Las Ecuaciones de Navier

 

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y Navier y George Gabriel Stokes. Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. fluido. Estas ecuaciones gobiernan la  la  atmósfera  atmósfera  terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren  involucren  fluidos newtonianos. newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la  mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación llamada  formulación integral de integral  de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es  posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir  al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mediante  métodos mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante  numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional  computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics). Dynamics).

Las ecuaciones de Navier-Stokes Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general:

. La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, F  velocidad, F i las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, gravedad, P la  P la presión  presión   del fluido, y μ la  la viscosidad dinámica. dinámica.

donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker . D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

 

La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

O en forma vectorial:

[editar] editar] Casos particulares Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler  que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque:

Por otra parte si se considera un fluido viscoso pero incompresible, entonces la ρ puede ser considerada constante (como en un líquido) y las ecuaciones resultan ser:

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

La ecuación de Navier-StoKes para flujo isotérmico incompresible

 

Por definición el tensor de esfuerzo es linealmente proporcional al tensor de razón de formación. Para flujo incompresible (ρ = constante), también se supone flujo aproximadamente isotérmico sabiendo que los cambios locales en temperatura son  pequeños o inexistentes; esto elimina la necesidad de una ecuación diferencial de conservación de energía. Una consecuencia de la última suposición es que las  propiedades del fluido, como viscosidad dinámica μ y la viscosidad viscosidad cinemática v, también son constantes. Con dichas suposiciones se puede demostrar que el tensor de esfuerzo viscoso se reduce a: Tensor de de esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano incompresible con propiedades Tensor  constantes: (7) donde es el tensor de razón de deformación. La ecuación (7) muestra que el esfuerzo es linealmente proporcional a la deformación. En coordenadas cartesianas, se mencionan las nueve componentes del tensor de esfuerzo viscoso, seis de las cuales son independientes debido a su simetría: (8)

En coordenadas cartesianas, cartesianas, el tensor de esfuerzo de la ecuación de fluidos en movimiento se convierte por lo tanto en: (9)

Ahora se sustituye la ecuación (8) en las tres componentes cartesianas de la ecuación de Cauchy.. Considere primero la componente x, se convierte en: Cauchy 10)) (10

Dado que la presión consiste sólo de un esfuerzo normal, únicamente aporta un término a la ecuación (10). Sin embargo, ya que el tensor de esfuerzo viscoso consiste tanto de esfuerzos normal como de corte, aporta tressuaves términos. tanto componentes de velocidad sean funciones de x,También y y z, el en orden delas diferenciación

 

es irrelevante. Par ejemplo, la primera parte del último término en la ecuación (10) se  puede reescribir como:

Después de cierto reordenamiento inteligente de los términos viscosos en la ecuación (10):

El término entre paréntesis es cero debido a la ecuación de continuidad para flujo incompresible.

También se reconocen los últimos tres términos como el Laplaciano de la componente de velocidad u en coordenadas cartesianas. Por lo tanto, la componente x de la ecuación de cantidad de movimiento se escribe como:

(11) 11) De manera similar se escriben las componentes y y z de la  la ecuación de cantidad de movimiento como:

(12 12)) Y

13)) (13 respectivamente. Por último, se combinan las tres componentes en una ecuación vectorial; el resultado es la ecuación de Navier-Stokes para flujo incompresible con viscosidad constante. Ecuación de Navier-Stokes: esta es la ecuacion

 

(14) 14) Aunque los componentes de la ecuación Navier-stokes se dedujeron en coordenadas cartesianas, la forma vectorial de la ecuación es válida en cualquier sistema coordenado ortogonal. Esta famosa ecuación recibe su nombre en honor al ingeniero francés Louis Marie Henri Navier (1785-1836) y al matemático inglés Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), quienes desarrollaron los términos viscosos, aunque de manera independiente. La ecuación de Navier-Stokes es la base de la mecánica de fluidos. Puede parecer  suficientemente inocua, pero es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, nolineal e inestable. Si fuera posible resolver esta ecuación para flujos de cualquier  geometría, seria más sencillo. Por desgracia, las soluciones analíticas no se obtienen excepto para campos de flujo muy simples. La ecuación tiene cuatro incógnitas (tres componentes de velocidad y la presión), aunque sólo representa tres ecuaciones (tres componentes puesto que es una ecuación vectorial). Obvio, es necesaria otra ecuación  para solucionar el problema. La cuarta ecuación es la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

Antes de intentar resolver ese conjunto de ecuaciones diferenciales, es necesario elegir  un sistema coordenado y expandir las ecuaciones en dicho sistema coordenado.

[editar editar]] Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes se expanden en coordenadas cartesianas (x, y, z) y (u, v, w): Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

Componente x de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente y de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente Z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

 

editar]] Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en [editar coordenadas cilíndricas La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes se expanden en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) y (ur , uθ, uz): Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

Componente r de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente θ de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Los términos adicionales en ambos lados de las componentes r y θ de la ecuación de  Navier-Stokes surgen debido a la naturaleza especial de las coordenadas cilíndricas. De esta manera, conforme se mueve en la dirección θ, el vector unitario er , también cambia de dirección; por lo tanto, las componentes r y θ se acoplan. A continuación, citaremos las seis componentes independientes del tensor de esfuerzo viscoso en coordenadas cilíndricas:

La aplicación de las ecuaciones diferenciales de movimiento tanto en coordenadas cartesianas como en cilíndricas. Existen dos tipos de problemas para los que son útiles las ecuaciones diferenciales (de continuidad y de Navier-Stokes):

 

• •

Cálculo de campo de presión para un campo de velocidad conocido. Cálculo de campos de velocidad y presión para un flujo de geometría conocida y condiciones de frontera conocidas.

Por simplicidad, sólo se considera flujo incompresible, cuando se eliminan el cálculo de ρ como una variable. Además, la forma de la ecuación de Navier-Stokes sólo es válida  para fluidos newtonianos con propiedades constantes (viscosidad, conductividad conductividad térmica, entre otras). Para finalizar, se suponen variaciones de temperatura despreciables, de modo que T no es una variable. Quedan cuatro variables o incógnitas (presión más tres componentes de velocidad) y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales. ECUACIONES DE NAVIER STOKES(aplicaciones)

El movimiento de los fluidos incompresibles y Newtonianos está descrito por las ecuaciones de Navier Stokes. Un análisis detallado del movimiento de un fluido con dichas características se logra a partir de la solución de este sistema de ecuaciones, constituido por expresiones que describen la conservación de la masa y del momentum lineal. Masa y momentum se expresan en su forma intensiva, es decir, unidad y velocidad, respectivamente, para formar ecuaciones que establecen relaciones entre los mecanismos de transporte, la acumulación y las fuentes. Considerando un análisis de flujoa bidimensional en estado estacionario, en ausencia de fuerzas de cuerpo, y de acuerdo las características planteadas para el fluido de trabajo, se simplifican las ecuaciones de conservación para llegar a su forma reducida tanto para ( 2), donde ~u, p, la conservación de la masa (1 (1) como para la ecuación del momentum (2 μ y ρ corresponden al vector velocidad (u, v), presión, viscosidad dinámica y densidad, respectivamente.  ∇ ・ ~u = 0 (1) ρ~u ・ ∇~u − μ∇2~u = − ~∇ p (2) Por lo tanto la ecuación de conservación del momentum (2 ( 2) balancea flujos convectivos (término no lineal), flujos difusivos (laplaciano de la velocidad) y término fuente (gradiente de presión). Este conjunto de ecuaciones corresponde al modelo que describe la dinámica del fluido incompresible y Newtoniano, y cuya solución se obtiene a partir  del Método de Volúmenes Finitos para régimen laminar.