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1èreS

Un treuil pour charger et décharger un bateau

Physique

Mécanique

- Enoncé -

Remarque : sauf indication contraire, toutes les réponses seront justifiées. Le treuil utilisé dans un port est schématisé ci-contre. Il est constitué par un cylindre de rayon R sur lequel s'enroule un câble auquel est accrochée une caisse. Données -

Échelle de représentation des vecteurs vitesses : 1,0 cm → 0,10 m.s-1 Vitesse angulaire : ω = 18 tour.min-1 Rayon du treuil : R = 20 cm Le mouvement de la caisse reste constamment vertical.

Première partie : mouvement du cylindre On a enregistré, en annexe, le mouvement d'un point P situé sur la circonférence du cylindre pendant une durée ∆t. 1. Sans justifier, préciser : a) Le référentiel dans lequel on a tracé cet enregistrement. b) La nature du mouvement du cylindre dans ce référentiel. c) La nature du mouvement de P dans le référentiel du cylindre. d) la nature du mouvement de P dans un référentiel lié à l'axe (∆) du cylindre. 2. En utilisant l'enregistrement, indiquer l’échelle de représentation des longueurs. 3. a) Définir la vitesse angulaire moyenne ω d'un solide. b) Pour le système considéré, calculer la valeur de ω dans le système S.I. En déduire la durée τ qui entre deux repérages successifs de l'enregistrement.

s'écoule


4. Exprimer la valeur v2 du vecteur vitesse instantanée v 2 . Déterminer v2 graphiquement.


5. Sans justifier, tracer le vecteur vitesse v 2 sur l’enregistrement.







6. Les vecteurs vitesses v 2 et v 4 sont-ils égaux ? Deuxième partie : mouvement de la caisse 1. Écrire la relation liant la valeur vG de la vitesse du centre d'inertie G de la caisse et la vitesse vP point P. 2. Pourquoi s'intéresse-t-on, en général, au mouvement du centre d'inertie des solides ? 3. Donner les caractéristiques du mouvement de la caisse pendant la durée ∆t de cet enregistrement. Illustrer votre réponse par un schéma représentant les points A et B à deux instants différents. 4. Représenter, sur le schéma, les vecteurs vitesses des points A et B à ces deux instants. 5. Calculer le nombre N de tours effectués par le cylindre pour déplacer la caisse sur une hauteur h = 9,0m. Le treuil et la caisse

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- Annexe -

Le treuil et la caisse

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- Corrigé Première partie : mouvement du cylindre 1. Sans justifier, préciser : a/ Le référentiel dans lequel on a tracé cet enregistrement.

L'enregistrement de P est tracé dans le référentiel terrestre. b/ La nature du mouvement du cylindre dans ce référentiel.

Le cylindre est animé d'un mouvement de rotation uniforme par rapport à l'axe (∆). c/ La nature du mouvement de P dans le référentiel du cylindre.

Dans le référentiel du cylindre, le point P est immobile. d/ La nature du mouvement de P dans un référentiel lié à l'axe (∆ ∆) du cylindre.

Dans un référentiel lié à l'axe (∆) du cylindre, P est animé d'un mouvement circulaire uniforme. 2. En utilisant l'enregistrement, indiquer l’échelle de représentation des longueurs.

On mesure sur le schéma le rayon de la trajectoire du point P ; il fait 5,0 cm pour une valeur réelle de 20 cm. L'échelle des longueurs est de : 1,0 cm
4,0 cm. 3. a/ Définir la vitesse angulaire moyenne ω d'un solide.

La vitesse angulaire moyenne ω d’un solide est le quotient de l'angle α balayé par la durée ∆t de la rotation. b/ Pour le système considéré, calculer la valeur de ω dans le système S.I. En déduire la durée τ la durée qui s'écoule entre deux repérages successifs de l’enregistrement.

Par hypothèse, ω = 18 tours. min

ω =

α Δt

P Oˆ P 0

=

5.τ

5

-1

P Oˆ P ⇒ τ =

0

5

5. ω

18 x 2π (rad)

=

60 (s)

Soit : ω = 1,9 rad.s 1.

106°

x 2 x 3,14 Soit : τ = 360° = 1,9 x 10-1 s. 5 x 1,9

L'angle α est exprimé en rad et la vitesse angulaire ω en rad.s-1. 4. Exprimer la valeur v2 du vecteur vitesse instantanée v . Déterminer v2 graphiquement. 2

v = 2

PP +P P 12

23

2τ

. Soit v2

=

3,8 x 4,0 x 10 2 x 1,9 x 10

5. Sans justifier, tracer le vecteur vitesse v

2

-2

-1

= 4,0 x 10-1 m.s-1.

sur l’enregistrement.

Pour tracer le vecteur v on détermine sa valeur et sa direction. 2

On sait que : 1,0 cm
0,10 m.s-1 et que v2 = 0,38 m.s-1, donc on prend une longueur de 3,8 cm pour représenter


v2 .



P1 P3 v2 = , donc la direction de ce vecteur est identique à celle de la droite (P1P3). (Voir schéma ci-dessous) 2τ 


4-

Les vecteurs vitesses v 2

et v

4

sont-ils égaux ?

Les vecteurs vitesses instantanées v

2

et v

4

ne sont pas égaux car ces vecteurs, tangents à la trajectoire

n'ont pas même direction.

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v2 Deuxième partie : mouvement de la caisse 1. Ecrire la relation liant la vitesse vG du centre d'inertie de la caisse et la vitesse vP du point P.

La vitesse vP d’un point P du cylindre est égale à la vitesse vG du centre d'inertie de la caisse. 2. Pourquoi s'intéresse-t-on, en général, au mouvement du centre d'inertie des solides ?

En général, le mouvement du centre d'inertie des solides est plus simple que celui des autres points. 3. Donner les caractéristiques du mouvement de la caisse pendant la durée ∆t de cet enregistrement. Illustrer votre réponse par un schéma représentant les points A et B à deux instants différents.

La caisse est animée d'un mouvement de translation rectiligne uniforme car v est constant. G

• Tous les points de la caisse ont, au même instant, le même vecteur vitesse (représenté par une flèche de 3,8 cm sur le schéma). • Un segment joignant deux points quelconques A et B de la caisse se déplace en restant parallèle à lui-même. • Tous les points ont des trajectoires superposables. 4. Représenter, sur le schéma, les vecteurs vitesses des points A et B à ces deux instants.

Voir schéma ci-contre. 5. Calculer le nombre N de tours effectués par le cylindre pour déplacer la caisse sur une hauteur h = 9,0 m.

Soit ∆t' la durée nécessaire pour soulever la caisse d’une hauteur h. Soit α l’angle balayé par le cylindre pendant la durée ∆t’. h = vG. ∆t' = vP. ∆t' α Or vP = R. ω ⇒ h = R. ω. ∆t' = R. . ∆t' = R. 2π. N Δt' α est l’angle balayé pendant une durée ∆t’.

N=

h 2π R

soit : N =

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9,0 2π x 0,20

= 7,2 tours.

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