Leccion_8 RII / Mecanica - UCSM

12.3Funciones de discontinuidad El uso del método de integración para encontrar la ecuación de la curva elástica de una viga o eje resulta conveniente si la carga o momento interno  puede expresarse como una función continua a lo largo de toda la longitud de la viga.

Funciones de discontinu d iscontinuidad idad Con el fin de expresar la carga sobre la viga o el momento interno dentro de ésta usando una sola expresión se emplearan dos tipos de operadores matemáticos como funciones de discontinuidad

Funciones de Macaulay A fin de determinar la deflexión de una viga o un eje, pueden usarse las funciones de Macaulay, llamadas así en honor al matemático W. H. Macaulay  para describir las cargas distribuidas. Estas funciones pueden expresarse en forma general como.

Aquí x representa la coordenada de posición de un punto a lo largo de la viga y a es la ubicación sobre la viga que ocurre una “discontinuidad”, es decir , el  punto donde comienza comienza una carga distribuida

Funciones de Macaulay A fin de determinar la deflexión de una viga o un eje, pueden usarse las funciones de Macaulay, llamadas así en honor al matemático W. H. Macaulay  para describir las cargas distribuidas. Estas funciones pueden expresarse en forma general como.

Aquí x representa la coordenada de posición de un punto a lo largo de la viga y a es la ubicación sobre la viga que ocurre una “discontinuidad”, es decir , el  punto donde comienza comienza una carga distribuida

Funciones de singularidad Estas funciones funciones solo se utilizan para describir describir la ubicación de las fuerzas concentradas o momentos de par que actúan sobre una una viga o eje. En especifico, una fuerza concentrada P puede considerarse como un caso especial de una carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w=P/ є de tal manera que su longitud sea є, donde є-0

Para describir la fuerza P. Aquí n=-1 de modo que las unidades de w son de fuerza por longitud , como debían ser. Además la función toma el valor de P sol en el punto x=a donde se produce la carga ,d e lo contrario su valor es cero

Funciones de singularidad De manera similar un momento de par M considerado positivo en sentido horario es un limite cuando є-0 de dos cargas distribuidas como las mostradas en la figura aquí la siguiente función describe su valor. valor.

El exponente n=-2, tiene la finalidad de garantizar que se mantengan las unidades de w, fuerza por longitud.

Funciones de singularidad La integración de las dos funciones de singularidad anteriores siguen las reglas del calculo operacional y produce resultados diferentes a los obtenidos mediante las funciones de Macaulay. En especifico

Usando esta formula, observe como M0 Y P, que se describen en la tabla 12-2 en las filas 1 y 2, se integran una vez y luego dos veces para obtener la fuerza cortante y el momento interno en la viga. La aplicación de las ecuaciones 12-11 a 12-15  proporciona un medio mas directo para expresar las carga o el momento interno en una viga como función de x

Ejemplo 12.5 Determine la deflexión máxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es constante

Curva elástica la viga experimenta la deflexión como se muestra en la figura 12.18(a). Las condiciones de frontera requieren desplazamiento cero A y B

Función de carga

Ejemplo 12.5 Determine la deflexión máxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es constante

Pendiente y curva elástica

Ejemplo 12.5 Determine la deflexión máxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es constante

Pendiente y curva elástica

Ejemplo 12.5 Determine la deflexión máxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es constante

El signo negativo indica que el desplazamiento es hacia abajo como se muestra en la figura 12-18(a). Para localizar el punto D ,use la ecuación 2 con x>10pies y dv/dx=0 se obtiene

Ejemplo 12.5 Determine la deflexión máxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es constante

Al comparar este valor con vc, se observa que vmaz=vc

Ejemplo 12.6 Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo que se muestra en la figura 12-19a. EI es constante

Curva elástica

Las curvas asen que la viga presente deflexión como se muestra en al figura 12-19(a). Las condiciones d4e frontera requieren que la pendiente y el desplazamiento sean iguales a cero en A Función de carga

Ejemplo 12.6 Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo que se muestra en la figura 12-19a. EI es constante

Función de carga

En este mismos resultado puede obtenerse directamente de la tabla 12-2

Ejemplo 12.6 Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo que se muestra en la figura 12-19a. EI es constante

Pendiente y curva elástica

Problema 12.35 El eje esta fabricado de acero y tiene un diámetro de 15 mm. Determine su deflexión máxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa

Curva elástica y la pendiente

Problema 12.35 El eje esta fabricado de acero y tiene un diámetro de 15 mm. Determine su deflexión máxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa

Condiciones de contorno

De Eq.(1)

Problema 12.35 El eje esta fabricado de acero y tiene un diámetro de 15 mm. Determine su deflexión máxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa

Asumir Vmax se produce a

Sustituir x=0.3300m en la curva elastica

Problema 12.39 Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Apoyar reacciones y la curva elástica: como se muestra en la Fig.(a) Momento en función: De Fig.(a) obtenemos

Problema 12.39 Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Ecuaciones de pendiente y curva elástica

Condiciones de contorno: en x=0; v=0.Entonces Eq(2) da.

Problema 12.39 Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Condiciones de contorno: en x=6; v=0.Entonces Eq(2) da.

sustituyendo el valor de C1 en Eq(1)

Problema 12.39 Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Suponiendo que

Solución para la raíz

se produce en la región

entonces

Problema 12.39 Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

sustituyendo el valor de C1y C2 en Eq(2)

Vmax se produce a x=2.9079m donde

. así

Problema 12.43 Determine la deflexión máxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6

Problema 12.43 Determine la deflexión máxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6 Apoyar reacciones y la curva elástica: como se muestra en la Fig.(a) Momento en función: De Fig.(b) obtenemos

Ecuaciones de pendiente y curva elástica

Problema 12.43 Determine la deflexión máxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6 Condiciones de contorno: en x=0; . Entonces Eq(1) da.

Condiciones de contorno: en x=0; v=0.Entonces Eq(2) da.

sustituyendo el valor de C1y C2 en Eq(2)

Problema 12.43 Determine la deflexión máxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6 Vmax se produce a x=3m donde

12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área El método de área proporciona una técnica semigrafica para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de una viga o eje

Teorema 1 Considera la viga simplemente apoyada con su curva elástica asociada, que se muestra en la figura 12-20(a). Un segmento diferencial dx de la viga se aísla en la figura 12-20(b)

12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área Teorema 1 Como la pendiente es pequeña , θ=dv/dx y por lo tanto (12-16) Si se construye el diagrama de momentos para la viga y se divide entre la rigidez a la flexión, EI, figura 12-20(c), entonces esta ecuación indica que d θ es igual al área  bajo el diagrama M/EI para el segmento dx de la viga. Al integrar desde un punto A seleccionada sobre la curva elástica hasta otro punto B se tiene

(12-17) Teorema 1: El ángulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama M/EI entre estos dos puntos.

12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área Teorema 2 El segundo teorema del momento de área se basa en la desviación relativa de las tangentes a la curva elástica. En la figura 12-21(a) se muestra una vista muy exagerada de la desviación vertical dt de las tangentes a cada lado del elemento diferencial dx.

(12-18)

12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área Teorema 2 Como el centroide de un área se encuentra a partir de representa el área bajo el diagrama M/EI, también se puede escribir

dx

(12-19) Aquí x es la distancia desde A hasta el centroide del área bajo el diagrama M/EI entre A Yb figura 12-21(b)

Ejemplo 12.7 Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22(a) en el punto B. EI es constante

Diagrama M/EI

Vea la figura 12-22(b)

Curva elástica La fuerza P hace que la viga experimente deflexión como se muestra en la figura 12-22(c).(la curva elástica es cóncava hacia abajo, puesto que M/EI es negativo)

Ejemplo 12.7 Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22(a) en el punto B. EI es constante

Teorema del momento de área Al aplicar el teorema 1, θB/A es igual al area bajo el diagrama M/EI entre los puntos A y B, es decir θB=θB/A

Ejemplo 12.8 Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostrada en la figura 12-23(a). EI es constante

Diagrama M/EI Vea la figura12-23(b) Curva elástica

El momento de par 12-23(b)en C hace que la viga sufra deflexión, como se muestra en la figura 13-23(c)

Ejemplo 12.8 Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostrada en la figura 12-23(a). EI es constante

Teorema del momento de área

Al aplicar el teorema 2, t(B/A) es igual al momento del área en gris oscuro bajo el diagrama M/EI entre A y B calculado con respecto al punto B(el punto sobre la curva elástica) ya que es el  punto donde debe determinarse la distancia vertical. Por lo tanto a partir de la figura 12-23(b)

Del mismo modo, para t(C/A) se debe determinar el momento del área bajo todo el diagrama M/EI desde A hasta C con respecto al punto C (el punto de la curva elástica). Se tiene

Ejemplo 12.9 Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24(a). EI es constante

Diagrama M/EI Vea la figura12-24(b) Curva elástica Como la carga se aplica simétricamente en la viga, la curva elástica es simétrica y la tangente en D es horizontal, figura 12-24(c). Además, se dibuja la tangente en C porque se desea encontrar la pendiente θc mediante la construcción, el Angulo θC/D entre las tangentes en tan D y C es igual a θc , es decir

Ejemplo 12.9 Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24(a). EI es constante

Teorema del momento de área Si se usa el teorema 1, θC/D es igual al área en gris bajo el diagrama M/EI entre los  puntos D y C,. Se tiene

Ejemplo 12.10 Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a). Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4

Diagrama M/EI

Vea la figura12-25(b)

Curva elástica La curva elástica se muestra en la figura 12-25(c). Se indica la tangente en C porque se desea encontrar θc. También construyen las tangentes en los soportes, A y B, como se muestra en la figura. El ángulo θC/A es el ángulo entre las tangentes en A y C. la  pendiente en A, θA, en la figura 12-25(c)  puede encontrarse usando Esta ecuación es valida puesto que tB/A es realmente muy pequeña de modo que el valor de tB/A en metros puede aproximarse mediante la longitud de un arco circular definido por un radio de L(A/B)=8m y una amplitud de θA en radianes.(recuerde que s= θr). A partir de la geometría de la figura 12-25(c) se tiene

Ejemplo 12.10 Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a). Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4

Teorema del momento de área Si se usa el teorema 1, θC/A es equivalente al área bajo el diagrama M/EI entre los puntos A y C,. Se tiene

Si se aplica el teorema 2, tB/A es equivalente al momento del área bajo el diagrama M/EI entre B y A respecto al punto B (el punto sobre la curva elástica) ya que este es el punto donde debe determinarse la distancia vertical. Se tiene,. Se tiene

Ejemplo 12.10 Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a). Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4

Al sustituir estos resultados en la ecuación , se obtiene

Este resultado se calculo en unidades de kN y m, por lo que al convertir EI a estas unidades resulta

Ejemplo 12.11 Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura 12-26(a). EI es constante

Diagrama M/EI

Vea la figura12-26(b)

Curva elástica Se dibuja la tangente en C sobre la curva elástica ya que se desea encontrar Δc, figura 12-26(c)(observe que C no es la ubicación de la deflexión máxima de la viga, debido a que la carga y por ende la curva elástica no son simétricas). En la figura 12-26(c) también se indican las tangentes en los soportes A y B. se observa que .Si se determina tA/B, entonces Δ´encontrarse mediante triángulos semejantes. Es decir. Por lo tanto

Ejemplo 12.11 Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura 12-26(a). EI es constante

Teorema del momento de área Al aplicar el teorema 2 para determinara tA/B y tC/B. Se tiene

al sustituir estos resultados en la ecuación 1 resulta

Ejemplo 12.12 Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2

Diagrama M/EI Vea la figura12-27(b) Curva elástica La carga hace que la viga sufra deflexión, como se muestra en la figura 12-27(c). Se debe encontrar Δc. Al construir tangentes en C y en los soportes Ay B, se observa que .Sin embargo, Δ´  puede relacionarse con tB/A mediante triángulos semejantes, esto es, Δ´/24= o bien .Por lo tanto Δ´=

Ejemplo 12.12 Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2

Teorema del momento de área Si se aplica el teorema 2 para determinara tC/A y tB/A. Se tiene

¿Por qué estos términos son negativos?. Al sustituir los resultados en la ecuación 1 se obtiene

Ejemplo 12.12 Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2

Tomando en cuenta que los cálculos se realizaron en unidades de kip y pis, se tiene

Problema 12.56 Determine la pendiente en C. EI es constante

Refiriéndose a fig.( b)

Problema 12.56 Determine la pendiente en C. EI es constante

A partir de la geometría mostrada en la fig.( b)

Aquí

Ans

Ans

Problema 12.58 Determine la pendiente en A y la deflexión máxima. EI es constante

El punto D está situado en el tramo medio de la viga. Debido a la simetría, la pendiente en D es cero. Refiriéndose en la Fig.(b)

Problema 12.58 Determine la pendiente en A y la deflexión máxima. EI es constante

A partir de la geometría mostrada en la Fig.(b) Ans

Ans

Problema 12.62 Determine la deflexión y la pendiente en C. EI es constante

Ans

Ans