Latitud Reducida y Latitud Geocéntrica

DIFERENTES TIPOS DE LATITUDES

RELACION ENTRE LATITUD REDUCIDA Y LATITUD GEOCÉNTRICA.

La definición de la latitud reducida y latitud geocéntrica se deduce de las figuras y tal y como se explica a continuación. Considerese un punto arbitrario P sobre la superficie del elipsoide, y sean ( ϕ, λ) sus coordenadas geodésicas. En la figura C1 se aprecia el meridiano geodésico del punto y se observa el eje г resultante de la intersección del plano meridiano geodésico del punto

y el plano z=0, plano ecuatorial geodésico, de manera que se puede definir para cada punto de coordenada coordenada r que corresponde al radio del paralelo geodésico en que se encuentran ubicado. Esta coordenada no es sino la distancia del centro del elipsoide a la proyección ortogonal del punto sobre el plano ecuatorial geodésico. En la figura C2 se observa el abatimiento del plano meridiano de P sobre el plano del papel y aparecen diferentes latitudes del punto: geodésica, reducida y geocéntrica, denotadas como ϕ, u y ψ, respectivamente. Es directo deducir que la ecuación implícita del meridiano geodésico se expresa:

   



La definición correspondiente a las latitudes reducida y geocéntrica serán: 

Latitud geocéntrica ψ. -

 Angulo que forma el vector de posición del punto con el plano z=0. Su dominio y medida es similar a la de la latitud geodésica.

Figura C1: Proyección de un punto del elipsoide sobre el plano ecuatorial geodésico. TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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Figura C2: Latitud geodésica, latitud geocéntrica y latitud reducida de un punto del elipsoide



Latitud reducida u .Es la latitud geocéntrica de un punto sobre la esfera tangente al elipsoide del radio a (semieje mayor del elipsoide) cuya correspondencia con el punto sobre el elipsoide se establece a continuación. Observando la figura C2 se deduce la definición de u:

r = a cos u

(C2)

y sustituyendo en la expresión C1 se sigue,

               Expresión que justifica que en la figura C2 la circunferencia de radio b corte a la recta que pasa por el origen y tiene un angulo de inclinación u en un punto que tiene la misma coordenada z que el punto P. TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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 Adviertase que las expresiones C2 y C3 constituyen una parametrizacion de la elipse meridiana en base a los parámetros latitud reducida y radio del paralelo. El dominio y medida de la latitud reducida es similar a la de la latitud geodésica. La latitud reducida interviene en la deducción de la parametrización del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas. Tanto la latitud reducida como la geocentrica aparecen en diferentes desarrollos en serie de algunos cálculos geodésicos en los que se recurre a aproximar el elipsoide por una esfera. RELACION ENTRE LATITUD GEODÉSICA Y LATITUD REDUCIDA.

La expresión de paso de latitud geodésica a reducida y viceversa se deduce de la definición y a partir del hecho de que ambas se pueden expresar en función de la pendiente de la meridiana geodésica del punto, tal y como se observa en la figura C3.  Asi la altitud geodésica esta relacionada con la pendiente de la meridiana geodésica según la expresión.

          

Mientras que la relación entre la pendiente de la meridiana geodésica y la latitud reducida se sigue de la parametrización de la elipse meridiana definida por las expresiones C2 y C3.

       

Concluyéndose al igualar las dos ultimas expresiones.

            √    



Obteniéndose la expresión de paso de latitud reducida a geodésica TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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    



De la expresión se deduce que el valor absoluto de la latitud reducida será menor que el de la latitud geodésica, igualándose para el ecuador geodésico y los polos, lo que también es evidente a partir de la figura C2. Esta relación da mucho sentido a su denominación.

Figura C3: Relación de la latitud geodésica con la pendiente de la línea meridiana geodésica.

Despejando de la expresión se obtiene para el paso de la latitud geodésica a la reducida.

        



La implementación de las expresiones C5 y C6 no extraña ninguna dificultad gracias a que las librerías matemáticas de la mayoría de los lenguajes de programación incorpora las funciones trigonométricas tangentes y arcotangente. Además teniendo en cuenta el dominio utilizados para las latitudes, los valores resueltos serán correctos no presentándose problema alguno en relación a la discriminación del cuadrante trigonométrico. TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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Otras relaciones útiles entre funciones trigonométricas de ambas latitudes son:



Relacion entre los cosenos.

Por una parte se tiene que la tangente de la latitud reducida es,

                   

 

Pero también, teniendo en cuanta la expresión C5,

                 Donde el numerador se puede expresar,

                       Y operando,

                                  Concluyéndose que los cosenos de ambas latitudes se relacionan según:

     

Relación entre los senos.

Teniendo en cuenta la relación entre el seno de un ángulo y su coseno.

TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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     Y la expresión C7 se obtiene,

                                                 Concluyéndose que los senos de ambas latitudes se relaciona según:

       

RELACIÓN ENTRE LATITUD GEODÉSICA Y LATITUD GEOCÉNTRICA.

De la figura C2 se deduce directamente la relación existente entre la latitud geocéntrica y la reducida,

     

Obteniéndose la relación entre la latitud geodésica y geocéntrica sin más que sustituir en la expresión anterior la expresión C4,

     



Resultando las expresiones,

( )         

TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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La implementación de las expresiones C11 y C12 no entraña ninguna dificultad gracias a que las librerías matemáticas de la mayoría de los lenguajes de programación incorporan las funciones trigonométricas tangentes y arcotangente. Además, teniendo en cuenta el dominio utilizados para las latitudes, los valores resueltos serán correctos no presentándose problema alguno en relación a la discriminación del cuadrante trigonométrico. De acuerdo a la expresión C10 el valor absoluto de la latitud geocéntrica será menor que el de la latitud geodésica, igualándose para el ecuador geodésico y los polos, conclusión evidente también a partir de su definición de acuerdo a la figura C2. La relación entre la latitud geocéntrica y la reducida es, de acuerdo a la expresión C9, similar a la relación entre la reducida y la geodésica, por lo que será la menor de las tres en valor absoluto.

TF. CGON. JULIO QUINTEROS CHAVEZ

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