Las Derivadas en La Ingenieria de Petróleos

LAS DERIVADAS EN LA INGENIERIA DE PETRÓLEOS

INTRODUCCIÓN

La derivada es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas, sin darnos cuenta tiene una relación de forma indirecta con los productos tecnológicos que se van desarrollando diariamente; a partir de ello el grado de importancia para el desarrollo científico y tecnológico es esencial. Muchas veces con el sentido común, estamos derivando, sin saber que es una derivada, esto porque no conocemos la situación del contexto.

Cuando vas en un auto y este acelera esa variación de la velocidad en un tiempo determinado se la puede representar por una derivada, o de una forma más técnica una derivada te da el valor de la recta tangente de una curva en un punto dado. Así también cuando prendes el calefón y la habitación empieza a calentarse esa variación con respecto a la temperatura se la puede representar con una derivada.

Las aplicaciones que van a la mano de la derivada están arraigadas en todas las ramas de la ciencia como la medicina, química, física, estadística, economía, arquitectura, ecología, y especialmente en la ingeniería. Por lo que las derivadas son necesarias en muchas aplicaciones prácticas de cada uno de estos campos y especialmente hay que comprender y derivar fórmulas que más tarde tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que la que inspira a innovaciones industriales.

En la práctica, las derivadas se utilizan para calcular aceleraciones, velocidad y distancia de un objeto, calcular ecuaciones diferenciales que estudian desde líquidos, gases y comportamientos de estructuras, teorías y comportamientos estadísticos, máximos y mínimos con los que puedes saber qué forma geométrica te alberga un volumen utilizando el menor material posible.

OBJETIVO

Conocer la importancia de las derivadas en el campo del desarrollo tecnológico y científico de la sociedad mediante la aplicación de las derivadas en la industria petrolífera.

CONTENIDO

¿Qué es una derivada? En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde). Historia de la derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después en el siglo XVII por obra de Issac Newton y Gottfried Leibniz. En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:  

El problema de la tangente a una curva. El teorema de los extremos: máximos y mínimos.

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial. Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Newton y Leibniz A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos derivadas e integrales. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable fluye con el tiempo. Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos

y el símbolo de la integral

. Generalizaciones del concepto de derivada El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras: 1. Para funciones de varias variables:  

Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables. Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.

2. En análisis complejo: 

Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas.

3. En análisis funcional: 

 

Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales. Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita. Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.

4. En geometría diferencial: 

La Derivación un concepto de geometría diferencial.

5. En teoría de la probabilidad y teoría de la medida:  

Derivada de Malliavin derivada de un proceso estocástico o variable aleatoria que cambia con el tiempo. Derivada de Radon-Nikodym usada en teoría de la medida.

6. Diferenciabilidad: 



Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables La Diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

¿Para qué sirve la derivada? La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos

por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo. Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica. La relación entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad. Ingeniería de Petróleos La Ingeniera del Petróleo es una de las ramas de las ciencias de la tierra, enfocada en el estudio, análisis e implementación de tecnologías, con el objetivo principal de extraer el energético denominado hidrocarburo; ya que en la mayoría de las naciones del mundo, el hidrocarburo se considera como la base fundamental de su economía. Es decir, el objeto de extraer petróleo de la tierra se considera toda una ciencia, y debido a que la demanda es cada vez mayor; también se considera todo un reto. Para lograr la extracción y producción de ese energético tan valioso para el mundo, se debe seguir una serie de procesos en los cuales interactúan otras ramas de la ingeniería, como las geo ciencias, la ingeniería de yacimientos, la ingeniería mecánica, la ingeniería electrónica, la ingeniería química, la ingeniería ambiental e inclusive la ingeniería industrial y la ingeniería de administración de proyectos. Primero, se procede a hacer un estudio geológico de la tierra para encontrar el punto ideal donde se encuentra el hidrocarburo dentro del yacimiento, posteriormente se realiza una toma de registros para verificar las condiciones del yacimiento, se hace un análisis de rentabilidad, y una vez aceptada la

orden, se procede a perforar, terminada la perforación se procede a lo que es la producción, de ahí al transporte de hidrocarburos, siguiendo ahora el área de almacenamiento y refinación, para finalizar con lo que es su venta. Dentro de todos los procesos anteriores, se encuentra uno que es fundamental, y sin el cual, no se lograría una adecuada explotación del yacimiento. Dicho proceso, se localiza en el momento en el que se hace el estudio del yacimiento productor. Para lograr un correcto análisis, se debe basar en otra ciencia, denominada “Simulación Numérica de Yacimientos” esta, es una disciplina de la Ingeniería Petrolera, en donde se conjuntan todas las ciencias del petróleo, para dar un dato más real del yacimiento, es decir; llevar a superficie un modelo ya sea físico o matemático, de un yacimiento, así como poder predecir mediante este modelo, lo que sucede en el fondo del yacimiento en el momento de la explotación. Simulación numérica de yacimientos se encarga de describir de una manera cuantitativa los fenómenos de flujo multifásico que ocurren a través de los medios porosos heterogéneos. En un modelo físico, se podría llevar a una escala apropiada las condiciones del yacimiento, para analizar algún fenómeno, ejemplo: celda PVT para modelar el comportamiento del yacimiento. Dentro de un modelo matemático, el fenómeno es presentado mediante procesos numéricos, ecuaciones que se encargan de reproducir el comportamiento del sistema a diferentes condiciones, ejemplo: el flujo de fluidos dentro de los medios porosos de la roca en el yacimiento. Aplicaciones de la derivada en Ingeniería

Las derivadas representan razones de cambio en su aspecto más simple; así pues, cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste

el embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automóvil, todo eso son las derivadas funcionando. A partir del cálculo diferencial se puede calcular formulas, como por ejemplo la fórmula del área de un triángulo. Ahora existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc.; esto es algo fundamental para el estudio de poblaciones, de fluidos, de dinámica, de termodinámica, y de química. Prácticamente todas las formas que conocemos surgen a partir de ecuaciones diferenciales, y de condiciones; por ejemplo en análisis de señales ya que una señal tiene un amplitud y una frecuencia, actúan como funciones de senos y cosenos, y pues obvio para analizarlas hay que proponer una ecuación diferencial. Y pues bueno, en una ingeniería se ocupan para analizar cuestiones técnicas de cada rama que estudies, por ejemplo, en electrónica pues con la ley de Ohm, en química con la leyes de los gases ideales, en ingeniería civil se ocupan las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de momentos flexionantes, en mecánica se ocupan para calcular para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo. Esto solo es lo básico, porque claro ocupas el cálculo demasiado en las ingenierías. Ejemplos de derivadas en la vida cotidiana Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Es fundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones. De esta forma si establecemos que los gastos de una empresa tienen forma de una función f, queremos saber cuál es el mínimo para poder evitar las máximas pérdidas. Igualmente, si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a la ley de oferta y demanda, es más barato cuanto más haya tendremos que calcular como sacar máximos beneficios. Esta es una de las aplicaciones de las derivadas más utilizadas en la empresa. El cálculo diferencial en las industrias alimentarias se aplica sobre todo en las operaciones de transferencia de cantidad de movimiento (o momentum), de calor y de masa. Regular y propiamente el cálculo se aplica para el desarrollo de los modelos matemáticos que representan estos fenómenos de transferencia

(movimiento, calor y masa). Una vez definidos los modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas, solamente aplicas estas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el dimensionamiento (por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el diseño de los equipos o en el control de los procesos. Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculo diferencial se tiene en balance de materia, balance de energía y termodinámica. Los balances, sobre todo el de materia, es lo que más se aplica en la industria de alimentos, para el cálculo de rendimientos y evaluación de la eficiencia de los procesos. Esto es especialmente en procesos no estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnación de solutos (sales o azúcares) en tanques con bombeo para recirculación de las salmueras o jarabes, para poder calcular la alimentación con nuevas soluciones de las sales o los azúcares. Aplicaciones de la derivada en ingeniera de petróleos

En prospección petrolera, cuando un barco busca depósitos petrolíferos mar adentro, sus computadores resuelven miles de sistemas de ecuaciones lineales enlazadas con las derivadas parciales independientes diariamente. Los datos sísmicos para las ecuaciones se obtienen de ondas de choque bajo el agua producidas por medio de explosiones con cañones de aire. Las ondas rebotan en rocas bajo la superficie y se miden con geófonos sujetos a cables de una milla de largo tras del barco.

Aplicaciones de la física con derivadas en ingeniera de petróleos

Exploración: Para elaborar mapas de superficie y subsuelo y realizar los estratos del subsuelo es necesario la aplicación de vectores, ecuaciones de continuidad e interpretación de registros eléctricos acústicos y nucleares. Yacimientos: La física se aplica para determinar las propiedades petrofísicas de las rocas (porosidad, permeabilidad) también para calcular las propiedades de los fluidos en los yacimientos (movilidad, viscosidad, factores de compresibilidad, factores de encajamiento, presión y temperatura a condiciones de yacimientos). Mediante cálculo podemos relacionar las correlaciones mecánicas de las rocas en los yacimientos. Perforación: Se aplican los conceptos físicos para poder perforar pozos: cálculo de velocidad de rotación de la barrena de acuerdo a la estructura rocosa que va a perforar, cálculo de peso adicional de empuje de la barrena (aplicación de las leyes de newton). Toman en cuenta el cálculo de gradientes de presión y temperatura en función de la profundidad.

Producción: La física se aplica al obtener el cálculo de patrones de flujos en tuberías, rugosidad perdidas de presión por fricción y perdidas de temperatura a través de la distancia e inclinación de las tuberías considerando el cálculo de viscosidad, densidad relativa de los fluidos, cálculo de internos de bácigas sujetas a presión de alta eficacia tanto bifásicos como trifásicos (aceite crudo, gas, condensados) en la primera y segunda etapa de separación. Calculo de capacidad de equipo de bombeo y compresión impulsados por turbinas de gas o motores eléctricos o de combustión interna. Cálculo de equipos auxiliares como son generadores de energía eléctrica, compresores para aire de instrumentos. Elemento de medición por presión diferencial (placas de orificio, registradores de flujo ultrasónicos y tipo turbina. Refinación y Petroquímica: La aplicación de la física en estos procesos consiste en elaborar métodos nuevos a través de ecuaciones diferenciales para proyectar los múltiples procesos, controlar los parámetros operativos y determinarla salvaguardas a través de sistemas electrónicos instrumentados de seguridad (sistemas de paro por emergencia, sistemas de detección de gas y fuego, sistemas de control distribuido) Seguridad en los procesos: Realización de cálculos para la ejecución de las matrices causa efecto en la identificación de riesgos y peligros para crear simuladores de cálculo en metodologías aplicadas para obtener el nivel de riesgo en cada sistema. Flujo Fraccional Es la fracción del fluido desplazante, en el flujo total si el fluido desplazante es el agua será definido como la relación entre el ritmo de producción de agua y el ritmo de producción total; es decir, si un pozo produce simultáneamente agua y petróleo. El flujo fraccional de agua, está dado por: fw =

pw Qw + po

Cálculo de la derivada del flujo fraccional por métodos analíticos o numéricos Considerando la ecuación de flujo fraccional en forma simplificada, es posible hallar, en algunos casos, la derivada de esa función como una expresión analítica si se puede expresar la razón ko / kw en función de saturación de agua; para esto se presentan varias expresiones, una de las más conocidas es la siguiente:

Ko =a e−bSw Kw Dónde: a y b son constantes. Así, la ecuación de flujo fraccional queda como sigue: 1

fw = 1+a e

−bsw

uw uo

( )

Y por lo tanto: u w −bsw e ∂fw uo = ∂ S2 1 u 1+a e−bsw w ue

( )

ab

(

2

)

Tales expresiones u otras similares pueden ser útiles para el cálculo de la derivada por medio de computadores. En el caso de que no sea posible obtener expresiones analíticas para k0 /kw, pueden utilizarse procedimientos numéricos. Así, por ejemplo, si en la siguiente figura se aplica la aproximación central para la derivada primera en el cálculo de ISw2, se tiene: ∂fw ∂ S2

( )

t 1 Sw=Sw2

=

f w 3−f w 1 2 ∆ Sw

Conclusiones

Bibliografía Bernal, C. A. (2010). Metodología de la investigación (Tercera edición ed.). México: Pearson Educación. Deis, R. P. (1 de Septiembre de 2001). Sisbib. Recuperado el 18 de Abril de 2016, de http://sisbib.unmsm.edu.pe/bvrevistas/acta_andina/v09_n12/investigacion_b%C3%81sica.htm Garay, E. M. (2003). La Educación en la Sociedad del Conocimiento y del Riesgo. Enfoques educacionales, 107-114. Parga, J. S. (2003). La Docencia Universitaria para un manifieso antipedagógico. Quito: Editorial Abya-Yala.