Laporan Fisika Komputasi 2, 2014 PDF

 

METODE NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BERORDE N

16 April 2014

Oleh : Ahmad Samsudin 1127030003

JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2014

 

ABSTRAK

Nama Tem eman an Sek Sekel elom ompok pok

: : : : : Nama Na ma As Asis isten ten Dos Dosen en :

Ahmad Samsudin (1127030003) End Endah ah kinar kinary ya (11 (11270 270300 30018) 18) Fani Ang Anggrae graeni ni (112 (1127030 7030022) 022) Fit Fitri ri Raha Rahayu yu (112 (1127030 7030025) 025) Iin Musy Musyfiqo fiqoh h (1127030 (112703007) 07) Ujan Ujangg Pe Perma rmana na

Pada praktikum ini yaitu Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N, tujuan dari praktikum ini yaitu memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan metode Euler dengan Matlab, mengetahui memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge Kutta orde 4, dapat mengaplik mengapl ikasik asikan an untu untuk k sim simulasi ulasi sistem dinamik fenomena fisika fisika.. Hasil dari praktikum ini yaitu saya dapat mengetahui dan dapat mengoperasikan fungsi matematika pada matlab, dapat menghitung contoh-contoh soal yang berhubungan dengan fisika menggunakan metode euler dan metode RK4.

Kata Kat a Kun Kunci  ci   :   Fisika,

Matlab, Euler,RK4, Diferensial 

i

 

DAFTAR ISI

ABSTRAK

 

DAFTAR ISI

i  

ii

DAFTAR GAMBAR

 

1 PEND PENDAHULU AHULUAN AN

1.1 1.1 1.22 1. 1.33 1. 1.4 1.5

iii  

La Latar tar Be Bela lak kang   . . . . Ru Rumu musa san n Mas Masal alah ah   . . Ba Batas tasan an Ma Masal salah ah   . . . Tujua ujuan n Prak Praktik tikum um   . . Sis Sistema tematik tikaa Pe Penu nulis lisan an   .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1

. . . . .

2 LAND LANDAS ASAN AN TEORI TEORI

. . . . .

Waktu dan Temp empat at   . Alat Alat dan Ba Baha han n . . . Diagr Diagram am Al Alir ir   . . . . Pros Prosedur edur Pe Percob rcobaan aan   .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

 

. . . .

. . . .

 

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 HASIL HASIL DAN PEMB PEMBAHA AHASAN SAN 5 PENU PENUTU TUP P

. . . .

. . . .

. . . .

6

. . . .

. . . .  

 

1 1 2 2 2 4

3 METOD METODE E PERCOB PERCOBAA AAN N

3.1 3.22 3. 3.33 3. 3.4

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 6 7 7 8 20

5.1 Ke 5.1 Kesi simp mpul ulan an   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 5.2 Sa Sara ran n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DAFTAR PUSTAKA

 

ii

20

 

DAFTAR GAMBAR

4.1 4.1 4.2 4.3 4.44 4. 4.55 4. 4.66 4. 4.77 4. 4.88 4. 4.99 4. 4.100 4.1 4.11 4.122 4.1 4.13 4.144 4.1 4.15

Progr Program am Met Metode ode Eu Eule lerr   . . . . . . . . . . Prog Program ram Scri Script pt Metode Eul Euler er   . . . . . . Prog Program ram Scri Script pt Metode Eul Euler er   . . . . . . Ou Outpu tputt Met Metode ode Eul Euler er   . . . . . . . . . . . Gr Grafi afik k Me Metode tode Eul Euler er   . . . . . . . . . . . Progr Program am Met Metode ode RK RK44   . . . . . . . . . . Progr Program am sci scipt pt M Metod etodee RK RK44   . . . . . . . Progr Program am sci scipt pt M Metod etodee RK RK44   . . . . . . . Ou Outpu tputt Met Metode ode RK RK44   . . . . . . . . . . . Gra Grafik fik Metode RK RK44   . . . . . . . . . . . . Fungsi M-Fil M-Filee Sistem Lorenz   . . . . . . . Prog Program ram scip sciptt Metode RK4   . . . . . . . Program eks eksekusi ekusi Lore Lorenz nz   . . . . . . . . . Gra Grafik fik ruang fase metod metodee Runge Kutta   . Grafik tim timee series metode Rung Rungee Kutta Kutta   .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16

4.16 4.17 4.188 4.1 4.199 4.1 4.20 4.21

Sistem massamassa-pegas pegas   . . . . . Fungsi progra program m RK4   . . . . Prog Program ram RK4   . . . . . . . . Prog Program ram run RK4 RK4   . . . . . . Diagra Diagram m fase sis sistem tem pegas   . Diagra Diagram m fase sis sistem tem pegas   .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

16 17 17 18 18 19

. . . . . .

iii

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

 

Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 1. 1

Lata Latar r Bela Belak kang ang

Dalam praktikum sebelumnya tealah dilakukan pengambilan data praktikum yang berhubungan dengan alat, namun pada praktikum ini melakukan pemecahan persamaan diferensial diferensial biasa. Dalam kehi kehidupan dupan mahasisw mahasiswaa fisika banyak sekali persoalan yang harus diselesaikan dengan persamaan diferansial. Untuk menyelsaikan persamaan diferensial ini ada dua cara menyelesaikannya yang pertama yaitu menggunakan metode euler dimana dalam metode ini tingkat eror cukup besar, yang kedua yaitu metode RK4, Pada saat membahas metode Euler untuk penyele penyelesaian saian persamaan diferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi (ti). Dikaitkan dengan hal tersebut,metode Runge-Kutta Orde-4 menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil. Oleh sebeb itu saya sebagi seorang mahasiswa fisika Uin Sunan Gunung Djati Bandung fakultas sains dan teknologi melakukan praktikum fisika komputasi II ini supaya bisa menggunakan matlab untuk mendukung perkembangan pembelajaran yang membutuh membutuhk kan peny penyelesaia elesaian n masala masalah h diferen diferensial sial dengan cara program matlab.

1.2 1. 2

Rum Rumusan usan Masa Masala lah h

Rumusan masalah yang kami bahas pada praktikum Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N yaitu :

1

 

1.3. Batasan Masalah

2

1. Bagaima Bagaimana na memecahk memecahkan an p persamaan ersamaan diferens diferensial ial biasa mengguna menggunak kan metode Euler dengan Matlab? 2. Bagaima Bagaimana na memecahk memecahkan an p persamaan ersamaan diferens diferensial ial biasa mengguna menggunak kan metode Runge Kutta orde 4? 3. Bagaima Bagaimana na mengapl mengaplik ikasik asikan an untu untuk k sim simulasi ulasi sistem dinami dinamik k fenomena fisika?

1.3 1. 3

Bata Batasa san n Ma Masa sala lah h

Batasan masalah yang kami bahas pada praktikum Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N yaitu : 1. Dapat memecahk memecahkan an persamaan diferensial biasa menggunak menggunakan an metode Euler dengan Matlab. 2. Mengetah Mengetahui ui memecahk memecahkan an p persamaan ersamaan diferens diferensial ial biasa menggunak menggunakan an metode Runge Kutta orde 4. 3. Dapat mengaplik mengaplikasik asikan an untuk simu simulasi lasi sistem dinamik fenomena fisik fisika. a.

1.4 1. 4

Tujua ujuan n Prak Prakti tiku kum m

Tujuan dari praktikum Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N yaitu : 1. Dapat memecahk memecahkan an persamaan diferensial biasa menggunak menggunakan an metode Euler dengan Matlab. 2. Mengetah Mengetahui ui memecahk memecahkan an p persamaan ersamaan diferens diferensial ial biasa menggunak menggunakan an metode Runge Kutta orde 4. 3. Dapat mengaplik mengaplikasik asikan an untuk simu simulasi lasi sistem dinamik fenomena fisik fisika. a.

1.5

Sistem Sistemati atik ka Penuli enulisan san

Sistematika penulisan laporan ini lebih ditekankan pada hasil dan pembahasan pada tiap bab : 1. Bab 1 menjela menjelask skan an gambaran umum tentang simulas simulasii yang dilaku dilakuk kan. Ahmad Samsudi Samsudin n

 

1.5. Sistematika Penulisan 2. Bab 2 memb membahas ahas teori yang melandasi dan mendukun mendukungg simulas simulasi. i. 3. Bab 3 adalah met metode ode percoba percobaan. an. 4. Bab 4 adal adalah ah hasil dan pembah pembahasan asan.. 5. Bab 5 merupak merupakan an p penutu enutup p yang terk terkandung andung padany padanyaa kes kesimpula impulan. n.

Ahmad Samsudi Samsudin n

3

 

Bab 2 LANDASAN TEORI Matlab merupakan bahasa pemrogaman yang dikembangkan oleh The Mathwork Math work .Inc. Bahasa pemograman ini bany banyak ak digunakan digunakan untuk perhitungan numer numerik ik kete keteknik knikan, an, komp komputasi utasi simbolik, visualisasi visualisasi grafis, analis analisis is data matematis, statistika, simulasi pemodelan, dan desain GUI (graphical user interface). Pada praktiku praktikum m Sistem Instrumentasi Instrumentasi ini matlab hanya digunak digunakan an untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan bidang instrumentasi elektronika walaupun Matlab merupakan alat yang sangat ampuh untuk berbagai macam keperluan scientific ataupun engineering lainnya. Pada bab ini dibahas tentang persamaan diferensial biasa, ordinary differential equations (ODE) yang diklasifikasikan kedalam masalah nilai awal (initial value) dan masalah nilai batas (boundary value), dimana kedua keadaan ini solusiny solusi nyaa dispesifik dispesifikasi asi pada wak waktu tu awal awal (initi (initial al time). Bany Banyak ak huk hukum-h um-hukum ukum fisik fisi ka ya yang ng san sangat gat pas dif diform ormula ulasik sikan an dala dalam m bent bentuk uk persa persamaan maan diferensi diferensial. al. Lebih lanjut, tidak mengherankan bahwa solusi komputasi numerik dari persamaan persamaan diferensial menjadi bagian yang umum dalam pemodelan sistem-sistem fisika. Dalam penyelesaian persamaan diferensial ada dua buah cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengean metode euler dan metode RK4 : 1. Metode Eule Eulerr adal adalah ah metode Eul Euler er dit diturun urunk kan dari deret T Tay aylor. lor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam dala m in interv terval al [a, [a,b], b], nam namun un dal dalam am mat matlab lab metod metodee eule eulerr ini mem memili iliki ki tingkat eror yang cukup tinggi. 2. Metode RK4, pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaan diferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa trun4

 

5 cation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi (ti). Dik Dikaitk aitkan an dengan hal tersebut, tersebut,metode metode Runge-Kutta Orde4 menawark menawarkan an peny penyelesai elesaian an persamaan diferensial dengan pertumbu pertumbuhan han truncation error yang jauh lebih kecil.

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

Bab 3 METODE PERCOBAAN 3.1 3. 1

Waktu aktu dan dan Tempa empatt Praktikum Modul Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N

ini berlangsung pada hari rabu tanggal 16 Maret 2014, pukul 15.30 sampai dengan selesay. Praktikum ini dilakukan di laboratorium fisika Fakultas Sains dan Teknologi Uin Sunan Gunung Djati Bandung.

3.2

Alat dan Bahan

1. Komputer Komputer/laptop /laptop 2. Softw Software are MA MATLAB TLAB 3. Modul atau Buku Pandu Panduan an Praktiku Praktikum m

6

 

3.3. Diagram Alir

3.3

7

Diagr iagra am Ali Alir Membuka software Matlab pada laptop atau PC

Tunggu sampai matlab siap untuk melakukan kerja

Membuka editor dalam matlab

Masukan program persamaan Euler dan RK4 pada editor

Lihat hasilnya pada command window

Analisis Hasil

3.4 3. 4

Pros Prosed edur ur Per erco coba baan an

Untuk melakukan praktikum ini ada beberapa langkah atau prosedur seperti berikut ini : 1. Buk Bukalah alah softw software are Matlab pada laptop atau PC. 2. Tunggu sampai matlab siap untuk melakuk melakukan an kerja. 3. Membu Membuk ka editor dalam matlab. 4. Masuk Masukan an program persamaan Euler dan RK4 pada editor. 5. Lihat hasiln hasilnya ya pada command windo window. w.

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

Bab 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada praktikum ini yaitu mengenai Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N, dimana dalam penyelsaian masalah persamaan diferensial ini ternyata dapat diselesaikan menggunakan sebuah program yaitu menggunakan sebuah software Matlab. Dalam penyelsaian penyelsaian persamaan diferens diferensial ial dapat menggunakan dua buah cara yang pertama yaitu menggunakan metode Euler dan yang kedua yaitu metode RK4. contoh hp peny enyelesai elesaian an p persamaan ersamaan difere diferensial nsial 1. Metod Metode e Euler Euler   Sebagai conto dengan metode euler yaitu Jika ditentukan batas interval 0   ≤   t   ≤  10, dengan syarat awal t(0)=0, dimana N = 20. Penyelesaian Penyele saian untuk contoh soal diatas yai yaitu tu dengan membuat sebuah fungsi dalam editor matlab seperti berikut :

8

 

9

Gambar 4.1:  Program Metode Euler

Gambar 4.2:  Program Script Metode Euler

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

10

Gambar 4.3:  Program Script Metode Euler

Setelah memasukan memasukan program seperti diatas dan kem kemudian udian dirun kem kemudiudian akan menghasilkan output pada comand window seperti berikut :

Gambar 4.4:  Output Metode Euler

Dari ouput tersebut kemudian dapat dikonversi menjadi sebuah grafik gerak gera k jatu jatuh h bebas denga dengan n sol solusi usi eksa eksak k dan metode euler. Un Untuk tuk grafik grafikny nyaa Ahmad Samsudi Samsudin n

 

11 dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :

Gambar 4.5:   Grafik Metode Euler

Kemudian untuk contoh soal diatas jika diselesaikan dengan persamaan diferensial metode Runge Kutta Orde 4 (RK4) maka program yang harus dimasukan dalam editor matlab adalah sebagai berikut :

Gambar 4.6:  Program Metode RK4

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

12

Gambar 4.7:  Program scipt Metode RK4

Gambar 4.8:  Program scipt Metode RK4

Setelah program dimasukan dalam editor matlab maka kemudian adalah merun atau menjalankan program, dan hasil yang didapat pada comand window adalah sebagai berikut :

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

13

Gambar 4.9:   Output Metode RK4

Dari ouput tersebut kemudian dapat dikonversi menjadi sebuah grafik gerak gera k jatu jatuh h bebas denga dengan n sol solusi usi eksak dan metode RK4. Un Untuk tuk grafik grafikny nyaa dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :

Gambar 4.10:   Grafik Metode RK4

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

14 Contoh aplikasi sistem persamaan diferensial orde satu terkopel adalah persamaan Lorenz tahun 1963, dalam praktikum ini yaitu menggunakan program seperti gambar dibawah ini :

Gambar 4.11:   Fungsi M-File Sistem Lorenz

Gambar 4.12:  Program scipt Metode RK4

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

15

Gambar 4.13:   Program eksekusi Lorenz

Setelah dirun maka output yang akan dihasilkan adalah dua buah grafik yaitu yang pertama adalah grafik ruang fase metode Runge Kutta dan grafik time series metode Runge Kutta, untuk output dapat dilihat dengan gambar dibawah ini :

Gambar 4.14:  Grafik ruang fase metode Runge Kutta

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

16

Gambar 4.15:  Grafik time series metode Runge Kutta

Untuk contoh berikutnya yaitu mencari solusi numerik posisi dan kecepatan tiap saat menggunakan metode Runge Kutta orde 4 dan buat grafik dari solusi yang diperoleh dari sistem pegas seperti gambar berikut :

Gambar 4.16:   Sistem massa-pegas

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

17 Untuk solusi contoh soal diatas yaitu dapat menggunakan program dalam editor sebagai berikut :

Gambar 4.17:   Fungsi program RK4

Gambar 4.18:   Program RK4

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

18

Gambar 4.19:  Program run RK4

Setelah program dimasukan dalam editor matlab maka kemudian adalah merun atau menjalankan program, dan hasil yang didapat adalah sebagai berikut :

Gambar 4.20:  Diagram fase sistem pegas

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

19

Gambar 4.21:  Diagram fase sistem pegas

Dari beberapa contoh soal diatas dapat dibuktikan bahwa metode euler dan metode runge kutta dalam diferensial dapat diselesaikan dengan menggunakan matlab dengan cara memasukan program kedalam editor matlab, dan output dari program itu dapat berupa grafik maupun data angka.

Ahmad Samsudi Samsudin n

 

Bab 5 PENUTUP 5.1

Kes Kesimp impulan ulan

Dari praktikum Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N ini dapat disimpulkan bahwa : •   Praktikan

dapat mengetahui bagaimana cara Memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan metode Euler.

•  Praktikan

dapat Memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge Kutta orde

•  Praktikan

dapat Mengaplikasikan untuk simulasi sistem dinamik fenomena fisika.

•  Persoalan

fisika yang berhubungan dengan diferensial dapat diselesaikan

dengan etode euler dan RK4 menggunakan software matlab.

5.2

Saran

Saran dari saya sebagai mahasiswa fisika yang ingin memajukan teknologi serta ilmu-ilmu khususnya dibidang fisika, ingin belajar lebih lanjut dengan persamaan diferensial menggunakan metode euler dan RK4.

20

 

DAFTAR PUSTAKA

[1] Amin Aminudin, udin, J J., ., 2008, Dasar-Dasar Fisika Komputasi Menggunakan Matlab, Yogyakarta, Gava Media. [2] Sanja Sanjaya, ya,M., M., 2013,   Komputas Numerik Berbasis MATALAB , Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati, Bandung. [3] Santo Santoso so T Tri ri Budi., 2009, Dasar-Dasar Operasi Matlab, Jakarta, Erlangga. [4] Supa Suparno, rno, S., 2008, Komputasi Untuk sains dan TEknik , Depok, FMIPAUI. [5] h http://S ttp://Scrib.com crib.com.Per .PersamaanD samaanDiferens iferensial.h ial.htm(Diak tm(Diakses ses pada taanggal 16 April 2014)

21