Las Raíces Del Polinomio x2

 

x 611 son:  =   [6 ± √ 36444 3 6444 ] = 3 ± √   2  lo que implica que 3  √   2  = 0   3  √ 2  2

Las raíces del polinomio

˄

  k = 11,

r = 6.

→

2.15. EJERCICIO.-

Además,

  =

=

r

 =

 

2 – 5 22 30 8   1  52 52x45, si una dede la raíces es reciproca a la

Halle la suma de los cuadrados de las raíces del polinomio. P (x) = otra.

SOLUCION: Sean r y

  

las raíces de P (X); entonces

  −      − =

 

,

+  −

  = 1

= (r) 

reemplazando en la primera primera resultara: 2  , y reemplazando   3   1 = 0  →   = 12 3  ±  55   = 12 3   55  tenemos que  =  3   55 

De la segunda ecuación obtenemos k =

Eligiendo

Por lo tanto, la suma de los cuadrados de las raíces es igual a

  12  2.16. EJERCICIO.-

=

   28  28 =

7 

Determinar cuál es el mayor valor que puede tomar la expresión cuadrática. cuadrática.  

A = 4 4xx 815  e indique aquel valor de SOLUCION:: SOLUCION

x

,

∈ ℝ 

para que esto ocurre.

Completando cuadrados se tiene que

A= 4x 21115 = 4 4  1 415  , →  A = 4x  1  19  ∀∈ℝ Y como 4x1  ≤  0 , ∀  ∈ ℝ , entonces A = 4x  1  19  ≤  0 19=19  , ∀  ∈ ℝ  Por lo tanto, A toma su mayor valor posible: A = 19 2.17. EJERCICIO.-

Para dos números reales a y

,

para

x=1

b, la suma de uno de ellos con el doble del

 

 

Otro es 18; y el producto de ellos es el mayor posible. Halle a y b.

SOLUCION:: Por hipótesis, SOLUCION

2=18 

,

 = 182 182=2 9922  922   

→

     =2    ≤ 

,

 

∀∈ℝ Y como este producto ab debe debe tomar su mayor valor posi posible, ble, esto se presenta cuando =9/2, de modo que este mayor valor posible resulta =81/2. El valor de a correspondiente  = 9  , Es decir,  = 9  , =9/2. 2.18. EJERCICIO.-

Sea A el mayor número real tal que:

42x5x ≥   42x5x ≤  

, ,

∀  ∈ ℝ  ∀  ∈ ℝ 

,

y B el menor número real tal que

,

Halle

10A5B 

SOLUCION:: Completando cuadrados y como: SOLUCION

42x5x =5    ≥    , ∀  ∈ ℝ  , Entonces el mayor número real A tal que 42x5x ≥   , ∀  ∈ ℝ  , es   =    para  =    42x5x =5    ≤    , ∀  ∈ ℝ  , entonces el menor número real B tal que: 42x5x  ≤    , ∀  ∈ ℝ , es  =    , para  =    . Luego, 105=10 5 =17. 2.19. EJERCICIO.- Dada la ecuación cuadrática: ax  =0 , ≠0 ,  con raíces r y s,

Y como:

halle (sin resolver la ecuación) una ecuación cuadrática cuyas raíces son so n

 y .

   =     , =    …   y como        =  3 3    , entonces    =    3     = 3 /3  ,     = / 

SOLUCION:: Por hipótesis: SOLUCION

 =   y  =   las raíces de la nueva ecuación, esta viene a ser:   = 0         = 0  →    bc−     

y denotando:

→    3   = 0 . 

 

SERIES DE EJERCICIOS 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

8.

 =2 15 2 222 8 = 0 , 1/ 1/ , 1 1/ /

Halle el conjunto de valores d de e k para que la ecuación   tenga dos raíces, una de las cuales es 1. Si {r,s} con   es el conjunto solu solución ción de la ecuación:   halle la Ecuación cuadrática cuyo conjunto de solución es . Halle el conjunto de valores de k para los que x tome valores reales en la ecuación

> ,

 31=  2   5 34 34  5 = 0 .  15 1528 28 = 0  Si r y s son las raíces de la ecuación: 6    =  ,  halle el valor de   = 2  /.   Halle el valor de k para que la ecuación   1   2  1   = 0  admita dos raíces Iguales.  215  =  Dado el sistema:   =   5  ,  si y = 9 satisface el sistema, halle la suma de los

. Halle el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación NO TENGA SOLUCIONES   REALES: Halle el conjunto de valores de m para que el trinomio:   Tenga raíces iguales; es decir, para que sea un cuadrado perfecto.

posibles valores de m. 9. Dado el trinomio: demuestre que: a) Si la suma suma de sus raíces es igual a su producto, producto, entonces   b) Si una raíz es la negativa de la otra, entonces   c) Si un una a raíz es el doble de la otra, entonces   10. Sean r y s las raíces de la ecuación   con   Halle el valor de:   11. Si las raíces de  son las reciprocas de las de la ecuación Hallar el valor del producto   12. La ecuación cuadrática   tiene por raíces a los números reales



  ,

 = 0 .    = 0 2 = 9 .   =0 , > .      .   =0 4 85=0 ,   .    3    = 0 √    +√ + + √ +

y

√  −√ − − √ −

 = 2 6 son reales positivos, positivos, encuentre la suma de es el conjunto solución de  .   =  ∈ ℝ/ℝ     6 >23  1 . 

13. Si las raíces del polinomio los posibles valores enteros  de   enteros de 14. Exprese en intervalos intervalos el conjunto

CLAVE DE RESPUESTAS 1. 3. 5. 10. 13.

14.

2.  = 1 ,  =2 ;  8 215=0 ;  4. 〈 -4 , 4 〉 ;  ≥0 , 〈  ∞∞ , 0    ∪  8 .∞ 〉  ;  7. =1/3  8. 108/11   ∈  3 ,,55  ;  6.   = 12 ;  1/ √ 4 ; 11. 32/25 ;  12.  =3/2  (positivo).  ≥ 0 ∶ 368 368 ≥ 0 →  ≤ .  asi,  ∈ 〈0 ;    ∩ ℤ  = 1.2.3.4 1.2.3.4  ,  SUMA = 1  2  3  4 4 =10 .  conjunto solución de:  03∧21 >30   ; ↔1    > 0 ℝ  es 3el   >0 ∧ 