Lección 37 El Teorema de Pitagoras

LECCIÓN 37

EL TEOREMA DE

Hipotenusa

PITÁGORAS

Un recto

triángu ngulo es

Catetos

un

triá triáng ngul uloo

que que

Los catetos son los lados que forman el

contiene

un

ángulo ángulo recto recto.. La hipote hipotenus nusaa es el lado lado

recto ecto..

opuesto o que esta frente al ángulo recto.

(un ángu ángulo lo de

Ya que el ángulo recto siempre es el más

áng ángulo ulo

90°).

gran grande de de cual cualqu quie ierr trián riánggulo, ulo,

El Teorema de Pitágoras es una teoría

hipotenusa

acer acerca ca de los los ángu ángulo loss rect rectos os que que fue fue

del mismo triángulo recto.

la

es siempre el lado más largo

descubierta alrededor de 2, 500 años atrás   ppor or un matem atemát átiico grie griego go ll llam amad adoo

Ahora veamos lo que dice el Teorema de

Pitágoras. Pitá goras. Esta teoría teoría se llama llama Teorem Teoremaa

Pitágora oras.

  porq porque ue Pitá Pitágo gora rass pudo pudo prob probar ar que que es

representan representan el largo de los catetos catetos y c

cierto para todos los triángulos rectos sin

  por la medida de la hipotenusa en un

ninguna excepción.

triángulo recto.

Supon ponga que a

y

b

teorema

Por lo tanto a, b, y c le dirán dirán a usted

necesitamos aprender que son hipotenusa

cuantas unidades se obtiene al medir los

(que palabras palabras tan raras) raras) y los catetos de

lados del triángulo.

Antes

de

un triángulo recto.

v er

el

El teorema de Pitágoras dice que si usted

9 + 16

25

eleva eleva al cuadrado cuadrado los cateto catetos, s, luego luego la sum umaa de esos esos cuadr uadrad ados os es igual gual al

Como lo ve 9 + 16 suma 25

cuadrado de la hipotenusa.

5² es igual a 5 * 5 = 25 también.

La cuestión sorprendente del Teorema de a

c

Pi Pitá tágo gora rass es que que esto esto es cier cierto to para para TODOS TODOS los los trián triángul gulos os recto rectos. s.

 b

Usted Usted

necesita memorizar la formula para no

Teorema de Pitágoras:

tene tenerr inco inconv nven enien iente tess al resol resolve verr esto estoss

a² + b² = c²

 problemas.

Ahora vea esto:

( a² + b² = c² ) Asegúrese de entender correctamente que significa esta formula.

a =3

c=5

 b = 4 El triángulo recto tiene catetos que miden 3

uni unidade dadess

y

4

uni unidade dadess.

La

hipotenusa mide 5 unidades. Será cierto que a² + b² = c² ? Definiciones: Definiciones: a² + b²

c²

3² + 4²

5²

Triángulo recto: recto: Un triángu triángulo lo que que tiene tiene

Una cosa cosa más más,

si uste ustedd cono conoce ce las las

un ángulo recto.

medidas de los catetos puede averiguar la medida de la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: Pitágoras: El hecho es que en cualquier cualquier triángu triángulo lo recto, recto, la suma suma de

D

los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

9cm

Cateto. Cateto. En un triángulo triángulo recto, uno de los

C

12cm

E

lados que forman el ángulo recto. En el triángulo CDE, el cateto CE mide Hipotenusa. Hipotenusa. El lado lado opue opuesto sto al ángul ánguloo

12 centímetros centímetros,, y el cateto cateto CD mide 9

recto en un triángulo triángulo recto. recto. Ya que está

cent centím ímet etro ross.

opuet ueto al ángu ngulo más grande nde,

encuentre la medida de la hipotenusa.

la

la la

form formul ulaa

( a² + b² = c² )

hipo hipote tennusa usa es el lado lado más lar largo del del triángulo.

Usan Usando do

1)

Sustituya la la fo f ormula co c on la la información. 9² + 12² = c²

No se confunda con las palabras triángulo recto y ángulo recto.

Triángulo Triángulo es toda toda la figura, figura, el ángulo es una parte del triángulo.

2)

Efectúe la operación. (81 + 144 = 225) = c²

3)

Ahora

encuentre

la

raíz

Ya que usted debe debe sumar sumar 100 + b² para

cuadrada de 225.

obtener obtener 676 por lo tanto tanto b² tiene tiene que ser 

4)

15 X 15 = 225

676 – 100 = 576.

5)

1 5²

6)

Respuesta. Respuesta.

La hipot hipoten enus usaa

mide 15 cm.

Si usted conoce la medida de un cateto y

b² es igual a 576.

Ahora encuentre la raíz cuadrada de 576. 24 X 24 = 576

El otro cateto mide 24 unidades.

de la hipotenusa usted puede averiguar la medida del otro cateto.

Hágalo usted El diagrama muestra una vista del techo

10

26

de una casa. B

 b = ?

Hipotenusa

Sustituya la formula por las cifras que ya conoce.

A

D

C

10² + b² = 26²

AC = 8 yardas y BD = 3 yardas. Si BAD es es congru congruente ente a BCD, BCD, cual cual es el

Efectúe las operaciones que pueda.

largo de BC?

100 100 + b² b² = 676 676

Use Use la lógic ógicaa para para aver averig iguuar a que

Ante Antess de empe empeza zarr a trab trabaj ajar ar en esta esta

equivale b² ?

  pregu pregunta, nta, se cuestio cuestionó nó usted usted mismo mismo la

razón del porque le dijeron que ambos

EJERCICIO G16

ángulos son congruentes? Para las figuras 1, 2 y 3 sustituya las Si los triángulos son los mismos, los dos

formula con las letras.

ángulos D son iguales. Por lo tanto deben medir en grados 90°.

ADC

es un ángu ngulo llano que mide 180° 80°. También AD = CD, de esta forma DC es la mit mitad ad de de 8, que es 4. 4. Ahor Ahoraa uste ustedd tiene un triángulo recto con dos catetos de 3 y 4 yardas. Ahora necesita averiguar averiguar la hipoten hip otenusa usa..

Usando Usando la la formul formulaa usted usted

obtiene que 3² + 4² = 25 El largo de BC es de 25 yardas. Si tiene tiene proble problemas mas compre comprendie ndiendo ndo esta esta secc secció iónn recuer recuerde de que el

triá triáng ngul uloo se

 puede ver de la siguiente forma también:

Encuentre la medida que falta en cada una de las siguientes siguientes figuras.

CHEQUEE CHEQUEE SUS RESPUEST RESPUESTAS AS BAJO ESTE

PA PARRAFO,

AMBAS

SI

OBT OBTUVO

CORRECTAS

PUEDE

CONT CONTIN INUA UAR R CON CON LA SIGU SIGUIE IENT NTE E LEC LECCIÓN CIÓN SI FALLÓ ALLÓ EN UNA UNA AL MENOS REPITA LA LECCIÓN. NO SE ENGAÑE USTED MISMO. EJERCICIO G 17 RESPUESTAS:

1)

Un tri triángulo rec recto ti t iene una una

1)

1

2)

2

hipotenusa de 25 pulgadas y un cateto de 24 24 pulgadas pulgadas.. ¿Cuál es la medida del otro cateto? 1) 7

2) 1 7

3) 1 9

2)

Un ho hombre de dejo su su ca campo y cami camino no 6 mill millas as al nor norte te y luego luego 8 mill millas as al este. este. ¿Qué tan lejos está el de su campo en millas?

1 ) 1 4 2) 1 0

LECCIÓN 38

CIRCULOS 3) 9

Deje Dejemo moss los los polí polígo gono noss fuer fueraa por por un tiem tiempo po..

Los Los políg polígon onos os son son figu figura rass

cerradas cerradas que tienen lados rectos. rectos. Otras figuras figuras tienen lados lados curvos, curvos, de estos los los

Diámetro: Diámetro:

Un segment segmentoo de línea línea que

más comunes son los círculos.

conecta dos puntos puntos en un circulo y pasa a

Ante Antess de trab trabaj ajar ar con con ello elloss debe debemo moss

través del centro del circulo. circulo. Un diámetro

aprender las partes que los describen.

es dos dos veces veces el lar largo del del radio radio..

Un

diámetro es el segmento más largo que conecta dos puntos en un circulo.

Definiciones:

Circulo: Circulo: Una Una curva curva cerr cerrad adaa en la que que todos los punto ntos estan a la misma distancia del centro. Circunferencia de un Círculo.

Circulo:

Para Para un polí polígo gono no uste ustedd encu encuen entr traa el   perímetro sumando las medidas de sus Centro

lados. lados. Para un circulo circulo no hay lados lados que

Circunferencia. Circunferencia.

El ppeerímetro o la la

distancia alrededor de un circulo.

sumar. sumar. Necesita un método diferente para hallar el perímetro o circunferencia de un circulo.

Radio. Radio.

Un seg segmento de line lineaa que que

conecta el centro de un circulo a cualquier    punto del circulo.

Para Para hacerlo hacerlo solame solamente nte mul multi tipliq plique ue el largo del diámetro por un número especial llamado  pi . Para todas todas las preguntas en

este este libr libroo uste ustedd debe debe usar usar la cant cantid idad ad

La circunferencia o el perímetro de la

3.1 3.14 a menos que se le indiq dique lo

 pista es 43.96 metros. metros.

contrario. Pi es el nombre de una letra griega que se

2)

escribe π .

de un disco de metal que tiene 88

La circunferen circunferencia cia C de un circulo circulo es la

 pulgadas de circunferencia.

multiplicación de su diámetro por π.

Formula:

Este Este número número griego griego equiv equivale ale a 3.14 3.14 es todo lo que vamos a decir de esta letrita griega para no confundirlo.

Encuentre Encuentre el diámetro diámetro en pulgadas pulgadas

C = πd Sustituya la información que tiene 88 = 3.14 x d La formula dice que 3.14 multiplicado

Ejemplo: Ejemplo: Una pista circular tiene 14 metros

  por el diámetr diámetroo es 88. Para encontr encontrar ar el diámetro usted debe dividir  88 ÷ 3.14 3.14 = 28

de diámetro. ¿Cuál es su circunferencia? Utilice la formula:

El diámetro del disco de metal es de 28

C = πd

  pulga pulgadas das.. Recuerd Recuerdee entonces entonces que para para hallar el diámetro de un circulo divida la

Sustituya la información que ya conoce:

circunferencia o perímetro por π.

C = 3.14 X 14

 _________________________________ 

Efectuada la operación obtiene 43.96 .

HÁGALO USTED Algunas veces se le da el radio en lugar  del diáme diámetro tro..

Para Para hallar hallar el diáme diámetro tro

simplemente

doble

el

radio

o

multiplíquelo por dos.

El radio es de 7 pulgadas.

Encontrar la circunferencia de un circulo

Ejercicio G17

con un radio de 3 pulgadas. Encu Encuen entr tree la circ circun unfe fere renc ncia ia de 3 x 2 = 6 (diámetro)

6

*

3.14

=

18.84

los los

siguientes círculos:

pulgadas

de

circunferencia.

1) Diáme Diámetr troo de de 5 pies. pies. 2) Radi Radioo de 2.5 2.5 pul pulgad gadas as.. 3) Diáme Diámetr troo de 10 met metro ros. s.

Otras veces se le pide el radio y solo se le

4) Radi Radioo de de 6 cm. cm.

da la circu circunfe nfere renc ncia ia..

5) Diám Diámet etro ro de 6 cm. cm.

En esto estoss casos casos

divida div ida la circu circunfer nferenc encia ia por π y luego luego

6) Radi Radioo de de 1.3 1.3 mm mm..

hallado el diámetro vuelva a dividir por  Respuestas:

dos para dar el radio. Recuerde que el radio es la mitad del diámetro.

1)

15.7 pies.

2)

15.7 pu pulgadas.

3)

31.4 metros.

4)

37.68 cm.

5)

18.84 cm.

6)

8.164 mm.

Encuentre el radio de un circulo con una circunferencia d e 44 pulgadas.

AREA DE UN CIRCULO

44 ÷ 3.14 = 14

Sabe abe como como enco encont ntrrar el áre área de un

14 ÷ 2 = 7

rectángulo, rectángulo, un cuadrado cuadrado y un triang triangulo. ulo.

El área de un circulo es la cantidad de

Un circ circul uloo que que tien tienee un área área de 154 154

espaci espacioo adentro adentro de este este.. Es muy muy fácil fácil

  pul pulga gada dass cuad cuadrradas adas..

calcular el área de un circulo si usted

diámetro?

conoce el radio. Use esta formula:

1)

A = πr²

¿Cuá ¿Cuáll es su

Escr Escrib ibaa la form ormula, ula, sust ustituy ituyaa la información que ya conoce y calcule.

Ejemplo: Ejemplo:

A=πr²

Un circulo tiene 10 pulgadas de radio.

154 = 3.14 * r ²

¿Cuál es su área en pulgadas cuadradas? 2)

r² x 3.14 para para obtener obtener 154 por 

Paso 1: Reem Reempl plac acee

Ya que que ust usted deb debe mul multiplicar 

ley r² debe ser 154 ÷ 3.14

en la for formu mula la los los

valores que ya conoce. A = 3.14 x 10²

3)

Efectúe la la op operación:

A = 3.14 x 100

154 ÷ 3.14 = 49

A = 314 El área área del del disco disco es de 314 314 pulga pulgadas das

4)

Cual es es la la ra raíz cu cuadrada de de 49 49?

cuadradas.

El número que multiplicado por 

También puede puede usar la formula formula A = π r²

si mismo mismo da 49 es 7.

 para encontrar el radio o el diámetro de un circulo si conoce su área.

5)

El ra radio de de es este ci circulo es es de de 7  pulgadas.

6)

El diámetro es el doble 14  pulgadas.

Porque el radio radio no es es 49? 49? Recuerde Recuerde que que

Encuentre el área de cada circulo descrito.

la formula dice que el área es igual a π

Use 3.14 para π.

multiplicado

por radio

eleva evado

al

cuadrado. No se confunda.

1) Radi Radioo de de 10 10 pie pies. s. 2) Diáme Diámetr troo de de 10 10 pie pies. s. 3) Diáme Diámetr troo de de 4 metr metros os..

Hágalo usted:

4) Radi Radioo de de 20 20 mm. mm. Cinco ruedas ruedas,, cada cada una mide mide 3 pies de de diámetro, las tres deben ser cubiertas con   papel papel para para un desfil desfile. e.

¿Cuánto ¿Cuántoss pies pies

cuadr cuadrado adoss de papel papel se neces necesit itan an para para

Respuestas: 1)

314 314 pie pies cuadr uadraados. dos.

2)

78.5 78. 5 pie pies cua cuadr drad ados os..

3)

12.56 m²

4)

1256mm²

cubrir las tres ruedas? A = π r² A = π 1.5 (la mitad de 3) A = π 2.25 A = 3.14 * 2.25 A = 7.065 (7 redondeado) redondeado) Ahora multiplique 7 X 5 para hallar el total de pies cuadrados. Respuesta: 35 pies cuadrados se necesitan.

EJERCICIO G18

EJERCICIO G19

1) Un circulo de 15 pies de diámetro. ¿Cuál es el perímetro? 1) 4.71 2) 2) 23.55

3) 47.1

dividió exactamente por la mitad mitad con un amigo. ¿Cuántas pulgadas cuadradas cuadradas de Pizza le tocó a cada uno?

2) Cual es el pe perímet metro en pie pies de

1)153 2) 155

3)157

una piscina circular que tiene un CHEQ CHEQUE UEE E

radio de 12 pies?

PARRAF ARRAFO, O,

1) 75.36

2) 81.46

3)

PUEDE

SUS SUS

RESP SPU UEST ESTAS

BAJO AJO

ESTE STE

SI OBTUVO OBTUVO TODAS TODAS CORRECT CORRECTAS AS CONTINUAR

CON

LA

LECCIÓN

SIGUIE SIGUIENTE NTE . SI PERDIO PERDIO POR POR LO MENOS UNA

87.56

REPITA REPITA LA LECCIÓN. LECCIÓN. ESTE ES UN CURSO AUTO DIRIGIDO. DIRIGIDO. USTED MISMO MISMO SE VIGILA, VIGILA, NO SE

3) Un fil filtr troo circ circul ular ar de de café café tie tiene ne 22 22   pulga pulgadas das de perí perímet metro. ro.

¿Si el

filtro se doblara a la mitad cual sería esta medida? 1) 3.5 2) 7

3) 1 4

4) Una Una mesa mesa cir circu cula larr tien tienee 6 pies pies de de diáme diámetr tro. o. ¿Cuá ¿Cuáll es su área área en  pies cuadrados? 1) 9.42

2) 28.26

3)

113.04

5) Álva Álvaro ro comp compró ró una pizz pizzaa giga gigante nte.. Su radio es de 10 pulgadas. Se la

ENGA ENGAÑE ÑE PORQ PORQUE UE EL OBJE OBJETI TIVO VO AQUÍ AQUÍ ES APRENDER NO GANAR UN DIPLOMA.

RESPUESTAS: 1)

3

2)

1

3)

2

4)

2

5)

3