Latihan Soal Dan Pembahasan Mid Semester Matematika

Artikel ini diupload oleh sahabat belajar Bintang Fisika – Semarang Untuk materi lainnya silakan kunjungi www.bintangfisika.com Atau follow kami di twitter @bintangfisika

Soal-soal dan Pembahasan Matematika

Soal-soal Mid Semester Matematika kelas XI

1. Jika diketahui P(x) = 2x3+4x2-3x+2, maka nilai dari P(5) adalah … a. 57 b. 75 c. 337 d. 373 e. 377

𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 = 1 + 5 = 5 3. Jika

3𝑥𝑥−1

𝑎𝑎

𝑏𝑏

= 𝑥𝑥+3 + 𝑥𝑥−3 maka nilai a-b

𝑥𝑥 2 −9

adalah … a. 3 b. 2/3 c. -2 d. 1/3

Jawab (C): 𝑃𝑃(5) = 2.125 + 4.25 − 3.5 + 2 𝑃𝑃(5) = 337

2. Jika P(x) = 3x4-(m-1)x3+2(n-1)x+6 dan Q (x) = ax4-bx2+6x+c maka nilai dari m+n adalah … a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

Jawab (C) Soal tersebut adalah tentang kesamaan fungsi, sehingga kita menyamakan koefisien dari suku yang mempunyai derajat pangkat sama.

e. ¾

Jawab (D) Masih tentang kesamaan fungsi 3𝑥𝑥 − 1 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 3) + 𝑏𝑏(𝑥𝑥 + 3) = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 2 − 9 3𝑥𝑥−1

=

𝑥𝑥 2 −9

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)𝑥𝑥−3𝑎𝑎+3𝑏𝑏

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 3

𝑥𝑥 2 −9

−3𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = −1 Dengan

…(1) …(2)

mengeliminasi

kedua

persamaan tersebut didapatkan 𝑎𝑎 =

5 4 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 = 3 3

Sehingga 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 =

4. Jika

5 4 1 − = 3 3 3

𝑥𝑥 6 − 3𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4 =

−(𝑚𝑚 − 1) = 0

(𝑥𝑥 + 1)𝑄𝑄(𝑥𝑥) + 𝑘𝑘 maka nilai k …

2(𝑛𝑛 − 1) = 6

b. -2

𝑚𝑚 = 1

2𝑛𝑛 − 2 = 6 → 𝑛𝑛 = 4

1|Page

a. -3

c. -1

Artikel ini diupload oleh sahabat belajar Bintang Fisika – Semarang Untuk materi lainnya silakan kunjungi www.bintangfisika.com Atau follow kami di twitter @bintangfisika

d. 3

Masih menggunakan teorema sisa.

e. 4

Pembagi adalah (𝑥𝑥 − 1) maka x = 1 𝑃𝑃(1) = 3 − 2 + 4

Jawab (C) Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan hasil kali antara pembagi dan hasil

𝑃𝑃(1) = 5

Maka sisa dari hasil pembagian tersebut adalah 5

bagi kemudian dijumlahkan dengan sisanya. Dalam soal tersebut (𝑥𝑥 + 1) merupakan pembagi, Q(x) merupakan hasil bagi dan k adalah sisanya.

6. Jika P(x) dibagi 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 sisanya 3𝑥𝑥 + 8, jika P(x) dibagi (𝑥𝑥 + 1) sisanya … a. -11

Teorema sisa menyatakan bahwa sisa

b. -8

merupakan fungsi dari nilai pembagi

c. 2

fungsi

adalah

d. 3

Selanjutnya

e. 5

tersebut.

Pembagi

(𝑥𝑥 + 1), 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 = −1.

kita masukkan nilai tersebut ke dalam fungsi

Jawab (E) 6

4

2

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 4

Jika suku banyak dibagi oleh fungsi

𝐹𝐹(−1) = −1

bentuk (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏). Pembagi berderajat

merupakan sisa dari fungsi tersebut.

dan sisanya adalah 3𝑥𝑥 + 8.

𝐹𝐹(−1) = 1 − 3 − 1 − 2 + 4

Berdasarkan teorema sisa maka -1

yang berderajat 2 maka sisanya dalam 2 dalam soal tersebut adalah 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)

Maka nilai k= - 1

Untuk pembagi berderajat satu, maka

5. Jika

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 + 4

dibagi

sisanya adalah konstanta. Pembagi

(𝑥𝑥 − 1), maka sisanya … a. 5

berderajat 1 adalah (𝑥𝑥 + 1) yang juga

b. 6

pembagi berderajat 2, maka

c. 7

𝑆𝑆(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

d. 8 e. 10

Jawab (A)

2|Page

merupakan salah satu faktor dari

𝑆𝑆(−1) = 3(−1) + 8 𝑆𝑆(−1) = 5

Artikel ini diupload oleh sahabat belajar Bintang Fisika – Semarang Untuk materi lainnya silakan kunjungi www.bintangfisika.com Atau follow kami di twitter @bintangfisika

7. Suku banyak 2𝑥𝑥 5 − 3𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 −

Maka fungsi P(x) menjadi

1 dibagi 𝑥𝑥 3 − 1, maka sisanya …

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 3 + 7𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3

b. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥

jika P(x) dibagi

a. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1

Dengan menggunakan cara horner, (2𝑥𝑥 − 1)

maka

c. −3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1

sisanya adalah:

e. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 1

Untuk mencari 2 faktor yang lain,

d. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 1

𝑆𝑆(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 6 maka

persamaan

tersebut

kita

faktorkan

Jawab (A) Dengan cara pembagian biasa kita dapatkan hasil 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 dan sisanya 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1

8. Jika (2𝑥𝑥 − 1) adalah faktor dari suku

0 = 2𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 6 0 = 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 3

0 = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) 9. Jika P(x) dibagi (𝑥𝑥 − 2) sisanya -3 dan

maka faktor lainnya adalah …

jika dibagi (𝑥𝑥 + 1) sisanya 6. Jika P(x)

a. (𝑥𝑥 − 3) dan (𝑥𝑥 + 1)

a. – 𝑥𝑥 + 5

banyak

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 3 + 7𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3

b. (𝑥𝑥 + 3) dan (𝑥𝑥 + 1) c. (𝑥𝑥 + 3) dan (𝑥𝑥 − 1) d. (𝑥𝑥 − 3) dan (𝑥𝑥 − 1) e. (𝑥𝑥 + 2) dan (𝑥𝑥 − 6)

dibagi 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2adalah … b. −3𝑥𝑥 + 3 c. 𝑥𝑥 − 1

d. −9𝑥𝑥 + 5 e. 𝑥𝑥 + 3

Jawab (B)

Jawab (B)

Teorema faktor menyatakan bahwa

Jika

jika suatu fungsi dibagi menggunakan

hasilnya adalah (𝑥𝑥 − 2) dan (𝑥𝑥 + 1).

akarnya maka sisanya adalah 0. 2𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑥𝑥 =

1 2

1 𝑃𝑃 �2�

1 4

3|Page

faktorkan

Jika pembaginya berderajat 2, maka

menggunakan teorema sisa dapat kita 7 4

0=2+2−3 𝑎𝑎 = 2

kita

sisanya dalam bentuk 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏. Dengan 𝑎𝑎 2

= + + −3 𝑎𝑎

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2

peroleh bahwa sisa merupakan fungsi dari pembagi 𝑆𝑆(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

𝑆𝑆(2) = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

Artikel ini diupload oleh sahabat belajar Bintang Fisika – Semarang Untuk materi lainnya silakan kunjungi www.bintangfisika.com Atau follow kami di twitter @bintangfisika

−3 = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

(1)

6 = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

(2)

𝑆𝑆(−1) = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Dengan

mengeliminasi

𝑝𝑝 × (−𝑝𝑝) × 𝑞𝑞 = − kedua

persamaan tersebut, didapatkah a = -3 dan b = 3 sehingga sisanya adalah 𝑆𝑆(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 + 3 10. Diketahui persamaan suku banyak 𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 = 0, nilai m jika 2

𝑚𝑚 1

𝑝𝑝 × (−𝑝𝑝) × 0 = −𝑚𝑚

Semua bilangan jika dikalikan 0 hasilnya juga 0, maka nilai m adalah 0. 1

11. Jika 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 dan 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 maka (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(2) adalah … a. 3

akarnya berlawanan adalah …

b. 2

a. -2

c. 1

b. -1

d. ½

c. 0

e. 1/3

d. 2 e. 4

Jawab (A)

Jawab (C)

Pertama kita cari fungsi (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥) dulu.

Persamaan tersebut mempunyai 2 akar berlawanan, kita misalkan: 𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝

𝑥𝑥2 = −𝑝𝑝 (𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥1 )

𝑥𝑥3 = 𝑞𝑞

Selanjutnya akar-akar tersebut kita masukkan ke sifat-sifat persamaan berderajat 3, yaitu: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = − 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 = − 1 𝑞𝑞 = 0

𝑥𝑥1 × 𝑥𝑥2 × 𝑥𝑥3 = − 4|Page

𝑏𝑏 𝑎𝑎

𝑑𝑑 𝑎𝑎

1 2 1 (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥) = 2 � � + 5 � � 𝑥𝑥 𝑥𝑥 Maka (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(2) adalah

1 1 2 (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(2) = 2 � � + 5 � � 2 2 1 5 (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(2) = + 2 2 (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(2) = 3 12. Diketahui

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 − 6

dan

𝑔𝑔(𝑥𝑥)=√5 − 𝑥𝑥 domain fungsi (𝑓𝑓 +

𝑔𝑔𝑥𝑥 adalah …

a. {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≥ 3, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅} b. {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

c. {𝑥𝑥|3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

Artikel ini diupload oleh sahabat belajar Bintang Fisika – Semarang Untuk materi lainnya silakan kunjungi www.bintangfisika.com Atau follow kami di twitter @bintangfisika

4𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 6 =0

d. {𝑥𝑥|3 < 𝑥𝑥 < 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

(2𝑡𝑡 + 2)(2𝑡𝑡 − 3) = 0

e. {𝑥𝑥|3 ≤ 𝑥𝑥 < 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}

𝑡𝑡 = −1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 =

Jawab (C) Domain fungsi dalam bentuk akar kuadrat adalah yang didalam akar harus lebih besar atau sama dengan 0, maka

𝑓𝑓(2𝑥𝑥 − 3) = 5𝑥𝑥 + 1

14. Jika

maka

𝑓𝑓 −1 (−4) adalah … a. -19 b. -11

2𝑥𝑥 − 6 ≥ 0

c. -5

dan

e. 1

5 − 𝑥𝑥 ≥ 0

Jawab (C)

𝑥𝑥 ≥ 3

d. -3

𝑥𝑥 ≤ 5

Karena fungsinya adalah (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) maka domainnya harus memenuhi kedua

3 2

batas

tersebut

{𝑥𝑥|3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅} 13. Diketahui fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1 dan 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3.

Jika

nilai

(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔)(𝑡𝑡) = 7 maka nilai t adalah … a. 1 atau 2

Misalkan 𝑎𝑎 = 2𝑥𝑥 − 3, 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 3 �+1 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 5 � 2 5𝑎𝑎 + 17 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 2 5𝑥𝑥 + 17 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 Selanjutnya invers.

fungsi

Untuk

𝑎𝑎+3 2

tersebut

kita

menginvers

kita

c. -1 atau 2/3

misalkan 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦

d. -1 atau 3/2

Selanjutnya fungsi tersebut kita balik

e. -2 atau -1

menjadi x=

b. -2/3 atau 1

Jawab (D) Pertama kita hitung (𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔)(𝑥𝑥)

(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = (2𝑥𝑥 + 1)2 − 3(2𝑥𝑥 + 1) + 3

(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0

(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔)(𝑡𝑡) = 7

4𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 + 1 = 7

5|Page

𝑦𝑦 =

5𝑥𝑥 + 17 2

2𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 + 17 𝑥𝑥 =

2𝑦𝑦 − 17 5

Maka

2𝑥𝑥 − 17 5 2(−4) − 17 𝑓𝑓 −1 (−4) = = −5 5

𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥) =

Artikel ini diupload oleh sahabat belajar Bintang Fisika – Semarang Untuk materi lainnya silakan kunjungi www.bintangfisika.com Atau follow kami di twitter @bintangfisika

15. Invers dari fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥−1 − 3

Ada 2 cara untuk menyelesaikan soal

adalah …

tersebut, yaitu dengan menginvers

a. log 5 (5𝑥𝑥 + 15)

masing-masing fungsi kemudian di

b. log 5 (𝑥𝑥 + 4)

komposisikan,

atau

menggunakan

c. log 5 (𝑥𝑥 + 3)

(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)−1 (𝑥𝑥) = (𝑔𝑔−1 𝑜𝑜𝑓𝑓 −1 )(𝑥𝑥)

e. 1 − log 5 (𝑥𝑥 + 3)

Selanjutnya kita invers

d. -1 + log 5 (𝑥𝑥 + 3)

(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑥𝑥) =

𝑦𝑦 =

Jawab (A) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥−1 − 3

𝑦𝑦 = 5

𝑥𝑥 −1

−3

Ingat log 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 → 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 1 = log 5 (𝑦𝑦 + 3)

𝑐𝑐

𝑥𝑥 = log 5 (𝑦𝑦 + 3) + 1

𝑥𝑥 = log 5 (𝑦𝑦 + 3) + log 5 5

Ingat log 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏 = log 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + log 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑥𝑥 = log 5 (𝑦𝑦 + 3) . 5

𝑥𝑥 = log 5 (5𝑦𝑦 + 15)

𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥) = log 5 (5𝑥𝑥 + 15) 1

16. Diketahui 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 dan 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 1 maka nilai (𝑔𝑔−1 𝑜𝑜𝑓𝑓 −1 )(𝑥𝑥) adalah …

a.

b. c. d. e.

2𝑥𝑥−1 𝑥𝑥

𝑥𝑥+1 2𝑥𝑥

𝑥𝑥−1 2𝑥𝑥

2𝑥𝑥

𝑥𝑥−1 𝑥𝑥

2𝑥𝑥−1

Jawab (B) 6|Page

1 2𝑥𝑥 − 1

1 2𝑥𝑥 − 1

2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 𝑥𝑥 =

1 + 𝑦𝑦 2𝑦𝑦

Maka

(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)−1 (𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥