Lectura 2 - Probabilidades_jul

MÓDULO 2: PROBABILIDADES Siempre que se encare un problema estadístico debe tenerse en cuenta el grado de posibilidad de que ciertos sucesos hayan ocurrido o vayan a ocurrir. Por ejemplo, a un político le interesará conocer el grado de seguridad de las encuestas que determinan un porcentaje dado de votantes para las próximas elecciones o a un inversionista le interesará saber qué grado de riesgo corre su capital en la compra de determinadas acciones. Las matemáticas de las probabilidades se relacionan, en sus orígenes, con los juegos de azar, por lo que no debe extrañar que para el estudio de ella, se utilicen como ejemplos, resultados posibles en lanzamientos de dados o monedas, en los posibles resultados de una jugada de ruleta, etc. Independientemente de esas aplicaciones particulares, el estudio de probabilidades indica que existe incertidumbre con respecto a la ocurrencia o no de un determinado evento. En muchas oportunidades puede ser virtualmente imposible predecir cuál será el resultado de una determinada acción, pero es posible anticipar cuál es el resultado que se espera de dicha acción. Resumiendo, el estudio de este Módulo nos lleva a cuantificar cuan probable es la ocurrencia de un determinado evento. A continuación presentamos un problema en el que se requerirán los temas que desarrollaremos en este módulo: La gerencia de una compañía de Seguros está preocupada por el número de unidades automotrices que son robadas en la vía pública en una determinada ciudad. A partir de ello, efectúa la consulta correspondiente a la sección de robos y hurtos de la policía quién le reporta la siguiente información: La cuarta parte de los propietarios de automotores de esa comunidad deja las llaves puestas en los automóviles al estacionarlos. Además y de acuerdo a estadísticas el 5% de los automóviles que, estacionados tienen las llaves puestas, son robados de la vía pública mientras que solo el 1% de los automóviles que no tienen las llaves puestas son robados. Indique Ud. la probabilidad de que un automóvil que ha sido robado en esa ciudad haya tenido las llaves puestas.

2.1

PROBABILIDADES

Cuando un fenómeno puede presentarse de distintas maneras, la factibilidad de ocurrencia de cada una de ellas se la define como probabilidad.

Cada una de las distintas maneras en que puede presentarse el fenómeno se denomina evento. Cuando lanzamos un dado éste puede presentarse de seis maneras distintas, refiriéndonos al número que presenta su cara superior, cada una de ellas recibe el nombre de evento y la designaremos con la letra E, así tendremos E1: E2:

que presente un As que presente un dos

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-1-

E3: que presente un tres E4: que presente un cuatro E5: que presente un cinco o E6: que se presente con un seis

La probabilidad de un evento es un número real comprendido entre 0 y 1 0  P (E)  1 Y puede representarse como un número decimal o como fracción. Una probabilidad de valor cero indica la imposibilidad de ocurrencia, por el contrario una probabilidad igual a 1 significa la certeza. La probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga una cara o una cruz P (cara o cruz) = 1, así mismo en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de obtener un siete P(x=7) = 0, es imposible, un dado no puede tener siete caras.

2.2

EVENTOS: DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Pero regresemos al lanzamiento de un dado perfectamente balanceado, podríamos considerar también como evento, la aparición de un número par en la cara superior del dado, lo que se daría en el caso de presentarse el dos, el cuatro o el seis y lo representaremos con la letra A, para diferenciarlo de los anteriores. A: que salga un número par O podríamos considerar también la aparición de un impar claro que en este caso, la condición de obtener un número impar se satisface con la aparición del 1, del 3 o del 5, tres de los posibles eventos en el lanzamiento del dado, vemos entonces que es necesario clasificar los eventos:

Simples Eventos Compuestos Un evento se dice que es compuesto cuando está conformado por más de un evento simple, de esta manera, también serían eventos compuestos: B: que se presente con un número mayor o igual a 4 C: que sea par y mayor o igual a 4 D: que sea un número par o mayor o igual a 4 Claro que también podríamos expresar al evento C como aquel para el cuál debe cumplirse conjuntamente A y B

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-2-

C = (A y B) De la misma manera: D = (A o B)

2.2

es decir D se cumple cuando al menos uno de los dos A o B se cumple.

DETERMINACIÓN DE PROBABILIDADES

Se tiene tres planteos básicos para definir una probabilidad, estas son: a) Planteamiento clásico b) Planteamiento basado en la frecuencia relativa c) Planteamiento subjetivo Cada una de ellas es aplicada según las circunstancias y es el Estadístico quien decide su aplicabilidad. Analizaremos cada una de ellas 2.3.1

PLANTEAMIENTO CLÁSICO

Cuando un fenómeno puede presentarse de n formas distintas, todas ellas igualmente posibles, y de esas n formas en c de ellas lo hace con una determinada característica, entonces, la probabilidad de que al presentarse el fenómeno lo haga con la característica en estudio está dado por el cociente de c sobre n

P

c n

Si a c se lo denomina como número de casos favorables y a n como número de casos posibles podríamos expresar la probabilidad clásica como: P

Núm ero de casos favorables núm ero de casos posibles

Es necesario tener en cuenta que para que esta expresión sea correcta todas las formas en que puede presentarse el fenómeno deben ser igualmente posibles. Con este concepto la probabilidad de que al lanzar un dado presente la cara con un número par será de: P(A) =

3 6

3 son los casos favorables (2, 4 y 6) y el número de casos posibles es 6.

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-3-

Recordemos el evento C = debía cumplir con la condición de ser (par) y mayor o igual que 4, es decir, debía cumplirse simultáneamente los eventos A y B P (C) = P (A y B) En este caso los eventos favorables son E4 y E6, cumplen con la condición de ser pares y mayores o iguales a 4 por lo tanto aplicando el concepto de probabilidad clásica empírica tendremos: La probabilidad P(C) =

2.3.2

2 6

PLANTEAMIENTO EN BASE A LA FRECUENCIA RELATIVA.

Analicemos el lanzamiento de una moneda y descartemos la posibilidad de que, en un lanzamiento la misma caiga de canto (en ese hipotético caso se dejaría rodar a la moneda hasta su caída). Dos son los eventos simples en que puede presentarse el fenómeno, que se obtenga una cara o una cruz. Luego la probabilidad de obtener una cara de acuerdo al planteamiento clásico será: P(cara) =

1  0,5 2

Por otra parte si en 10 lanzamientos se obtuvieron cuatro caras y seis cruces entonces la frecuencia relativa de obtención de caras es: fr(cara) =

4 = 0,4. 10

Si este valor lo representamos gráficamente en un sistema de ejes coordenados ortogonales donde, en el eje de las abscisas llevamos el número de lanzamientos y en las ordenadas las frecuencias relativas, tendremos un punto tal como lo entrega el diagrama Gráfico 2.1 fr 0,5 0,4 - - - *

10

N

Si seguimos lanzando la moneda y cada 10 nuevos lanzamientos obtenemos la frecuencia relativa de obtención de caras para el total de lanzamientos y lo vamos graficando obtendremos el siguiente diagrama:

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-4-

Gráfico 2.2 fr

*

*

*

*

0,5

*

* *

*

*

*

* * *

* *

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

N

El diagrama indica que a medida que aumenta el número de lanzamientos la frecuencia relativa de la obtención de cara se aproxima a 0,5, valor de la probabilidad entregada por la expresión clásica, esto nos permite enunciar la Ley de los Grandes Números que dice: Cuando un fenómeno se pone en evidencia de distintas maneras, la frecuencia relativa de ocurrencia de cada una de ellas tiende a coincidir con su probabilidad de ocurrencia cuando el número de veces que se presenta el fenómeno es lo suficientemente grande.

Es decir que en este caso se define como probabilidad a la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos. Veamos las características de éste método mediante el siguiente ejemplo: De acuerdo a las estadísticas llevadas a cabo por una Cía. de seguros, ésta informa que de las personas del sexo masculinas de 50 años, aproximadamente 65 de cada 100.000 mueren durante el período de un año. De acuerdo al método de frecuencia relativa, la probabilidad de que una persona asegurada del sexo masculino con una edad de 50 años, muera en el término de un año es de P=

65  0,00065 100.000

Es necesario tener presente que el grado de bondad de la probabilidad calculada mediante este método, depende del número de veces en que fuera evaluado el proceso y por tal motivo, determinada la frecuencia relativa. La definición expresa que para que la probabilidad de ocurrencia de un proceso coincida con su frecuencia relativa de ocurrencia, ésta debe estar calculada sobre la presentación de un número suficientemente grande del fenómeno.

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-5-

2.3.3

PROBABILIDAD SUBJETIVA

La probabilidad subjetiva queda librada al criterio de quién la determina en función de la evidencia con que se cuente para la misma, esta puede ser en base a la frecuencia relativa de ocurrencia en eventos pasados o simplemente de acuerdo a sus supuestos. Este tipo de probabilidad se da cuando los eventos se presentan un número reducido de veces. Supóngase cumplir las funciones gerente de Recursos Humanos en una Empresa y debe elegir un candidato de entre cuatro que presentan vitae similares, con iguales apariencias y niveles de relación. El que Ud. elija a uno de ellos es haberle asignado una determinada probabilidad a la potencialidad futura de ese hombre y considera ser superior a la asignada a los otros. En este caso el hecho de no existir una frecuencia relativa del fenómeno no lo libera de la toma de decisión. Es importante tener presente que, personas distintas frente a la misma situación pueden asignar probabilidades subjetivas distintas.

2.3

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Retomemos el fenómeno correspondiente al lanzamiento de un dado. En muchas ocasiones es conveniente operar probabilidades en forma gráfica, para ello nos valdremos del Diagrama de Venn. Para la confección de este diagrama representamos mediante puntos cada uno de los eventos simples en que puede presentarse el fenómeno, cada uno de ellos se denomina punto muestral y el espacio conformado por todos los puntos muestrales se denominará espacio muestral y se lo denota como (S)

Para el caso que nos ocupa tendremos: Grafico 2.3 S

E1 E5 E2 E3 E4

E6

Cada uno de los puntos considerados corresponde a cada uno de los posibles eventos en que puede presentarse el lanzamiento del dado. Es necesario además asignarle a cada uno de los puntos muestrales un valor de probabilidad pero teniendo en cuenta que el valor de probabilidad asignado debe cumplir con la condición de ser mayor o igual a cero pero menor o igual a 1:

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-6-

0  P(Ei)  1 donde i varía entre 1 y 6, para este caso Además debe cumplirse que, la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales sea igual a 1 i 6

 P(E )  1 i

i 1

En el caso que nos ocupa, todas las caras tienen la misma probabilidad de ocurrencia, por lo tanto la probabilidad que le asignaremos a cada punto muestral será de P (Ei) = 1/6 La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número par A: obtener un par Este evento compuesto se cumple en el caso de obtener un dos, o un cuatro o un seis Gráficamente tendremos: Grafico 2.4

E1

S

E5 E2 E3

A E6

E4

A se cumple si se cumple E2 o E4 o E6, y por lo tanto queda verificado gráficamente P(A) = P (E2) + P (E4) + P (E6) El evento compuesto A es la unión de los eventos simples E2, E4 y E6, teniendo en cuenta el valor de la probabilidad de ocurrencia asignada a cada una de ellos, tendremos P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 Veamos la probabilidad de obtener un número mayor o igual a 4 (recordemos que B es un número mayor o igual que 4. B se cumple si se verifica E4 o E5 o E6, también en este caso gráficamente (gráfico 53) verificamos que: P (B) = P (E4) + P (E5) + P (E6)

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-7-

Gráfico 2.5

E1 E2 E5

E3

E4

E6 B

P (B) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 Analicemos ahora el evento C: que sea par y mayor o igual a 4, en este caso deben cumplirse ambas condiciones simultáneamente P(C) = P(A y B) Representado en el gráfico 5-4 observamos que la condición de ser par y mayor o igual 4 solo lo cumplen los eventos E4 y E6 Grafico 2.6

E1 A E2 E3 E4

E6

E5 B

Que corresponde justamente a la intersección de los eventos A y B P(C) = P(A  B) = 2/6. Analicemos el evento D: obtener un número par o un número mayor o igual a 4, Gráfico 2.7. P (D) = P(A o B)

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-8-

Gráfico 2.7

E1 AAA

E2

A E6

E3 E5

E4 B

Gráficamente observamos que esta condición lo cumplen solo los eventos E2, E4, E5 y E6, por lo tanto la probabilidad del evento compuesto D será: P (D) = P (E2) + P (E4) + P (E5) + P (E6) P (D) = 4 / 6 En este caso no podemos aplicar la suma de las probabilidades de A y B porque tienen una zona en común (recordemos que esa zona en común correspondía a (A y B)) que la estaríamos sumando dos veces, por lo que, a fin de obtener correctamente la probabilidad de D tendríamos que restársela: P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B) P(A o B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 conclusión a la que ya habíamos arribado gráficamente. Podemos deducir según lo visto que, gráficamente los eventos compuestos surgen de la unión o intersección de eventos, sean estos simples o compuestos. La probabilidad de obtener un número par P(A) esta dada por la unión de los eventos simples E2, E4 y E6, mientras que la probabilidad de obtener un par o un número >= 4 está dada por la unión de los eventos compuestos A y B

2.4

REGLA ADITIVA

Tenemos ahora una expresión que nos entrega la probabilidad de la unión de eventos. Expresión que toma el nombre de Regla Aditiva P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B)

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-9-

Sería conveniente determinar cuál es la expresión que nos determina la intersección de eventos, para ello analicemos el siguiente caso: ¿Cuál es la probabilidad que habiendo obtenido en el lanzamiento del dado un número > o = a 4 este sea par? A este tipo de probabilidad se denomina condicional y se la expresa como P(A / B) Expresión que se lee como probabilidad de ocurrencia de A según B. Si la cara obtenida contiene un número mayor o igual a 4 tendrá que ser el 4 o el 5 o el 6, solo tres casos posibles y de los cuales solo dos de ellos cumplen con la condición de ser par, por lo tanto si nos ajustamos a la definición clásica de probabilidades: P(A / B) =

2 casos favorables = casos posibles 3

Por otra parte, la condición que deben cumplir los casos favorables es la de ser mayor o igual a 4 y además, deben cumplir con la condición de ser par, es decir, deben satisfacer simultáneamente A y B, mientras que los casos posibles estarán dados por los eventos simples que constituyen a B, mayores o iguales a 4. Pudiendo expresarla como:

P( A / B) 

P( A B) P(B)

La expresión indica que: La probabilidad de ocurrencia de A según B, está dada por el cociente entre la probabilidad de ocurrencia conjunta de A y B sobre la probabilidad de B. Si recordamos que la P(A B) 

2 3 y la P (B)  6 6

Reemplazando tendremos

2 P(A/ B) 

2 P(AB) = 6  3 P (B) 3 6

Resultado al que habíamos arribado por razonamiento y aplicación de la definición clásica. 2.6

REGLA MULTIPLICATIVA

La expresión anterior no solo nos entrega la probabilidad condicionada de ocurrencia de A según B sino que, nos permite obtener la expresión multiplicativa, si pasamos el denominador del segundo miembro multiplicando al primero, e intercambiando los miembros:

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P(A B)  P (B) * P(A/ B)

De la misma manera arribaríamos a la expresión:

P (B  A)  P(A) * P (B / A)

Debe tener en cuenta el alumno que:

P(A B)  P (B  A)

Si tenemos en cuenta que gráficamente los eventos compuestos están conformados por la unión (suma) o intersección (producto) de eventos, las expresiones determinadas por la regla aditiva y multiplicativa nos permitirán resolver las probabilidades de eventos compuestos. Regla aditiva: Regla multiplicativa:

2.7

P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B) P(A y B) = P(A). P (B / A) = P (B). P(A / B)

RELACIÓN ENTRE EVENTOS

De acuerdo a lo estudiado, hemos visto que dos o más eventos pueden combinarse para dar eventos compuestos y esos tipos de combinación estaban representados gráficamente por una unión de eventos o por una intersección de ellos. Matemáticamente, la unión esta dada por una disyunción o, probabilidad de ocurrencia de por lo menos uno de ellos, esta probabilidad estaba determinada por la regla aditiva, mientras que a la intersección le corresponde el conectivo lógico y, es una conjunción e indica la ocurrencia simultanea de ambos eventos y su probabilidad denominada probabilidad conjunta, esta probabilidad es satisfecha por la regla multiplicativa. Independientemente del concepto precedente, el evento compuesto generado por la relación entre los eventos A y B se la puede clasificar como: COMPLEMENTARIOS

RELACION ENTRE EVENTOS

MUTUAMENTE EXCLUYENTES

INDEPENDIENTES

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2.7.1

EVENTOS COMPLEMENTARIOS

Dos eventos A y B se denominan COMPLEMENTARIOS cuando la suma de sus probabilidades es igual a 1: P(A) + P (B) = 1 Si tenemos presente el espacio muestral en donde cada una de los eventos posee una probabilidad y la suma de todas ellas es igual a 1, nos indica que dada el evento A, su complemento estará constituido por todos los puntos muestrales de dicho espacio que no pertenezcan a A y se lo denomina como A (todo lo que no es A constituye su complemento) Gráfico 2.8 S A

BA

A

2.7.2

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos implica la no ocurrencia del otro. Gráfico 2.9 S

Gráficamente no presentarán ningún punto en común. En el lanzamiento de un dado, la obtención de un cuatro es mutuamente excluyente con cualquiera de las otras cinco opciones. Representado gráficamente en un diagrama de Venn.

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Podemos decir que todos los eventos simples en que puede presentarse un fenómeno son mutuamente excluyentes. Consideremos nuevamente el lanzamiento de un dado perfectamente balanceado, seis son los eventos simples posibles, y todos ellos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de uno de ellos implica automáticamente la no ocurrencia de los otros. Ninguno de ellos tiene puntos en común Grafico 2.10.

Gráfico 2.10 S

E1 E5 E2 E3 E4

E6

El no poder ocurrir simultáneamente implica que la probabilidad de ocurrencia simultánea de ellos sea igual a cero.

Al igual que 0

P (E1  E2) = 0 P (E2  E5) =

Y en general dados dos eventos A y B si son mutuamente excluyentes debe cumplirse que P(A  B) = 0 Por lo tanto en este caso, cuando los eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de por lo menos uno de ellos será igual a la suma de sus probabilidades: P(A  B) = P(A) + P (B)

Acotación: Como conclusión podemos decir que dados dos eventos A y B, si son complementarios ambos eventos A y B, este último = A será exhaustivamente excluyentes ya que no es posible obtener otro resultado para el fenómeno que no sea uno de ellos. Resumiendo, si dos eventos son complementarios indefectiblemente son mutuamente excluyentes.

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2.7.3

EVENTOS INDEPENDIENTES

Supongamos que lanzamos una moneda, la probabilidad de obtener una cara es de ½. Si lanzamos otra moneda, la probabilidad de obtener una cara será también de ½. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una cara en la segunda moneda habiéndose obtenido una cara en la primera? Consideramos que será también de ½, no existe relación alguna entre el resultado de la primera y la probabilidad de ocurrencia de la segunda moneda, tendríamos que afirmar: P (cara 2º / cara 1º) = P (cara 2º) Que se lee, la probabilidad de que la segunda moneda se obtenga cara, habiéndose obtenido cara en la primera moneda es igual a la probabilidad de obtener cara en la segunda moneda. Decimos que los eventos son independientes. Definición Dos eventos se dicen que son independientes, cuando la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.

Y se expresa como: P(A / B)= P(A). La probabilidad que Juan apruebe Estadística es independiente de que Boca gane en el próximo partido. Si recordamos la regla multiplicativa: P(A  B) = P (B). P(A/B) Cuando los eventos son independientes la P(A/B) = P(A) Por la tanto la expresión matemática de la probabilidad conjunta toma la forma de: P(A  B) = P(A). P (B)

Lo que se expresa como:

Cuando dos eventos son independientes, la ocurrencia simultánea de ambos es igual al producto de sus probabilidades.

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En muchas oportunidades se le hace difícil al alumno definir cuando existe dependencia o independencia de dos eventos. Supongamos que extraemos una carta de un mazo de cartas españolas de un total de cuarenta y definimos: C1 = sacar una carta de espadas en una primera extracción y C2 = extraer una carta de espadas en la segunda extracción La probabilidad de extraer una carta de espadas en la primera extracción será de P (C1) =

10 40

casos favorables casos posibles

Pero la probabilidad de extraer una espada en la segunda extracción queda supeditada a la forma en que se realice el proceso, es decir, con reposición o sin reposición. Si se realiza con reposición, luego de efectuar la primera extracción, la carta se coloca nuevamente en el mazo y se mezcla, la probabilidad de extraer una carta de espadas será nuevamente de P (C2) =

10 40

Los eventos son independientes. Pero si el proceso se realiza sin reposición, la probabilidad de extraer una espada en segundo término depende de la carta extraída en la primera oportunidad (que sea o no una espada). La probabilidad de extraer una espada en la segunda oportunidad no habiendo obtenido una espada en la primera será de: P (espada en 2º / no espada en 1º) =

10 39

Mientras que la probabilidad de obtener una espada en la segunda oportunidad habiendo obtenido una espada en la primera será: P (espada en 2º / espada en 1º) =

9 39

Aclaraciones 1. Se define como probabilidad marginal a la probabilidad simple correspondiente a un evento. Si lanzamos una moneda que esté perfectamente balanceada, la probabilidad de obtener una cara es de 0,5, esto es cierto para cualquier lanzamiento, no importa cuántas veces se lance la moneda ni cuales fueron los resultados anteriores. Cada nuevo lanzamiento es único e independiente de los resultados que se hubieren obtenido en lanzamientos anteriores.

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2. En el inicio del estudio de probabilidades se hace complejo definir claramente sucesos mutuamente excluyentes y eventos independientes a estos efectos se tendrá muy en cuenta la siguiente premisa

Los sucesos mutuamente excluyentes deben ser dependientes, pero los sucesos dependientes no tienen necesariamente que ser mutuamente excluyentes.

2.8

PROBABILIDADES MARGINALES BAJO DEPENDENCIA ESTADÍSTICA

La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadística se determina mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. Supongamos tener una caja con 10 bolillas que presentan las siguientes características: Tres son rojas con puntos Una es roja con franjas Dos son grises con puntos Cuatro son grises con franjas

La probabilidad de extraer una bola gris, estará dada por la suma de las probabilidades de obtener una bola gris con puntos y una bola gris con franjas: P (gris) = P (gris  puntos) + P (gris  franjas) Recordar que de manera general la P(A  B) = P(A). P (B/A) que se lee La probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de A según B En nuestro caso: La P (gris y puntos) = P (gris) * P (puntos / según gris) = 6/10 * 2/6 = 2/10 Además la P (gris y franjas) = P (gris) * P (franjas / según gris) = 6/10 * 4/6 = 4/10 Por lo tanto la probabilidad de obtener una bolilla gris será: P (gris) = P (gris y puntos) + P (gris y franjas) P (gris) = 0,2 + 0,4 = 0,6

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Analicemos la siguiente situación: Un Club local con 400 socios los clasifica de acuerdo a su edad, en tres categorías, Infantiles, Cadetes y Mayores. Además en cada categoría los clasifica de acuerdo a su sexo en Varones y Mujeres según consta en la siguiente tabla:

SEXO

INFANTILES

CADETES

MAYORES

Varones

150

100

30

Mujeres

70

30

20

Si se elige azarosamente la ficha de un socio indique Ud. la probabilidad que: a)

Corresponda a una mujer

De acuerdo a la definición la probabilidad de mujer estará dada por la suma de las probabilidades de los eventos conjuntos donde se presenta la mujer, es decir Si designamos a mujer como F, a varón como V, infantiles como I, cadetes como C y mayores como M podemos expresar: P( F ) = P( F  I) + P(F  C ) + P( F  M ) = 70 / 400 + 30 / 400 + 20 / 400 = 120 / 400 Resultado al cual podríamos haber llegado rápidamente si completamos la tabla anterior con una nueva fila y una columna más que contengan los totales:

SEXO

INFANTILES

CADETES

MAYORES

TOTALES

Varones

150

100

30

280

Mujeres

70

30

20

120

TOTALES

220

130

50

400

De esta manera la Probabilidad: P (F) = 120 / 400 Suponga que quiere determinar la probabilidad de que elegida la ficha de un socio azarosamente, le corresponda a un varón siendo que pertenecía a un infantil. Aplicando la expresión general de probabilidades dependientes tendremos:

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P (V / I) =

P (V  I) P (I)

Desarrollando las expresiones del numerador y del denominador tendremos: P (V / I) =

P (V) * P (I /V) P (I  F)  P (I  V)

Desarrollando las probabilidades conjuntas del denominador tendríamos:

P (V / I) =

P (V) * P (I /V) P (F)* P (I / F)  P (V) * P (I /V)

Expresión que se la conoce como Teorema de Bayes El teorema o Regla de Bayes en si trata la revisión de las estimaciones iniciales de la probabilidad dada la evidencia de la muestra. En síntesis permite estudiar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones. Para el caso que estamos tratando, aplicar Bayes nos entregaría:

220 150 * 400 220 P (V / I)  120 70 280 150 *  * 400 120 400 280 Simplificando tendremos P (V/ I) =

150 220

Claro que la tabla facilita la determinación de estas probabilidades analizando el problema de la siguiente manera:

condicionadas

La probabilidad de que corresponda a un varón, sabiendo que la ficha pertenece a un infantil, circunscribe el espacio muestral solo al número de infantiles 220 que corresponderá al número de casos factibles, por otro lado los casos favorables se dará por la cantidad de varones infantiles que se tengan, en este caso 150, luego aplicando la expresión clásica de probabilidades P (V / I) =

150 220

Analicemos el siguiente problema “Una empresa metalúrgica produce pernos de pistón para un determinado tipo de motor. La producción se efectúa con tres máquinas a las que designaremos como M1,

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M2 y M3. La máquina M1 Produce el 50% de los pernos mientras que la M2 el 30%, se sabe además que la máquina M1 produce un 4% de piezas defectuosas mientras que la M2 produce el 8% y de los pernos producidos por la M3 el 10% presenta fallas.” Si tomamos azarosamente un perno listo para embalar y el mismo está defectuoso, indique Ud. cuál es la probabilidad de que lo haya producido la maquina M1. De acuerdo a lo solicitado por el enunciado nuestra incógnita es la Probabilidad de que un perno lo hubiera producido M1 sabiendo que el mismo está defectuoso.

P (M1/ D)  1)

P (D M

(1)

P (D) De acuerdo a los datos tenemos que la probabilidad de que un perno cualquiera lo produjera cada una de las máquinas será: P (M1) = 0,5 P (M2) = 0,3 P (M3) = 0,2 Por otra parte conociendo los porcentajes de pernos defectuosos producidos por cada una de las máquinas tendremos: La probabilidad de que habiéndola producido M1 esté defectuoso P (D / M1) = 0,04 De idéntica manera tendremos: P (D / M2) = 0,08 y P (D / M3) = 0,1 Desarrollando la expresión (1) de acuerdo al teorema de Bayes tendremos: P(M1 / D) =

P (M1) * P (D / M1) P (D  M1)  P (D  M 2)  P (D  M 3)

desarrollando el denominador P(M1/D) =

P (M1) * P (D / M1) P (M1) * P (D / M1)  P (M 2) * P (D / M 2)  P (M 3) * P (D / M 3)

Reemplazando valores tendremos: Materia: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS III (ESTADÍSTICA I) Profesor: MARIO MARÍN

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P (M1 / D) =

0.5 * 0.04  0.5 * 0.04  0.3 * 0.08  0,2 * 0,1 0.02  0.024  0.02

0.02

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La probabilidad que un perno, que se sabe está defectuoso, lo produjera M1 es igual a: P (M1 / D) =

0.02 0.064

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Al inicio de este módulo se nos planteó el siguiente problema, el cual no podíamos resolver por falta de herramientas, pero ahora estamos ya en condiciones de resolver. “La cuarta parte de los propietarios de automotores de esa comunidad deja las llaves puestas en los automóviles al estacionarlos. Además y de acuerdo a estadísticas el 5% de los automóviles que estacionados tienen las llaves puestas son robados de la vía pública mientras que solo el 1% de los automóviles que no tienen las llaves puestas son robados. Indique Ud. la probabilidad de que un automóvil que ha sido robado en esa ciudad haya tenido las llaves puestas”. Si definimos como evento A, el dejar las llaves en el estacionamiento, B el evento de no dejarlas y R que el automóvil fuera robado, entonces tendremos: P(A) = 0,25 Por lo tanto la

P (B)  0,75

Además la probabilidad de que un auto estacionado con las llaves puestas sea robado es de: P(R/A) = 0,05 y la probabilidad de que sea robado en caso de no tener las llaves puestas es : P(R/B) = 0,01 Lo solicitado en el problema es la probabilidad de que habiendo sido robado un automóvil, éste tuviera las llaves puestas. Expresando esta probabilidad condicionada:

P(A/R) =

P(A R) P(R)

Desarrollando esta expresión tendremos la Regla de Bayes: P (A/R) =

P (A) * P(R / A) P (A R)  (P (B  R)

Que desarrollando el denominador, también podemos expresar como:

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P(A/R) =

P(A) * P(R / A) P(A) * P(R / A)  (PB) * P(R / B)

Reemplazando por valores: P(A/R) =

0,25 * 0,05  0,25 * 0,05  0,75 * 0,01 0,0125 0,02

P(A/R) = 0,6255

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES El estudio de combinaciones y permutaciones se asocia al estudio de análisis combinatorio y constituye en realidad una herramienta de gran aplicación en la resolución de probabilidades y en la distribución de variable aleatoria que veremos más adelante. Supongamos tener un conjunto de cinco elementos a los que denominaremos como: (a, b, c, d, e) Denominaremos como n al número de elementos que conforman el conjunto, en este caso n = 5. Ahora bien, si, con los elementos del conjunto quisiéramos formar subconjuntos de r elementos cada uno, en este caso r = 3, estos serían los siguientes: (a b c) (b c d)

(a b d) (b d e)

(a b e) (b c e)

(a c d) (c d e)

(a c e)

(a d e)

Cada uno de estos subconjuntos de tres elementos cada uno de ellos, formados con los n elementos del conjunto dado se denominan combinaciones y se las expresa como: n C r (Expresión que se presenta en general en las calculadoras). No obstante es común encontrar en distintos textos combinaciones expresadas de diferentes maneras según el criterio del autor y a saber:

Crn  Cnr En todas ellas se lee como Combinaciones de n elementos tomados de r en r, matemáticamente igual a:

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nCr =

n! r!*(n  r)!

(11)

n! 5! = = r!*(n  r)! 3!*(5  3)! 5.4.3.2.1  10 (3.2.1) (2.1) Definición Dos combinaciones son distintas cuando varían en por lo menos un elemento.

A su vez, cada subconjunto de tres elementos pueden expresarse de seis maneras distintas, permutando los términos que lo componen: (A b c)

(A c b) (B a c)

(b c a)

(c a b)

(a b d)

(a d b) (b d a) (b a d)

(d a b) (d b a)

(a b e)

(a e b)

(e a b) (e b a)

(a c d)

(a d c) (d a c) (d c a)

(c d a)

(c a d)

(a c e)

(a e c) (c a e) (c e a)

(e a c)

(e c a)

(b a e) (b e a)

(c b a)

(a d e)

(a e d)

(d e a) (d a e)

(e a d)

(e d a)

(b c d)

(b d c)

(c d b) (c b d)

(d b c)

(d c b)

(b d e)

(b d e) (d b e) (d e b)

(e d b)

(e b d)

(b c e)

(b e c) (c b e) (c e b)

(c d e)

(c e d) (e d c) (e c d)

(e c b) (e b c) (d e c)

(d c e)

Cada una de las distintas formas en que puede expresarse un conjunto se denomina permutaciones y se las expresa como: Pr = r! P (3) = 3 . 2 . 1 = 6

1

Debemos recordar que n! ( factorial de n) = n* (n-1) * (n-2) * . . . . . . . .* ( n-n+1) Además, el factorial de cero 0! = 1.

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Definición Dos permutaciones son distintas cuando varían en la ubicación de por lo menos un elemento.

Resumiendo diremos que, por cada una de las combinaciones de tres elementos, tomadas entre los cinco del conjunto dado, se pueden obtener seis permutaciones. Al conjunto de combinaciones y permutaciones se las denomina Variaciones o también Permutaciones de n elementos tomados de r en r, y se lo denota como: nPr = nCr * Pr nPr =

n! * r! r!.(n  r)!

nPr =

n! (n  r)!

simplificando

Para nuestro caso n = 5 y r = 3 tendremos:

nPr =

5.4.3.2.1 2.1

 60

Analicemos el siguiente ejercicio: Supongamos que en un jardín de infantes hay cuatro maestras de las cuales dos de ellas son casadas y las denominaremos como C1 y C2, por otra parte las otras dos se denominaran S1 y S2. Si es necesario elegir a dos de las maestras para acompañar a los niños a un paseo, y la elección se efectúa de manera totalmente aleatorio, indique la probabilidad: A que las dos maestras elegidas sean casadas. B Que las dos sean solteras C Que una sea casada y la otra soltera. En casos como el planteado puede ser conveniente operar con el diagrama de VENN, en el cuál volcaríamos todas las duplas posibles a elegir, que no serían más que las combinaciones de dos elementos tomados del conjunto original de cuatro, y a saber: (C1 C2 S1 S2)

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S C1C2

C2S1

C1S1

S1S2 C2S2

C1S2

Cada punto muestral es una combinación. Al elegir una dupla, esta tendrá que ser necesariamente una de las seis combinaciones, todas igualmente posibles y por lo tanto la probabilidad de cada una de ellas será de: P (Ei) = 1 / 6 A)

La probabilidad de que ambas sean casadas será entonces de: P (C1C2) = 1/ 6

B)

La probabilidad de que las dos sean casadas también será igual a: P (S1S2) = 1/ 6

Solo una combinación cumple con esa condición. C) De las seis combinaciones posibles, en cuatro de ellas se tiene una casada y la otra soltera, por lo que la probabilidad de: P (SC) = 4 / 6

A

C1C2

C2S1

C1S1

S1S2 B C2S2

C1S2 C

P(A) + P (B) + P(C) = 1 / 6 + 1 / 6 + 4 / 6 = 1 Mientras el número de eventos simples sea pequeño, podemos resolver estas probabilidades directas apoyándonos en el diagrama de VENN, pero si su número aumentare ya no sería posible este tipo de planteo.

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Supongamos tener un curso de 32 alumnos conformado por 14 mujeres y 18 varones, si es necesario conformar una comisión de dos alumnos para realizar una investigación y ésta se efectuare azarosamente, indique la probabilidad de que los dos alumnos elegidos: A sean varones B ambos sean mujeres C que uno de ellos fuere mejer y el otro varón. En este caso generaríamos un diagrama de VENN pero con otro concepto. Si se tomará una dupla esta será una de todas las posibles duplas que se pueden formar con 32 alumnos. Es decir: Duplas posibles = 32C2 Su valor lo obtenemos en cualquier calculadora utilizando la tecla nCr. 32C2 = 496 Estas 496 duplas estarán conformadas por: 1- Varón Varón (V V) 2- Varón Mujer (V M) 3- Mujer Mujer (M M)

VV VM MM

¿Cuántas duplas de (V V) se tienen, tantas como las combinaciones que se pueden formar con 18 varones tomados de 2 en 2?: (V V) = 18C2 = 153 La cantidad de duplas de mujer será el número de combinaciones de 2 elementos cada una de ellas tomadas de entre las 14 mujeres que tiene el conjunto: (M M) = 14C2 = 91 Si el total de duplas es de 496, podemos obtener el número de ellas que están conformadas por mujer – varón como la diferencia entre el total y la suma de las duplas (V V) y (M M) (M V) = 496 – (153 + 91) = 252 Ahora estamos en condiciones de responder a las preguntas aplicando la expresión clásica de probabilidades:

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P (E) =

casos favorables casos posibles

P (V V) =

153   0,3084 496

P (M M) =

91  0,1834 496

P (M V) = 0,5081

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