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TEORÍA DE COLAS •  Modelo de Cola M/M/s •  Modelo de Cola M/M/s  con entrada  finita

 

Portal  Estadística  Aplicada:  Aplicada:  TEORÍA DE COLAS: MODELO  M/M/s  44

 

MODELO DE COLA M/M/s El modelo supone que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son variables aleatorias distribuidas exponencialmente, la disciplina es FIFO y la población es infinita. Se diferencia respecto al modelo M/M/1 en que el número de servidores  s  puede ser cualquier número natural tal que  s 1 .  Cuando el número de servidores es mayor que 1, las expresiones anteriores no son tan sencillas. En esta línea, en la tasa de servicio 

μn =

n

 hay que distinguir dos casos:

μn = n μ cuando n ≤ s   = min(n n(n μ , s μ) μn = s μ cuando n > s

≡ tasa media de servicio de todos los servidores en conjunto s ≡ tasa máxima  de servicio para s servidores El siguiente diagrama de tasas (cadena de Markov del modelo M/M/s) representa los posibles estados del sistema y las transiciones entre ellos.

En este caso, la tasa de llegadas no se encuentra afectada por el estado en que se encuentre el sistema, pero sí  la tasa media de servicio, pudiendo ser tal múltiplo de la tasa media de servicio por servidor como servidores en activo haya. Si el factor de utilización (factor de carga/ intensidad tráfico):  ρ =

⎧ 1 ⎛ ⎞n   n! ⎜⎝ μ ⎟⎠ 0 λ 1 ... λ n   1 cn = =⎨ n s μ1 μ2 ... μn   1 ⎞⎛ λ ⎞ ⎟ s! μ ⎟⎠ ⎝ s μ ⎠

n = 1, 2 2,, ... , s 1 s

n = s, s 1, ...  

⎧ 1 ⎛ ⎞n p  n = 1, 2, 2 , ... , s 1 n! ⎜ μ ⎟⎠ 0 pn = cn p0 = ⎨   s n s ⎞⎛ λ ⎞ 1 ⎟ p0 n = s, s 1, ...   ⎟ s! μ ⎠ ⎝ s μ ⎠

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λ sμ

 

∞

∞

∑ ∑ pn =

n=0

cn p0 = 1 → p0 = 

n= 0

1

=

n

∑c ∑ (

1 ( / μ)n n! 0

s 1

n

s 1

n

n=0

=

1

1 s!

s

λ ⎞  1 ⎟ 1 ρ ⎠

=

n=0

/ μ)   n! n

(λ / μ) n! n=s

∑

n

(λ / μ) ⎛ λ ⎞ ⎜ sμ ⎟ s! ⎠ n=0 s 1

∑

s

1 s 1

( / μ)n (λ / μ)s ⎛ s μ ⎞   ⎜ sμ λ ⎟ n ! s ! ⎝ ⎠ n= 0

∑

Bajo condiciones Bajo  condiciones  de de  estabilidad estabilidad  (factor (factor  de de  utilización utilización   < 1 ),  ), al  al igual igual  que que  en en  el modelo  M/M/1, modelo M/M/1,  se  se pueden pueden  aplicar aplicar  fórmulas fórmulas  para para  obtener obtener  los los  principales parámetros  del parámetros del  sistema.

Tiempo  en Tiempo en  el el  servicio: servicio:  

1

μ

 λ μ

Utilización  promedio Utilización promedio  del del  sistema: sistema:   us =

Factor de Factor  de  utilización utilización  (factor (factor  de de  carga/ carga/  intensidad intensidad  tráfico): tráfico):   ρ =

λ sμ

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n  s

=

 

Probabilidad de Probabilidad  de  que que  ningún ningún  cliente se  se encuentre encuentre  en en  el el  sistema sistema  de de  colas:

p0 = 

1 s 1

( /  μ)n (λ / μ)s ⎛ s μ ⎞   ⎜ sμ λ ⎟ n ! s ! ⎠ n=0

(λ / μ)n Probabilidad  del Probabilidad del  estado estado  n: n:   pn = p0 n!

n≤s

(λ / μ)n

        Probabilidad del estado n: pn = s! s( n

s)

n> s

p0

s

ρ ( / μ)s λ μ 1⎛λ⎞ Número  promedio Número promedio  de de  clientes clientes  en en  cola:  cola:  L q = = p p (s   1)! (s μ λ )2 0 s! ⎜ μ ⎠⎟ (1 ρ)2 0 Número  promedio Número promedio  de de  clientes clientes  en en  sistema: sistema:   L s = L q Tiempo promedio Tiempo  promedio  de de  espera espera  en en  cola: cola:   Wq =

Lq

λ

 

Tiempo promedio de estancia en el sistema:  Ws

 λ   μ Lq

Ls

λ Ws

λ Wq

Wq   1  

μ

Ws = L s ⎟⎞

λ⎠

A medida medida  que que  se se  añaden añaden  servidores servidores  al al  sistema sistema  las las  fórmulas fórmulas  van van  siendo siendo  más complicadas,  en complicadas, en  especial especial  para para  el el  cálculo cálculo  de de  probabilidades. Se  asume Se asume  que que  la la  probablidad probablidad  de de  la la  función función  de de  tiempos tiempos  de de  servicio servicio  es es  una exponencial  negativa exponencial negativa  de de  parámetro parámetro   n.

⎛ ⎜

⎞   μ t ( s 1 λ /μ ) ⎟ ⎛ ⎞⎟ 1 e  μ t P(W > t) t) = e ⎜ 1 s! (1 ρ) ⎜ s 1 λ / μ ⎠⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞   ⎟⎠

s

1   e  μ t (s 1 λ / μ ) se utiliza  utiliza  Cuando   s 1   λ / μ = 0   se  Cuando = μt s 1 λ /μ

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Un terminal Un  terminal  de de  facturación facturación  dispone dispone  de de  dos dos  operarios operarios  que que  atienden atienden  a los los  clientes que  llegan que llegan  según según  una una  distribución distribución  de de  Poisson Poisson  de de  media media  ochenta ochenta  clientes clientes  por por  hora, que  esperan que esperan  en en  una una  única única  cola cola  hasta hasta  que que  alguno alguno  de de  los los  operarios operarios  esté esté  libre. libre.  El tiempo  requerido tiempo requerido  para para  atender atender  a un un  cliente cliente  se  se distribuye distribuye  exponencialmente exponencialmente  con medía  1,2 medía 1,2  minutos. minutos.  Se Se  pide: a)  a)  ¿Cuál ¿Cuál  es es  el el  número número  esperado esperado  de de  clientes clientes  en en  el  el terminal terminal  de de  facturación? b)  b)  ¿Cuál ¿Cuál  es es  el el  tiempo tiempo  medio medio  que que  un un  cliente cliente  pasa pasa  en en  el  el terminal terminal  de de  facturación? c) c)   ¿Qué ¿Qué  porcentaje porcentaje  de de  tiempo tiempo  está está  libre libre  un un  determinado determinado  operario?

 

Solución: a)  a)  Es Es  un un  modelo modelo  de de  cola cola   M/M/2 M/M/2   con con   s 2  servidores Tasa  de Tasa de  llegadas llegadas   λ = 80 80   clientes/hora Tasa  de Tasa de  servicio servicio  por por  operario operario   μ =

60 = 50 50  clientes/hora 1,2 1, 2

Factor de Factor  de  utilización utilización  o congestión congestión  del del  sistema: sistema:   ρ =

80 λ = = 0, 8 s . μ 2 x 50

                      Probabilidad de que ningún cliente se encuentre en el sistema de colas: 1 1 = = 0 , 111 p0 =  s   1 1   n 2 n s (80 / 5 50 0) (80 / 50 5 0) ⎛ 100 ⎞ ( / μ) ( λ / μ ) ⎛ s μ ⎞   x ⎜ 100   80 ⎟ ⎟ n ! 2 ! λ n ! s ! s ⎝ ⎠ n 0 ⎠ = n 0

∑

1

(80  / 50 50)n (80 / 50 50)2   n! 2! n=0

x

⎛

⎡ (80 / 5500)0 = ⎣ 0!

  o bien  p0 =

s 1

n

 

( / μ)n n! 0

100 ⎞ = ⎟ 100   80 ⎠ (80 / 5 50 0 )⎤ 1! ⎥⎦

1 1 s!

(80 / 5 50 0)2 2!

s λ⎞   1 = ⎟ 1 ρ ⎠

x

5= 1 1 1,, 6

6, 4 = 9

1 0 , 111 2 (80 / 50)n 1 ⎛ 80 ⎞ ⎛ 1 ⎞ =   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n ! 2 5 0 1 0 , 8   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n=0 1

∑

Número  pomedio Número pomedio  de de  clientes clientes  en en  la la  cola: (λ / μ)s λ μ (80 / 50)2 x 80 x 50 Lq = p = 0 , 111 = 2, 84  clientes (s   1) 1)! (s μ λ )2 0 1! (2 x 50 80 80)2 Número  promedio Número promedio  de de  clientes clientes  en en  el el  sistema sistema  (terminal (terminal  de de  facturación): Ls = Lq

λ 80 μ = 2, 84 50 = 4 , 44  clientes

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b)  b)  Tiempo Tiempo  medio medio  de de  espera espera  en en  cola: cola:   Wq

L q   2,84 = = 0 , 0355 λ 80

Tiempo  medio Tiempo medio  de de  estancia estancia  en en  el el  sistema sistema  (terminal (terminal  de de  facturación): Ws

Wq  

1

μ

= 0 , 0355

1 = 0 , 0555  horas = 3,3 3,33 3  minutos 50

Es Es  decir, decir,  el el  tiempo tiempo  en en  el el  sistema sistema  es  es igual igual  al al  tiempo tiempo  en en  la  la cola cola   (Wq )  más más  el  el tiempo tiempo  en el servicio  (1 / ) o bien, bien,   Ws

Ls

λ

=

4 , 44 rass = 3,33 3,33  minutos = 0 , 0555  hora 80

(λ / μ)n c) c)   El  El porcentaje porcentaje  de de  tiempo tiempo  que que  determinado determinado  operario operario  esté esté  libre: libre:   pn = p0 n! 1 p0

1 (80 / 50)0 p = po 2 1 0!

1 (80 / 50 50)1 p o = p o 0 , 8 p o = 1, 8 p o = 0 , 2 2 1!

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En un En  un  ambulatorio ambulatorio  con con  tres tres  médicos, médicos,  los los  pacientes pacientes  llegan llegan  de de  forma forma  aleatoria (tiempos  de (tiempos de  llegada llegada  exponenciales) exponenciales)  a razón razón  de de  12 12  por por  hora. hora.   Estos Estos  son son  atendidos atendidos  en orden  de orden de  llegada llegada  por por  el el  primer primer  médico médico  que que  esté esté  libre. libre.  Cada Cada  médico médico  tarda tarda  una una  media de  13 de 13  minutos minutos  en en  atender atender  a cada cada  paciente paciente  (tiempos (tiempos  de de  atención atención  exponenciales). Se  pide: Se a)  a)  Calcular Calcular   la la  proporción proporción  de de  tiempo tiempo  que que  está está  cada cada  médico médico  atendiendo atendiendo  a pacientes. b)  b)  Calcular Calcular  el el  número número  promedio promedio  de de  pacientes pacientes  que que  están están  en en  la  la sala sala  de de  espera.   Calcular Calcular  el el  tiempo tiempo  promedio promedio  total total  de de  espera espera  de de  un un  paciente.

 

c)  ¿Qué ocurriría en el ambulatorio si uno de los tres médicos se ausenta? Solución: a)  a)  Es Es  un un  modelo modelo  de de  cola cola   M/M/3 M/M/3   con con   s 3  servidores

= 12 pacientes/hora , μ =

60 4,615 pacientes/hora   (tiempo = 4,61 (tiempo  de de  servicio) 13

Utilización  promedio Utilización promedio  del del  ambulatorio: ambulatorio:   us

λ / μ = 12 / 4 , 615 = 2, 6

La  La proporción proporción  de de  tiempo tiempo  solicitada solicitada  se  se expresa expresa  en en  la  la tasa tasa  de de  utilización utilización  del 12 λ ambulatorio:  ρ = s . μ = 3 x 4 , 615 = 0 , 87 → 1 ρ = 1 0 , 87 = 0 , 13 El El  servicio servicio  del del  ambulatorio ambulatorio  está está  utilizado utilizado  un un  87%, 87%,  esto esto  es, es,  pasa pasa  ocioso ocioso  el  el 13% 13%  del tiempo,  sistema tiempo, sistema  estable estable  al al  ser ser   = 0 , 87 87 < 1 (λ / μ)s λ μ b)  b)  Número Número  promedio promedio  de de  pacientes pacientes  en en  la la  sala sala  de de  espera:  espera:  L q = p (s   1 1))! (s μ λ )2 0 p0 =

1 s 1

 

=

  s

2

∑

1 1 = = 0 , 033 n 29,51 2, 6 1 ⎛ 1 ⎞ 2,6 63 ⎜   2, n! 3! 3! 0 , 13 ⎟

λ⎞ 1 ⎟ 1 n 0 ⎠   ρ n=0 ⎝ ⎠ 2 2 2, 6n 1 1 ⎞ 2, 6n 3 ⎛   2, 6 = 22, 53 = 1 2, 6 3, 38 22, 53 = 29, 51 ⎟ n! 3! ⎝ 0 , 13 ⎠ n = 0 n! n=0 ( / μ)n n!

1 s!

∑

(λ / μ)s λ μ 2, 63 x 12 x 4 , 615 x 0 , 033 = 4 , 72  pacientes con  lo  con lo que,  que,  L q = p0 = 2 2 (s   1)! (s μ λ ) 2! x 1, 845 Tiempo  promedio Tiempo promedio  de de  espera espera  en en  cola: cola:   Wq

L q   4,72 = = 0 , 39  horas λ 12 1

Tiempo promedio estancia en el sistema:  W

s

1 W   μ = 0 , 39 4,615 = 0 , 60 horas q

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El El  gerente gerente  de de  una una  multinacional multinacional  quiere quiere  analizar analizar  el  el coste coste  total total  por por  hora hora  del sistema  de sistema de  descargas descargas  de de  su su  terminal terminal  (mano (mano  de de  obra obra  y camiones camiones  ociosos). ociosos).   La terminal  de terminal de  carga carga  funciona funciona  con con  cuatro cuatro  plataformas plataformas  de de  descarga, descarga,  cada cada  una una  de de  éstas con  un con un  equipo equipo  de de  dos dos  empleados empleados  que que  descargan descargan  un un  semirremolque semirremolque  en en  una una  hora, con  tiempos con tiempos  de de  servicios servicios  exponenciales, exponenciales,  y un un  coste coste  de de  cuarenta cuarenta  euros/hora. euros/hora.   El tiempo  de tiempo de  llegadas llegadas  de de  camiones camiones  es  es de de  tres/hora tres/hora  siguiendo siguiendo  una una  disribución disribución  de Poisson,  con Poisson, con  un un  coste coste  estimado estimado  de de  sesenta sesenta  euros/hora euros/hora  por por  camión camión  ocioso.  

Solución: Es Es  un un  modelo modelo  de de  cola cola   M/M/4 M/M/4   con con   s 4  servidores Para calcular Para  calcular  el el  coste coste  total total  de de  mano mano  de de  obra obra  y de de  los los  camiones camiones  ociosos ociosos  hay hay  que saber  el saber el  tiempo tiempo  promedio promedio  de de  espera espera  en en  el el  sistema sistema  de de  descarga descarga   y el  el número promedio  de promedio de  camiones camiones  en en  el el  mismo. Tasa  de Tasa de  llegadas: llegadas:   = 3 camiones/ camiones/hora hora Tasa  de Tasa de  servicio servicio  por por  empleado empleado   μ = 4 x Utilización promedio del sistema:  us

1 = 1 camiones/hora 4

λ /μ = 3/1= 3

Utilización  promedio Utilización promedio  de de  las las  cuatro cuatro  plataformas: plataformas:   ρ =

3 λ = = 0,75 x sμ 4 1

Probabilidad  de Probabilidad de  que que  no no  haya haya  ningún ningún  camión camión  en en  el  el sistema sistema  de de  descargas: p0 =

1 s 1

n

 

( / μ)n n! 0

1 s!

s

λ⎞ 1 ⎟ 1 ρ ⎠  

=

1 1 = = 0 , 0377 3 n 3 1 1 ⎞ 26,5   34 ⎛⎜ n! 4! 4 ! ⎝ 0 , 25 ⎟⎠ n=0

∑

3n 1 4 ⎛ 1 ⎞ 3n   3 ⎟ = n! 13, 5 = 1 3 4 , 5 4 , 5 13, 5 = 26 , 5 n ! 4 ! 0 , 2 5 ⎝ ⎠ n= 0 n=0 3

3

∑

Número promedio Número  promedio  de de  camiones camiones  en en  espera: (λ / μ)s λ μ 34 x 3 x 1 x 0 , 0377 = 1, 53 Lq = p0 = (s   1)! (s μ λ )2 3! (4 3)2 Tiempo  promedio Tiempo promedio  de de  espera espera  de de  camiones camiones  cola: cola:   Wq

L q   1,53 = = 0 , 51 hora 3 λ

Tiempo promedio Tiempo  promedio  de de  estancia estancia  de de  camiones camiones  en en  el  el sistema:

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Ws

Wq  

1

μ

= 0 , 51

1 = 1, 51 horas 1

Número promedio Número  promedio  camiones camiones  en en  el el  sistema: sistema:   L s = L q o bien, bien,   L s

λ Ws = 3 x 1, 1, 5 51 1 = 4 ,,5 53 ccaamiones

μ

= 1, 53 3 = 4 , 53  camiones

Los costes/hora Los  costes/hora  por por  mano mano  de de  obra obra  ociosa ociosa  y camiones camiones  ociosos ociosos  son: Coste to tota tall Cost Coste e mano de obra ociosa    Coste camiones ociosos = 40 x s   60 x L s = 40 x 4 60 x 4 , 53 = 431, 8  euros   Un mayorista Un  mayorista  de de  agencias agencias  de de  viajes viajes  tiene tiene  un un  sistema sistema  de de  reservas reservas  por por  teléfono, atendido  por atendido por  4 comerciales, comerciales,  las las  llamadas llamadas  en en  espera espera  son son  atendidas atendidas  después después  en estricto  orden estricto orden  de de  llegada. llegada.  Se Se  sabe sabe  que que  las las  llamadas llamadas  son son  aleatorias aleatorias  con con  un un  promedio de  20 de 20  llamadas llamadas  a la la  hora, hora,  mientras mientras  que que  el el  tiempo tiempo  medio medio  de de  respuesta respuesta   (tiempo (tiempo  que una  llamada una llamada  permanece permanece  en en  el el  sistema) sistema)  es  es de de  6,51 6,51  minutos, minutos,  y el  el número número  medio medio  de llamadas  en llamadas en  espera espera  es  es de de  0,17. 0,17.  Se Se  pide:                               a) Tiempo medio que una llamada ha de esperar hasta ser atendida por uno de los comerciales. b)  b)  Qué Qué  ocurriría ocurriría  con con  el el  uso uso  del del  sistema sistema  si si  hubiera hubiera  dos dos  comerciales comerciales  menos. c) c)   Si Si  el el  mayorista mayorista  valora valora  la la  hora hora  de de  inactividad inactividad  de de  cada cada  comercial comercial  en en  doscientos euros,  ¿cuál euros, ¿cuál  es es  la la  pérdida pérdida  media media   por por  hora hora  debida debida  a la  la inactividad inactividad  de de  los comerciales? d)  d)  Si Si  los los  tiempos tiempos  entre entre  llamadas llamadas  y los los  tiempos tiempos  de de  atención atención  al  al cliente cliente  son son  variables aleatorias  exponenciales, aleatorias exponenciales,  representar representar  el el  diagrama diagrama  de de  tasas tasas  de de  transición transición  entre estados.  Sí  la estados. la  probabilidad probabilidad  de de  que que  el el  estado estado  esté esté  vacío vacío  es es  2/19, 2/19,  calcular calcular  la probabilidad  de probabilidad de  que que  una una  llamada llamada  quede quede  en en  espera.  

Solución: a)  a)  Tasa Tasa  de de  llegadas: llegadas:   = 20 clientes/hora Tiempo medio Tiempo  medio  de de   respuesta: respuesta:   Ws =

6 , 51 = 0 , 1085 horas 60

Número  medio Número medio  de de  clientes clientes  en en  la la  cola: cola:   L q

⎛

Ws = Wq

0 , 17   clientes

Luego, Tiempo medio Tiempo  medio  de de  espera espera  en en  cola: cola:   Wq

L q   0,17

λ

=

= 0 , 0085  horas

20

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1⎞

μ ⎟⎠

 

Wq  

b)  b)  Ws

1

μ

→

1

μ

= Ws Wq = 0 , 1085 0 , 0085 = 0 , 1 → μ = 10  clientes/hora

Factor  de Factor de  utilización utilización  del del  sistema: sistema:   ρ = Con dos Con  dos  comerciales comerciales  menos menos   ρ =

20 λ = = 0, 5 s μ 4 x 10

20 λ el sistema sistema  se se  vuelve vuelve  inestable. = = 1  el  s μ 2 x 10

c) c)   Número Número  medio medio  de de  comerciales comerciales  ocupados ocupados   ≡

λ 20 = =2 μ 10

Con lo  Con  lo que que  el el  número número  de de  comerciales comerciales  ociosos ociosos  es es  de de   4 2 = 2 , en en  consecuencia, consecuencia,  la pérdida  por pérdida por  hora hora  por por  la la  inactividad inactividad  de de  los los  comerciales comerciales  es es  de de  400 400  euros. d)  d)  Diagrama Diagrama  de de  tasas tasas  de de  transición, transición,  cuando cuando  los los  tiempos tiempos  entre entre  llamadas llamadas  y los tiempos  de tiempos de  atención atención  al al  cliente cliente  son son  variables variables  aleatorias aleatorias  exponenciales.

Una  llamada Una llamada  queda queda  en en  espera espera  cuando cuando  todos todos  los los  comerciales comerciales  están están  ocupados. P(N 4) = 1 P( P(N < 4) = 1 p 0 p1 p2 p3 Por ser Por  ser  el el  sistema sistema  estacionario, estacionario,  la la  tasa tasa  media media  de de  llegada llegada  es es  igual igual  a la  la tasa tasa  media media  de salida  para salida para  cualquier cualquier  estado estado   n , es  es decir, decir,   n 1 pn   1 μn 1 p n 1 2 19

p0 10 p1

20 p0 → p1 =

20 2 4 = p0 =  2 x 10 19 19

  4 10 p1 = 20 p0 20 p2   20 p0 = 10 p1 20 p1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 20 p2 = 20 p1 → p2 = p1 = 19   20 8 20 p1 = 2 0 p2 30 p3   20 p1 = 20 p2 20 p2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 30 p3 = 20 p2 → p3 = p2 = 30 57 P(N 4 4)) = 1 P( P(N < 4 4)) = 1 p0 p1 p2 p3 = 1  

2 19

4 4 19 19

8 1 = 57 3

Adviértase que Adviértase  que  se  se trata trata  de de  un un  modelo modelo  de de  cola cola  M/M/4 M/M/4  con con   s 4  servidores

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μn = n μ cuando n < s En  la En la  tasa tasa  de de  servicio  servicio  n  hay hay  que que  distinguir:  distinguir:  ⎨ μn = s μ cuando n ≥ s tasa  media media  de de  servicio servicio  de de  todos todos  los los  servidores servidores  en en  conjunto ≡ tasa s ≡ tasa máxima máxima  de de  servicio servicio  para para  s servidores n

s

1 1 ⎛λ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎞ pn = ⎟ ⎟ p0 para  n = 1, 2, ... , s 1 pn = ⎜ ⎟ n! μ ⎠ s! ⎝ μ ⎠ ⎝ s μ ⎠ p1

1  2 1!

1

2 4 = 19 19

p2 =

1 2 2!

2

2 4 = 19 19

p3 =

1 2 3!

n s

3

p0 para  n = s, s 1, ... 2 8 = 19 57

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MODELO  DE DE  COLA COLA  M/M/s M/M/s  con con  fuente fuente  de de  entrada entrada  finita MODELO Es Es  una una  variación variación  del del  modelo modelo  M/M/s M/M/s  consistente consistente  en en  que que  la  la fuente fuente  de de  variación variación  de entrada  es entrada es  limitada, limitada,  esto esto  es, es,  el el  tamaño tamaño  de de  la la  población población  de de  posibles posibles  clientes clientes  es es  finita. Sea  N  el Sea  el  tamaño tamaño  de de  la la  población, población,  cuando cuando  en en  el  el sistema sistema  se se  encuentran encuentran   n  clientes, quedan   (N n)   posibles quedan posibles  clientes clientes  en en  la la  fuente fuente  de de  entrada. En el En  el  modelo modelo  con con  población población  finita finita  los los  clientes clientes  alternan alternan  entre entre  estar estar  dentro dentro  y fuera del sistema. Por analogía con el modelo M/M/s  se supone que el tiempo que pasa cada cada   cliente cliente  fuera fuera  del del  sistema sistema  es  es una una  variable variable  aleatoria aleatoria  exponencial exponencial   Exp( ). Cuando  n  clientes Cuando  clientes  están están  dentro, dentro,   (N n)  clientes clientes  están están  fuera, fuera,  y por por  tanto tanto  la distribución  de distribución de  probabilidad probabilidad  del del  tiempo tiempo  que que  falta falta  para para  la  la próxima próxima  llegada llegada  al  al sistema es  es el  el  mínimo mínimo  de de  (N n)  variables variables  exponenciales exponenciales  independientes independientes  de de  parámetro De  este este  modo, (N   n) . De  

λn =

λ (N n) 0 ≤ n ≤ N 0 n>N

nμ λ 1 ≤ n ≤ s ⎪ μn = ⎨ s μ λ s ≤ n ≤ N ⎪ 0 n>N

La aplicación más importante de este modelo es la reparación de máquinas, donde se  se asigna asigna  a uno uno  o más más  técnicos técnicos  la la  responsabilidad responsabilidad  de de  tener tener  operativas operativas  un un  grupo grupo  de N  máquinas. Portal  Estadística  Aplicada:  Aplicada:  TEORÍA DE COLAS: MODELO  M/M/s  55

 

Cuando las Cuando  las  máquinas máquinas  se  se estropean estropean  acuden acuden  al al  sistema sistema  de de  mantenimiento mantenimiento  en en  espera de  ser de ser  reparadas, reparadas,  y cuando cuando  están están  operativas operativas  quedan quedan  fuera fuera  del del  sistema.  

p0 =

n

1

⎞ N! (N   n)! ⎜ μ ⎠⎟ n=0 N

n

N! ⎛ ⎞ pn = p  (N   n)! ⎝ μ ⎟⎠ 0

si si   1 ≤ n ≤ N

Utilización promedio Utilización  promedio  del del  servidor: servidor:   p 1   p0 Número promedio Número  promedio  de de  clientes clientes  en en  el el  sistema: sistema:   L s = N Número promedio Número  promedio  de de  clientes clientes  en en  la la  cola: cola:   L q = N

λ

(1 p0 )

(   μ)

λ

(1 p0 )

Tiempo  promedio Tiempo promedio  de de  estancia estancia  en en  el el  sistema, sistema,  incluido incluido  el  el servicio: servicio:   Ws Tiempo  promedio Tiempo promedio  de de  espera espera  en en  la la  cola: cola:   Wq

Lq

Ws = Wq

λ (N L s )

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Ls λ (N L s ) 1⎞

⎟ μ⎠

 

En la En  la  terminal terminal  de de  un un  aeropuerto aeropuerto  se  se han han  incorporado incorporado  diez diez  robots robots  para incrementar  el incrementar el  servicio servicio  al al  cliente, cliente,  surgiendo surgiendo  el el  problema problema  que que  no no  se se  aplica aplica  un mantenimiento  preventivo mantenimiento preventivo  a los los  robots robots  y presentan presentan  una una  gran gran  variabilidad variabilidad  en en  la distribución  de distribución de  averías. averías.  Cada Cada  robot robot  sigue sigue  una una  distribución distribución  exponencial exponencial  de de  averías averías  (o distribución  entre distribución entre  llegadas) llegadas)  con con  un un  tiempo tiempo  promedio promedio  de de  200 200  horas horas  entre entre  una una  y otra avería,  y un avería, un  coste coste  de de  30 30  euros/hora. euros/hora.  Para Para  afrontar afrontar  la  la situación situación  se se  encarga encarga  a una persona  para persona para  el el  mantenimiento, mantenimiento,  que que  necesita necesita  un un  promedio promedio  de de  diez diez  horas horas  para reparar  un reparar un  robot, robot,  con con  tiempos tiempos  de de  reparación reparación  distribuidos distribuidos  exponencialmente, exponencialmente,  y un  

coste de 10 euros/hora, dedicándose a otras actividades cuando no hay robots que reparar.  ¿Cuál reparar. ¿Cuál  es es  el el  coste coste  diario diario  que que  origina origina  el el  tiempo tiempo  ocioso ocioso  de de  la  la mano mano  de de  obra obra  y los  robots? los Solución: Es Es  un un  modelo modelo  de de  cola cola   M/M/1 M/M/1   de de  población población  finita, finita,  los los   N 10  robots robots  constituyen constituyen  la población  de población de  clientes, clientes,  verificándose verificándose  las las  demás demás  condiciones. Tasa  de Tasa de  llegadas: llegadas:   = Tasa de servicio: 

1 = 0,005 averías/hora 200

1 = 0,1 robots/hora = 10

Para calcular Para  calcular  el el  coste coste  diario diario  del del  tiempo tiempo  ocioso ocioso  de de  la  la mano mano  de de  obra obra  y los los  robots robots  se necesita  estimar necesita estimar  la la  utilización utilización  promedio promedio  del del  empleado empleado  de de  mantenimiento mantenimiento   (p) (p)  y el número  promedio número promedio  de de  robots robots  incluidos incluidos  en en  el el  mantenimiento. Utilización  promedio Utilización promedio  del del  empleado empleado  de de  mantenimiento: mantenimiento:   p 1   p0 1

p0 =

N

n

⎛ ⎞ ⎟ 0 (N n)! μ ⎠ 

1 005 ⎞ ⎛ 0 , 00 ⎜ ⎟ n=0 (10   n)! ⎝ 0 , 1 ⎠ 10

10!

n

=

∑ 10! ⎛ 0 , 005 ⎞ 10! 0, 05 05 = 1 = (10   n)! 0 , 1 ⎟⎠ ∑ (10 n)! n

10

 

N!

=

n

10

n

n=0

1 = 0, 538 1,85886

10 x 0, 0, 0 05 5 90 x 0, 0, 0 05 52 720 x 0 ,0 , 053

n=0

5040 x 0,05 0,054   30240 x 0,0 ,05 55 151200 x 0,05 0,056 604800 x 0,05 0,057 1814400 x 0,05 0,058 3628800 x 0,05 0,059   3628800 x 0,0 0,05 510 = 1,8 ,85 5886 con  lo  con lo que, que,   p 1   p0 = 1 0 , 538 = 0 , 462 Número promedio de robots en espera de ser reparados:

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(λ μ)

(0 , 005 0 , 1) (0 , 462) = 0 , 298   robots λ 0,005 Número  promedio Número promedio  de de  robots robots  que que  están están  en en  el el  sistema sistema  (en (en  la  la cola cola  y en en  proceso proceso  de reparación): Lq = N

Ls = N

(1 p0 ) = 10

0,1 0, 1 μ (1 p0 ) = 10 (0 , 462) = 0 , 76   robots 0,005 λ

Tiempo promedio de espera de los robots en la cola para ser atendidos por el encargado encargado  de  mantenimiento:  de Wq

Lq   0,298 = = 6 , 45  horas λ (N L s ) 0,00 0,005( 5(1 10 0, 0,7 76)

Tiempo promedio Tiempo  promedio  de de  estancia estancia  de de  los los  robots robots  en en  el  el sistema sistema  (en (en  la  la cola cola  y en en  proceso de  reparación): de Ws

Ls 0 , 76 = = 16 , 45   horas 0,005( 5(1 10 0,76 0,76) λ (N L s ) 0,00

o bien, bien,   Ws

Wq  

1

μ

= 6 , 45

1 = 16 , 45  horas 0,1 0, 1

Los  costes/hora Los costes/hora  por por  mano mano  de de  obra obra  ociosa ociosa  y robots robots  ociosos ociosos  son: Coste to Coste  tota tall Cost Coste e mano mano  de de  obra obra     Coste Coste  camiones camiones  ociosos =  

40 x 4   60 x 4 , 53 53 = 431, 8  8  euros

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Una empresa Una  empresa  tiene tiene  seis seis  equipos equipos  idénticos idénticos  de de  manufactura, manufactura,  el  el tiempo tiempo  entre fallas  de fallas de  cada cada  uno uno  de de  los los  equipos equipos  de de  producción producción  sigue sigue  una una  distribución distribución  exponencial, con  un con un  tiempo tiempo  promedio promedio  entre entre  fallas fallas  de de  veinte veinte  horas. horas.  Para Para  la  la atención atención  de de  las las  fallas en  el en el  equipo equipo  de de  manufactura manufactura  hay hay  un un  único único  equipo equipo  de de  mantenimiento, mantenimiento,  el  el tiempo tiempo  de duración  del duración del  servicio servicio  de de  reparación reparación  de de  las las  máquinas máquinas  sigue sigue  una una  distribución exponencial  con exponencial con  una una  media media  de de  2 horas/falla. horas/falla.  Se Se  pide: a)  a)  Utilización Utilización  promedio promedio  de de  mantenimiento. b)  b) Probabilidad Probabilidad  de de  que que  n clientes clientes  se  se encuentren encuentren  en en  el  el sistema sistema  de de  colas.

 

c)  Número promedio de máquinas en espera de ser reparadas. d)  d)  Número Número  promedio promedio  de de  máquinas máquinas  que que  están están  en en  el  el sistema. e)  e)  Tiempo Tiempo  promedio promedio  de de  espera espera  de de  las las  máquinas máquinas  en en  la  la cola. Solución: a)  a)  Es Es  un un  modelo modelo  de de  cola cola   M/M/1 M/M/1   de de  población población  finita, finita,  los los   N 6  equipos equipos  de manufactura  constituyen manufactura constituyen  la la  población población  de de  clientes, clientes,  verificándose verificándose  las las  demás condiciones 1 = 0,05 máquinas/hora 20

Tasa  de Tasa de  llegadas: llegadas:   =

1 2

= = 0,5 máquinas/hora

Tasa  de Tasa de  servicio: servicio:  

Utilización promedio Utilización  promedio  del del  equipo equipo  de de  mantenimiento: mantenimiento:   p 1   p0 1

p0 =

N

n

 

=

n

N! ⎛ ⎞ (N n)! μ ⎟⎠  0 n

1 6! ⎛ 0 , 05 ⎞ (6   n)! ⎜⎝ 0 , 5 ⎟⎠ n=0 6

∑

n

=

1 = 0 , 4845 2,06392

6! ⎛ 0 , 05 ⎞ n 2 3 0 , 5 ⎠⎟ = n = 0 (6 n)! 0 , 1 = 1 6 x 0, 0 , 1 30 x 0, 0 , 1 120 x 0, 0, 1 n = 0 (6   n)! 6

6!

6

∑

360 x 0, 0 , 14   720 x 0, 0 , 15 720 x 0, 0 , 16 = 2, 0 06 6392

 

Utilización  promedio Utilización promedio  de de  mantenimiento: mantenimiento:   p 1   p0 = 1 0 , 4 48 845 = 0 , 5155 b)  b) Probabilidad Probabilidad  de de  que que  n clientes clientes  se  se encuentren encuentren  en en  el  el sistema sistema  de de  colas: n

N! ⎛ ⎞ N! n   x 0 , 1 x 0 , 4845 si  1 ≤ n ≤ N = pn = p 0 ⎟ (N   n)! μ ⎠ (N n)! p1 0,29 0,2 907 0708 0894 942 2

 

p2 0,14 0,1453 5354 5447 471 1

 

p3 0,05 0,058 814 1417 178 88

 

p4 0,0174 0,017442 425 537

 

p5 0,00 0,0034 3488 8850 507 7

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p6 0,00 0,0003 0348 4885 851 1

 

c) c)   Número Número  promedio promedio  de de  máquinas máquinas  en en  espera espera  de de  ser ser  reparadas: Lq = N

(λ μ)

λ

(1 p0 ) = 6

(0 , 05 0 , 5) (0 , 5155) = 0 , 3295 máquinas 0,05

d)  d)  Número Número  promedio promedio  de de  máquinas máquinas  que que  están están  en en  el  el sistema sistema  (en (en  la  la cola cola  y en en  proceso de  reparación): de

μ 0, 5 L s = N λ (1 p0 ) = 6 0,05 (0 , 5155) = 0 , 845 máquinas e)  e)  Tiempo Tiempo  promedio promedio  de de  espera espera  de de  las las  máquinas máquinas  en en  la  la cola cola  para para  ser ser  atendidas: Wq

Lq   0,3295 = = 1, 278  horas ,05( 5(6 6 0 ,8 ,84 45) λ (N L s ) 0 ,0

f) f)   Tiempo Tiempo  promedio promedio  de de  estancia estancia  de de  las las  máquinas máquinas  en en  el  el sistema sistema  (en (en  la  la cola cola  y en proceso  de proceso de  reparación): Ws

Ls

0 , 845

=

0,0 05( 5(6 6 0 ,8 ,84 45) λ (N L s ) 0, o bien, bien,   Ws

Wq  

1

μ

= 1, 278

= 3, 278   horas

1 = 3, 278   horas 0, 5

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