Las Ecuaciones Diferenciales

 

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU APLICACIÓN A LA INGENIERÍA DE MINAS Las ecuaciones diferenciales en la ingeniería en minas tiene un gran campo de acción ya que están aplicadas a la mayoría de sus áreas de trabajo es así que los ingenieros en minas debe tener los conocimientos y actitudes necesaria para realizar actividades de Diagnostico, Diseño, Implementación, Seguridad Minera, Evaluación de proyectos Minero Metalúrgicos, entre otras aplicaciones. Las ecuaciones diferenciales dan un criterio técnico en el proceso las cuales permiten per miten modelar y resolver problemas geométricos, geométricos, físicos en llaa minería por medio de funciones de varias variables y mediante la utilización de diferentes técnicas del cálculo de varias variables se  puede dar la solución dichos problemas. En lo que refiere a productividad ya sea de cual cualquier quier elemento por ejemplo oro (Au); este es un elemento representativo el cual permite medir la efectividad de la minería extractiva, este  puede grandes reservas para su recuperación siempre y cuando el método sea efectivo para su aplicación, en un depósito de oro vetiforme v etiforme se realiza una relación de costos, costos , estos son los costos real y costo referente en los cuales, el ingeniero debe realizar ajustes ya que en la  práctica sean posibles de mejorar para aumentar la efectividad de la actividad minera, el cálculo diferencial y las ecuaciones diferencial juegan un papel importante en el análisis de estos aspectos. EXPLOTACION SUBTERRANEA En la explotación subterránea se debe tener normas de seguridad muy altos, tanto como para el diseño de las galerías, maquinaria a utilizarse u tilizarse la utilización del cálculo diferencia permiten optimizar y controlar estos aspectos importantes sin generar pérdidas económicas a la empresa. Las ecuaciones diferenciales en general en el diseño de una mina esta aplicada en el: Desarrollo: Como en el acceso al depósito. Preparación: Diseño de la división de la galería en bloques controlados. Explotación: En la extracción del mineral de los bloques y sus métodos de recuperación.

APLICACIÓN 1 En la minería es muy común buscar métodos confiables y seguros para transportar cargas que en este caso son toneladas de rocas y se debe tomar en cuenta el tipo de material que se utilizara y su resistencia.

 

Cierta cadena uniforme de A metros de largo siendo enrollada sin tensión sobre el piso. El extremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de B  Néwtones. La cadena pesa W néwtones por metro. Determine la altura o profundidad del extremo sobre el nivel del suelo al tiempo t.

Tomemos en cuenta la siguiente relacion, X = x(t) Altura en el extremo de la cadena en el aire a un tiempo t, V = dx/dt Tomando en cuenta que la dirección positiva es hacia arriba. En la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes: Peso: Masa: Fuerza Neta:

P = (Xmetros) (Wnewtones/metro) = WX, (a) m = P/g = WX/g, (c) FN = B –  P  P = B –  WX,  WX, (c)

Tomando en cuenta, F = (d/dt)(mv), (d) reemplazando (b) y (c) en (d),

 

(d/dt)(WX/g)V = B  –  WX  WX X(dv/dt) + V(dX/dt) = g[B/W –   x] x] Se tiene , X(d2X/d2t) + (dX/dt)2 + gX = Bg/W Esta es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden de la forma, F(X,X’,X’’) = 0  Se la puede resolver por reducción de orden, sustituyendo V = (X`) aplicando la regla de la cadena, la ecuación resultante queda de la siguiente manera: (X.V)(dV/dX) + V2 = g[B/W –   x] x] M(X,V)dX + N(X,V)dV = 0 (V2 + gX –  Bg/W)dX  Bg/W)dX + (XV)dV Esta ecuación diferencial no es exacta,la cual se debe multiplicar por un factor integrante obteniéndose: (1/2)X2V2 + (g/3)X3 –  (Bg/2W)  (Bg/2W) X2 = C Tomamos en cuenta que la cadena está en el suelo por lo tanto X(0) = 0, V > 0, entonces, C=0 Por remplazo se obtiene esta ecuacion de primer orden (dX/dt) = ( Bg/W - (2g/3)X) Resolviendo por separación de variables - (3/g)( Bg/W –  (2g/3)X)1/2 = t + C2

Para X(0) = 0

C2 = (-3 (Bg/W))/g Despejando x de la ecuación y sustituyendo el valor de C2 se obtiene (3/g)( Bg/W) –  (2g/3)X=  (2g/3)X= (t + (-3 (Bg/W))/g)2 X(t) =[(t + (-3 (Bg/W))/g)2 -(3/g)( Bg/W)]3/2g ECUACIÓN GENERAL

 

 

APLICACIÓN 2 DESCRIPCION DE TRAYECTORIAS ORTOGONALES DE UNA FAMILIA DE CURVAS EN LOS TRATAMIENTOS DE RECUPERACION POR LIXIVIACION Y TRATAMIENTO DE AGUAS RESIDUALES. x2+y2 –  x.y  x.y = C2

Derivando se obtiene 2x-y(x)-xy’(x)+2y(x)y’(x)  Despejando y’(x) se obtiene   y’(x) = [(-2x+y(x))/(-x+2y(x))]

De esta ecuación podemos obtener la pendiente. La ecuación que nos da el comportamiento de las trayectorias ortogonales de esta función es, y’(x) = ([x -2y(x))/(-2x+y(x))]

 

  Esto claramente se observa que permitiría los cálculos para la identificación de estratos y vetas permitiéndonos así tener una clara descripción del buzamiento de la falla en la que se encuentre la veta. APLICACIÓN 3 Riesgos asociados a la mecánica de rocas Las ecuaciones diferenciales nos permiten calcular de una forma eficaz las propiedades mecánicas de la roca en la cual se realizara la labor minera. MECANICA DE ROCAS Las propiedades de las rocas pueden ser medidas mediante ensayos. El comportamiento de la roca durante la excavación puede ser analizada. El reconocer estos parámetros permite que el trabajo minero no genere pérdidas considerables. Las ecuaciones diferenciales permiten realizar el diseño de softwares específicos para controlar estos parámetros en una labor minera. Compresión uniaxial Fc = Q/A Fc : Esfuerzo de ruptura en compresión simple (kg/cm2) Q : Carga máxima de compresión (kg) A : Área en la cual se aplica la carga (cm2) Tracción Uniaxial Et = Ft/A Et : Resistencia de Tracción (kg/cm2) Ft : Fuerza de tracción máxima (kg) A : Área sometida a fuerza de tracción (cm2)

 

  COCLUSIONES · Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en la minería ya que permiten el diseño y control de la maquinaria a usar, ya que permite un control detallado detallado de los materiales y sus resistencias para tener coeficientes de seguridad óptimos que garanticen una adecuada y segura labor minera. · En los procesos de recuperación de minerales económicamente rentables o en la identificación de minerales con alteración hidrotermal se pueden analizar las familias de curvas que en estos se generan a través de las ecuaciones diferenciales · Las ecuaciones diferenciales permiten un mejor diseño de la minería, ya que es posible generar datos estructurales de las rocas, en función a sus propiedades mecánicas, el diseño de softwares, permiten el diseño de galerías y simulaciones de construcción de bloques, en la veta en que se esté trabajando.

http://www6.uniovi.es/usr/fblanco/MasterIngenieriaMinas.MemoriaVerificaANECA.pdf http://www.academia.edu/8218778/ESCUELA_POLIT%C3%89CNICA_NACIONAL_FA CULTAD_DE_INGENIER%C3%8DA_DE_SISTEMAS_Aplicaciones_de_las_ecuaciones  _diferenciales_ordinarias_Trayectorias_Ortogonales_Contenido  _diferenciales_ordinarias_Trayectorias_ Ortogonales_Contenido http://es.slideshare.net/keyllejimra/ecuaciones-diferenciales-aplicadas-murray-r-spiegel23265398 http://www.revistas.unal.edu.co/index.php/rbct/article/view/722/11305 http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1333019688_229514061.pdf  

 

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales en la Minería INTRODUCCION La labor minera es muy importante a la hora de trabajar, ya que esta área se usa para par a explotar un yacimiento minero; es así que las ecuaciones diferenciales nos permiten calcular de una forma eficaz las propiedades mecánicas de la roca en la cual se realizara esta labor. El objetivo del labor trabajo es explicar un mejor rendimiento minero llegandoela uso tomardeenecuaciones cuenta las diferenciales propiedades depara las rocas que  pueden ser medidas mediante ensayos. Gracias a las ecuaciones diferenciales podemos analizar el comportamiento de la roca durante la excavación. También nos permite reconocer diferentes parámetros, haciendo que el trabajo minero no genere pérdidas considerables. Las ecuaciones diferenciales permiten realizar el diseño de software específico para controlar diferentes parámetros en una labor minera Estas, nos permiten calcular de una forma eficaz las propiedades mecánicas de la roca en la cual se realizara la labor minera. Para desarrollar este tema es necesario tener ten er un conocimiento básico de la mecánica de rocas r ocas teniendo en cuenta una serie de definiciones básicas que sirven de base para ´poder comprender los planteamientos y conceptos que se presentaran a continuación

Aplicación de las ecuaciones diferenciales en la minería Las ecuaciones diferenciales deben entenderse como un modelo de un fenómeno de la realidad. Es decir como una expresión matemática que reproduce lo que sucede en un fenómeno, si sustituimos cantidades y parámetros adecuados. Por lo tanto se s e podría decir que las ecuaciones diferenciales se usan en casi todo. Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y forman  parte de incontables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. 1. Ámbito de aplicación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se van a aplicar en diferentes ámbitos tales como la ingeniería, la física, la economía y la biología. 1.1 Ecuaciones diferenciales en el ámbito de la ingeniería

 

Las ecuaciones diferenciales se desarrollan de forma extensa en el ámbito de ingenierías ya que se puede llegar a ver desde lo que es la ingeniería civil, minera, ambiental, industrial, electrónica, química, sistemas, etc. Es una parte de la ingeniería que se ocupa del desarrollo, mejoramiento de diferentes puntos, tales como la gente, el dinero, los conocimientos, información, materiales y procesos. Las ecuaciones diferenciales ayudan a optimizar diferentes software para controlar diferentes  parámetros para ahorrar dinero y hacerlos mejores. 2. La minería La minería está relacionada con muchos sectores económicos. Ya que para producir pr oducir o extraer minerales se necesitan de diferentes tipos de servicios o recursos, tales como las telecomunicaciones o la electricidad. 3. Mecánica de rocas El problema del ingeniero del diseño estructural de excavaciones, ya sean subterráneas o al cielo abierto, que trata de resolver la mecánica de rocas es la predicción del comportamiento mecánico del macizo rocoso en una determinada obra sujeta a las cargas que se le apliquen a lo largo de su vida operativa; visto desde este punto vista la mecánica de rocas debería de llamarse ingeniería de los macizos rocosas. La mecánica de rocas aplicada a la práctica minera parte de la ingeniería mecánica clásica,  pero la naturaleza natyuraleza de los analiza, hace que la identifiquen como una disciplina diferente coherente delmateriales campo de que la ingeniería de minas. COCLUSIONES •

Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en la minería ya que permiten el

diseño y control de la maquinaria a usar, ya que permite un control detallado de los materiales y sus resistencias para tener coeficientes de seguridad óptimos que garanticen una adecuada y segura labor minera. • En los procesos de recuperación de minerales económicamente rentables o en   la identificación de minerales con alteración hidrotermal se pueden analizar las familias de curvas que en estos se generan a través de las ecuaciones diferenciales • Las ecuaciones diferenciales permiten un mejor diseño de la minería, ya que es posible generar datos estructurales de las rocas, en función a sus propiedades mecánicas, el diseño de softwares, permiten el diseño de galerías y simulaciones de construcción de bloques, en la veta en que se esté trabajando.