5

A d

L

C

B

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Fig. 6

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dados A, B, C. Por tanto, si se presentan dos círculos y en los cálculos se halla que cada uno de ellos pasa por los tres puntos propuestos, es seguro que los círculos llamados dos son en verdad uno y el mismo o coinciden. Si se juzga que las condiciones dadas son determinantes, puede conocerse a partir de ellas mismas, cuando es el caso, cómo contienen la generación o producción de la cosa buscada o, al menos, cómo demuestran su posibilidad, y mientras se genera o demuestra, siempre se procede de modo determinado, de tal manera que no se deja nada en ninguna parte al arbitrio o la elección. Pues, si procediendo de esta forma se llega a la generación de la cosa o a la demostración de su posibilidad, ciertamente el problema está determinado hasta lo más hondo. De aquí, por otra parte, deduje el uso de muchos y grandes Axiomas y máximas que, sin embargo, no veo observados suficientemente. De éstos el más poderoso es que los determinantes pueden ser sustituidos en una nueva determinación colocando, en lugar de un determinado, de nuevo otro determinante, salvándose la determinación. De este modo, si decimos que la recta indefinida que pasa por dos puntos A y B (fig. 6), es el lugar de todos los puntos que se relacionan con A y B de modo determinado, o de sus sitios únicos respecto de A y B, demuestro de esto que, tomados otros dos puntos en la misma recta, por ejemplo C y A (por facilidad y brevedad tomamos ahora de nuevo uno de los primeros), esta recta está también determinada por estos dos puntos C y A, o cualquiera de los puntos en esta recta tiene su sitio único respecto de A y C. La demostración es como sigue: sea la recta que pasa por A y B -en la que un punto cualquiera, como L, tiene respecto de A y B su sitio único-, de tal manera que no puede encontrarse además otro punto que se relacione del mismo modo respecto de A y B (lo cual es una propiedad de la recta), o A.B.L. un. (de este modo suelo escribir la determinación), y se toma otro punto C en la misma recta, digo que cualquier punto de la recta, como L, también tiene su sitio único respecto de A y C, o A.C.L. un. Pues A.B.L. un. (por hipótesis) y A.B.C. un. (ya que C está en la recta que pasa por A,B). Ahora se suprime B en la determinación posterior sustituyendo, por medio de la primera determinación, B por A.L (por el presente axioma, ya que B se determina a partir de A.L.), por consiguiente en la determinación posterior tenemos A.A.L.C. un. Pero la 90

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repetición de A es inútil /263/, o si A.A.L.C. es un., también A.L.C. es un., o L tiene su sitio único respecto de A y C, que era lo que nos proponíamos demostrar6. De este ejemplo vemos nacer un nuevo género de cálculo no usado hasta ahora por ningún mortal, que no emplea magnitudes, sino puntos y donde el cálculo no se hace por ecuaciones, sino por determinaciones o congruencias y coincidencias. La determinación, sin duda, puede resolverse por medio de la congruencia en la coincidencia de este modo: A.B.L. un., esto es, si el sitio A.B.L. es congruente con el sitio A.B.Y., coinciden L e Y. Suelo anotar la coincidencia con el signo oo y la congruencia con un signo de tal manera

oc7.

Por tanto A.B.L. un. vale lo mismo que

la proposición condicional siguiente: si A.B.L. oc A.B.Y, será L oc Y (donde la letra Y la empleo para el punto indefinido a imitación de los Algebristas, para los que las últimas letras, como x, y, suelen significar magnitudes indefinidas). Pues, cualquier punto que se tome, como Y, que se relacione del mismo modo con los puntos A y B, como L se relaciona con A y B, es necesario que coincida con L, supuesto, naturalmente, que el sitio es único, o que L está en la recta que pasa por A y B. Así pues, pasamos a explicar la congruencia. Congruentes son los que no pueden diferenciarse de ningún modo si se consideran por sí mismos, como en la fig. 5 los dos triángulos ABC y AB(C), en los cuales nada prohibe aplicar el uno al otro de modo que coincidan. En consecuencia, ahora se diferencian por la sola posición o por la relación a cualquier otro de posición ya dada, de manera que, dado algún punto L, puede hacerse que ABC se relacione de otro modo con L, de como AB(C) se relaciona con L. Por ejemplo, si L está más cercano a C que (C). Sin embargo, es necesario poder encontrar otro (L) que se relacione a AB(C) como L se relaciona con ABC, de tal manera que ABCL y AB(C)(L) sean congruentes, de lo contrario, si lo que pudiese hacerse respecto a AB(C) no pudiese hacerse respecto a ABC (de tal manera que no pudiese hallarse un (L) con relación a aquél como L con relación a éste), por lo mismo podrían diferenciarse ABC y AB(C), no siendo congruentes. Y esto es un axioma de máxima fuerza, que si se tienen dos congruentes ABC y AB(C) y se halla algún L que se relaciona en cierto modo a ABC, también se da, o es posible, un (L) que se relacione del mismo modo al otro AB(C). Lo designo así (fig. 7), A.B.C oc L.M.N, lo que significa que los tres puntos, 91

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Fig. 7

Fig. 8

Fig. 9

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A, B, C, están situados entre sí del mismo modo que los tres puntos L, M, N -se entiende, siguiendo respectivamente el orden prescrito. Es evidente que, cuando A.B.C y L.M.N resultan ser congruentes o coinciden o pueden aplicarse en sí mismos, A coincidirá

/264/con L, B con M, y C con N. De aquí, si A.B.C oc L.M.N,

se sigue además A.B « L.M, y de esta manera en los casos semejantes. Mas, cuando reunimos verdaderamente A.B.C oc L.M.N, es necesario probar primero A.B oc L.M y A.C oc L.N y B.C oc M.N, entonces sin duda, por fin, nos está permitido decir con seguridad del compuesto que A.B.C oc L.M.N. De esta manera vemos (fig. 8) que, aunque los triángulos ABC y LMN tienen dos lados iguales, AB igual a LM y AC igual a LN, sin embargo, puesto que no tienen un tercero igual, BL y MN, no son congruentes. De manera que, en general, la congruencia de los grados más altos de combinación puede colegirse de las congruencias de las combinaciones de los grados inferiores y no es necesaria la de todas las temas para encontrar la congmencia de las tétradas, sino sólo de tres; y para deducir la congmencia de las quinternas, cinco temas; de las septas, siete temas y así al infinito, como aparecerá más abajo al hablar de la semejanza8. Es evidente también, en general, que, a partir de congmentes respectivos en todas las combinaciones de un grado, siempre puede inferirse que son congmentes todas las combinaciones de grado superior, por ejemplo, de todos los binomios, todos los trinomios, porque de todas las combinaciones de un grado, por ejemplo, de todos los binomios de cuatro cosas congmentes, puede inferirse la misma combinación total de cuatro cosas o cuaterna A.B.C.D congmente con L.M.N.P. Ahora, a partir de la congmencia de la combinación total, se deduce la de cualquier combinación inferior o cualquier tema congmente correspondiente, en consecuencia, de todos los trinomios todas las temas. A partir de esto, percibimos la gran diferencia de congmencia a coincidencia e inexistencia o comprehensión. Pues, (fig. 9) si la recta AB coincide con la recta LM y, al mismo tiempo, la recta AC coincide con LN, también la recta BC coincidirá con la recta MN. Por esto mismo, mientras coincidan AB y LM, coinciden también los puntos A con L y B con M y, por lo mismo, mientras coincidan AC y LN, coincide también el punto C con el punto N. Como, en 93

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consecuencia, los puntos A, B, C, coinciden respectivamente con L, M, N y, del mismo modo, BC con LM, también las rectas BC y MN coincidirán. De la naturaleza de la recta, en lo tocante a las inexistencias, se ha señalado en otra parte que si A está contenido en L y B en M, también A ® B está contenido en L ® M, y si A ® B está contenido e n L ® M y A @ B e n L @ N , también A ® B © C estará contenido en L ® M ® N, lo cual no permite imitar el modo de argumentar en la congruencia y la semejanza. Por lo que dijimos de la diferencia entre coincidencia y congmencia, surge ahora, la explicación de que, siendo congmentes los triángulos ABC /265I y (L)(M)(N), si los lados AB y (L)(M), y AC y (L)(N) son congruentes, aunque no se haga mención de los terceros, AC y (M)(N), serán congruentes los ángulos de A y (L). Pues, si la recta (L)(M) es congmente con la recta AB, y la recta (L)(N) con la recta AC, y también el ángulo de (L) lo es con el ángulo de A, ahora pueden transferirse las rectas (L)(M) y (L)(N) a AB y AC conservando su sitio, y aún más, (L)(M)(N) puede aplicarse a ABC, de tal manera que coincidan AB y LM, lo mismo que AC y LN. En consecuencia, también a partir de la naturaleza de la coincidencia, BC y MN coinciden. Así, si tanto las rectas descritas como los ángulos de éstas son congmentes, también las bases serán congmentes y, de este modo, todo un triángulo con el otro. Con este mismo ejemplo puede ilustrarse este Axioma notable y de gran uso: los que se determinan a partir de congmentes del mismo tipo, son congmentes . De este modo, puesto que, en general, a partir de la magnitud de dos rectas dadas y del ángulo entre ellas, dado según su posición y magnitud, está determinado y dado el triángulo en su posición, de aquí, si se dan dos triángulos ABC, (L)(M)(N), siendo congmentes las bases AB con (L)(M) y AC con (L)(N) y el ángulo que comprenden los congmentes, el ángulo A, con el ángulo (L), los triángulos mismos serán congmentes. Parecidamente, puesto que a partir de la magnitud de estas tres rectas dadas, también están dados los ángulos según su magnitud, están todos determinados de tal modo que otros distintos impedirían la congmencia. De aquí, si dos triángulos tienen respectivamente tres rectas iguales y, por esto, congmentes (sin duda las rectas iguales son congmentes), los mismos triángulos serán congmentes. Y 94

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considerando esto atentamente, se descubre que coincide con el método de las superposiciones de Euclides10. Otros axiomas pertinentes a esto son que los congmentes con el mismo son congruentes entre sí y los que son congruentes entre sí, si uno de ellos es incongruente con un tercero, también el otro será incongruente con él, los cuales sin embargo sólo son corolarios del axioma de lo mismo y de lo diverso. Sin duda, en los congruentes, todos son idénticos antes de la posición, de tal manera que sólo difieren por el número. Y en general, cuanto puede hacerse o decirse de uno de los congruentes, también puede hacerse o decirse del otro, con una excepción, que lo que se aplica a uno difiere en número o posición de lo que se aplica al otro. De esta manera, entendemos que son congruentes no sólo dos brazos o dos pies, sino dos libras, tomadas abstractamente, dos horas, dos grados iguales de velocidad. Es de observar también que, si los ámbitos de dos cuerpos son congruentes, los mismos cuerpos serán congruentes, porque si los lindes son congruentes en acto o coinciden, también coinciden los cuerpos. Mas no es necesario que las superficies y líneas cuyos extremos coinciden, o son congruentes, /266/ coincidan o sean congruentes. Sin embargo puede decirse que, en general, dos cuerpos extensos coinciden o son congruentes si coinciden o son congruentes los que pueden limitarlos exteriormente, o pueden tener un exterior común. De aquí que no baste que sean congruentes o coincidentes los términos de las superficies y líneas que pueden limitarlos por todas partes exteriormente -no los verdaderos sólidos. Esta es también la naturaleza del espacio en general, ser extenso (y hasta tal punto que cuanto se concibe de los cuerpos no es otra cosa que estar presentes en él), internamente congruente e indiscernible por todas partes (como si se agarra el agua o se palpa en la oscuridad sin tocar nada). Sólo por ésta puede discernirse lo que toca exteriormente o lo que es común con otro (con el que no tiene ninguna parte común). De aquí también, que si se hallan dos superficies o líneas uniformes, de extremos congruentes o aún congruentes en acto, serán congruentes o coincidirán en acto. A partir de los congruentes se originan los iguales11. Ciertamente, los que son congruentes o, si es necesario, pueden hacerse congruentes por transformación, se dicen iguales. De este modo, en la fig. 10, los triángulos BAD, BCD, BCE, BFE, 95

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%A

B

P

Fig. 10

U rt +r 1