la_ripartizione_dei_carichi_-_bozza_1

   

 

 

PROGETTO DI  STRUTTURE   

LA RIPARTIZIONE DEI CARICHI NEGLI EDIFICI   

      Paolacci Fabrizio  Università degli Studi Roma Tre       

 

Facoltà di Ingegneria     

INDICE   

1. Introduzione  2. La ripartizione dei carichi verticali  2.1. La ripartizione dei carichi verticali sulle travi  2.1.1. Il metodo delle aree di influenza  2.1.2. Il comportamento a piastra del solaio  2.2. La ripartizione dei carichi verticali sui pilastri  2.2.1. Modelli isostatici: Il metodo delle aree di influenza  2.2.2. Modelli iperstatici: trave continua  2.2.3. Modelli iperstatici: il telaio parziale e totale  2.2.4. L’influenza della deformabilità assiale dei pilastri  3. La ripartizione dei carichi orizzontali  3.1. Introduzione  3.2. Il comportamento delle strutture piane  3.2.1. Gli schemi strutturali tipici  3.2.2. Le strutture intelaiate  3.2.2.1.

I sistemi a ritti pendolari (strutture in acciaio) 

3.2.2.2.

I sistemi MRF (shear‐type, travi deformabili, etc..) 

3.2.3. Il comportamento delle pareti  3.2.3.1.

Le pareti piene 

3.2.3.2.

Le pareti con aperture (metodi analitici e numerici) 

3.2.4. I sistemi telaio‐parete  3.3. Il comportamento delle strutture tridimensionali  3.3.1. La ripartizione delle azioni orizzontali in edifici monopiano ad elementi discreti  3.3.2. La disposizione in pianta degli elementi irrigidenti  3.3.3. La modellazione dei nuclei scale e ascensori          2   

 

1. Introduzione    Il progetto di edifici con struttura intelaiata, come quello illustrato in figura 1 si articola in  diverse fasi, ognuna delle quali ha un peso relativo differente.   Particolarmente  importante  è  la  fase  iniziale  del  progetto,  ossia  l’ideazione  della  struttura, la quale è caratterizzata da un alto grado di soggettività da parte del progettista.  Infatti, egli deve necessariamente interpretare le esigenze funzionali e tradurle in una maglia  strutturale  dal  buon  funzionamento  statico  e  che  sia  contemporaneamente  in  grado  di  realizzare la forma pensata per l’edificio.   

Figura 1.1 – La maglia strutturale di un

Figura 2.1 – Effetto torsionale in un

edificio in c.a. e i percorsi di carico

edificio  

La  scelta  degli  elementi  e  della  loro  disposizione  all’interno  della  maglia  strutturale  dipende da molteplici fattori (tipologia delle azioni esterne, materiali costituenti gli elementi  strutturali, vincoli architettonici, etc…). Tale scelta ha una influenza diretta sul percorso dei  carichi  all’interno  della  struttura.  Per  tale  motivo  è  opportuno  che  il  progettista  sia  ben  consapevole  delle  conseguenze  sul  buon  funzionamento  statico  della  struttura  che  una  disposizione di elementi ha rispetto ad un altra.   Ad  esempio,  la  parete  presente  nella  struttura  di  figura  1  rappresenta,  come  si  può  facilmente intuire, un aiuto nei confronti delle azioni orizzontali in direzione trasversale, in  quanto la sua elevata rigidezza permette di assorbirne una elevata quantità, a vantaggio dei    3   

 

pilastri,  che  conseguentemente  vengono  meno  sollecitati.  Di  contro,  la  sua  posizione  eccentrica  potrebbe  costituire  un  peggioramento  delle  condizioni  dei  pilastri  lontani  dalla  parete rispetto al caso in cui la parete non ci fosse. Infatti poiché la parete costituisce, come  verrà  meglio  spiegato  in  seguito,    un  attrattore  per  le  reazioni  strutturali  orizzontali  dell’edificio,  l’eccentricità  tra  azioni  e  le  reazioni  orizzontali  produce,  oltre  alla  traslazione,  una  torsione  dell’edificio  con  un  possibile  incremento  di  sollecitazioni  nei  pilastri  lontani  dalla parete.  E’  chiaro  dunque  che  la  scelta  degli  elementi  e  della  loro  disposizione  in  pianta  e  in  elevazione  di  un  edificio  deve  essere  attentamente  valutata  alla  luce  delle  possibili  conseguenze che essa può avere sulla sicurezza strutturale.  In  quanto  segue  si  vogliono  illustrare  alcuni  principi  guida  sulla  scelta  di  modelli  semplificati,  utilizzando  come  mezzo  espositivo  quello  dei  percorsi  di  carico,  che  risulta  particolarmente  efficace,  a  parere  dello  scrivente,  per  stimolare  i  progettisti  ad  una  scelta  più ragionata e consapevole della struttura, che oggi viene purtroppo sostituita dall’illusione  che  i  programmi  di  calcolo  possano  rendere  superflue  alcune  necessarie  operazioni  progettuali.   Occorre aggiungere che la normativa attuale prevede una necessaria verifica dei modelli  di  calcolo  che  risulta  essere  particolarmente  agevolata  nel  caso  siano  ben  chiare  le  scelte  strutturali  e  le  relative  conseguenze.  A  tal  proposito,  lo  studio  presentato  nel  seguito  ha  come ulteriore obiettivo proprio quello di fornire indicazioni sul comportamento strutturale  con l’ausilio di modelli semplici che possano essere facilmente utilizzati per la validazione del  calcolo strutturale realizzato mediante calcolatore elettronico.  Per  comodità  espositiva  verrà  dapprima  trattato  il  caso  della  ripartizione  dei  carichi  verticali,  per  poi  proseguire  con  il  tema  della  ripartizione  dei  carichi  orizzontali,  al  fine  di  suggerire opportune scelte sulla disposizione in elevazione e in pianta di pilastri, pareti, setti  e nuclei scale e ascensore.    

 

 

  4   

 

2. La ripartizione dei carichi verticali   

Una struttura è generalmente destinata al trasferimento delle azioni esterne al terreno  sul  quale  è  fondata.  Un  categoria  di  carichi  particolarmente  rilevante,  in  quanto  di  natura  quasi permanente, è quella dei carichi verticali, in genere rappresentati dai pesi propri degli  elementi  strutturali  (solai,  travi,  pilastri,  etc…)  o  da  carichi  variabili  che  dipendono  dalla  destinazione d’uso dell’edificio (civile abitazione, scale, balconi, etc…).  Le modalità con la quale i carichi verticali si distribuiscono all’interno della struttura sono  legate alla seguente catena di ripartizione:   

SOLAIO                       TRAVI                  PILASTRI,SETTI                         FONDAZIONI

 

  Infatti il solaio è il primo elemento con il quale i carichi verticali interagiscono. Si pensi ad  esempio  al  peso  dei  sovraccarichi  accidentali,  come  il  peso  delle  persone  o  il  peso  dei  tramezzi.  

PILASTRO 

SOLAIO

TRAVE 

  Figura 2.1 ‐ Catena di ripartizione dei carichi verticali 

  Infatti il solaio è il primo elemento con il quale i carichi verticali interagiscono. Si pensi ad  esempio  al  peso  dei  sovraccarichi  accidentali,  come  il  peso  delle  persone  o  il  peso  dei  tramezzi che poggiano sull’estradosso del solaio.   Analizziamo ora la prima parte della catena: solaio‐travi. I carichi che agiscono sul solaio  sono  generalmente  di  natura  distribuita,  spesso  superficiale  o  lineare,  anche  se  non    5   

 

mancano esempi di carichi concentrati. Occorre valutare la modalità di trasferimento di tali  carichi sulle travi.   Un  approccio  spesso  seguito  in  sede  di  progetto  è  quello  così  detto  della  larghezza  d’influenza delle travi. In pratica si immagina che il peso distribuito sulla superficie del solaio  si trasferisca alle travi proporzionalmente ad una larghezza pari alla somma delle due semi‐ luci del solaio che interagisce con la trave, Figura 2.2. In tal modo il carico sulle travi è ancora  distribuito, anche se linearmente. 

L1 L=(L1+ L2)/2 L2

  Figura 2.2 – Pianta di un impalcato in c.a. ‐ Luce d’influenza di una trave 

  Tale  approccio  è  giustificato  dall’ipotesi  di  comportamento  monodirezionale  del  solaio  (vedi figura 2.1) sulla base della quale si immagina che la singola campata scarichi in misura  eguale il proprio peso sulle travi di appoggio.  Il  modello  di  calcolo  che  è  associato  al  metodo  appena  illustrato  è  quello  di  trave  semplicemente  appoggiata.  Le  singole  campate  del  solaio,  pensato  a  comportamento  monodimensionale, vengono schematizzate come travi semplicemente appoggiate.    

  6   

 

p pt

 

Figura 2.3 – Il modello associato al metodo della larghezza d’influenza (modello isostatico) 

  Gli  appoggi  sono  rappresentati  dalle  travi,  considerate  evidentemente  indeformabili,  essendo gli appoggi bilaterali.  Con  riferimento  ad  un  metro  di  larghezza  di  solaio,  il  peso  ad  esso  attribuibile  è  pari  proprio  al  peso  per  unità  di  superficie  p.  Le  reazioni  agli  appoggi  costituiscono  il  carico  trasferito dal solaio alle travi. Così ad esempio, l’appoggio intermedio avrà una reazione, a  metro lineare pari a   2

 

  che  corrisponde  proprio  al  peso  distribuito  linearmente  calcolabile  col  metodo  della  larghezza d’influenza.   Il  metodo  della  luce  d’influenza  delle  travi  presenta  delle  evidenti  limitazioni  legate  essenzialmente a due fattori:    a) Il comportamento del solaio è bidimensionale  b) Il  modello  ad  esso  associato  non  è  del  tutto  soddisfacente  per  il  fatto  che  l’interazione flessionale tra solaio e travi viene del tutto trascurata.    Per  ovviare  a  questi  inconvenienti,  pur  mantenendo  viva  l’ipotesi  di  comportamento  monodimensionale  del  solaio,    si  può  arricchire  il  modello  di  figura  4  introducendo  la  continuità  flessionale  del  solaio.  Il  modello  più  semplice  che  risponde  a  tali  requisiti  è  il  modello di trave continua.   p pt

 

Figura 2.3 – Il modello di trave continua del solaio (modello iperstatico) 

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Per semplicità, facciamo riferimento al caso di figura 2.2, immaginando che le campate  del solaio adiacente la trave abbiano ugual luce pari ad L. In tal caso il modello degenera in  un modello di trave incastro‐appoggio. La reazione strutturale pt ossia il carico linearmente  distribuito  da  attribuire  alla  trave  è  in  tal  caso  pari  a  1.25  pL,  con  un  incremento  del  25%  rispetto  al  risultato  ottenibile  col  metodo  della  larghezza  d’influenza  secondo  il  quale  il  carico distribuito sulla trave varrebbe invece pL.  Al contrario, sugli appoggi di estremità il carico da attribuire alla trave viene sottostimato  rispetto al metodo della larghezza d’influenza, essendo la reazione verticale pari a 0.375 pL.  Il  modello  di  trave  continua,  stante  l’indeformabilità  verticale  delle  travi,  modifica  fortemente  la  distribuzione  del  carico  verticale  dal  solaio  alla  trave,  della  quale  occorre  valutarne  l’attendibilità.  A  tale  scopo  si  può  affinare  il  modello  introducendo  un  ulteriore  modifica per tener conto della corretta interazione tra solaio e travi di bordo.   Le  travi,  come  noto,  possiedono  una  rigidezza  torsionale  elevata  che  potrebbe  influenzare  la  distribuzione  del  taglio  nel  solaio  e  conseguentemente  la  ripartizione  dei  carichi sulle travi.  Consideriamo ancora il  modello di figura 2.3. Modifichiamolo introducendo la rigidezza  torsionale kt delle travi di bordo rappresentata da molle rotazionali di rigidezza kt (figura 6).   

p

kt

    Figura 6 – Modifica del modello di trave continua del solaio  

 

Se  la  rigidezza  kt  fosse  infinita,  il  modello  degenererebbe  in  due  travi  doppiamente  incastrate,  le  quali  dal  punto  di  vista  della  reazione  strutturale  sugli  appoggi  sarebbero  equivalenti al modello di trave appoggiata.   In  realtà  la  rigidezza  torsionale  è  finita  e  il  modello  presenta  un  comportamento  intermedio  tra  quello  di  trave  incastro‐appoggio  e  quello  di  trave  doppiamente  incastrata.  Ciò  che  accade  è  che  la  reazione  dell’appoggio  interno  diminuisce  rispetto  al  modello  di  figura 5, mentre la reazione agli appoggi d’estremità aumenta. Maggiore è la rigidezza kt e 

  8   

 

maggiore  e  la  somiglianza  del  modello  così  modificato  con  il  metodo  della  larghezza  d’influenza.   Dal punto della ripartizione dei carichi tale modello intermedio dovrebbe rappresentare  una  soluzione  non  troppo  lontana  da  quella  reale,  che  evidentemente  risente  di  ulteriori  fattori fin qui trascurati, come ad esempio il comportamento bidimensionale del solaio.   

  Figura 7 – Comportamento bidimensionale di un solaio 

  Il  comportamento  a  piastra  del  solaio  produce  infatti  una  ulteriore  variazione  della  distribuzione dei carichi tra solaio e travi.   Infatti, in tal caso la ripartizione dei carichi segue la forma indicata in figura 8.   

  Figura 8 – Comportamento a piastra del solaio: ripartizione dei carichi  

  Il carico pt da considerare ripartito sulle travi è evidentemente non costante ma variabile  linearmente. Occorre però osservare che il valore massimo del carico distribuito sulle travi è    9   

 

pari  a  quello  suggerito  dai  modelli  monodimensionali.  Dunque  l’errore  che  si  commette  nell’uso di modelli di travi piuttosto che di modelli di piastra è a favore di sicurezza. Per tale  motivo  l’uso  dei  modelli  semplici  come  quelli  monodimensionali  è  ancora  molto  diffuso  e  l’approssimazione del metodo della larghezza d’influenza è più che accettabile.  Il  ragionamento  fin  ora  seguito  può  essere  ripetuto  anche  per  la  parte  della  catena  di  ripartizione dei carichi fra travi e pilastri.  Consideriamo infatti un generico telaio piano appartenete alla struttura di figura 3, e per  semplicità si considerino le luci eguali.    p2

p1

L

L

    Figura 8 – Modello del Telaio e ripartizione secondo il metodo della larghezza d’influenza  

  Il metodo della larghezza d’influenza prevede anche in questo caso un modello isostatico  che  è  rappresentato  in  figura  8.  Le  travi  sono  appoggiate  ai  pilastri  ai  quali  trasmettono  il  carico in proporzione alla loro luce L. Ad esempio per il pilastro centrale lo sforzo normale al  piano terra varrà        Un  modello  più  raffinato  prevede  la  continuità  delle  travi  per  la  quale  il  modello  di  riferimento è quello di trave continua su più appoggi, rappresentati dai pilastri, considerati  indeformabili assialmente.  Come  per  il  caso  di  ripartizione  solaio‐trave,  lo  sforzo  assiale  del  pilastro  centrale  alla  base dell’edificio è incrementato del 25% rispetto a quanto previsto dal modello isostatico    10   

 

  1.25

 

  mentre per i pilastri laterali lo sforzo normale è diminuito del 25%    ,

0.375

 

  Il  modello  di  trave  continua  potrebbe  cadere  in  difetto  nel  caso  di  campate  di  piccola  luce che alterano sensibilmente la distribuzione dei carichi sui vincoli. Ad esempio la trave di  figura  9,  per  il  fatto  che  ha  la  campata  di  sinistra  molto  più  piccola  di  quella  di  destra  presenta una reazione nel pilastro di sinistra di segno negativo. Tale risultato mostra come  l’utilizzo del modello di trave continua non è sempre fisicamente accettabile.  Per  rendere  il  modello  più  realistico  si  osservi  che  il  forte  impegno  rotazionale  dell’estremità di sinistra della trave dovrebbe in realtà impegnare flessionalmente il pilastro,  che nel modello di trave continua è soggetto solo a sforzo normale.   

p pt

 

Figura 9 – Modello di trave continua con campata piccola 

  Ad esempio per una luce di sinistra pari a 2 metri e una luce di destra pari 6 m e un carico  di 20 kN/m il momento flettente e le reazioni agli appoggi sono indicati in figura 10. Da essa  si evince come gli sforzi normali sui pilastri centrale e di sinistra siano evidentemente valutati  in maniera errata.  

Momento Flettente

Taglio

Reazioni Vincolari

Figura 10 – Diagrammi e reazioni di una trave con campata piccola

    11   

 

In  virtù  di  tale  osservazione,  un  modello  più  raffinato  del  precedente  potrebbe  essere  quello illustrato in figura 11, (modello a telaio parziale), nel quale si tiene anche conto della  rigidezza flessionale dei pilastri. Esso deriva dall’osservazione dell’andamento dei  momenti  flettenti sull’intero telaio, e in particolare dei punti di nullo dei momenti flettenti sui pilastri,  nei quali il vincolo di continuità può essere sostituito da una cerniera.   

Figura 11 – Modello a telaio parziale

  Con riferimento all’esempio precedente aggiungendo anche la porzione di pilastri che va  dal punto di nullo del momento al nodo trave‐pilastro, si può osservare come la valutazione  dello sforzo normale sui pilastri diventi più ragionevole (Figura 12).    

Momento Flettente

Taglio

Sforzo Normale

Figura 12 – Caratteristiche della sollecitazione del telaio parziale

Ciò  è  confermato  dai  risultati  sul  modello  completo  del  telaio  mostrati  in  figura  13.  Si  evince inoltre come le sollecitazioni sulle travi risultano essere più attendibili del modello a  trave continua.   

  12   

 

Momento Flettente

Taglio

Sforzo Normale

Figura 13 – Caratteristiche della sollecitazione del telaio completo

  In presenza di telai con un numero elevato di campate, le zone centrali sono quelle per le  quali il modello di trave continua può ritenersi ancora sufficientemente accurato, sia per la  valutazione  delle  caratteristiche  della  sollecitazione  delle  travi,  sia  per  la  ripartizione  dei  carichi  verticali  sui  pilastri,  per  la  quale  anche  il  metodo  della  lunghezza  di’influenza  può  essere  proficuamente  utilizzato.  L’attendibilità  dei  modelli  più  semplici  si  perde  solamente  nelle  zone  di  estremità  delle  travi.  Ad  esempio  la  Figura  14  mostra  i  risultati  in  termini  di  sollecitazioni  di  un  telaio  a  2  piani  con  altezza  interpiano  di  3  m  e  10  campate  di  6  m  ciascuna.  Le  travi  sono  sollecitate  da  un  carico  uniformemente  ripartito  di  20  kN/m.  Nelle  campate centrali i risultati sono sostanzialmente in accordo con quelli di una trave continua  con 10 campate, mentre divergono nelle zone di estremità.   

Momento Flettente

Sforzo normale

Figura 14 – Telaio a molte campate - caratteristiche della sollecitazione

  I  risultati  fin  qui  esposti  possono  essere  estesi  anche  a  telai  con  un  numero  elevato  di  piani con l’avvertenza che le maggiori deviazioni si avranno nel primo e nell’ultimo piano per  la  presenza  di  vincoli  che  alterano  la  distribuzione  delle  sollecitazioni:  l’incastro  in  fondazione sposta il punto di nullo del momento sul pilastro verso il basso per cui i pilastri  del primo piano risultano più deformabili di quelli dei piani intermedi dove invece il punto di    13   

 

nullo  del  momento  è  posto  generalmente  a  metà  altezza  del  pilastro;  a  causa  dell’assenza  del pilastro del piano superiore l’ultimo piano presenta anch’esso vincoli meno rigidi di quelli  dei  piani  intermedi.  Un  esempio  è  illustrato  in  figura  15  dove  è  illustrato  l’andamento  del  momento flettente per il telaio di figura 13 ma ora con 10 piani.  

Ultimi due piani

Piani intermedi

Primi due piani

Figura 15 – Telaio a molti piani - caratteristiche della sollecitazione

  Le  precedenti  osservazioni  possono  essere  infine  estese  anche  al  caso  di  telai  tridimensionali in quanto la rigidezza torsionale delle travi, generalmente non molto elevata,  non  è  in  grado  di  influenzare  in  maniera  rilevante  il  comportamento  flessionale  dei  singoli  telai, che si deformano sostanzialmente ognuno indipendentemente dall’altro.    

Ppij=peso pilastro Wij = peso piano n=numero piani

Figura 16 – Metodo delle aree d’influenza per la determinazione dello sorzo normale nei pilastri

  14   

 

In  particolare,  per  la  valutazione  dello    sforzo  normale  nei  pilastri  è  ancora  valido  il  metodo  delle  lunghezze  d’influenza,  denominato  nel  caso  specifico  “metodo  delle  aree  d’influenza”  in  quanto  riguarda  più  travi  che  convergono  nel  pilastro  e  dunque  un’area  piuttosto  che  una  lunghezza.  La  figura  16  mostra  come  valutare  l’area  d’influenza  di  un  pilastro.  Da  quanto  esposto  fin  ora  si  può  possono  trarre  alcune  significative  conclusioni  sull’utilizzo  di  metodi  e  modelli  semplificati  per  una  corretta  valutazione  delle  modalità  di  ripartizione dei carichi verticali tra gli elementi resistenti di una struttura:    1) Il  metodo  delle  zone  d’influenza  è  generalmente  accettabile  per  la  valutazione  dello  sforzo normale nei pilastri, almeno in fase di predimensionamento, sia nel caso di telai  piani  che  nel  caso  di  telai  tridimensionali.  Occorre  però  modificare  la  zona  d’influenza  nelle zone terminali dei telai e in particolare nei pilastri di bordo e nei pilastri adiacenti.  Alcuni  autori  hanno  suggerito  coefficienti  correttivi  delle  aree  di  influenza  per  tener  conto  di  una  corretta  distribuzione  dei  carichi  verticali  tra  solai  e  travi  e  tra  travi  e  pilastri.   In particolare per una corretta valutazione delle aree d’influenza dei pilastri Mihelbradt  et al. (BIBLIO) suggeriscono di adottare i seguenti coefficienti.    Tabella 1. Coefficienti correttivi delle aree d’influenza  Pilastro

Coefficiente

interno

1

di bordo

0.9

primo dopo quello di bordo

1.1

d’angolo

0.8

  2) E’ possibile utilizzare il modello di trave continua per la valutazione delle sollecitazioni  nei solai a patto di apportare opportune modifiche nei vincoli di estremità in maniera da  tener conto delle condizioni di bordo che modificano la distribuzione delle sollecitazioni  negli  elementi.  Generalmente  è  sufficiente  applicare  un  momento  negli  appoggi  di  bordo  pari  a  pL2/(20÷24)  al  modello  di  trave  continua  (p,  L=luce  e  carico  campata  di  bordo) per ottenere risultati attendibili.    15   

 

3) Per la valutazione delle sollecitazione nelle travi è possibile utilizzare il modello di trave  continua,  anche  se  il  modello  di  telaio  parziale  è  da  preferire,  in  quanto  mette  automaticamente  in  conto  l’influenza  della  deformabilità  flessionale  dei  piastri  sulle  sollecitazione della trave.   4) La  costruzione  di  modelli  di  telaio  parziale  dipende  da  una  corretta  valutazione  dalla  distanza  tra  il  nodo  trave‐pilastro  e  il  punto  di  nullo  del  momento.  Tale  distanza  può  essere  scelta  pari  ad  h/2  per  le  travi  dei  piani  intermedi,  mentre  per  il  piano  primo  e  ultimo  deve  essere  necessariamente  aumentata.  Una  misura  ragionevole  può  essere  assunta è pari a 2/3h.   

 

 

  16   

 

3. La ripartizione dei carichi orizzontali    Un  edificio  è  caratterizzato  da  una  “struttura  portante“  il  cui  modello  di  calcolo  da  adottare  per  la  valutazione  delle  sollecitazioni  dipende  dal  grado  di  accuratezza  richiesta  all’analisi.   Con  particolare  riferimento  agli  effetti  dei  carichi  orizzontali  su  edifici  intelaiati  sono  possibili 3 livelli di modellazione via via più sofisticati:    Modello monodimensionale  La  struttura  viene  sostituita  da  un  elemento  di  trave  monodimensionale  sul  quale  a  diverse  altezze  (rappresentati  i  diversi  piani)  sono  applicate  le  forze  esterne  (orizzontali  e  verticali). Un modello così fatto può essere utilizzato per avere un’idea sulla risposta globale  del sistema come ad esempio gli spostamenti di piano e tagli di piano. Esso non può essere  utilizzato nel caso ci fosse l’esigenza di valutare le sollecitazioni dei singoli elementi.   

spostamento

 

               

taglio di base 

 

Figura 17 – Modelli monodimensionale 

Modello bidimensionale (2D)  Se  l’edificio  presenta  un  comportamento  di  tipo  simmetrico  l’analisi  della  sua  risposta  può essere ridotta all’analisi della risposta di alcuni suoi elementi. Nello schema di struttura  intelaiata si sceglie generalmente un telaio piano nella direzione di sollecitazione.  Tale  modello,  pur  nella  sua  semplicità,  permette  di  avere  un  certo  grado  di  dettaglio  delle  sollecitazioni  dei  singoli  elementi  strutturali  sufficiente  per  valutare  la  sicurezza  strutturale. I modelli bidimensionali sono stati così diffusi che alcuni autori in passato hanno 

  17   

 

proposto  metodi  di  soluzione  ad  hoc  (per  la  verità  assai  laboriosi  ma  efficaci)  per  comportamento lineare delle membrature.    

sollecitazione

  Figura 18 – Modello bidimensionale 

Con  l’avvento  del  calcolo  automatico  delle  strutture  questi  modelli  sono  stati  e  sono  tuttora  utilizzati  anche  per  la  valutazione  della  risposta  di  telai  a  comportamento  non  lineare.    Modello tridimensionale (3D)  E’  di  fatto  il  modello  più  accurato.  Permette  di  modellare  il  comportamento  di  edifici  anche  estremamente  irregolari,  sia  in  pianta  sia  in  elevazione.  Si  consideri  ad  esempio  un  edificio  con  la  pianta  indicata  in  seguito.  Se  si  applicassero  delle  forze  orizzontali  si  può  immaginare facilmente la presenza di un rotazione del generico piano, questo per l’evidente  differenza di comportamento dei telai di sinistra da quelli di destra (i primi sono più rigidi e  quindi si deformano in misura minore).  

  Figura 18 – Modello Tridimensionale 

  18   

 

Per  la  valutazione  delle  forze  che  competono  ai  singoli  telai,  non  è  però  sufficiente  distribuire  l’azione  esterna  in  funzione  della  rigidezza  globale  dei  telai  stessi,  ma  occorre  necessariamente  adottare  un  modello  trdimensionale,  che  metta  in  conto  anche  l’accoppiamento roto‐traslazionale dell’edificio.  Nei  paragrafi  successivi  verranno  analizzate  le  modalità  di  ripartizione  dei  carichi  orizzontali  tra  gli  elementi  di  una  struttura  intelaiata,  in  presenza  o  meno  di  elementi  irrigidenti  quali  pareti,  nuclei  ascensore,  utilizzando  sia  modelli  piani  che  tridimensionali  e  mettendo  in  luce  il  ruolo  dei  singoli  elementi.  L’intento  è  quello  di  suggerire  alcune  raccomandazioni  sulla  disposizione  in  pianta  e  in  elevazione  degli  elementi  per  un  comportamento strutturale più favorevole nei confronti delle azioni orizzontali. 

  3.1. Il comportamento delle strutture piane    

(introduzione sulle tipologie di telai piano)

3.1.1. Il comportamento delle strutture intelaiate piane   

(discussione sul comportamento di telai a ritti pendolari di telai MRF (shear-type e non) e di strutture miste pareti-telaio

  19   

 

3.1.2. il comportamento delle pareti  (introduzione)

3.1.2.1.

il comportamento delle pareti piene 

(comportamento a mensola, la modellazione semplificata e la modellazione agli elementi finiti, effetto tira e spingi nelle pareti)

3.1.2.2.

il comportamento delle pareti con aperture 

3.1.2.2.1. pareti con trasversi infinitamente rigidi  3.1.2.2.2. pareti con trasversi infinitamente deformabili   

3.1.2.2.3. pareti con trasversi a deformazione finita   

(IL METODO DELLE MENSOLE COMPOSTE, LA MODELLAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI) 

 

   

 

  20   

 

3.2. IL COMPORTAMENTO DELLE STRUTTURE  TRIDIMENSIONALI  Come già si è avuto occasione di osservare gli edifici reali possono presentare un comportamento strutturale che per sua natura di presta ad essere meglio rappresentato da modelli tridimensionali piuttosto che da modelli piani. Il caso della valutazione delle sollecitazioni dovute ad azioni orizzontali agenti sugli edifici intelaiati è un caso tipico che per il suo enorme interesse, soprattutto nel campo delle azioni sismiche e del vento, è bene trattare in maniera approfondita, mettendo in luce gli aspetti che riguardano la corretta disposizione in pianta e in elevazione degli elementi strutturali (travi, pilastri, setti, nuclei, etc..) all’interno di un edificio. Nei paragrafi precedenti si è già avuto occasione di analizzare il comportamento statico di strutture piane sotto azioni orizzontali. Per capire i concetti base legati all’estensione del problema a tre dimensioni, viene dapprima analizzato il problema della ripartizione delle forze orizzontali in edifici mono piano, costituiti da elementi distinti (pilastri, pareti, nuclei etc..) collegati tra loro da un solaio rigido. Vengono poi forniti dei criteri di massima sulla distribuzione in pianta degli elementi irrigidenti (pareti, nuclei ascensore) Infine viene analizzato il caso di edifici a più piani e vengono fornite alcune indicazioni sulla modellazione con l’aiuto di programmi agli elementi finiti oggi sempre più diffusi e utilizzati dai professionisti.

3.2.1. La ripartizione delle azioni orizzontali in edifici  monopiano ad elementi discreti  Si consideri un edificio monopiano costituito da elementi distinti collegati tra loro da un solaio rigido nel proprio piano, soggetto ad una coppia di forze orizzontali Fx e Fy. Le componenti di spostamento sufficienti a descrivere il moto del solaio sono ovviamente 3: traslazione lungo x (Sx), traslazione lungo y (Sy) e rotazione (θ). Il sistema di riferimento sia quello indicato in figura 1 (O, x,y) rispetto al quale gli n elementi di supporto siano caratterizzato ognuno da un sistema di assi locali (0’,1,2) ruotato dell’angolo αi (figura 2). Il sistema è ovviamente iperstatico essendo il numero delle componenti di forza incognite maggiori delle componenti di spostamento. Per la soluzione deve essere necessariamente   21   

 

impiegato anche il legame costitutivo dei singoli elementi che immaginiamo sia di tipo elastico lineare. Ogni elementi è dunque caratterizzato da una rigidezza lungo l’asse locale 1 (k1i), una rigidezza lungo l’asse locale 2 (k2i) ed eventualmente una rigidezza torsionale (kθi). Per la soluzione del problema si può applicare indifferentemente il metodo delle forze o degli spostamenti. Il metodo degli spostamenti è nel caso specifico più conveniente, essendo le incognite cinematiche solamente 3. y

y

2

1

Sy

α Sx

yi

θ

yi

0

xi

0

x

Figura xxx – Edificio monopiano

xi

x

Figura xxx – Sistema di coordinate locali

Si applichi quindi una componente di spostamento di piano alla volta e si esprimano le equazioni di equilibrio del piano nelle tre direzioni in funzione degli spostamenti. Ne risulta un sistema algebrico di 3 equazioni lineari in 3 incognite (Sx,  Sy,θ) che si può risolvere in forma chiusa. Si applichi dapprima lo spostamento Sx al piano. Le reazioni dell’i-mo elemento, nel sistema globale, il cui significato è facilmente desumibile dalle figure xxx, sono esprimibili come segue:

,

(1)

,

,

(2)

,

,

,

,

,

(3)

,

y

y 2

2

1

Sxcosαi

k1i Sxcosαi

α yi

α yi

Sx

Rxx,i

Sxsinαi

0

xi

1

Rxy,i

k2i Sxsinαi

0

x

Figura xxx – Componenti locali di spostamento

xi

x

Figura xxx – Componenti locali di forza

  22   

 

Infatti, lo spostamento Sx  provoca le componenti di spostamento locale indicate in figura xxx. Di conseguenza le forze lungo gli assi locali saranno quelle indicate in figura xxx, le cui componenti lungo gli assi globali X e Y sono proprio quelle indicate nelle equazioni (1) (2). L’equilibrio alla rotazione rispetto all’origine degli assi globali produce dell’equazione (3). Analogamente applicando una traslazione lungo l’asse Y, Sy si avranno le seguenti componenti di forza nel riferimento globale:

,

(4)

,

,

(5)

,

,

,

,

,

(6)

,

y

y 2

Sy

Sysinαi

2

1

k2i Sxsinαi

α yi

yi

Sycosαi

0

xi

Ryy,i

Ryx,i

0

x

Figura xxx – Componenti locali di spostamento

1 k1i Sycosαi α

xi

x

Figura xxx – Componenti locali di forza

Le rigidezze lungo gli assi x e y sono indicate con i simboli Kxx,i e Kyy,i mentre la rigidezza roto-rotazionale lungo l’asse x e y sono indicate con i simboli Kxy,i e Kyx,i dove il primo simbolo indica la componente di spostamento e il secondo la direzione della rigidezza. Si noti l’uguaglianza delle rigidezze roto-traslazionali: Kxy,i = Kyx,i 

Analogamente a quanto prima effettuato, applichiamo una rotazione rigida al piano ed esprimiamo le componenti di forza dell’i-mo elemento in funzione della rotazione stessa. Tenendo conto del vincolo di rigidità del piano l’i-mo elemento subirà gli spostamenti Sxi=θyi ed Syi=­θxi. Di conseguenza le equazioni che si ottengono sono le seguenti:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

(7)

, ,

(8) (9)

,

  23   

 

La rigidezza torsionale del singolo elemento è stata indicata con il simbolo Kθθ,i ed è generalmente trascurabile, a meno che non si tratti di elementi ad elevata rigidezza torsionale, come ad esempio i vani ascensori, per i quali non è lecito trascurarla. Le equazioni di equilibrio dell’edificio nelle tra direzioni si possono quindi esprimere, per ogni direzione principale, come la somma delle componenti nelle medesima direzione dovute alle tre componenti di spostamento: ∑

,

∑

,

∑

,

(10)

∑

,

∑

,

∑

,

(11)

∑

,

∑

,

∑

(12)

,

Le precedenti possono essere espresse in forma più compatta utilizzando la notazione matriciale:

ossia

(12)

dove i termini sulla diagonale principale della matrice di rigidezza K sono i termini di rigidezza diretti mentre fuori dalla diagonale sia hanno i termini legati all’accoppiamento roto-torsionale. Il caso che più comunemente si incontra nella pratica progettuale è quello per il quale gli assi locali degli elementi coincidono con gli assi cartesiani globali di riferimenti (sistema α=0) (Figura xxxx). y

y’

CR xcr

x’ ycr x

0

Figura xxx – Sistema α=0 e posizione del centro di rigidezza

In tal caso la matrice di rigidezza K del sistema si semplifica essendo nulle le rigidezze miste Kxy e Kyx..   24   

 

Infatti, ricordando la definizione di rigidezza mista si ottiene:  

0

,

(13)

Il sistema in forma matriciale assume quindi al forma semplificata seguente ∑ ∑

∑ ∑

,

∑ ∑

0

,

0

,

∑

,

,

(14)

, ,

,

In tali condizioni, applicando uno spostamento Sx=1, il sistema risponderà con il seguente sistema di reazioni strutturali nelle tre direzioni principali:

0 ,

In presenza di un sistema semplice come quello di figura xxx la sola traslazione produce anche una componente di momento, rispetto all’origine degli assi. E’ovvio chiedersi dove occorre traslare il sistema di riferimento affinché tale componente si annulli, ossia determinare sistema di riferimento per il quale il momento statico delle rigidezze si annulli. L’origine di tale sistema è detto centro delle rigidezze indicato in figura xxx con il simbolo CR, le cui coordinate sono le seguenti: ∑ ∑

,

∑

(15)

∑

Passando al nuovo sistema di riferimento la matrice di rigidezza diventa diagonale e il sistema di equazioni si disaccoppia: 0 0 0

0 0

(16)

0

  25   

 

La soluzione del sistema è immediata:

∑

∑

,

∑

,

,

,

(17)

Le componenti di spostamento dei singoli elementi si trovano ricordando che sussiste il vincolo di rigidità cinematica del piano che li collega, esprimibile attraverso le relazioni seguenti:

Dalle precedenti si ricavano infine le reazioni strutturali dei singoli elementi:

Sostituendo le espressioni degli spostamenti del piano rigido si ottengono le forze nelle due direzioni principali dell’elemento i-mo: ,

,

∑

∑

,

,

,

∑

(18)

, ,

,

∑

,

(19)

,

Si noti l’analogia con l’espressione della formula di Navier per la presso-flessione di travi di De Saint Venant. Esse suggeriscono che per aumentare la rigidezza torsionale della struttura occorre disporre gli elementi il più lontano possibile dal centro delle rigidezze, senza però che quest’ultimo subisca spostamenti. In genere è sufficiente disporre gli elementi preposti a sopportare i carichi orizzontali nella periferia dell’edificio. Situazioni particolari possono invece richiedere uno studio ad hoc della posizione in pianta degli elementi. Esempio xxx: Si consideri l’edificio monopiano indicato nella figura seguente. Essendo gli elementi resistenti delle pareti, di spessore s=16 cm si ha che k2