Lecciones de mecanica de fluidos.pdf

el Celemín Matachana

WEJD UNIVERSIDAD DE LEON 1996

LECCIONES D E M E C A N I C A DE FLUIDOS

VII

INDICE INTRODUCCION

XV

ler Tema: Estática de fluidos

.»

1' Lección 1.1.1. Fluidos: definición y clasificación 1.1.1.1. Clasificación 1.1.2. Concepto de presión 1.1.2.1. Unidades 1.1.2.2. Isotropía de la presión 1.1.3. Densidad y compresibilidad 1.1.4. Aplicación: estudio de la compresión isoterma del aire en una tubería

1 2 3 4 5 6 10

2' Lección 1.2.1. Ecuación fundamental de la estática de fluidos 1.2.1.1. Presión atmosférica 1.2.1.2. Presión hidrostática 1.2.2. Principio de Pascal 1.2.3. Barómetros 1.2.3.1. Tipos de barómetro 1.2.4. Manómetros 1.2.4.1. Piezómetros 1.2.4.2. Manómetros de líquido 1.2.4.3. Manómetros metálicos 1.2.4.4. Empleo de los distintos manómetros 3* Lección —

———•

—-—

14 16 17 18 20 23 26 28 29 30 31 —

1.3.1. Principio de Arquímedes: la subpresíón 1.3.2. Equilibrio de los cuerpos sumergidos 1.3.3. Determinación de la densidad de sólidos y líquidos 1.3.3.1. Análisis granulométrico por sedimentación 1

4 Lección

-

—-—

1.4.1. Sistema de fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida 1.4.1.1. Momentos de inercia de un área 1.4.2. Aplicación: equilibrio de un azud 1.4.3. Fórmula de Mariotte 5* Lección

32 36 40 44

48 52 54 57

—

1.5.1. Fuerzas intermoleculares 1.5.2. Tensión superficial 1.5.2.1. Unidades 1.5.3. Sobrepresión de curvatura 1.5.4. Formación de meniscos

59 61 64 65 67

VIII 1.5.5. Capilaridad 1.5.6. Aplicación: ascenso de la savia en 9

2 Tema: Cinemática de fluidos

árboles y plañías

68 70

1

1* Lección 2.1.1. Descripción del movimiento de un fluido: métodos de Lagrange y Euler 2.1.2. Lfnea de corriente, de trayectoria y de traza 2.1.3. Clasificación macroscópica del movimiento de un fluido 2.1.4. Otras clasificaciones 2.1.5. Concepto de caudal 2.1.6. Ecuación de continuidad 2.1.7. Aceleración

72 73 75 78 79 81 84

3er Tema: Dinámica de fluidos 1* Lección 3.1.1. Teorema 3.1.1.1. 3.1.1.2. 3.1.2. Teorema 3.1.3. Tubo de 3.1.4. Tubo de 3.1.5. Tubo de 3.1.6. El sifón

de Bernoulli Representación gráfica del teorema de Bernoulli Cálculo del trinomio de Bernoulli de Torricelli Venturi Pitot Prandtl

87 98 100 102 103 106 108 110

2* Lección 3.2.1. Estudio de la viscosidad 3.2.1.1. Unidades 3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad 3.2.1.3. Medición de la viscosidad 3.2.2. Máquinas hidráulicas 3.2.3. Generalización del teorema de Bernoulli 3.2.3.1. Gráfico de energía 3.2.4. Estudio del movimiento de un fluido real 3.2.4.1. Bernoulli entre las secciones 1 y 2 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.2. Bernoulli entre las secciones 2 y 3 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.3. Bernoulli entre las secciones 1 y 4 (Fig. 3.2.7)

113 117 119 122 124 125 128 132 132 137 138

3* Lección 3.3.1. Régimen laminar y turbulento 3.3.1.1. Capa límite 3.3.2. Fórmula de Poiseuille 3.3.3. Fórmula de Darcy-Weisbach 3.3.4. Ley de Stokes 3.3.4.1. Aplicaciones

140 146 147 151 153 157

Ejercicio n°l Sistemas de fuerzas hidrosíáticas, equivalencia mecánica de sistemas de fuerzas, centro de áreas, equilibrio del sólido rígido Ejercicio n°2 Reducción de sistemas de fuerzas, barras articuladas cargadas en nudos, equilibrio del sólido rígido. 1

Ejercicio n ^ Fuerzas de subpresión, centro de áreas, reducción de sistemas de fuerzas, equilibrio del sólido rígido. Ejercicio n°4 Fuerzas h'tdrostáticas sobre área circular, momento de inercia, centro de áreas, centro de presión, estabilidad al vuelco. Ejercicio n°5 Centro de carena, centro de gravedad, metacentro, empuje de Arquímedes, equilibrio de cuerpos flotantes. Ejercicio n°6 Empuje de Arquímedes, peso y peso específico, centro de carena, equilibrio de cuerpos flotantes. D

Ejercicio n 7 Distribución de velocidad en régimen permanente y uniforme, cálculo del caudal a partir de la definición y por aplicación del segundo teorema de Guldin. a

Ejercicio n 8 Estudio del movimiento de una partícula de fluido por aplicación de la segunda ley de Newton, teorema de Torricelli. Ejercicio n°9 Aplicación del teorema de Bernoulli a unfluidoideal, ecuación general de la estática de fluidos, principio de continuidad.

X

Ejercicio n°10

189

Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a un fluido real, cálculo del coeficiente de fricción por aproximaciones sucesivas, principio de continuidad, número de Reynolds. Gráfico de energía. Ejercicio n°ll

194 195

Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a un fluido real, pérdidas localizadas de carga, presión manométrica y absoluta, definición de caudal. Gráfico de energía Ejercicio n°12

199 200

Estudio de una elevación de agua mediante el teorema de Bernoulli generalizado, determinación de la carga hidráulica y obtención de ¡a potencia teórica de ¡a bomba, definición de caudal. Ejercicio n°13

203

Cálculo de la carga hidráulica necesaria para la elevación de agua entre depósitos mediante la aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, definición de caudal, potencia teórica de una bomba. Gráfico de energía

206

D

Ejercicio n 14

207

Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a una impulsión de agua entre depósitos, consideración de tuberías de características geométricas distintas y de pérdidas de carga localizadas y unitarias, principio de continuidad. Gráfico de energía B

Ejercicio n 15

210 211

Resolución de un sistema de tuberías, con punto alto intermedio , por doble aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, principio de continuidad, pérdidas localizadasy unitarias. Gráfico de energía

215

XI

e

Práctica n l : Aparatos para la medida de presiones en fluidos

219

Práctica n°2: Estudio de la distribución de fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas

229

Práctica n°3: Teorema de Bernoulli

247

Apéndice n°l: Programa REMICUAD.BAS.

271

Apéndice n°2: Pérdida de carga en un cono convergente.

281

Bibliografía.

285

XIU

PRÓLOGO Estas "Lecciones de Mecánica de Fluidos" han venido siendo utilizadas, desde el curso 1990-1991, como guiones de clase para la implantación del capítulo homónimo del Programa de Física de la que era Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola y hoy es Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria. Varias fueron las ocasiones en las que, a lo largo de los cursos transcurridos desde que estas Lecciones fueron escritas, pensé en su publicación; sin embargo no debí encontrar motivos suficientes para iniciar los correspondientes trámites. He creído que las circunstancias actuales: aplicación del Plan de Estudios de la Reforma y la consiguiente extinción del Plan 1971 sí son motivos que justifican la edición de las Lecciones, por lo que solicité ésta y la obtuve, del Servicio de Publicaciones. En el presente curso 1995-1996 ha comenzado, en la Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria, la aplicación de la Reforma de los Planes de Estudios. Un cambio de plan de estudios es ocasión para reflexionar sobre contenidos, introducción de nuevas formas docentes, optimización del tiempo de los alumnos, etc. En ese sentido espero que este libro ayude a alcanzar alguno o algunos de esos objetivos. En el nuevo Plan de Estudios, la asignatura de Física ha sido sustituida por Física I y Física I I . Este libro será utilizado en la enseñanza de los contenidos de Mecánica de Fluidos que hay en cada una de las anteriores materias. En el curso 1995-1996 se ha iniciado también la paulatina extinción del Plan 1971 y con ella, la desaparición de la enseñanza oficial de la asignatura de Física de dicho Plan. He pensado que estas "Lecciones de Mecánica de Fluidos" podrían ayudar a los alumnos del Plan 1971 a preparar adecuadamente la asignatura. A los agradecimientos que, en su día, recogí en la introducción a estas Lecciones, y que hoy reitero, añado el que quiero hacer llegar al Servicio de Publicaciones de esta Universidad, dirigido por el Dr. José Manuel Martínez Rodríguez. León, febrero de 1996 Miguel Celemín Matachana Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Universidad de León

XV INTRODUCCION

En este libro se desarrollan, en forma teórico-práctica, las lecciones que constituyen el capítulo titulado "Mecánica de Fluidos" del programa de Física que se imparte en la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de la Universidad de León. Dos han sido, fundamentalmente, las razones por las que se eligió dicho capítulo, y no otro del programa, para ser desarrollado por escrito: en primer lugar se encuentra el hecho del carácter de materia "casi nueva" que la mecánica de fluidos tiene para los alumnos que acceden a la universidad, a lo que contribuye el que nada relativo a dicha materia figure en los temarios oficiales del Curso de Orientación Universitaria (B.O.E. del 17 de Marzo de 1978); en segundo lugar, el tratarse de una materia básica para la formación de) ingeniero técnico agrícola, y ésto en un doble sentido, ya que no sólo es importante por las aplicaciones que en sí misma encuentra en el ejercicio de la ingeniería agraria, sino también porque muchos de sus conceptos se necesitan para el estudio de otras partes de la Física tales como Termodinámica, en general, y Meteorología, en particular. La estructura de este libro: contenidos teóricos, ejercicios y prácticas de laboratorio pretende, bajo su título, transmitir la idea de que teoría y práctica y especialmente, las prácticas de laboratorio, han de estar estrechamente relacionadas entre sí, buscando la mejor integración posible de una en otra. Aunque puede decirse que esta idea es de aplicación a la ingeniería en general, es en las escuelas de ingeniería técnica donde adquiere una mayor relevancia debido a las características del técnico que en ellas se forma. De acuerdo con lo anterior, en la primera parte del libro se desarrollan los contenidos del programa teórico relativos a la mecánica de fluidos, prestando especial atención a las aplicaciones de algunos de dichos contenidos -Teorema de Bernoulli, ecuación general de la hídrostática, etc.,- en ciertos casos de interés para el alumno desde el punto de vista de su actividad futura. En la segunda parte del libro se ha

XVI

efectuado la resolución detallada de quince ejercicios de aplicación de los conceptos estudiados, habiéndose dibujado en la mayoría de los de dinámica el gráfico de energía, que es la representación del teorema de Bernoulli. Con el fin de potenciar al máximo ciertos hábitos que los alumnos han adquirido como son: actuar reflexivamente ante la resolución de ejercicios, explicar éstos e indicar los teoremas y conceptos aplicados en dicha resolución, etc., y a la vez, remabilizar el tiempo que el alumno dedica al ejercicio, cada uno va acompañado de unos "comentarios a la resolución" que, con objeto de que su lectura no obligue a ver simultáneamente la resolución del ejercicio, han sido incluidos en un bloque que precede a ésta. La tercera y última parte del libro contiene los guiones de las clases prácticas de laboratorio seleccionadas para la visualización de los fenómenos estudiados así como para la familiarización del alumno con las técnicas experimentales básicas. Con la realización de las prácticas también se intenta iniciar al alumno en la faceta de usuario de programas estándar, haciendo que ejecute un programa basado en cálculos de los que, por conocer su fundamento, posee criterio para juzgar ios resultados de la ejecución de dicho programa, aspecto éste muy importante cuando, probablemente, el ordenador sea una herramienta de trabajo en su vida profesional.

Varias son las personas que de una u otra forma han tenido que ver con la realización de este libro. A todas ellas mi agradecimiento y de modo especial a quienes han colaborado más directamente: Covadonga Palencia Coto, por su ayuda en la verificación y puesta a punto de los equipos y prácticas de laboratorio; Rafael González Ortega, que delineó las figuras; Pablo Peláez Aller que hizo el tratamiento de textos y por último, pero no en último lugar, a mi compañero Andrés Liaño Herrera, Profesor Titular de Universidad del Dpto. de Ciencias y Técnicas de Agua y del Medio Ambiente, en la E.T.S, de Ingenieros de Caminos de Santander, por sus acertadas sugerencias. Miguel Celemín Matachana León, Septiembre de 1990.

1

I-Tema.

Es ¡ática de Fluidos.

¡-Lección.

Fluidos: definición y clasificación. Concepto de presión. Den-

sidad y compresibilidad. Aplicación: estudio de la compresión isoterma del aire en una tubería.

1.1.1. FLUIDOS: DEFINICION Y CLASIFICACIÓN

Al iniciar el estudio de la mecánica de fluidos parece obligado definir aquello que va a ser objeto de dicho estudio. Antes de proponer, por tanto, una definición de fluido y dado que en el capítulo anterior del programa de la asignatura se ha estudiado el comportamiento de un sólido real bajo las hipótesis del modelo elástico lineal, puede resultar esclarecedor establecer una comparación entre dicho comportamiento y el de un fluido. La diferencia más notable entre el comportamiento de un sólido y el de un fluido se presenta al analizar la respuesta de uno y otro frente a tensiones tangenciales. La fig. 1.1.1 muestra un cuerpo sólido solicitado por un estado de tensión tangencial pura. Como consecuencia de dicho estado el sólido se deforma ( contorno en trazo discontinuo) y las fuerzas internas movilizadas por el sólido hacen posible que se alcance una configuración de equilibrio en la que se cumple: x-yG

(1.1.1)

donde " G" es, como se recordará, el módulo de Fig. 1.1.1. Deformación de un sólido solicitado por tensión tangencial

pura.

elasticidad transversal y "v"la deformación . angular.

2 Cuando se aplica una tensión tangencial a un fluido no se alcanza una configuración de equilibrio; el fluido se deforma continuamente siendo la velocidad de deformación angular y no la deformación angular, la magnitud que está relacionada con las tensiones tangenciales " T " a través del coeficiente de viscosidad " u,", es decir,

La ecuación 1.1.2 -denominada ley de Newton de la viscosidad- expresa lo que puede ser considerado como el aspecto más relevante del comportamiento de un fluido, por lo que éste es recogido en la mayoría de las definiciones de fluido que se encuentran en la bibliografía y en particular, en la que aquí se propone, cuyo enunciado es el siguiente: un fluido es un medio material, continuo, deformable, desprovisto de rigidez que puede fluir; es decir, sufrir grandes deformaciones bajo la acción de fuerzas de cuya intensidad depende la mayor o menor velocidad de dichas deformaciones.

1.1.1.1. Clasificación

Los fluidos pueden ser clasificados atendiendo a diversos criterios, dos de los cuales tienen su origen en la ecuación 1.1.2. Así, el cumplimiento ono de esta ecuación permite clasificarlos como newtonianos o no newtonianos respectivamente, mientras que con arreglo al valor del coeficiente de viscosidad, los fluidos pueden clasificarse como ideales o reales, según que dicho coeficiente se suponga o no cero. Sin embargo, la clasificación más elemental de los fluidos quizá sea aquella que distingue entre líquidos y gases, en la que el criterio de clasificación es el estado en el que se presenta la materia.

3 Una de las diferencias más conocidas entre los líquidos y los gases consiste en que los primeros ocupan un volumen determinado y presentan superficie libre, mientras que los segundos, no. La explicación a esta diferencia se encuentra en la forma en la que se disponen espacialmente las moléculas de un líquido y las de un gas. Los líquidos se comportan como se ha indicado, debido a que sus moléculas están muy próximas unas de otras, por lo que se ejercen mutuamente fuerzas atractivas de origen eléctrico cuya intensidad permite, sin embargo, que las moléculas puedan desplazarse aleatoriamente en el seno del líquido. En los gases las moléculas están muy separadas y como consecuencia apenas se ejercen fuerzas entre sí, lo que implica que las moléculas se desplazan libremente hasta ser detenidas por un contorno. Un gas, por tanto, se expande hasta ocupar todo el volumen del que dispone. Los líquidos y los gases presentan analogías y diferencias que irán poniéndose de manifiesto a medida que se vayan estudiando determinadas propiedades de los fluidos. Entre las propiedades comunes se encuentra la de ejercer presiones sobre las superficies con las que el fluido tiene contacto; entre las propiedades diferenciadoras, la densidad y la compresibilidad son las más importantes. Estas propiedades serán estudiadas en los dos apartados siguientes. Por último, conviene tener bien presente que aunque la estructura molecular es el origen de las propiedades de los fluidos y que por tanto, en algunas ocasiones se recurrirá a ella, es el comportamiento macroscópico, es decir, a gran escala, el que se considera en la resolución de los problemas que se plantean en ingeniería. Se dice, entonces, que se considera al fluido como un medio continuo.

LL2. CONCEPTO DE PRESION

La presión de un fluido se define como la fuerza normal que ejerce la materia

fluida sobre una superficie cualquiera. Si" A f „ " es el módulo de la fuerza normal que actúa sobre un elemento infinitesimal de superficie " A 5 " que contiene a un punto, la presión media " p

m

" en el punto considerado es : P

m

~

(1.1.3)

Se define la presión en un punto como el limite de la presión media calculada en dicho punto, es decir: Af, dF p = l i m p = ¡im ——• = - ~ AS-o ÜS-O A6 aó

n

m

.

(1.1.4)

De la ecuación 1.1.4 se deduce que la presión de un fluido da lugar a un sistema de fuerzas, siendo la expresión vectorial genérica de una de ellas la siguiente: dF'p.dS.ñ

•

,

(1.1.5)

La definición de presión muestra claramente que se trata de una magnitud de carácter escalar, que puede, sin embargo, ser utilizada como indica la ecuación 1.1.5; formando parte de la fuerza que resulta cuando la presión actúa sobre una superficie.

1.1.2.1. Unidades Sistema Cegesimal La unidad es ^ 7 = baria. Dado que es una unidad muy pequeña para los usos habituales, se utiliza, frecuentemente, el múltiplo de ella denominado bar, siendo la relación entre ambas la siguiente: 1 bar - 10*barias

Sistema Internacional f

a

La unidad es " "°" «= pasca l. Aunque mayor que la baria sigue siendo una

5 unidad muy pequeña, por lo que se utilizan los múltiplos con los prefijos adecuados, es decir, IkPa= 1

3

lQ Pa b

\MPa=\Q Pa 9

~

lGPa-\0 Pa

Sistema Técnico 2

La unidad eskp/m ókgf/m\

;

Además de las unidades reseñadas se utilizan otras como el "kgf 2

" i/m " y la anglosajona " p . s. i." (libras

2

/ pul gado. }

2

í'cm ~,

que pertenece al sistema

técnico inglésy cuya relación con la unidad usual de presión en España es la siguiente: 2

1 kgf/cm

-= ! 4 p .s.t.

La relación de unidades de presión se completará mas adelante con aquéllas cuya utilización más extendida se da en el contexto de la meteorología para la medición de la presión atmosférica.

1.122. Isotropfa de la presión Una de las propiedades más importantes de la estática de fluidos es la que establece que en el interior de un fluido en reposo se verifica que la presión en un punto cualquiera, es la misma en todas las direcciones. Para demostrarlo, se considera un punto" O " de un fluido en reposo y en él un sistema de ejes cartesianos. La línea AB ¿

Px y

representa la dirección de un plano cualquiera infinitamente próximo a" O a u n q u e en la figura 1.1.2 se haya dibujado separado de él, en beneficio de la claridad del

Fig. 1.1.2. Sección recta infinitesimal de un prisma de fluido en reposo.

esquema. Los ejes coor- denados y la línea A B definen una sección recta infinitesimal

de un elemento prismático de fluido cuya dimensión perpendicular al papel es 1 unidad.

.

Puesto que el fluido está en reposo, el efecto que ejerce la parte suprimida éste tiene que estar representado por una fuerza normal a la superficie considerad ya que de no ser así, no sería posible el equilibrio. Basta tener presente a este respe que un fluido se deforma continuamente ante la aplicación de fuerzas tangencial (ec. 1.1.2.). En consecuencia, el sistema de fuerzas que actúa sobre el elemento de fluido considerado, es el que aparece en la figura 1.1.2.

Imponiendo la condición de equilibrio (R - 0)

para el elemento de altura

unidad se obtienen las siguientes ecuaciones escalares: p - A y - p - A S - sena - 0

(1.1.6)

x

j - ^ - y A x - A y - p • Ax + p - & S • cosa= 0

(1.1.7)

y

y teniendo en cuenta las relaciones geométricas que se dan en la figura 1.L2 resulta: p - p =0

(1.1.8)

i

| y A y - p

y

* p =0

(1.1.9)

Al hallar el límite cuando A y -» Ode la ecuación 1.1.9 resultap = p , yconla y

ecuación 1.1.8 se tiene, finalmente: PM'P>"P

(1.1.10)

Dado que la orientación " ot" del plano considerado es arbitraria, queda demostrada la propiedad.

1.13. DENSIDAD Y COMPRESIBILIDAD

Se define la densidad " p" de un cuerpo como la masa por unidad de volumen, es decir:

7

P=^

(1,1.11)

Las unidades en las que con más frecuencia se expresa la densidad son el 3

3

"g/cm ", en el Sistema Cegesimal y e l " kg/cm "tn

el Sistema Internacional.

En general, la densidad de un cuerpo depende de la presión y de la temperatura, aunque la importancia de esta dependencia es función del estado en el que se presenta la materia. En lo que se refiere a los fluidos líquidos, las variaciones de volumen debidas ala temperatura se estudian mediante el coeficiente de dilatación cúbica "p", cuya expresión es: P — ^

(1.1.12)

mientras que los cambios de volumen cuya causa se encuentra en las variaciones de presión se cuantifican a través del módulo de elasticidad volumétrica o módulo de compresibilidad "K", que se define:

La ecuación 1.1.12 y las consecuencias que se derivan de ella, como los movimientos de convección de las masas de agua, se suelen estudiar en el contexto de los fenómenos térmicos, ya que su influencia en los aspectos prácticos de la mecánica de fluidos es muy escasa. Mucho más interés ofrece, al menos desde el punto de vista conceptual, la compresibilidad. En efecto, ello es así hasta el extremo de que en la mayoría de los textos relativos a mecánica de fluidos se señala que el estudio que en ellos se realiza está limitado al de los fluidos incompresibles, que es tanto como decir al de los fluidos

8

líquidos, como se verá más adelante. La compresibilidad de los líquidos supone, consiguiente, que las únicas variaciones de volumen son debidas a cambios en estado de presiones. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 1.1.11 resulta: Lp-Lm-LV

(1.1.14

diferenciando esta última ecuación, teniendo en cuenta el principio de conservació de la materia, y reemplazando las diferenciales por incrementos se llega a:

p

v

y sustituyendo este resultado en 1.1.13, se obtiene otra expresión para el módulo compresibilidad, Ap K - ~ ~ Ap/p

(1.1.1

Las ecuaciones 1.1.13 y 1.1.16 muestran que las unidades en las que se expr el módulo de compresibilidad son las mismas que las de la presión, siendo usu 2

hacerlo en kgf/cm El

valor A

del z

2.1 x lO kgf/cm

oenGPa. módulo

de

compresibilidad para

el

agua

es

d

ó 2.1 GPa De este orden de magnitud es también el módul

de compresibilidad de los líquidos, lo que justifica que en muchas aplicaciones de mecánica de fluidos se suponga que la densidad es independiente de la presión, esto consiste la hipótesis de incompresibilidad de los líquidos, lo que a efect prácticos supone admitir, también, que la densidad permanece constante. La hipótesis de incompresibilidad de los líquidos simplifica notablemente desarrollo de los cálculos y conduce a resultados muy aproximados en números aplicaciones de la mecám'ca de fluidos. Sin embargo, esta hipótesis no es de aplicació en algunos casos, como son aquéllos en los que tienen lugar cambios repentinos e

9 la velocidad, que originan grandes fuerzas inerciales y, como consecuencia, se generan alias presiones "que en este caso sí que producen efectos de compresibilidad. Un ejemplo de esto último lo ofrece la parada repentina de un grupo de bombeo que da lugar a la aparición del fenómeno que se conoce como golpe de ariete. En los gases, la variación de la densidad con la presión y la temperatura se deduce de su ecuación de estado. Así, para los gases ideales, para los que la ecuación de estado es: pV = nRT

(1.1.17)

i la expresión de la densidad se obtiene sustituyendo ei número de moles " n " por la masa molecular y dividiendo ésta por el volumen. Resulta así:

ecuación que refleja la relación de dependencia que se da entre la densidad y las variables de estado presión y temperatura. Dado que se dispone de la expresión de la densidad de ungasy que la deducción de la ecuación 1.1.16 no contiene restricción alguna para su aplicación, se utilizará ésta para obtener el módulo de compresibilidad de un gas. Tomando logaritmos neperianos en 1.1.18 se obtiene: Lp = Lp*LP -

LR-LT

(1.1.19)

A 7" T

(1.1.20)

m

y diferenciando resulta: Ap — P

áo P

sustituyendo este resultado en la ecuación 1.1.16 se obtiene el módulo de compresibilidad de un gas:

P

7

La ecuación 1.1.21 muestra que el módulo de compresibilidad de un gas no sólo

depende de las variables de estado sino también de su evolución. Para el caso de una transformación isoterma ( A 7 = 0 ) el módulo de comp sibilidad es, precisamente, el valor de la presión durante la transformación. Esto significa que, por ejemplo, un gas a la presión atmosférica (equivalente a 2

1 ,0336kgf/cm )

4

tiene un módulo de compresibilidad de 1.01 x 10" CPaloque

supone que es veinte mil veces más compresible que el agua. Conviene tener claro que cualquiera que sea el tipo de módulo de elasticidad que se esté considerando (lineal, superficial o volumétrico para los sólidos o únicamente el volumétrico en los líquidos), su valor es proporcional a la indeformabilidad correspondiente. Así, cuanto más alto es el módulo de Young de un sólido tanto más rígido es éste. Sin embargo, hay autores que prefieren emplear el inverso del módulo de elasticidad, denominado coeficiente de elasticidad, ya que éste es proporcional a la deformabilidad. Es frecuente por ello que al hablar de fluidos se emplee el coeficiente de compresibilidad por ser proporcional a esta propiedad.

1.1.4. APLICACION: ESTUDIO DE LA COMPRESION ISOTERMA DEL AIRE EN UNA TUBERIA

F i g 1.1.3.

Sistema

embalse-conducción —depósito.

La figura 1.1.3 representa el esquema de una instalación para la captación, transporte y almacenamiento de agua en la que se ha supuesto que el tramo central de la conducción tiene muy poca pendiente. En estos tramos de poca o nula

11 =

pendiente donde se acumula el aire que, con

m

diversas procedencias, siempre hay en una tubería. Si no se prevé su evacuación o

Fiq 1.1.4.

habiéndola previsto, ios dispositivos no funr

Bolsa de aire

en una t u b e r í a .

r

cionan correctamente, se va formando una

bolsa de aire que con el tiempo, puede llegar a ocupar toda la sección (Fig. 1.1.4) e interrumpir así la circulación de agua. Si esto sucediera, el agua se vería frenada por la bolsa de aire al tiempo que éste sufriría una compresión isoterma durante la cual, y debido a su alta compresibilidad, aumentaría considerablemente la presión del aire ocluido, superando con creces la resistencia de la tubería y provocando, por tanto, la rotura de ésta. Al aplicar el teorema de las fuerzas vivas entre los instantes 2 {detención del flujo de agua) y 1 (circulación con velocidad "v") se tiene: E -E\-W^

(1.1.22)

2

El trabajo " W ¡ ^ " es el que se produce sobre el aire durante su compresión 2

isoterma y se calcula mediante: l /

N

2

= f*

P

d

V

(1.1.23)

siendo " p "la presión del aire y" dV" el volumen de un elemento diferencial. Durante la compresión isoterma la presión varía con el volumen siguiendo la ley de Boyle, es decir, pV = K

(1.1.24)

sustituyendo 1.1.24 en 1.1.23 e integrando, se obtiene el trabajo:

Dado que l

7 2

< K , , el trabajo es negativo, por lo que se puede escribir: W^-KL^

(1.1.26) V

2

12 Con el fin de preparar la ecuación 1.1.26 para su aplicación conviene obtener" K" y sustituir el cociente de volúmenes por el cociente de presiones. Ambos cambios se efectúan por aplicación de la ecuación 1.1.24. Se llega asi a: ^ I - 2 - - P I ^ I ¿ ~

(1.1.27)

Pi

Sustituyendo 1.1.27 en 1.1.22 y teniendo en cuenta el valor de la energía cinética de la masa de agua que resulta frenada, se obtiene: z

-\mv 2

=~p V L^ í

l

(1.1.28)

Pi

En la ecuación anterior se conocen todas la variables salvo " p " que es la presión z

que se alcanza en la bolsa de aire al final del proceso. Para ilustrar el análisis realizado, se hará aplicación a un caso cuyos datos son los siguientes:

Longitud de la conducción: 13200 m Distancia de la bolsa de aire al embalse: 7000 m Velocidad del agua en la tubería: 0,97 m/s Diámetro de la tubería: 500 mm Presión del agua en el punto donde se produce la bolsa: 5

kgf/cm

2

Voíúmen de la bolsa de aire antes de la compresión: 600 1

La ecuación 1.1.28 resume el fenómeno que tiene lugar cuando se forma una bol

de aire que interrumpe la circulación del agua de una tubería: la energía cinética de la

masa de agua circulante se transforma en trabajo de compresión del aire encerrado ¡a bolsa.

Para calcular la energía cinética del agua en circulación hay que determinar pre

viamente la masa de agua situada entre el embalse y el punto en que se encuentr

13

bolsa de aire. El segundo miembro de la ecuación 1.1.28 se refiere al aire ocluido en ¡a bolsa los dos primeros factores constituyen ta constante de Boyle en la compresión isoterma, siendo el tercer factor el que contiene la presión final del citado proceso termodinámica.

ÍSOO \m m=V-p ; m = n - r • ¿ - p ; m = n -~-mm • -—-

V

Pí

),37.\0 kg

6

2

2

=

1.37- 1 0 ' 0 , 9 7 -

2

-5kgf/cm .6O0l^-^~-3-

l

m

2

= -p,V

,L— Pi p = 2

z

, ,„ , , = 6.44\0 Julios 5

5

6

10 Kgf • ctrJ'

11

2

\kgf\o cm

5

/í-2.94'

-l v 2

ka • 7000nv 1 0 0 0 ^

6

m=

• ) E--mv

Y

\0 JuUos

5

: - 6 . 4 4 - 10 = - 2 , 9 4 ' 1 0 2

>

2

5(! " z45kgf/cm

5

¿ ^ 5

14 1 -Tema

. Estática de fluidos.

2-Lección.

Ecuación

fundamental de la estática

de fluidos: presión

atmosférica y presión hidrostática. Principio de Pascal. Barómetros. Manómetros.

1.2.1. ECUACION FUNDAMENTAL DE LA ESTATICA DE FLUIDOS

En el interior de un fluido en reposo se considera un paralelepí"Jdy

pedo elemental. SÍ éste se aisla del resto de la masa fluida (Fig. 1.2.1), sobre cada una de sus caras se ejercerá la fuerza derivada de la presión que ejercía el fluido suprimido. Además, actuará el peso " W'

F i g 1. 2 . 1 . de fluido.

Paralelepípedo elemental del paralelepípedo de fluido.

Si se denomina F, a la fuerza que ejerce la presión sobre una cara oculta del paralelepípedo, las ecuaciones de equilibrio de éste quedan de la siguiente forma: £>,-0 2>,-0 £f,«0

F.-F.-O P;-F,-l/-0

(1.2.1)

F;-F -0 a

Al expresar cada una de las fuerzas superficiales en función de la presión " p " existente en el centro del paralelepípedo resulta:

15

í

dpdx'

!

dpdy'

[

P

jdydz-

)dydz= 0

Jdxdz -

)d.v-dz- pgdxdydz

jdxdy 2 ,

=0

(1.2.2)

\dxdy = 0

Simplificando, las ecuaciones 1.2.2 se transforman en: ^ =0 dx

(1.2.3)

^ - P 9 =0 dy

(1.2.4)

^ = 0

(1.2.5)

Las ecuaciones 1.2.3 y 1.2.5 indican que la presión no varía en un plano horizontal olo que es lo mismo: la presión sólo depende de la variable " y ", por lo que la ecuación 1.2.4 se puede escribir en la forma: dp = -pgdy

(1.2,6)

La ecuación 1.2.6 se denomina ecuación fundamental de la estática de fluidos y expresa la variación de la presión en el interior de un fluido en reposo. Dado el sentido que se ha tomado como positivo para el eje " y " en la figura 1.2.1, de la ecuación 1.2.6 se deduce que la presión disminuye con la variable " y " es decir, con la altura topográfica. Por último, para integrar la ecuación fundamental de la estática defluidos,es preciso conocer la variación de la densidad "p" y de la gravedad "g" con la altura" y". Dos son los casos en los que la integración de la ecuación 1.2.6 ofrece resultados con mayor interés práctico y son aquellos en los que dicha ecuación se aplica ai aire y al agua. En el primer caso, se obtiene la ley de variación de la presión atmosférica con la altitud topográficay en el segundo, la ley de variación de la presión hidrostática con la profundidad.

16 12.1,1. Presión atmosférica

Para deducir la variación de la presión atmosférica, se hace la hipótesis de que el aire se comporta como un gas ideal, con lo que su densidad viene dada-por la ecuación 1.1.18:

La temperatura " T " de la atmósfera varía con la altitud topográfica " z", por lo que se necesita conocer la ley de variación de la primera con la segunda. En la troposfera, que es la capa de la atmósfera en contacto con la superficie terrestre y cuyo espesor es de 8 a 10 km en los polos y de 15 a 18 km en el Ecuador, la temperatura disminuye a razón de 0,65°C cada 100 m, aproximadamente. Resulta por tanto, que puede suponerse que la ley de variación de la temperatura con la altitud viene dada por la ecuación: 3

T - T -6,S-

I0' z

0

C 1.2.8)

siendo" T " la temperatura de la atmósfera al nivel del mar y estando expresada la 0

altitud " z " en metros. La aceleración de la gravedad depende de la altitud "z" y de la latitud Como expresión aproximada de esta dependencia puede tomarse la que recoge la ecuación: 3

6

g = 9 , 8 0 ó - 2 5 - 10" cos2ij>-3- 1 0 ~ - z

(1-2.9)

de la que se deduce que la aceleración de la gravedad al nivel del mar y a una latitud E

d e 4 5 ° , es d e 9 , 8 0 6 m / s , aproximadamente. De la ecuación 1.2.9 también se deduce que, en un estudio como el que aquí se está efectuando, resulta procedente ignorar la variación de la aceleración de la gravedad con la altitud, pudiéndose tomar como valor suficientemente representativo para " g" el deducido anteriormente.

17 Sustituyendo 1.2.8 en 1.2.7 y ésta en 1.2.6 se tiene: pP g ^ m

dp--~~

—-—dz

(1.2.10)

ecuación diferencial de variables separadas que puede escribirse en la forma: •dp J p

P„g í* dz R Jx.o T - 6 , 5 - 10~ z

(1.2.11)

3

Pa

0

de donde resulta, finalmente: f..-W.-' > l ( 6. 5 ' I 0 " j 3

J

. - [ 1-6,5- 10~ ^- I Po V oJ

(1.2.12)

T

En la ecuación anterior," p " es la presión atmosférica al nivel del mar; " p " es la 0

presión que corresponde a la altitud " z" ; " T " es la temperatura al nivel del mar, 0

expresada en "Ampara poder ser sustituida en la ecuación 1.2.10; " P " es la masa m

2

molecular del aire (28,9 g); " g" se hace igual a 9, S O ó m / s , de acuerdo con el comentario hecho anteriormente; " R" es la constante de los gases ideales (0.082a¡rrt • i/°K • mol) y

3

ó . 5 - 10" es el gradiente de temperatura en la

troposfera, expresado en °C ó " K"por metro. Sustituyendo los valores anteriores en 1.2.12 se obtiene la siguiente ley de variación de la presión atmosférica con la altitud topográfica: /

\5.25

P

3

- - = i - 6 . 5 - 10" — Po V

(1.2.13)

1.2.1.2, Presión hidrostática

Teniendo en cuenta la hipótesis de incompresibilidad de los líquidos, así como las observaciones que se hicieron con relación a la aceleración de la gravedad, la integración de la ecuación 1.2.6 para un líquido resulta inmediata, pudiéndose escribir: P

( dp--pg Jp a

1

[ dy Vy-0

(1.2.14)

18 donde" p " es la presión que existe en la superficie libre del líquido, para la que se 0

ha tomado y - O y ~ p " a la presión que corresponde a la profundidad " y " del punto considerado. La ecuación 1.2.14, integrada, queda en la forma: P-Po-PQy

(1.2.1 En la figura 1.22 se representado -en trazo continu la ecuación 1.2.15 y en t r discontinuo, el caso particul que corresponde a p ^ O , Aunque la expresión:' tribución hidrostática de presi nes" hace referencia al agua,

Fig. 1.2.2. Distribución hidrostática de presiones.

utiliza

para

denominar

cualquier distribución de presi

nes linealmente variable. La ley lineal de variación de la presión con la profundidad fue deducida L. Euler, que la publicó en 1749, en su obra "Scientia Navalis".

122. PRINCIPIO DE PASCAL

Se dice que un fluido se encuentra en equilibrio isotérmico, cuando la tem ratura en todos los puntos de la masa fluida es la misma. AI hablar de los líquidos se comentó que esta hipótesis conduce a que la densidad sólo depende de la presi y dada la reducida compresibilidad de los líquidos, ello supone en la práctica, que densidad permanece constante. La hipótesis de equilibrio térmico para un gas impli que su densidad sólo depende de la presión, suponiéndose también en lo que sigu

19 que el gas se encuentra confinado. Hechas estas consideraciones, la ecuación fundamental de la estática de fluidos permite extraer una importante y conocida aplicación práctica denominada principio de Pascal. La integración de la ecuación diferencial 1.2.6. entre dos puntos cualesquiera de un líquido en reposo encerrado en un recipiente conduce al siguiente resultado: p -p -pgh. 2

¡

(1.2.16)

siendo" h "la diferencia de profundidad entre los puntos considerados. De la ecuación 1.2.16 se deduce que si una de las presiones aumenta, la otra ha de aumentar exactamente lo mismo, ya que la diferencia ha de mantenerse constante. Para un gas ideal en equilibrio térmico, la integración de la ecuación diferencial 1.2.6 da como resultado: (1.2.17)

P]

El valor de la constante que multiplica a la diferencia de alturas entre los puntos considerados es muy pequeño -para el aire seco a 20° C dicha constante es del orden 4

1

de l O " " ! " - por lo que su producto por la diferencia de alturas que puede haber entre los puntos considerados es prácticamente cero. La ecuación 1.2.17 puede escribirse, por consiguiente, en la forma: p -p,-0 2

(1.2.18)

con lo que se pone de relieve que un aumento en la presión en un punto cualquiera del gas encerrado en un recipiente se traduce en un incremento de igual magnitud en cualquier otro punto. Las conclusiones a las que se ha llegado a partir de las ecuaciones 1.2.16 y 1.2.18 son idénticas y constituyen el principio de Pascal (1653), cuyo enunciado puede hacerse en los siguientes términos: "La presión aplicada a un fluido confinado en un recipiente se trasmite íntegramente a todos los puntos de dicho fluido". Entre las aplicaciones más importantes del principio de Pascal se puede citar

;

20

el gato hidráulico.los frenos de aire comprimido, los frenos hidráulicos y la prensa hidráulica. En los sistemas denominados hidráulicos se suele utilizar el aceite como líquido para la transmisión de fuerzas. La figura 1.2.3 representa el esquema

f

I

)

de una prensa hidráulica. En él, "v"y"w~ 2

son válvulas antirretorno del aceite y" u"

f

es una válvula de seguridad. u

Si se denomina "D¡~ y "D " al 2

diámetro del cilindro de la izquierda y al de la derecha, respectivamente, se puede escribir, en el equilibrio: F i g . 1.2.3.

Prensa

hidra'ulica. 0,25nZ)

2

2

O.ZSkD

(1.2.19)

ecuación que expresa la igualdad entre las presiones en los puntos del fluido situados por debajo de cada uno de los émbolos. Con relación a la figura 1.2.3 se deduce también: F • a - F, • ó

(1.2.20)

en aplicación de la ley de la palanca. De las ecuaciones 1.2.20 y 1.2.19 resulta:

D J

b"

C 1

2

' -

2 1

>

que muestra el poder multiplicador de la fuerza aplicada que caracteriza a la prensa hidráulica.

12.3. BAROMETROS

Se denomina barómetro al aparato que permite medir la presión que ejerce

21 la atmósfera en el lugar de observación. Generalmente, se denomina presión atmosférica al resultado de la medición, sin embargo.la norma alemana DIN' 1314 propone el empleo del término presión ambiental. Aunque en el texto se seguirá empleando la primera denominación, es conveniente tener bien presente la propuesta de la norma alemana, ya que en determinadas situaciones, su empleo resulta más adecuado. La primera determinación de la presión atmosférica fue realizada en 1644 por Evangelista Torricelli, discípulo de Galileo. Para ello, Torricelli utilizó un tubo de vidrio cerrado en uno de sus extremos y abierto en el otro, el cual, una vez lleno de mercurio introdujo, en la forma que indica la figura 1.2.4. en una cubeta que también contenía mercurio. El resultado fué que el mercurio permaneció en el interior del tubo, ocupando una altura "h" Fig. 1.2.4. Experimento de Torricelli.

d e :

".. n codo y un cuarto, y un dedo U

más" -según escribió Torricelli- y que equivale a unos 76 cm. Dado que en el espacio existente en la parte superior del tubo no podía haber entrado el aire, la presión de la columna de mercurio al nivel de la superficie libre de éste en la cubeta, estaba siendo equilibrada con la presión ejercida por la atmósfera sobre dicha superficie. La presión atmosférica se suele expresar en unidades específicas, aunque hay una cierta tendencia hacia el empleo de unidades S.I. Entre las primeras se encuentra el mm. de mercurio, al que se ha dado la denominación "torr" siendo, por tanto, 1 torr = 1 mmHg Cuando al nivel del mar, a una latitud de 45°y a 0°Cde temperatura, la presión es de 760 mm Hg se dice que hay una presión "normal" o que la presión atmosférica es de 1 atmósfera. Así pues:

22 laím -

760mmHg

En meteorología se utiliza habitualmente el milibar (mb) para expresar la presión en las cartas ¡sobáricas o mapas del tiempo. Teniendo en cuenta la equivalencia anterior así como su significado físico y utilizando los factores de conversión habituales se puede escribir: latm-76cmHg-

13,6^

1 k

1

g

3

f

c m ]Q gf

9

•

8

N

lkgf

1

°'

d i a á

l

b

a

r

i

a

l

2

\N

\dina/cm

b

a

r

lO^barias lbar

obteniéndose como resultado: l a í m - 1013mbw Cuando se trabaja en las unidades del Sistema Internacional la presión atmosférica se suele expresar en hectopascales (_hPa ) , siendo la equivalencia con el milibar la siguiente: \hPa= lmb0) c • •o

Efe O) F i g . 1. 5 . 1 . Variación de la tuerza intermolecular y de la energía potencial con la separación intermolecuiar

La situación de equilibrio estable que corresponde a " d „" implica que en ella ha de ser mínima la energía potencial" E", definida como la energía necesaria para llevar una molécula desde el infinito hasta una distancia " r " del centro de otra molécula. En efecto, definida así la energía, se tiene: dE = -E(r)dr

(1.5.1)

y en consecuencia, la gráfica de energía potencial -en trazo discontinuo en la figura 1.5.1-se obtiene por integración de la función F ( r ) . La curva de energía potencial de la figura 1.5.1 permite comprobar la estabilidad del equilibrio que corresponde a" d ": si por alguna causa se separara una molécula 0

de otra auna distancia superior a" d " , la energía potencial sería mayor que ¡a mínima 0

y como todos los sistemas evolucionan hacia la posición de energía potencial mínima, la molécula sería atraída por las fuerzas intermoleculares de atracción (fuerzas

61 cohesivas). En el caso de intentar configuraciones moleculares en las que la distancia entre los centros de las moléculas fuera inferior a " d„", resultaría que la tendencia a hacer mínima la energía potencial las separaría, es decir, se ejercerían fuerzas de repulsión. La figura 1.5.1 muestra también que los efectos de las fuerzas intermoleculares sólo se dejan sentir por debajo de una distancia "R" (10 Angstróm) que sería el radio de la esfera de influencia de cada molécula. También se observa en dicha figura que para "sacar" a una molécula de la esfera de influencia de otra es preciso deshacer los enlaces intermoleculares y ello requiere la aportación de una energía de cohesión "¿f". La intensidad de las fuerzas intermoleculares es muy superior a la de atracción entre masas, por lo que se trata de fuerzas de carácter eléctrico. Las fuerzas que se ejercen entre moléculas de una misma sustancia se denominan fuerzas cohesivas, mientras que las fuerzas que se desarrollan entre moléculas de cuerpos distintos se denominan fuerzas adhesivas.

p2. TENSION SUPERFICIAL

Las ideas expuestas en el apartado anterior servirán para explicar la propiedad, exclusiva de los líquidos, que consiste en que éstos presentan una superficie libre y tensa como consecuencia de la acción de fuerzas superficiales de extensión que se denominan genérica y globalmente, como tensión superficial. En la figura 1.5.2 se ha representado la esfera de acción correspondiente a la molécula "A", situada en el interior de un líquido y a la molécula superficial "B".

62 B

Las fuerzas cohesivas correspondientes a la molécula "A" dan lugar a una resultante nula, mientras que en la molécula "B" hay una resultante vertical y dirigida hacia el interior de la masa fluida. Esto significa que para que una molécula de interior, situada en alguna

F i g . 1 5. 2. Estera de influencia de moléculas líquidas.

esfera de influencia, pase a ser una molécula superficial

es preciso realizar un trabajo

contra las fuerzas cohesivas, trabajo que según la figura 1.5.1 viene dado por" A F " . En consecuencia, toda molécula superficial tiene una energía potencial, por lo que cabe hablar de una energía superficial que sería la suma de la energía correspondiente a cada una de las moléculas superficiales. Dado que la situación de equilibrio está asociada al mínimo de energía potencial, la superficie del líquido tenderá hacia la mínima posible, que para un contorno dado, es la superficie plana. Esta tendencia exige la aparición de fuerzas tangentes a la superficie libre del líquido que al tensar dicha superficie hacen que sea mínima. Estas fuerzas son la tensión superficial del líquido, que al mantener estirada la superficie, dan a ésta un aspecto de membrana elástica tensa. Sin embargo, la superficie libre de un líquido no se comporta como una membrana elástica ya que, como se verá, la tensión superficial no sigue la ley de Hooke. SÍ se introduce en una disolución jabonosa un bastidor metálico en forma de "U" y se cierra la abertura mediante un alambre deslizante, se observa que una vez formada la lámina de líquido en el interior del bastidor y puesto éste en posición vertical, el alambre es desplazado ligeramente hacia arriba, como consecuencia de la tensión superficial que actúa sobre él.

63

4&

El

^

dispositivo

aparece

representado en la figura 1.5.3 y

o

puede ser utilizado para medir la Ax

1

1

fj

F

F 4

tensión superficial de la siguiente forma: si T "

representa la

fuerza que equilibra la tensión

F i g . 1. 5 . 3. B a s t i d o r para la medida de la tensión superficial.

superficial se tiene: Zla = F

(1.5.2)

y por tanto: o=

F_ 21

(1.5.3)

La ecuación 1.5.3 permite determinar la tensión superficial" o" ala temperatura del ensayo a partir de la fuerza " F" -el peso del alambre deslizante más el de las pesas precisas para el equilibrio- conocida la longitud " l" del alambre. . Si incrementando ligeramente " F", se desplaza el alambre una distancia" A x" se observa que el equilibrio se alcanza con la misma fuerza " F" con la que se alcanzó antes. Sin embargo, al desplazar el alambre se ha producido un trabajo " A l / " de valor: A l / = FAx

(1.5.4)

Al/ = 2oiAx

(1.5.5)

sustituyendo 1.5.2 en 1.5.4 resulta:

pero"2¿ A.v" es precisamente el incremento de superficie de la lámina" A S " , por lo que: Al/

(1.5.6)

que expresa que la tensión superficial de un líquido es igual al trabajo que hay que realizar para aumentar en una unidad su superficie libre.

64 1.52.1. Unidades

De las ecuaciones 1.5.2 ó 1.5.6 se deduce la ecuación de dimensiones de la tensión superficial: z

[a] = MT'

(1.5.7)

o, tomando como magnitud fundamental la fuerza: ]

[a] = FL'

(1.5.8)

Las unidades de tensión superficial se deducen de la ecuación 1.5.8, siendo habitual emplear" N/m" o~ dina/cm~,

en los sistemas SI y CGS respectivamente.

La ecuación 1.5.6 muestra que también es posible expresar la tensión superficial en 2

-J/m "

2

(SI) o en " e r g / c m " (CGS).

La tensión superficial disminuye al aumentar la temperatura, como se deduce de la observación de la tabla 1.5.1, en la que se dan algunos valores de la tensión superficial del agua.

Temperatura

Tensión superficial



z

2

centipoise C l c / = 1 0 - F ) y e l centistoke ( l c S r = 1 0 ~ S O En alguno sub-sectores de la actividad industrial como es el caso del de la lubricación, se emplean frecuentemente las denominadas unidades empíricas de viscosidad que expresan ésta ec función del tiempo necesario para que un volumen determinado de líquido fluya a través de un orificio de dimensiones normalizadas a una determinada temperatura. De este tipo son los segundos saybolt-furol

{sSF\

utilizados en los Estados Unidos de Norteamérica y los segundos redwood ( ' ' R \ empleados en el Reino Unido. Como ejemplo de la difusión alcanzada por este tipo de unidades se puede citar la clasificación de aceites de lubricación hecha por la Society of Automotive Engineers, cuyas iniciales, acompañadas de un número que expresa la viscosidad en segundos, sirven para diferenciar entre sí dichos aceites. En tabla 3.2.3 puede verse la equivalencia en centipoises de la viscosidad expresada en unidades SAE.

119 Aceite

Viscosidad absoluta ( c P )

SAE • 10

160 a 220

SAE-20

220 a 300

SAE -30

300 a 430

Tabla 3.2.3. Viscosidad absoluta de aceites SAE.

Por último, en Europa en general y en España en particular, la viscosidad se expresa, en ocasiones, en grados e n g l e r C f ), que es un número adimensional, dado que el resultado del ensayo que sirve para su determinación, esto es, el tiempo 3

necesario para que 200 mm del líquido de muestra pasen a través de un tubo de 2,9 mm de diámetro y 200 mm de longitud a la temperatura de 20°C,se divide por el tiempo obtenido al realizar el ensayo con agua a esta misma temperatura. Existen diversas fórmulas que relacionan las unidades empíricas de viscosidad con la viscosidad dinámica o cinemática. Algunas de ellas pueden verse en las referencias bibliográficas n° 9 y 17.

3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad

La viscosidad de un fluido tiene su origen en las fuerzas intermoleculares y en la transferencia de la cantidad de movimiento molecular. En los líquidos, en los que las moléculas se encuentran muy próximas entre sí predomina el primero de los orígenes, siendo por tanto las fuerzas cohesivas y adhesivas las causantes de la viscosidad. Dado que ambas fuerzas dependen de la tensión superficial y ésta disminuye al aumentar la temperatura, la viscosidad

120 presentará una variación en el mismo sentido. Para el caso del agua, esta variación está recogida en la fórmula de Poiseuille: 1.78-101 + 0 . 3 7 7 - 7 + 0,0002-7"

2

en la que " T " es la temperatura del agua en grados celsius y " p " es la viscosidad absoluta en decapoises ( da P). En los gases la viscosidad depende de la transferencia de la cantidad de movimiento molecular y ésta aumenta con la temperatura, por lo tanto en un gas, la viscosidad aumenta al hacerlo la temperatura. En un gas, la viscosidad no sólo depende de la temperatura; también interviene la presión, por ello, es preciso aportar este último dato. En la tabla 3.2.4 se da, para distintas temperaturas, la viscosidad absoluta de los fluidos más interesante en ingeniería. Temperatura

Viscosidad absoluta

Agua

Aceite

Aire seco (l.Olbar)

10

130,5

23400

1,768

20

100,2

10895

1,819

30

79,7

6291

1,867

65,3

3448

1,915

54,8

2226

1,962

40 50

V

Tabla 3.2.4. Variación de la viscosidad absoluta con la temperatura.

La tendencia que se observa en los datos de la tabla de viscosidades absolutas se mantiene al considerar la viscosidad cinemática,y en este sentido conviene recordar que en los líquidos, la densidad disminuye al aumentar la temperatura -excepción H

hecha del agua entre 0 y 3,98 C - mientras que en los gases sucede lo contrario. De

121 la tabla 3.2.5 se deduce que estas variaciones actúan de forma que la influencia de la temperatura sobre la viscosidad cinemática sigue, como se ha dicho, pautas comparables a las de la variación de la viscosidad dinámica.

Temperatura

Viscosidad cinemática 6

• C°C)

2

(10- m /s) Agua

Aceite

Aire seco (l.Olbar)

10

1,30

260

14,18

20

1,00

122

15,10

30

0,80

71

16,03

40

0,65

39

16,98

50

0,55

26

17,94

Tabla 3.2.5. Variación de la viscosidad cinemática con la temperatura.

122 3.2.1.3. Medición de la viscosidad

La viscosidad absoluta puede medirse mediante el viscosímetro de placas del que ya se ha hablado en esta misma lección. Existen además otros tipos de viscosímetro y entre ellos, quizá el más interesante sea el denominado viscosímetro de Couette, cuya descripción no sólo servirá para mejorar la comprensión de las fuerzas viscosas sino que también permitirá recordar y aplicar conceptos de la mecánica de los sólidos rígidos. El viscosímetro de Couette o viscosímetro de cilindros concéntricos está constituido por un cilindro macizo de radio" R'~ (Fig. 3.2.3) que está suspendido mediante un alambre de torsión. Concéntrico con él se encuentra un segundo cilindro de radio interior ~R~ al que se puede hacergírar en torno a su eje mediante un motor. Después de introducir el líquido en estudio en el espacio existente entre los cilindros, se hace girar al cilindro Fig 3. 2. 3. Viscosímetro de Couette {Alzado-sección y planta^

exterior

con velocidad

angular constante " w",

con lo que

se crea en el líquido situado en la corona circular existente entre los cilindros el gradiente de velocidades que se muestra en el detalle de la figura 3.2.3, cuyo valor será: dv _ wR dy"R-R'

(3.2.12)

123 De la ley de Newton de la viscosidad se deduce el valor de la fuerza" F " que el fluido ejerce sobre el cilindro suspendido: F = \i^-A

(3.2.13)

expresión en la que " A " es el área lateral del cilindro exterior, es decir: A-2nRH

(3.2.14)

Sustituyendo 3.2.12 y 3.2.14 en 3.2.13 se obtiene: F = \i-^^2xRH

(3.2.15)

Esta fuerza produce un momento sobre el eje del cilindro suspendido de módulo: U . , . » - ¿ 2 g * .

(3.2.16,

Este momento producirá un giro " $" en dicho cilindro, que puede leerse en un limbo graduado. A partir de esta lectura se deduce el momento que se moviliza en el alambre de torsión: M = G , =0

; *

=2407,5fcg/

R^E -R^E l

2

R + 6750= - 2 4 0 7 , 5 + 11587,5 u

2430*g/

166 EJERCICIO N° 2

Encontrar para la compuerta AB

de

2,50 m de longitud la fuerza de compresión sobre la barra CD ejercida por la presión del agua, sabiendo que B, C y D son puntos articulados.

Comentarios a la resolución

La compuerta AB ha de estar en equilibrio, por consiguiente se ha de verificar: (1)

R-0

¡W*-0

(2)

El sistema de fuerzas que actúa sobre la compuerta está constituido por: • El sistema de fuerzas derivado de la presión hidrostática. - La reacción de la articulación. - La reacción de la barra comprimida. El sistema de fuerzas hidrostáticas está formado por una distribución espacial de a

fuerzas paralelas que puede ser reducido -ver, a este respecto, el ejercicio n 1- a una distribución mecánicamente equivalente de fuerzas paralelas situadas en el plano de simetría de la compuerta. Se obtiene así una distribución trapecial de fuerzas que, a su vez, puede ser reducida a sólo una fuerza mecánicamente equivalente.

167 Para obtener la fuerza mecánicamente equivalente se puede descomponer la distribución trapecial de fuerzas en suma de una distribución rectangulary una distribución triangular y reducir cada uno de estos subsistemas a su fuerza mecánicamente equivalente. i Un sistema plano de fuerzas paralelas distribuidas es mecánicamente equivalente a uno constituido por una fuerza de igual dirección y sentido que aquéllas; módulo igual al área de la distribución y recta de aplicación pasando por el centro de gravedad de dicho área. El sistema de fuerzas hidrostáticas quedaría asi sustituido por un sistema mecánicamente equivalente fonnado por dos fuerzas paralelas que, si se quisiera, aún se podría reducir a una sola fuerza, aunque para imponer el equilibrio esto último no es necesario. En efecto, por definición de sistemas de fuerzas mecánicamente equivalentes, la compuerta estará en equilibrio si las dos fuerzas anteriores, la reacción de la articulacióny la reacción de la barra comprimida constituyen un sistema nulo, es decir, cumplen las condiciones (l)y (2). Para obtener lo que pide el ejercicio, esto es, la fuerza en la barra comprimida, basta con aplicar la segunda de las condiciones de equilibrio y hacerlo en el punto B, es decir,

168

FR= 1500kg· l.8m=2700Kg-2.7t m

l FT=2_(F 8 -F,.,)·AB (5397. 11 - 1500);; · l, 8m

2

FT= FT

=

3507' 40kg

dT=~· AB=~·

!'

=

3 '5t

l ,8=0,6m

2,7T.

3,5~

0.9m /

~ "'0.6m -,/,

45•\ N

CD ro'

Xg Fig. 2.

IY9

3' s. o' 6

+

2. 7 . o. 9 - N CD . cos 45. o' 9 = o

N CD= 7' l 2t

169 EJERCICIO N° 3

Con referencia a ia figura, ¿cuál es la r-^r

anchura mínima "b" de la base de la presa de \

gravedad de una altura de 30 m al suponer que la presión hidrostática ascensional en la base de la presa varía uniformemente desde la altura de 30m

presión total en el borde de aguas arriba hasta el valor cero en el borde de aguas abajo y suponiendo además un empuje " P ¡" debido a una j,

b

^

capa de hielode 18.600 kgf por metro de presa y que actúa en la parte superior?. Para este estudio

se supondrá que las fuerzas resultantes de la reacción cortan a la base a un tercio del borde aguas abajo y que el peso específico del material de la presa es 2 , 5

3

T/m .

Comentarios a la resolución

El ancho mínimo requerido en la base de la presa será el necesario para que haya equilibrio.

•

El equilibrio de la presa se estudiará analizando el de una rebanada -porción de presa limitada por dos secciones transversales próximas- de un metro de espesor. El sistema de fuerzas que actúa sobre la rebanada está constituido por:

La

distribución de fuerzas hidrostáticas horizontales sobre el paramento

vertical El empuje de la capa de hielo.

170 La distribución de fuerzas hidrostáticas verticales sobre la base o fuerzas de subpresión. El peso. La reacción del terreno. Cada distribución de fuerzas hidrostáticas puede ser reemplazada por su fuerza mecánicamente equivalente con la condición de que el módulo de dicha fuerza sea igual al área de la distribución, su dirección y sentido coincidan con los de las fuerzas de la distribución y su recta de aplicación pase por el centro de gravedad del área de dicha distribución. En lugar de calcular el centro de gravedad de la rebanada de sección trapecial y

situaren él el peso, puede resultar algo más rápido descomponer dicha sección en suma

de sección rectangular y triangular y trabajar con el peso de la parte de rebanada de

sección rectangular y de sección triangular, ya que ello tiene la ventaja de que se conoce la posición de la recta de aplicación de estos dos pesos. Para que ¡a rebanada esté en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre ella han de verificar las condiciones: R-0 M* = 0

Imponiendo el equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción vertical de

terreno, lo que permite elegir el extremo aguas arriba de la base para que se cumpla e él la condición de equilibrio de momentos, condición de la cual se obtiene el valor del ancho necesario en la base de la presa.

*

b

1-

F -ytl -l* A

J 1

-/i

í l

A

3

1000rcc?/m -30m-30i/m

= - 3 0 í / m - 3 0 m = 4S0í ; y = - h = - 3 0 m = 1 Om £

3

6 m - 3 0 m - 1 m • 2, 5 ¡ / m - 4S0f ; x , - 3 m ; y , - I S m

3

l / " ^ C b - 6 ) ' 30m- l m - 2 . 5 f / m = 3 7 . 5 ( b - 6 ) í 2

x = 6 + - ( b - 6 ) ; y = ^30m=10m 2

Ry-0

2

; S + V -*W i-W -0 2

V - 450+37.5(6-6)-

; y -

+ W -S 2

156-225+22.56

172 M* = 0 4 5 0 ' 10 + 13, ó ' 3 0 + 4 5 0 - 3 + 3 7 , 5 ( 6 - 6 )

b - 6 - 1 5 6 - ^ 6 - ( 2 2 5 + 22,56)^6 = 0

4500 + 5 5 8 + 1350 + 7 5 0 - 9 0 0 + 12, 5b - S o - 1 5 0 6 - 1 5 b - 0 2

2

7,5b + 756-5508 = 0 6-22,5m

2

z

173 EJERCICIO N»4

Una compuerta circular vertical de radio "R" está articulada en los extremos del diámetro DD', h

llamando " p " a la densidad del agua, determinar a) la reacción en la articulación, b) el momento del par necesario para mantener la compuerta cerrada.

Comentarios a la resolución

En lafigura1 se muestra el alzado y la sección diametral vertical del sistema de fuerzas hidrostáticas que actúa sobre la compuerta circular. En la figura 2 puede verse la perspectiva caballera de dicho sistema de fuerzas así como la reacción que produce en la articulación D'. Dado que la distribución de fuerzas hidrostáticas constituye un sistema de fuerzas paralelas, es posible encontrar la fuerza mecámcamente equivalente a ellas. Teniendo en cuenta la simetría de la distribución con respecto al plano YZ, dicha fuerza ha de estar situada en este plano, por tanto, para determinarsu situación basta con calcular''y ~,ordenada del centro de presiones (Fig. CP

3). Para que la fuerza " F " sea mecánicamente equivalente a ¡a distribución, ha de H

producir sobre la compuerta la misma tendencia a la traslación y al giro que producía dicha distribución. Para lo primero, es preciso que el módulo de" F " sea igual al módulo H

de la resultante de la distribución, es decir,

F ~ J^gydA H

(1)

174

para lo segundo, esto es, para que la tendencia al giro de la compuerta sea la misma bajo " F „ " que bajo la distribución, una y otra deberán producir el mismo momento

respecto al eje de giro (DD') o respecto a uno cualquiera paralelo a éste, como es la recta intersección del plano de la compuerta con la superficie libre del agua (eje XX), asípues, se debe cumplir: F -y P H

C

= ¡(pgydAyj

(2)

Tanto la ecuación (1) como la (2) pueden escribirse en función de magnitudes relacionadas con el área "A" de la compuerta, ya que J ydA-y A

(3)

jy*dA-Í

(4)

c

xx

donde "ye" es ¡a ordenada del centro de gravedad del área "A" e " I x " el momento de X

inercia de dicho área respecto al eje XX. Conocidas ~ F „" e ~ y cr~, el valor de la reacción en la articulación se obtiene del equilibrio entre las fuerzas normales a la compuerta. Para que la compuerta no se abra será necesario un momento de par " M" cuyo módulo verifique la condición: M>F (y -h) H

CP

(5)

Al imponer la condición (5) se obtiene Un resultado llamativo: el momento del par

no depende de la altura de agua sobre el centro de gravedad de la compuerta (h), sino tan sólo del radio de ésta La explicación a este resultado sé deduce de lafigura4. Aunque

la distribución defuerzas de lafigura4-b corresponde aldiámetro déla compuerta situado sobre el eje YY (Fig. 4-a), el razonamiento que sigue es válido para la distribución que corresponde a cualquier cuerda paralela a dicho diámetro. En lafigura4-b es nulo el

175 momento respecto a O de la zona rectangular de la distribución, por lo que sólo ¡a distribución triangular produce momento, el cual, evidentemente, sólo depende del radio "R".

Resolución del ejercicio Aptdo. a)

176

J (pgydA)y

= pg J y dA 2

f>9' xx ycp = pgycA

l

x x

= p gf

xx

I xx yA c

= l . + AdDD

'• o "

!

¡DD-^ 'X-X-

/

l

x-x-

+

'•

¡

Y-V

l

'x'x-" rn

~ 2/ -x- : I x-x- ~ ~^ x

/= 0

2

Jo

2

r dA=

Jo

r - 2nrdr =

1

•

1

DD- ~ x-x-

2

4

0

TlR-

2

2

2

nR (R Ay

G

+ 4h ) jt

4

2

R h

k+R — 4/i

:

R =0 z

; 2 Z - F „ = 0

;

pghnR Z=* -

Aptdo. b) M>F {y ,-h) H

c

2

M>pghnR \h

f

R* M > pgn —

F i g 4. Ley de fuerzas hidrostáticas en el eje de simetría

2

R + — -h

177 EJERCICIO N° 5

Una gabarra de forma paralelepipédica rectangular de dimensiones 6 m de anchura, 18 m de longitud y 3 m de altura pesa 160.000 kg._Cuando flota en agua 3

salada(v = 1 0 2 5 f c g / m ) e l centro de gravedad de la gabarra cargada está a 1,35 m por debajo de su parte superior, a) Situar el centro de carena cuando flota horizontalmente en agua tranquila, b) Situar el centro de carena cuando ha girado 10° alrededor del eje longitudinal, c) Determinar el metacentro para la inclinación de 10°.

Comentarios a la resolución

Aptdo. a) Cuando la gabarra flota en posición normal, esto es, con su eje de flotación perpendicular al plano de flotación, el empuje de Arquímedes y elpeso son fuerzas colineales aunque aplicadas en puntos distintos: el empuje, en el centro de carena Cy el peso, en el centro de gravedad G. La condición de flotabilidad es que el peso sea igual al empuje, obteniéndose de esta igualdad el calado de ¡a gabarra del cual se deduce la posición del centro de carena.

Aptdo. b) Al aproximar la sección transversal de la gabarra a un rectángulo resulta sencillo representar su posición cuando se produce el giro de 10 . Dado que éste tiene lugar a

alrededor del efe longitudinal de la gabarra, se deduce que el área sumergida de la sección transversal ha de tener forma trapecial. El centro de carena es el centro de gravedad de ¡a sección trapecial situada en el plano de simetría transversal de la gabarra

178 Aptdo. c) El metacentro M se obtiene como intersección de la recta soporte del empuje de Arquímedes con el eje de flotación. Esta intersección aparece en detalle en la figura 5-b, deduciéndose de ella la distancia existente entre el metacentro Mylaproyección ortogonal D del centro de carena C sobre el eje de flotación. Conocida dicha distancia puede

acotarse la que existe entre el metacentro y la base de la gabarra, ya que se conoce la posición del centro de carena.

Resolución del ejercicio Aptdo. a) |EJe de flotación.

W = E

160Í =

a)

1

.025

b]

F i g . 1.

F i g 2.

Aptdo. b)

x = 0.53m Fig. 3.

179 ~ — ~ "

0,91 m

x

t

yi

A,

x, Ai

y i Ai

0,455

3

5,46

2,48

16,38

1,26

2

3,18

4,00

6,36

6,48

22,74

Figura Rectángulo

6m

[Triángulo

1,97m

8,64

Fig. A.

- X > M , 6,48 „ x= 8 . 6 4 -0,7Sm v

c

[

- Z y ^ i 22.74 , y=r= = •-• ••••• p 2 . 6 3 m 8 , 6• 4

Aptdo. c)

eje o e f l o t a c i ó n ^ M 0,37 = — — - = 2,09m t g 10" AM-AD+DM <

ba

ñ)

/

c b)

AM'O,

75 + 2 , 0 9 = 2 , 8 4 m

|

180 EJERCICIO N° 6

Un cilindro hueco de 1 m de diámetro y 1,5 m de altura pesa 400 kg. a) ¿Cuántos kilogramos de piorno de peso específico 1 1 , Zg/cm

3

deben unirse al fondo por su

parte exterior para que el cilindro flote en agua, verticalmente, con 1 m del mismo sumergido? b) ¿Cuántos kilogramos se necesitarán si se colocan en el interior del cilindro?

Comentarios a la resolución

Las fuerzas que actúan sobre el cilindro son: el peso del cilindro, el del lastre de plomoy el empuje de Arquímedes. La resultante de las dos primeras está dirigida hacia

abajo y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo compuestoy la segunda, ascendente, está aplicada en el centro de carena o centro de gravedad del volumen sumergido. Para que el cuerpofloteverticalmente el módulo del empuje y el de la resultante de los pesos deben ser iguales y sus puntos de aplicación han de estar en ¡a misma vertical La magnitud del empuje de Arquímedes que experimenta un cuerpo sumergido en un fluido dado sólo depende del volumen de dicho cuerpo, el cual se obtiene, como se sabe, al dividir el peso entre el peso específico.

Resolución del ejercicio Aptdo. a) P-E

f

. .'o.s*.i*£¡síÍS2

-l£Í_)io>ia

( n

™

F-

a

,lm

a

, 0 - 3 l l1 r t0S - n - 0 . 5 d . -l f10"-+ t ) . ' ' M J I - 0 . 5 '2- . 11 +. ~ ~ ". 1 11,2 J 11,2 _J

r

P = E ; 400fcg+P

¿

P = r í ' 0 . 5 - 10 + y y ^ ; P 2

Pb

J

t

3

n

= 423, lBAip

Aptdo. b)

P = 400+ P

P 6

2

f - K S ? ' - Y y - K - 0 . 5 - 1 • 1000 = 785,39Jfcff

P = E ; 400+ P

Fb

= 7 8 5 . 3 5 ; />„ • 385, 39kg

182 EJERCICIO N" 7

Dada la distribución de velocidad en régimen permanente y uniforme de un líquido en movimiento laminar:

r

2

v= "^"^ (. a" r ),

e n l a q u e " r " eselradiode 0

la tubería y " r " la distancia al eje del punto considerado, se pide obtener la expresión del caudal; a) a partir de la definición, b) aplicando el segundo teorema de Guldin.

Comentarios a la resolución

La distribución de velocidad que corresponde al régimen permanente y uniforme de un líquido en movimiento laminar dentro de una tubería fue deducida en la tercera lección de dinámica de fluidos. Para calcular la expresión del caudal circulante a partir de la definición, (ver la lección de cinemática de fluidos) conviene elegir un elemento diferencial de área que mantenga ¡a simetría que tiene la distribución de velocidad. Esta condición la cumple una corona circular de radio " r" y ancho diferencial, que será, por consiguiente, el elemento que se utilice en el cálculo. Dada la simetría de la distribución de velocidady teniendo en cuenta la definición a

de caudal, se deduce que éste se puede calcular a partir del 2 teorema de Guldin, ya que el caudal no es sino el volumen generado por el área de la semidistribución de velocidad cuando dicho área da una vuelta alrededor del eje de la tubería

183 Resolución del ejercicio

Aptdo. a) Q-j

vdS

dS

-2nrdr

4u¿

Q

=

- 8 l ^

n

r

°

Aptdo. b)

V = V(r)

r

o

dA-udr

dA

cM

;

/I =

dA

r dA o!

Q = 2n- r- A = 2n-

dA-2n

r„,dA

dA

'o

Pl-Pi 4u¿

Pi - P 8u¿

cM =

vdr

184 EJERCICIO N° 8

T

Por el punto A del depósito de

H

la figura sale agua con velocidad l m.

horizontal. ¿Para qué rango de

1,5m

valores de " H " pasará el agua a través de la abertura BC?

Comentarios a la resolución

La velocidad con la que sale el agua por el punto A se obtiene por aplicación del

teorema de Torricelli. Con esta velocidad se inicia un movimiento cuyo estudio pued

hacerse mediante la segunda ley de Newton. Para ello, se comenzará por representar e

diagrama de fuerzas y el de aceleraciones correspondientes a una partícula de agua de

masa "m", en un instante genérico del movimiento. La proyección de las fuerzas y de la

aceleraciones sobre dos direcciones ortogonales pennite descomponer el movimient

original curvilíneo en dos movimientos rectilíneos: uniforme en ¡a dirección del eje "x"y uniformemente variado en la dirección perpendicular.

a

La primera integración de las ecuaciones escalares obtenidas ai proyectar la 2 ley de Newton proporciona la ley de velocidades de cada uno de los movimientos rectilíneos

e integrando nuevamente, se obtiene la ley horaria de dichos movimientos. Imponien la condición de que la partícula de agua pase por la abertura BC se obtienen las dos

desigualdades que permiten acotar el intervalo de valores de "H" que lo hacen posibl

Resolución del ejercicio

mg Diagrama de fuerzas

Diagrama de aceleraciones

v = j2gH 0

R = ma

R = ma s

; 0 = ma

x

x

R = ma

; v = v = •JZgH ; x =-[2{ x

: -mg=ma

y

x-3

-2.5.

A

H

)

_ . v^-s =

í

í

i

i

s

=

AB

/ . £ l .

2

0 , 6 - ^ + ^ - ^ + 1 , 1 0 y 2-9,8

-9,87

Pomb

m.c.a. «

P

;

¿

^

m

=

° ^ . 2 i | 5 ! o,15 2-9,8

1

8

0

=

l

i

l

0

m

; ^--0.536m.c.Q. v

- ( ^ - )

„ , , . - 9 . 3 3 4

= 0.85m/s

1

10 cmJ

*'

g

D

0

2g

Y

3

*\

(

2g

Y

( y ) - 9 . 87 - 0 . 5 3 6 = 9 . 3 3 4 m

+

. , 0 0 0 Í £ .

I

i ^ . 0 .

9

3 Í £ Í

Aptdo. b) B

A

=

B +(AH) . D

A D

2

B

A

- Z A * ~ * Y

— = 6 + 0 + 0 = 6m 2g

».-*.**'||-o*o^.o.o37m

(AW)^ , = ^ ^ - 0 . 0 3 7 - 7 0 0 +(AW)„ ,. = 4,316+(A//) í

n

( o n l

,

.c.a.

198

B ~B +(.*H) + A

D

A

D

6-0,037 + 4.3)ó+(A//) (A//)

c o n (

.= l,647m

Aptdo. c)

1

£

180

'

| , .

1

0

-

;

ü l = ° ^ = 0,037m 2g 2-9.8

700 m 180m

5 t 5 s , s

Linea d e carga Línea piezométrica EH

1: 3.500

E V 1: 1 0 0

E j e r c i c i o r f 11

GRAFICO

DE

ENERGIA

*=^

f f

i v /2g= 0.0 37r 2

200 EJERCICIO N° 12

Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 era. La bomba desagua a través de una tubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada 3,20 m sobre el nivel de agua del pozo. Cuando se bombean 35 1/s las lecturas de los manómetros colocados a la entrada y salida de la bomba son -O , 32kgf 2

1 ,80kg f /cm

2

/cm y

, respectivamente. El manómetro de descarga está situado a 1,0 m

por encima de! manómetro de succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de succión de 15 cm.

Comentarios a la resolución

La potencia teórica de una bomba depende del peso específico " y" del fluido, del caudal "Q" y déla energía " ( A H) " que se comunica al fluido. B

El cálculo de la energía apañada alfluido" (A H) " se obtiene aplicando el B

teorema de Bemoulii generalizado entre las secciones aguas arriba y aguas abajo de l bomba Aplicando la definición de cauda! a las secciones consideradas se obtiene la velocidad en ellas y conocida ésta se determina la altura cinética en dichas secciones. Sumando a la altura cinética la cota y la altura de presión en cada una de las secciones se obtiene el trinomio de Bemoulii.

•

Si como suele ser habitual, el trinomio de Bemoulii se calcula en metros, es preciso aplicar factores de conversión a la altura de presión.

201 Conocido el valor del trinomio de Bemoulii en las secciones de la tubería situadas inmediatamente antes y después de la bomba, el teorema de Bernoulli generalizado permite calcular la energía comunicada difluido que, finalmente, se expresará en CV, como suele ser habitual. La pérdida de carga en la tubería de succión se deduce de la aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, entre la superficie Ubre del agua en el pozo y la sección de la tubería de aspiración situada antes de la bomba.

Resolución del ejercicio

1,0m

P-yQ(¿sH)„

2,2 m

B + {AH) l

B

=B

2

; ¿j = z + £ + | -

Fig. 1.

35- — Q.

n•

zVi

2

B, = z i + — +

Y

2g

p,

v%

Y

2g

=

„, =

0

+

1000-^

* i * 1000^ cm

B

=B

2

'

A

—_^4, n—^-m 1I Z 0.1'

1.8

B + (AH) l

'10

s

Q"

2 2 •m

15

2-9.8

4 5

_

= - 3 , 2 + 0,2 = - 3 m

4,45' = 1 + 18+ 1 .01 = 2 0 , 0 1 m 2-9,8

m

; (AH)

B

= 20.01 +3 = 23, Olm

202 P-v9(A/f),-l000^.35f ^.23.01m-805.3SÍE».-^ -10.74cJ m s 10 i * 75 — :

B

o

=

2

°

+

T

+

2 V ° *

ü

+

0

=

0

•

+ — + — = 2 , 2 + ( - 3 , 2 ) + 0,2 = - 0 , 8 m Y 2o; B =B 0

1

+

(A//)

0 J |

; 0--0,8+(AW) „ 0

; (AW ) „ , = 0, 8 m 0

I

203 EJERCICIO N° 13

Mediante una bomba se eleva agua desde un recipiente A, a una elevación de 225 m, hasta otro depósito E, a

una

elevación de 240 m a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la tubería de 30 cm, en el punto D a una elevación de 195 m, es de 5,60kgf/cm

2

.

Las pérdidas de carga son: de A a la entrada de la bomba B, 0,6 m; de la salida de 2

la bomba en C hasta D, 38v /2g

2

y desde D a E, 40v /2g.

Determinar el caudal

"Q" y la potencia en watios y en CV suministrada por la bomba. Dibujar el gráfico de energía.

Comentarios a la resolución

El caudal se obtiene al multiplicar la sección de la tubería por la velocidad media del agua en ella. La velocidad media de la corriente se obtiene directamente si se aplica el teorema de Bemoulii generalizado entre ¡as secciones D y E, ya que a! hacerlo entre éstas no interviene la aportación de energía de ¡a bomba Dado que lo habitual en el estudio de las conducciones de agua y en otras muchas situaciones es trabajar en presiones sobre la atmosférica, se supondrá que la presión en el punto D es manométrica

204 Para calcular la potencia teórica de la bomba es preciso conocer la energía" A H" comunicada a la corriente por la bomba Conocida la velocidad media de la corriente, basta aplicar el teorema de Bemoulii generalizado entre secciones de la tubería situadas aguas arriba y aguas abajo de la bomba, para que de la ecuación resultante se pueda obtener el incremento de carga hidráulica aportado por aquélla En el ejercicio se ha optado por las secciones Ay D, pero también podrían haberse considerado las secciones Ay E. Gráfico de energía Con los datos del ejercicio no queda definida la pendiente de la línea de carga. En efecto, no es posible su determinación mediante la fórmula de Darcy-Weisbach, puesto que no se conoce el valor del coeficiente de fricción " / ". Tampoco se puede deducir la pendiente dividiendo la pérdida de carga " A H " entre la longitud del tramo correspondiente " i ", ya que se desconoce este último dato. Se ha optado por reflejar esta circunstancia en el gráfico de energía representando una de las infinitas soluciones que podrían darse en función de los valores que se asignen a las variables antes citadas.

Resolución del ejercicio

BD°* 5

B

£

+

(AH)

— +— =240+0+0=240m Y 2g (A//)

205 2

B=

B

D

D

E

.„v

¿g 11

2

v

/_

2 ^ = 39

Q

- S .

.. „ t / : 11 = 3 9 —

2

v

2

; 195 + 5 6 + — = 2 4 0 + 4 0 —

+ {AH) ^

E

« - V

:

2

2g

2g

11 * 3 9 -

2

'

3

5

m

/

f

f

- ; Í 3 0 c m — í ¿ 2 - Y . 2 . 3 5 ^ - 0 . 1 6 6 ^ - ^ 4V lO^c/n/ s s ¡o /

U

166s

3

B,+ CA//)

£„ = ^,i

BD

=

+

Z

D

PD — Y

+

= F +CA//)^ 0

D

— + ^ - = 225+0+0 = 225m 2g Y _ v „„ 11 9800 1 9 5 + 5 6 + — = 195 + 5 6 + — = 2ff 39 39 2

V% ~ 2

+

b D m 6 Q

=

9

v 1 1 441 4 - 0,6 + 3 8 — = 0,6 + 38 — = - ^ 2

( A / / j ^

B

- ( A / / ) ^ + ( A W ) f

c

-

f

i

9800 S, + (Ar/)

t o m 6 a

= fi

0

+( A r / ) ^

D

; 225 + (A H )

=—

B ¡ > M B A

+

B

P= Y - Q - ¿ H - 1 0 0 0 ^3 - 0 , 1 6 6 — - 3 7 , 6 / 7 1 = 6 2 4 1 , 6 ^ ^ -

m

s

s

7 5 ^ •

^ = 6 2 4 1 . 6 - ^ - ^ - 1 ^ - ^ = 6 1 . 1 ^ s Ifcp; U / s 10 !/ 3

Gráfico de energía

= 0 , 2 8 2

40

4

~

-

= 2 6 2 . 6 - 225 = 37, 6 m

(AH)

^ - 3 Í

44!

v

2p

m

;

3 8 - | l 11 40-—= 39

= 3 8 . n = 1 0 , 7 2

11,28/n

m

= 83,22CK

1 1

3B J/29: 10,71m

(6. H JaonoDa

56m

LÍnea de carga Línea piezométric.a E V 11 500 EV 500

EH EH a a estima estima Ejercicio Ejercicio

n• n* 13

GRAFICO GRAFICO

DE DE

ENERGIA ENERGl.A

207 B

EJERCICIO N 14

Si la bomba B de la figura transfiere al fluido 70 CV cuando el caudal de agua es de 2201/s, ¿a qué altura puede situarse el depósito C? Dibujar el gráfico de energía. i

C

i

6m.-ft 45cm 1 =0,03

Comentarios a la resolución

La aplicación del teorema de Bemoulii generalizado entre las superficies libres de los depósitos hace intervenir a la altura del depósito C por lo que ésta podría ser la primera ecuación a plantear. Al hacerlo, se observa que es preciso calcularla energía comunicada por la bomba al agua " ( A H ) " así como la pérdida de carga " ( A / / ) , , _ " . c

B

La energía que apona la bomba al agua se obtiene mediante la aplicación de la fórmula que proporciona la potencia teórica de una bomba Para calcularla pérdida de carga " (A H) ^ " hay que sumar las pérdidas locaA

c

lizadas que se producen a la salida del depósito y en la llave, con las pérdidas totales debidas a la fricción en la tubería Las pérdidas de carga se obtienen en función de la velocidad media en la tubería correspondiente. La velocidad media en cada uno de los tramos de la tubería debe cumplir la ecuación de continuidad, lo que permite relacionar dichas velocidades. El cálculo de éstas ha de hacerse mediante la definición de caudal.

208 Gráfico de energía Una vez calculado el valor que toman las distintas pérdidas de carga se ve la necesidad de utilizar diferentes escalas para la representación del gráfico de energía, ya que de no hacerlo, algunas de las pérdidas no podrían ser apreciadas.

Resolución del ejercicio B

A

B

+ (AH) -B B

0

C

K

7Skam/s — - r f e ^

=

( A / / ) ^ =(A//)

w

f l f

w

yQ(AH)

ka „ m^ -

f i

* ( A W ) ^

-

^

e

p

+

-

A

W

)

^

c

+

( A / / )

-

i

-

s

, c

+

A

H

)

f

i

+

5 - - í 2g

(AW)

t ó (

.

2 -

B ¿

^ ^ 1 2 0,302g

BC

. ^ £ 0 , 4 ^ 8 - - 2g 2g 2g +

C

0 , 0 3 v\

2

£>2g

i 1 m3 ; T ^

= 23.86m

, f v}

(

B

= 11 0 0 0 -3 ^ - 22 22 00 0 0 0

(A//)

^

C

£

c

P=

7

(MT)^

Pr Vc +— +- = t f +0 + 0=tf Y 2g

= z

c

+

C

V

n

0

1 . 4 ^ 2g

AB

=

+

ule

8 2g

1 3 ^ 2g

209 V

V

$ AB ¿B " $ BC BC

n-0.45 z

2

"A»

Jl'0.3 z

2

"*c : v

BC

„ __ = 2.2^v

AB

Q O AB

._, n-0,45

u,,*

2

n0.45

1 .38 —

:

( A / / ) . - 1 , 4 — + 1 3 — - 1 .4 — + 6 5 , 8125-*= - 6 7 , 2 1 2 5 ^ = 6 , 5 3 m " ' 2ff 2g 2g 2g 2g v

y , ,

- cc

6 + 2 3 . 8 6 - H* 6. 53 W= 23,33m

Gráfico de energía (AW) i L BC

sc

d É p

.-0,097m ;

= 3,93m

-0.039m

; (A//)*, -

2,46m

-------------------

---------

-"' ro o

a +b = =3,93 m Otb 3,93m

l :3,93/120

v2/2g: 0,492m

1----------------

a 2 ;46in

23,86m

(j)

::o

.,, )loo

n Línea de carga Línea p iezométrica

EH EV

1 :100 1 : 40

EH 1:700 EV

1:200

o

,,,o ,,, ,,,::uz (j)

>

211 EJERCICIO N° 15 •

Se conectan dos depósitos, cuya diferencia de nivel es 14 m,por una tubería ABC cuyo punto más elevado B se encuentra 1,5 m por debajo del nivel del líquido en el depósito superior. El tramo A B tiene un diámetro de 200mm y el BC de 150mm. El coeficiente de fricción es 0,02 en ambas ramas. La longitud total de la tubería es de 3 km. Considerando como única pérdida localizada la que se produce a la salida del depósito A y sabiendo que la altura manométrica de presión en B es de -3 m, se pide: o

I Calcular la longitud de cada tramo de la tubería. o

2 Dibujar a estima la línea de energía y la línea piezométrica y acotar la posición de los puntos necesarios para que dichas líneas queden definidas.

Comentarios a la resolución

Como ya ha sido señalado, la superficie libre de un depósito constituye, generalmente, una sección muy adecuada para calcular en ella el valor del trinomio de Bemoulii De acuerdo con lo anterior, parece obligado considerar, al menos, la aplicación del teorema de Bernoulli entre ¡as dos superficies libres existentes en el ejercicio. Si además resulta que al tratarse de un fluido real hay que tener en cuenta las pérdidas de carga y que las pérdidas unitarias son proporcionales a la longitud de cada uno de los tramos de la conducción, es evidente que la aplicación del teorema de Bernoulli entre las superficies libres proporciona una ecuación válida para la resolución del ejercicio. En

212 la ecuación resultante aparecen cuatro incógnitas: la longitud de cada uno de los tramos (" L | " y" L ") y la velocidad media en ellos (" v ' ' y ' 'o "). Se necesitan, por tanto, tres 2

1

2

ecuaciones más. Una segunda ecuación se obtiene al imponer la condición de que la longitud total de la tubería ha de ser tres kilómetros. Dado que se conoce la altura depresióny la cota delpunto B, se obtiene una tercera ecuación sise aplica el teorema de Bemoulii entre el depósito más alto y dicho punto. Finalmente, el principio de continuidad proporcionará la cuartay última ecuación necesaria para la resolución del ejercicio.

Resolución del ejercicio

:-2 ID

Pi Y

' c

V\ 2g u Y

v? 2g

2

2

2

v 2g

Si»

4

n-0,2 4

¡/i • 2

y, = 0 , 7 5 t /

v\

0.02

2

a

| +

0 , 0 2 v%_ 0. 15 2 g

n-0,15 4

¿

z

2

: f = 1.77f[ 2

(1 , Z 7 )

2

L?

213

6

1

=g

+ (A/y) „2

S,-14

; e

CAW) , -(ñ//) 1

;

l

z

B

l o e

14-(0.5 + 0,1¿, + 0,4]¿ )—2

.2 VB

PB

V,

ul

= z + — + — - 12,5+(-3) + — - 9 , S + — Y 2g 20 2g

B

i i

fl

f l

.f (A//)

H f t i t i

-0.s|i- + ^ ^ £ | ¿ - ( 0 , 5 + 0 , 2g 0,2 2g l

(AW) ^-(0.5+0.1£ )r 1

J

1

^•9

fir5

e

+

( A H )

H

;

S

14 = 9 , S + - ! - + ( 0 , 5 + 0 ,

U,)-i-

2g 4.5-(1.5*0.U )¿ 2g

;

I

2g

y i

4

2g

'

5

1,5 + 0, I I ,

M - f O . S + O . l i . + O ^ l L , ) —. 2g 14-(0, +0 , U , + 0 . 4 U 5

^

2 ) i

5 o

i

¿

21 + 1 , 4 ¿ , - 2.25 + 0 . 4 5 ¿ , + 1 , 8 4 5 ¿ 0 , 9 5 / . , - 1 , 8 4 5 ¿ - - 18.75 2

L¡ + í

= 3000

2

0 , 9 5 I , - 1.845¿ ¿i

+

¿

0,95

- 1.845\

1

1

LA LJ 2

j =

'

2

= -18,75

=3000

2

=

U2J

(1973,6m U026.4m

/•-18.75 V

3000

i

2

U , ) ^ 2g

214 Gráfico de energía 2

v 4,5 4,5 _L = 1= ¡ — = 0,023fn 2g 1 , 5 + 0 , 1 ¿ ! 1,5 + 0, 1 • 1973,6 2

z

z

— = — 1 , 7 7 - v = 1 , 7 7 - 0,023= 0,07 m 2g 2g B = 2 * — + — - 1 2 , 5 - 3 + 0, 023 = 9 , 5 2 3 m Y 2g s

(

( A W ) , = C0,5 + 0 , u ^ ^ l - í O . S + O . 1 • 1 9 7 4 ) 0 , 0 2 3 = 4 , 5 S l m 1

B

Jof..onm

IT0,011 m

TT

fT1 '-·

,ID n

óH:4,54m

?I

l

o

;;,

•

(JI

(j)

;o

,,> ñ

\

o

'

1.974

Escala horizontal Escala vertical

o

fT1

m

m z m ;o (j)

j;

1 . 12.000

a estima

Línea de energ(a

-------

Línea pi ezométrica

~

....

f\)

1.026m

L

l

C1I

219 Práctica n» I : APARATOS PARA LA MEDIDA DE PRESIONES EN FLUIDOS

Introducción

Una de las propiedades que caracterizan a los fluidos es la de ejercer presiones sobre cualquier superficie con la que tengan contacto. Los aparatos que se utilizan para la medida de las presiones son los barómetros y los manómetros. Los primeros se emplean para la determinación de la presión atmosférica o ambiental y los segundos, para la medida de presiones en otros fluidos, tanto líquidos como gases. En la segunda lección del tema dedicado a estática de fluidos se ha descrito el fundamento de estos aparatos y se ha dado una clasificación, tanto para los barómetros como para los manómetros. Durante la realización de esta práctica se efectuará la lectura de la presión atmosférica mediante la utilización de diversos tipos de barómetro y se realizarán la correcciones por temperatura y gravedad para reducir dicha lectura a las condiciones normalizadas. La práctica incluye también la utilización de manómetros para la medida de la presión en líquidos, así como la comprobación de un manómetro de Bourdon mediante un equipo para la calibración de manómetros.

220 1

l Parte: Barómetros Equipo necesario Barómetro de Fortín, barómetro de Tonnelot y termómetro. Procedimiento Antes de leer la presión atmosférica mediante el barómetro de Fortín hay que ajustar el cero de la escala. Para ello se gira el tornillo existente en la parte inferior del depósito de mercurio hasta que la superficie libre de éste haga contacto con la punta de marfil. Queda así establecido el cero de la escala en la que se mide la altura alcanzada por la columna de mercurio. Para conocer el valor de dicha altura se desplaza la deslizadera que hay en la parte superior del aparato hasta que su borde horizontal izquierdo coincida con la superficie libre del mercurio situado en la columna y a continuación, se lee la altura en milímetros mediante el nonius existente en la deslizadera. La altura de la columna de mercurio, leída en la escala de un barómetro de Tonnelot proporciona, directamente, la presión atmosférica. Por último, se leerá la temperatura en el termómetro existente en la zona en la que se ha hecho la observación. Las lecturas efectuadas se anotarán en el espacio disponible al efecto existente en la tabla 1.1.

Presión atmosférica

Temperatura

(mm Hg) FORTIN

TONNELOT

Tabla 1.1. Datos de la práctica.

221 Fundamento teórico La figura 1 representa, esquemáticamente, el fundamento de un barómetro de mercurio: la presión atmosférica que actúa sobre la superficie libre del mercurio situado en una cubeta se ve equilibrada por la presión que ejerce una altura "h" de mercurio. Fig. 1. Barómetro mercurio

de

Aplicando la ecuación general de la estática de fluidos a los puntos 1 y 2 resulta: y -h-p . Hv

(i.i)

alm

siendo " y " el peso específico del mercurio y " P ~ Hg

alm

la presión ambiental o

atmosférica. La distinta denominación de los barómetros de mercurio tiene su origen en el procedimiento utilizado para medir la altura "h" de la columna de mercurio.

Cálfjüfis Conocida la presión atmosférica en un lugar y en unas condiciones determinadas, puede deducirse el valor de la presión atmosférica en condiciones normalizadas aplicando las correcciones por temperatura y gravedad. Dichas correcciones se efectuarán solamente a la lectura obtenida en el barómetro de Tonnelot. La corrección por temperatura se realiza mediante la tabla 1.2, obteniéndose por consiguiente, la presión que corresponde a 0°C. Esta presión se anotará en la casilla existente en la tabla 1.3.

222 TEMPERATURA

LECTURA D E L BAROMETRO

(°C)

(mmHg)

16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0 20,5 21,0 21,5 22,0 22,5

670

680

690

700

710

720

1,8 1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6

1,9 1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,6 2,6

1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7

1,9 2,0 2,0 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 2.7

1,9 2,0 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7 2,7

2,0 2,0 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 2,7 2,8

Tabla 1.2. Reducción de las lecturas barométricas a cero grados. (Se restará de la lectura barométrica el valor obtenido en la tabla)

Presión a T

Presión a 0 °C

ambiente

Tabla 1.3. Presión atmosférica reducida a 0°C.

La corrección por gravedad se realiza mediante la fórmula:

en la que "B," es la presión atmosférica a 0°C; " g * " , la aceleración local de la w

223 2

gravedad en cm/s ,

calculada medíante la fórmula propuesta al efecto por la

Organización Meteorológica Mundial (O.M.M.) y "C " la presión atmosférica en g

condiciones normalizadas. La fórmula que la O.M.M. recomienda aplicar para el cálculo de la aceleración 2

local, obteniéndose ésta encm/s ,

es: 2

g „ = 980,616(1 -0,0026373cos2 + 0,0000059cos 2