Resoluções de problemas do livro "Mecânica" de L. D. Landau & E. Lifchitz...
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
́ ��� ��� ���� ����� ��� �̃� �� ���� �����ı �ı �, ����, ������� �� �������̃� �� ���� �� ������ ����̂���� �. ������ � �. �������� �������� ����� Essa resolução dos exercícios é dedicado a todos os alunos, que esforçam para entender essa disciplina, qualquer informação ou proposta de alteração ou resolução diferente, entrar em contato pelo e-mail;
[email protected]
������� ������ ��������
������ 1
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CAPÍTULO 1 – AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO (Parágrafos de 1 a 5) Página 18 Determinar a função de LAGRANGE dos sistemas seguintes, supostos num campo de gravidade uniforme (aceleração da gravidade: g) 1) Pêndulo duplo oscilante num num plano. plano. (figura 1) �� �
l 1
��
l 2 � ������ �
Solução:
O objeto m1 tem coordenadas cartesianas (x1, y1), as quais podem ser descritas da seguinte forma:
. . . . 12 . . 12 . . . . . . . . . . . . .. ....
X1 = l1. Senφ1 e y1 = l1.Cosφ1, e temos:
e
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
E a sua Energia Potencial ficará:
Já o objeto
m2 tem coordenadas cartesianas (x2, y2), as quais podem ser descritas da seguinte
forma: X2 = l1. Senφ1 + l2. Senφ2 e y2 = l1.Cosφ1+ l2.Cosφ2 e temos:
. . . . . . . . 2 . 2 . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . . e
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
E a sua Energia Potencial ficará:
������� ������ ��������
������ 2
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � �������� E finalmente a LAGRANGEANA será:
12.. .... 2.... . . .2. .. . . . . . . . . . . . – ... .. .
2. Pêndulo plano de massa m2, cujo ponto de suspensão (de massa uma linha reta horizontal pertencente ao plano em m2 se move (Cf. figura 2)
m1) pode se deslocar sobre
�
�
Solução:
�
l
������ �
O objeto m1 tem coordenadas cartesianas (x1, y1), as quais podem ser descritas da seguinte forma:
X1 = x e y1 =constante=0 Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
12 . . 12 . . 0 ↔ . . .. ∴
E a sua Energia Potencial ficará: Já o objeto
m2 tem coordenadas cartesianas (x2, y2), as quais podem ser descritas da seguinte
forma: X2 = (l Senφ +x) e y2 = l.Cosφ
Daí, temos:
. . . . 2 . 2 . . . .. 2 . . 2. . . . . . . .. . . e
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
������� ������ ��������
������ 3
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � �������� E a sua Energia Potencial ficará:
.. . . . 12 . . 2 . 2. . . . — 0 . . . . . . . . . ...
E finalmente a LAGRANGEANA será:
3. Pêndulo Plano, cujo ponto de suspensão:
a) Se desloca uniformemente sobre um circulo vertical com uma freqüência constante γ (Cf figura 3) �������� �
�
�� ����������� �� ����� �� ����
.. . �
l
. . . �
�������� ���� ��������� ����� �������
... . .
�
�
������ �
... . . Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
12 . . . . ... . . ... . . . .. . . .. 12 ... .. 2. 12 ....... . 12 . .. . 12 ... .. 2. 12 ....... . 12 ... . .... . ..
E a sua Energia Potencial ficará:
E finalmente a LAGRANGEANA será:
������� ������ ��������
������ 4
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
12 ... +. .... . −. + 12 ... −.... +... = .... −. −. ==−.0 . . . −. =....... ... −.−. −. . . . . −. = .... −. = ... +. .... −. + ... −.... +...
Sendo
fazendo
, uma função auxiliar, temos que
,
, temos:
0
Ficando assim a LAGRANGEANA:
������ ��� ������� ���� �����, ���� ��� �� �������� �����!!
b) Efetua oscilações horizontais da forma: x = a cos(γ.t)
Solução: As coordenadas do ponto
m, são:
= . . +. = . = −... +.. = −. . = 12 . . + = . . −... +. . + −. . = −. . . ℒ = − ℒ = 12 ... .. −2. 12 ....... . + 12 ... . + + 12 ... . +.. . e
Portanto suas derivadas serão também:
e
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
E a sua Energia Potencial ficará:
E finalmente a LAGRANGEANA será:
������� ������ ��������
������ 5
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
= −. . . . . . = −. .. .. . .−...... . = 0 =−.−...... ... .... −. . . . . . . = ..... . = . . +..... .+ . . . + ... .. Sendo
, uma função auxiliar, temos que , fazendo
, temos:
0
Ficando assim a LAGRANGEANA:
������ ��� ������� ���� �����, ���� ��� �� �������� �����!! c)
Efetua oscilações verticais na forma: y = a cos(γ.t)
Solução: As coordenadas do ponto
m, são:
= . = .. + . = .. = . . = −... −.. = .. . +2. ..... . +. . + = . + . . . +2...... = 12 . . + = . . . + . .. +.... .. . = −.. .. + . ℒ = − ℒ = 2. . + 12 ... .. + 12 ..2...... . +... . +... = −. . . . . . = −. .. .. . .+...... . = 0 = −. .. .. . .+...... . e
Portanto suas derivadas serão também:
↔
e
↔
E temos:
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
E a sua Energia Potencial ficará:
Finalmente a LAGRANGEANA será:
Sendo
, uma função auxiliar, temos que , fazendo
, temos:
0
������� ������ ��������
������ 6
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
.... .. . = ..... . = . . +..... .+ . . .+ ... .. ������ ��� ������� ���� �����, ���� ��� �� �������� �����!!
4) O sistema representado na figura 4; o ponto m2 se desloca sobre um eixo vertical e todo o sistema gira com uma velocidade angular constante Ω em torno desse eixo. �
�
Ω
� φ
�
� � φ
��
��
�
�
θ
� φ
��
Solução:
�
�
�� �����
������ �
= == .... ⇔ = =−.. .. ..+.+. ... . = −. = +. . == .. .... +− 2.2..... ......ccos.os. ++ .. .... + = +. =. . .+0+ . .+ . . = . . +. = = 2. . . + + = . . Ω. + ∴ = . . .+ = −. ... Portanto a Energia cinética para as duas massas
m1, lembrando que
, portanto
poderá ser descrita forma:
E a sua Energia Potencial ficará:
������� ������ ��������
������ �
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
= −2.. ⇔ 2.. . ⇔
. . .... . ∴ .. . . . ... . . Ω. 2.. . . 2.. .. 2. ... . . . .. . . . ... E a Energia cinética para a massa m2, lembrando que: , portanto poderá ser descrita
forma:
E a sua Energia Potencial ficará: Finalmente a LAGRANGEANA será:
Capítulo II Página 25 exercício único – parágrafo 7 - Impulso. Uma partícula de massa m, animada de uma velocidade V1, passa de um semi-espaço em que a sua energia potencial é igual a U1 a outro semi-espaço em que a sua energia também constante, mas igual a U2. Determinar a mudança de direção do movimento da partícula. Solução: θ�
θ�
A energia potencial não depende das coordenadas cujos eixos sejam paralelos à superfície de separação dos semi-espaços. Por conseguinte, a projeção do impulso da partícula sobre esse plano se conserva. Sejam V1 e V2 as velocidades da partícula, respectivamente, antes e depois de ela ter atravessado o plano de separação, e θ1 e θ2 e os ângulos formados por essas velocidades com a normal a essa superfície; obteremos:
. . . . . . ⇔ I 12 .. 12. . 2 2 . 2 1 1 . . 1 .2 . I
Pela Conservação da energia, temos que:
������� ������ ��������
������ �
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � �������� Substituindo a equação (I) nessa equação (II) fica:
= + . . − Página 28 exercício único – parágrafo 8 – Centro de massa Determinar a lei de transformação da ação quando passamos de um sistema galileico a outro.
Solução:
�� � �
�
��
,
��
,
�� � � ��
= , ,+ , , = + = , + ℒ =1 12 . . − ℒ = 2 . . , + − ℒ = 12 . . , + 2.,. + − ℒ = . . , − + 12 . . 2. ,. + 12 . . = � + . ,. + . � = ∑∑. , ⇔ ∑ . , = �. ∑ = � . ℒ = ℒ� + � .. + 12 . ℒ = ℒ�. +. . � .+ 12 . . = � + . . � + 12 . . �
Como
Substituindo (II) em (I), vem:
������� ������ ��������
������ �
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
Aonde
�
é o raio vetor do centro de inércia no sistema
Observação ver
k,.
Anexo 1 – Translação De Eixos Coordenados:
Página 31 - parágrafo 9 – Momento Angular 1)
Encontrar a expressão das componentes cartesianas e do vetor absoluto do momento angular de uma partícula em coordenadas cilíndricas r, φ e z.
=== .. , , = × = ̂×. = .×̂ = ... −.. .. +.. = .̂. .. +.̂. . −. . ̂+. +. . ..̂. – + ... . −. . +... +. +. . .. ̂ ̂̂ == ...... −. −...−. . . ∴ = . . . −. −. . . ̂ . −. . ∴ = . . . − . −. . . . = . . . . +. . . . −. . . +. . . . ⇔ ⇔ = . + . . 1 = . . = . . . + +. −. Solução:
Observação ver Cilíndricas.
Anexo 2 – Produto Vetorial na e Anexo 3 – Coordenadas Esféricas e
2) Encontrar a expressão das componentes cartesianas e do vetor absoluto do momento angular de uma partícula em coordenadas esféricas r, θ e φ. Solução:
== ... , , = . = × = ×. = . ×
������� ������ ��������
������ 10
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
= . ̂ ̂ . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ̂. ... . . . .. . . . . . . . . . ̂ . – ... ... . . .. . . . . . . . . . . . . . . ̂ . .. .. . . . . .... . . .. ̂
Observação ver Cilíndricas.
.. .. . . . . .... .. . . . .
Anexo 2 – Produto Vetorial na e Anexo 3 – Coordenadas Esféricas e
3) Indicar as componentes do impulso P e do momento M que se conservam por ocasião de um movimento nos campos abaixo: a) Campo de um plano homogêneo infinito. Solução: Considerando o plano XY, temos: �
,
,pois:
�
�
������� ������ ��������
������ 11
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
b) Campo de um plano cilindro homogêneo infinito. Solução: Considerando um cilindro ser em z, temos: �
,pois:
�
�
c)
Campo em um prisma homogêneo infinito
d) Campo de um plano homogêneo infinito. Solução: Considerando no caso das arestas serem paralelas a z, temos: �
, pois:
�
�
e) Campo de dois pontos: Solução: Considerando os pontos no eixo z, temos:
� ,pois:
�
�
�
�
������� ������ ��������
������ 12
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
f)
Campo de um cone homogêneo.
Solução: Considerando o eixo z, o eixo do cone, temos: �
,pois:
�
� g) Campo de um toro circular homogêneo infinita. Solução: Considerando o eixo z, o eixo do cone, temos:
,pois:
�
�
�
h) Campo de uma hélice cilíndrica homogênea infinita: ver anexo 6. Solução: A função de LAGRANGE não se altera quando de uma rotação de um ângulo δϕ em torno do eixo da hélice (eixo z) e de uma translação simultânea ao longo desse eixo sobre uma distância: aonde h é o passo da hélice. Portanto:
.
δ δδ� δ� δφδ δφ P . 2.�π M δφ 0
������� ������ ��������
������ 13
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
P . 2.�π M ���
Donde:
�
�
�
Página 36 - parágrafo 10 – Similitude Mecânica 1) Dois pontos de massa diferentes e de mesma energia potencial se deslocam sobre trajetórias idênticas; achar a relação dos tempos. Solução: •
•
.. ⇔ . . ´ .. ⇔ ´ . . ´´ ´ ´ ´. .´ ´
para um ponto de massa m.
para um ponto de massa m´.
Considerações:
Para o tempo:
Para as massas:
Para a energia potencial: U´=U, mas pela condição do problema.
Sendo:
´ . . , . ´´ ´ . . . . . . . . ´ . . . . . . . ´ . . . . �� : ∴
������� ������ ��������
������ 14
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
Ou seja:
� = ⇔ � = � ∴ � = � �
2) Encontrar a relação dos tempos para um movimento que se realiza sobre trajetórias idênticas, quando multiplicamos a energia que se realiza sobre trajetórias idênticas quando multiplicamos a energia potencial por um fator constante, mas supomos que as partículas em causa têm a mesma massa.
Solução: •
•
= .. − ⇔ = . . − � = . . − ⇔ � = . . �� − � � = . � =�= . � = para o 1º Sistema.
para o 2º Sistema..
Considerações:
Para o tempo:
Para as Energias Potenciais: Para a mesma massa m´=m, mas pela condição do problema.
Sendo:
� = . � . , . � − � = . . . − . . . . −. = . . . − . . . . − . = . . . − . = çã : = ∴ = = ⇔ � = � ∴ � = �
Ou seja:
������� ������ ��������
������ 15
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
Capítulo III Página 39 - parágrafo 11 – Movimento Linear 1) Determinar o período das oscilações de um pêndulo matemático plano (ponto m na extremidade de um fio de comprimento l num campo de gravidade) em função da sua amplitude. Solução:
�
���
ϕ
l ll
�ϕ � l ll ��
= . � → �. � . � . → 0 .�. ∴ . �. . 12 . . . . 12 ...�. . . . 12 ... � . ... ∴ ... ... ↔ 12 . .. ... ... ↔ ↔ 12 ... ... ↔ 2. . ↔ ↔ 2. . ↔ 2. . . ↔ ↔ 2. . ↔ 2. . 4 2. . 1 2. 1 2.
Portanto sua energia seria data por:
Como ϕ é o ângulo de afastamento do fio da vertical, e ϕ0 é o ângulo de afastamento máximo.:
Só que T=4.t , então
Fazendo
������� ������ ��������
e
������ 16
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
Temos:
↔ = � 2. . 1 −2. 2−1+2. 2 ↔ = � 2. . 2. 2 − 2 ↔ ↔ = � √ 12 . √ 12 . 2 − 2 ↔ ↔ = 2. . 2 − 2 ↔ 1 = 2. . 2 2 1 − 2 ↔ . = 2 2 = 2 2 = . ↔ 2. . 2.2 = . ∴ = 2 →0=ã → 0 → ã. = , =
Com a seguinte substituição
E os intervalos da integração como:
Esta integral fica:
2..
1 = 2. . 2 1 −1. . 2 ↔ . ↔ = �. . 1 −. . .2 ∗∗ ������� ������ ��������
������ 1�
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
.. → 1 ∴ = �. . 1 −.
** para pequenos ângulos, temos
Que é uma Integral elíptica completa de 1º espécie (ver anexo 7), cuja solução é:
. = . .+ + … , 2 ≈ 2 ≪ 1 → = 2 ∴ = 2. = . .+ . + . + ⋯ = . + . = 0 . . − ! = + . + . . + ⋯+ . ! . . + ⋯
Ficando:
Observação: A integral acima é denominada integral elíptica e não possui solução analítica, devendo ser calculada utilizando-se métodos numéricos. No caso em que θ é pequeno obtém-se
.
Na verdade a solução numérica do período é obtida resolvendo-se diretamente a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo , uma vez que os métodos de solução de equação diferencial são mais robustos do que os métodos usados na solução numérica da integral elíptica. Esse é um exemplo simples que ilustra a necessidade de se conhecer com mais detalhes, em termos de eficiência e robustez, os métodos numéricos disponíveis.
2) Determinar o período das oscilações em função da energia, por ocasião do movimento de uma partícula de massa m num campo onde a energia potencial seja: Solução: a)
= . || = + ⇔ = − ⇔ 12 .. = − ⇒ = 2 . − ⇒ = 2 . − ⇔ ⇔ = 2 . − ⇔ = 2 . − ⇒ = 2 . − ⇔ ⇔ = 2 . − + = �. . + = ⇒ = . ⇒ = = 2. √ 2.. −.�� = 2. √ 2.. √ 1 . 1−� . � � ⟶= 0 . � ⇒ ⟶ =0 � � ⟶ ⟶ 1 Só que T=4.t , então
, fazendo
Vem:
Fazendo:
������� ������ ��������
������ 1�
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
= 2. √ 2... . 1 − ⇒ = 2. √ 2.. . 1− . = = ⇒ = . ⇒ = . ⇒ = . ⇔ = .. ⇔ . = Fazendo:
⟶⟶ 01 ⟶⟶ 01 = 2. √ 2.. . .√ . B = √ . = √ π . = √ √ . = . √ .. . . + ⇒ = .√ .. . . . + = − , − < < = + ⇔ = − ⇔ 12 .. = − ⇒ = 2 . − ⇒ = 2 . − ⇔ ⇔ = 2 . − ⇔ = 2 . − ⇒ = 2 . − ⇔ ⇔ = 2 . − + = �. . + = ⇒ = −.. = 2. √ 2.. + �ℎ� + �ℎ� = .ℎℎ���+ = 2. .| | = 2. √ 2.. 2. .| | ∴ = .. √ | .| e
Portanto temos:
, que é uma integral EULERIANA B , que se expressa por meio das
funções Γ Γ( função gama - letra grega maiúscula) ver anexo 4. A função B será:
b)
com
, então temos:
Só que T=4.t , então
, fazendo
Vem:
e a solução dessa integral é:
������� ������ ��������
������ 1�
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � �������� c)
= . . = + ⇔ = − ⇔ 12 .. = − ⇒ = 2 . − ⇒ = 2 . − ⇔ ⇔ = 2 . − ⇔ = 2 . − ⇒ = 2 . − ⇔ ⇔ = 2 . − + = �. . + = ⇒ = �. t�α. � = 2. √ 2.. − ��. t�α. �� − ��. t�α. �� = 2. . + = 2. √ 2.. 2. . + ∴ = ..√ +. Só que T=4.t , então
d)
, fazendo
Vem:
e a solução dessa integral é:
Página 43 - parágrafo 13 – Massa reduzida PROBLEMA UNICO
Um sistema é composto de uma partícula de massa M e de n partículas de mesma massa m. Eliminar o movimento do centro de inércia e reduzir o problema ao do movimento de n partículas. ���� � � ���� ����� �� � �� ����� �� ���� ��
Solução: ‘
�� ����� ������� ��� ���������� �� ����� �� ������������� �� ���������� ��
�
��������� � �� ���������� ��
�
Seja rα o novo vetor que mede a distância entre a partícula
= − . + . =
M e m.
Se situarmos a origem das coordenas no centro de massa deste sistema temos:
������� ������ ��������
������ 20
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � �������� Disto temos:
. + . = ⇔ . + . + = ⇔ . + . +. = ⇔ ⇔ . + . +. = ⇔ . + . +. . = ⇔ +. . = −∑ . ⇔ = . . ∑ = − . ∑ = +. = − ⇔ = + ⇔ = − . ∑ = . + . − = −. . + . + − = − . = − . . . + . = . − . . + . − . . . + . − = . − . . + .. . . −. . + . − = . −. −+ + . − = . − .+. − , onde
Como
A função de LAGRANGE para este sistema é:
Fazendo as substituições temos:
Sendo:
������� ������ ��������
������ 21
��������� ��� ���������� �� �������� ��������� � ������ � ��������
Página 49 - parágrafo 14 – Movimento num Campo Central 1) Integrar as equações do movimento de um pêndulo esférico: ponto material m se deslocando sobre a superfície de uma esfera de raio l, colocada num campo de gravidade. Solução: Em coordenas esféricas (origem no centro da esfera e eixo polar dirigido verticalmente para a base) a função de LAGRANGE do pêndulo é: ��
+�
θ ϕ
ll
�ϕ +� Seu vetor posição é:
��
= . ̂ . . ̂ . . ∅. ̂ . ̂ . . ̂ . . ∅ . ̂ ∴ � �. θ . � �. ���θ. ∅ . � �θ
E seu vetor velocidade será:
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
12 . . 12 ... . ̂ . . ∅ . ̂ ↔ ↔ 12 . . . . ̂ 2. . ... ∅ . ̂.̂ .. ∅ . ̂ ↔ ↔ ... .. ∅ ... .. ∅ como r = l , temos:
������� ������ ��������
������ 22