lecciones 1 a 5

UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016

Lección Nº1: El reconocimiento de argumentos 1. La argumentación

Imagine esta situación: después de algunos días de experimentar cierto malestar físico, usted decide visitar a un médico. Ya en la consulta, procede a comentar sus síntomas. Tras haberla examinado, el doctor sentencia: “La solución a su malestar es quirúrgica. Debe someterse a una operación.” Entre asombrada y asustada usted lo interpela exigiendo razones. La respuesta que obtiene es simple: “Porque lo digo yo, que soy el médico”. Seguramente usted y cualquiera en su lugar no se irá satisfecha a su casa. O bien demandará razones adicionales, o se inclinará por buscar una segunda opinión. Lo bien que hace. Lo que acaba de hacer su médico es ofrecerle un argumento. Lo que acaba de hacer usted es evaluarlo. Ahora imagine que la situación se desarrolla del siguiente modo: tras su consulta con el médico, llega a su casa y ve que las persianas están altas. Cuando se acerca a la puerta escucha música y al introducir la llave en la cerradura se da cuenta de que una de las dos cerraduras está abierta. Apenas entra grita “¡Hola! ¡No sabés lo que me dijo el médico!”. Aunque seguramente usted no sea Sherlock Holmes, no estaría lejos de la realidad al pensar que su compañera había llegado a su casa antes que usted. Lo que acaba de hacer es inferir. Tras comentar lo ocurrido a su compañera, ella parece compartir tu impresión y sugiere: "Tendrías que buscar una segunda opinión, pues operarse parece un tanto apresurado y tal vez existan otros tratamientos." La recomendación parece pertinente. Nuevamente, le han ofrecido un argumento y usted lo ha evaluado. En cada una de estas situaciones ha mediado una inferencia, argumento o razonamiento. Le ha pedido razones al médico, él se las ha ofrecido y usted las ha evaluado. Ha inferido que había alguien en casa a partir de algunos indicios. Sabía que su compañera estaba en casa aún antes de verla. Por último, la recomendación de su compañera tomó la forma de un argumento, que procedió a evaluar. Efectivamente, tanto la producción como la evaluación de argumentos son parte de nuestra vida diaria Como veremos, también son parte de las teorías y de la actividad científica. Y, más aún, resultan fundamentales para el tipo de reflexión crítica que queremos desarrollar. Por esa razón, en lo que sigue, nos concentraremos en el estudio de los argumentos y de su evaluación.

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Argumento luego existo

Ofrecemos y recibimos razones a diario. La práctica argumentativa es una parte central de nuestra conducta lingüística, y de nuestra conducta en general. Nos encontramos con argumentos en nuestros diálogos, en diarios, revistas, libros. Los producimos para persuadir a otros o a nosotros mismos. Analizamos y evaluamos argumentos, el resultado de tal actividad determina nuestras creencias, decisiones y cursos de acción. Pero, fundamentalmente, la práctica argumentativa es un elemento central de práctica científica. La investigación científica es, entre otras cosas, un tipo de actividad lingüística. Representa el esfuerzo por desarrollar y transmitir un cuerpo de conocimiento que nos permita comprender el mundo y transformarlo. Ese cuerpo de conocimiento suele ofrecerse bajo la forma de sistemas de afirmaciones, las cuales son presentadas y discutidas dentro y fuera de las comunidades científicas. En efecto, la actividad científica incluye una diversidad de tareas de diferente índole. Por un lado, se orienta al desarrollo y la aplicación de las teorías para la explicación de una amplia gama de fenómenos y para la predicción de otros nuevos. Por otra parte, involucra la búsqueda de evidencia y la formulación de razones que permitan sustentar tales teorías y hacer frente a quienes las disputen. Asimismo, supone la divulgación de investigaciones y resultados, y la participación en la toma de decisiones en el ámbito educativo, social y político. Un elemento común a todos estos aspectos del quehacer científico es que las afirmaciones involucradas en el discurso científico son articuladas inferencialmente. Por esa razón, en primer lugar, nos ocuparemos de estudiar los argumentos y de ofrecer herramientas para su evaluación. En lo que sigue trataremos de ofrecer entonces recursos conceptuales, estrategias y ocasiones de práctica. Nuestra primera misión será poder reconocer la presencia de argumentos y para ello deberemos elucidar qué son estos. Antes de embarcarnos en esa labor, ofrecemos un breve comentario sobre ciertas actitudes que el curso pretende promover. Como hemos anticipado, nuestro objeto de estudio es la ciencia y seguramente tengamos opiniones formadas en torno a ella. A lo largo del curso procuraremos explicitar estos supuestos. La actitud que pretendemos promover es una actitud crítica y el estudio de la argumentación resulta indispensable para lograrlo. Cuando de argumentar se trata, suele asumirse que el objetivo se reduce a persuadir a otro (u otros) sea como sea. En lo que respecta a la evaluación de argumentos, la motivación parece ser criticar, socavar, destruir la posición de otro. ¿Son tales objetivos y las consecuentes actitudes los que guiarán nuestros estudios? La respuesta es simple: no. Si bien el curso tiene como objetivo promover una actitud crítica, esta puede ser compatibilizada con una auténtica apertura hacia los otros y sus posiciones. Promover una actitud crítica puede tener, y es deseable que tenga, un costado constructivo. Así como es posible concebir un diálogo argumentativo como la ocasión para desafiarse, para poner a prueba la propia creatividad, carisma y recursos retóricos, para “ganar” la discusión. Así también, es posible pensarlo como el mejor contexto para

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 formar una opinión o tomar posición sobre un tema. La instancia dialógica puede ser algo más que el lugar en donde testeamos qué tan bien nos va al defender lo que creemos, puede ser una instancia constitutiva del proceso mismo de formación de nuestras creencias. Así concebido, es en estos intercambios (con otros o con nosotros mismos) donde hemos de buscar las razones que motiven nuestras posiciones y las funden. Subyace a esta actitud cierto compromiso no menor. Ser crítico respecto de los otros, pero también de nosotros mismos, nos puede conducir a revisar nuestras creencias y deberíamos estar dispuesto a ello (al menos si confiamos en nuestras propias capacidades cognitivas y reflexivas). Alentaremos al lector a pensar por sí mismo. En este proceso será crucial considerar atentamente a nuestros interlocutores (sean ellos lo que sean). Es altamente factible que ocurra que nos encontremos con que nuestra posición es insostenible a la luz de nueva información, a la luz de más o mejores razones. Puede que notemos que hay conflictos entre nuestras creencias, y que éstas (o algunas de ellas) deben ser revisadas, modificadas, incluso abandonadas. Esto puede resultar sencillo en algunos casos pero habrán otros, en particular respecto de ciertos temas controvertibles, en donde no lo será. De este modo, la actitud crítica tiene un horizonte, la búsqueda de razones que nos permitan justificar nuestras posiciones de modo coherente. Para ello deberemos cuestionar y cuestionarnos, interpelar e interpelarnos, hacer las preguntas correctas, desafiar nuestras intuiciones. Esto nos conducirá a embarcarnos en un proceso dinámico, de sostener posiciones, modificarlas y, cuando sea pertinente, suspender el juicio. Esto, no es otra cosa que el temple y la actitud apropiada para embarcamos en el estudio de la ciencia.

2. Variedades de usos lingüísticos

El primer concepto por presentar es, tal vez, el más central: se trata del de “argumento”. Nuestra presentación del mismo será por aproximaciones sucesivas, con la intención de ir precisándolo gradualmente. De modo preliminar, diremos que un argumento es un fragmento de lenguaje, ya sea escrito u oral. La aclaración obvia que hemos de hacer es que no todo fragmento del lenguaje es un argumento, lo cual indica que la anterior caracterización revela una condición necesaria pero no suficiente de la noción de argumento. El lenguaje puede ser usado para muchísimas cosas y el argumentar es solo una de ellas. Consideremos los siguientes ejemplos que ilustran algunos de los múltiples usos que puede darse al lenguaje. Solo algunos de ellos contienen argumentos ¿podría determinar cuáles?

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Ejercicio 1 ¿Cuáles de los siguientes fragmentos incluyen argumentos? a. FLAN DE DULCE DE LECHE Poner en una cacerola un litro y medio de leche, 300 grs. de azúcar refinada y una barrita de vainilla; dejar hervir hasta que se reduzca a la mitad, tome un poco de calor y esté algo espeso, retirar esto, agregar diez yemas y dos huevos batidos ligeramente; revolver todo bien, poner en una budinera acaramelada y cocinar en horno muy suave a baño María. Una vez frío, se desmolda. Para acaramelar la budinera se pone en una cacerolita 50 grs. de azúcar, se coloca al fuego hasta que se derrita y se unta con esto la budinera. (C. de Gandulfo, P., El Libro de Doña Petrona. Recetas de arte culinario, Buenos Aires, Fabril Financiera, 1955, 36 edición, p. 464) b. Todos los hombres desean por naturaleza saber. Así lo indica el amor a los sentidos; pues, al margen de su utilidad, son amados a causa de sí mismos, y el que más de todos, el de la vista. En efecto, no sólo para obrar, sino también cuando no pensamos hacer nada, preferimos la vista, por decirlo así, a todos los otros. Y la causa es que, de los sentidos, éste es el que nos hace conocer más y nos muestra muchas diferencias. (Aristóteles, Metafísica, libro I, cap. 1) c. Al despertar Gregorio Samsa una mañana, tras un sueño intranquilo, encontrose en su cama convertido en un monstruo insecto. Hallábase echado sobre el duro caparazón de su espalda, y al alzar un poco la cabeza, vio la figura convexa de su vientre oscuro, surcado por curvadas callosidades, cuya prominencia apenas si podía aguantar la colcha, que estaba visiblemente a punto de escurrirse hasta el suelo. Innumerables patas, lamentablemente escuálidas en comparación con el grosor ordinario de sus piernas, ofrecían a sus ojos el espectáculo de una agitación sin consistencia. (Kafka, La metamorfosis, traducción al español: J.L. Borges, Losada, 1996, 22ª ed., p. 15) d. Afirmo, pues, que si las dos partes del universo mencionado anteriormente, la superior [celeste] gozara hoy de movimiento diario, tal como es el caso, mientras que la inferior [sublunar] permaneciera en reposo, y si mañana se invirtiese la situación y la parte inferior gozara de movimiento mientras que la otra, el cielo, careciera de él, seríamos incapaces de apercibirnos en lo más mínimo de tal mutación, pues lo mismo veríamos hoy que mañana (…) de forma totalmente idéntica a lo que le sucede a un hombre a bordo de una nave que cree ver en movimiento los árboles situados en la orilla. (Nicolás de Oresme citado por Guillermo Boido en Noticias del Planeta Tierra. Galileo Galilei y la revolución científica, Buenos Aires, AZ, 1996, p. 55)

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Comentario

Como pudimos observar en el ejercicio 1, solo los fragmentos b y d ejemplifican un tipo de discurso argumentativo. Ello sugiere que algunas indicaciones más son necesarias para reconocer un caso de argumento. Como habíamos anticipado, el lenguaje puede ser usado para muchísimas cosas y el argumentar es solo una de ellas. De modo que si bien un argumento es un fragmento de lenguaje, ya sea escrito u oral, no todo fragmento del lenguaje es un argumento. Esto quedó ejemplificado por los casos a y c, que satisfacen el requisito de ser conjuntos de oraciones pero -tal como se ha indicado y como esperamos que el lector sospeche- no ejemplifican un tipo de discurso argumentativo. Como dijimos, algún requisito adicional a la noción de argumento ha de imponerse si queremos dejar fuera casos como a y c. En breve retomaremos esta tarea, pero antes es necesario indicar que desde una primera aproximación, un argumento es un conjunto de oraciones, más precisamente, de proposiciones. Nos ocuparemos, entonces, de precisar los conceptos de “oración” y “proposición”, y de analizar la relación entre ambos:

3. Oraciones y proposiciones

La caracterización de la noción de argumento en términos de la de proposición nos obliga a considerar la siguiente pregunta: ¿qué son las proposiciones? En el marco de la lógica, se suele hacer una distinción entre oraciones y proposiciones; dicha distinción apunta a diferenciar el soporte material (la oración) de aquello que tal oración afirma (la proposición) [1]. De este modo, mientras que la primera está asociada con un lenguaje específico y supone una cierta concatenación específica de expresiones, la segunda no. Consideremos los siguientes ejemplos: 1. Cristóbal Colón descubrió América. 2. América fue descubierta por Cristóbal Colón. ¿Qué tienen en común 1 y 2? ¿En qué se diferencian? Hay al menos un sentido obvio en que son diferentes: la oración 1 está formada por cuatro palabras, mientras que la 2, por seis. La primera comienza con la expresión "Cristóbal", mientras que la segunda con "América", y así podríamos enumerar más diferencias. Es claro que ambas oraciones no son la misma oración; sin embargo,

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 parecen decir lo mismo. En términos más precisos: ambas expresan la misma proposición. Lo mismo ocurre con las siguientes oraciones: 3. Christopher Columbus discovered America. 4. America was discovered by Christopher Columbus 5. Cristoforo Colombo scoprì l'America 6. L'America è stata scoperta da Cristoforo Colombo. Todas ellas son oraciones diferentes; sin embargo, la proposición expresada en todos los casos es la misma [2].

[1] La noción de proposición ha sido ampliamente discutida en el ámbito de la filosofía, pero su problematización excede los límites y objetivos del presente curso. Nos basta con identificarla con el contenido de la oración. [2] Este punto resultará ser importante en nuestro análisis, pues al reconstruir argumentos, no reiteraremos tal cual las oraciones, sino que las parafrasearemos. En ocasiones, incluso omitiremos expresiones u oraciones que resulten irrelevantes para la evaluación del argumento.

Ejercicio 2 Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justifique. En caso de ser falsa, piense un contraejemplo.

ACLARACIÓN: Un contraejemplo es un caso que nos sirve para probar que una oración es falsa. Por ejemplo: si quisiéramos probar la falsedad de la oración "Todos los meses del año tienen una duración de 30 días o más", bastaría con señalar que febrero es un mes y que su duración es de 28 o 29 días. Ese caso podría funcionar entonces como contraejemplo de la oración en cuestión, pues es un caso contemplado por dicha oración (es un mes del año) que no cumple con lo afirmado por ella (no tiene 30 días o más de duración). a. Dos oraciones no pueden expresar una misma proposición. b*. Una oración puede expresar dos proposiciones diferentes. (El asterisco indica que se trata de un ejercicio especialmente complejo.)

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Más sobre oraciones y proposiciones

Ahora bien, no toda oración expresa una proposición. El lenguaje se emplea de múltiples maneras y existen diferentes tipos de oraciones que permiten tal cosa, por ejemplo, las preguntas y las órdenes. Las oraciones que son de interés para nosotros son aquellas que expresan proposiciones, tal tipo de oraciones suelen ser llamadas declarativas.[1] Este tipo de oraciones afirman o niegan que algo sea el caso, son aserciones, y son tales que tiene sentido preguntarse por su verdad o falsedad. Esto último puede funcionar como un test para identificar aquellas oraciones que expresan proposiciones y distinguirlas de las que no lo hacen. Apliquemos dicho test a los siguientes ejemplos: 7. ¿Té o café? 8. Se ruega no fumar. 9. Hola mi amor 10. Te ordeno que te quedes. 11. ¡Quedate, por favor! 12. Te prohíbo que vayas a la fiesta. 13. ¡No vayas a la fiesta! 14. Racing venció ayer de visitante a Boca. 15. Las ballenas son mamíferos. 16. La raíz cuadrada de 4 es 2. ¿Cuáles de estas oraciones expresan proposiciones? Puede observarse que en el caso de las oraciones 7 a 13, no tiene sentido preguntarse si la oración es verdadera o falsa, como sí ocurre con las oraciones 14 a 17. Una evaluación del primer grupo de oraciones realizada en términos de verdad o falsedad resultaría extraña. Más adecuada sería la evaluación respecto de la pregunta 7 en términos de atingencia (podríamos preguntarnos por la oportunidad de la invitación, por

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 ejemplo); lo mismo sucede con el enunciado 9. Podríamos evaluar la legitimidad en el caso del pedido formulado en 8 y en 11, en el de la orden mencionada en 10 o respecto de la prohibición expresada por 12 (tal vez consideraríamos legítima tal prohibición si ella fuera formulada por la madre de un menor de edad, pero definitivamente no si dicho enunciado apareciese en el contexto de una discusión mantenida por una pareja); o la expresión de deseo manifestada en el enunciado 13. En el caso de las últimas tres oraciones, sí es pertinente preguntarse si son verdaderas o falsas, puesto que expresan información acerca de hechos o sucesos, y esa información puede resultar ser cierta o no. Ello nos confirma que estamos en presencia de proposiciones. La noción de proposición resulta relevante pues hemos definido la noción de argumento en términos de proposiciones. Como veremos en las próximas semanas, esta característica distintiva de las oraciones que expresan proposiciones de poder ser evaluadas en términos veritativos (es decir, como verdaderas o falsas) resultará crucial a la hora de evaluar argumentos como buenos o malos, correctos o incorrectos, válidos o inválidos.

[1] Desde ya que existen otros modos posibles de expresar proposiciones; por ejemplo, a partir de preguntas retóricas.

Ejercicio 3 ¿Cuál de las siguientes oraciones expresa la misma proposición? Empareje cada una de las oraciones con la opción que expresa la misma proposición. a. Facundo vio a Federico comerse la d. Es falso que Facundo haya visto a última galletita. Federico comerse la última galletita. b. Federico vio a Facundo comerse la e. Federico fue visto por Facundo comerse la última galletita. última galletita. c. Facundo no vio a Federico comerse f. Facundo fue visto por Federico comerse la la última galletita. última galletita.

Ejercicio 4* ¿Cuál de las siguientes oraciones expresa la misma proposición?

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 Empareje cada una de las oraciones con la opción que expresa la misma proposición. (Este es un ejercicio es similar al anterior, pero un poco más complejo. Por ello está marcado con un asterisco, pues anticipa un tema que será abordado en la próxima lección). Si María gana la lotería, se irá de viaje. Solo si María gana la lotería, se irá de viaje. María se irá de viaje siempre y cuando gane la lotería.

Es necesario que María gane le lotería para que se vaya de viaje. Es necesario y suficiente que María gane le lotería para que se vaya de viaje. Es suficiente que María gane le lotería para que se vaya de viaje.

4. El esqueleto de los argumentos: premisas y conclusión

Finalmente, hemos señalado que un argumento es un conjunto de proposiciones, pero que no todo conjunto de proposiciones constituye un argumento. Considera el siguiente fragmento: • Lo que generalmente se denomina período clásico de la economía abarca más de cien años de pensamiento económico y es casi exclusivamente británico por su orientación y sus principales aportaciones. Los tres grandes tratados del período clásico son Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations (1776) de Adam Smith (1723-1790), On the Principles of Political Economy and Taxation (1817) de David Ricardo (1772-1823) y Principles of Political Economy (1848) de John Stuart Mill (1806-1873). Poco después de la publicación de la obra de Ricardo, aparecieron además algunos pequeños anticipos de la teoría neoclásica. John Stuart Mill representa el fin del período clásico (Lendreth, H. & Colander, D., Historia del Pensamiento Económico, traducción al español: E. Rabasco, Madrid, Mc Graw Hill, 2006, 4ª ed., p. 71)

Este fragmento satisface el requisito propuesto: es un conjunto de oraciones que expresan proposiciones. De hecho, tiene todo el sentido preguntar por la verdad o falsedad de las oraciones contenidas en el fragmento. Sin embargo, no parece ser un argumento; y de hecho, no lo es. De modo que resulta necesario precisar mejor la noción de argumento. Un argumento es un conjunto de proposiciones en el cual es posible reconocer cierta estructura, en la que no todas esas proposiciones cumplen el mismo rol. En un argumento hay premisas y conclusión, alguna(s) de esas proposiciones se ofrece(n) en favor de otra; esto es: las premisas pretenden sostener, abonar, establecer, dar razones a favor de la conclusión. Los ítems b y d del ejercicio 1 son efectivamente

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 argumentos y por tanto cumplen con las condiciones que estipula la definición de argumento que se ofrece a continuación. Un argumento es un conjunto de proposiciones en donde alguna o algunas de ellas se esgrimen como razón a favor de otra que pretende ser así establecida. A las primeras (aunque recordemos que puede ser una sola) se las denomina premisas; a la última, conclusión. Desde ya que algunos argumentos logran fundar su conclusión mejor –de modo más concluyente– que otros y poder distinguir cuándo y por qué lo hacen es uno de los objetivos centrales de este curso. Pero antes de adentrarnos en la evaluación de argumentos, nos detendremos en intentar clarificar aún más su naturaleza. Una primera advertencia es que para hablar de argumentos[1], deberemos reconocer una o más premisas y una única conclusión. Desde ya que la conclusión puede ser compleja, pero siempre ha de ser única[2]. En segundo lugar –y retomando la distinción entre oración y proposición– es necesario notar que un argumento puede ser formulado en una sola oración. Como en este ejemplo: Amalia ha promocionado IPC, pues obtuvo un diez de promedio y para promocionar se requiere un promedio superior a siete. Este caso revela otra particularidad de los argumentos, y ella consiste en que si bien hemos de poder distinguir cierta estructura en los argumentos, su formulación no suele respetar un orden preciso. En otras palabras: la conclusión no necesariamente se ofrece al final del argumento; bien puede estar al comienzo del argumento (como en el ejemplo recién citado) o aparecer en algún lugar entre la primera y la última oración[3]. Hemos sugerido la vastedad de cosas que podemos hacer con el lenguaje; normalmente, en tanto usuarios competentes de este, logramos detectar qué está haciendo el emisor con sus palabras. Para ello contamos con ciertas “pistas”: el contenido de lo que se dice, el contexto en que se enuncia, los gestos de quien habla, etcétera. A modo de ejemplo: un hombre que se arrodilla en frente de su amada, la cara de disgusto de la madre que ve a su hijo con un lápiz acercarse a la pared, un estudiante que alza su mano en una clase; todos estos elementos contribuyen a interpretar (y seguramente también a anticipar) qué es lo que dirá cada uno de estos personajes. Hay también ciertas frases o expresiones que normalmente se asocian con cada uno de estos usos, y la argumentación no es una excepción. A continuación consideraremos algunas expresiones que facilitan la tarea de detectar cuándo hay un razonamiento y cuál es su estructura. Es posible distinguir, entre ellas, aquellas que son utilizadas usualmente para indicar premisas y aquellas que se emplean para indicar la presencia de la conclusión.

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 Indicadores de premisas

Indicadores de conclusión

Dado que…

Luego…

Puesto que…

Por lo tanto…

Porque…

Por consiguiente…

Pues…

En consecuencia…

En primer lugar…

lugar…,

en

segundo Concluyo que… Podemos inferir…

Además… Se sigue que… Se puede inferir del hecho… Queda demostrado entonces que… Debido a… Lo cual prueba que… Teniendo en cuenta que… Lo cual justifica… Atendiendo a… Consecuentemente… En efecto…

Desde ya que estas expresiones no son evidencia incuestionable de la existencia de un argumento[4], pero suelen funcionar como tales en la gran mayoría de los casos. Por otra parte, muchas veces no contamos con estos indicadores explícitos: habremos de atender, entonces, a qué se afirma en el argumento, cómo se articula y en qué contexto se formula.

[1] Nos referimos aquí a los argumentos tal como se formulan en el lenguaje común. Algunas de las consideraciones aquí señaladas no son pertinentes en el caso de argumentos formulados en lenguajes formales. Pero nosotros no nos ocuparemos de éstos último. [2] Esto requerirá de mayores precisiones, pues existen casos en que la conclusión de un argumento es compleja, pero también hay otros en que un mismo fragmento contiene más de un argumento (y por lo tanto más de una conclusión). Trataremos el tema más adelante, pero anticipamos que aun en esos casos, la conclusión de cada Natalia M. Buacar

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UBA XXI - IPC – 1er Cuatrimestre de 2016 razonamiento será única. [3] Sin embargo, al reconstruir los argumentos, seguiremos un orden específico de modo de facilitar su análisis. [4] Considérese, por ejemplo, el empleo de “luego” en la siguiente oración: “Ignacio estalló en llanto, luego pudo recobrar la compostura”. Tal como podrá sospechar el lector, no hay aquí argumento alguno y la palabra “luego” no funciona como indicador de conclusión.

Ejercicio 5 Determine la verdad o falsedad de las siguientes oraciones. En caso de ser falsas, imagine un contraejemplo. a. Para que un texto sea argumentativo basta que contenga una oración. b. Todo argumento contiene al menos dos oraciones.

5. Uso y mención

A lo largo de esta lección nos hemos valido del empleo de comillas como recurso para referirnos a expresiones lingüísticas. Seguiremos empleando este recurso y, por ello, nos detendremos aquí a explicarlo. Suele hacerse una distinción entre el uso de expresiones y su mención. Lo ilustraremos con el siguiente ejemplo: consideremos estas dos oraciones: • Federico es un buen amigo. • “Federico” es un nombre propio. En el primer caso la expresión “Federico” está siendo usada, pues con ella nos referimos a una persona, a una entidad extralingüística, mientras que en el segundo está siendo mencionada, pues la estamos utilizando para referirnos a la expresión misma, a la palabra “Federico”. Decimos entonces que una expresión (o incluso una oración) es usada cuando se la utiliza para referir a alguna entidad extralingüística; en cambio, cuando con ella nos referimos al lenguaje (expresiones u oraciones), se dice que está mencionada.

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Ejercicio 6 Para cada uno de los siguientes enunciados, determine si se trata de un caso de uso o de mención. a. b. c. d.

Luciana llegó tarde a la reunión. "Luciana" es un nombre propio. Diana no logró hablar con su amiga Luciana. La oración "Luciana llegó tarde a la reunión" es falsa.

 

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Lección N.º 2: Tipos de oraciones 1. Oraciones simples y complejas Hemos caracterizado brevemente las oraciones a las cuales atenderemos en relación con las proposiciones y distinguiéndolas de ellas. Sabemos también qué son y cómo identificar premisas y conclusión. En lo que sigue, nos ocuparemos del tipo de oraciones que componen argumentos. Es posible clasificar las oraciones de muy diferentes maneras; las clasificaciones que aquí presentaremos no atienden a criterios gramaticales, sino lógicos; y nos ayudarán para abordar los problemas y temas tratados más adelante. En primer lugar, distinguiremos algunos tipos de oraciones en relación con su forma. Desde ya, esas oraciones podrán desempeñar tanto el rol de premisas como el de conclusión. Será prudente considerar esta distinción a la hora de reconocer premisas y conclusión de un argumento, de reconstruirlo y –como veremos más adelante– de evaluarlo. Comencemos por advertir que hay oraciones simples y oraciones complejas. Las oraciones complejas pueden ser analizadas como combinando dos proposiciones mediante expresiones tales como “y”, “o”, “pero”, “si… entonces”. A modo de ejemplo: • • •

Leibniz y Newton inventaron de modo independiente el cálculo infinitesimal. El primero en proponer que las órbitas planetarias eran elípticas fue Kepler o Copérnico. Si Amalia recibe la medicación, entonces sanará.

Tales expresiones suelen ser denominadas expresiones lógicas y permiten combinar oraciones para dar lugar a otras más complejas 1 . También las oraciones que expresan una negación de proposiciones suelen considerarse complejas; por ejemplo: •

No han aumentado los salarios.

En este caso no se combinan proposiciones; sin embargo, se las suele                                                                                                                   1  Aquí solo consideraremos un conjunto acotado de dichas expresiones. Existe actualmente gran variedad de lógicas, las cuales pretenden sistematizar diferentes ámbitos del discurso y, para ello, identifican como vocabulario lógico un conjunto más vasto de expresiones.

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     considerar oraciones complejas porque la negación, de algún modo, incrementa la complejidad de las oraciones. Las oraciones simples son aquellas que no contienen expresiones lógicas; por ejemplo: • • •

Han aumentado los salarios. El primero en proponer que las órbitas planetarias eran elípticas fue Kepler. Amalia ha recibido la medicación.

En lo que sigue analizaremos algunas oraciones atendiendo a su forma y determinaremos cuáles son las condiciones veritativas que corresponden a cada tipo de oración; es decir: en qué condiciones estaríamos dispuestos a afirmar que la oración es verdadera y en cuáles, que es falsa (como veremos en las próximas lecciones, dichas condiciones resultarán relevantes al momento de reconstruir y evaluar argumentos). Distinguiremos negaciones, conjunciones, disyunciones (inclusivas y exclusivas), condicionales y bicondicionales. Existe también otra distinción importante a la hora de analizar los tipos de oraciones: aquella que concierne a su alcance y que nos permitirá identificar oraciones singulares, universales, existenciales y probabilísticas. Nos ocuparemos de esta diferenciación más adelante. Por último, presentaremos una distinción entre oraciones contingentes, tautológicas y contradictorias.

Ejercicio 1 Dadas las siguientes oraciones, determine en cada caso si se trata de una oración simple o compleja. a. De acuerdo con el censo realizado en 2010, la población argentina asciende a 40.117.096 habitantes. b. Leibniz y Newton desarrollaron concepciones propias sobre la naturaleza de la gravedad. c.  Si las lluvias persisten o la crecida del río continúa, entonces habrá que evacuar a los vecinos de la zona. d. Premiaron al mejor alumno con una beca universitaria en la carrera de su elección. e. No terminamos a tiempo la tarea.

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2. Las conjunciones Un primer tipo de oración compleja por considerar son las conjunciones: en ellas se afirman dos o más proposiciones. Llamaremos conyuntos a cada una de las proposiciones combinadas por la conjunción. Así por ejemplo, las siguientes oraciones tienen la forma de conjunciones: (i) El artículo 87 y el artículo 88 del Código Penal Argentino penalizan el aborto. (ii) El Código Penal Argentino penaliza el aborto en la mayoría de los casos, pero lo permite en caso de que peligre la vida de la madre. Analicemos la primera oración. En este caso se afirman conjuntamente dos cosas: que el artículo 87 del Código Penal Argentino (en adelante “CPA”) penaliza el aborto y que el artículo 88 del CPA también lo hace. Quien se compromete con la verdad de la conjunción se compromete por ello también con la verdad de cada una de las proposiciones allí combinadas. ¿En qué condiciones consideraríamos que la oración (i) es verdadera? Hay exactamente cuatro situaciones posibles en relación con esta oración: Opción 1: que el artículo 87 y el artículo 88 del CPA penalicen efectivamente el aborto (por lo tanto, ambos conyuntos resultan ser verdaderos). Opción 2: que el artículo 87 del CPA penalice efectivamente el aborto, pero el 88 no (por lo tanto, el primer conyunto resulta ser verdadero, pero el segundo es falso). Opción 3: que el artículo 87 del CPA no penalice, pero el 88 sí (por lo tanto, el primer conyunto resulta ser falso, pero el segundo es verdadero). Opción 4: que ni el artículo 87 ni el 88 del CPA penalicen efectivamente el aborto (por lo tanto, ambos conyuntos resultan ser falsos). Reproduzcamos los cuatro casos mencionados en la siguiente tabla: El artículo 87 del CPA El artículo 88 del CPA penaliza el aborto. penaliza el aborto. 1 2 3 4

Verdadera Verdadera Falsa Falsa

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Verdadera Falsa Verdadera Falsa

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     Volvamos nuestra atención nuevamente sobre la oración (i). Agreguemos dicha oración compleja a la tabla anterior. ¿Cómo deberíamos completar la columna introducida? ¿Qué valor de verdad habrá de recibir la oración (i) en cada una de las cuatro situaciones posibles?

1 2 3 4

El artículo 87 del CPA penaliza el aborto. Verdadera Verdadera Falsa Falsa

El artículo 88 del CPA (i) El artículo 87 y el 88 penaliza el aborto. del CPA penalizan el aborto. Verdadera ......... Falsa ......... Verdadera ......... Falsa .........

La línea identificada con un “1” en la tabla rescata el caso en que ambas proposiciones combinadas por la conjunción son efectivamente verdaderas y, en tal situación, parece sensato afirmar que la oración (i) es verdadera. Por el contrario, bastaría que una de ellas fuera falsa para considerar falsa a la oración compleja (porque dicha oración afirma simultáneamente ambas proposiciones, comprometiéndose así con su verdad). De modo que en los escenarios planteados por las opciones 2, 3 y 4, la oración (i) resultará falsa. Generalizaremos lo anterior en la siguiente tabla. Para cualesquiera dos oraciones A y B, diremos que la conjunción entre ambas tiene la estructura “A y B”, y que una oración tal es verdadera solo en el caso en que tanto A como B sean verdaderas; en el resto de los casos, será falsa.

1. 2. 3. 4.

A Verdadera Verdadera Falsa Falsa

B Verdadera Falsa Verdadera Falsa

AyB Verdadera Falsa Falsa Falsa

Cabe destacarse que existen diversos modos de expresar conjunciones en español. El más obvio tal vez sea “y”; pero advirtamos que la expresión “pero” puede tener una función similar. Este es el caso de la segunda oración mencionada, la oración (ii). Desde cierta perspectiva, es posible considerar que el carácter adversativo que introduce la expresión pero2 no interviene en las condiciones veritativas. Al analizar el ejemplo (ii) podremos observar que la oración posee las mismas condiciones de verdad que el caso anterior y, por tanto, puede ser considerada como una conjunción. En efecto, estaríamos dispuestos a afirmar su verdad solo en caso de que ambas                                                                                                                   2  Otras expresiones similares son “sin embargo” y “aunque”.   Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     proposiciones fueran verdaderas; es decir, si efectivamente fuese el caso que el Código Penal Argentino penaliza el aborto en la mayoría de los casos y que lo permite cuando peligra la vida de la madre. Por el contrario, bastaría que una de las partes fuese falsa para que la oración compleja también lo fuera.

Ejercicio 2 Determine si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas. Deténgase a reflexionar sobre las razones que motivaron su respuesta. a. Los gatos y los perros son mamíferos. b. 2 + 2 = 4 pero 2 + 1 también. c. Los triángulos tienen tres lados; sin embargo, solo algunos son equiláteros. d. Neuquén es una provincia argentina y limita con Salta. e. Aunque Suiza es un país europeo, no forma parte de la Unión Europea.

Ejercicio 3 Dadas dos oraciones cualesquiera (llamémoslas A y B) y puestas en conjunción formando la oración "A y B", determine cuál sería el valor veritativo de esa oración compleja si A y B tuvieran los valores que se señalan a continuación (seleccione la opción correcta en cada caso). a. Si tanto A como B son verdaderas... b. Si tanto A como B son falsas... c. Si A es verdadera pero B falsa... d. Si A es falsa pero B verdadera...

e. la conjunción es falsa. f. la conjunción es verdadera.

3. Las disyunciones Las oraciones disyuntivas o disyunciones combinan dos o más proposiciones, pero a diferencia de lo que ocurre con las conjunciones, no se afirma que las proposiciones involucradas sean el caso, sino solo que al menos una de ellas lo es. La siguiente oración es una disyunción: i.

Los argumentos a favor de la legalización del aborto se basan en negar el carácter de persona al feto o en destacar la importancia del derecho de la madre sobre su propio cuerpo.

Lo que la oración afirma es que los argumentos a favor del aborto se basan en al menos una de estas dos circunstancias: la negación del carácter de Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     persona del feto o la importancia del derecho de la madre sobre su propio cuerpo. Esta oración no excluye el caso de argumentos que refieran a ambas cuestiones, pero tampoco se compromete con ello. Este tipo de oraciones se denominan disyunciones inclusivas, y en ellas se afirma que al menos uno de los conyuntos es cierto, sin excluir la posibilidad de que ambos lo sean. Existen ciertos casos de disyunciones en las cuales se afirma que uno de los disyuntos es el caso, pero se excluye la posibilidad de que ambos lo sean; esas oraciones se denominan disyunciones exclusivas. El siguiente es un ejemplo de este tipo de oraciones: ii. O bien el feto es una persona, o bien no lo es. Esta oración afirma que es el caso que el feto es una persona o es el caso que no lo es, y que no es el caso que sea y no sea una persona. Las disyunciones exclusivas acarrean, en cierto sentido, más información que las inclusivas, pues tal tipo de disyunción afirma que al menos una de las proposiciones combinadas es cierta pero no ambas. Usualmente el carácter exclusivo o inclusivo de una disyunción está indicado por el sentido de lo que se afirma, por el contexto de emisión o por el uso de ciertas expresiones tales como “y/o” en el caso de la disyunción inclusiva o “o bien…, o bien…” para la exclusiva.3 Son ejemplos de oraciones que involucran una disyunción inclusiva las siguientes: iii. iv. v. vi.

Ariel ha estudiado más o mejor. Podrá salir cuando haya limpiado u ordenado. Joaquín o Mariela lo hicieron. Estela o Amalia vendrán.

En cambio, las siguientes son oraciones que involucran una disyunción exclusiva: vii. viii. ix. x.

Argentina ganará la final o la perderá. El menú incluye o bien postre o bien café. Dos es un número par o impar. O la puerta está cerrada o está abierta.

¿En qué condiciones estaríamos dispuestos a afirmar que la oración (iii) es falsa? ¿Y cuándo que la oración (vii) lo es? Nuevamente hay cuatro                                                                                                                   3  En lo que sigue interpretaremos las disyunciones como inclusivas excepto que exista alguna indicación de que se trata de una disyunción exclusiva.

Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     escenarios posibles en cada caso, los cuales consideraremos a partir de la siguiente tabla. ¿Cómo habrá de completarse la última columna de dichas tablas?

1. 2. 3. 4.

Ariel ha estudiado más. Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Ariel ha estudiado mejor. Verdadera Falsa Verdadera Falsa

iii. Ariel ha estudiado más o mejor. ……… ……… ……… ………

1. 2. 3. 4.

Argentina ganará la final. Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Argentina perderá vii. Argentina ganará la la final. final o la perderá. Verdadera ……… Falsa ……… Verdadera ……… Falsa ………

El caso más inmediato de falsedad en ambas oraciones es aquel en que resultasen falsas todas las proposiciones combinadas (las líneas numeradas con 4 en cada una de las tablas). Más allá de sus diferencias, tanto (iii) como (vii) afirman que al menos uno de los disyuntos es el caso; si ninguno lo es, la oración en cuestión es sin duda falsa. Por el contrario, bastaría que una de dichas proposiciones fuera verdadera para que la oración compleja [ya sea (iii) o (vii)] también lo fuera (líneas 2 y 3 de ambas tablas). Pero ¿qué ocurre en el caso extremo en que todas las proposiciones combinadas con una disyunción resultaran verdaderas (situación representada por las líneas 1)? En tal caso, la respuesta ha de atender a qué tipo de disyunción está involucrada. Si se trata de una disyunción inclusiva [como es el caso de (iii)], entonces la oración compleja será verdadera (pues se trataba de un caso contemplado aunque no garantizado por la oración disyuntiva). Si la disyunción involucrada tiene carácter exclusivo [como ocurre con (vii)], la oración compleja será falsa (recuérdese que la oración afirma que una de las dos proposiciones es el caso, pero no ambas). Resumiremos esquemáticamente lo anterior en la tabla siguiente. Para cualesquiera dos oraciones A y B, diremos que la disyunción inclusiva “A o B” es verdadera si al menos uno de los disyuntos es verdadero o si ambos lo son. Por su parte, diremos que una disyunción exclusiva del tipo “o bien A o bien B” es verdadera cuando uno (y solo uno) de los disyuntos es verdadero.

 

Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     A B AoB 1. Verdadera Verdadera Verdadera 2. Verdadera Falsa Verdadera 3. Falsa Verdadera Verdadera 4. Falsa Falsa Falsa

O bien A o bien B Falsa Verdadera Verdadera Falsa

Tal como puede observarse en la tabla, la diferencia entre la disyunción inclusiva y exclusiva radica en el caso en que ambos disyuntos son verdaderos. En el resto de los casos ambas se comportan del mismo modo.

Ejercicio 4 Dadas las siguientes oraciones, determine en cada caso si se trata o no de una disyunción; y en caso de serlo, si se trata de una disyunción inclusiva o exclusiva. Para responder tenga en cuenta en qué condiciones estaría dispuesta a aceptar la oración como verdadera. a. Damián fue a la cancha este domingo o el anterior. b. O bien Gladys tiene de mascota un gato, o bien tiene un perro. c. Juan o Pedro ganará el partido de tenis en el que se enfrentan este domingo. d. Maximiliano es amante de los deportes. e. Mariela compró un libro de cuentos o uno de poesías. f. Mariela se ejercita frecuentemente y come de modo saludable.

Ejercicio 5 a. Dadas dos oraciones cualesquiera (llamémoslas A y B) y construyendo con ellas la oración "A o B" (donde la "o" tiene carácter inclusivo), determine cuál sería el valor veritativo de esa oración compleja si A y B tuvieran los valores que se señalan a continuación (seleccione la opción correcta en cada caso). a. Si A y B son falsas... b. Si A es verdadera pero B falsa... c. Si A y B son verdaderas... d. Si A es falsa pero B verdadera…

e. la disyunción inclusiva es verdadera. f. la disyunción inclusiva es falsa.

b. Dadas dos oraciones cualesquiera (llamémoslas A y B) y construyendo con ellas la oración "O bien A, o bien B" (donde la disyunción involucrada tiene carácter exclusivo), determine cuál sería el valor veritativo de esa oración compleja si A y B tuvieran los valores que se señalan a continuación (seleccione la opción correcta en cada caso).

Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     a. Si ambos disyuntos son falsos... b. Si solo uno de los disyuntos es verdadero... c. Si ambos disyuntos son verdaderos...

d. la disyunción exclusiva es verdadera. e. la disyunción exclusiva es falsa.

4. Las oraciones condicionales 4.1 Condiciones suficientes Las oraciones condicionales son, tal vez, las que comportan mayor dificultad y respecto de las cuales tendremos que ofrecer un mayor número de aclaraciones. Atendamos a la siguiente oración: (i) Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda.

Se trata de una oración condicional. En español, este tipo de oraciones generalmente se expresa mediante la cláusula “Si… entonces…” o “Si…, …”. Este tipo de oración combina dos proposiciones pero de un modo particular: no afirma ninguna de las proposiciones combinadas; solo afirma que existe una relación entre ambas: que en el caso de darse una, se da la otra; que la verdad de una implica la verdad de la otra. Así, la oración no afirma ni se compromete con que un tsunami azote la ciudad de Buenos Aires ni tampoco con que esta se haya inundado o se inundará; simplemente destaca que existe un vínculo entre la ocurrencia de un tsunami y una eventual inundación, y que ese vínculo es tal que si se concediese lo primero, entonces habría que conceder también lo segundo. En otras palabras, que basta que ocurra un tsunami para que Buenos Aires se inunde. Las siguientes son formulaciones alternativas de la oración (i): (i’) Es suficiente que un tsunami azote Buenos Aires para que la ciudad se inunde. (i’’) Basta que un tsunami azote Buenos Aires para que la ciudad se inunde. Es importante poner de relieve un aspecto de la oración (i) y sus equivalentes (i’) y (i’’). La oración (i) pone en relación una proposición que juega el rol de condición suficiente y otra proposición que expresa qué ocurrirá en caso de que se verifique esa condición. La oración afirma que es condición suficiente que ocurra un tsunami para que se inunde la ciudad, pero no dice que sea necesario que ello ocurra para que la ciudad se inunde. En otras palabras, no afirma que la única situación capaz de ser responsable de una inundación sea un tsunami.

Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     ¿En qué condiciones diríamos que es verdadera la oración (i) y cuándo falsa? Si queremos analizar las condiciones de verdad de la oración, debemos agotar todos los casos posibles, que son nuevamente cuatro: Opción 1: un tsunami azota Buenos Aires y la ciudad se inunda. Opción 2: un tsunami azota Buenos Aires y la ciudad no se inunda. Opción 3: un tsunami no azota Buenos Aires y la ciudad se inunda. Opción 4: un tsunami no azota Buenos Aires y la ciudad no se inunda. Podemos sistematizar estas cuatro opciones en una tabla similar a las presentadas anteriormente y preguntarnos por el valor de verdad de la oración compleja (i) dado el valor de verdad de las proposiciones simples combinadas por la expresión “Si…, …”. ¿Cómo deberíamos, entonces, completar la tabla en su última columna?

1. 2. 3. 4.

Un tsunami azota Buenos Aires.

La ciudad de Buenos Aires se inunda.

Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Verdadera Falsa Verdadera Falsa

(i) Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda. …… …… …… ……

La opción 1 representa el caso en que ambas proposiciones resultan ser verdaderas y no conlleva mayores problemas; sería un caso acorde con lo que la oración condicional afirma y entonces esta resultará verdadera. La opción 2, aquella en donde la proposición que expresa la condición suficiente es verdadera (el tsunami azota Buenos Aires) y falsa la otra proposición combinada por la expresión condicional (la ciudad no se inunda) tampoco parece muy controversial. Resulta claro que en una situación así nuestro veredicto sobre el valor de verdad de la oración condicional sería que es falsa. La oración afirmaba que era suficiente un tsunami para inundar la ciudad, ocurrió el tsunami y la ciudad no se inundó; ello implica que la oración condicional (i) era falsa –como así también sus diversas variantes–. Sin embargo es posible concebir dos casos más, representados por las líneas tres y cuatro, y la decisión es más compleja allí. Consideremos primero el caso en que fuese falsa la proposición que expresa la condición suficiente (no ocurre un tsunami) mientras que la otra proposición combinada por el condicional fuera verdadera (la ciudad de Buenos Aires se inunda). ¿Cómo ha de ser evaluada la oración condicional (i)? ¿Nos debería llevar este caso a considerar falsa la oración?, ¿nos debería llevar a descartar la conexión entre tsunamis e inundaciones allí expresada? Es cierto que podemos vernos tentadas a responder que en tales circunstancias la oración es falsa, pero si se atiende a lo que la oración dice, podremos observar que ella solo afirma Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     que una inundación ocurrirá en caso de que acontezca un tsunami, que basta que ocurra un tsunami para que la ciudad se inunde, o que es suficiente que la proposición que expresa la condición suficiente sea verdadera para que lo sea la otra proposición combinada en la oración condicional. Nos dice qué ha de ocurrir en el caso de un tsunami. Sin embargo, nada afirma sobre el caso en que no se dé la condición suficiente enunciada en la oración –aquellas innumerables situaciones en donde afortunadamente no se registra tsunami alguno–. Por ello, no podemos considerar tal caso como uno que vuelve falsa la oración (i). Como vimos, la oración solo afirmaba que era suficiente que ocurriese un tsunami para que Buenos Aires se inundara, pero no que el tsunami fuera el único factor desencadenante de una inundación. Podríamos tal vez abstenernos de juzgar en uno u otro sentido y señalar que su valor queda indeterminado en tales condiciones. Pero en tanto nos restrinjamos a dos valores veritativos (verdadero y falso), deberemos afirmar que en una situación tal la oración es verdadera. Así, por ejemplo, podríamos aceptar sin conflicto alguno que la oración (i) es verdadera, a la vez que sabemos acertadamente que también otros factores serían suficientes para provocar una inundación en la ciudad (sin que medie tsunami alguno). Vale la pena insistir en que lo único que afirma la oración es que es condición suficiente que ocurra un tsunami para que Buenos Aires se inunde (pero no que sea necesario). Razones similares nos conducen a considerar la oración verdadera en el caso en que ambas proposiciones combinadas por la expresión condicional resulten ser falsas (caso contemplado en la opción 4).4 Utilizaremos un recurso formal para plasmar nuestro análisis de los enunciados condicionales y usaremos para ello el símbolo “→”. Utilizando este símbolo podremos traducir las oraciones a una expresión formal, y así especificar de modo preciso sus condiciones de verdad. Traduciremos las oraciones condicionales a expresiones de la forma: A→ B Llamaremos antecedente a aquella parte de la oración esquematizada que figura antes del símbolo → (en este caso representado por A), y a la parte de la oración que sigue a la flecha (B en nuestro esquema) lo llamaremos consecuente. En resumen: Antecedente → Consecuente

                                                                                                                  4

Esta es solo una reconstrucción posible de los enunciados condicionales, en términos de lo que se conoce como un condicional material. Desde ya, este tipo de análisis no resulta satisfactorio para todos los enunciados condicionales del lenguaje común. Sin embargo, resulta útil dados nuestros propósitos. Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     De este modo, podemos esquematizar cualquiera de las formulaciones anteriores de la oración (i) del siguiente modo: Un tsunami azota Buenos Aires → Buenos Aires se inunda O si damos un paso más y consideramos a “t” en el lugar de “Un tsunami azota Buenos Aires” y a “n” en el de “Buenos Aires se inunda”: t→n En este caso, el antecedente es “Un tsunami azota Buenos Aires” y el consecuente es “Buenos Aires se inunda”. Hemos ubicado “Un tsunami azota Buenos Aires” en el antecedente de la reconstrucción formal porque, como vimos, es una condición suficiente de que Buenos Aires se inunde, y la condición suficiente siempre ocupa el lugar del antecedente. Resumiendo lo anterior, diremos que para cualesquiera dos oraciones A y B, la oración condicional de la forma “A → B” es falsa si el antecedente A es verdadero y el consecuente B es falso; en el resto de los casos, el condicional “A → B” es verdadero. Aquí también podemos representar las diversas situaciones analizadas en una tabla:

1. 2. 3. 4.

A Verdadera Verdadera Falsa Falsa

B Verdadera Falsa Verdadera Falsa

A→B Verdadera Falsa Verdadera Verdadera

Resulta pertinente señalar que el orden en que se formula la oración no es relevante desde el punto de vista de la identificación del antecedente y del consecuente y, por tanto, de sus condiciones de verdad. En efecto, la oración: (i’’’) Buenos Aires se inunda si un tsunami azota la ciudad tiene las mismas condiciones de verdad que la oración (i), pues en algún sentido ambas oraciones “dicen” lo mismo. También en este caso, “un tsunami azota Buenos Aires” enuncia aquella condición que de resultar verdadera, nos conduciría a esperar que también lo fuera “la ciudad de Buenos Aires se inunda”. Dado que antecedente y consecuente no varían, la oración (i’’’) también podría ser reconstruida y analizada del mismo modo que procedimos con (i): Un tsunami azota Buenos Aires → Buenos Aires se inunda. Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     4.2 Condiciones necesarias Existen otras maneras de expresar enunciados condicionales; en particular, es posible expresar condiciones necesarias. Así por ejemplo, consideremos la siguiente variación sobre el ejemplo anterior: (ii) Solo si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda. O sus equivalentes: (ii’) Es necesario que un tsunami azote Buenos Aires para que la ciudad se inunde. (ii’’) Únicamente si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda. (ii’’’) Buenos Aires se inunda, solo si un tsunami azota la ciudad. Las proposiciones expresadas y combinadas por las expresiones condicionales en la oración (ii) y sus tres variantes (ii’), (ii’’) y (ii’’’) son las mismas que en la oración (i) y sus respectivas variantes: por un lado, "un tsunami azota Buenos Aires" y, por otro, "Buenos Aires se inunda". Sin embargo, el tipo de relación que establece la oración (ii) es diferente a aquella que establece (i). Lo que (ii) afirma es que la ciudad se inunda únicamente si ocurre un tsunami, es decir, que es necesario (aunque tal vez no sea suficiente) que ocurra un tsunami para que la ciudad se inunde. La modificación no es menor. Seguramente nos sintamos tentados a aceptar (i) como verdadera pero no (ii), pues sabemos que hay otros factores que pueden provocar que la ciudad se inunde y conocemos casos en que esto ha ocurrido. Ambas oraciones no resultan ser verdaderas en los mismos casos; veamos entonces cómo evaluarlas. Para determinar las condiciones veritativas de estas oraciones, analizaremos las mismas cuatro opciones que antes y podremos preguntarnos por la verdad de la oración condicional (ii) en cada una de estas situaciones.

1. 2. 3. 4.

Un tsunami azota Buenos Aires Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Buenos Aires se inunda Verdadera Falsa Verdadera Falsa

(ii) Solo si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda. …… …… …… ……

Tal como ocurría con la oración (i) de la sección anterior (“Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda”), la oración (ii) también será verdadera en una situación en donde ocurre un tsunami y Buenos Aires se Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     inunda (línea 1 de la tabla). Ahora bien, ¿en qué situación será falsa (ii)? Para responder a esta pregunta resulta fundamental tener en claro que, en este caso, "un tsunami azota Buenos Aires” cumple el rol de condición necesaria, de modo que lo que (ii) afirma es que cabe esperar una inundación solamente frente a un tsunami. Así pues, la oración (ii) resultará falsa en el caso expresado por la línea 3 de la tabla. Supongamos ahora que resultara falso que la ciudad de Buenos Aires se inunda; atendiendo a lo que señalamos anteriormente, habremos de considerar que ese ya no es un caso contemplado en la oración (ii) y que, por tanto, no podrá ser considerada falsa en tales condiciones (ya sea que resulte o no verdadera la oración que afirma la ocurrencia de un tsunami, opciones 2 y 4 de la tabla, respectivamente). La oración solo se comprometía con afirmar que de ocurrir una inundación, esta debía ser producto de un tsunami. Y, vale insistir, no garantizaba la presencia de una inundación aun frente a la ocurrencia de un tsunami. Podemos ver que la indicación es atinada si consideramos que la oración (ii) puede parafrasearse también del siguiente modo: (ii’’’’) Si Buenos Aires se inunda, un tsunami la ha azotado. Tal como ocurría con las oraciones (i), (i’), (i’’) y (i’’’), las oraciones (ii), (ii’), (ii’’), (ii’’’) y (ii’’’’) tienen las mismas condiciones veritativas a pesar de sus diferencias gramaticales. Por su parte, si bien las oraciones (i) y (ii) son ambas oraciones condicionales y son extremadamente parecidas en su formulación, no son verdaderas en las mismas condiciones. De hecho, la oración (i) es falsa en el caso representado por la opción 2, mientras que (ii) es falsa en el caso representado por la opción 3. Para el resto de los casos son ambas verdaderas. Resulta indispensable, entonces, a la hora de evaluar enunciados condicionales, determinar si el tipo de condición que se expresa tiene carácter suficiente o necesario. Para ello existen algunas pistas. Las expresiones "si... entonces...", "es suficiente que...", "basta que..." –entre otras– sirven para expresar condiciones suficientes. Por su parte, expresiones como "solo si...", "solamente si...”, "únicamente si...", "es condición necesaria que...", "es necesario que..." sirven para expresar condiciones necesarias. Podríamos presentar una tabla que explicitara las condiciones de verdad de los enunciados condicionales que involucran condiciones necesarias; sin embargo, esto no es necesario, pues es posible ofrecer un análisis unificado de los condicionales si retomamos lo presentado anteriormente. La idea será traducir ambos tipos de enunciados condicionales a un mismo esquema de la forma: Antecedente → Consecuente Resulta importante advertir una diferencia. En el caso de (ii), el antecedente no será “un tsunami azota Buenos Aires”, sino que tal lugar será ocupado por “Buenos Aires se inunda”. La razón es que, como vimos, “un tsunami azota Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     Buenos Aires” es una condición necesaria de que Buenos Aires se inunde. Por tratarse de una condición necesaria, la ubicaremos en nuestra reconstrucción formal en el consecuente. La esquematización resultante será entonces: Buenos Aires se inunda → un tsunami azota Buenos Aires O de modo más esquemático, conservando la asociación que habíamos hecho más arriba entre “t” y “Un tsunami azota Buenos Aires”, por un lado; y “n” y “Buenos Aires se inunda”, por otro: n→t Nuevamente estamos frente a una oración condicional y el criterio se repite: será falsa en el caso en que su antecedente sea verdadero y su consecuente falso. Lo que varía es aquello que ocupa el lugar de antecedente y de consecuente en la reconstrucción del enunciado condicional. En estos casos resulta apropiado considerar que lo que introduce el “solo si” es el consecuente (y no el antecedente como ocurría con el “si”); el resto de la oración será considerado el antecedente. Esto resulta compatible con nuestra advertencia de que la oración (ii) puede entenderse como expresando lo mismo que: (ii’’’’) Si Buenos Aires se inunda, un tsunami la ha azotado. La reconstrucción ofrecida captura la equivalencia que mencionábamos entre (ii) y (ii’’’’). Esto es, podemos entender la oración “Solo si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda” como afirmando que si Buenos Aires se ha inundado es porque la ha azotado un tsunami. La razón es que la oración en cuestión afirmaba que la única manera en que podía darse la inundación era si ocurría un tsunami. O en otras palabras, que basta que Buenos Aires se haya inundado para afirmar que ha ocurrido un tsunami (precisamente porque esta era la única manera en que Buenos Aires podía inundarse). Así entendido, podemos valernos de un mismo esquema para analizar tanto las oraciones que enuncian condiciones suficientes como las que involucran condiciones necesarias. Utilizaremos, entonces, el mismo símbolo y la misma tabla que antes para especificar sus condiciones de verdad. Nuevamente, diremos que para cualesquiera dos oraciones A y B, el condicional “A → B” es falso si A es verdadera y B es falsa; en el resto de los casos es verdadero. Como ocurría antes, el condicional es falso en el caso en que su antecedente (ahora “n”) resulte ser verdadero y su consecuente (ahora ocupado por “t”) resulte ser falso. La diferencia radica en cómo identificamos antecedente y consecuente en uno u otro caso. La siguiente tabla captura, entonces, las condiciones de verdad de los enunciados condicionales: Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     A B A →B 1. Verdadera Verdadera Verdadera 2. Verdadera Falsa Falsa 3. Falsa Verdadera Verdadera 4. Falsa Falsa Verdadera

Así, tal como era de esperarse, la oración (i) “Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda” resulta ser falsa cuando su antecedente (la oración “t”) es verdadero y su consecuente (la oración “n”) es falso. A la vez que (ii) “Solo si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda” resulta ser falsa en el caso en que su antecedente (ahora “n”) resulta verdadero y su consecuente (en este caso “t”) falso. En otras palabras, nuestro análisis captura el hecho de que (i) es falsa cuando ocurre que un tsunami azota Buenos Aires y, sin embargo, la ciudad no se inunda; como así también que la oración (ii) resulta falsa cuando Buenos Aires se inunda sin que un tsunami la haya azotado.

4.3 Condiciones suficientes y necesarias Muchas veces, utilizamos en español expresiones como “si… entonces…” o “… solo si…” para establecer algo más que una mera condición suficiente o una condición necesaria: en particular, cuando pretendemos establecer ambas. Por ejemplo, imagine el caso de un niño pequeño sentado a la mesa a quien su madre le advierte: “Si comés toda la comida, podrás comer el postre”. Por muy pequeño que sea el niño, si comprendió lo que su madre le ha dicho, habrá entendido que basta que coma la comida para que pueda reclamar su postre. Pero también habrá interpretado que más vale que lo haga, porque si no, se quedará sin él. En otras palabras, que es suficiente y necesario que como su comida para tener derecho a su postre. Este tipo de oraciones suelen llamarse bicondicionales, pues establecen entre las partes de la oración una relación condicional que va en ambos sentidos; afirman que la relación de condicionalidad es tanto necesaria como suficiente. Suelen formularse con expresiones como “si y solo si” o “siempre y cuando”, tal como ocurre en: (iii) Buenos Aires se inunda siempre y cuando sea azotada por un tsunami. Podemos especificar las condiciones de verdad de esta oración a la manera en que lo hicimos con las anteriores. Como cabrá imaginar, (iii) resultará verdadera cuando ambas partes sean verdaderas (caso 1). Pero también Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     será verdadera en caso de que ambas fueran falsas (caso 4), pues aquí se afirma que si hay un tsunami, la ciudad de inunda; como así también que si la ciudad se inunda es porque ocurrió un tsunami. Cuando una parte resultara verdadera y la otra falsa, sin importar cuál de ellas (casos 2 y 3), la oración bicondicional (iii) será falsa. Generalizando estas consideraciones:

1. 2. 3. 4.

A Verdadera Verdadera Falsa Falsa

B Verdadera Falsa Verdadera Falsa

A siempre y cuando B Verdadera Falsa Falsa Verdadera

En nuestra tarea de análisis y evaluación de argumentos, nos encontraremos con diferentes tipos de oraciones condicionales. En cada caso deberemos determinar de qué tipo de oración se trata e identificar adecuadamente el tipo de condición expresada.

Ejercicio 6 Determine si las siguientes oraciones son o no oraciones condicionales. a. Si un metal es sometido al calor, se dilata. b. Los quarks, los leptones y los bosones son considerados partículas elementales. h. Es una oración condicional. c. Solo si Beatriz madruga, Dios la ayudará. d. Laviña aprobará solo si estudia. e. Es necesario ser mayor de 18 años para consumir bebidas alcohólicas. f. Ramiro tiene un ocho de promedio y aprobará la i. No es una oración condicional. materia. g. Ramiro aprobará si tiene ocho como promedio. h. Ana María irá siempre y cuando Magdalena vaya.

Ejercicio 7 Retomamos las oraciones condicionales del ejercicio anterior. Determine, ahora, en qué situación resultaría falsa. Elija la opción correcta. (Recuerde que si se trata de una oración condicional habrá una única situación en que la oración resultará ser falsa; en cambio, si la oración es bicondicional, serán dos las situaciones.) a. Si un metal es sometido al calor, se dilata. El metal es sometido al calor y se dilata. El metal es sometido al calor y no se dilata. Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     El metal no es sometido al calor y no se dilata. El metal no es sometido al calor y se dilata. b. Solo si Beatriz madruga, Dios la ayudará. Beatriz madruga y Dios la ayuda. Beatriz madruga y Dios no la ayuda. Beatriz no madruga y Dios la ayuda. Beatriz no madruga y Dios no la ayuda. c. Laviña aprobará solo si estudia. Laviña estudia y aprueba. Laviña estudia y no aprueba. Laviña no estudia y aprueba. Laviña no estudia y no aprueba. d. Ramiro aprobará si tiene ocho como promedio. Ramiro tiene un ocho de promedio y aprueba. Ramiro tiene un ocho de promedio y no aprueba. Ramiro no tiene un ocho de promedio y aprueba. Ramiro no tiene un ocho de promedio y no aprueba. e. Ana María irá siempre y cuando Magdalena vaya. Ana María irá y Magdalena también. Ana María irá pero Magdalena no. Ana María no irá pero Magdalena sí. Ana María no irá y Magdalena tampoco. Ejercicio 8 Para cada oración listada a la izquierda, elija la opción que resulta equivalente a ella. (Le recomendamos que atienda a las expresiones involucradas). a. El partido se suspende, si llueve. g. Llueve y el partido se suspende. b. El partido se suspende solo si llueve. c. Es necesario que llueva para que el partido se suspenda. h. Si llueve, el partido se suspende. d. El partido se suspende y llueve. e. El partido se suspende únicamente si llueve. i. Solo si llueve, el partido se suspende. f. Es suficiente que llueva para que el partido se suspenda.

Ejercicio 9 Dadas dos oraciones, llamémoslas "p" y "q" y construyendo con ellas la Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     oración "Si p entonces q", determine cuál sería el valor veritativo de esa oración compleja si “p” y “q” tuvieran los valores que se señalan a continuación. Seleccione la opción correcta en cada caso. Le recomendamos que primero identifique qué parte funciona como antecedente y como consecuente en dicha oración. a. Si “p” es verdadera y q falsa... e. b. Si tanto “p” como “q” son verdaderas... c. Si tanto “p” como “q” son falsas... f.

la oración condicional "Si p entonces q" es verdadera. la oración condicional "Si p entonces q" es falsa.

Ejercicio 10 Dadas dos oraciones, llamémoslas "p" y "q" y construyendo con ellas la oración "Solo si p entonces q", determine cuál sería el valor veritativo de esa oración compleja si “p” y “q” tuvieran los valores que se señalan a continuación. Seleccione la opción correcta en cada caso. Le recomendamos que primero identifique qué parte funciona como antecedente y como consecuente en dicha oración. a. b. c. d.

Si “p” es verdadera y q falsa... Si tanto “p” como “q” son verdaderas... Si tanto “p” como “q” son falsas... Si “p” es falsa pero “q” verdadera…

e. la oración condicional "Solo si p entonces q" es verdadera. f. la oración condicional "Solo si p entonces q" es falsa.

Ejercicio 11 Dadas dos oraciones, llamémoslas "p" y "q" y construyendo con ellas la oración "p siempre y cuando q", determine cuál sería el valor veritativo de esa oración compleja si “p” y “q” tuvieran los valores que se señalan a continuación. Seleccione la opción correcta en cada caso. a. Si “p” es verdadera y q falsa... b. Si tanto “p” como “q” son verdaderas... c. Si tanto “p” como “q” son falsas...

e. la oración bicondicional "p siempre y cuando q" es verdadera. f. la oración bicondicional "p siempre y cuando q" es falsa.

5. Negaciones Las negaciones comportan cierto tipo de complejidad, lo cual las diferencia de las oraciones simples. Sin embargo, también se diferencian de las oraciones complejas antes consideradas, pues al negar una oración, no se la combina con otra. En las negaciones simplemente se dice que no es el caso Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     que ocurra algo. El español cuenta con innumerables modos de expresar negaciones: “es falso que”, “no”, “no es cierto que”, “nadie”, con la partícula “des-” o “in-”, entre otros. Un ejemplo es la oración siguiente: (i) Marte está deshabitado. O sus equivalentes: (i’) No es cierto que Marte está habitado. (i’’) Marte no está habitado. (i’’’) Es falso que Marte está habitado. Puede observarse que el valor de verdad de la oración depende del valor de verdad de la proposición que está siendo negada; en este caso, aquella expresada por la siguiente oración: (ii) Marte está habitado. De modo que si fuese verdadera (ii) (si efectivamente Marte está habitado), su negación [en cualquiera de sus formulaciones (i), (i’), (i’’) o (i’’’)] resultará falsa, y a la inversa. Nuevamente, podemos esquematizar lo anterior en una tabla. En este caso las opciones por considerar son únicamente dos, pues en una negación hay una única oración involucrada. Para cualquier oración, llamémosla A, diremos que su negación “No A” es verdadera si A es falsa. A la inversa, si A fuera verdadera, su negación será falsa.

1. 2.

A Verdadera Falsa

No A Falsa Verdadera

Ahora bien. Hemos identificado diferentes tipos de oraciones atendiendo a su estructura. Sin embargo, las cosas no suelen ser tan sencillas. Por lo general, una misma oración puede (y suele) involucrar distintas expresiones lógicas, las cuales denotan diferentes tipos de oraciones. ¿De qué tipo es, entonces, cada oración en cuestión? ¿Cuáles son sus condiciones veritativas? Para dar respuesta a estas preguntas, hay que tener en cuenta todo lo dicho e intentar analizar la oración paso a paso, determinando en cada uno de ellos cuál de las diferentes expresiones es la principal. Así por ejemplo, las oraciones siguientes combinan diferentes tipos de expresiones: (iii) Tomás vendrá, pero Luciana no. Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     (iv) Si Tomás viene, Luciana no vendrá. (v) No es cierto que si Tomás viene Luciana no vendrá. Podríamos preguntarnos qué tipo de oraciones son. Tomemos el caso de la primera: podemos observar que si bien la oración contiene un “pero” y un “no”, el "pero" tiene un mayor alcance que el “no” y, por tanto, puede ser considerado principal. Pues mientras que el “no” solo niega que Luciana vaya a venir, el “pero” combina tanto dicha negación como la afirmación de que Tomás sí vendrá. De modo que la oración (iii) es una conjunción que combina una proposición simple y una negación. Por lo tanto, será verdadera cuando ambas partes lo sean; esto es, cuando se dé el caso de que venga Tomás y no se dé el caso de que Luciana lo haga.

6. Enunciados singulares y universales Además de los enunciados que mencionamos en las secciones anteriores, existen otros tipos de enunciados que serán muy importantes para el desarrollo de las próximas lecciones. Preste atención a los siguientes ejemplos: (i) Bernardo Houssay ganó el premio Nobel. (ii) Todos los médicos cardiólogos hicieron la residencia. Una diferencia visible entre los enunciados (i) y (ii) es que el primero no refiere a un grupo de personas, sino a una persona específica: Bernardo Houssay. Diremos que un enunciado es singular cuando habla sobre un individuo específico. Ese individuo no tiene por qué ser una persona: la oración “El Obelisco mide más de 60 metros” también es un enunciado singular, porque habla sobre un individuo específico (sobre una “cosa”, en lenguaje ordinario; el Obelisco en nuestro caso). ¿En qué condiciones estaríamos dispuestos a admitir (i) como verdadera? Si efectivamente Houssay hubiera recibido el premio Nobel; de lo contrario (i) sería falsa. De modo que para determinar la verdad o falsedad de la oración, deberíamos analizar el caso en cuestión. A diferencia de la oración (i), la oración (ii) refiere a un conjunto: el de los médicos cardiólogos. Lo que dice la oración es que todo individuo del conjunto de médicos cardiólogos hizo la residencia médica. Estos enunciados pueden ser categorizados como universales, porque hablan sobre todos los miembros de un conjunto. Para probar que esta oración es verdadera, debemos analizar caso por caso y demostrar que la propiedad siempre se cumple; en este ejemplo, debemos determinar que cada uno de los cardiólogos haya hecho la residencia. En cambio, para probar que la oración Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     es falsa, basta con encontrar un caso que pertenezca al conjunto pero donde no se cumpla la propiedad; en nuestro ejemplo, debemos encontrar un cardiólogo que no haya hecho la residencia.

7. Enunciados existenciales y estadísticos Consideremos ahora la siguiente oración: (iii) Algunos médicos se dedican a curar niños. La oración (iii) también habla sobre médicos, pero nos dice que algunos de ellos se dedican a curar a los niños. Llamamos a estos enunciados existenciales, porque nos dicen que algunos miembros de determinado conjunto cumplen determinada propiedad. Aquí se da una situación inversa a la anterior: para probar que un enunciado existencial es verdadero, basta con encontrar un caso que pertenezca al conjunto y cumpla la propiedad (en este caso, un médico que se dedique a curar niños). En cambio, para probar que un enunciado existencial es falso, debemos recorrer todo el conjunto y mostrar que en cada uno de los casos, el individuo que pertenece al conjunto no cumple con la propiedad (en nuestro ejemplo, debemos demostrar que ningún médico se dedica a curar a los niños). Llegados a este punto, podemos mencionar un cuarto tipo de enunciados donde aparecen conceptos estadísticos o probabilísticos. Por ejemplo: (iv) La probabilidad de que un fumador desarrolle cáncer de pulmón es 0,2. Este enunciado habla sobre un conjunto determinado y asigna una probabilidad a que los miembros de ese conjunto tengan cierta propiedad. Llamamos a estas oraciones enunciados estadísticos o probabilísticos, porque asignan una cierta probabilidad a determinado fenómeno o conjunto de fenómenos. Los enunciados estadísticos pueden ser muy distintos entre sí y servir para distintos propósitos. Por ejemplo: (v) El jueves hay 60% de chances de lluvia. (vi) Es altamente improbable que en la Argentina el 20 de diciembre haga más frío que el 20 de abril. En estos casos, también se asigna un nivel de probabilidad a determinado fenómeno, aunque en (v) se asigna una probabilidad específica, mientras que en (vi) solo se dice que la probabilidad es baja. Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     Asimismo, las generalizaciones estadísticas pueden ser caracterizadas como estableciendo la frecuencia relativa de dos propiedades, la de ser F y la de ser G; es decir, establecen qué porcentaje (o, cuantitativamente, qué cantidad) de los F son G o cuál es la probabilidad de que un F sea G. Por ejemplo: (vii) El 90% de los enfermos de cáncer de pulmón son fumadores o exfumadores. (viii) La mayoría de los enfermos de cáncer de pulmón son fumadores o exfumadores. No hay una versión universalmente aceptada de cómo se prueba la verdad o falsedad de los enunciados estadísticos. Por ejemplo, si la probabilidad de que llueva el jueves es 60% y de hecho llueve el jueves, ¿podemos decir que hemos establecido la verdad del enunciado? Claramente no hemos establecido su falsedad, pero tampoco parece que hubiéramos probado que (v) fuera verdadero. Para otros enunciados como (iv), quizás haga falta leer el enunciado como un pronóstico: que una quinta parte de los fumadores desarrollarán cáncer de pulmón. Una manera de confirmar ese enunciado es hacer un seguimiento de los fumadores y ver qué proporción de ellos desarrollan cáncer de pulmón más adelante. La naturaleza de estos enunciados es materia de amplias discusiones y ahondar en sus distintas caracterizaciones excede los propósitos de este curso.

Ejercicio 12 Clasifique los siguientes enunciados. Determine si se trata de enunciados singulares, universales, existenciales o estadísticos. a. Algunos animales son mamíferos. b. Todos los planetas generan fuerza de gravedad. c. Albert Einstein predijo la existencia de gravitación cuántica. d. La probabilidad de que salga un número par en un dado de seis caras es 50%.

Ejercicio 13

Determine la verdad o falsedad de los siguientes enunciados. a. Para refutar una oración de la forma “Algunos S son P” alcanza con encontrar algunos S que no sean P. b. Para refutar una oración de la forma “Todos los S son P” alcanza con encontrar un Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     caso de S que no sea P. c. Para establecer la verdad de “Todos los S son P” alcanza con encontrar suficientes casos de S que sean P. d. No resulta sencillo probar la verdad o falsedad de los enunciados estadísticos o probabilísticos.

8. Contingencias, tautologías y contradicciones Hemos realizado una distinción entre distintos tipos de oraciones atendiendo a su forma y a sus condiciones de verdad. Hemos identificado oraciones simples y complejas, y dentro de las complejas: conjunciones, disyunciones, condicionales, bicondicionales y negaciones. Presentamos también otro nivel de análisis atendiendo al alcance de las oraciones: ya no se trataba de combinar proposiciones, sino de determinar a qué o a quiénes se refería cada oración. Eso nos permitió identificar oraciones singulares, universales, existenciales y probabilísticas. Expondremos aquí una nueva distinción. Vimos a lo largo de la lección que podemos ofrecer las condiciones de verdad de una oración atendiendo a su forma. Esto nos permitía decir en qué condiciones una oración era verdadera y en cuáles falsa. Y conocer las condiciones de verdad de una oración resulta sin duda de gran ayuda a la hora de decidir cuál es efectivamente el valor de verdad de una oración dada. Así, supongamos que sabemos que: (i)

A Diana le gusta el dulce de leche o el chocolate.

Aun cuando no conozcamos las preferencias de Diana, sabemos que para que la oración sea verdadera basta que constatemos una de las dos cosas. No hace falta que constatemos ambas. Pero si bien conocer las condiciones de verdad de una oración nos ayuda y encamina para determinar si es efectivamente verdadera o falsa, ello no alcanza para dirimir la cuestión sobre la verdad o falsedad de (i). Todo dependerá de cuáles sean las preferencias de Diana. Oraciones como la anterior se denominan contingentes, pues se trata de una oración que puede resultar ser verdadera o falsa según sea el caso. Volviendo a nuestro ejemplo, según si a Diana le gusta el dulce de leche o el chocolate. Las oraciones contingentes son, entonces, aquellas que pueden resultar verdaderas o falsas según se dé o no el estado de cosas afirmado en ellas. Dicho muy llanamente, la última palabra la tiene el mundo. Lo característico de este tipo de oraciones es que su verdad o falsedad no está determinada por su forma, sino que depende del contenido de la Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     oración. Recordemos que la forma de una oración está dada por las expresiones lógicas que contiene: “no”, “si…entonces…”, “y”, “pero”, “o”, “o bien… o bien…”, “siempre y cuando”, entre otras. Así por ejemplo, son oraciones contingentes también: • • •

Francisco es hincha de Racing. Si este gato maúlla, su dueña lo alimenta. Ayer hizo 3 ºC.

Pero también lo son oraciones como: • • • • • • • •

Buenos Aires es la capital de la Argentina y Montevideo, la de Uruguay. Viedma es la capital de la Argentina. La mayoría de los porteños viajan en subte. Los gatos tienen bigotes. Los gatos no tienen bigotes. Si un tiburón se acerca, las personas se asustan. Si un tiburón se acerca, las personas se alegran. El oro es valioso en América o en Europa.

Efectivamente, podemos pensar que algunas de las oraciones anteriores son verdaderas o que son falsas, y tener buenas razones para ello. Sin embargo, la verdad o falsedad de las oraciones anteriores es contingente: aun siendo verdaderas o falsas, su verdad o falsedad no resulta necesaria a la luz de la estructura de la oración, sino que depende de su contenido. Por el contrario, hay un tipo de oraciones cuyo valor de verdad sí queda determinado por la forma de la oración y resulta independiente de su contenido. Esta es el caso de las tautologías y de las contradicciones. Atendamos a la siguiente oración: (ii)

Diana vendrá o no vendrá.

Se trata de una oración que tiene la forma de una disyunción exclusiva. Recordemos las condiciones de verdad de este tipo de oraciones: es verdadera cuando uno (y solo uno) de los disyuntos es verdadero, y es falsa en los otros dos casos (cuando ambos son falsos o ambos son verdaderos). Ahora bien, ¿podría suceder que ambos disyuntos fueran falsos? Para ello las dos oraciones siguientes deberían ser simultáneamente falsas: (iii) Diana vendrá. (iv) Diana no vendrá. Natalia M. Buacar

 

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016     Y, como seguramente sospeche, eso es imposible. Alguna de esas opciones ha de ser cierta. Del mismo modo, tampoco podría ocurrir que ambas oraciones (iii) y (iv) resulten ser simultáneamente verdaderas. En conclusión, teniendo en cuenta esto y las condiciones de verdad de la oración disyuntiva (ii), podemos afirmar que se trata de una oración necesariamente verdadera. Suele considerarse que este tipo de oraciones son tautologías: son verdaderas en cualquier circunstancia, son necesariamente verdaderas. Y son verdaderas en virtud de su estructura o forma, la cual resulta determinada por las expresiones lógicas involucradas (en este caso “o” y “no”). Sea quien sea Diana, sean cuales sean sus planes, podemos afirmar con verdad dicha oración. Más aún, cualquier oración de la forma siguiente será verdadera: A o no A siendo A cualquier oración. Desde ya, hay otras tautologías, hay otras formas que garantizan la verdad de una oración; por ejemplo: Si A entonces A De modo semejante, hay oraciones que son falsas en toda situación posible; son falsas en virtud de su forma. Por ejemplo: (v) Llueve y no llueve Esta oración es falsa en cualquier circunstancia: no importa cuándo ni dónde la profiramos, no importa cuál sea el pronóstico meteorológico; la oración es falsa. Este tipo de oraciones son denominadas contradicciones. Cabe aclarar que todas las oraciones de la forma siguiente son contradicciones: A y no A Aunque desde ya, esto no agota el repertorio de las contradicciones. Por ejemplo, la oración siguiente es una contradicción aunque no responde a la forma anterior: (vi) No es cierto que Diana va a venir o no va a venir. Si ahora nos detenemos a analizar esta oración, veremos que era de esperar que se tratara de una contradicción pues consiste precisamente en la negación de una oración tautológica.

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Ejercicio 14 Determine si los siguientes enunciados son contingencias, tautologías o contradicciones. a. Si Hernán es presidente, Hernán es presidente. b. Buenos Aires es la capital de la Argentina. c. Te quiero y no te quiero. d. No es cierto que si Hernán es presidente, Hernán es presidente.    

Ejercicio 15 Complete las siguientes oraciones, seleccionando en cada caso uno de los siguientes términos: -

contingencia tautología contradicción

(Para resolver este ejercicio, debe tener en cuenta no solo las definiciones de las nociones en cuestión, sino también las condiciones veritativas de los diferentes tipos de oraciones estudiadas). a. Si una oración es contingente, su negación será una … b. Si una oración es una contradicción, su negación será una … c. Si una oración es una tautología y se la pone en conjunción con tautología, la oración resultante será una … d. Si una oración es una tautología y se la pone en conjunción con contradicción, la oración resultante será una … e. Si una oración es una tautología y se la pone en conjunción con contingencia, la oración resultante será una … f. Si una oración es una contradicción y se la pone en conjunción una contingencia, la oración resultante será una …

otra una una con

 

Natalia M. Buacar

 

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Lección N.º 3: Los argumentos deductivos y su evaluación 1. Evaluación de argumentos

En las lecciones anteriores ofrecimos los elementos necesarios para llevar adelante las tareas de identificación y reconstrucción de argumentos. Estamos ahora en condiciones de emprender la labor fundamental de su evaluación y, consecuentemente, de su crítica. Evaluar un argumento puede consistir, en términos muy generales, en determinar si es bueno o malo, o tal vez, qué tan bueno o qué tan malo es. La pregunta por las virtudes de un argumento contiene al menos dos cuestiones: 1. ¿Logran las premisas ofrecer apoyo a la conclusión? ¿En qué grado lo hacen? 2. ¿Son las premisas verdaderas? ¿Qué tan confiables son? Esta doble cuestión radica en la naturaleza misma de los argumentos. Al argumentar, damos por supuesto ciertos elementos (las premisas) y, en base a ellos, inferimos una determinada conclusión. Hay ciertos casos en que si bien las premisas logran ofrecer razones a favor de la conclusión –esto es: si se suponen dichas premisas, la conclusión se sigue de ellas–, esas premisas resultan cuestionables. Difícilmente estaríamos dispuestos a admitir un argumento que suponga premisas falsas o difíciles de aceptar como un buen argumento sin más. Por ejemplo: •

La Luna es de chocolate y la Tierra, de dulce de leche. Por lo tanto, la Luna es de chocolate.

En otros casos, por el contrario, las premisas son confiables; creemos en su verdad, pero por sí mismas no logran establecer la conclusión. A modo de ejemplo: •

El superclásico lo ganará Boca o River. Por lo tanto, River ganará el superclásico.

En el peor de los casos, un argumento podría adolecer de ambos defectos; en el mejor, no debería adolecer de ninguno. La lógica es una disciplina que provee claras estrategias para evaluar los argumentos en el primer sentido, es decir, permite considerar si la conclusión se encuentra apoyada y, si fuera el caso, en qué grado se encuentra apoyada por las premisas. Respecto de lo segundo, en tanto ello depende del contenido de lo afirmado en las premisas y usualmente de factores extra-lógicos, la lógica no nos proporcionará un veredicto. Sin embargo, la clarificación del argumento y la consideración de los tipos de oraciones involucradas en el argumento –que tratamos en la lección anterior– contribuyen de manera inmediata a aclarar en qué consiste afirmar la verdad de dichas oraciones, cuáles son sus condiciones de verdad, de qué tipo de evidencia disponemos y de cuál Natalia M. Buacar

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 deberíamos disponer si quisiéramos establecer su verdad, qué compromisos ulteriores se siguen de ellas, entre otras consideraciones. Nos centraremos ahora en estudiar el primer aspecto de la evaluación de argumentos mencionado antes, es decir, en evaluar el vínculo que existe entre las premisas y la conclusión de un argumento. Tal como veremos, hay distintos tipos de argumentos. Algunos de ellos ofrecen razones concluyentes a favor de la conclusión: se trata de los argumentos deductivos, que serán abordados en esta lección. En la siguiente lección, consideraremos otro tipo de argumentos: los inductivos, que si bien no ofrecen razones que logran establecer de modo definitivo la conclusión, sí ofrecen algún tipo de razón a favor de ella. A su vez, veremos que hay distintos tipos de argumentos inductivos y cada uno de ellos nos obligará a considerar criterios de evaluación específicos. En lo que sigue nos adentraremos en la evaluación de argumentos deductivos.

2. Tipos de argumentos: deductivos e inductivos

Como vimos, los argumentos son parte central de nuestra práctica lingüística. Por medio de ellos obtenemos conclusiones a partir de la información de la que disponemos, damos razones, establecemos enunciados a partir de otros enunciados. Los argumentos son fragmentos del lenguaje en donde lo que se pretende es establecer una conclusión a partir de ciertas premisas. Ahora bien, puede resultar que las razones que damos sean concluyentes o que nos limitemos a ofrecer alguna razón. Atendiendo a esto puede formularse una distinción entre argumentos deductivos y argumentos inductivos, respectivamente. Los argumentos deductivos ofrecen premisas de las cuales se sigue concluyentemente la conclusión. Los inductivos tienen menores pretensiones: ofrecen algunas razones a favor de la conclusión[1]. Considere los siguientes argumentos. ¿Cuáles le parece que son deductivos y cuáles inductivos? (Para responder tenga en cuenta cuán fuerte es el apoyo que las premisas otorgan a la conclusión). • Todos los perros son mamíferos Simón es un perro Simón es mamífero • Simón es un perro y mueve la cola Simón es un perro • Simón o Ñata robaron el hueso Ñata no fue

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 Simón robó el hueso • Simón es un perro y mueve la cola Frida es una perra y mueve la cola Ñata es una perra y mueve la cola Tim es un perro y mueve la cola Los perros mueven la cola • La mayoría de los perros mueven la cola Tim es un perro Tim mueve la cola • Simón es un perro y mueve la cola Frida es una perra y mueve la cola Ñata es una perra y mueve la cola Tim es un perro Tim mueve la cola Deténgase a reflexionar: ¿cuál de ellos es inductivo y cuál deductivo? Compartamos la respuesta: los tres primeros argumentos son deductivos y los tres últimos son inductivos. Las razones que se ofrecen en los primeros bastan para asegurar la conclusión. En los últimos tres casos, ello no ocurre, aunque igualmente se ofrece algún tipo de razones. En la próxima lección veremos qué tan buenas pueden ser estas. -----------------------------[1] Dicha clasificación puede hacerse atendiendo a otros criterios. Por ejemplo, I. Copi (1953) y J. M. Comesaña (1998) distinguen los argumentos deductivos de los inductivos en función de las pretensiones de quien los formula. No hemos adoptado este criterio pues conlleva ciertas dificultades. En primer lugar, no siempre resulta claro cuáles son las pretensiones de los hablantes (aun para ellos mismos). En segundo lugar, conduce a la extraña consecuencia de que existan argumentos deductivos inválidos.

3. Argumentos deductivos

Tal como vimos, en el caso de los argumentos deductivos la conclusión queda establecida concluyentemente a partir de las premisas, de modo que si estas son el caso, la conclusión también debe serlo. Es por esta razón que se suele asociar a los argumentos deductivos la noción modal de necesidad, y así decimos que la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. De modo que si las premisas son

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 verdaderas, la conclusión también lo es. O de modo equivalente: resulta imposible que se den las premisas (que sean verdaderas) y no la conclusión. Así, quien acepte las premisas debe comprometerse con la conclusión. También suele asociarse a este tipo de argumentos otro aspecto: la formalidad. En este tipo de argumentos, la pretendida necesidad con que se sigue la conclusión de las premisas parece estar asociada con la forma o estructura de dicho argumento. Hay algo en la estructura del argumento que garantiza que si las premisas fueran verdaderas, la conclusión también lo sería. Consideremos el siguiente ejemplo: •

Argentina limita con Chile y con Uruguay, por lo tanto Argentina limita con Chile.

Se trata de un argumento deductivo pues ofrece razones concluyentes (“Argentina limita con Chile y con Uruguay”) para la conclusión (“Argentina limita con Chile”). Ahora bien, dicho logro no depende de que sea efectivamente el caso que las premisas son verdaderas; sino de que si fueran verdaderas, la conclusión también debería serlo. Ello parece estar asociado a que el argumento tiene cierta estructura: A y B, por lo tanto A Siendo A y B enunciados cualesquiera. O de modo más gráfico aún: AyB A Podemos poner en el lugar de A y de B los enunciados que nos dé la gana. "A" puede ser “Argentina limita con Chile” y "B", “Argentina limita con Uruguay”, como en el ejemplo anterior, y tratarse entonces de enunciados verdaderos. Pero también podrían ser “La Luna es de dulce de leche” y “La Tierra es de chocolate”, respectivamente, obteniendo así el siguiente argumento: •

La Luna es de dulce de leche y la Tierra es de chocolate, por lo tanto la Tierra es de chocolate.

En este ejemplo, la premisa y conclusión son evidentemente falsas. El quid de la cuestión es que si fuera cierto que la Luna es de dulce de leche y que la Tierra es de chocolate, podríamos concluir concluyentemente que la Luna es de dulce de leche. En este argumento, por ende, la premisa logra establecer la conclusión. Aunque, como deben sospechar, habría un sentido en que tal argumento no sería bueno. En lo que sigue ampliaremos este punto. Pero antes es menester atender a una pregunta: ¿cómo identificar la estructura de un argumento? ¿Por qué el argumento anterior fue reconstruido de ese modo y no de otro

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 alternativo? Por ejemplo: A B Siendo "A" la oración “Argentina limita con Chile y con Uruguay” y "B" la oración “Argentina limita con Chile”, ¿por qué privilegiar la reconstrucción anterior en lugar de esta última? La respuesta la provee la lógica –una disciplina que se orienta al estudio de los argumentos y su corrección–: hay ciertas maneras de reconstruir la estructura de los argumentos que facilitan su evaluación. ¿Cuáles son esas maneras? Una de ella es atender a ciertas expresiones a la hora de tratar de identificar la forma o estructura de los argumentos. Y esas expresiones coinciden con aquellas que identificamos como expresiones lógicas en la lección anterior. Son, precisamente, "no", "si… entonces", "y", "o", "todos", "algunos", etcétera. Así, por ejemplo, diremos que los siguientes argumentos tienen todos la misma estructura: • • • • •

Juliana y Ana están contentas, por lo tanto Juliana está contenta. Juliana y Virginia están contentas, por lo tanto Juliana está contenta. Carolina y Laura están contentas, por lo tanto Carolina está contenta. Carolina y Laura están tristes, por lo tanto Carolina está triste. América y Europa son continentes, luego América es un continente.

La estructura compartida por todos ellos es la enunciada más arriba: AyB A ¿Qué ocurre con la oración siguiente? ¿Comparte el argumento enunciado la misma estructura? • Juliana o Ana están contentas, por lo tanto Juliana está contenta. La respuesta, al menos desde esta perspectiva, es que no. Pues el cambio operado entre este ejemplo y los anteriores es un cambio estructural: hay una “o” donde antes había una “y”. Y ese cambio es un cambio sustantivo cuando de evaluar un argumento se trata. Como veremos en lo que sigue, esta es la estructura del nuevo argumento: AoB A Y a diferencia de la estructura anterior, aquí la premisa no logra establecer la conclusión. Pues podría suceder, en el ejemplo, que fuera cierto que Juliana o Ana

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 están contentas, pero que Juliana no lo estuviera.

Ejercicio 1 Determine la estructura de los siguientes argumentos (seleccione la opción correcta). a. Si hoy es lunes, mañana será martes. Hoy es lunes. Por lo tanto, mañana será martes. Siendo "A": “hoy es lunes” y “B”: “mañana será martes”. Opciones: Opción 1:

Si A entonces B A ---B Opción 2: Si B entonces A B ---A Opción 3: Si A entonces B B ----------A Opción 4: Si B entonces A A ---B b. Mañana será martes, si hoy es lunes. Hoy es lunes. Por lo tanto, mañana será martes. Nuevamente "A" está en el lugar de “hoy es lunes” y "B", en el de “mañana será martes”. Opciones: Opción 1:

Opción 2:

Opción 3:

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Si A entonces B A -----------------------B Si A entonces B B -----------------------A Si B entonces A

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 B -----------------------A Opción 4: Si B entonces A A -----------------------B c. Hoy es lunes o martes. Hoy no es lunes. Luego, hoy es martes. Siendo "A": “hoy es lunes” y “B”: “mañana será martes”. Opciones: Opción 1:

AyB no A ------B Opción 2: AoB no A ------B Opción 3: AoB A ------B Opción 4: A B ---C d. Es suficiente que Luciana se hidrate para que se recupere. Luciana no se ha recuperado. De modo que no se hidrató. Siendo "A": “Luciana se hidrata” y “B”: “Luciana se recupera”. Opciones Opción 1:

Opción 2:

Opción 3:

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Si A entonces B No B -----------------------No A Si A entonces B No A -----------------------No B Si B entonces A No B -----------------------No A

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 Opción 4:

Si B entonces A No A -----------------------No B e. Todos los rosarinos son argentinos, Fito Páez es rosarino, luego Fito Páez es argentino. Estando la "f" en el lugar de Fito Páez y utilizando "R" para expresar la propiedad de ser rosarino y "A" la de ser argentino. Opciones Opción 1:

Opción 2:

Opción 3:

Opción 4:

Todos los R son A f es R -----------------f es A Todos los A son R f es R -----------------f es A Todos los R son A f es A -----------------f es R Todos los A son R f es A -----------------f es R

4. Evaluación de argumentos deductivos

Cómo ya se ha señalado, los argumentos deductivos son tales que las premisas dan un apoyo absoluto a la conclusión. Se dice que los argumentos deductivos son entonces válidos. Que un argumento logre ofrecer apoyo absoluto, que sea válido quiere decir que es tal que si las premisas de dicho argumento son verdaderas, su conclusión también lo es; es decir que no puede darse el caso de que sus premisas sean todas verdaderas y su conclusión no. Suele decirse también que los argumentos deductivos o válidos “preservan la verdad”. Ahora bien, esto es todo y solo lo que garantiza la validez de una argumento, que si fuese el caso de que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo será; pero en ningún sentido garantiza que sus premisas sean efectivamente verdaderas. Un argumento válido que a su vez tiene todas sus premisas verdaderas suele llamarse sólido. Tras lo estudiado en la lección anterior sabemos cuáles son las condiciones de verdad de los enunciados que componen los argumentos, sabemos cuándo una conjunción es Natalia M. Buacar

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 verdadera y cuándo es falsa, y lo mismo para el resto de las oraciones. Y sabemos que, al menos bajo el análisis propuesto, las oraciones pueden ser verdaderas o falsas. Si asumimos que las oraciones de un argumento son o bien verdaderas, o bien falsas, parece haber solo cuatro opciones para los argumentos [1]: Opción 1: que las premisas y la conclusión sean todas verdaderas; Opción 2: que tanto las premisas como la conclusión sean falsas; Opción 3: que las premisas sean falsas y la conclusión verdadera; Opción 4: la inversa: que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Ha de quedar claro que la única posibilidad que un argumento válido excluye es la última, esto es, no hay razonamientos válidos que combinen premisas verdaderas y conclusión falsa; pero sí se pueden dar las otras tres opciones con argumentos perfectamente válidos (aunque tal vez no sean sólidos). Así, por ejemplo, dado el siguiente argumento: •

Si se despenaliza el aborto en la Argentina, disminuirá la mortandad materna Se despenaliza el aborto en la Argentina Disminuirá la mortandad materna

Cabría esperar que se diese su conclusión si de hecho resultaran ciertas las premisas; por ende el argumento es válido. Si, además, las premisas fueran ciertas, el argumento no solo será válido; también será sólido. Supongamos que tras un largo debate el aborto no resulta ser despenalizado; supongamos también que los índices de mortandad sin embargo disminuyen. ¿Podríamos considerar que el argumento era inválido? No, lo que el argumento establecía era que en caso de que las premisas fueran verdaderas, la conclusión también habría de serlo; en otras palabras; que no podía darse el caso de que las premisas fueran verdaderas y la conclusión no lo fuera. Efectivamente, este argumento es tal que por mucho que imaginemos diferentes situaciones, nunca podremos idear una en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión no. Los argumentos deductivos son tales que su validez depende de su estructura, su forma nos garantiza que si partimos de información verdadera (sea esta la que fuere) arribaremos a una conclusión verdadera. El ejemplo que acabamos de considerar tiene la forma de un tipo de argumento deductivo muy usual: se trata del Modus Ponens y su estructura puede expresarse del siguiente modo: Si A entonces B A B Dado que la validez de los argumentos deductivos depende únicamente de su forma, podemos afirmar que todo argumento que pueda ser reconstruido bajo la forma del Modus Ponens será válido. En otras palabras, sean cuales sean las oraciones que ocupan el lugar de A y de B, si podemos reconocer que dichas oraciones son tales que

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 guardan entre sí las relaciones reflejadas por la estructura del Modus Ponens, podemos afirmar que el argumento resultante es válido (sea cual sea el valor de verdad de las oraciones que ocupen el lugar de A y de B). ----------------------[1] Cabe aclarar que existe cierta asimetría entre la verdad y falsedad del conjunto de premisas. Solo consideraremos que el conjunto de las premisas será verdadero cuando todas las premisas lo sean; por el contrario, no será necesario que todas las premisas sean falsas para que “las premisas” sean falsas. Basta que un elemento del conjunto de premisas sea falso para que “las premisas” sean falsas. La razón de ello radica en que el “conjunto de las premisas” puede pensarse como afirmando conjuntamente cada una de ellas, más precisamente como afirmando su conjunción. Como ya sabemos, las conjunciones son tales que para que sean verdaderas, todos los componentes combinados han de ser verdaderos. Mientras que basta que uno de esos componentes sea falso para que la conjunción de todos ellos lo sea.

Ejercicio 2 Determine la verdad o falsedad de las siguientes oraciones. a. Basta que un argumento tenga premisas verdaderas para que sea válido. b. Si un argumento tiene premisas falsas, la conclusión no se sigue necesariamente de ellas. c. Un argumento puede ser válido y no sólido. d. Un argumento puede ser sólido y no ser válido.

Ejercicio 3 Dado un argumento válido cualquiera ¿cuáles de las combinaciones siguientes son posibles?

a. b. c. d.

Premisas verdaderas y conclusión verdadera Premisas verdaderas y conclusión falsa Premisas falsas y conclusión falsa Premisas falsas y conclusión verdadera

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5. Argumentos inválidos

Hemos estudiado los argumentos deductivos señalando que son válidos y que por tanto la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Los argumentos inválidos son los que no logran esto, es decir: es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Tal como veremos en la siguiente lección, hay algunos argumentos que resultan inválidos pero que sin embargo consideraremos buenos porque las premisas proveen buenas razones para aceptar la conclusión. Se trata de los argumentos inductivos y nos ocuparemos de ellos en la próxima lección. Detengámonos en los argumentos inválidos. Contrariamente a ciertas intuiciones, un argumento con premisas y conclusión verdadera puede resultar inválido. Un ejemplo de ello es el siguiente argumento: •

Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inundará La ciudad de Buenos Aires se inundó Un tsunami azotó Buenos Aires

Es sencillo imaginar una situación en que tanto las premisas como la conclusión fuesen verdaderas, por ejemplo el caso en que un tsunami azota Buenos Aires y la ciudad efectivamente se inunda. Sin embargo dicho argumento es inválido. Porque, asimismo, podemos imaginar también una situación en que las premisas fueran verdaderas y la conclusión falsa. Por ejemplo, si bien sabemos que la ocurrencia de un tsunami bastaría para inundar la ciudad, también sabemos que la ciudad de Buenos Aires se ha inundado muchas veces sin que ocurriese tsunami alguno. En otras palabras, en los argumentos inválidos las premisas no ofrecen elementos de juicio suficientes a favor de la conclusión, de modo tal que aun en el caso en que ellas fuesen verdaderas, la conclusión podría no serlo. Y tal como podemos observar a partir de los ejemplos, la validez de un argumento es independiente de cómo resulte ser efectivamente el mundo (de si hay o no un tsunami, de si se inunda o no la ciudad de Buenos Aires, etc.); podemos determinar si un argumento es válido aun cuando no podamos determinar la verdad de las oraciones involucradas. Lo único relevante es la forma del argumento, si ella garantiza o no la preservación de verdad de premisas a conclusión. El ejemplo anterior tiene una forma tal que no nos garantiza la preservación de verdad de premisas a conclusión: Si A entonces B B A Esta estructura o forma de argumento recibe el nombre de Falacia de afirmación del consecuente, como así también los argumentos del lenguaje común (en donde A y B

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 son reemplazados por oraciones) en los que podemos reconocer dicha forma. Este tipo de argumentos serán de gran importancia en la tercera sesión. Esta forma de argumento (a diferencia de lo que ocurre con el Modus Ponens) es inválida y, por tanto, es posible construir para ella contraejemplos. Un contraejemplo de una forma o esquema de argumento es un ejemplo de argumento particular que tenga la forma en cuestión y en el que sus premisas son verdaderas y su conclusión falsa. Para ilustrarlo, otro contraejemplo de la forma identificada como Falacia de afirmación del consecuente es el siguiente: • Si algo es un águila adulta, entonces vuela Los aviones vuelan Los aviones son águilas adultas Como podemos observar, el argumento tiene la forma pretendida y ambas premisas son verdaderas pero no la conclusión; las premisas no logran entonces establecer la conclusión. El argumento es inválido. Esto está estrechamente ligado a lo que mencionábamos en la lección anterior en relación con los enunciados condicionales. En este caso lo que expresa la primera oración es una condición suficiente: es suficiente que algo sea un águila adulta para que vuele. Ahora bien, si bien es suficiente, no es una condición necesaria, porque sabemos que hay otros animales que vuelan y que los aviones, los helicópteros, entre otros, también lo hacen. Es por esa razón que no podemos concluir válidamente que algo es un águila tras enterarnos de que vuela; esa información no basta para garantizarnos tal conclusión. Existe entonces un patrón claro que nos permite evaluar la validez de argumentos: todo lo que hemos de hacer es preguntarnos qué ocurriría con la conclusión en caso de que todas las premisas fueran verdaderas. Si dada la verdad de las premisas, la conclusión no puede sino ser verdadera (es imposible que sea falsa), el argumento es válido. Por el contario, si resulta concebible que las premisas sean verdaderas y la conclusión no, este es inválido. Recordemos que de lo que se trata es de determinar si las premisas ofrecen o no razones suficientes para establecer la conclusión. Desde ya que en ciertos casos bastará con identificar la estructura de un argumento: si se trata de alguna forma que es reconocidamente válida o no, ello nos permitirá pronunciarnos en una u otra dirección; pero aun cuando ello no ocurra, podremos tomar una decisión al respecto. Por último, a la luz de lo anterior, una manera de criticar un argumento es mostrar que es inválido. Para ello basta identificar su estructura y encontrar para ella un contraejemplo –un ejemplo de argumento con dicha estructura que conduzca de premisas verdaderas a una conclusión falsa-. O, al menos, explicar cómo puede darse el caso de que las premisas del argumento en cuestión sean verdaderas y la conclusión falsa. Por otra parte, puede ponerse en cuestión la solidez del argumento atacando la verdad de las premisas.

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 Ejercicio 4 El Modus Tollens es un tipo de razonamiento válido que responde a la siguiente forma: Si A entonces B No B No A Por el contrario, la Falacia de negación del antecedente es una forma de razonamiento inválida que posee la siguiente estructura:

Si A entonces B No A No B Compare ambos tipos de argumentos y explique brevemente por qué uno es válido y el otro no.

Ejercicio 5 Dadas las siguientes formas de argumentos, determine cuál de las opciones es correcta. (Recuerde que un contraejemplo en este contexto es aquel argumento que tiene la forma en cuestión pero cuyas premisas son verdaderas y su conclusión falsa, razón por la cual sirve para mostrar la invalidez del argumento). a. A o B No A B (Donde "A" y "B" pueden ser reemplazadas por una oración cualquiera). Opciones: Opción 1: Opción 2: Opción 3:

Opción 4:

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La forma del argumento es válida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: Miranda o Ana estudian agronomía Miranda estudia agronomía La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: Miranda o Ana estudian agronomía Miranda no estudia agronomía Ana no estudia agronomía

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 b.

AoB A (Donde "A" y "B" pueden ser reemplazadas por una oración cualquiera). Opciones Opción 1: Opción 2: Opción 3:

Opción 4:

La forma del argumento es válida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: La Tierra gira alrededor de la Luna o la Luna gira alrededor de la Tierra ---------------------------------------La Tierra gira alrededor de la Luna La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: La Tierra gira alrededor de la Luna o la Luna gira alrededor de la Tierra ---------------------------------------La Luna gira alrededor de la Tierra

Ejercicio 6 Responda "Sí" o "No" a las siguientes preguntas. a. Suponga que un argumento es deductivo. ¿Podría usted formular una crítica a dicho argumento aun sabiendo que es válido? b*. Suponga que un argumento es deductivo. ¿Seguirá siendo válido a la luz de nueva información? c. Suponga que un argumento es inválido. ¿Podría suceder que tuviera premisas y conclusión verdaderas?

6. Reglas de inferencia y deducciones

Dijimos que una manera de confirmar que una forma o estructura de argumento es inválida era encontrar un contraejemplo. Ahora bien, ¿cómo asegurarnos de que es válido? Una primera respuesta es que si no encontramos contraejemplos estaremos bien encaminados. Pero supongamos que tenemos una estructura y no encontramos contraejemplos por mucho que nos esforcemos, ¿nos asegura eso que el razonamiento es válido? En verdad no, pues el hecho de no haber dado con un contraejemplo puede deberse a falta de imaginación de nuestra parte; después de todo, no es tan sencillo idear contraejemplos. Una vez hallado el contraejemplo, podemos estar seguros de la

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 invalidez de una forma de argumento, pero no hallarlos nada prueba sobre su validez. La lógica es la disciplina encargada de dar con modos para probar la validez de los argumentos. Pero, tal como vimos, dicho logro está asociado a la estructura de los argumentos; por esa razón la lógica estudia las formas de los argumentos y, por esa razón también, el tipo de abordaje que privilegia es un abordaje formal. La lógica deductiva desarrolla lenguajes (y sistemas) formales para dar cuenta de este tipo de argumentos, y para poder testearlos, se desprende del contenido y se centra en aquello que es crucial en los argumentos deductivos: su forma. Nosotros no ahondaremos en este tema; solo nos valdremos de algunos recursos que la lógica formal ofrece (pero adaptándolos a una versión informal o, tal vez, semiformal), para delinear algunos aspectos necesarios para la comprensión de los sistemas axiomáticos, tema que será abordado en la siguiente lección. Nos interesa especialmente comprender dos nociones: la de regla de inferencia y la de deducción. La lógica estudia las formas de argumento y distingue formas válidas de otras inválidas. Existe una enorme variedad de modos en que hace esto (de hecho la lógica es una disciplina en creciente y constante desarrollo). Un modo de hacerlo es identificar unas cuantas formas válidas y proceder luego a utilizarlas para probar la validez de otras formas. Veamos esto con un poco más de detalle. Podemos pensar las formas de argumento válidas como reglas que nos sugieren cómo inferir, que legitiman nuestras inferencias. Así, si sabemos que si juega Messi, la Argentina gana y sabemos que juega Messi, podemos inferir que la Argentina gana. Podemos inferir esa conclusión y dado que el argumento que resulta de agregar esa conclusión a las premisas tiene la forma del Modus Ponens, sabemos que lo hemos inferido válidamente. Los argumentos válidos pueden, entonces, servirnos como reglas que legitiman nuestras transformaciones inferenciales, nuestros pasos de premisas a conclusión. A veces las cosas no son tan sencillas. Supongamos que disponemos de la siguiente información: - Si juega Messi, la Argentina ganará - Si Messi se recupera de su lesión, jugará - Messi se ha recuperado de su lesión ¿Podemos inferir que Messi jugará? Si simplemente agregamos esa oración como conclusión, el argumento resultante no tiene la forma del Modus Ponens: Si juega Messi, Argentina ganará Si Messi se recupera de su lesión, jugará Messi se ha recuperado de su lesión Messi jugará De hecho el argumento tiene tres premisas y no dos. Pero ¿se sigue la conclusión de las tres premisas? Si aceptáramos que las premisas son verdaderas, parecería que efectivamente la conclusión no podría ser falsa. Parece ser que el argumento sobrevive al test que mencionáramos antes. Y no solo eso: la lógica nos ofrece modos de probar

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 argumentos, de justificarlos. Uno de esos modos es construir deducciones. ¿Y cómo hacerlo? Utilizando las reglas de inferencia (los argumentos válidos) en los que ya confiamos. Por ejemplo en este caso: Las información de la cual disponemos está dada por las tres premisas (las numeramos para facilitar el desarrollo): 1. Si juega Messi, la Argentina ganará 2. Si Messi se recupera de su lesión, jugará 3. Messi se ha recuperado de su lesión Si atendemos a las premisas 2 y 3, podremos observar que tienen la forma de las premisas del Modus Ponens: un condicional (la premisa 2) y el antecedente del condicional (la premisa 3). Si pensamos ahora al Modus Ponens como una regla de inferencia que nos permite obtener consecuencias de la información disponible, de estas dos premisas podemos inferir entonces su conclusión: 4. Messi jugará Si bien esta afirmación no es lo que queríamos concluir, estamos ahora más cerca. Atendamos ahora a la premisa 1, nuevamente una oración condicional. Pero la oración 4 es precisamente el antecedente de ese condicional. De modo que si las tomamos conjuntamente podremos inferir válidamente siguiendo la receta del Modus Ponens: 5. La Argentina ganará Acabamos de construir una deducción de la oración “La Argentina gana” a partir de la información de la que disponíamos y que estaba condensada en aquellas tres premisas. Lo que hicimos fue mostrar que la conclusión efectivamente se desprende de esas premisas. Para lograrlo tuvimos que dar algunos pasos intermedios, tuvimos que ir obteniendo conclusiones parciales de la información disponible. Pero, en tanto cada uno de esos pasos, cada una de esas transformaciones tuvo lugar siguiendo una regla válida, podemos estar seguros de que la conclusión ha sido obtenida válidamente. La secuencia de oraciones constituye una deducción: 1. Si juega Messi, la Argentina gana (premisa) 2. Si Messi se recupera de su lesión, jugará (premisa) 3. Messi se ha recuperado de su lesión (premisa)

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 4. Messi jugará (por Modus Ponens entre 2 y 3) 5. La Argentina ganará (por Modus Ponens entre 1 y 4) Una deducción es una secuencia de oraciones que parten de supuestos o premisas, y donde cada una de las líneas o pasos siguientes se obtiene aplicando alguna de las reglas a algunas de las líneas anteriores, y donde la última es la conclusión. Este es el caso en nuestro ejemplo. Las tres primeras oraciones son las premisas. La oración que figura en 4 fue obtenida aplicando el Modus Ponens a las oraciones que figuran en 2 y 3. La oración 5 también se obtuvo por aplicación del Modus Ponens, pero ahora a las líneas 1 y 4. Por ser 5 la última línea, es además la conclusión de esa deducción.

Ejercicio 7 Determine la verdad o falsedad de los siguientes enunciados. a. Las reglas de inferencia preservan verdad de premisas a conclusión. b. Si las premisas de una deducción son verdaderas, todos los pasos subsiguientes serán verdaderos.

Ejercicio 8 Dada la siguiente información, construya una deducción de la siguiente oración utilizando el Modus Ponens: "Todos irán a la fiesta". - Si María va a la fiesta, Pedro irá - Si Pedro va a la fiesta, también irá Paula - Si Paula va, todos estarán presentes - María irá a la fiesta

7. Algunas reglas de inferencia

Sabemos entonces que podemos confiar en el Modus Ponens y utilizarlo para dar pasos seguros al sacar conclusiones. La cuestión ahora es saber si es la única regla. ¿No hay otras formas de razonamiento válidas? ¿No hay otras reglas de inferencia de las cuales valernos para construir deducciones? La respuesta es que sí y que la lista de posibles reglas es infinita. Pero ¡a no desesperar…!; solo mencionaremos unas pocas.

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 De hecho hay algunas reglas que suelen ser generalmente aceptadas como confiables. Aquí solo enumeraremos algunas; sin embargo, hay ciertas razones que ponen en evidencia que la selección no ha sido caprichosa. Las reglas que nos permitirán movimientos en nuestro juego son: Modus Ponens

Si A entonces B A B

Modus Tollens

Si A entonces B No B No A

Silogismo hipotético

Si A entonces B Si B entonces C Si A entonces C

Simplificación

AyB A

Adjunción

A B AyB

Silogismo disyuntivo

AoB No A B

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 Instanciación del universal

Todos los R son P x es R x es P

Ya hemos utilizado y comentamos el Modus Ponens. Básicamente nos autoriza a obtener como conclusión el consecuente de un enunciado condicional cuando sabemos que el antecedente es el caso. Así, pensemos en esta oración condicional: • Si Matilde gana la lotería, será millonaria. El Modus Ponens garantiza que si constatamos que Matilde ganó la lotería, podemos inferir que Matilde será millonaria. Obviamente, no nos autoriza a inferir nada en caso de que no la gane. El Modus Tollens ya fue mencionado y también parece una regla razonable. Supongamos que nos enteramos ahora de que Matilde no es millonaria. Si sabemos nuevamente que “Si Matilde gana la lotería, será millonaria", podemos inferir entonces que no ha ganado la lotería (pues sabíamos que era suficiente que la ganase para que fuera millonaria). La simplificación es una regla sencilla. Simplemente nos dice que si sabemos, por ejemplo, que llueve y truena, sin duda podremos inferir legítimamente que llueve. O también que truena, por ello debajo de la línea podría estar B en el lugar de A. También es sencilla la regla de adjunción que nos permite introducir conjunciones. Retomando el mismo ejemplo, si sabemos que llueve y nos enteramos de que truena, podremos afirmar “Llueve y truena”. El silogismo disyuntivo rescata un sentido de las disyunciones. Si, por ejemplo, sabemos que Facundo o Federico es el culpable, y nos enteramos de que Facundo no lo es, sin duda podremos inferir que el culpable es Federico. Por último, la regla de instanciación del universal. A diferencia de las anteriores, esta regla supone un nivel de análisis diferente. La razón es que determina aquello que puede ser concluido a partir de una expresión como "todos", la cual, tal como vimos en la lección anterior, reviste ciertas diferencias con expresiones como "y", "si... entonces...", etc. En este esquema, las letras R y P están en el lugar de propiedades y la x en el lugar de individuos. Esta regla también resulta intuitivamente aceptable, pues partiendo de asumir que todos los individuos que tienen la propiedad R, tienen también la propiedad P, y que un individuo x tiene la propiedad R, nos autoriza a inferir que también tiene la propiedad P. Por ejemplo: • Todas las estrellas tienen luz propia

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 El sol es una estrella El sol tiene luz propia Podemos entonces usar estas reglas para sacar conclusiones de modo seguro. Como advertimos antes, la lista de reglas por utilizar podría ser más amplia, desde luego.

Ejercicio 9 Determine cuál de las siguientes secuencias de oraciones constituye una deducción de la oración "María irá a la playa " a partir de la siguiente información. - Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta - María se puso ojotas y malla - María no irá a la pileta Opciones:

Opción 1:

1. Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta (premisa) 2. María se puso ojotas y malla (premisa) 3. María no irá a la pileta (premisa) 4. María se puso ojotas (simplificación en 2) 5. María irá a la playa o a la pileta (Modus Ponens entre 1 y 4) 6. María irá a la playa (silogismo disyuntivo entre 3 y 5)

Opción 2:

1. Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta (premisa) 2. María se puso ojotas y malla (premisa) 3. María no irá a la pileta (premisa) 4. María se puso ojotas (simplificación en 2) 5. María irá a la playa o a la pileta (Modus Ponens entre 1 y 4)

Opción 3:

1. Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta.(premisa) 2. María se puso ojotas y malla (premisa) 3. María no irá a la pileta (premisa) 4. María se puso ojotas (simplificación en 2) 5. María irá a la playa (Modus Ponens entre 1 y 4)

Ejercicio 10 Determine cuál de las siguientes secuencias de oraciones constituye una deducción de la oración "Pedro no salió a correr " a partir de la siguiente información. - Si Pedro sale a correr, dormirá bien - Si Pedro duerme bien, aprobará Química

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 - Pedro no aprobó Química Opciones: Opción 1:

1. Si Pedro sale a correr, dormirá bien (premisa) 2. Si Pedro duerme bien, aprobará Química (premisa) 3. Pedro no aprobó Química (premisa) 4. Pedro no salió a correr (simplificación en 1)

Opción 2:

1. Si Pedro sale a correr, dormirá bien (premisa) 2. Si Pedro duerme bien, aprobará Química (premisa) 3. Pedro no aprobó Química (premisa) 4. Si Pedro sale a correr, aprobará Química (silogismo hipotético entre 1 y 2) 5. Pedro no durmió bien (Modus Tollens entre 3 y 4)

Opción 3:

1. Si Pedro sale a correr, dormirá bien (premisa) 2. Si Pedro duerme bien, aprobará Química (premisa) 3. Pedro no aprobó Química (premisa) 4. Pedro no durmió bien (Modus Tollens entre 2 y 3) 5. Pedro no salió a correr (Modus Tollens entre 1 y 4)

8. Pruebas indirectas

Existe una estrategia demostrativa que merece un comentario aparte: se trata de las pruebas por absurdo. Este tipo de estrategia es indirecta, a diferencia de las que construimos anteriormente, todas ellas directas. Se trataba de deducciones directas pues partíamos allí de premisas y procedíamos paso a paso –por aplicación de las reglas de inferencia– hasta dar con la conclusión. Pero existen ciertas ocasiones en que esta vía directa no resulta viable o resulta demasiado compleja. En tales situaciones es posible apelar a una estrategia de tipo indirecta: las pruebas por absurdo. Supongamos que disponemos de un conjunto Γ de premisas y que queremos probar la oración C. O sea, tratamos de construir una deducción para el siguiente argumento: Γ C En las pruebas por absurdo, se parte de suponer que aquello que se pretende probar (la oración C, en nuestro ejemplo) no es el caso (es decir, se supone “no C”) y se intenta arribar a una contradicción (siempre por aplicación de las reglas de inferencia). De obtener la contradicción (de la forma “A y no A"), es posible afirmar que el supuesto del cual se partió (“no C”) es falso (puesto que si fuera verdadero no habría ocurrido la contradicción; recordemos que las reglas de inferencia garantizan la conservación de la

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 verdad); y de este modo se da por demostrada la conclusión C. Consideremos el siguiente ejemplo sencillo: Queremos probar que "No es cierto que estamos en verano" a partir de la información expresada por las siguientes dos oraciones: "Si estamos en verano, hay humedad" y "Si estamos en verano, no hay humedad". Disponemos entonces de dos premisas: 1. Si estamos en verano, hay humedad (premisa) 2. Si estamos en verano, no hay humedad (premisa) Ambas son oraciones condicionales; sabemos que el Modus Ponens nos permite inferir sus consecuentes, pero solo en presencia de sus antecedentes (en ambos casos el mismo: “estamos en verano”). Tal antecedente no están disponibles. De modo que la estrategia ha de ser otra. Supondremos lo contrario de aquello que queremos probar con la esperanza de arribar a una contradicción, lo que nos permitiría descartar nuestro supuesto provisional. Lo que queremos probar es "No es cierto que estamos en verano"; lo contrario a esto es "Estamos en verano". Ese es el supuesto provisional con el que trabajaremos. 3. Estamos en verano (supuesto provisional) Las cosas lucen mejor ahora, pues ahora sí podemos utilizar los condicionales de las líneas 1 y 2, pues 4 nos provee de los antecedentes necesarios: 4. Hay humedad (Modus Ponens entre 1 y 2) Y ahora, nuevamente: 5. No hay humedad (Modus Ponens entre 1 y 3) Pero como podrá advertirse, la oración 5 es la negación de 4. Esto es, hemos inferido que hay humedad (4) y que no la hay (5), lo cual constituye sin duda una contradicción. Podemos explicitarla usando la regla de adjunción, así: 6. Hay humedad y no hay humedad (adjunción entre 4 y 5) ¡Hemos obtenido entonces una contradicción! Y lo hicimos partiendo del supuesto provisional formulado en 3 ("Estamos en verano"). Esto nos permite rechazar el supuesto, negarlo, y podemos concluir entonces: 7. No es cierto que estemos en verano Y esta es precisamente la conclusión que queríamos obtener… ¡Lo hemos logrado! Algunas aclaraciones resultan pertinente: llegados a este punto, ya hemos sacado provecho de nuestro supuesto provisional y no podremos utilizarlo más. Lo introdujimos solo para obtener a partir de él una contradicción que nos permitiera negarlo, y eso se

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 ha conseguido. El supuesto cumplió su función y ha de ser cancelado. Por otra parte, debemos reparar en que lo que hemos probado no es “Estamos en verano” (la lógica no formula ese tipo de sentencias); sino que lo que hemos probado es “Estamos en verano” partiendo de los supuestos: “Si estamos en verano, hay humedad” y “Si estamos en verano, no hay humedad”. En otras palabras, lo que hemos probado indirectamente, es que no estar en verano se sigue de suponer simultáneamente que: si estamos en verano entonces hay humedad y si estamos en verano entonces no hay humedad. Debemos advertir que nos detenemos en este tipo de pruebas pues su comprensión resulta necesaria para el abordaje de algunas cuestiones históricas que serán presentadas en la quinta lección. El objetivo de esta presentación no es la ulterior producción de pruebas por absurdo, sino más bien, delinear en qué consiste este tipo de estrategia demostrativa.

Ejercicio 11* Dados los siguientes argumentos, complete las líneas faltantes en la prueba por absurdo incompleta que se ofrece a continuación. a. Si hace frío y llueve, no iremos a la plaza. Iremos a la plaza Hace frío Por lo tanto, no llueve.

1. Si hace frío y llueve, no iremos a la plaza. (Premisa) 2. Iremos a la plaza (Premisa) 3. Hace frío (Premisa) 4. ………….. (Supuesto provisional) 5. Hace frío y llueve (Adjunción 3 y 4) 6. No iremos a la plaza (Modus Ponens 1y 5) 7. ………………………………… (Adjunción 2 y 6) Por lo tanto, no llueve b. Mañana comeremos tomates o mandarinas. Mañana no comeremos mandarinas. Si mañana comemos tomates, Tomás no estará contento. Por lo tanto, no es cierto que si mañana no comemos mandarinas, Tomás estará contento. 1. Mañana comeremos tomates o mandarinas. (Premisa) 2. Mañana no comeremos mandarinas. (Premisa) 3. Si mañana comemos tomates, Tomás no estará contento. (Premisa) 4. Si mañana no comemos mandarinas, Tomás estará contento. (Supuesto Natalia M. Buacar

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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2016 provisional) 5. Tomás estará contento (Modus Ponens 2 y 4) 6. Mañana comeremos tomates (Silogismo disyuntivo 1 y 2) 7. Tomás no estará contento (Modus Ponens 1 y 3) 8. ……………………………… (……………………. 5 y 7) Por lo tanto, …………………………………………………

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Lección Nº 4: Los argumentos inductivos y su evaluación

1. LOS ARGUMENTOS INDUCTIVOS

Vamos a estudiar ahora los argumentos inductivos. Como ya anticipamos en la lección anterior, lo característico de los argumentos inductivos es precisamente que no ofrecen (ni pretenden ofrecer) un apoyo absoluto a la conclusión, sino que solo aportan algún tipo de apoyo. De modo que desde el punto de vista deductivo, deberíamos catalogarlos como inválidos. Sin embargo, hay argumentos que si bien no ofrecen razones concluyentes, sí ofrecen razones. Y más aún, hay argumentos que ofrecen buenas razones. Por eso, al hablar de argumentos inductivos, no hablaremos de "validez", sino de corrección, de argumentos buenos o malos. En sentido estricto, todo argumento inductivo es inválido, pues no preserva verdad de premisas a conclusión. Sin embargo, hay razonamientos inductivos que son buenos. A diferencia de lo que ocurría con la validez, la corrección no puede plasmarse en un criterio unívoco tal que frente a cualquier argumento inductivo podamos responder si es correcto o incorrecto. La corrección es una cuestión de grados; hay argumentos más o menos fuertes. Por otra parte, es posible reconocer diferentes tipos de argumentos inductivos y cada uno de ellos nos obliga a considerar criterios específicos a la hora de evaluar su corrección. En lo que sigue caracterizaremos algunos de estos tipos de argumentos inductivos.

Ejercicio 1 Determine la verdad o falsedad de las oraciones que resultan de completar el inicio de oración presentado con cada una de las opciones propuestas. Los argumentos inductivos... - logran establecer la conclusión de modo concluyente. - preservan verdad de premisas a conclusión. - son inválidos. - son incorrectos.

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2. Argumentos inductivos por analogía

Es posible encontrarnos con este tipo de argumentos de manera recurrente, no solo en el ámbito de la ciencia, sino también en nuestra vida diaria. Tomemos el siguiente ejemplo: suponga que es lunes 21 de marzo, su primer día de clases en la universidad; tiene que estar allí a las 9 de la mañana. Sale de su casa a las 8, llega a la parada del colectivo de la línea 60 más próxima, se toma el colectivo, demora aproximadamente 40 minutos y arriba a su destino con tiempo suficiente para encontrar su clase. A la mañana siguiente repite el mismo ritual y así durante toda la semana. La segunda semana, a sabiendas de que tiene que estar a las 9, sale de su casa a las 8 y se dirige hacia la parada del colectivo 60, como antes. ¿Qué cree usted que va a ocurrir? Razonablemente, seguramente cuente con que el viaje demorará aproximadamente 40 minutos. Pero ¿cómo puede estar tan segura? ¿Qué garantías tiene de que ello va a ser el caso? Y lo cierto es que posiblemente se sienta bastante segura: ya ha hecho el viaje la semana anterior durante cinco días y la duración del recorrido fue más o menos la misma. Desde ya que esta vez podría haber alguna calle cortada, demoras por un accidente, problemas con la línea de colectivos, etcétera. Pero aunque no pueda estar completamente segura, es de esperar que se sienta bastante confiada en llegar a tiempo a su clase. ¡Bien por usted! Reconstruyamos entonces el razonamiento involucrado: El lunes 21 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré aproximadamente 40 minutos en llegar a la universidad. El martes 22 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré aproximadamente 40 minutos en llegar a la universidad. El miércoles 23 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré aproximadamente 40 minutos en llegar a la universidad. El jueves 24 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré aproximadamente 40 minutos en llegar a la universidad. El viernes 25 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré aproximadamente 40 minutos en llegar a la universidad. El lunes 28 de marzo (hoy) salí a las 8:00 h y tomé el 60 El lunes 28 de marzo (hoy) demoraré 40 minutos en llegar a la universidad. Nuestro razonamiento responde a la forma de los argumentos inductivos por analogía. Como lo ilustra el ejemplo, estos descansan en la comparación entre dos o más cosas, entidades o eventos; y a partir de la constatación de que ellos son similares en ciertos aspectos, se concluye que lo son también en otro. Este tipo de argumentos posee la siguiente estructura: x1 tiene las características F, G, …, Z x2 tiene las características F, G, …, Z ………. xn tiene las características F, G, … Por lo tanto, xn tiene la característica Z

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Donde x1,.., xn han de ser reemplazados por eventos, cosas o entidades, y F, G, Z por aspectos, características o propiedades. Los puntos suspensivos “…” que siguen a “F, G” indican que la comparación podría radicar en cualquier número de aspectos y no necesariamente en uno, dos o tres. En cuanto a los puntos suspensivos que están entre la segunda y tercera línea, ellos indican que la cantidad de eventos, casos o entidades contemplados también puede ser cualquiera (o mejor dicho: al menos dos, pues de lo contrario no podríamos establecer comparación alguna).

Ejercicio 2 Complete los siguientes argumentos para que resulten tener la forma de un argumento por analogía. a. La naranja es un cítrico y tiene vitamina C El limón es un cítrico y tiene vitamina C El pomelo es un cítrico .................…....... Opciones: Opción 1: Opción 2: Opción 3: Opción 4:

El pomelo tiene vitamina C Todos los cítricos tienen vitamina C La naranja, el limón y el pomelo son cítricos La naranja, el limón y el pomelo tienen vitamina C

b. Los hombres son mamíferos y tienen dientes Las vacas son mamíferos y tienen dientes ........................... ------------------------------------------------------.......................... Opciones: Opción 1: Premisa faltante: "Todos los mamíferos tienen dientes" Conclusión: "Los gatos son mamíferos y tienen dientes" Opción 2: Premisa faltante: "Los gatos son mamíferos" Conclusión: "Todos los mamíferos tienen dientes" Opción 3: Premisa faltante: "Las aves no son mamíferos" Conclusión: "Las aves no tienen dientes" Opción 4: Premisa faltante: "Los gatos son mamíferos" Conclusión: "Los gatos tienen dientes" c. Diego es amigable, bueno, atento y es confiable

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IPC – UBA XXI Luciana es amigable, buena, atenta y es confiable Sofía es amigable, buena, atenta y es confiable Ignacio es amigable, bueno, atento y es confiable …............................ --------------------------------------------------……........................ Opciones: Opción 1: Premisa faltante: "Todas las personas amigables, buenas y atentas son confiables" Conclusión: "Fernando es amigable, bueno, atento y es confiable" Opción 2: Premisa faltante: "Fernando es amigable, bueno, atento y es confiable" Conclusión: "Todas las personas amigables, buenas y atentas son confiables" Opción 3: Premisa faltante: "Fernando es amigable, bueno y atento" Conclusión: "Fernando es confiable" Opción 4: Premisa faltante: "Fernando no es amigable, ni bueno, ni atento" Conclusión: "Fernando no es confiable"

3. Argumentos inductivos por enumeración incompleta

Veamos una pequeña variante del ejemplo anterior. Supongamos el mismo escenario: durante cinco días consecutivos, usted sale de su casa a las 8:00 h a tomar el mismo colectivo y demora aproximadamente 40 minutos en llegar a destino. Tal vez se vea tentada a concluir que el viaje hacia la facultad en su horario y colectivo habituales demora alrededor de 40 minutos. Sistematicemos el razonamiento: El lunes 21 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré 40 minutos en llegar a la universidad. El martes 22 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré 40 minutos en llegar a la universidad. El miércoles 23 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré 40 minutos en llegar a la universidad. El jueves 24 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré 40 minutos en llegar a la universidad. El viernes 25 de marzo salí a las 8:00 h, tomé el 60 y demoré 40 minutos en llegar a la universidad. El viaje en el 60 hasta la universidad, saliendo a las aproximadamente 40 minutos.

aproximadamente aproximadamente aproximadamente aproximadamente aproximadamente 8:00 h, demora

Este razonamiento responde a la forma de los argumentos inductivos por enumeración incompleta. Tal como ocurría en los argumentos por analogía, aquí también partimos de información respecto de ciertos casos observados. Pero mientras que en la analogía

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IPC – UBA XXI utilizábamos esa información para establecer similitudes entre los diversos casos e inferir algo sobre alguno de ellos, en el caso de los argumentos por enumeración incompleta, la información disponible en las premisas se utiliza para generalizar en la conclusión a partir de ellas. Diremos, entonces, que los argumentos inductivos por enumeración son aquellos en los que se parte en las premisas de una serie de casos observados y se generaliza en su conclusión para casos que van más allá de la evidencia disponible. Por ello, resulta obvio que dichos argumentos no logren establecer su conclusión de modo concluyente. La estructura de estos argumentos suele formularse del siguiente modo: x1 es Z x2 es Z x3 es Z ……. xn es Z Por lo tanto, todos los x son Z

Ejercicio 3 Complete los siguientes argumentos para que resulten tener la forma de un argumento inductivo por enumeración incompleta. a. La naranja es un cítrico y tiene vitamina C El limón es un cítrico y tiene vitamina C El pomelo es un cítrico y tiene vitamina C .................…....... Opciones: Opción 1: La naranja, el limón y el pomelo son cítricos y tienen vitamina C Opción 2: La mandarina es un cítrico y tiene vitamina C Opción 3: Todos los cítricos tienen vitamina C Opción 4: La banana no es un cítrico y no tiene vitamina C b. Los hombres son mamíferos y tienen dientes Las vacas son mamíferos y tienen dientes ........................... ------------------------------------------------------.......................... Opciones: Opción 1: Premisa faltante: "Los gatos son mamíferos" Conclusión: "Los gatos tienen dientes" Opción 2: Premisa faltante: "Los gatos son mamíferos y tienen dientes" Conclusión: "Todos los mamíferos tienen dientes"

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IPC – UBA XXI Opción 3: Premisa faltante: "Las aves no son mamíferos" Conclusión: "Las aves no tienen dientes" Opción 4: Premisa faltante: "Todos los mamíferos tienen dientes" Conclusión: "Los gatos son mamíferos y tienen dientes" c. Jill es estadounidense y habla en inglés Mike es estadounidense y habla en inglés …................ ------------------------------------------------…….............. Opciones: Opción 1: Premisa faltante: "David es estadounidense y habla en inglés" Conclusión faltante: "Todos los estadounidenses hablan en inglés" Opción 2: Premisa faltante: "David es estadounidense" Conclusión faltante: "David habla en inglés" Opción 3: Premisa faltante: "José no es estadounidense" Conclusión faltante: "José no habla en inglés" Opción 4: Premisa faltante: "José no habla en inglés" Conclusión faltante: "José no es estadounidense"

Ejercicio 4 Para cada uno de los argumentos que se listan a continuación, determine si se trata de un argumento inductivo por analogía o por enumeración incompleta. a. La leche es un lácteo y aporta cantidades significativas de calcio El queso es un lácteo y aporta cantidades significativas de calcio El yogurt es un lácteo El yogur aporta cantidades significativas de calcio b. La leche es un lácteo y aporta cantidades significativas de calcio El queso es un lácteo y aporta cantidades significativas de calcio El yogur es un lácteo y aporta cantidades significativas de calcio Todos los lácteos aportan cantidades significativas de calcio c. Miguel tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo y es donante universal César tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo y es donante universal Paola tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo y es donante universal Verónica tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo Verónica es donante universal d. César tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo y es donante universal Paola tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo y es donante universal Verónica tiene grupo sanguíneo 0, factor negativo y es donante universal Todos las personas con grupo sanguíneo 0 y factor negativo son donantes universales

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4. Silogismos inductivos

Presentaremos otro tipo de argumento inductivo: el silogismo inductivo. Consideramos este tipo de argumento a partir de un ejemplo. Supongamos que leemos en el diario que de acuerdo con las estadísticas realizadas el último año, la mayoría de los egresados de la Universidad de Buenos Aires consiguen trabajo rápidamente. Nuestra amiga Jimena se acaba de recibir de licenciada en Comunicación Social y está un tanto inquieta por su futuro laboral; tras leer el diario, seguramente pensemos que es una buena idea comentarle a ella sobre el contenido del artículo. ¿Por qué? La respuesta obvia sería: porque ella estudió en la UBA. Esto es cierto; este último dato junto con la información provista por el diario aportan ciertas esperanzas. ¿Puede Jimena descansar tranquila pensando que todo está resuelto? Sin duda que no, los datos señalan que “la mayoría” obtiene empleos rápidamente, no que todos lo hacen. Sin embargo, sin duda también, la información la habrá de dejar un poco más tranquila. Podríamos reconstruir el razonamiento o argumento del siguiente modo: La mayoría de los egresados de la Universidad de Buenos Aires consiguen trabajo rápidamente Jimena es egresada de la Universidad de Buenos Aires Jimena conseguirá trabajo rápidamente

Nuevamente, se trata de un razonamiento o argumento inductivo: la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas, pero estas sí les confieren cierto apoyo. La estructura general del silogismo inductivo puede delinearse del siguiente modo: El n por ciento (o la mayoría, o muchos) de los F son G x es F Por lo tanto, x es G

A diferencia de lo que ocurre con los argumentos inductivos por enumeración, los silogismos inductivos no generalizan en la conclusión partiendo de premisas menos generales, sino a la inversa. En estos argumentos, una de las premisas posee la forma de una generalización estadística y la otra subsume un caso en dicha generalización, para concluir que ese caso cumple con aquello establecido por la generalización. Tal como vimos en la lección 2, las generalizaciones estadísticas pueden entender como estableciendo la frecuencia relativa de dos propiedades, la de ser F y la de ser G; es decir, establece qué porcentaje (o, cuantitativamente, qué cantidad) de los F son G o cuál es la probabilidad de que un F sea G.

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IPC – UBA XXI Ejercicio 5 Complete los siguientes argumentos para que resulten tener la forma de un silogismo inductivo. a. La probabilidad de que al tirar un dado salga un número mayor o igual a 2 es de 5/6 Juan lanzó un dado …………………………………. Opciones: Opción 1: Opción 2: Opción 3: Opción 4:

En el dado saldrá un número mayor o igual a 2 En el dado no saldrá un número mayor o igual a 2 En el dado saldrá el 5 La probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 1 es menor que la de que salga un número mayor o igual a 2

b. .........………………… Mateo tiene gripe, se hidrata y guarda reposo Mateo se recuperará de la gripe Opciones: Opción 1: Opción 2: Opción 3: Opción 4:

La mayoría de quienes padecen gripe son niños La mayoría de quienes padecen gripe se recuperan al hidratarse y guardar reposo Todos los que padecen gripe se recuperan al hidratarse y guardar repos. Diana tiene gripe, se hidrata, guarda reposo y se recupera

Ejercicio 6 1. Empareje los argumentos que se ofrecen con el tipo de argumento al cual corresponde. a. La mayoría de los estudiantes sufren trastornos del sueño Paula es estudiante Paula sufre trastornos del sueño

c. Silogismo inductivo d. Deductivo

b. Todos los pájaros tienen plumas Gregorio es un pájaro Gregorio tiene plumas

e. Ninguna de las opciones anteriores es correcta.

2. Empareje los argumentos que se ofrecen con el tipo de argumento al cual corresponde.

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IPC – UBA XXI a. El atún es un pez y tiene escamas El dorado es un pez y tiene escamas El salmón es un pez El salmón tiene escamas b. La mayoría de los peces tienen escamas El salmón es un pez El salmón tiene escamas c. Todos los peces tienen escamas El salmón es un pez El salmón tiene escamas d. El atún es un pez y tiene escamas El dorado es un pez y tiene escamas El salmón es un pez y tiene escamas Todos los peces tienen escamas

e. Silogismo inductivo

f. Deductivo

g. Inductivo por analogía h. Inductivo por enumeración incompleta i. Ninguna de las opciones anteriores es correcta.

5. LA EVALUACIÓN DE ARGUMENTOS INDUCTIVOS

Vimos que en los argumentos inductivos las premisas ofrecen algún apoyo, generalmente parcial. De modo que no podemos juzgar estos argumentos con los mismos criterios que juzgábamos a los deductivos. Cuanto mayor sea ese apoyo, más fuerte será el argumento, y a la inversa, cuanto menor sea el apoyo, más débil será el argumento. En otras palabras: dada la verdad de las premisas, la verdad de la conclusión será probable (más o menos probable), pero siempre subsistirá la posibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Por más fuerte que sea el argumento inductivo, la conclusión no queda establecida de modo concluyente, lo cual era de esperarse al no tratarse de argumentos deductivos y, por ende, válidos. Sin embargo, hay mejores y peores argumentos, y será nuestra tarea delinear algunos criterios. Pero la tarea es un tanto más compleja que en el caso de los deductivos. Disponer del criterio de preservación de verdad en el caso de los argumentos deductivos, nos permitía diferenciar los argumentos en válidos e inválidos. Pero en el caso de los argumentos inductivos, la corrección se presenta en grados, por así decir. De lo que se trata, entonces, es de determinar cuán fuerte es un argumento, y los criterios variarán según el tipo de argumento que se evalúe, si por analogía, por enumeración o un silogismo inductivo. Por otra parte, para la determinación de la validez de un argumento deductivo bastaba con atender a su forma. No ocurre lo mismo con los inductivos: deberemos prestar particular atención al contenido para determinar qué tan fuerte o débil es el argumento. Recapitulemos un poco y recordemos que evaluar los argumentos involucraba dos cuestiones:

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IPC – UBA XXI 1. ¿Logran las premisas ofrecer apoyo a la conclusión? ¿En qué grado lo hacen? 2. ¿Son las premisas verdaderas? ¿Qué tan confiables son? Según vimos, en el caso de los argumentos deductivos ambas cuestiones eran bastante independientes (de hecho estudiamos la validez sin prestar demasiada atención al contendido o a la verdad efectiva de las premisas y conclusión de los argumentos). Insistimos en que la validez estaba ligada con la forma del argumento y que era independiente del contenido, independiente de aquello de lo que trataba el argumento por analizar. Había formas válidas y formas inválidas, y si un argumento era tal que lo podíamos reconstruir con una forma válida, eso nos aseguraba que el argumento en cuestión era válido. Esto no ocurre con los argumentos inductivos. Si bien vimos que revisten formas diferentes, no alcanza con atender a la forma para determinar si es bueno o malo, correcto o incorrecto, más o menos fuerte. El contenido –aquello de lo que hablan las premisas y conclusión– es sumamente relevante a la hora de evaluar el vínculo que existe entre premisas y conclusión, a la hora de evaluar cuánto apoyo las premisas proveen a la conclusión. Para ilustrar este punto atendamos al siguiente ejemplo: Marte es un planeta exterior del sistema solar y está deshabitado Júpiter es un planeta exterior del sistema solar y está deshabitado Saturno es un planeta exterior del sistema solar y está deshabitado Los planetas exteriores del sistema solar están deshabitados Y consideremos otro con estructura semejante: La casa de Adriana está situada en La Plata y está deshabitada La casa de Nicolás está situada en La Plata y está deshabitada La casa de Jorge está situada en La Plata y está deshabitada Las casas de La plata están deshabitadas

Seguramente ya sospeche que la evaluación de uno y otro argumento no puede ser la misma; esto es, si bien ambos argumentos tienen la misma forma (la de un argumento inductivo por enumeración) y contemplan exactamente el mismo número de casos para, a partir de allí, generalizar, no se trata de argumentos igualmente buenos. ¿Ofrecen el mismo apoyo las premisas del primer argumento a su conclusión que las del segundo a la suya? Resulta sensato responder negativamente. Las premisas del primer argumento ofrecen mayor apoyo que las del segundo. ¿Por qué? Porque el primer argumento trata sobre planetas del sistema solar y el segundo sobre casas en La Plata. ¿Y qué tienen los planetas que no tengan las casas? La respuesta es simple: que son muchos menos. Vemos, entonces, que el veredicto sobre las bondades de un argumento inductivo no Natalia M. Buacar y Diego E. Tajer

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IPC – UBA XXI puede reducirse a atender a la estructura, pues su evaluación supone la consideración de otros factores. Por ejemplo, en el caso de los inductivos por enumeración incompleta, la evaluación ha de tener en cuenta también la extensión del conjunto de que se trate. Nuestro primer ejemplo refiere a los planetas exteriores del sistema solar – los cuales se reducen a cuatro–; el segundo ejemplo refiere a las casas en la ciudad de La Plata –conjunto mucho mayor que el anterior–. Así, en un caso no parece tan aventurada la generalización como en el otro. Ya hemos anticipado que para los argumentos inductivos no disponemos de un patrón claro como la preservación de la verdad. Por eso, la evaluación de los argumentos inductivos es un tanto más compleja, y tal como veremos, depende de qué tipo de argumento inductivo se trate y de los conocimientos subyacentes. Por esta razón, tendremos que considerar los diferentes tipos de argumentos inductivos y para cada uno de ellos ofrecer algunos criterios para su evaluación y, consecuentemente, para su crítica. Los criterios que proponemos distan de ser exhaustivos. Nuevamente, hemos de insistir en que si bien nuestra atención se centra en el vínculo entre premisas y conclusión, los argumentos inductivos también pueden ser criticados desafiando la verdad de las premisas.

Ejercicio 7 Determine la verdad o falsedad de los siguientes enunciados. a. b. c. d.

Para evaluar un argumento inductivo es suficiente atender a su estructura. No existe un criterio único que permita distinguir buenos y malos argumentos inductivos. Hay argumentos que no logran establecer de modo concluyente la conclusión pero que son correctos. Para evaluar un argumento inductivo es necesario atender a su estructura.

6. Evaluación de argumentos por analogía

Hay mejores y peores argumentos por analogía, más o menos fuertes, y ello depende de diversos factores. En lo que sigue mencionaremos algunos de estos factores. Tomemos el siguiente ejemplo: en él se infiere algo respecto de un evento futuro sobre la base de cierta analogía de ese evento futuro con eventos acontecidos en el pasado: (i) Durante cada día de la última semana Félix ha comprado vegetales en la verdulería Todo Verde y estos resultaron muy buenos Hoy Félix comprará vegetales en la verdulería Todo Verde

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IPC – UBA XXI Probablemente, los vegetales resulten muy buenos En este ejemplo se establece una analogía entre los vegetales que fueron comprados y los próximos: todos habrán sido adquiridos en la verdulería Todo Verde, y a partir de ello se infiere que los vegetales por comprar serán similares a los ya comprados y en un nuevo sentido: resultarán ser muy buenos. Inferencias de este tipo son muy comunes en nuestra vida cotidiana; ahora bien ¿en qué condiciones podemos fiarnos de ellas? La consideración del ejemplo sugiere que un primer criterio para evaluar argumentos de este tipo tiene que ver con la relevancia de las similitudes sobre las que se funda la inferencia. Esto es, si las similitudes observadas entre los distintos casos son relevantes respecto de aquella similitud inferida. Para aclarar esto comparemos el ejemplo anterior con el siguiente: (ii) Durante cada día de la última semana Félix ha ido a comprar vegetales luciendo su sombrero azul y estos resultaron muy buenos Hoy Félix irá a comprar vegetales luciendo su sombrero azul Probablemente, los vegetales resulten muy buenos

Intuitivamente, resulta razonable creer que la conclusión del primer argumento será el caso; sin embargo, seguramente guardemos algunas reservas respecto de la conclusión del segundo argumento. El argumento presentado en el segundo ejemplo es más débil que el primero, y la razón de ello radica en que parece razonable suponer que la elección de una verdulería determinada es relevante en la calidad de los vegetales adquiridos, mientras que la elección de un vestuario específico no nos garantiza nada respecto de la calidad de los vegetales que podamos adquirir luciendo dicho vestuario. Un primer criterio en la evaluación de los argumentos inductivos por analogía se funda en la relevancia del o los aspectos sobre los que se asienta la analogía. Lo que se pretende es que exista una genuina conexión entre las características compartidas en los distintos casos considerados y la característica adicional que se pretende atribuir al caso particular mencionado en la conclusión. Atendiendo a lo anterior, podemos mencionar un segundo criterio. Cuanto mayor sean los aspectos relevantes en los que los casos se parecen, más fuerte será el argumento. Nuevamente es necesario insistir en que los aspectos que se citan han de ser relevantes con respecto a aquello que se quiere concluir. Para ilustrar este punto volvamos al ejemplo (i): el argumento allí formulado no se vería fortalecido frente a nueva información que indicase que todas las veces que Félix fue a comprar a la verdulería en el pasado lo había hecho después de comerse una barrita de cereal y que hoy hará lo mismo. Nuevamente, esta nueva similitud no es relevante para la similitud que se pretende establecer. Sin embargo, si supiésemos que todas las veces que Félix ha comprado vegetales en el pasado, la verdulería acababa de recibir verduras frescas provenientes del Mercado Central y que hoy nuevamente ese será el caso, esta nueva información vuelve a la conclusión más probable. El argumento resultante es: (iii) Durante cada día de la última semana Félix ha comprado vegetales en la Natalia M. Buacar y Diego E. Tajer

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IPC – UBA XXI verdulería Todo Verde luego de que recibieran mercadería fresca del Mercado Central y estos resultaron muy buenos Hoy Félix comprará vegetales en la verdulería Todo Verde luego de que reciban mercadería fresca del Mercado Central Probablemente, los vegetales resulten muy buenos Esta nueva versión del argumento (i) es más fuerte, pues se basa en una mayor cantidad de similitudes relevantes entre los casos pasados y el caso futuro. A la inversa, cuanto más disímiles en un sentido relevante sean las instancias comparadas, más débil tenderá a ser el argumento. Así por ejemplo: (iv) Durante cada día de la última semana Félix ha comprado vegetales en la verdulería Todo Verde y estos resultaron muy buenos Hoy Félix comprará vegetales en la verdulería Todo Verde Hoy ninguna verdulería recibió mercadería fresca por un paro de camiones en el Mercado Central Probablemente, los vegetales resulten muy buenos Es un argumento más débil que el original, pues cabe esperar que la diferencia introducida entre los casos pasados y el caso futuro de compra es relevante respecto de aquello afirmado por la conclusión. Un último criterio radica en la cantidad, ya no de aspectos en los que se asienta la analogía, sino de casos o instancias que se ofrecen como premisa. Podemos variar el argumento (i) y volverlo más fuerte (ejemplo v) o más débil (ejemplo vi): (v) Durante cada día de los últimos seis meses Félix ha comprado vegetales en la verdulería Todo Verde y estos resultaron muy buenos Hoy Félix comprará vegetales en la verdulería Todo Verde Probablemente, los vegetales resulten muy buenos

(vi) Ayer Félix compró vegetales en la verdulería Todo Verde y estos resultaron muy buenos Hoy Félix comprará vegetales en la verdulería Todo Verde Probablemente, los vegetales resulten muy buenos Podemos afirmar entonces que cuanto mayor sea la cantidad de casos o instancias que son similares en uno (o más) sentido(s) relevante(s) respecto de la característica que se pretende inferir, más fuerte será el argumento. En resumen, los factores por tener en cuenta son: (1) que las propiedades a partir de las cuales planteamos la analogía sean relevantes para la propiedad que inferimos; (2) que mientras más aspectos compartan los casos analizados, más fuerte será el argumento; y (3) que mientras más casos análogos se consignen, más fuerte será el argumento por analogía.

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Ejercicio 8 Dado el siguiente argumento: En Estados Unidos, Inglaterra y Canadá existe un organismo del Estado que aplica políticas monetarias y la tasa de interés interbancaria es inferior al 1% anual En la Argentina existe un organismo del Estado que aplica políticas monetarias En la Argentina la tasa de interés interbancaria es inferior al 1% anual a. Determine de qué tipo es. b. ¿Le parece que se trata de un argumento fuerte? ¿Por qué? c. ¿Qué información serviría para fortalecer el argumento? Proporcione un ejemplo de premisa adicional.

7. Evaluación de argumentos por enumeración incompleta

En los argumentos inductivos por enumeración, se parte en las premisas de una serie de casos, eventos o entidades observadas y se generaliza en su conclusión para casos, eventos o entidades que van más allá de la evidencia disponible. Recordemos la estructura de estos argumentos: x1 es Z .... xn es Z Todos los x son Z Dicha estructura sugiere que un primer criterio para evaluarlos tiene que ver con cuántos casos se mencionan en las premisas, y parecería que cuanto mayor sea la cantidad, más probable será que la conclusión se dé, más fuerte será el argumento. Así, por ejemplo, dado el siguiente argumento parece apresurado y débil: María Gómez es porteña y está en contra de la despenalización del aborto Pedro Álvarez es porteño y está en contra de la despenalización del aborto Francisco Godoy es porteño y está en contra de la despenalización del aborto Todos los porteños están en contra de la despenalización del aborto Por el contrario, un argumento que entre sus premisas contase con un millón de casos y concluyese lo mismo, sería tal que brindaría un mayor apoyo a las premisas.

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IPC – UBA XXI Al igual que lo que ocurría con los argumentos por analogía, la evaluación de los argumentos por enumeración no puede reducirse a una mera cuestión de número. Más específicamente, no se trata solo de cuán grande sea la muestra sobre la que se basa la ulterior generalización, sino también de cuán representativa es esta respecto de la totalidad de la población. Un tipo de consideración fundamental en este tipo de argumentos es precisamente que la muestra que como base de la generalización sea representativa. Para que una muestra sea representativa no debe estar sesgada; esto significa que cualquier elemento de la población por considerar tiene igual chance de formar parte de la muestra. Si la selección de los casos considerados en las premisas no es arbitraria, ello pone en cuestión la representatividad de la muestra y la fortaleza del argumento. Seguramente, siguiendo con nuestro ejemplo, consideraríamos más débil el argumento con un millón de casos encuestados si dichas encuestas hubiesen sido realizadas a fieles que salen de iglesias y templos de diferentes religiones que si se hubiesen tomado al azar un millón de diferentes habitantes de la ciudad de Buenos Aires.

Ejercicio 9 Dado el siguiente argumento: Cada vez son más los países que han prohibido la clonación humana, entre ellos: Estados Unidos, Costa Rica, Dinamarca, España, Estonia, Finlandia, Francia, Grecia, Islandia, Italia, Letonia, Luxemburgo, Moldavia, Noruega, Portugal, Rumania, San Marino, Eslovenia, Suecia, Macedonia y Turquía. Es de esperar que la prohibición alcance nivel mundial.

a. Determine de qué tipo es. b. ¿Le parece que se trata de un argumento fuerte? ¿Por qué? c. ¿Qué información serviría para fortalecer el argumento? Proporcione un ejemplo de premisa adicional.

8. Evaluación de silogismos inductivos

A diferencia de lo que ocurre con los argumentos inductivos por enumeración, vimos que los silogismos inductivos no generalizan en la conclusión partiendo de premisas menos generales, sino a la inversa. Ello quedaba reflejado en su estructura: El n por ciento (o la mayoría, o muchos) de los F son G x es F

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IPC – UBA XXI x es G En estos argumentos, una de las premisas posee la forma de una generalización estadística, que según vimos en la Lección Nº2, establece la frecuencia relativa de dos propiedades, la de ser F y la de ser G; es decir, establece qué porcentaje (o, cuantitativamente, qué cantidad) de los F son G. Obviamente cuanto mayor sea la frecuencia relativa, más fuerte será el razonamiento (la conclusión será más probable dada la verdad de las premisas). A la inversa, cuanto menor sea esta, más débil será el argumento en cuestión. Así por ejemplo, dado el siguiente argumento, las premisas parecen ofrecer un fuerte apoyo a su conclusión. (i) El 95% de los pacientes que padecen de una infección causada por estreptococos se recuperan al ser tratados con penicilina. Jorge padece una infección causada por estreptococos y es tratado con penicilina. Por lo tanto, Jorge se recuperará. Si el porcentaje de recuperación fuera de un cincuenta por ciento, seguramente mantendríamos ciertas reservas a la hora de inferir si Jorge se habrá de recuperar o no. Y si dicho porcentaje fuese solo del dos por ciento, el argumento sería incorrecto. El siguiente argumento, que establece la conclusión contraria, habría de ser considerado fuerte: (ii) El 2% de los pacientes que padecen de una infección causada por estreptococos se recuperan al ser tratados con penicilina. Juan padece una infección con estreptococos y es tratado con penicilina. Por lo tanto, Juan no se recuperará. Otro factor por tener en cuenta al evaluar argumentos de este tipo es que se ha de considerar el total de la evidencia disponible. Consideremos ahora el siguiente ejemplo. (iii) La probabilidad de recuperación del tratamiento con penicilina de un paciente que padece una infección causada por estreptococos en una variedad resistente a la penicilina es casi nula. Jorge padece una infección con estreptococos en una variante resistente a la penicilina y es tratado con penicilina. Por lo tanto, Jorge no se recuperará. En la evaluación de este tipo de argumentos resulta crucial tomar en cuenta el total de evidencia disponible y, en particular, atender a aquella que resulte más específica. Si observamos esta indicación, a la luz de la información disponible a propósito de Jorge, habremos de considerar que el argumento número (iii) es sustantivamente más fuerte que el (i).

Ejercicio 10 Determine si el siguiente argumento es débil o fuerte. Justifique brevemente su

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IPC – UBA XXI respuesta. La probabilidad de que se estrelle un avión que despega es cercana a cero El avión en el que viaja Osvaldo acaba de despegar El avión en el que viaja Osvaldo se estrellará

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Lección N.º 5: Sistemas axiomáticos 1. Origen de los primeros conocimientos geométricos

Los primeros conocimientos matemáticos no se originaron en Grecia, como muchas veces se sostiene. Aunque fragmentarios, hay documentos de los pueblos mesopotámicos (sumerios, babilonios) y de los egipcios –civilizaciones que florecieron antes que los griegos– que prueban que estos pueblos disponían de conocimientos en el área de la geometría y de la aritmética. Sin tales conocimientos, no habrían podido construir edificios de arquitectura tan compleja como los templos de la Mesopotamia o las pirámides de Egipto, ni podrían haber demarcado anualmente parcelas tras las crecidas del río Nilo. La característica fundamental de los documentos encontrados tanto en la Mesopotamia como en Egipto es que contienen conocimientos aislados, no articulados entre sí. Allí aparecen resueltos algunos problemas de índole práctica, pero no se ofrece de ellos prueba alguna o método de resolución; simplemente se resumen los resultados. En los textos matemáticos egipcios, por ejemplo, el tratamiento de los números y de las figuras era de carácter concreto, no abstracto. Podemos encontrar en ellos afirmaciones parecidas a que “25 aceitunas más 15 aceitunas son 40 aceitunas”, pero no aparece explicitado el cálculo abstracto “25 + 15 = 40”. Del mismo modo, no se hace referencia a figuras geométricas abstractas (rectángulo, círculo), sino a cuerpos materiales concretos, como un terreno rectangular o una vasija circular. La geometría prehelénica constituye una técnica cuyo fin fundamental era la práctica. Intentaba dar respuesta a problemas concretos y de índole cotidiana, por eso muchos de sus resultados no fueron exactos, sino solo aproximados. Si bien estos conocimientos no configuraban un sistema –es decir, no se hallaban relacionados entre sí, no estaban organizados–, es conveniente resaltar su importancia, ya que les permitieron levantar diques, estatuas, templos, pirámides; repartir tierras; calcular áreas y volúmenes, y otras múltiples aplicaciones.

Ejercicio 1 Determine la verdad o falsedad de los enunciados que se listan a continuación. a. b. c.

Las civilizaciones prehelénicas carecían de conocimientos matemáticos. Los egipcios lograron un grado de abstracción matemática notablemente elevado. Los pueblos de la Mesopotamia desarrollaron una matemática tendiente a la

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d.

resolución de problemas prácticos. La matemática prehelénica no estaba organizada sistemáticamente.

2. Geometría griega

Hacia el siglo VII a. C., comienza a desarrollarse una forma peculiar de pensamiento para tratar de explicar los fenómenos de la naturaleza. Esta forma de pensamiento surge en las ciudades griegas de la costa egea del Asia Menor, ciudades que recibieron la influencia de los fenicios, los egipcios y los cretenses por vía marítima, y de los pueblos del Asia Menor por vía terrestre. Si bien la posición geográfica fue un factor importante, ella no explica por sí sola el surgimiento del genio griego. A este factor hay que sumarle otras razones de índole política y social que permiten explicar el desarrollo intelectual de los griegos, cuya nueva actitud frente a la naturaleza se basaba en el intento de ofrecer explicaciones de los fenómenos naturales sin apelar a elementos míticos o sobrenaturales. En este contexto surgieron algunos pensadores, como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes, que inauguraron una forma de especulación racional sobre la naturaleza que constituye el origen histórico de lo que llamamos ciencia. Dichos pensadores reconocieron la importancia de la teoría como organizadora de la práctica. Esto significa que los conocimientos prácticos, basados en la experiencia, tenían que poder explicarse a partir de nociones teóricas. A partir de estas nuevas ideas, los conocimientos de carácter concreto, singular y sin articulación de los egipcios y de los babilonios se fueron desarrollando y adquirieron un carácter más abstracto y un grado mayor de generalización, al tiempo que se iban integrando en un único cuerpo de conocimiento. Entre estos pensadores nos interesa la figura de Tales de Mileto1, uno de los primeros matemáticos y astrónomos griegos, y uno de los primeros en utilizar métodos deductivos en la geometría. Como vimos en la lección anterior, la aplicación de métodos deductivos permite justificar un enunciado a partir de otros enunciados ya conocidos. La principal contribución de Tales no fue la resolución de problemas geométricos –muchos de los cuales ya tenían solución–, sino el tratamiento general de esos problemas. Esto le permitió formular y aplicar propiedades de carácter general, dándoles más importancia a los métodos involucrados en la resolución de problemas que a las soluciones particulares. Vamos a aclarar a qué nos referimos cuando:

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) 1. hablamos de hallar soluciones particulares a problemas concretos (como hacían los pueblos de la Mesopotamia) 2. hablamos del tratamiento general de los problemas 1. Supongamos que tenemos un campo rectangular de 200 m de largo por 100 m de ancho. Si queremos averiguar cuántos metros de alambre se necesitan para cercar el campo, tendremos que calcular el perímetro de ese campo: P = 200 + 100 + 200 + 100 = 600. Se necesitan, entonces, 600 m de alambre. Hemos resuelto un problema de forma particular. 2. Ahora queremos obtener una expresión que nos permita calcular el perímetro de cualquier rectángulo sin importar la medida de sus lados.

a b Si llamamos a y b a sus lados, podremos calcular su perímetro: P = a + b + a + b = 2a + 2b Ahora hemos resuelto el problema de forma general.

------------------------1. Se estima que Tales de Mileto floreció alrededor del 585 a.C. y que murió hacia el 546-545 a.C. aproximadamente.

Ejercicio 2 Complete cada una de las oraciones que se listan a la izquierda con la opción de la derecha que corresponda. a. Una nueva actitud hacia la naturaleza por parte de los pensadores griegos dio lugar a lo que hoy llamamos ….......... d. el método deductivo b. Tales fue uno de los primeros matemáticos en utilizar ………… c. Los griegos dieron .....… a los problemas matemáticos.

e. un tratamiento general f. ciencia

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3. Euclides y la geometría

La tarea de sistematización de los conocimientos matemáticos alcanza un hito fundamental con el trabajo de Euclides1, un matemático que enseñaba geometría en Alejandría2 y que logró sistematizar, por primera vez, una serie de conocimientos geométricos cuya finalidad inmediata no era la resolución de problemas concretos, a la manera de los egipcios y de los babilonios. Cuando hablamos de sistematizar, nos referimos a la circunstancia de que los enunciados se presentan articulados, organizados, estructurados; es decir, no se trata de enunciados sueltos, sin relación entre ellos, sino que se van infiriendo –o deduciendo, para decirlo de manera más precisa– unos de otros. Entre las obras de Euclides que se han conservado, la más importante son los Elementos, que pasó en su momento casi inadvertida, aunque luego tuvo gran relevancia en el desarrollo de la geometría. En ella se perfeccionan y se demuestran de forma rigurosa todos los conocimientos geométricos anteriores. Para llevar a cabo la sistematización, Euclides siguió los lineamientos que, según Aristóteles, debía cumplir una ciencia demostrativa. Muy brevemente: desde la perspectiva aristotélica, la ciencia era concebida como un conjunto de afirmaciones sobre un determinado objeto, siendo requisito que tales afirmaciones fueran generales y necesariamente verdaderas3. Además, esas afirmaciones debían estar articuladas de modo orgánico –tal como ya vimos a propósito de Tales– mediante la aplicación de un razonamiento lógico que permitiera apoyar ciertas afirmaciones en otras que se tomaban como punto de partida o como principios, y respecto de las cuales no se exigía demostración pues se trataban de verdades evidentes4. En cuanto al vocabulario contenido en tales enunciados, también aquí se introduce una distinción entre algunos términos que se toman como primitivos y otros que se definen a partir de aquellos. Estos lineamientos tuvieron un enorme impacto en el desarrollo de la matemática. Algunos de ellos subsisten hoy en día y otros han sido sometidos a crítica, pero esto recién ocurrirá en el siglo XIX. Volvamos a los Elementos. Allí Euclides parece querer sistematizar no solo la geometría, sino toda la matemática conocida hasta entonces. El texto se desarrolla en trece libros; los cuatro primeros libros se refieren específicamente a la geometría plana. En el primero de ellos, Euclides establece una serie de enunciados que son suposiciones que se aceptan sin demostración y que constituyen los principios a partir de los cuales se va a poder demostrar el resto de los enunciados del sistema. Euclides distingue distintos tipos de principios y los llama postulados, nociones comunes y definiciones. Los postulados –hoy en día denominados axiomas– son aquellos que se refieren a una ciencia en particular, en este caso la geometría, y son los siguientes5: 1. Desde un punto a otro siempre se puede trazar una recta.

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) 2. Una recta se puede prolongar indefinidamente en cualquiera de sus dos direcciones. 3. Dado un punto y un segmento, se puede construir un círculo que tenga a ese punto como centro y a ese segmento como radio. 4. Los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. Si una recta corta a otras dos de manera que la suma de los ángulos interiores de un mismo lado sea menor que dos ángulos rectos, entonces dichas rectas, prolongadas suficientemente, se cortarán del mismo lado de la primera línea recta en que se encuentren aquellos ángulos cuya suma es menor que dos rectos. La formulación del postulado 5 que aquí damos es afín a la versión original enunciada por Euclides y, como podrá observar el lector, es de una complejidad mucho mayor que la de los cuatro postulados anteriores. Este postulado 5 se conoce como postulado de las paralelas y dará lugar, como veremos luego, a intensas discusiones y a cambios de gran importancia en la historia de la geometría. Más adelante nos ocuparemos de aclarar qué afirma este quinto postulado. Al leer estos postulados, podemos ver que el enfoque euclidiano de la geometría es diferente del enfoque empírico que empleaban, por ejemplo, los egipcios. Los tres primeros postulados de Euclides muestran que no se está discutiendo directamente ningún problema real ni concreto de la medición de la tierra, ya que en las circunstancias reales de la medición no es cierto que de un punto a otro pueda trazarse siempre una línea recta; puede haber muchos obstáculos (montañas, el mar, lagos, etc.) que lo impidieran. Tampoco es cierto que en circunstancias reales una línea recta pueda extenderse siempre en línea recta. En la práctica, una línea vertical puede prolongarse solo una distancia finita hacia arriba o hacia abajo; incluso al trazar una línea horizontal hay que detenerse al encontrar trabas impenetrables. Tampoco puede trazarse con un centro y cualquier radio dado un círculo: si el radio es muy grande, probablemente nos encontraremos con dificultades. Euclides sabía todo esto, pero se despreocupaba de estas limitaciones prácticas. Para él, en principio, una línea recta puede trazarse entre dos puntos aunque no podamos hacerlo en la práctica. Lo mismo ocurre con la prolongación de las rectas y el trazado de los círculos. Además de los postulados, figuran en el primer libro otros enunciados, llamados nociones comunes, que hacen referencia a cuestiones generales que pueden aplicarse tanto a la geometría como a otros ámbitos. Algunos ejemplos de estas nociones comunes son: • •

Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Junto con los postulados y nociones comunes, Euclides incluye las definiciones. Por

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) ejemplo: • •

Un punto es lo que no tiene partes. Una línea es una longitud sin anchura.

En este punto Euclides se despega de los lineamientos aristotélicos que indicaban comenzar con ciertos términos que se tomaban como puntos de partida y no se definían. Sin embargo, vemos que Euclides pretende definir todos los términos con los que trabaja, por ejemplo punto o recta. Aparentemente su intención fue dar descripciones someras de los objetos con los que trata la geometría para evitar que en las demostraciones se deslizaran errores causados por la vaguedad de los términos usados. Como veremos, las presentaciones axiomáticas de la actualidad son afines a las recomendaciones aristotélicas y no a la estrategia empleada por Euclides. A partir de los postulados y de las nociones comunes, Euclides obtiene deductivamente una serie de enunciados llamados por él proposiciones, o en terminología contemporánea, teoremas. Como los postulados y las nociones comunes se consideran enunciados verdaderos y las proposiciones –o teoremas– se obtienen deductivamente a partir de ellos, resultan también enunciados verdaderos y, frecuentemente, tienen la forma de enunciados universales. Euclides construye demostraciones de las proposiciones o teoremas, en algún sentido similares a las deducciones estudiadas en la lección 3. Pero a diferencia de lo que vimos allí en relación con la construcción de deducciones, Euclides no explicita las reglas de inferencia según las cuales procede en cada paso de la demostración; solo parte de principios y va obteniendo sucesivas consecuencias. Será una preocupación central de los matemáticos y lógicos del siglo XIX la explicitación de la lógica subyacente a las demostraciones geométricas. ----------------------1. No hay muchos datos certeros sobre la vida de Euclides, usualmente se lo sitúa entre Aristóteles (384-322 a. C.) y Arquímedes (287-212 a. C. aprox.). 2. Alejandría fue fundada por Alejandro Magno en la desembocadura del Nilo en el 331 a. C. Después de la muerte de Alejandro (323 a. C.) se convirtió en la capital cultural y científica del mundo helénico. 3. "Necesariamente verdaderas" y "generales" ha de entenderse en el mismo sentido que lo estudiado en las lecciones anteriores. A diferencia de lo que ocurre con los enunciados contingentes, lo enunciado por una oración necesariamente verdadera es el caso y no podría ser de otro modo. En cuanto a la exigencia de generalidad, ella radica en la convicción aristotélica de que la ciencia es sobre lo general y no sobre entidades particulares; por ejemplo, sobre los triángulos en general y no sobre uno específico. 4. Ahondaremos este punto más adelante, pero a modo de anticipo: ¿qué le parece que ocurriría si se extendiera la exigencia de que un enunciado debe estar demostrado a todos los enunciados? 5. En sentido estricto, la formulación original de Euclides tiene otro tenor. Por ejemplo, el primer

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) postulado reza: “Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera” (elegimos aquí esta reformulación por cuestiones de simplicidad).

Ejercicio 3 Antes de avanzar con la lectura, asegúrese de poder responder las siguientes preguntas: a. ¿Quién fue Euclides? ¿Cuándo y dónde vivió? b. ¿Cuál fue su obra magna y cuál su aporte a la geometría? c. ¿Cuántos postulados establece en su sistema? d. ¿Qué es un postulado?, ¿en qué se diferencia de las nociones comunes? e. ¿Cuál es el método empleado por Euclides para la obtención de teoremas? f. Este método, ¿qué propiedad les garantiza a los teoremas y en qué condiciones? g. ¿Cómo definiría un teorema? h. La geometría de Euclides, ¿era dependiente de las posibilidades prácticas de su aplicación?

4. El problema del quinto postulado

Ya enunciamos con anterioridad los cinco postulados de Euclides. Veamos ahora qué quiere decir lo expresado en esta reformulación del quinto postulado: Si una recta c corta a otras dos a y b formando de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas a y b se cortan del lado donde se encuentran los ángulos mencionados. Tratemos de aclarar lo que quiere decir este postulado atendiendo al siguiente dibujo:

α  

a   P  

c   b  

Si la recta c corta a las rectas a y b y la suma de los ángulos α y β es menor que dos

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) rectos (α + β es menor que 180º), entonces las rectas a y b se cortan en el punto P. Recordemos que en la época de Euclides, un requisito de los axiomas (o postulados) era que su verdad fuera evidente. Si atendemos a esta formulación del quinto postulado, nos damos cuenta de que es mucho menos evidente que los cuatro primeros. El propio Euclides parece haber tenido alguna duda respecto a este postulado, ya que evitó utilizarlo en las demostraciones de los teoremas; llama la atención que recién lo haya utilizado para demostrar la proposición (teorema) 29 del Libro I, aun cuando algunas de las demostraciones anteriores habrían sido más sencillas si lo hubiera utilizado. Esta aparente falta de evidencia de la formulación original del quinto postulado hizo que los geómetras posteriores a la época de Euclides sospecharan que el postulado era, en realidad, un teorema; es decir, que podía ser demostrado a partir de ellos. En términos más precisos, creyeran que el axioma no era independiente de los otros cuatro (un axioma es independiente si no puede deducirse del resto de los axiomas). A lo largo de los siglos, se sucedieron los intentos de demostración, pero toda vez que se creía haberla conseguido, a poco se advertía que no se había partido solo de los cuatro primeros postulados (como era el propósito), sino que se había utilizado también otro enunciado que resultaba equivalente al quinto postulado; es decir, se había empleado en la demostración una versión distinta del postulado que se quería demostrar. Una de esas versiones se debe a John Playfair (matemático escocés, 1748-1819); es la que se utiliza generalmente en la actualidad como versión del quinto postulado y con la que trabajaremos de aquí en adelante: • Por un punto exterior a una recta, puede trazarse una única paralela a dicha recta.1

Los primeros intentos de demostración del postulado en cuestión se remontan al s. I a. C. y se deben a Posidonio2 y a Gémino3, ambos intentaron demostrarlo sin éxito. En las traducciones al griego y al latín de los textos árabes, se encuentran algunos comentarios referidos al quinto postulado. Sin embargo, considerando que la ciencia permaneció aletargada en Europa durante un largo período, recién en el siglo XVI se retoman los intentos de demostración del quinto postulado.

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) ----------------------------1. ¿Qué opina ahora de esta nueva versión del quinto postulado?, ¿le parece más evidente que la anterior? 2. Posidonio de Apamea (135 al 51 a. C., aprox.) fue un filósofo estoico que realizó investigaciones de muy diferente índole: matemáticas, astronómicas, meteorológicas, psicológicas, etnográficas, éticas, entre otras. 3. Gémino de Rodas fue un astrónomo y matemático del siglo I a. C.

Ejercicio 4 Complete las siguientes oraciones de modo que resulten correctas: a. La verdad del quinto postulado de Euclides no es tan ………..... como la de los otros cuatro. b. Por esta razón, los matemáticos posteriores pensaron que podría tratarse de un ………….... c. Los intentos de demostración del quinto postulado no fueron exitosos porque sin quererlo, siempre se apelaba a un enunciado ………......

5. El trabajo de Saccheri

En el año 1733 fue publicado un trabajo de Giovanni Gerolamo Saccheri1. Este trabajo presenta un enfoque metodológico diferente si lo comparamos con los intentos anteriores por demostrar el quinto postulado, pues se trata de una demostración indirecta, o por absurdo, tal como las estudiadas en la lección 3: en vez de tratar de demostrar dicho postulado a partir de los cuatro primeros, intenta probarlo por vía indirecta, partiendo de los postulados 1 a 4 y de la negación del quinto como supuesto provisional. Suponía que iba a encontrar una contradicción que lo llevaría a rechazar ese supuesto provisional y le permitiría, entonces, concluir la afirmación del quinto postulado. Ello valdría como una demostración –de carácter indirecto– del postulado 5 a partir de los otros cuatro y probaría, por ende, que este no era independiente.

Detengámonos un momento, si como se sospechaba, el postulado 5 se deducía de los anteriores (i.e. no era independiente) y se introducía ahora su negación, la contradicción habría de surgir eventualmente. Si bien Saccheri usó la formulación original de Euclides, aquí trabajaremos con la

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) versión más sencilla de Playfair: •

Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta.

¿En qué consiste negar ese postulado? Negarlo puede consistir en afirmar alguno de estos enunciados: • Caso 1. Por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela. • Caso 2. Por un punto exterior a una recta, pasa más de una paralela2. Saccheri avanzó en la deducción de enunciados que resultaban de negar el postulado quinto y las contradicciones esperadas surgieron en el primer caso, pero no ocurrió lo mismo en el segundo. Al suponer los cuatro postulados más la negación del quinto ilustrada en el segundo caso, no llegó a ninguna contradicción, pero como obtuvo una cantidad de teoremas extraños, supuso que la contradicción estaba próxima y creyó y haber vindicado, de este modo, la figura de Euclides. Paradójicamente, la contribución de Saccheri abrió las puertas para el desarrollo futuro de nuevas geometrías, pero esto ocurriría recién a principios del siglo XIX. Durante largo tiempo los geómetras rechazaron estas dos hipótesis que negaban el quinto postulado (casos 1 y 2) –tal como el mismo Saccheri lo hiciera–; la autoridad de Euclides, la confianza en la intuición y el contexto en el que estaban inmersos estos matemáticos pesaron más que sus propias conclusiones. En los años posteriores a la publicación del trabajo de Saccheri –que permitió que empezaran a incubarse nuevas ideas en torno a la geometría–, continuó el intento de demostrar, por distintos métodos, el ya famoso postulado de las paralelas. Varios trabajos, sobre todo en Francia, lograron avances importantes, pero ninguno de ellos pudo demostrar el quinto postulado. A fines del siglo XVII, todos estaban de acuerdo con D´Alambert3, quien decía: “La definición de las paralelas es el escándalo de la geometría”. Todos lo aceptaban, pero nadie lograba quitarle la categoría de postulado. Con ello, se seguía creyendo que el sistema euclídeo era el único sistema geométrico posible. -------------------------1. Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733) fue un matemático italiano. A los dieciocho años ingresó en la Compañía de Jesús. Estudió los Elementos de Euclides bajo la guía del geómetra Tommaso Ceva. Desde 1697 enseñó matemáticas en la Universidad de Pavía. La obra fundamental de Saccheri, publicada el mismo año de su muerte, es Euclides ab omni naevo vindicatus [Euclides reivindicado]. 2. En realidad los casos analizados por Saccheri fueron tres, pues como dijimos, él trabajó con una versión diferente del quinto postulado. No desarrollaremos aquí el detalle del trabajo, ya que excede los objetivos de nuestra materia. Para una presentación más detallada, le sugerimos consultar la bibliografía ampliatoria. 3. D´Alambert (1717-1783) fue un matemático, filósofo y enciclopedista francés, uno de los

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) máximos exponentes del movimiento ilustrado.

 

Ejercicio 5 Determine la verdad o falsedad de las siguientes oraciones. a.

Saccheri intentó demostrar el quinto postulado a partir de la aceptación de los otros cuatro y de la negación del quinto. Pretendía con ello llegar a una contradicción y así probar por absurdo el quinto postulado. Saccheri llegó a enunciados contradictorios y con ello demostró el quinto postulado. Saccheri no llegó a enunciados contradictorios y ello abrió el camino de nuevas geometrías.

b. c. d.

6. Geometrías no euclidianas

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss1 fue el primero que vio con claridad la independencia del quinto postulado y la posibilidad de construir una geometría distinta de la euclídea. Recordemos que un postulado o axioma es independiente cuando no puede deducirse de los demás postulados o axiomas del sistema. Si el postulado quinto de Euclides fuera independiente, podría ser reemplazado por otro y, manteniendo los demás postulados (1 a 4), se podría desarrollar una nueva geometría a partir de ese nuevo grupo de postulados. Eso fue lo que hizo Gauss. Reemplazó el quinto postulado por el siguiente: •

Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse infinitas paralelas a dicha recta.

Se trata de una versión del segundo caso mencionado a propósito de Saccheri. Gauss trabajó con este axioma y con los otros cuatro de Euclides, y demostró propiedades y teoremas que no lo llevaban a ninguna contradicción. Recordemos que esta es una de las ideas que había explorado Saccheri y que rechazó (aunque no había llegado a una contradicción) porque supuso que había algún error en el desarrollo y que la contradicción debía existir, aunque él no hubiera podido hallarla. En esta nueva geometría desarrollada por Gauss, en la que existen infinitas paralelas,

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) se demuestran teoremas distintos a los de la geometría euclídea. Por ejemplo, mientras que a partir de los cinco postulados euclidianos se puede demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (180º), partiendo de los postulados que elige Gauss, resulta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor de 180º. En 1829 Gauss dio a conocer su trabajo, pero solo en forma privada, y nunca lo publicó porque pensaba que sus conclusiones geométricas podían ser consideradas insensatas para la mentalidad de la época. No quiso arriesgar el prestigio que había ganado con sus investigaciones por las cuales se lo llamaba “el príncipe de los matemáticos”. La idea de geometrías no euclídeas ya estaba madura y no habría de pasar mucho tiempo para que irrumpiera en el horizonte de la matemática. En 1823, apareció un trabajo de János Bolyai2 que fue publicado como apéndice de un libro de su padre, también matemático. Dicho trabajo exploraba la hipótesis de la existencia de infinitas paralelas y fue enviado a Gauss, quien le respondió al padre que él había llegado a las mismas conclusiones, aunque no pensaba publicarlas, y que se alegraba de que fuera el hijo de un amigo quien lo hiciera. En 1826, Nikolái Lobachevski3 presentó un trabajo –que habría de completar luego con otras publicaciones– en el que desarrolló un sistema geométrico que tomaba los cuatro primeros axiomas de Euclides y un quinto que afirmaba la existencia de infinitas paralelas, tal como lo habían sugerido Gauss y Bolyai. En esta geometría, que se conoce como geometría hiperbólica, hay teoremas que son comunes con los de la geometría euclídea (todos aquellos que se deducen solo de los cuatro primeros axiomas) y otros que no lo son (aquellos que se demuestran usando el quinto postulado). Entre los últimos se encuentra el de la suma de los ángulos interiores de un triángulo que mencionamos más arriba. Muchos de los contemporáneos de Lobachevski, educados como nosotros en un mundo euclídeo, consideraron que esta geometría resultaba caricaturesca. Recordemos que la geometría hiperbólica resulta de tomar una de las hipótesis de Saccheri, la de la existencia de infinitas paralelas. Faltaba estudiar la otra hipótesis, la de la existencia de ninguna paralela. Cuando Saccheri desarrolló esta hipótesis, había creído encontrar una clara contradicción. En 1854, Bernhard Riemman4 presentó su tesis doctoral ante un jurado del cual formaba parte Gauss, quien se sintió muy entusiasmado con este trabajo. En él se exploraban las consecuencias que surgían al negar el quinto postulado suponiendo la no existencia de rectas paralelas. Esta geometría se denomina geometría elíptica y supone algunas otras modificaciones además de la del quinto postulado. Como en este sistema la recta es cerrada, tampoco se cumple el segundo postulado de Euclides, que es el que postula la infinitud de la Adriana Espejo y Alejandra Valente

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) recta. Al abandonar también este postulado, Riemman evitaba las contradicciones halladas por Saccheri. Como consecuencia de los axiomas de Riemman, se puede probar como teorema que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180º. Resumamos, a modo de conclusión, las principales características de las geometrías presentadas: Tipo de geometría

Euclides

N.º de paralelas Una

Suma de los ángulos de un triángulo

Recta

180º

Infinita

Lobachevski (hiperbólica) Infinitas

Menor que 180º

Infinita

Riemman (elíptica)

Mayor que 180º

Cerrada

Ninguna

Hemos visto que los geómetras lograron desarrollar distintos sistemas incuestionables desde un punto de vista lógico: los nuevos conjuntos de axiomas permitían deducir nuevos teoremas, y tal conjunto de enunciados –por más extraños que resultaran al sentido común– no resultaban contradictorios entre sí. Surgió, entonces, el problema de cómo interpretar estos nuevos sistemas axiomáticos. Una respuesta sencilla fue interpretarlos como juegos, como muestras de los alcances del ingenio y la imaginación humana. Así, durante más de veinte siglos la geometría euclidiana no solo fue la única geometría, sino que fue también la geometría del espacio: se trataba de la geometría que describía el espacio físico. Los puntos, rectas, triángulos de los que se hablaba en los Elementos no eran otros que aquellos que encontramos en los objetos en nuestra vida diaria y aquellos que acostumbramos dibujar. Allí, a todas luces, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º y por un punto exterior a una recta, pasa una paralela y solo una. De este modo, el surgimiento de estas nuevas geometrías originó un cambio en el modo de concebir la disciplina, y se hizo inteligible la distinción entre una geometría pura y una geometría aplicada; entre una geometría matemática y otra física. La primera meramente describía estructuras posibles; la otra pretendía describir la realidad física. Progresivamente, estos sistemas axiomáticos fueron concebidos, entonces, como estructuras formales, que partiendo de ciertos enunciados permitían construir edificios coherentes, pero donde esos enunciados no referían a entidad alguna. Así, al hablar de punto o recta, no se hacía referencia a algo en particular (a ninguna entidad específica),

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) sino que eran términos cuyo comportamiento quedaba establecido a partir de los axiomas. Veamos un ejemplo para aclarar este punto. Supongamos que construimos un sistema axiomático –ahora no sobre geometría, sino sobre regímenes de gobierno– y decidimos tomar los siguientes enunciados como axiomas: 1. 2. 3. 4.

El presidente es electo por el pueblo. El mandato del presidente dura cuatro años. Luego de un primer mandato, el presidente puede ser reelecto. Luego de un segundo mandato, no puede ser reelecto.

Podemos pensar que los axiomas son verdaderos, y en efecto lo son para el caso de la Argentina. Sin embargo, no resultan así si se consideran otros países. En cualquier caso, un sistema que contase con estos principios es consistente. Que un conjunto de axiomas sea consistente quiere decir que no se deriva de ellos contradicción alguna. Pero también es consistente el siguiente sistema: 1. 2. 3. 4.

El presidente es electo por el pueblo. El mandato del presidente dura cuatro años. Luego de un primer mandato, el presidente puede ser reelecto. Luego de un segundo mandato, puede ser reelecto.

Si bien este sistema no describe la organización política de la Argentina, sigue siendo una estructura política posible, y de hecho así es en otros países. Algo interesante podría ser la comparación de las consecuencias que se siguen en uno y otro caso, aunque para volverlo verdaderamente interesante deberíamos incluir más axiomas. Por el contrario, esta nueva organización no funciona: 1. 2. 3. 4.

El presidente es electo por el pueblo. El mandato del presidente dura cuatro años. Luego de un primer mandato, el presidente puede ser reelecto. El presidente nunca puede ser reelecto.

Como podrá observarse, surge una contradicción de la afirmación conjunta de 3 y 4. Este sistema no es consistente. Por eso dijimos al presentarlo que no funciona: falla desde un punto de vista lógico; no importa que se esté hablando de regímenes de gobierno, no importa si se trata de la Argentina o de otro país: el sistema falla. Paradójicamente, el siguiente sistema sí es aceptable desde un punto de vista lógico: 1. El presidente electo desarrolla superpoderes. Adriana Espejo y Alejandra Valente

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) 2. Los superpoderes duran mientras dure el mandato. 3. Luego de su mandato, el presidente no puede recuperar sus superpoderes.

Seguramente estos principios entren en contradicción con las leyes de la biología, sin embargo, a los efectos de analizar el sistema conformado por estos tres axiomas, aquí no surge problema alguno: el sistema es consistente. Sin embargo, como acordará el lector, solo aplicable a un mundo de ficción. El punto por destacar es que podemos ver estos sistemas de axiomas como formales –en el sentido de que no se refieren a un país específico– y obtener las consecuencias que de ellos se derivan. Podemos estudiar el sistema en sí mismo. Desde ya, podríamos luego aplicarlo para el estudio de casos particulares. Para ello, habría que interpretar los términos involucrados en el sistema para que refirieran al caso en cuestión; por ejemplo, para que hablen sobre los presidentes de la Argentina. Volvamos entonces a la geometría. Todo parecía indicar que la geometría euclidiana era la geometría del espacio y que las otras eran más afines a la ficción que a la realidad. Una era la geometría que se aplicaba al mundo; las otras eran sistemas meramente formales. Pero la historia tuvo un desenlace inesperado. Las geometrías no euclidianas no resultaron ser simples ejercicios de lógica; bien por el contrario: son ellas las que permiten interpretar el universo en el que vivimos. La física del átomo y de las estrellas, por caso, las emplean en sus investigaciones; y el mismo Einstein no habría podido desarrollar las ecuaciones de la teoría de la relatividad si no hubiera contado con las herramientas que estas nuevas geometrías aportaron.

----------------------------1. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado “el príncipe de los matemáticos” y “el matemático más grande desde la antigüedad”, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia. 2. János Bolyai (1802-1860) fue un matemático húngaro. 3. Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso. Es considerado, junto con el alemán Carl Gauss y con el húngaro János Bolyai, uno de los fundadores de la geometría no euclidiana o hiperbólica (imaginaria en la denominación de Lobachevski) y como uno de los geómetras más ilustres de todos los tiempos. 4. Bernhard Riemman (1826-1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y a la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general de Einstein.

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7. Sistemas axiomáticos desde una perspectiva contemporánea

En el apartado anterior analizamos el sistema axiomático de Euclides, establecido según el modelo de ciencia demostrativa propuesto por Aristóteles. Ahora vamos a caracterizar con mayor precisión qué es un sistema axiomático desde una perspectiva contemporánea, que aborda los sistemas axiomáticos con un enfoque formal. Veremos que si bien existen grandes similitudes con los planteos de Euclides y de Aristóteles, hay diferencias en algunos aspectos. Siguiendo la sugerencia de sistematicidad y organización deductiva de los enunciados, en un sistema axiomático encontramos dos tipos o categorías de enunciados: axiomas y teoremas. Los axiomas son los enunciados que se aceptan sin demostración y constituyen los puntos de partida de las demostraciones (aquellos que eran denominados postulados por Euclides). A diferencia de Aristóteles y de Euclides, ya no se exige que los axiomas sean verdades evidentes; solo se trata de enunciados que se acepta tomar como puntos de partida. Esta consideración no es casual: el nuevo enfoque formal con que se aborda la formulación de los sistemas axiomáticos hace que pierda sentido la exigencia respecto de la verdad de los axiomas. Puesto que si los axiomas no refieren a entidades específicas, si son meros constructos formales, no cabe ni siquiera predicar de ellos verdad o falsedad. Mucho menos, entonces, exigirla.1 Los teoremas son enunciados que se demuestran (es decir, se deductivamente) a partir de otros enunciados mediante reglas de inferencia.

obtienen

Los sistemas axiomáticos también deben incluir de modo explícito las reglas de inferencia que se utilizan para demostrar teoremas. Las reglas de inferencia presentadas en la lección anterior podrían ser candidatas a ocupar este lugar dentro de un sistema axiomático (seguramente en una versión formalizada de ellas). Como vimos, estas reglas lógicas garantizan que si se parte de enunciados verdaderos, las conclusiones también serán verdaderas. Aplicado a nuestro caso: si se admiten los axiomas como verdaderos, los teoremas también lo son. De modo que las demostraciones parten de axiomas o de teoremas ya demostrados previamente y, por aplicación de las reglas de inferencia, permiten obtener nuevos teoremas. Los axiomas de una demostración juegan un papel similar al de las premisas de una deducción, y los teoremas (último enunciado de una demostración) pueden ser asimilados a su conclusión. Una demostración es, entonces, una secuencia finita de pasos en donde cada uno se deriva de un enunciado anterior que es o bien un axioma, o bien otro teorema que ya ha sido demostrado. Todos estos enunciados están compuestos por términos (expresiones lingüísticas con significado), y podemos distinguir entre ellos dos tipos:

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) • Términos lógicos (expresiones como todos, son, pasan por, si…entonces, y, o, etc., que estudiamos en la segunda lección) • Términos no lógicos: por ejemplo, en el caso de la geometría se refieren a entes geométricos (recta, punto, triángulo, círculo, ángulo, etc.) Dentro de estos últimos podemos distinguir entre: • Términos primitivos: se aceptan y emplean sin definición • Términos definidos: se definen a partir de los primitivos Tal como anticipáramos, Euclides no realiza esta distinción y pretende ofrecer una definición incluso de aquellos términos que hoy consideraríamos primitivos. Varios siglos después, David Hilbert2 desarrollará una nueva sistematización –ahora de carácter formal– de la geometría euclidiana. En sus trabajos tomará punto, recta y plano como términos primitivos, sin incluir definición alguna. El resto de los términos, por ejemplo paralela, serán definidos a partir de los términos tomados como primitivos. De modo que los sistemas axiomáticos actuales incluyen también definiciones, pero solo de ciertos términos, precisamente los términos definidos. Por último, los sistemas axiomáticos suelen incluir reglas de formación que indican cómo combinar los diferentes términos para dar lugar a expresiones complejas bien formadas. Por ejemplo, si intentáramos sistematizar axiomáticamente la aritmética, seguramente querríamos introducir reglas sintácticas que nos permitieran construir expresiones complejas tales como "2+2=4" y no "224+=". Aunque podríamos disponer las reglas de otro modo, desde ya. A diferencia de las reglas de inferencia –que nos permiten obtener consecuencias a partir de axiomas o teoremas ya probados–, las reglas de formación nos indican cómo construir sintácticamente los enunciados que cumplirán (o no) el rol de axiomas o teoremas. --------------------1. Recordemos que los axiomas pueden ser interpretados para que sí refieran a entidades o circunstancias específicas, y allí sí cabría preguntarse por su verdad. 2. David Hilbert (1862-1943) fue un matemático alemán; durante muchos años se dedicó fundamentalmente a la geometría. En su obra de 1899, dedicada a proporcionar a la geometría euclidiana una fundamentación estrictamente axiomática y que ha ejercido una gran influencia sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XX, realizó el primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático.

Ejercicio 8 Determine la verdad o falsedad de cada uno de los enunciados que se listan a continuación. a.

Los principios de los sistemas axiomáticos se demuestran deductivamente.

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) b.

De acuerdo con la concepción contemporánea de los sistemas axiomáticos, los teoremas son verdaderos.

c.

Los teoremas se obtienen por aplicación de reglas inductivas.

d.

Las reglas de inferencia garantizan la conservación de la verdad.

Ejercicio 9 Determine cuáles de las siguientes afirmaciones corresponden a la concepción euclidiana de los sistemas axiomáticos y cuáles a la concepción contemporánea. a.

Los axiomas se asumen como puntos de partida, pero no puede predicarse de ellos verdad ni falsedad.

b.

Los axiomas son verdades evidentes que se toman como puntos de partida.

c.

La referencia de los términos de un sistema axiomático queda establecida a partir de una interpretación.

d.

No todos los términos de un sistema axiomático deben estar convenientemente definidos.

 

Ejercicio 10 Elabore un esquema que resuma la clasificación de los tipos de términos de un sistema axiomático y otro esquema para los diferentes tipos de enunciados.

La selección de los axiomas

Hemos mencionado con anterioridad que los axiomas se toman como puntos de partida, que se los acepta como enunciados verdaderos sin que sea necesario demostrarlos. Podemos preguntarnos por qué es necesario tomar estos puntos de partida y cómo decidir qué enunciados elegir como axiomas. Trataremos de contestar a la primera pregunta. Supongamos que queremos justificar el enunciado A. Para ello necesitamos otros enunciado. Supongamos por simplicidad que solo necesitamos un enunciado, llamémoslo B, del cual podamos deducir A. Pero también tenemos que justificar B. Necesitaremos otro enunciado C del cual deducirlo.

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) Pero también tenemos que justificar C. Si no tomáramos un punto de partida, seguiríamos con este proceso indefinidamente y caeríamos en lo que se conoce como regresión al infinito. Gráficamente:

Se podría evitar esta regresión al infinito si C se dedujera de A. En ese caso no se necesitaría otro enunciado para probarlo, pero caeríamos en un círculo vicioso. Gráficamente:

Vemos que es necesario aceptar algunos enunciados sin demostración. En cuanto a cuáles son los enunciados que se tomarán como axiomas, dijimos que de acuerdo con la concepción de la época de Euclides, debían ser enunciados cuya verdad fuera evidente. Este criterio de evidencia –que ha sido dejado de lado en la axiomática moderna– tiene sus dificultades, ya que lo que es evidente para una persona podría no serlo para otra. Se trata de un criterio subjetivo y, por lo tanto, no es un criterio confiable. También dijimos que en los sistemas axiomáticos modernos no se pretende que los axiomas sean verdades evidentes: solo son puntos de partida que se eligen de manera convencional, a tal punto que lo que es un axioma en un sistema podría ser un teorema en un sistema diferente. Si atendemos al carácter formal que tienen los axiomas, podemos comprender por qué ni siquiera se exige –ni se puede exigir– que sean verdaderos. En tanto enunciados formales, están compuestos por términos que no refieren a nada, y entonces esos enunciados no pueden ser ni verdaderos ni falsos. Solo cabe preguntarse por su verdad una vez que se asigna referencia (es decir, se otorga significado) a los términos del sistema y los enunciados son aplicados a un determinado dominio de objetos; dicho de otro modo: solo cabe preguntarse por la verdad de los axiomas cuando el sistema ha sido interpretado.

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Ejercicio 10 Indique el número de la opción correcta y el de su correspondiente justificación.

3. 1. se definen 4.

a. Los términos primitivos de un sistema axiomático…

Porque… 5. 2. no se definen 6.

3. 1. se demuestran 4. b. Los axiomas de un sistema axiomático…

Porque…

todos los términos deben definirse. debe estipularse su significado.

se caería en un círculo vicioso.

son términos sencillos conocidos por todos.

son los enunciados que se deducen de los teoremas son las reglas de inferencia del sistema. se caería en un regreso al infinito.

5. 2. no se demuestran 6.

ya están demostrados.

 

8. Propiedades de los sistemas axiomáticos

En los párrafos anteriores hemos presentado los componentes de los sistemas axiomáticos. Ahora sistematizaremos algunos requisitos que deben cumplir tales sistemas. Algunos de ellos ya fueron discutidos a propósito de las geometrías no euclidianas. * Independencia: un enunciado es independiente cuando no puede demostrarse a partir de los demás enunciados del sistema. Para que un sistema axiomático sea considerado independiente, todos sus axiomas deben serlo. Parece un requisito bastante razonable, ya que si uno de los axiomas pudiera deducirse de los otros, pasaría a ser un teorema y Adriana Espejo y Alejandra Valente

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) no tendría sentido conservarlo como axioma. Este requisito, aunque deseable, no es estrictamente necesario, ya que un sistema redundante (no independiente) no es pasible de ninguna objeción lógica; sin embargo, la independencia permite una más simple deducción de los teoremas. * Consistencia: este requisito supone que un enunciado y su negación no pueden ser probados simultáneamente dentro del sistema. Es decir, si dentro de un sistema se puede probar el enunciado “A” y su negación, “no A”, el sistema será inconsistente. Como vimos en la segunda lección, el enunciado que afirma “A y no A” es un enunciado contradictorio, siempre falso. Este requisito sí es necesario, pues hay la pretensión de que el sistema no incluya falsedades. * Completitud: la noción de completitud es un tanto compleja, en particular porque existen varias nociones de completitud. Aquí solo esbozaremos uno de los sentidos: diremos que un sistema axiomático es completo cuando permite demostrar todo lo que se pretende demostrar a la hora de construir el sistema, es decir, cuando hay garantía de que ninguna verdad quedará fuera del sistema. Como vimos, el sistema de Euclides intentó sistematizar todas las verdades conocidas, pero en sentido estricto no lo logró, pues muchas de las demostraciones contenían lagunas o huecos. Fue David Hilbert, en su Fundamentación de la Geometría, quien habría de subsanar esta situación.

Ejercicio 11 Complete los siguientes enunciados seleccionando alguna de las opciones que se proponen, de modo que el enunciado resulte verdadero. a. Un sistema axiomático es consistente cuando… i. ii. iii. iv.

todos los axiomas han sido demostrados. no puede derivarse un axioma de los otros axiomas del sistema. no pueden derivarse de sus axiomas un enunciado y su negación. se derivan de los axiomas todas las verdades del sistema.

b. Un sistema axiomático es completo cuando… i. ii. iii. iv.

ninguna verdad queda fuera del sistema. no puede derivarse un axioma de los otros axiomas del sistema. no pueden derivarse de sus axiomas un enunciado y su negación. no requiere términos definidos.

c. Un sistema axiomático es independiente cuando…

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) i. ii. iii. iv.  

no puede derivarse un axioma de los otros axiomas del sistema. los teoremas del sistema son independientes entre sí. no requiere de términos definidos. ninguna verdad queda fuera del sistema.

Ejercicio 12 Dado un sistema axiomático conformado por un lenguaje específico, por las reglas de inferencia presentadas en la lección anterior y por los siguientes grupos de axiomas, resuelva las actividades que se indican a continuación. a. Axiomas: -

Hay dos competidores: el competidor 1 y el competidor 2. Si uno de los competidores convierte un gol, gana el juego. Si uno de los competidores gana el juego, obtiene un premio. Si un competidor gana el juego, el otro competidor lo pierde. Si un competidor pierde, no obtiene premio alguno. Si un competidor gana el juego, el otro competidor no obtiene premio alguno.

i. Construya una demostración del siguiente teorema: -

Si uno de los competidores convierte un gol, obtiene un premio.

ii. ¿Es el sistema aquí presentado independiente? ¿Por qué? iii*. ¿Es el sistema consistente?

b. Axiomas: -

Se enfrentan dos equipos en un partido que dura una hora y media. El equipo que más goles convierte al finalizar el partido es el vencedor y el que menos convierte es el perdedor. Si ambos equipos convierten la misma cantidad de goles al finalizar el partido, ambos equipos empatan. El equipo que menos goles convierte al finalizar el partido es el vencedor. Si un equipo es el perdedor, no es el vencedor. En todo partido hay un equipo vencedor o dos equipos empatados.

i. Construya una demostración del siguiente teorema:

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IPC – UBA XXI (1er cuatrimestre 2016) -

El equipo que menos goles convierte al finalizar el partido es el vencedor y no es el vencedor.

ii. ¿Es el sistema consistente? iii*. Si consideráramos que este sistema se ha construido para organizar todo el conocimiento disponible sobre el fútbol, ¿le parece que el sistema resultaría completo?

 

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