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Capitolo 1

Brevi richiami di topologia e calcolo differenziale in pi` u variabili Premessa fondamentale Siano A e B due insiemi. Con la scrittura f : A → B si intende una funzione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Quindi A `e il dominio di f e B `e il codominio di f . Talvolta il dominio si indica con il simbolo dom (f ). Quindi se f : A → B `e una funzione, allora dom (f ) = A.

1

Brevi richiami di topologia di Rn

Nel seguito considereremo n ∈ N, n ≥ 1. Denotiamo con Rn il prodotto cartesiano di R per se stesso n volte, cio`e n

o

Rn = R × ·{z · · × R} = (x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R . | n volte

` uno spazio vettoriale su R di dimensione n. Per ogni i = 1, . . . , n denotiamo con ei E ` detto il vettore di Rn avente la componente i-esima uguale a 1 e tutte le altre nulle. E il vettore i-esimo della base canonica di Rn . La base (e1 , . . . , en ) `e detta base canonica di Rn . Se v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn , allora si ha che v = (v1 , . . . , vn ) = (v1 , 0, . . . , 0) + · · · + (0, . . . , 0, vn ) = = v1 (1, 0, . . . , 0) + · · · + vn (0, . . . , 0, 1) = v1 e1 + · · · + vn en . |

{z e1

}

|

{z

en

In Rn sono definiti un prodotto scalare ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) :

}

x·y = (x1 , . . . , xn )·(y1 , . . . , yn ) = x1 y1 +· · ·+xn yn , 1

2

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

e una norma, detta anche modulo, kxk =

∀x = (x1 , . . . , xn ) :

q √ x · x = x21 + · · · + x2n .

Introduciamo alcuni concetti di topologia dello spazio Rn . (1.1) Definizione

Siano x0 ∈ Rn e r > 0.

Si chiama intorno (sferico) aperto di centro x0 e raggio r (o anche palla aperta di centro x0 e raggio r) l’insieme n

o

Br (x0 ) = x ∈ Rn : kx − x0 k < r . Questo intorno contiene tutti e soli i punti di Rn aventi distanza da x0 minore di r. Si chiama intorno (sferico) chiuso di centro x0 e raggio r (o anche palla chiusa di centro x0 e raggio r) l’insieme n

o

Br (x0 ) = x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ r .

Per n = 1 si ha che Br (x0 ) = {x ∈ R : |x − x0 | < r} = (x0 − r, x0 + r), Br (x0 ) = {x ∈ R : |x − x0 | ≤ r} = [x0 − r, x0 + r]. Per n = 2 si ha che n

o

Br (x0 , y0 ) = (x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (x0 , y0 )k < r = n

= (x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r 2

o

che `e l’insieme dei punti interni alla circonferenza di centro (x0 , y0 ) e raggio r, mentre n

o

Br (x0 , y0 ) = (x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (x0 , y0 )k ≤ r = n

= (x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r 2

o

che `e l’insieme dei punti della circonferenza di centro (x0 , y0 ) e raggio r e di quelli interni ad essa.

1 Brevi richiami di topologia di Rn

3

y

Br (x0 , y0 ) y0

r






x0

O

x

Per n = 3 si ha che n

o

Br (x0 , y0 , z0 ) = (x, y, z) ∈ R3 : k(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 )k < r = n

= (x, y, z) ∈ R3 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < r 2

o

che `e l’insieme dei punti interni alla sfera di centro (x0 , y0 , z0 ) e raggio r, mentre n

o

Br (x0 , y0 , z0 ) = (x, y, z) ∈ R3 : k(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 )k ≤ r = n

= (x, y, z) ∈ R3 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r 2

o

che `e l’insieme dei punti della sfera di centro (x0 , y0 , z0 ) e raggio r e di quelli interni ad essa. z z0

Br (x0 , y0 , z0 ) 

r 

O  

y0 x0

y



x

Se n ≥ 2 non si introducono le nozioni di intorno destro e sinistro e non si

introducono le nozioni di intorno di +∞ e −∞.

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S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(1.2) Definizione

Siano Ω ⊆ Rn e x0 ∈ Rn .

e un punto interno ad Ω se esiste r > 0 tale che Br (x0 ) ⊆ Ω. Diciamo che x0 ` In particolare x0 ∈ Ω. Si chiama parte interna di Ω l’insieme dei punti interni di Ω. Si denota con int(Ω). Diciamo che x0 ` e un punto isolato per Ω se esiste r > 0 tale che Ω ∩ Br (x0 ) = {x0 }. In particolare x0 ∈ Ω. e un punto di accumulazione per Ω se per ogni r > 0 si ha che Diciamo che x0 ` h

i

Ω ∩ Br (x0 ) \ {x0 } = 6 ∅,

cio`e se ogni intorno di x0 contiene punti di Ω diversi da x0 . In tal caso non `e detto che x0 appartenga ad Ω. Diciamo che x0 ` e un punto di frontiera per Ω se per ogni r > 0 si ha che Ω ∩ Br (x0 ) 6= ∅ e CΩ ∩ Br (x0 ) 6= ∅, dove CΩ `e il complementare di Ω. In tal caso non `e detto che x0 appartenga ad Ω. Si chiama frontiera di Ω (talvolta detta anche bordo di Ω) l’insieme dei punti di frontiera di Ω. Si denota con Fr(A) oppure ∂Ω. Evidentemente ∂Ω = ∂CΩ. Si chiama chiusura di Ω l’insieme Ω = Ω ∪ ∂Ω.

Il termine punti di frontiera sembra indicare quei punti che “separano” un insieme da un altro, che in questo caso `e il complementare. In molte situazioni in effetti si tratta proprio di punti che delineano un confine fra i due insiemi. y

y

∂Ω Ω Ω O

x

∂Ω O

x

Esistono per` o casi particolari ai quali mal si applica la dicitura di punti di “sepa-

1 Brevi richiami di topologia di Rn

5

razione”. Nel caso dell’insieme n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q , si ha che il suo complementare `e n

o

C(Ω) = (x, y) ∈ R2 : x ∨ y 6∈ Q mentre il bordo `e ∂Ω = R2 che contiene sia Ω che C(Ω). (1.3) Definizione

Sia Ω ⊆ Rn .

Diciamo che Ω ` e aperto se ogni punto di Ω `e interno ad Ω, cio`e se int(Ω) = Ω. Diciamo che Ω ` e chiuso se CΩ `e aperto. Diciamo che Ω ` e limitato se esiste r > 0 tale che Ω ⊆ Br (0). Diciamo che Ω ` e compatto se `e chiuso e limitato. Per convenzione ∅ e Rn sono contemporaneamente aperti e chiusi. Si osserva che Ω `e chiuso se e solo se ∂Ω ⊆ Ω. Ne segue che Ω `e aperto se e solo se

Ω ∩ ∂Ω = ∅. Inoltre se Ω `e chiuso, allora Ω = Ω.

Richiamiamo alcune semplici propriet` a degli insiemi aperti e chiusi. (1.4) Proposizione

Valgono i seguenti fatti:

a) l’unione di insiemi aperti `e un insieme aperto; b) l’intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto; c) l’unione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso; d) l’intersezione di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.

(1.5) Proposizione

Siano Ω ⊆ Rn non vuoto, f : Ω → R una funzione continua

e A ⊆ R. Allora valgono i seguenti fatti: a) se A `e aperto, allora f −1 (A) `e aperto; b) se A `e chiuso, allora f −1 (A) `e chiuso.

6

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Si rammenta che f −1 (A) `e la preimmagine (o controimmagine) di A tramite f definita da f −1 (A) = {x ∈ Ω : f (x) ∈ A}. (1.6) Esempio n

o

1) L’insieme Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 `e chiuso. Infatti, posto A = {1} e f (x, y) = x2 + y 2 , si ha che Ω = f −1 (A). Poich´e A `e chiuso e f `e continua, per la Proposizione (1.5) si ha che Ω `e chiuso. Inoltre si osserva che int(Ω) = ∅ e ∂Ω = Ω. n

o

2) L’insieme Ω = (x, y) ∈ R2 : 2x2 + 3y 2 < 4 `e aperto. Infatti, posto A = (−∞, 4) e f (x, y) = 2x2 + 3y 2 , si ha che Ω = f −1 (A). Poich´e A `e aperto e f `e continua, per la Proposizione (1.5) si ha che Ω `e aperto. n

o

3) L’insieme Ω = (x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 3 `e chiuso. Infatti, posto A = [2, +∞), B = (−∞, 3] e f (x, y) = x2 + y 2 , si ha che Ω = f −1 (A)∩f −1 (B). Poich´e A e B sono chiusi e f `e continua, per le Proposizioni (1.4) e (1.5) si ha che Ω `e chiuso. n

o

4) L’insieme Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 1 < x2 + y 2 + z 2 < 4 `e aperto. Infatti, posto A = (1, +∞), B = (−∞, 4) e f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , si ha che Ω = f −1 (A)∩f −1 (B). Poich´e A e B sono aperti e f `e continua, per le Proposizioni (1.4) e (1.5) si ha che Ω `e aperto. n

o

5) L’insieme Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 < 4 non `e n´e aperto n´e chiuso. La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

7

2 Brevi richiami di calcolo differenziale in pi` u variabili

2

Brevi richiami di calcolo differenziale in pi` u variabili

Nel seguito n e m indicano numeri naturali maggiori o uguali a 1. (2.1) Definizione Siano Ω ⊆ Rn aperto non vuoto, x0 ∈ Ω, v ∈ Rn e f : Ω → Rm una funzione. Diciamo che f ` e derivabile in x0 rispetto a v se esiste in Rm il limite lim

t→0

f (x0 + tv) − f (x0 ) , t

che in tal caso si denota con il simbolo

∂f ∂v (x0 )

ed `e detto derivata direzionale

di f in x0 rispetto a v. In particolare se v = ei , i-esimo vettore della base canonica di Rn , allora questa derivata `e anche detta derivata parziale di f rispetto a xi in x0 e si denota con il simbolo

∂f ∂xi (x0 ).

Si osserva che il limite f (x0 + tv) − f (x0 ) t→0 t lim

`e nella sola variabile reale t. Quindi `e il limite di una funzione in una variabile, pi` u n

precisamente fissati x0 e v `e il limite della funzione t 7→ (2.2) Definizione

f (x0 +tv)−f (x0 ) t

o

.

Siano Ω ⊆ Rn aperto non vuoto, x0 ∈ Ω e f : Ω → Rm una

funzione. Diciamo che f ` e differenziabile in x0 se esiste una funzione lineare (e continua) L : Rn → Rm tale che lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) − L(x − x0 ) = 0. kx − x0 k

In tal caso denotiamo questa funzione L con il simbolo df (x0 ) (oppure dfx0 ) che `e detto differenziale di f in x0 .

Si osserva che il limite lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) − L(x − x0 ) kx − x0 k

`e nella variabile x di Rn , quindi `e un limite di una funzione di n variabili.

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S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(2.3) Proposizione

Siano Ω ⊆ Rn aperto non vuoto, x0 ∈ Ω e f : Ω → Rm una

funzione. Allora valgono i seguenti fatti: 1) se f `e differenziabile in x0 , allora f `e continua in x0 ; 2) se f `e differenziabile in x0 , allora per ogni v ∈ Rn si ha che f `e derivabile in x0 rispetto a v e vale la seguente uguaglianza ∂f (x0 ) = df (x0 )(v). ∂v In particolare se v = ei , i-esimo vettore della base canonica di Rn , si ha che ∂f (x0 ) = df (x0 )(ei ). ∂xi Quindi se v = v1 e1 + · · · + vn en , si ha che df (x0 )(v) = df (x0 )(v1 e1 + · · · + vn en ) = v1 df (x0 )(e1 ) + · · · + vn df (x0 )(en ) = = v1

∂f ∂f (x0 ) + · · · + vn (x0 ). ∂x1 ∂xn

In particolare se m = 1, allora df (x0 )(v) = ∇f (x0 ) · v; 3) se la funzione f ammette tutte le derivate parziali

∂f ∂xi

per ogni i = 1, . . . , n in

Ω e se queste le derivate parziali sono continue in x0 , allora f `e differenziabile in x0 . (2.4) Osservazione Poich´e il differenziale di f : Ω → Rm in x0 ∈ Ω ⊆ Rn `e una applicazione lineare, ad essa `e associata, rispetto alle basi canoniche di Rn e Rm , una matrice m × n, detta matrice Jacobiana, denotata talvolta con il simbolo Jf (x0 ). Pi` u precisamente, se f = (f1 , . . . , fm ), allora  

Jf (x0 ) = 

∂f1 ∂x1 (x0 )

.. . ∂fm ∂x1 (x0 )

··· .. . ···

 ∂f1 ∂xn (x0 )

 .. . . ∂fm ∂xn (x0 )

Evidentemente si ha che per ogni v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn 

∂f1 ∂x1 (x0 )

···  . .. .. df (x0 )(v) = Jf (x0 )v =  . ∂fm ∂x1 (x0 ) · · ·

∂f1 ∂xn (x0 )

.. . ∂fm ∂xn (x0 )





v1   ..   . . vn

9

2 Brevi richiami di calcolo differenziale in pi` u variabili

Se f `e una funzione reale, cio`e se m = 1, allora denotate con (dx1 , . . . , dxn ) le applicazioni lineari da Rn in R tali che dxi (ej ) =

(

1 se i = j 0 se i 6= j,

dove ej `e il j-esimo vettore della base canonica di Rn , si ha che (2.5)

df (x0 ) =

n X ∂f ∂f ∂f (x0 ) dx1 + · · · + (x0 ) dxn = (x0 ) dxi . ∂x1 ∂xn ∂xi i=1

(2.6) Osservazione Se I ⊆ R `e un intervallo aperto, x0 ∈ I e f : I → Rm `e derivabile

in x0 , allora f `e differenziabile in x0 con df (x0 )(x) = f 0 (x0 )x per ogni x ∈ R. In particolare f 0 (x0 ) = df (x0 )(1). Differenziale della funzione composta

Se f e g sono due funzioni rispettivamente differenziabili in x0 e in f (x0 ), allora la funzione composta g ◦ f `e differenziabile in x0 con ∀x :

d(g ◦ f )(x0 )(x) = dg(f (x0 ))(df (x0 )(x)).

In termini matriciali si ha che Jg◦f (x0 ) = Jg (f (x0 )) Jf (x0 ). Derivata parziale della funzione composta Se f e g sono due funzioni rispettivamente differenziabili in x0 e in f (x0 ), allora la derivata parziale i-esima della funzione composta g ◦ f in x0 `e data da 



∂(g ◦ f ) ∂f (x0 ) = d(g ◦ f )(x0 )(ei ) = dg(f (x0 ))(df (x0 )(ei )) = dg(f (x0 )) (x0 ) . ∂xi ∂xi f

g

In particolare se g `e una funzione reale, cio`e ad esempio si ha Rn −→ Rm −→ R, allora per (2.5) si ha che dg(y0 ) =

m X ∂g

j=1

∂yj

(y0 ) dyj

e quindi, denotate con (f1 , . . . , fm ) le componenti di f , si ha che m X ∂(g ◦ f ) ∂f ∂g (x0 ) = dg(f (x0 )) (x0 ) = (f (x0 )) dyj ∂xi ∂xi ∂y j j=1



=

m X ∂g

j=1

∂yj

(f (x0 )) dyj











∂f (x0 ) = ∂xi

∂f1 ∂fm (x0 ), . . . , (x0 ) = ∂xi ∂xi

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S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

=

m X ∂g

j=1

∂yj

(f (x0 )) dyj |

Casi particolari



∂f1 ∂fm (x0 ) e1 + · · · + (x0 ) em ∂xi ∂xi {z

∂f = ∂xj (x0 ) i

f



=

}

m X ∂g

j=1

∂yj

(f (x0 ))

∂fj (x0 ). ∂xi

g

a) Se si ha Rn −→ R −→ R, allora

∂(g ◦ f ) ∂f (x0 ) = g0 (f (x0 )) (x0 ). ∂xi ∂xi

f

g

b) Se si ha R −→ Rm −→ R, allora (g ◦ f )0 (x0 ) =

(2.7) Definizione

m X ∂g

∂yj j=1

(f (x0 )) fj0 (x0 ) = ∇g(f (x0 )) · f 0 (x0 ).

Siano Ω ⊆ Rn aperto non vuoto e f : Ω → Rm una funzione.

Diciamo che f ` e di classe C 0 in Ω se f `e continua in Ω.

Diciamo che f ` e di classe C 1 in Ω se f ammette tutte le derivate parziali

∂f ∂xi

in

Ω e sono continue in Ω. Diciamo che f ` e di classe C 2 in Ω se f ammette tutte le derivate parziali seconde ∂2f ∂xi ∂xj

in Ω e sono continue in Ω.

Se k ∈ N con k ≥ 2, diciamo che f ` e di classe C k in Ω se f ammette tutte le derivate parziali k-esime

∂k f

∂xi · · · ∂xj |

{z

k variabili

in Ω e sono continue in Ω.

}

Diciamo che f ` e di classe C ∞ in Ω se f `e di classe C k in Ω per ogni k ∈ N.

(2.8) Lemma

(di Schwarz) Siano Ω ⊆ Rn aperto non vuoto e f : Ω → Rm

una funzione di classe C 2 .

Allora per ogni i, j = 1, . . . , n e per ogni x ∈ Ω si ha che ∂2f ∂2f (x) = (x). ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

(2.9) Teorema

(di Weierstrass) Siano Ω ⊆ Rn compatto non vuoto e f : Ω →

R una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo in Ω.

Capitolo 2

Calcolo degli integrali multipli 1

Breve introduzione teorica

Per integrale multiplo si intende l’integrale di una funzione reale di n ≥ 2 variabili su

un sottoinsieme di Rn . La nozione di integrale multiplo `e una naturale estensione di quella dell’integrale definito di una funzione reale di una variabile reale. Quindi gode, ad esempio, delle medesime propriet` a di linearit` a e di monotonia. La differenza sostanziale consiste nel fatto che, mentre in una variabile si calcola l’integrale di una funzione limitata prevalentemente su un intervallo limitato, nel caso dell’integrale multiplo si calcola l’integrale di una funzione limitata su un sottoinsieme limitato di Rn che pu` o essere molto vario. L’analogo nel piano R2 di un intervallo limitato sulla retta reale `e un rettangolo, mentre nello spazio R3 `e un parallelepipedo. Per` o in R2 e in R3 pu` o essere utile, oppure `e necessario, calcolare gli integrali anche su insiemi che non sono rettangoli o parallelepipedi rispettivamente. Ad esempio su triangoli, trapezi, cerchi, ellissi ecc. in

R2 e piramidi, prismi, sfere, ellissoidi, tronchi di cono, ecc. in R3 . Per questo motivo la teoria dell’integrazione multipla, pur essendo una naturale estensione di quella in una variabile, presenta delle complicazioni e delle difficolt` a maggiori rispetto al caso unidimensionale. Infatti, dovendo prevedere la possibilit` a di integrare le funzioni su insiemi per cos`ı dire “non necessariamente dritti” (come potrebbero essere definiti gli intervalli, i rettangoli e i parallelepipedi), deve forzatamente avere una base teorica che permetta di discernere gli insiemi “buoni” su cui integrare, da quelli “non buoni”. Questa base `e costituita dalla cosidetta teoria della misura, che introduce e studia le propriet` a degli insiemi misurabili (quelli “buoni”) che, sostanzialmente, sono quelli a cui `e possibile associare una misura, che nel piano comunemente chiamiamo area e nello spazio volume. 11

12

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Esistono varie teorie dell’integrazione multipla, ciascuna basata appunto su una certa teoria della misura. Le pi` u note sono l’integrazione secondo Riemann (basata sulla teoria della misura di Peano-Jordan) e l’integrazione secondo Lebesgue (basata sull’omonima teoria della misura). In questa breve introduzione non vedremo la definizione di integrale di Riemann ma ci accontenteremo di avere un’idea intuitiva del suo significato e di alcune sue applicazioni; studieremo inoltre le propriet` a principali e infine vedremo come si calcolano gli integrali di funzioni di due variabili (detti integrali doppi) e di tre variabili (detti integrali tripli). Per una esposizione pi` u dettagliata e rigorosa dell’integrale di Riemann in pi` u variabili si rimanda all’Appendice B. Nel seguito considereremo n ∈ N, n ≥ 1. e misuraNotazione Sia Ω ⊆ Rn limitato non vuoto. In questa sede diremo che Ω ` bile1 se `e possibile associare a Ω una misura, che per n = 2 `e proprio l’area di Ω inteso come sottoinsieme del piano, mentre per n = 3 `e il classico volume di Ω inteso come sottoinsieme dello spazio. Denotiamo la misura di Ω con mn (Ω) o pi` u semplicemente, quando non vi sia ambiguit` a, con m(Ω), e la chiamiamo misura n-dimensionale di Ω (o pi` u semplicemente misura di Ω). Evidentemente m(Ω) ∈ [0, +∞). Talvolta si parla di volume n-dimensionale di Ω. In particolare, per n = 2 la misura m(Ω) `e detta area di Ω, mentre per n = 3 la misura m(Ω) `e detta volume di Ω. Per convenzione si pone m(∅) = 0. (1.1) Osservazione Valgono i seguenti fatti: 1) se Ω ⊆ Rk `e misurabile, con 1 ≤ k < n, allora mn (Ω) = 0. In particolare l’area e il volume di un sottoinsieme misurabile della retta reale sono zero, il volume di un sottoinsieme misurabile del piano `e zero; 2) se Ω ⊆ Rn `e il sostegno di una curva parametrica regolare2 , allora mn (Ω) = 0 per ogni n ≥ 2;

3) se Ω ⊆ R3 `e il grafico di una funzione continua di due variabili3 , allora m3 (Ω) = 0; 1

Per la definizione rigorosa di insieme misurabile e di misura di Peano-Jordan vedi Appendice B. Vedi capitolo Integrali curvilinei. 3 3 Vale pi` u in generale se Ω ⊆ R `e il sostegno di una calotta regolare (vedi capitolo Integrali di superficie). 2

13

1 Breve introduzione teorica

4) se Ω ⊆ Rn `e un aperto limitato, allora ∂Ω, la frontiera di Ω, ha misura ndimensionale nulla; 5) se A, B ⊆ Rn sono misurabili, allora m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B). Quindi se m(A ∩ B) = 0, allora m(A ∪ B) = m(A) + m(B). In particolare se A `e un aperto limitato, allora A ∩ ∂A = ∅, da cui segue che la misura di A = A ∪ ∂A, chiusura di A, `e

m(A) = m(A) + m(∂A) = m(A).

Sia Ω ⊆ Rn misurabile. Diciamo che Ω ` e trascurabile (in

(1.2) Definizione

Rn ) se m(Ω) = 0.

Vale la seguente propriet` a, che non dimostriamo. (1.3) Teorema

Sia Ω ⊆ Rn limitato non vuoto.

Allora Ω `e misurabile se e solo se ∂Ω `e trascurabile. (1.4) Esempio Un esempio di insieme non misurabile nel piano `e Ω = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : x, y ∈ Q} . Infatti, in tal caso ∂Ω = [0, 1] × [0, 1] e quindi m(∂Ω) = 1 6= 0. Introduciamo ora il concetto di integrale multiplo di una funzione reale. Nel seguito con il termine integrabile intenderemo “integrabile secondo Riemann”. Per questioni di semplicit` a espositiva tratteremo solo il caso di funzioni continue e limitate, anche se la nozione di integrale multiplo si pu` o introdurre per una classe di funzioni pi` u ampia, detta delle funzioni integrabili. Notazione Siano Ω ⊆ Rn misurabile e f : Ω → R una funzione continua e limitata. L’integrale (multiplo) di Riemann di f su Ω `e il numero reale denotato con uno dei seguenti simboli Z

f, Ω

Z

f (x) dx, Ω

Z

Ω

n volte

f (x1 , · · · , xn ) dx1 . . . dxn ,

zZ }| Z {

···

Ω

f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn .

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S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Se n = 2 si usa talvolta scrivere ZZ

f (x, y) dx dy.

(Integrale doppio)

Ω

Se n = 3 si usa talvolta scrivere ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz.

(Integrale triplo)

Ω

L’insieme Ω `e detto dominio di integrazione. Come nel caso unidimensionale, se f ≥ 0 su Ω, allora

Z

f (x) dx rappresenta

Ω

il volume in Rn+1 , cio`e la misura (n + 1)-dimensionale, del “trapezoide” di f , ossia dell’insieme n

Tf = (x1 , · · · , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 : x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Ω,

o

0 ≤ xn+1 ≤ f (x) .

z Gf Per esempio, per n = 2, allora Tf = n

(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Ω,

e

Z

f (x, y) dx dy

o

0 ≤ z ≤ f (x, y) .

`e il classico

Tf

Ω

volume del solido Tf .

y Ω x

Mediante l’integrale di Riemann si possono quindi riottenere le aree delle classiche figure geometriche del piano e i volumi di quelle dello spazio. Esistono anche altre possibili interpretazioni dell’integrale multiplo, oltre a quella geometrica, e dipendono chiaramente dalla natura e Z della funzione f . Se per esempio f ` f fornisce la carica totale su Ω; se f

la distribuzione di carica elettrica in Ω, allora

Ω

`e la distribuzione della densit` a di massa in Ω, allora

Z

f fornisce la massa totale di Ω

Ω

(vedi pag. 44).

(1.5) Osservazione Se Ω ⊆ Rn `e misurabile e f (x) = 1 per ogni x ∈ Ω, allora l’integrale di f su Ω `e proprio la misura n-dimensionale di Ω, cio`e Z

Ω

f (x) dx =

Z

Ω

1 dx = mn (Ω).

15

1 Breve introduzione teorica

Infatti, se per semplicit` a consideriamo il caso n = 2, allora essendo f (x) = 1 per ogni x ∈ Ω, si ha che il trapezoide Tf di f `e un cilindro con generatrici parallelle all’asse z avente per basi Ω e la proiezione ortogonale di Ω sul piano z = 1. z 1

3

Quindi il volume (in R ) di Tf `e Z

Ω

Gf b

1 dx = m3 (Tf ) = m2 (Ω).

Tf y Ω x

Elenchiamo ora alcune delle propriet` a principali dell’integrale multiplo, utili anche nelle applicazioni. (1.6) Proposizione

Siano Ω ⊆ Rn misurabile, f, g : Ω → R continue e limitate

e λ ∈ R. Allora valgono i seguenti fatti: a)

Z

(f + g) =

Ω

b)

Z

Z

Ω

λf = λ

Ω

Z

f+

Z

f;

(Omegeneit` a)

Ω

c) se f ≤ g su Ω, allora Z Z d) f ≤ |f |. Ω

(Additivit` a)

g;

Ω

Z

f≤

Ω

Z

(Monotonia)

g;

Ω

Ω

` ben noto che queste quattro propriet` E a valgono anche per l’integrale unidimensionale. (1.7) Proposizione

Siano Ω ⊆ Rn misurabile e f : Ω → R continua e limitata.

Allora valgono i seguenti fatti: a) se Ω `e trascurabile, allora

Z

f = 0;

Ω

b) se Ω = A ∪ B con A e B misurabili e A ∩ B trascurabile, allora Z

Ω

f=

Z

A∪B

f=

Z

A

f+

Z

B

f;

16

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

c) se A ⊆ Ω `e misurabile e f ≥ 0 su Ω, allora Z

f≤

A

Z

f.

Ω

La propriet` a b) `e detta Additivit` a rispetto al dominio, mentre c) `e detta Monotonia rispetto al dominio. Valgono anche nel caso unidimensionale. In tal caso sono le ben note Z

∀c ∈ [a, b] :

Z

b

f (x) dx =

a

Z

c

f (x) dx +

a

b

f (x) dx,

Additivit` a rispetto al dominio

c

e Z

f ≥ 0 =⇒ ∀c ∈ [a, b] :

c

a

f (x) dx ≤

Z

b

f (x) dx.

Monotonia rispetto all’intervallo

a

(1.8) Osservazione La propriet` a a) stabilisce che gli insiemi trascurabili, cio` e di misura nulla, possono essere a tutti gli effetti del calcolo trascurati, quindi non considerati. Infatti, il loro contributo nell’integrale multiplo `e nullo. In particolare 2 e ad esempio un segmento o pi` u in generale una linea del piano, allora si Z ha che se Ω ⊆ R ` Ω

f = 0. Analogamente se Ω ⊆ R3 `e contenuto in un piano, oppure `e una superficie,

allora

Z

f = 0.

Ω

Per le propriet` a a) e b), se Ω ⊆ Rn `e la chiusura di un aperto non vuoto, allora

essendo Ω = int(Ω) ∪ ∂Ω e ∂Ω trascurabile, si ha che Z

f=

Ω

Z

f=

int(Ω)∪∂Ω

Z

f+

int(Ω)

Z

f=

∂Ω

| {z }

Z

f.

int(Ω)

=0

Inoltre, sempre per le propriet` a a) e b), se f, g : Ω → R sono continue e limitate e esiste A ⊆ Ω trascurabile tale che f (x) = g(x) per ogni x ∈ Ω \ A, allora Z

f=

Ω

Z

g.

Ω

Infatti, Z

Ω

f=

Z

f+

Ω\A

Z

f=

|A {z } =0

Z

f Ω\A

= ↑

f (x) = g(x) ∀x ∈ Ω \ A

Z

Ω\A

g=

Z

Ω\A

g+

Z

g=

A |{z}

Z

g.

Ω

=0

Quindi nel calcolo di un integrale multiplo possiamo tranquillamente non considerare gli insiemi trascurabili.

17

1.1 Calcolo degli integrali doppi

1.1

Calcolo degli integrali doppi

(1.9) Definizione

Sia Ω ⊆ R2 .

Diciamo che Ω `e un insieme y-semplice (o verticalmente convesso) se `e della forma

n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x) , dove α, β : [a, b] → R sono due funzioni continue.

Diciamo che Ω `e un insieme x-semplice (o orizzontalmente convesso) se `e della forma

n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y) , dove γ, δ : [c, d] → R sono due funzioni continue.

Osserviamo che questi insiemi sono misurabili.

y

y d

Ω y = α(x) O

a

Ω

x = δ(y)

x = γ(y)

y = β(x)

c b

x

Figura 2.1: Insieme y-semplice.

O

x

Figura 2.2: Insieme x-semplice.

Ci sono insiemi del piano che sono sia x-semplici che y sempici. Ad esempio un quadrato, un rettangolo, o un trapezio con le basi parallele ad uno dei due assi cartesiani o anche pi` u semplicemente un triangolo.

18

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

y

Graficamente si osserva che Ω `e y-semplice

y = β(x)

se per ogni x0 sull’asse delle ascisse compreso nell’intervallo ottenuto proiettando Ω sulΩ

l’asse x, si ha che l’intersezione fra Ω e la retta verticale x = x0 `e un segmento. Poich´e un

y = α(x)

segmento `e un insieme convesso, `e giustificaO

ta la denominazione verticalmente convesso

x0

a

b

x

per Ω. Figura 2.3: Insieme y-semplice. y d

Similmente, graficamente si osserva che Ω `e x-semplice se per ogni y0 sull’asse delle or-

x = γ(y)

dinate compreso nell’intervallo ottenuto proiettando Ω sull’asse y, si ha che l’intersezione

Ω

x = δ(y)

y0

fra Ω e la retta orizzontale y = y0 `e un segmento. Poich´e un segmento `e un insieme

c

convesso, `e giustificata la denominazione

O

x

orizzontalmente convesso per Ω. Figura 2.4: Insieme x-semplice.

(1.10) Teorema (di integrazione su insiemi x-semplici o y-semplici) Siano Ω ⊆ R2 l’insieme y-semplice n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x) , dove α, β : [a, b] → R sono funzioni continue, e f : Ω → R una funzione continua4 . Allora si ha che Z

f (x, y) dx dy =

Ω

Z

b

a

"Z

β(x)

#

f (x, y) dy dx.

α(x)

Se Ω ⊆ R2 `e l’insieme x-semplice n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y) , dove γ, δ : [c, d] → R sono funzioni continue, e f : Ω → R `e una funzione continua3 , allora si ha che Z

Ω

f (x, y) dx dy =

Z

c

d

"Z

δ(y)

γ(y)

#

f (x, y) dx dy.

19

1.1 Calcolo degli integrali doppi

Il teorema precedente, noto anche come teorema di riduzione per gli integrali doppi, stabilisce che l’integrale doppio di una funzione reale continua e limitata di due variabili si pu` o determinare calcolando in cascata due integrali definiti in una variabile. Osserviamo che nella formula relativa agli insiemi y-semplici Z

Z

f (x, y) dx dy =

Ω

prima si calcola

Z

b

a

"Z

#

β(x)

f (x, y) dy dx,

α(x)

β(x)

f (x, y) dy che `e un integrale definito di una funzione nella sola

α(x)

variabile y (x va considerata come un parametro) fra gli estremi α(x) e β(x). Questo integrale produce una funzione F (x) della sola variabile x che va poi integrata fra a e b. In modo del tutto analogo, ma a variabili scambiate, si procede nel caso della formula relativa agli insiemi x-semplici. (1.11) Osservazione Siano Ω ⊆ R2 un rettangolo con lati paralleli agli assi x e

y, cio`e Ω `e della forma Ω = [a, b] × [c, d], e f : Ω → R una funzione della forma f (x, y) = f1 (x)f2 (y), con f1 : [a, b] → R e f2 : [c, d] → R continue4 . Allora si ha che Z

Z

f (x, y) dx dy =

Ω

b a

f1 (x) dx

! Z

c

!

d

f2 (y) dy .

Dimostrazione. Per esercizio.

(1.12) Esempio Calcoliamo l’integrale

Z

(x + y) dx dy, dove

Ω

Ω=

(

) √ q 2 2 (x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ , y ≤x≤ 1−y . 2 2

L’insieme Ω `e x-semplice. Quindi si ha che √ Z Z 2 "Z √ 2

(x + y) dx dy =

0

Ω

=

Z

√

2 2

0

= 3 4

Z

√



2 2

0

1 2 x + xy 2 



√

1−y 2

dy = q

Z

1 − 2y 2 + y 1 − y 2 2



(x + y) dx dy =

y

√ 2 2

0

y

#

1−y 2

  1

dy =



q  3 1 − y 2 + y 1 − y 2 − y 2 dy = 2 2 

1

1 2 y − y3 − 1 − y2 2 3 3

Per il Teorema di Weierstrass risulta che Ω `e compatto e che f `e limitata. Per il Teorema di Weierstrass sono anche limitate.

3  2

√ 2 2

= 0

1 . 3

20

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

y √

2 2

x

=

y

x=

p

1 − y2

Ω √

O

2 2

1

x

Figura 2.5: L’insieme Ω.

Osserviamo che Ω `e anche y-semplice. Infatti, n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, α(x) ≤ y ≤ β(x) ,  x

dove α(x) = 0 e β(x) =

se 0 ≤ x <

√

√

√

2 2

. Poich´e β `e definita a tratti, per

2 2

x2

1− se ≤ x ≤ 1. calcolare l’integrale su Ω considerato come insieme y-semplice, conviene osservare che Ω = Ω1 ∪ Ω2 , come in Fig. 2.6 e usare la propriet` a b) della Proposizione (1.7), in modo che Z

(x + y) dx dy = Ω

Z

(x + y) dx dy +

Ω1

Z

(x + y) dx dy.

Ω2

Lo svolgimento viene lasciato per esercizio. y √

2 2

√ 1 − x2

y

=

x

y= Ω1

O

Ω2

√

2 2

1

x

Figura 2.6: L’insieme Ω = Ω1 ∪ Ω2 .

21

1.1 Calcolo degli integrali doppi

(1.13) Teorema Siano

Ω, Ω′

(del cambiamento di variabile negli integrali doppi)

2

⊆ R aperti limitati non vuoti, f : Ω → R una funzione continua e

limitata e Φ : Ω′ → Ω una funzione tale che: i) Φ `e biiettiva;

ii) Φ `e di classe C 1 con det JΦ (u, v) 6= 0 per ogni (u, v) ∈ Ω′ . Allora Formula del Z

f (x, y) dx dy =

Ω

Z

Ω′

f (Φ(u, v))| det JΦ (u, v)| du dv.

cambiamento di variabile negli integrali doppi

(1.14) Osservazione La funzione Φ `e quella che produce il cambiamento di variabili, da (u, v) a (x, y) che, essendo in dimensione maggiore di uno, `e anche detta del cambiamento di coordinate. ` evidente la somiglianza fra questa formula e l’analoga nel caso unidimensionale E Z

b

f (x) dx =

a

Z

β

f (ϕ(t)) ϕ′ (t) dt,

(a = ϕ(α), b = ϕ(β)).

α

In questo caso si pone formalmente x = ϕ(t), e nell’integrale di sinistra si sostituisce x con ϕ(t), il differenziale dx con ϕ′ (t) dt e gli estremi a e b rispettivamente con α e β tali che a = ϕ(α) e b = ϕ(β). Nel caso bidimensionale si procede in modo analogo. Formalmente si pone (x, y) = Φ(u, v) e nell’integrale di sinistra si sostituisce (x, y) con Φ(u, v). A questo punto vanno sostituiti gli “estremi di integrazione”, che in questo caso `e il dominio, da Ω a Ω′ tale che Φ(Ω′ ) = Ω e il “differenziale”, da dx dy a | det JΦ (u, v)| du dv. La differenza sostanziale non sta tanto nella presenza del determinante della matrice Jacobiana di Φ quanto nella ` bene non scordarlo per non commettere errori. presenza del modulo dello stesso. E Si fa comunque notare che questa formula `e esattamente l’estensione in due variabili di quella unidimensionale. Infatti, ricordando che nel caso unidimensionale gli intervalli sono orientati, se Ω′ = [α, β] e Ω = ϕ(Ω′ ) = [ϕ(α), ϕ(β)], allora ϕ `e crescente. Essendo derivabile su un intervallo, ϕ′ ≥ 0 da cui segue che | det Jϕ (t)| = |ϕ′ (t)| = ϕ′ (t). Quindi

22

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

posto x = ϕ(t) si ha che Z

Z

f (x) dx = Ω

=

Z

[α,β]

f (x) dx = [ϕ(α),ϕ(β)]

f (ϕ(t))| det Jϕ (t)| dt =

Z

β

Z

ϕ(β)

f (x) dx = ϕ(α)

f (ϕ(t)) ϕ′ (t) dt.

α

Se invece Ω′ = [α, β] e Ω = ϕ(Ω′ ) = [ϕ(β), ϕ(α)], allora ϕ `e decrescente. Essendo derivabile su un intervallo, ϕ′ ≤ 0 da cui segue che | det Jϕ (t)| = |ϕ′ (t)| = −ϕ′ (t). Quindi posto x = ϕ(t) si ha che Z

f (x) dx =

Ω

=−

Z

f (x) dx =

[ϕ(β),ϕ(α)]

ϕ(β)

ϕ(α)

Z

f (x) dx = −

Z

[α,β]

Z

ϕ(α)

f (x) dx =

ϕ(β)

f (ϕ(t))| det Jϕ (t)| dt =

Z

β

f (ϕ(t)) ϕ′ (t) dt.

α

(1.15) Osservazione Nel caso unidimensionale il cambiamento di variabile `e utile molto spesso per “semplificare ” la funzione integranda al fine di permettere la determinazione di una primitiva in modo pi` u agevole. In pi` u variabili, invece, il cambiamento di variabile negli integrali multipli `e utile molto spesso non tanto per modificare la funzione quanto per modificare e quindi semplificare il dominio di integrazione. Evidentemente, come sottolineato nell’Osservazione (1.11), il caso pi` u semplice nel piano `e quello del rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani. (1.16) Osservazione La formula del cambiamento di variabile continua a valere anche se Φ non `e biiettiva, oppure se det JΦ = 0, su un sottoinsieme di misura nulla di Ω′ . Infatti, come sottolineato nell’Osservazione (1.8), gli insiemi di misura nulla non danno alcun contributo nell’integrale. Cambiamenti di coordinate notevoli nel piano 1) Coordinate polari. Sia (x0 , y0 ) ∈ R2 . La funzione che esprime le coordinate

polari centrate in (x0 , y0 ) dei punti del piano `e Φ : [0, +∞) × [0, 2π] → R2 definita

da Φ(ρ, ϑ) = (x0 + ρ cos ϑ, y0 + ρ sin ϑ). In particolare se (x0 , y0 ) = (0, 0) si ha Φ(ρ, ϑ) = (ρ cos ϑ, ρ sin ϑ).

23

1.1 Calcolo degli integrali doppi

y P (xP , yP ) yP

b b

ρ

ϑ b b

xP

x

cos ϑ

−ρ sin ϑ

sin ϑ

ρ cos ϑ

!

O

In ogni caso la matrice Jacobiana di Φ `e JΦ (ρ, ϑ) =

.

Quindi il modulo del determinante della matrice Jacobiana di Φ `e



| det JΦ (ρ, ϑ)| = ρ cos2 ϑ + ρ sin2 ϑ = ρ.

Osserviamo che per ρ = 0 la funzione Φ non `e iniettiva, e quindi biiettiva, e inoltre che det JΦ (ρ, ϑ) = 0. Poich´e {0} × [0, 2π] `e un insieme trascurabile in R2 (`e un segmento), per l’Osservazione (1.16) possiamo comunque utilizzare questo cambiamento di variabile nel calcolo di un integrale doppio. Inoltre Φ(ρ, 0) = Φ(ρ, 2π) per ogni ρ ≥ 0. Poich´e anche l’insieme [0, +∞) × {2π} ´e trascurabile

in R2 (`e una semiretta), anche questo fatto non influisce sull’utilizzo di questo

cambiamento di variabile nel calcolo di un integrale doppio. Questo cambiamento di variabile viene usato per integrare su insiemi che presentano una simmetria radiale rispetto ad un punto. Per esempio se Ω `e il cerchio di centro l’origine e raggio R > 0 n

o

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < R2 , allora passando in coordinate polari nel piano centrate nell’origine, si ha che Φ:

(

x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ,

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π,

|det JΦ (ρ, ϑ)| = ρ.

Allora (x, y) ∈ Ω ⇐⇒ x2 + y 2 < R2 ⇐⇒ ρ2 < R2 ⇐⇒ 0 ≤ ρ < R, Quindi Ω = Φ(Ω′ ), dove n

Ω′ = (ρ, ϑ) ∈ R2 : 0 ≤ ρ < R, 0 ≤ ϑ ≤ 2π

o

0 ≤ ϑ ≤ 2π.

24

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

y

ϑ 2π

R

Ω O

R

Ω′

x

b

O

R

ρ

che `e un rettangolo con lati paralleli agli assi coordinati. Anche l’insieme Ω dell’Esempio (1.12) presenta una simmetria radiale. Infatti, `e un settore circolare del cerchio di centro l’origine e raggio 1. Per esercizio “trasformarlo” in coordinate polari. 2) Coordinate ellittiche. Siano a, b > 0 e (x0 , y0 ) ∈ R2 . La funzione che esprime le coordinate ellittiche centrate in (x0 , y0 ), associate ad a e b, dei punti del piano `e Φ : [0, +∞) × [0, 2π] → R2 definita da Φ(ρ, ϑ) = (x0 + aρ cos ϑ, y0 + bρ sin ϑ). In particolare se (x0 , y0 ) = (0, 0) si ha Φ(ρ, ϑ) = (aρ cos ϑ, bρ sin ϑ). In ogni caso la matrice Jacobiana di Φ `e JΦ (ρ, ϑ) =

a cos ϑ

−aρ sin ϑ

b sin ϑ

bρ cos ϑ

!

.

Quindi il modulo del determinante della matrice Jacobiana di Φ `e



| det JΦ (ρ, ϑ)| = abρ cos2 ϑ + abρ sin2 ϑ = abρ.

Come nel caso precedente, osserviamo che per ρ = 0 la funzione Φ non `e iniettiva, e quindi biiettiva, e inoltre che det JΦ (ρ, ϑ) = 0. Poich´e {0} × [0, 2π] `e un insieme

trascurabile in R2 , per l’Osservazione (1.16) possiamo comunque utilizzare questo cambiamento di variabile nel calcolo di un integrale doppio. Inoltre Φ(ρ, 0) = Φ(ρ, 2π) per ogni ρ ≥ 0. Poich´e anche l’insieme [0, +∞) × {2π} ´e trascurabile in

R2 , anche questo fatto non influisce sull’utilizzo di questo cambiamento di variabile nel calcolo di un integrale doppio.

25

1.1 Calcolo degli integrali doppi

Questo cambiamento di variabile viene usato per integrare su un ellisse. Per esempio se Ω `e l’ellisse di centro l’origine e semiassi a e b (

Ω=

)

x2 y 2 (x, y) ∈ R : 2 + 2 < 1 , a b 2

allora passando in coordinate ellittiche nel piano centrate nell’origine, si ha che Φ:

(

x = aρ cos ϑ

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π,

y = bρ sin ϑ,

|det JΦ (ρ, ϑ)| = abρ.

Allora x2 y 2 + 2 < 1 ⇐⇒ ρ2 < 1 ⇐⇒ 0 ≤ ρ < 1, a2 b

(x, y) ∈ Ω ⇐⇒

0 ≤ ϑ ≤ 2π.

Quindi Ω = Φ(Ω′ ), dove n

Ω′ = (ρ, ϑ) ∈ R2 : 0 ≤ ρ < 1, 0 ≤ ϑ ≤ 2π

o

che `e un rettangolo con lati paralleli agli assi coordinati. y 2

x a2

+

2

y b2

=1

ϑ 2π

b

Ω O

a

x

Ω′

b

O

(1.17) Esempio Calcoliamo l’integrale

Z

Ω

n

x2

1

ρ

xy dx dy, dove + y2 o

Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 4, x > 0, y > 0 . L’insieme Ω `e sia x-semplice che y-semplice.

Osserviamo che Ω presenta una

simmetria radiale. Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ:

(

x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ,

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π,

|det JΦ (ρ, ϑ)| = ρ.

26

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

y

ϑ

2 x2 + y 2 = 4 π 2

Ω

1

Ω′ x2 + y 2 = 1 1

O

2

x

1

O

2

Figura 2.8: L’insieme Ω′ .

Figura 2.7: L’insieme Ω. Allora (x, y) ∈ Ω

 1 < x2 + y 2 < 4   

⇐⇒

Quindi si ha che Ω =

  

x>0

⇐⇒

y>0

Φ(Ω′ ),

dove

 1 < ρ2 < 4   

⇐⇒

 cos ϑ > 0  

(

sin ϑ > 0



Ω′ = (ρ, ϑ) ∈ R2 : 1 < ρ < 2, 0 < ϑ <

10

posto t = α(τ ), da cui dt = α′ (τ ) dτ , ed essendo α(c) = a e α(d) = b perch´e α `e crescente, si ottiene =

Z

b

a

′

f (γ(t))kγ (t)k dt =

Z

γ

f.

68

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(2.5) Osservazione Per questo teorema se γ e η sono equivalenti, e quindi in base alla Proposizione (1.7) se hanno lo stesso sostegno e inducono su di esso il medesimo verso di percorrenza, allora l’integrale curvilineo non cambia. Questa propriet` a sussiste anche se γ e η sono tali che esiste α : [c, d] → [a, b] biiettiva e di classe C 1 con α′ (τ ) < 0 per ogni τ ∈ [c, d] tale che η = γ ◦ α. In tal caso per la Proposizione (1.8) γ e η hanno lo stesso sostegno ma inducono su di esso versi di percorrenza opposti. Infatti, si ha che Z

=

Z

d

f= η

Z

d

′

f (η(τ ))kη (τ )k dτ =

c

Z

d

f (γ(α(τ )))kγ ′ (α(τ ))α′ (τ )k dτ =

c

f (γ(α(τ )))kγ ′ (α(τ ))k |α′ (τ )| dτ

c

= x

−

Z

d

f (γ(α(τ )))kγ ′ (α(τ ))k α′ (τ ) dτ =

c



α′ (τ ) 0 per ogni τ ∈ (c, d) tale che η = γ ◦ α. Rispetto alla Definizione (1.6) di pag. 64 la funzione α del cambiamento di parametro non `e di classe C 1 su tutto l’intervallo [c, d]. Quindi pu` o non essere derivabile negli estremi. Si noti che nelle ipotesi indicate risulta comunque che α `e strettamente crescente su [c, d] e quindi `e invertibile. Inoltre per le propriet` a della funzione inversa, anche α−1 : [a, b] → [c, d] `e continua su [a, b] e derivabile su (a, b) con ∀t ∈ (a, b) :



α−1

′

(t) =

1 α′ (α−1 (t))

ed `e strettamente crescente su [a, b]. (1.2) Proposizione

Siano γ : [a, b] → Rn e η : [c, d] → Rn due curve

parametriche semplici, regolari ed equivalenti nel senso della Definizione (1.1). Allora γ e η hanno lo stesso sostegno e inducono su di esso lo stesso verso di percorrenza. Dimostrazione. Sia α : [c, d] → [a, b] biiettiva, continua su [c, d] e di classe C 1 su (c, d) con α′ (τ ) > 0 per ogni τ ∈ (c, d) tale che η = γ ◦ α. Quindi η([c, d]) = γ([a, b]) da cui 75

76

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

segue che γ e η hanno lo stesso sostegno. Dimostriamo che inducono su di esso lo stesso verso di percorrenza. Consideriamo t1 , t2 ∈ [a, b] con t1 < t2 . Allora il punto γ(t) percorre il sostegno di γ fra i punti γ(t1 ) e γ(t2 ) nel verso da γ(t1 ) a γ(t2 ). η(τ2 ) =γ(t2 ) b

b

η(τ1 )

im (η)=im (γ)

γ(t1 )

Poich´e α `e biiettiva esistono e sono unici τ1 , τ2 ∈ [c, d] tali che t1 = α(τ1 ) e t2 = α(τ2 ). Essendo α strettamente crescente su [c, d] si ha che α(τ1 ) = t1 < t2 = α(τ2 )

=⇒

τ1 < τ2 .

Ne segue che il punto η(τ ) percorre il sostegno di η fra i punti η(τ1 ) = γ(α(τ1 )) = γ(t1 ) e η(τ2 ) = γ(α(τ2 )) = γ(t2 ) nel verso da η(τ1 ) a η(τ2 ), come γ. Quindi γ e η inducono lo stesso verso di percorrenza sul loro comune sostegno.

(1.3) Proposizione

Siano γ : [a, b] → Rn e η : [c, d] → Rn due curve para-

metriche semplici e regolari e sia α : [c, d] → [a, b] biiettiva, continua su [c, d] e di classe C 1 su (c, d) con α′ (τ ) < 0 per ogni τ ∈ (c, d) tale che η = γ ◦ α. Allora γ e η hanno lo stesso sostegno e inducono su di esso versi di percorrenza opposti. ` analoga alla dimostrazione della proposizione precedente. Dimostrazione. E Osserviamo che in questa proposizione la funzione α ha tutte le propriet` a elencate nella Definizione (1.1) tranne che per il segno della sua derivata. (1.4) Definizione

Sia γ : [a, b] → Rn una curva parametrica regolare. Si chiama

ascissa curvilinea la funzione s : [a, b] → R definita da s(t) =

Z

t

a

kγ ′ (τ )k dτ.

77

Appendice C Ascissa curvilinea

(1.5) Osservazione Se γ : [a, b] → Rn `e una curva parametrica semplice e regolare, allora s(b) =

Z

b

a

kγ ′ (τ )k dτ = lγ `e la lunghezza della curva γ, che come abbiamo visto

non dipende dalla parametrizzazione (vedi Teorema (2.4) del Capitolo 3). Quindi in tal caso l’ascissa curvilinea `e una funzione s : [a, b] → [0, lγ ]. Inoltre, per ogni t ∈ [a, b] il numero reale s(t) `e la lunghezza del tratto del sostegno di γ compreso fra γ(a) e γ(t). (1.6) Proposizione

Sia γ : [a, b] → Rn una curva parametrica semplice e

regolare. Allora valgono i seguenti fatti: a) la funzione ascissa curvilinea s : [a, b] → [0, lγ ] `e di classe C 1 con s′ (t) = kγ ′ (t)k per ogni t ∈ [a, b]. Inoltre s `e invertibile; b) se α `e la funzione inversa di s, allora la curva parametrica η : [0, lγ ] → Rn definita da η = γ ◦ α `e equivalente a γ nel senso della Definizione (1.1) e per ogni τ ∈ (0, lγ ) si ha kη ′ (τ )k = 1. Dimostrazione. a) Poich´e γ ′ `e continua su [a, b], per il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che s `e derivabile su [a, b] con s′ (t) = kγ ′ (t)k per ogni t ∈ [a, b]. Inoltre essendo γ ′ continua su [a, b] con γ ′ (t) 6= 0 per ogni t ∈ (a, b), si ha che s `e di classe C 1 su [a, b] con s′ (t) = kγ ′ (t)k > 0 per ogni t ∈ (a, b). Ne segue che s `e strettamente crescente su [a, b] e quindi s : [a, b] → [0, lγ ] `e invertibile. b) La funzione α : [0, lγ ] → [a, b] `e continua in quanto inversa di una funzione continua su un intervallo. Poich´e s′ (t) = kγ ′ (t)k > 0 per ogni t ∈ (a, b), per il Teorema della derivata della funzione inversa, la funzione α `e derivabile su (0, lγ ) con ∀τ ∈ (0, lγ ) :

α′ (τ ) =

1 s′ (α(τ ))

=

1 kγ ′ (α(τ ))k

> 0.

In particolare α `e di classe C 1 su (0, lγ ). Ne segue che η e γ sono equivalenti, nel senso della Definizione (1.1). Infine per ogni τ ∈ (0, lγ ) si ha che kη ′ (τ )k = kγ ′ (α(τ ))α′ (τ )k = kγ ′ (α(τ ))k |α′ (τ )| =

kγ ′ (α(τ ))k = 1. kγ ′ (α(τ ))k

78

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Il prossimo risultato costituisce il viceversa delle Proposizioni (1.2) e (1.3). (1.7) Proposizione

Siano γ : [a, b] → Rn e η : [c, d] → Rn due curve semplici e

regolari aventi lo stesso sostegno. Allora esiste α : [c, d] → [a, b] biiettiva, continua su [c, d] e di classe C 1 su (c, d) tale che α′ (τ ) 6= 0 per ogni τ ∈ (c, d) tale che η = γ ◦ α. Pi` u precisamente, se γ e η inducono lo stesso verso di percorrenza, allora α′ (τ ) > 0 per ogni τ ∈ (c, d) (e quindi γ e η sono equivalenti nel senso della Definizione (1.1)), mentre se γ e η inducono versi di percorrenza opposti, allora α′ (τ ) < 0 per ogni τ ∈ (c, d). Dimostrazione. Poich´e γ e η sono semplici e hanno lo stesso sostegno, si ha che ∀t ∈ [a, b] ∃!τ ∈ [c, d] : γ(t) = η(τ ),

∀τ ∈ [c, d] ∃!t ∈ [a, b] : γ(t) = η(τ ).

Consideriamo le ascisse curvilinee associate alle curve γ e η, cio`e le funzioni s : [a, b] → R e σ : [c, d] → R definite da s(t) =

Z

t

kγ ′ (u)k du,

σ(τ ) =

a

Z

τ

kη ′ (v)k dv.

c

Poich´e le curve hanno lo stesso sostegno, in virt` u dell’Osservazione (1.5) si ha che s([a, b]) = σ([c, d]) e s(b) = σ(d) = lγ = lη . Inoltre per la proposizione precedente le funzioni ascissa curvilinea sono invertibili. Consideriamo inizialmente il caso in cui γ e η inducono lo stesso verso di percorrenza sul loro comune sostegno. In tal caso si ha che per ogni τ ∈ [c, d] esiste un unico t ∈ [a, b] tale che s(t) = σ(τ ), cio`e t = s−1 (σ(τ )).

γ(a) =η(c) γ(b) =η(d)

b

η(τ )

γ(t)

Figura C.1: Curve che inducono lo stesso verso di percorrenza sul sostegno. Osserviamo che γ(t) = η(τ ). Infatti, poich´e s(t) = σ(τ ), s(a) = σ(c) = 0 e s(b) = σ(d) = lγ = lη , si ha che il tratto di curva compreso fra η(c) e η(τ ) misura σ(τ ) − σ(c) =

79

Appendice C Ascissa curvilinea

s(t) − s(a) come quello compreso fra γ(t) e γ(a). Poich´e γ(a) = η(c), ne segue che γ(t) = η(τ ). Consideriamo la funzione α : [c, d] → [a, b] definita da α(τ ) = s−1 (σ(τ )). La funzione α `e biiettiva, continua su [c, d] e di classe C 1 su (c, d) con α′ (τ ) = (s−1 )′ (σ(τ )) σ ′ (τ ) =

∀τ ∈ (c, d) :

σ ′ (τ ) > 0. s′ (s−1 (σ(τ )))

Inoltre per ogni τ ∈ [c, d] 



(γ ◦ α)(τ ) = γ s−1 (σ(τ )) = γ(t) = η(τ ). Ne segue la tesi e in particolare γ e η sono equivalenti nel senso della Definizione (1.1). Consideriamo ora il caso in cui γ e η inducono versi di percorrenza opposti sul loro comune sostegno. In tal caso si ha che per ogni τ ∈ [c, d] esiste un unico t ∈ [a, b] tale che s(t) = σ(τ ), cio`e t = s−1 (σ(τ )). σ(τ ) z

}|

{

b

η(τ )

γ(a) =η(d)

γ(b) =η(c)

γ(t) b

|

{z

s(t)

}

Figura C.2: Curve che inducono versi di percorrenza opposti sul sostegno.


Osserviamo che γ s−1 (σ(d) − σ(τ )) = η(τ ). Infatti, essendo s(t) = σ(τ ) e s(b) = σ(d) = lγ = lη , si ha che il tratto di curva compreso fra η(τ ) e η(d) misura σ(d) − σ(τ ) = s(b) − s(t) come quello compreso fra γ(t) e γ(b). Quindi s−1 (σ(d) − σ(τ )) = s−1 (s(b) − s(t)) = s−1 (s(b) − σ(τ )). Ma s−1 (s(b) − σ(τ )) = u ∈ [a, b] tale che s(u) = s(b) − σ(τ ) = lγ − σ(τ ) = lη − σ(τ ). Come si evince da Fig. C.2 u `e il punto a cui corrisponde γ(u) = η(τ ). Quindi 







η(τ ) = γ s−1 (s(b) − σ(τ )) = γ s−1 (σ(d) − σ(τ )) .

80

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Consideriamo la funzione α : [c, d] → [a, b] definita da α(τ ) = s−1 (σ(d) − σ(τ )). La funzione α `e biiettiva, continua su [c, d] e di classe C 1 su (c, d) con ∀τ ∈ (c, d) :

α′ (τ ) = −(s−1 )′ (σ(d) − σ(τ ))σ ′ (τ ) = −

σ ′ (τ ) < 0. s′ (s−1 (σ(d) − σ(τ )))

Inoltre per ogni τ ∈ [c, d] 



(γ ◦ α)(τ ) = γ s−1 (σ(d) − σ(τ )) = η(τ ). Ne segue la tesi.

Capitolo 4

Integrali di superficie 1

Brevi richiami sulle superfici parametriche (1.1) Definizione

Sia A ⊆ R2 un aperto connesso per archi.

Si chiama

3

superficie parametrica una funzione continua σ : A → R . ` una superficie in R3 . Si chiama sostegno di σ l’immagine di σ, Σ = σ(A). E Σ = σ(A) = {σ(u, v) : (u, v) ∈ A}. Diciamo che σ ` e semplice se `e iniettiva. Diciamo che σ ` e regolare se `e di classe C 1 e se per ogni (u, v) ∈ A la matrice Jacobiana Jσ (u, v) di σ in (u, v) ha rango massimo, cio`e 2. Si chiama calotta regolare la restrizione di σ ad un qualunque compatto K contenuto in A, la cui frontiera sia il sostegno di una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti.

(1.2) Osservazione Ricordiamo che la matrice Jacobiana Jσ (u, v) di σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) in (u, v) `e

Jσ (u, v) =





∂σ1 ∂u (u, v)

 ∂σ ∂σ ∂σ 2 (u, v), (u, v) =   ∂u (u, v) ∂u ∂v ∂σ3 ∂u (u, v) 

 ∂σ1 ∂v (u, v)

∂σ2  ∂v (u, v)  . ∂σ3 ∂v (u, v)



Quindi se σ : A → R3 `e regolare, significa che per ogni (u, v) ∈ A i vettori

∂σ ∂v (u, v)

∂σ ∂u (u, v)

e

sono linearmente indipendenti. Fissato ad esempio (u0 , v0 ) ∈ A, se si considera-

no le funzioni γ(u) = σ(u, v0 ) e η(v) = σ(u0 , v), sono definite in un intervallo contenente rispettivamente u0 e v0 . Poich´e σ `e regolare, γ e η sono due curve parametriche regolari. 81

82

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

v

z σ(u0 , v0 )

γ

A




σ η

v0

Σ

y u0

O

u

x

Infatti, ∂σ (u, v0 ), ∂u

η 0 (v) =

∂σ (u0 , v0 ), ∂u

η 0 (v0 ) =

γ 0 (u) =

∂σ (u0 , v). ∂v

In particolare γ 0 (u0 ) =

∂σ (u0 , v0 ). ∂v

Poich´e questi due vettori sono linearmente indipendenti, essi individuano un piano in R3 passante per il punto σ(u0 , v0 ) e tangente alle curve γ e η. Questo piano `e detto piano tangente alla superficie parametrica σ in σ(u0 , v0 ). In virt` u di questa osservazione, possiamo dare la seguente (1.3) Definizione

Siano A ⊆ R2 un aperto connesso per archi, σ : A → R3 una

superficie semplice e regolare e (u, v) ∈ A. Si chiama vettore normale al piano tangente alla superficie in σ(u, v) il vettore (1.4) Il versore n = verso di N .

N (u, v) = N kN k

∂σ ∂σ (u, v) ∧ (u, v). ∂u ∂v

`e detto versore normale alla superficie avente lo stesso

(1.5) Osservazione Se σ : A → R3 `e una superficie parametrica semplice e regolare, allora in ogni punto σ(u, v) della superficie Σ = σ(A) `e definito il vettore normale N (u, v)

83

1 Brevi richiami sulle superfici parametriche

mediante la (1.4). Questo vettore individua uno dei due possibili versori normali alla superficie σ in questo punto. L’altro `e il suo opposto. Si dice che σ induce (o individua) su Σ un orientamento, detto anche verso di attraversamento. Evidentemente su Σ sono possibili solo due orientamenti, uno opposto all’altro.

(1.6) Definizione

Siano A, B ⊆ R2 due aperti connessi per archi, σ : A → R3 e

τ : B → R3 due superfici semplici e regolari.

Diciamo che σ e τ sono equivalenti se esiste una funzione α : B → A biiettiva e

di classe C 1 con det Jα (x, y) > 0 per ogni (x, y) ∈ B tale che τ = σ ◦ α.

(1.7) Proposizione

Siano A, B ⊆ R2 due aperti connessi per archi, σ : A → R3

e τ : B → R3 due superfici semplici, regolari ed equivalenti.

Allora σ e τ hanno lo stesso sostegno e inducono su di esso lo stesso orientamento.

Dimostrazione. Per esercizio.

(1.8) Proposizione

Siano σ, τ, α come nella Definizione (1.6) tranne che per il

segno di det Jα e supponiamo che det Jα (x, y) < 0 per ogni (x, y) ∈ B. Allora σ e τ hanno lo stesso sostegno ma inducono su di esso orientamenti opposti.

Dimostrazione. Per esercizio.

(1.9) Esempio Siano A = R × (0, 2π), ρ > 0 e σ : A → R3 la superficie parametrica definita da σ(u, v) = (ρ cos v, ρ sin v, u). Il sostegno di σ `e n

o

Σ = σ(A) = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = σ(u, v), (u, v) ∈ A = n

o

= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (ρ cos v, ρ sin v, u), u ∈ R, 0 < v < 2π .

84

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

In altri termini, posto σ(u, v) = (x, y, z), si hanno le equazioni parametriche della superficie Σ  x = ρ cos v   

y = ρ sin v

  

u ∈ R,

z = u,

0 < v < 2π.

Elevando al quadrato le prime due equazioni e sommando si ottiene x2 +y 2 = ρ2 , per ogni (x, y, z) ∈ R3 esclusi i punti (ρ, 0, z). Quindi Σ `e il cilindro retto con asse coincidente

con l’asse z di equazione x2 + y 2 = ρ2 privato di una generatrice, quella passante per il punto (ρ, 0, 0). In altri termini n

o

n

o

Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = ρ2 , z ∈ R \ (ρ, 0, z) ∈ R3 : z ∈ R . z

Σ y

x

Osserviamo che la superficie parametrica σ `e regolare. Infatti,

∀(u, v) ∈ A :

Jσ (u, v) =





0 −ρ sin v

 ∂σ ∂σ (u, v), (u, v) =  0 ∂u ∂v 1 

 

ρ cos v  . 0

Quindi rango Jσ (u, v) = 2. (1.10) Esempio Siano A = (0, π) × (0, 2π), ρ > 0 e σ : A → R3 la superficie parametrica definita da σ(u, v) = (ρ sin u cos v, ρ sin u sin v, ρ cos u). Il sostegno di σ `e n

o

Σ = σ(A) = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = σ(u, v), (u, v) ∈ A = n

o

= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (ρ sin u cos v, ρ sin u sin v, ρ cos u), 0 < u < π, 0 < v < 2π .

85

1 Brevi richiami sulle superfici parametriche

In altri termini, posto σ(u, v) = (x, y, z), si hanno le equazioni parametriche della superficie Σ

 x = ρ sin u cos v   

y = ρ sin u sin v

  

0 < u < π,

0 < v < 2π.

z = ρ cos u,

Elevando al quadrato le tre equazioni e sommando si ottiene x2 + y 2 + z 2 = ρ2 , per ogni (x, y, z) ∈ R3 esclusi i punti (x, 0, z) tali che x2 + z 2 = ρ2 con x > 0. Quindi Σ

`e la superficie sferica di equazione x2 + y 2 + z 2 = ρ2 privata della semicirconferenza di equazione x2 + z 2 = ρ2 con x > 0. In altri termini o

n

n

o

Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = ρ2 \ (x, 0, z) ∈ R3 : x2 + z 2 = ρ2 , x > 0 .

z

Σ y

x

Osserviamo che la superficie parametrica σ `e regolare. Infatti,

∀(u, v) ∈ A :

Jσ (u, v) =

Quindi rango Jσ (u, v) = 2.





ρ cos u cos v

 ∂σ ∂σ (u, v), (u, v) =   ρ cos u sin v ∂u ∂v −ρ sin u 

−ρ sin u sin v

 

ρ sin u cos v  . 0

(1.11) Esempio Siano A ⊆ R2 un aperto connesso per archi, f : A → R una funzione

di classe C 1 e σ : A → R3 la superficie parametrica definita da σ(x, y) = (x, y, f (x, y)). Il sostegno di σ `e il grafico della funzione f . Infatti, n

o

Σ = σ(A) = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = σ(x, y), (x, y) ∈ A = n

o

= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ A = Gf .

86

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

z

Σ = Gf

y A x Osserviamo che la superficie parametrica σ `e regolare. Infatti, 

Jσ (x, y) =

∀(x, y) ∈ A :

Quindi rango Jσ (x, y) = 2.

2

1

0

0

1

∂f ∂x (x, y)

∂f ∂y (x, y)



 ∂σ ∂σ (x, y), (x, y) =   ∂x ∂y 



 . 

Integrale superficiale (o di superficie) di una funzione reale (2.1) Definizione

Siano K ⊆ R2 un compatto la cui frontiera `e il sostegno di

una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti, σ : K → R3 una calotta regolare, Σ = σ(K) il sostegno di σ e f : Σ → R una funzione continua.

Si chiama integrale superficiale (o di superficie) di f su σ (o su Σ) il numero reale Z

f=

σ

Z

f (σ(u, v))kN (u, v)k du dv,

K

dove N (u, v) `e il vettore normale a Σ nel punto σ(u, v) definito da N (u, v) =

∂σ ∂σ (u, v) ∧ (u, v). ∂u ∂v

Talvolta l’integrale superficiale di f su σ `e denotato con uno dei seguenti simboli Z

Σ

Se f = 1, allora

Z

σ

f=

Z

Σ

f,

Z

σ

f dσ,

Z

f dσ.

Σ

f = AΣ area della superficie Σ.

87

2 Integrale di superficie di una funzione reale

(2.2) Osservazione Siano A ⊆ R2 un aperto connesso per archi, K ⊆ A compatto la cui frontiera sia il sostegno di una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti e g : A → R una funzione di classe C 1 . Allora valgono i seguenti fatti: i) se Σ `e la superficie definita da n

o

Σ = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, z = g(x, y) , allora Σ, che `e il grafico della funzione z = g(x, y) ristretta a K, si pu` o scrivere come Σ = σ(K), dove σ : K → R3 `e definita da σ(x, y) = (x, y, g(x, y)). In particolare Σ `e il sostegno della calotta regolare σ e in tal caso il vettore normale N (x, y) a Σ nel punto σ(x, y) `e

N (x, y) =

∂σ ∂σ (x, y) ∧ (x, y) ∂x ∂y

= x 

σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) i = 1

0

j

k

0 1



i

j

∂σ1 ∂x (x, y)

∂σ2 ∂x (x, y)

∂σ1 ∂y (x, y)

∂σ2 ∂y (x, y)

  ∂g = − ∂g (x, y), − ∂g (x, y), 1 ; (x, y) ∂x ∂x ∂y ∂g

k

∂σ3 ∂x (x, y) = ∂σ3 (x, y) ∂y

∂y (x, y)

ii) se Σ `e la superficie definita da n

o

Σ = (x, y, z) ∈ R3 : (x, z) ∈ K, y = g(x, z) , allora Σ, che `e il grafico della funzione y = g(x, z) ristretta a K, si pu` o scrivere come Σ = σ(K), dove σ : K → R3 `e definita da σ(x, z) = (x, g(x, z), z). In particolare Σ `e il sostegno della calotta regolare σ e in tal caso il vettore normale N (x, z) a Σ nel punto σ(x, z) `e

N (x, z) =

∂σ ∂σ (x, z) ∧ (x, z) ∂x ∂z

= x 

σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) i = 1

j ∂g ∂x (x, z) ∂g ∂z (x, z)

0

iii) se Σ `e la superficie definita da n

k



i

j

∂σ1 ∂x (x, z)

∂σ2 ∂x (x, z)

∂σ1 ∂z (x, z)

∂σ2 ∂z (x, z)

  ∂g ∂g 0 = (x, z), −1, (x, z) ; ∂x ∂z

1

o

Σ = (x, y, z) ∈ R3 : (y, z) ∈ K, x = g(y, z) ,

k

∂σ3 = (x, z) ∂x ∂σ3 (x, z) ∂z

88

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

allora Σ, che `e il grafico della funzione x = g(y, z) ristretta a K, si pu` o scrivere come Σ = σ(K), dove σ : K → R3 `e definita da σ(y, z) = (g(y, z), y, z). In particolare Σ `e il sostegno della calotta regolare σ e in tal caso il vettore normale N (y, z) a Σ nel punto σ(y, z) `e

N (y, z) =

∂σ ∂σ (y, z) ∧ (y, z) ∂y ∂z

= x 

σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) i ∂g = ∂y (y, z) ∂g (y, z)



j

k

0 = 1, − 1

0

∂z





1



i

j

k

∂σ1 ∂y (y, z)

∂σ2 ∂y (y, z)

∂σ1 ∂z (y, z)

∂σ2 ∂z (y, z)

∂σ3 = (y, z) ∂y ∂σ3 ∂z

(y, z)

∂g ∂g (y, z), − (y, z) . ∂y ∂z 

(2.3) Esempio Siano A ⊆ R2 un aperto connesso per archi, K ⊆ A un compatto la cui frontiera `e il sostegno di una curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti e f : A → R una funzione di classe C 1 . Calcoliamo l’area del grafico della funzione f ristretta a K, cio`e della superficie n

o

Σ = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, z = f (x, y) . Per quanto visto nell’osservazione precedente, Σ `e il sostegno della calotta regolare σ : K → R3 definita da σ(x, y) = (x, y, f (x, y)). Quindi l’area di Σ `e AΣ =

Z

Z

dσ =

σ

K

kN (x, y)k dx dy,

dove N (x, y) `e il vettore normale a Σ nel punto σ(x, y) definito da 

∂f ∂f (x, y), − (x, y), 1 . ∂x ∂y

1+



N (x, y) = − Essendo kN (x, y)k =

s



2

∂f (x, y) ∂x

+



2

∂f (x, y) ∂y

,

si ha che AΣ =

Z

K

kN (x, y)k dx dy =

Z

s

1+

K

Se per esempio consideriamo f (x, y) =

1 2



2

∂f (x, y) ∂x

+



2

∂f (x, y) ∂y

dx dy.

x2 + y 2 con x2 + y 2 < 8, allora


 1 2 Σ = Gf = (x, y, z) ∈ R : z = x + y 2 , x2 + y 2 < 8 . 2 

3



89

2 Integrale di superficie di una funzione reale

y √ 2 2

z

K √ 2 2 x

O

Σ y

x

Figura 4.1: L’insieme Σ.

Figura 4.2: L’insieme K.

` la parte del paraboloide circolare di equazione z = E

1 2

x2 + y 2 al di sotto del piano

z = 4.




Si ha che Σ = σ(K), dove σ : K → R3 `e definita da 

σ(x, y) = (x, y, f (x, y)) = x, y, n

o

 1 2 x + y2 , 2 

e K = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 8 . Quindi l’area di Σ `e AΣ = dove N (x, y) =

∂σ ∂x (x, y)

N (x, y) =

∧

∂σ ∂y (x, y).

Z

K

kN (x, y)k dx dy,

Si ha che

∂σ ∂σ ∂g ∂g (x, y) ∧ (x, y) = − (x, y), − (x, y), 1 = (−x, −y, 1), ∂x ∂y ∂x ∂y 

kN (x, y)k =



q

1 + x2 + y 2 .

Quindi AΣ =

Z

K

kN (x, y)k dx dy =

Z q

1 + x2 + y 2 dx dy.

K

Passiamo in coordinate polari nel piano xy. Poniamo quindi Φ:

(

x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ,

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π,

Allora (x, y) ∈ K Quindi si ha che K =

Φ(K 0 ),

dove

⇐⇒

(

|det JΦ (ρ, ϑ)| = ρ.

√ 0≤ρ 0 tale che Br (x) =

x = (x1 + h, x2 , . . . , xn )

n

{u ∈ R : ku − xk < r} ⊆ Ω. Sia 0 < h < r e

x x b

consideriamo la curva parametrica η : [a, b+h] →

b

γ

Ω definita da η(t) =

(

γ(t)

Ω x0

se a ≤ t ≤ b

b

(x1 + t − b, x2 , . . . , xn ) se b < t ≤ b + h.

Si ha che η `e semplice e regolare a tratti.

b

O

x0,1

Inoltre η(a) = γ(a) = x0 ,

η(b + h) = (x1 + h, x2 , . . . , xn ).

b

b

x1 x1 + h

R

120

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Consideriamo il rapporto incrementale di f in x nella direzione x1 . Si ha che f (x1 + h, x2 , . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ) 1 = h h 1 = h

Z

b

′

F (η(t)) · η (t) dt +

a

Z

Z

b+h

F · dP −

η

Z

F · dP

γ

′

F (η(t)) · η (t) dt −

b

Z

F · dP

γ

!



=

=

essendo η = γ su [a, b] Z

1 = h =

1 h

F · dP +

γ

Z

Z

b+h

F (x1 + t − b, x2 , . . . , xn ) · (1, 0, . . . , 0) dt −

b

b+h

b

f1 (x1 + t − b, x2 , . . . , xn ) dt τ dτ

1 h

= x 

Z

0

Z

F · dP

γ

!

=

h

f1 (x1 + τ, x2 , . . . , xn ) dτ.

= t−b = dt

fondamentale Essendo la funzione {τ → f1 (x1 + τ, x2 , .(. . , xn )} continua, per il Teorema ) Z h

del calcolo integrale la funzione integrale h →

0

f1 (x1 + τ, x2 , . . . , xn ) dτ

`e derivabile

in h con derivata uguale a f1 (x1 + h, x2 , . . . , xn ). Allora si ha che

lim

h→0+

f (x1 + h, x2 , . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ) = lim h h→0+

Z

h 0

f1 (x1 + τ, x2 , . . . , xn ) dτ h

=

per il Teorema di De l’Hˆ opital = lim+ f1 (x1 + h, x2 , . . . , xn ) = f1 (x). h→0

In modo del tutto analogo, se −r < h < 0 considerando la curva parametrica η : [a, b − h] → Ω definita da η(t) =

(

se a ≤ t ≤ b

γ(t)

(x1 + b − t, x2 , . . . , xn ) se b < t ≤ b − h,

si prova che lim−

h→0

f (x1 + h, x2 , . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f1 (x). h

∂f a di ∂x1 (x) = f1 (x). Per l’arbitrariet` ∂f x si ha che f `e derivabile in Ω nella direzione di x1 con ∂x (x) = f1 (x) per ogni x ∈ Ω. 1 ∂f Analogamente si procede per le altre derivate parziali di f ottenendo ∂x (x) = fj (x) per j

Quindi f `e derivabile in x nella direzione di x1 con

ogni x ∈ Ω e per ogni j = 1, . . . , n. Essendo fj continua per ogni j = 1, . . . , n, ne segue che tutte le derivate parziali di f sono continue. Quindi f `e differenziabile in Ω e ∀x ∈ Ω :

∇f (x) =





∂f ∂f (x), . . . , (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) = F (x). ∂x1 ∂xn

121

1 Campi conservativi e potenziali

Quindi f `e un potenziale di F su Ω, da cui la i).

(1.12) Osservazione a) Questo teorema `e utile per stabilire se un campo vettoriale F non `e conservativo. Infatti, `e sufficiente mostrare che non vale una delle due ipotesi ii) o iii), cio`e esibire un esempio di curve per cui non `e soddisfatta ii) oppure iii). Non `e invece operativo per provare la conservativit` a di un campo, se non da un punto di vista puramente teorico. Infatti, per stabilire che lo `e si deve provare che vale una delle due ipotesi ii) o iii) e per fare ci` o si devono fare infiniti controlli su tutte le curve aventi le caratteristiche indicate in ii) o iii). E questo non `e possibile. b) Nella dimostrazione dell’implicazione ii) =⇒ i) abbiamo esibito un potenziale f del campo F dicendo che f (x) =

Z

F · dP, γ

dove γ `e una qualunque curva parametrica semplice e regolare a tratti congiungente un prefissato punto del dominio di F con il generico punto x dello stesso dominio. Questo modo di esibire un potenziale `e anche quello che talvolta si usa nelle applicazioni per determinare esplicitamente un potenziale di un campo conservativo. Si tenga presente che, stante l’ipotesi ii), nelle applicazioni si scelgono opportune curve γ che permettono di semplificare i calcoli (si veda pag. 126).

(1.13) Teorema

(Condizione necessaria per i campi conservativi di

classe C 1 ) Siano Ω ⊆ Rn un aperto non vuoto e F : Ω → Rn un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , . . . , fn ). Se F `e conservativo, allora per ogni x ∈ Ω si ha che ∀i, j = 1, . . . , n :

Dimostrazione.

∂fi ∂fj (x) = (x). ∂xj ∂xi

` una conseguenza del Lemma di Schwarz sull’uguaglianza delle E

derivate seconde miste di una funzione di classe C 2 . Infatti, essendo F conservativo, esiste f : Ω → R differenziabile tale che ∇f (x) = F (x) per ogni x ∈ Ω. In particolare per ogni i = 1, . . . , n e per ogni x ∈ Ω si ha che

∂f ∂xi (x)

C 1 , anche le sue componenti fi lo sono. Ne segue che

= fi (x). Poich´e F `e di classe ∂f ∂xi

`e di classe C 1 e quindi il

122

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

potenziale f `e di classe C 2 . Per il Lemma di Schwarz si ha che per ogni x ∈ Ω e per ogni i, j = 1, . . . , n ∂ ∂f ∂2f ∂2f ∂ ∂f ∂fj ∂fi (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x). ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

Da questo teorema segue immediatamente che se NON vale l’ipotesi ∀x ∈ Ω,

∀i, j = 1, . . . , n :

∂fi ∂fj (x) = (x), ∂xj ∂xi

allora il campo NON `e conservativo.

(1.14) Definizione

Sia Ω ⊆ R2 un aperto connesso per archi.

Diciamo che Ω ` e semplicemente connesso se per ogni curva chiusa e semplice γ avente sostegno in Ω si ha che la parte di piano racchiusa dal sostegno di γ `e contenuta in Ω. Sia Ω ⊆ R3 un aperto connesso per archi. Diciamo che Ω ` e semplicemente connesso se per ogni curva chiusa, semplice e regolare a tratti γ avente sostegno in Ω esiste una calotta regolare σ il cui bordo sia il sostegno di γ e tale che il sostegno di σ sia contenuto in Ω.

(1.15) Osservazione La nozione di aperto semplicemente connesso si pu` o introdurre in generale, e in modo univoco comprendente anche i casi n = 2, 3, per ogni n ≥ 1. In questa sede si `e preferito, per motivi di semplicit` a espositiva, considerare, e in modo distinto, solo i casi n = 2 e n = 3.

(1.16) Esempio Il piano R2 e lo spazio R3 sono semplicemente connessi. Nel piano non sono semplicemente connessi gli aperti connessi per archi che hanno dei “buchi”. Ad esempio le corone circolari o anche i cerchi privati di uno o pi` u punti interni non sono semplicemente connessi.

123

1 Campi conservativi e potenziali

y

y

Ω Ω O

O

x

x

Figura 5.3: Insieme semplicemente connesso nel piano.

Figura 5.4: Insieme non semplicemente connesso nel piano.

Nello spazio, contrariamente a quanto accade nel piano, esistono aperti connessi per archi che hanno dei “buchi” che sono semplicemente connessi. Per esempio lo spazio R3 privato di un punto, o di una sfera piena, `e semplicemente connesso. L’insieme costituito dall’intercapedine fra due sfere concentriche di raggi diversi `e semplicemente connesso.

z

Infatti, se ad esempio Ω `e lo spazio

R3 privato di una sfera piena come

σ

Ω = R3 \ sfera

in Fig. 5.5, allora se si considera una qualunque curva chiusa, semplice e regolare a tratti γ avente sostegno in Ω, esiste una calotta re-

γ x

y

golare σ il cui bordo sia il sostegno di γ e tale che il sostegno di σ sia contenuto in Ω.

Figura 5.5: Insieme semplicemente connesso nello spazio.

Il toro, la cui forma ricorda quella di una ciambella con il buco, invece non `e semplicemente connesso. Lo spazio privato di una retta non `e semplicemente connesso.

124

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Infatti, se ad esempio Ω `e lo spazio

z

R3 privato di una retta come in

Ω = R3 \ retta

σ

Fig. 5.6, allora se si considera la curva chiusa, semplice e regolare a

γ

tratti γ il cui sostegno `e una circonferenza in Ω che “gira” attorno alla y

x

retta, si ha che ogni calotta regolare σ il cui bordo sia la circonferenza necessariamente intersecher` a la retta in qualche punto e quindi il

Figura 5.6: Insieme non semplicemente connesso nello spazio.

sostegno di σ non `e contenuto in Ω.

(1.17) Teorema

(Condizione sufficiente per i campi conservativi di

classe C 1 ) Siano Ω ⊆ Rn un aperto non vuoto e F : Ω → Rn un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , . . . , fn ). Se Ω `e semplicemente connesso e per ogni x ∈ Ω si ha che (1.18)

∂fi ∂fj (x) = (x), ∂xj ∂xi

∀i, j = 1, . . . , n :

allora F `e conservativo.

Dimostrazione. Per semplicit` a vediamo la dimostrazione solo nei casi n = 2 e n = 3. Per dimostrare che F `e conservativo, ricorriamo al Teorema di equivalenza (vedi Teorema (1.11)). Consideriamo una qualunque curva parametrica γ : [a, b] → Ω semplice, I regolare a tratti e chiusa e proviamo che

F · dP = 0.

γ

Se n = 2, allora per ipotesi si ha che ∀(x, y) ∈ Ω :

∂f2 ∂f1 (x, y) = (x, y). ∂x ∂y

Sia A l’aperto costituito dalla parte di piano racchiusa nel sostegno di γ avente per bordo proprio il sostegno di γ. Quindi ∂A = im (γ) e, essendo Ω semplicemente connesso, si ha che A = A ∪ ∂A ⊆ Ω. Se γ induce su ∂A un verso di percorrenza antiorario, allora per il Teorema di Green si ha che I

F · dP = γ

Z  A



∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) ∂x ∂y

dx dy = 0.

125

1 Campi conservativi e potenziali

Se γ induce su ∂A un verso di percorrenza orario, allora sempre per il Teorema di Green si ha che

I

F · dP = −

γ

Z  A



∂f2 ∂f1 (x, y) − (x, y) ∂x ∂y

dx dy = 0.

Per il Teorema di equivalenza F `e conservativo. Se n = 3, allora per ipotesi si ha che per ogni (x, y, z) ∈ Ω ∂f2 ∂f1 (x, y, z) = (x, y, z), ∂x ∂y

∂f1 ∂f3 (x, y, z) = (x, y, z), ∂z ∂x

∂f3 ∂f2 (x, y, z) = (x, y, z). ∂y ∂z

Quindi il rotore del campo F `e rotF =



∂f3 ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f1 − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y



= (0, 0, 0) = 0.

Poich´e Ω `e semplicemente connesso, esiste una calotta regolare σ : K → R3 tale che ∂σ = im (γ) e tale che il suo sostegno σ(K) ⊆ Ω. Se ∂σ `e orientato positivamente, allora per il Teorema di Stokes si ha che I

F · dP =

γ

Z

rotF · dσ = 0.

σ

Se ∂σ non `e orientato positivamente, allora sempre per il Teorema di Stokes si ha che I

γ

F · dP = −

Z

rotF · dσ = 0.

σ

Per il Teorema di equivalenza F `e conservativo.

(1.19) Osservazione Come osservato nella dimostrazione del teorema precedente, se ∂fi ∂fj = per ogni i, j = 1, 2, 3 equivale a rotF = 0, che viene n = 3 la condizione ∂xj ∂xi detta irrotazionalit` a di F . (1.20) Esempio Il Teorema precedente costituisce una condizione sufficiente affinch´e un campo vettoriale F = (f1 , . . . , fn ) di classe C 1 sia conservativo. Se l’ipotesi (1.18) non `e soddisfatta, allora non vale la condizione necessaria (vedi Teorema (1.13)) e quindi il campo F non `e conservativo. Se invece questa ipotesi `e soddisfatta ma il dominio Ω del campo F non `e semplicemente connesso, allora pu` o succedere qualunque cosa. Ad esempio, si considerino F, G : R2 \ {(0, 0)} → R2 definiti da 

F (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y)) = − G(x, y) = (g1 (x, y), g2 (x, y)) =





2y 2x , 2 , 2 2 x + y x + y2 

2x 2y , 2 . 2 2 x + y x + y2

126

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Si osserva che F e G verificano la condizione necessaria. Infatti, ∂f2 2(y 2 − x2 ) ∂f1 (x, y) = 2 = (x, y), 2 2 ∂x (x + y ) ∂y

∂g2 4xy ∂g1 (x, y) = − 2 = (x, y). 2 2 ∂x (x + y ) ∂y

Il dominio di F e G `e Ω = R2 \ {(0, 0)} che non `e semplicemente connesso. Si osserva che F non `e conservativo, mentre G lo `e. Infatti, se consideriamo l’integrale di F lungo la curva chiusa, semplice e regolare γ : [0, 2π] → Ω, γ(t) = (cos t, sin t), si ha che Z

γ

F · dP =

Z

2π ′

F (γ(t)) · γ (t) dt =

0

Z

2π

(−2 sin t, 2 cos t) · (− sin t, cos t) dt =

0

=2

Z

2π

0





sin2 t + cos2 t dt = 2

Z

2π

dt = 4π 6= 0.

0

Quindi F non `e conservativo. Invece G lo `e, poich´e la funzione g : Ω → R definita da


g(x, y) = log x2 + y 2 `e un potenziale di G, essendo di classe C ∞ su Ω e ∀(x, y) ∈ Ω :

1.1

∇g(x, y) =



2x 2y , 2 2 2 x + y x + y2



= G(x, y).

Ricerca dei potenziali di un campo vettoriale conservativo

Presentiamo due metodi per la determinazione dei potenziali di un campo vettoriale conservativo. Per semplicit` a espositiva limitiamo la nostra attenzione al caso n = 2, anche se i metodi valgono in generale per n ≥ 2. Metodo dell’integrazione lungo una curva Questo metodo `e quello che `e stato utilizzato nella dimostrazione del Teorema di equivalenza (vedi Teorema (1.11)) quando si `e provata l’implicazione ii) =⇒ i). Siano Ω ⊆ R2 un aperto connesso per archi, F : Ω → R2 un campo vettoriale continuo e conservativo, F = (f1 , f2 ) e (x0 , y0 ) ∈ Ω. Consideriamo un qualunque punto (x, y) ∈ Ω e una curva γ : [a, b] → Ω semplice e regolare a tratti tale che γ(a) = (x0 , y0 ) e γ(b) = (x, y). La curva γ `e una curva parametrica il cui sostegno congiunge i punti (x0 , y0 ) e (x, y) rimanendo all’interno di Ω. Allora un potenziale di F su Ω `e f : Ω → R definito da f (x, y) =

Z

F · dP. γ

Poich´e F `e conservativo, per il Teorema di equivalenza (vedi Teorema (1.11)) la funzione f `e ben definita, cio`e non dipende dalla curva γ. Si pu` o quindi scegliere una curva γ utile a semplificare i calcoli di questo integrale di linea.

127

1.1 Ricerca dei potenziali di un campo vettoriale conservativo

x2

Poich´e Ω `e aperto e (x0 , y0 ) ∈ Ω, esiste una palla (nel piano un cerchio) di centro (x0 , y0 )

y b

tutta contenuta in Ω. Ogni punto (x, y) di

γ2 Ω

γ

questa palla `e collegabile a (x0 , y0 ) con una

y0 b

linea che `e l’unione di due segmenti adiacenti

γ1

(al pi` u uno `e degenere, cio`e ridotto ad un solo punto) ciascuno dei quali `e parallelo ad

O

x0

x

x1

uno degli assi cartesiani. Figura 5.7: Curva parametrica che collega (x0 , y0 ) a (x, y). Consideriamo la situazione rappresentata nella Figura 5.7. Il sostegno di γ `e l’unione dei sostegni delle curve γ1 : [0, 1] → R2 e γ2 : [0, 1] → R2 definite da γ1 (t) = (x0 + t(x − x0 ), y0 ),

γ2 (t) = (x, y0 + t(y − y0 )).

Allora un potenziale f di F su Ω `e f (x, y) =

Z

F ·dP =

γ

Z

F ·dP +

γ1

Z

F ·dP = γ2

Z

1

F (γ1 (t))·γ1′ (t) dt+

0

Z

0

1

F (γ2 (t))·γ2′ (t) dt =

essendo per ogni t ∈ [0, 1] γ1′ (t) = (1, 0),

F (γ1 (t)) · γ1′ (t) = F (x0 + t(x − x0 ), y0 ) · (1, 0) = f1 (x0 + t(x − x0 ), y0 ),

e γ2′ (t) = (0, 1),

F (γ2 (t)) · γ2′ (t) = F (x, y0 + t(y − y0 )) · (0, 1) = f2 (x, y0 + t(y − y0 )),

si ottiene =

Z

1

f1 (x0 + t(x − x0 ), y0 ) dt +

0

Z

1

f2 (x, y0 + t(y − y0 )) dt =

0

operando i cambiamenti di variabile s = x0 +t(x−x0 ) e s = y0 +t(y −y0 ) rispettivamente nel primo e nel secondo integrale, si ottiene =

Z

x

x0

f1 (s, y0 ) ds +

Z

y

y0

f2 (x, s) ds.

128

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

x2

Se invece si considera quest’altra situazione

y b

γ

rappresentata nella Figura 5.8, allora in modo del tutto analogo al precedente si ha che

Ω y0 b

un potenziale f di F su Ω `e f (x, y) =

Z

x

x0

f1 (s, y) ds +

Z

y

f2 (x0 , s) ds.

y0

O

x0

x

x1

Figura 5.8: Altra curva parametrica che collega (x0 , y0 ) a (x, y).

Metodo delle integrazioni indefinite Siano Ω ⊆ R2 un aperto non vuoto e F : Ω → R2 un campo vettoriale continuo e conservativo, F = (f1 , f2 ). Se la funzione f : Ω → R `e un potenziale di F su Ω, allora deve soddisfare le seguenti uguaglianze: (1.21)

∂f (x, y) = f1 (x, y), ∂x

∀(x, y) ∈ Ω;

∂f (x, y) = f2 (x, y), ∀(x, y) ∈ Ω. ∂y Essendo F continuo, anche le sue componenti f1 e f2 sono continue. Se in (1.21)

(1.22)

consideriamo y come parametro, risulta che f `e una primitiva di f1 rispetto alla variabile x. Quindi se F1 `e una primitiva di f1 considerata come funzione solo di x, allora esiste una funzione k dipendente solo da y, e quindi costante rispetto a x, tale che (1.23)

f (x, y) = F1 (x, y) + k(y).

Imponendo che f soddisfi (1.22) si ottiene ∂F1 (x, y) + k′ (y) = f2 (x, y) ∂y

=⇒

k′ (y) = f2 (x, y) −

∂F1 (x, y). ∂y

1 Se F2 `e una primitiva di f2 − ∂F ∂y considerata ora come funzione solo di y (l’altra variabile

x `e considerata come un parametro), si ha che esiste c ∈ R tale che k(y) = F2 (x, y) + c.

129

1.1 Ricerca dei potenziali di un campo vettoriale conservativo

Sostituendo in (1.23) si ottiene che un potenziale di F su Ω `e f (x, y) = F1 (x, y) + F2 (x, y) + c. Operativamente, si pu` o procedere il modo pi` u formale nel seguente modo: 1) si integra (1.21) rispetto a x ottenendo (1.24)

f (x, y) =

Z

f1 (x, y) dx = F1 (x, y) + k(y),

dove F1 `e una primitiva di f1 rispetto a x e k `e una qualunque funzione della sola variabile y; 2) si deriva il potenziale cos`ı ottenuto rispetto a y si ottiene ∂ ∂F1 ∂f (x, y) = (F1 (x, y) + k(y)) = (x, y) + k′ (y); ∂y ∂y ∂y 3) si impone che sia soddisfatta (1.22) e si ottiene ∂F1 (x, y) + k′ (y) = f2 (x, y) ∂y

=⇒

k′ (y) = f2 (x, y) −

∂F1 (x, y), ∂y

da cui integrando rispetto a y si ottiene k(y) =

Z 



∂F1 f2 (x, y) − (x, y) dy = F2 (x, y) + c, ∂y

dove F2 `e una primitiva di f2 −

∂F1 ∂y

rispetto a y e c ∈ R `e qualunque;

4) si sostituisce in (1.24) e si ottiene c ∈ R.

f (x, y) = F1 (x, y) + F2 (x, y) + c, Questa espressione fornisce tutti i potenziali di F su Ω.

Evidentemente si pu` o procedere anche integrando prima (1.22) rispetto a y e poi imponendo che sia soddisfatta (1.21).

Si ha che F `e di classe C ∞





2xy 1 ,− . 2 2 (1 + x ) 1 + x2 su dom (F ) = R2 che `e semplicemente connesso. Posto

(1.25) Esempio Consideriamo il campo vettoriale F (x, y) =

F = (f1 , f2 ) con f1 (x, y) =

2xy , (1 + x2 )2

f2 (x, y) = −

1 , 1 + x2

si ha che ∂f1 ∂f2 2x (x, y) = (x, y) = . ∂y ∂x (1 + x2 )2

130

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Per il Teorema (1.17) F `e conservativo. Determiniamo ora un potenziale di F . Operando con il metodo di integrazione lungo una curva, si ha che se (x0 , y0 ) = (0, 0) e se (x, y) `e un generico punto di R2 , allora un potenziale f di F `e dato da f (x, y) =

Z

x

f1 (s, 0) ds +

0

Z

y

f2 (x, s) ds =

0

Z

x

0 ds +

0

Z

y

0



1 − 1 + x2



ds = −

y . 1 + x2

Operando con il metodo delle integrazione indefinite, osserviamo che se f `e un potenziale di F , allora si ha che (1.26)

∂f 2xy (x, y) = f1 (x, y) = , ∂x (1 + x2 )2

(1.27)

1 ∂f (x, y) = f2 (x, y) = − . ∂y 1 + x2

Integrando (1.27) rispetto a y si ottiene (1.28)

f (x, y) = −

Z

1 y dy = − + c(x), 2 1+x 1 + x2

dove c `e una funzione della sola variabile x. Sostituendo in (1.26) si ottiene ∂f 2xy 2xy (x, y) = + c′ (x) = 2 2 ∂x (1 + x ) (1 + x2 )2

=⇒

c′ (x) = 0

=⇒

c(x) = c ∈ R.

Sostituendo in (1.28) si ottiene che un potenziale f di F `e f (x, y) = −

y + c, 1 + x2

c ∈ R.

(1.29) Esercizio Nell’Esempio (1.20) abbiamo visto che il campo vettoriale F (x, y) = 



2 2x − x22y e conservativo. Se invece consideriamo +y 2 , x2 +y 2 definito su Ω = R \{(0, 0)} non `

F definito ad esempio solo per ogni (x, y) con y > 0, allora `e conservativo? In caso affermativo, chi `e un suo potenziale? (1.30) Esercizio Dimostrare che se Ω ⊆ R3 `e un aperto connesso per archi, F : Ω → R3 `e un campo vettoriale continuo e conservativo, F = (f1 , f2 , f3 ) e (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω, allora un potenziale f : Ω → R di F `e dato da una delle seguenti formule, analoghe a quelle appena viste nel caso bidimensionale: f (x, y, z) =

Z

x

Z

x

f1 (s, y0 , z0 ) ds +

x0

f (x, y, z) =

x0

Z

y

Z

y

f2 (x, s, z0 ) ds +

y0

f1 (s, y0 , z0 ) ds +

y0

f2 (x, s, z) ds +

Z

Z

z

f3 (x, y, s) ds, z0 z

z0

f3 (x, y0 , s) ds,

131

1.1 Ricerca dei potenziali di un campo vettoriale conservativo

f (x, y, z) =

Z

x

f1 (s, y, z0 ) ds +

x0

f (x, y, z) =

Z

x

f1 (s, y, z) ds +

Z

Z

x

Z

f1 (s, y0 , z) ds +

y

f2 (x0 , s, z0 ) ds +

Z

f1 (s, y, z) ds +

Z

z

f3 (x, y, s) ds,

Z

z

f3 (x0 , y, s) ds,

z0

y

f2 (x, s, z) ds +

y

y0

Z

z0

y0

x

x0

f2 (x0 , s, z0 ) ds +

y0

x0

f (x, y, z) =

y

y0

x0

f (x, y, z) =

Z

f2 (x0 , s, z) ds +

Z

z

f3 (x0 , y0 , s) ds,

z0

Z

z

z0

f3 (x0 , y0 , s) ds.

132

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Capitolo 6

Serie numeriche 1

Nozioni preliminari

Introduciamo la nozione di serie numerica reale. Per le serie complesse si veda pag. 159. (1.1) Definizione

Sia (an ) una successione di numeri reali. Si chiama serie di

an la scrittura formale

∞ X

an

n=0

o pi` u semplicemente (dove non vi sia ambiguit` a) termine generale della serie.

P

an . Il numero reale an `e detto

Poniamo S0 = a0 , Sn =

n X

k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an ,

∀n ≥ 1.

Per ogni n, Sn `e detta somma parziale n-esima della serie di an . Osserviamo che per ogni n ≥ 1 si ha che Sn = Sn−1 + an . Diciamo che

∞ X

n=0

an converge (o che ` e convergente) se lim Sn = S ∈ R e in tal n

caso chiamiamo somma della serie di an il numero reale S e poniamo ∞ X

n=0

Diciamo che

∞ X

an = lim Sn = S. n

an diverge (o che ` e divergente) positivamente (risp.

n=0

negativamente) se lim Sn = +∞ (risp. −∞). Diciamo che

∞ X

n

an ` e indeterminata se non esiste lim Sn . n

n=0

133

134

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Diciamo che

∞ X

an converge assolutamente se converge la serie

n=0

∞ X

n=0

|an |.

Studiare il carattere di una serie significa stabilire se la serie converge, diverge, oppure `e indeterminata. (1.2) Osservazione Nella scrittura

∞ X

an il numero naturale n `e detto indice della

n=0

serie. Esso assume tutti i valori interi a partire da quello specificato nel simbolo (nell’esempio 0). L’indice `e muto e pu` o essere denominato a piacere senza che si modifichi la nozione in cui esso `e introdotto. Pertanto si ha che ∞ X

an =

n=0

∞ X

ak =

k=0

∞ X

ah .

h=0

(1.3) Esempio (Serie notevoli) 1) Serie geometrica Sia a ∈ R. La serie geometrica di ragione a ∞ X

n

a :

 converge a      

n=0

1 1−a

se |a| < 1

diverge positivamente

se a ≥ 1

`e indeterminata

se a ≤ −1,

con la convenzione che 00 = 1. Infatti, essendo 1−an+1 = (1−a)(1+a+a2 +· · ·+an ), si ha che Sn =

n X

k=0

ak = 1 + a + a2 + · · · + an =

 n+1 1−a 

1−a n+1

se a 6= 1, se a = 1.

Quindi se a = 1, allora lim Sn = lim(n + 1) = +∞ e la serie diverge positivamente. n

n

Se a 6= 1, allora  1    1−a

1 − an+1 lim Sn = lim = +∞ n n  1−a   

6∃

Ne segue che per |a| < 1 la serie converge a

se |a| < 1 se a > 1 se a ≤ −1.

1 1−a ,

positivamente e per a ≤ −1 la serie `e indeterminata.

per a > 1 la serie diverge

135

1 Nozioni preliminari

2) Serie armonica generalizzata Sia p ∈ R. La serie armonica (generalizzata se p 6= 1) ∞ X 1

n=1

np

(

:

converge

se p > 1

diverge positivamente

se p ≤ 1.

La dimostrazione segue dalle propriet` a delle serie che studieremo nella prossima sessione (vedi pag. 141 e 149). 3) Serie telescopiche Sia (an ) una successione di numeri reali. La serie ∞ X

n=0

(an+1 − an )

`e detta telescopica. In tal caso la somma parziale n-esima della serie `e Sn =

n X

k=0

(ak+1 − ak ) = (a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + · · · + (an − an−1 ) + (an+1 − an ) = = an+1 − a0 .

Pi` u in generale, se p ∈ N, p ≥ 1, nel caso della serie ∞ X

n=0

si ha che Sn =

(an+p − an )

n X

k=0

(ak+p − ak ) =

= (ap − a0 ) + (ap+1 − a1 ) + (ap+2 − a2 ) + · · · + (an+p−1 − an−1 ) + (an+p − an ) = = (an+1 + · · · + an+p ) − (a0 + · · · + ap−1 ) . Un esempio di serie telescopica `e la serie di Mengoli, cio`e la serie Questa serie converge a 1. Infatti, si ha che



= 1− Quindi

1 2



n X 1 1 1 Sn = = − k(k + 1) k=1 k k + 1 k=1

+



n X

1 1 − 2 3



+





1 1 − 3 4





+ ··· +



1 lim Sn = lim 1 − n n n+1 Ne segue che la serie di Mengoli converge a 1.



= 1.

1 . n(n + 1) n=1

=

1 1 − n n+1



∞ X



=1−

1 . n+1

136

2

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Criteri di convergenza

2.1

Criteri di convergenza per tutte le serie

(2.1) Proposizione

Il carattere di una serie non cambia se si aggiunge, oppure

si elimina, oppure si modifica un numero finito di termini. Dimostrazione. Sia

P

an una serie e sia

finito di termini della serie

P

P

bn la serie ottenuta modificando un numero

an (in modo analogo si procede se la serie di bn `e ottenuta

aggiungendo oppure eliminando un numero finito di termini della serie di an ). Dimostriamo che il carattere della serie di bn `e lo stesso di quello della serie di an . Sia p ∈ N tale che an = bn per ogni n ≥ p e siano Sn =

n X

ak ,

σn =

k=0

n X

bk

k=0

le somme parziali n-esime delle serie di an e bn rispettivamente. Allora per ogni n > p si ha che

n X

σn =

bk =

k=0

p X

bk +

n X

| {z }

essendo

ak =

k=p+1

n X

k=0

ak −

p X

σp +



k=p+1

k=0 σp

n X

= x

bk

n X

ak =

k=p+1

a k = bk se k > p

ak si ottiene

k=0

= σp +

n X

k=0

ak −

p X

k=0

ak = σp + Sn − Sp .

Ne segue che per ogni n > p risulta σn = σp + Sn − Sp . Se

P

an converge, allora lim Sn = S ∈ R. Ne segue che n

lim σn = lim(σp + Sn − Sp ) = σp + S − Sp ∈ R n

Se

P

=⇒

n

P

bn converge.

an diverge, allora lim Sn = +∞ (oppure −∞). Ne segue che n

lim σn = lim(σp + Sn − Sp ) = +∞ (oppure −∞) n

Se infine

P

n

=⇒

P

bn diverge.

an `e indeterminata, allora non esiste lim Sn . Ne segue che n

lim σn = lim(σp + Sn − Sp ) 6 ∃ n

n

=⇒

P

bn `e indeterminata.

137

2.1 Criteri di convergenza per tutte le serie

(2.2) Osservazione Come si evince anche dalla dimostrazione, se una serie converge, allora aggiungendo, oppure eliminando o modificando un numero finito di termini, la somma della serie potrebbe cambiare. In particolare, se la serie

∞ X

n=0

m ∈ N, m ≥ 1, si ha che ∞ X

∞ X

an =

n=m

n=0

an −

m−1 X n=0

an = S ∈ R, preso

an = S − (a0 + a1 + · · · + am−1 ).

Ad esempio, ∞ X 1

n=1

2n

(2.3) Proposizione

=

∞  n X 1

2

n=1

=

∞  n X 1

n=0

2

−

 0

1 2

∞ X

(Algebra delle serie) Siano

= 1.

an e

n=0

λ ∈ R. Allora valgono i seguenti fatti: a) se

∞ X

an e

n=0

∞ X

bn convergono, allora anche

n=0

(an + bn ) =

n=0

b) se

∞ X

an e

n=0

∞ X

n=0 ∞ X

(an + bn ) e

an +

∞ X

n=0

bn ,

∞ X

λan ,

n=0

λan = λ

n=0

∞ X

∞ X

an ;

n=0

bn divergono entrambe positivamente (risp. negativamente),

n=0 ∞ X

allora anche

bn due serie e

n=0

n=0

convergono e si ha che ∞ X

∞ X

∞ X

(an + bn ) diverge positivamente (risp. negativamente);

n=0

c) se

∞ X

an converge e

n=0

allora

∞ X

∞ X

bn diverge positivamente (risp.

negativamente),

n=0

(an + bn ) diverge positivamente (risp. negativamente).

n=0

` un’immediata conseguenza dell’algebra dei limiti. Dimostrazione. E

138

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(2.4) Teorema

∞ X

(Condizione necessaria) Se

an converge, allora

n=0

lim an = 0. n

Dimostrazione. Sia Sn la somma parziale n-esima della serie Sn−1 + an . Poich´e

P

P

an . Si ha che Sn =

an converge, allora lim Sn = S ∈ R. Essendo (Sn−1 ) una sottosucn

cessione di (Sn ), si ha anche lim Sn−1 = S. Ne segue che n

lim an = lim(Sn − Sn−1 ) = S − S = 0. n

n

(2.5) Osservazione Segue direttamente da questo teorema che lim an 6= 0

=⇒

n

P

an non converge.

Si osservi inoltre che il viceversa del teorema non `e vero, cio`e P

lim an = 0 =⇒ / n

an converge.

∞ X

Infatti, se si considera ad esempio la serie



log 1 +

n=1



lim log 1 + n

1 n





1 , si ha che n

=0

ma la serie diverge positivamente. Infatti, detta Sn la somma parziale n-esima della serie, si ha che n X



1 log 1 + Sn = k k=1



=

n X

[log (k + 1) − log k] =

k=1

= (log 2 − log 1) + (log 3 − log 2) + (log 4 − log 3) + · · · + (log (n + 1) − log n) = log (n + 1). Quindi lim Sn = lim log (n + 1) = +∞ n

n

=⇒

∞ X

n=1



log 1 +

1 n



diverge positivamente.

139

2.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

2.2

Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

(2.6) Teorema Allora

∞ X

Sia (an ) una successione tale che an ≥ 0 per ogni n ∈ N.

an converge o diverge positivamente a seconda che la successione delle

n=0

somme parziali della serie sia limitata o illimitata. Dimostrazione. Poich´e an ≥ 0 per ogni n, risulta che la successione (Sn ) delle somme parziali della serie

P

an `e crescente. Infatti, si ha che Sn+1 = Sn + an+1 ≥ Sn .

Quindi la successione (Sn ) ammette limite lim Sn = sup Sn . Ne segue che lim Sn `e finito n

n

se (Sn ) `e limitata, mentre `e +∞ se (Sn ) `e illimitata. Nel primo caso secondo diverge positivamente.

n

P

an converge, nel

(2.7) Osservazione In base a questo criterio, se la serie `e a termini positivi, allora o converge o diverge (positivamente) e quindi non pu` o essere indeterminata. Inoltre, combinando questo criterio con la condizione necessaria per la convergenza di una serie (vedi Teorema (2.4)) si ha che an ≥ 0 per ogni n e lim an 6= 0

=⇒

n

(2.8) Teorema

P

an diverge positivamente.

(Criterio del confronto) Siano (an ) e (bn ) due successioni

tali che 0 ≤ an ≤ bn per ogni n ∈ N. Valgono i seguenti fatti: i) se

∞ X

bn converge, allora anche

n=0

∞ X

∞ X

n=0

ii) se

∞ X

n=0

an converge e si ha che

n=0

an diverge, allora anche

an ≤

∞ X

∞ X

bn ;

n=0

bn diverge.

n=0

Dimostrazione. Siano (Sn ) e (σn ) le successioni delle somme parziali delle serie di an e bn rispettivamente. Poich´e an , bn ≥ 0, per il Teorema precedente le serie di an

140

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

e bn convergono o divergono positivamente. In ogni caso esistono i limiti lim Sn = S e n

lim σn = σ con S, σ ∈ [0, +∞]. Inoltre, poich´e an ≤ bn per ogni n, risulta che Sn ≤ σn n

per ogni n. Per il Primo teorema del confronto (sui limiti), si ha che S ≤ σ. Ne segue che i)

P

bn converge

Inoltre, ii)

P

S≤σ

an diverge

σ∈R

=⇒

∞ X

=⇒

n=0

=⇒

S∈R

=⇒ an ≤

S = +∞

∞ X

P

=⇒

bn .

an converge.

n=0

=⇒

σ = +∞

=⇒

P

bn diverge.

(2.9) Osservazione Il Criterio del confronto non esaurisce tutti i casi possibili. In particolare si ha che: a) se 0 ≤ an ≤ bn per ogni n ∈ N e nulla sulla convergenza di

P

an ;

P

bn .

b) se 0 ≤ an ≤ bn per ogni n ∈ N e nulla sulla convergenza di

P

P

bn diverge, allora NON possiamo concludere

an converge, allora NON possiamo concludere

In queste situazioni `e necessario ricorrere ad altri metodi per stabilire il carattere della serie. ∞ X 1

` una serie a termini positivi, quindi . E n2 converge o diverge positivamente. Per ogni n ≥ 2 si ha che (2.10) Esempio Consideriamo la serie

n=1

n2 ≥ n(n − 1) La serie

1 1 ≤ . 2 n n(n − 1)

=⇒

∞ X

1 `e la serie di Mengoli, che converge a 1 (vedi pag. 135). Infatti, n(n − 1) n=2 ∞ X

1 n(n − 1) n=2 Per il Criterio del confronto anche

∞ X 1

n=1 ∞ X 1

n=1

n2

=

∞ X 1

n=2

n2

= x 

1 . k(k + 1) k=1

k=n−1

n2

∞ X

converge. Inoltre, si ha che

+1≤

∞ X

1 + 1 = 2. n(n − 1) n=2

141

2.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

Utilizzando le serie di Fourier si prova che

∞ X 1

n=1

n2

=

π2 . 6

∞ X 1

` una serie a termini positivi, . E n n=1 quindi converge o diverge positivamente. Per ogni n ≥ 1 si ha che (2.11) Esempio Consideriamo la serie armonica 

1 log 1 + n



≤

1 . n

Infatti, se consideriamo la funzione f : [0, +∞) → R definita da f (x) = log(1 + x) − x,

x si ha che f `e derivabile con derivata f ′ (x) = − x+1 < 0 per ogni x ≥ 0. Quindi f `e

decrescente in [0, +∞) e in particolare si ha che f (x) ≤ f (0) = 0 per ogni x ≥ 0, cio`e log(1 + x) − x ≤ 0. Preso x = serie

∞ X

n=1

diverge.



log 1 +

1 n



1 n



si ottiene che log 1 +

1 n



≤

1 n

per ogni n ≥ 1. La

diverge (vedi pag. 138). Per il Criterio del confronto anche

∞ X 1

n=1

n

(2.12) Esercizio Utilizzando il Criterio del confronto provare che la serie armonica ∞ X 1 converge per p > 2 e diverge per p < 1. generalizzata np n=1 (2.13) Teorema

(Criterio del confronto asintotico) Siano (an ) e (bn ) due

successioni tali che an ≥ 0 e bn ≥ 0 per ogni n ∈ N. Supponiamo che esista lim n

an = l ∈ [0, +∞). bn

Valgono i seguenti fatti: i) se l > 0, allora

∞ X

an converge se e solo se

n=0

ii) se l = 0 e

bn converge;

n=0

∞ X

bn converge, allora anche

∞ X

an diverge, allora anche

n=0

iii) se l = 0 e

∞ X

∞ X

an converge;

n=0

n=0

∞ X

bn diverge.

n=0

Dimostrazione. i) Se l > 0, per la definizione di limite preso ε = n ≥ n0 si ha

l 2

≤

an bn

≤

3 2 l.

In particolare,

l 2

l 2 bn

esiste n0 ∈ N tale che per ogni ≤ an ≤

3 2 lbn

per ogni n ≥ n0 .

Applicando le Proposizioni (2.1) e (2.3) e il Criterio del confronto ne segue che P

an converge se e solo se

P

bn converge.

142

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

ii), iii) Se l = 0, per la definizione di limite preso ε = 1 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha

an bn

≤ 1. In particolare, an ≤ bn per ogni n ≥ n0 . Applicando la

Proposizione (2.1) e il Criterio del confronto si ottiene tesi.

(2.14) Osservazione Le tre affermazioni del teorema precedente possono essere cos`ı riformulate: i) se an , bn ≥ 0 per ogni n ∈ N e an ∼ l bn con l 6= 0 per n → +∞, allora converge se e solo se

∞ X

∞ X

an

n=0

bn converge;

n=0

ii) se an , bn ≥ 0 per ogni n ∈ N, an = o(bn ) per n → +∞ e anche

∞ X

∞ X

bn converge, allora

n=0

an converge;

n=0

iii) se an , bn ≥ 0 per ogni n ∈ N, an = o(bn ) per n → +∞ e anche

∞ X

∞ X

an diverge, allora

n=0

bn diverge.

n=0

(2.15) Osservazione Il Criterio del confronto asintotico non esaurisce tutti i casi possibili. In particolare si ha che: a) se an , bn ≥ 0 per ogni n ∈ N, an = o(bn ) per n → +∞ e NON possiamo concludere nulla sulla convergenza di

P

b) se an , bn ≥ 0 per ogni n ∈ N, an = o(bn ) per n → +∞ e possiamo concludere nulla sulla convergenza di

P

an .

bn ;

P

P

an converge, allora

bn diverge, allora NON

In queste situazioni `e necessario ricorrere ad altri metodi per stabilire il carattere della serie. ∞ X

1 ` una serie a termini positivi, . E −n+1 n=1 quindi converge o diverge positivamente. Osserviamo che per ogni n ≥ 1 si ha che (2.16) Esempio Consideriamo la serie

n2 − n + 1 ≤ n2

=⇒

n2

n2

1 1 ≥ 2. −n+1 n

143

2.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

La serie

∞ X 1

converge (vedi Esempio (2.10)) ma non `e possibile applicare il Criterio n2 del confronto. Osserviamo per` o che n=1

1 1 ∼ 2, n2 − n + 1 n

n → +∞.

Quindi per il Criterio del confronto asintotico la serie

∞ X

n=1

n2

1 converge. −n+1

∞ X

1 ` una serie a termini positivi, . E 5n + 3 n=1 quindi converge o diverge positivamente. Osserviamo che per ogni n ≥ 1 si ha che (2.17) Esempio Consideriamo la serie

5n + 3 ≥ 5n

=⇒

1 1 ≤ . 5n + 3 5n

∞ X 1

diverge (vedi Esempio (2.11) e l’algebra delle serie) ma non `e possibile 5n applicare il Criterio del confronto. Osserviamo per` o che

La serie

n=1

1 1 ∼ , 5n + 3 5n

n → +∞.

Quindi per il Criterio del confronto asintotico la serie

∞ X

1 diverge. 5n +3 n=1

(2.18) Osservazione I criteri del confronto e del confronto asintotico si usano per determinare il carattere di una serie a termini positivi confrontando o confrontando asintoticamente il termine generale di questa serie con quello di una serie di cui `e gi` a noto il carattere. In genere si cerca di confrontare con le serie notevoli ed in particolare con la serie geometrica e la serie armonica generalizzata (vedi Esempio (1.3)). (2.19) Teorema

(Criterio della radice) Sia (an ) una successione tale che

an ≥ 0 per ogni n ∈ N. Supponiamo che esista lim n

√ n

an = l ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

Valgono i seguenti fatti: i) se l < 1, allora

∞ X

an converge;

∞ X

an diverge.

n=0

ii) se l > 1, allora

n=0

144

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Dimostrazione. Consideriamo inizialmente il caso in cui l ∈ R. Per la definizione di √ limite, per ogni ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha l − ε < n an < l + ε. In particolare, an < (l + ε)n per ogni n ≥ n0 e, se ε ≤ l, si ha anche (l − ε)n < an per ogni n ≥ n0 . Se l < 1, preso ε = con l + ε =

l+1 2

1−l 2

esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha an < (l + ε)n

< 1. Poich´e la serie geometrica di ragione l + ε converge (vedi pag. 134),

per la Proposizione (2.1) e il Criterio del confronto anche Se l > 1, preso ε = con l − ε =

l+1 2

l−1 2

P

an converge.

esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha an > (l − ε)n

> 1. In particolare si ha che lim an ≥ lim(l − ε)n = +∞. n

n

Per la Condizione necessaria per la convergenza delle serie si ha che

P

an diverge.

Infine consideriamo il caso l = +∞. Per la definizione di limite, esiste n0 ∈ N tale √ che per ogni n ≥ n0 si ha n an > 1. In particolare, an > 1 per ogni n ≥ n0 . Ne segue che lim an 6= 0. Per la Condizione necessaria per la convergenza delle serie si ha che n

diverge.

P

an

` necessario ricorrere (2.20) Osservazione Se l = 1 NON si pu` o concludere nulla. E ad un altro metodo per studiare il carattere della serie. ∞  X



2

1 n ` (2.21) Esempio Consideriamo la serie 1− . E una serie a termini positivi, n n=1 quindi converge o diverge positivamente. Osserviamo che 

1−



Inoltre n2 log 1 −

1 n



1 n

n2

= en

2

1 log(1− n )

.

∼ −n, per n → +∞, ma en

2

1 log(1− n )

6∼ e−n ,

n → +∞.

Proviamo a ricorrere al Criterio della radice. Si ha che lim n

s 

Per il Criterio della radice

n

1 1− n

∞  X

n=1

n2

1 1− n



1 = lim 1 − n n

n2

converge.

n

=

1 < 1. e

145

2.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi



(2.22) Osservazione Si osservi che n2 log 1 − en

2

1 log(1− n )

1

∼ e−n− 2 = √

1 n



1 , e en

∼ −n − 12 , per n → +∞ e che n → +∞.

 2 ∞  X 1 n 1 √ n converge, per il Criterio del confronto asintotico Poich´e 1− conee n n=1 n=1 verge. ∞ X

(2.23) Teorema

(Criterio del rapporto) Sia (an ) una successione tale che

an ≥ 0 per ogni n ∈ N. Supponiamo che esista lim n

an+1 = l ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. an

Valgono i seguenti fatti: i) se l < 1, allora

∞ X

an converge;

∞ X

an diverge.

n=0

ii) se l > 1, allora

n=0

an = l. an−1 Consideriamo inizialmente il caso in cui l ∈ R. Per la definizione di limite, per ogni

Dimostrazione. Essendo



an

an−1



una sottosuccessione di



ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha l − ε <

an+1 an

an an−1



, si ha che lim n

< l + ε. In particolare,

(l − ε)an−1 < an < (l + ε)an−1 per ogni n ≥ n0 . Se l < 1, preso ε =

1−l 2

esiste n0 ∈ N tale che per ogni n > n0 si ha che

an < (l + ε)an−1 < (l + ε)2 an−2 < (l + ε)3 an−3 < · · · < (l + ε)n−n0 an0 con l + ε =

l+1 2

< 1. Poich´e la serie geometrica di ragione l + ε converge (vedi pag. 134),

per la Proposizione (2.1) e il Criterio del confronto anche Se l > 1, preso ε =

l−1 2

P

an converge.

esiste n0 ∈ N tale che per ogni n > n0 si ha che

an > (l − ε)an−1 > (l − ε)2 an−2 > (l − ε)3 an−3 > · · · > (l − ε)n−n0 an0 con l − ε =

l+1 2

> 1. In particolare si ha che lim an ≥ lim(l − ε)n−n0 an0 = +∞. n

n

Per la Condizione necessaria per la convergenza delle serie si ha che

P

an diverge.

146

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Infine consideriamo il caso l = +∞. Per la definizione di limite, esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha

an an−1

> 1. In particolare, an > an−1 per ogni n ≥

n0 , cio`e la successione (an ) `e definitivamente strettamente crescente. Ne segue che lim an = sup an > 0. Per la Condizione necessaria per la convergenza delle serie si ha n

che

P

n

an diverge.

` necessario ricorrere (2.24) Osservazione Se l = 1 NON si pu` o concludere nulla. E ad un altro metodo per studiare il carattere della serie. ∞ X n!

` una serie a termini positivi, quindi . E n n n=1 converge o diverge positivamente. Sappiamo che n! = o(nn ) per n → +∞ (vedi Appen(2.25) Esempio Consideriamo la serie

dice E, pag. 165). Quindi `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie. Proviamo a ricorrere al Criterio del rapporto. Posto an =

Quindi

n! nn ,

si ha che

(n + 1) n! nn an+1 (n + 1)! nn nn 1 n . = = = · · = n+1 n n an (n + 1) n! (n + 1) (n + 1) n! (n + 1) 1 + n1 lim n

an+1 1 1 n = < 1. = lim  n 1 an e 1+ n

Per il Criterio del rapporto

∞ X n!

n=1

nn

converge.

√ (2.26) Osservazione Per la Formula di Stirling si ha che n! ∼ nn e−n 2πn, per n → +∞. In particolare

√ n

n! ∼ ne−1

√

2n

2πn,

n → +∞.

Quindi volendo ricorrere al Criterio della radice per studiare il carattere della serie ∞ X n! , si ha che n n n=1 lim n

s n

√ √ n n! n! ne−1 2n 2πn 1 = lim = lim = < 1. n n nn n n e

Per il Criterio della radice

∞ X n!

n=1

nn

converge.

(2.27) Osservazione Se (an ) `e una successione tale che an ≥ 0 per ogni n ∈ N e se √ an+1 lim = l, allora anche lim n an = l. n→+∞ an n→+∞

147

2.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

In altri termini, il Criterio della radice `e pi` u generale di quello del rapporto. Il viceversa non `e vero. Dimostrazione. Consideriamo inizialmente il caso l ∈ R, l > 0. Sia ε > 0 tale che l−

ε 2

> 0. Allora per la definizione di limite si ha che esiste n0 ∈ N tale che ∀n ≥ n0 :

l−

ε an+1 ε < n0 :

an =

an an−1 an +1 · · · 0 an0 . an−1 an−2 an0

Quindi n − n0 fattori

z

}|

{



n−n0

an0 .



n−n0

an0 .

an +1 ε an an−1 an = ··· 0 an0 < l + an−1 an−2 an0 2

∀n > n0 :

| {z } | {z } l− 2ε >l− 2ε

Quindi

√ n



ε an > l − 2

| {z } >l− 2ε

1− n0 n

√ n

an0 .

Ne segue che per ogni n > n0

Poich´e lim n

√ n



ε l− 2

1− n0 n



√ ε √ n n a an < l + n0 < 2

1− n0

√ n

n

an0 .

an0 = 1 (vedi Appendice E pag. 164), ne segue che 

ε lim l − n 2 |

1− n0

{z  y

ε l− 2

n

}

ε an0 = l − , 2 | {z  } √ n

y 1



ε lim l + n 2 |

1− n0 n

{z  y

ε l+ 2

}

ε √ n a n0 = l + . 2 | {z  } y 1

Quindi per la definizione di limite esiste n1 ∈ N, n1 ≥ n0 , tale che per ogni n > n1 si ha 

ε l−ε< l− 2

1− n0 n

√ n

an0 < l,



ε l< l+ 2

1− n0 n

√ n

an0 < l + ε.

148

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Allora per ogni n > n1 si ha che l−ε< cio`e lim n

√ n

√ n

an < l + ε,

an = l.

Se l = 0, allora si procede come nel caso precedente, utilizzando solo la stima √ dall’alto, essendo n an ≥ 0. Infine, se l = +∞, allora si procede come nel caso precedente, utilizzando solo la stima dal basso.

(Criterio di McLaurin) Sia f : [1, +∞) → R una funzione

(2.28) Teorema

non negativa e decrescente e sia an = f (n) per ogni n ∈ N, n ≥ 1. Allora

∞ X

Z

an converge se e solo se l’integrale improprio ∞ X

n=2

an ≤

Z

+∞

f (x) dx ≤

1

∞ X

f (x) dx converge e

1

n=1

in tal caso si ha che

+∞

an .

n=1

Dimostrazione. Essendo f descrescente, per ogni n ∈ N e per ogni x ∈ [n, n + 1] si ha che f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n). In particolare risulta che f (n + 1) =

Z

n+1

n

Posto bn =

Z

si ha che se

f (n + 1) dx ≤

Z

n+1

f (x) dx ≤

n

n+1

f (n) dx = f (n).

n

n+1

n ∞ X

f (x) dx, risulta quindi che an+1 ≤ bn ≤ an . Per il Criterio del confronto an converge, allora

n=1

(2.29)

∞ X

bn converge e

∞ X

bn ≤

n=1

n=1

∞ X

an .

n=1

Inoltre, essendo (2.30)

Z

∞ X

n=1

an+1

= x 

k=n+1

∞ X

k=2

ak

149

2.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

per il Criterio del confronto e la Proposizione (2.1) si ha che se ∞ X

bn converge, allora

n=1

an converge e

n=1

∞ X

(2.31) Quindi

∞ X

n=2 ∞ X

an converge se e solo se

n=1

Sn =

an ≤

∞ X

bn .

n=1

bn converge. Detta Sn la somma parziale n-esima

n=1

della serie di bn , si ha che n X

n Z X

bk =

Quindi si ha che lim Sn = lim n

n

Pertanto la convergenza di

k+1

f (x) dx =

∞ X

Z

Z

n+1

f (x) dx.

1

k=1 k

k=1

Z

∞ X

n+1

f (x) dx =

1

Z

+∞

f (x) dx.

1

bn corrisponde a quella dell’integrale improprio

n=1

+∞

f (x) dx, da cui segue la tesi. Infine, in caso di convergenza si ha che 1 ∞ X

bn =

n=1

Z

+∞

f (x) dx

1

ed essendo an+1 ≤ bn ≤ an , da (2.29), (2.30) e (2.31) segue che ∞ X

n=2

an ≤

Z

+∞ 1

f (x) dx ≤

∞ X

an .

n=1

(2.32) Esempio (Serie armonica generalizzata) Sia p ∈ R. La serie armonica (generalizzata se p 6= 1) ∞ X 1

n=1

np

:

(

converge

se p > 1

diverge positivamente

se p ≤ 1.

Negli Esempi (2.10) e (2.11) abbiamo gi` a considerato separatamente i casi p = 2 e p = 1 rispettivamente. Consideriamo inizialmente p > 0. Sia f : [1, +∞) → R definita da f (x) =

Evidentemente, per ogni n ∈ N con n ≥ 1 si ha f (n) =

1 np .

La funzione f `e positiva e

decrescente. Inoltre l’integrale improrio Z

1

+∞

1 dx : xp

(

1 xp .

converge

se p > 1

diverge positivamente

se p ≤ 1.

150

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Per il Criterio di McLaurin risulta che ∞ X 1

n=1

np

(

:

Infine, se p ≤ 0, allora

converge

se p > 1

diverge positivamente

se 0 < p ≤ 1.

1 lim p = n n

(

1

se p = 0

+∞

se p < 0.

Ne segue che non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e quindi per p ≤ 0 la serie diverge. (2.33) Osservazione Si osserva che per p ≤ 1 e per p ≥ 2 il carattere della serie armonica generalizzata si pu` o dedurre anche utilizzando il Criterio del confronto (vedi Esercizio (2.12)). (2.34) Teorema

(Criterio di condensazione o di Cauchy) Sia (an ) una

successione non negativa e decrescente. Allora

∞ X

an converge se e solo

n=1

∞ X

2n a2n converge e in tal caso si ha che

n=0 ∞ X

n=1

Dimostrazione. Siano Sn =

an ≤

n X

∞ X

2n a2n ≤ 2

n=0

ah e Tk =

k X

∞ X

an .

n=1

2m a2m la somma parziale n-esima della

m=1

h=1

serie di an e la somma parziale k-esima della serie di 2n a2n rispettivamente. Se n ≤ 2k , allora Sn =

n X

h=1

=

a

1 |{z}

20 termini

ah ≤

n X

ah +

h=1

2k+1 X−1

ah =

h=n+1

+ (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + · · · + (a2k + · · · + a2k+1 −1 ) ≤ |

{z

}

21 termini

essendo (an ) decrescente

|

{z

}

22 termini

|

≤ a1 + 2a2 + 22 a22 + · · · + 2k a2k = Tk . Ne segue che se n ≤ 2k , allora Sn ≤ Tk . Viceversa, se n > 2k , allora

Sn =

n X

h=1

k

ah ≥

2 X

h=1

ah =

{z

2k termini

}

151

2.3 Criteri di convergenza per le serie a termini di segno variabile

= a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + · · · + (a2k−1 +1 + · · · + a2k ) ≥ |

{z

}

|

21 termini

essendo (an ) decrescente

{z

}

22 termini

≥ a1 + a2 + 2a22 + 22 a23 + · · · + 2k−1 a2k = a1 + ≥

|

{z

2k−1 termini

}

 1 2a2 + 22 a22 + · · · + 2k a2k ≥ 2

 1 1 a1 + 2a2 + 22 a22 + · · · + 2k a2k = Tk . 2 2

Ne segue che se n > 2k , allora Sn ≥ 12 Tk . Pertanto le successioni delle somme parziali Sn e Tk delle due serie si confrontano l’un l’altra. Ne segue che se una `e limitata (e quindi se la serie corrispondente converge), allora anche l’altra lo `e, da cui scende la tesi. Infine, dalle disuguaglianze precedenti segue che ∞ X

n=1

e

∞ X

n=0

2.3

n

k

∞ X

2n a2n

n=0

2n a2n = lim Tk ≤ 2 lim Sn = 2 n

k

∞ X

an .

n=1

Criteri di convergenza per le serie a termini di segno variabile

(2.35) Teorema Se

an = lim Sn ≤ lim Tk =

∞ X

(Criterio della convergenza assoluta)

an converge assolutamente, allora

n=0

∞ X

an converge e si ha che

n=0

∞ ∞ X X an ≤ |an |. n=0

Dimostrazione. La serie

∞ X

n=0

(|an | + an ) `e a termini positivi. Poich´e per ogni n risulta

n=0

|an |+an ≤ 2|an |, per il Criterio del confronto e l’algebra delle serie questa serie converge. Infine, essendo an = (|an | + an ) − |an |, per l’algebra delle serie anche

∞ X

an converge.

n=0

Infine, dette Sn e σn le somme parziali n-esime delle serie di an e |an | rispettivamente, dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto segue che |Sn | ≤ σn per ogni n. Per il Primo teorema del confronto sui limiti si ha che ∞ ∞ X X an = lim |Sn | ≤ lim σn = |an |. n n n=0

n=0

152

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(2.36) Osservazione Il viceversa non `e vero. L’esempio classico `e quello della serie armonica a termini di segno alterno ∞ X (−1)n

n=1

Poich´e

n

.

∞ ∞ n X X 1 (−1) = n n n=1 n=1

`e divergente, ne segue che la serie armonica a termini di segno alterno non converge assolutamente. Come vedremo a pag. 153 questa serie converge. Criteri per le serie a termini di segno alterno (2.37) Definizione

Una serie `e detta a termini di segno alterno se `e della

forma

∞ X

(−1)n bn ,

n=0

dove bn ≥ 0 per ogni n ∈ N.

(2.38) Teorema

(Criterio di Leibniz) Sia (bn ) una successione tale che

bn ≥ 0 per ogni n ∈ N. Supponiamo che i) lim bn = 0; n

ii) la successione (bn ) sia decrescente. Allora

∞ X

(−1)n bn converge. In particolare, se Sn `e la somma parziale della serie

n=1

e S `e la somma della serie, si ha che S2n+1 ≤ S ≤ S2n e |Sn − S| ≤ bn+1 , per ogni n ∈ N. Dimostrazione. Sia Sn =

n X

(−1)k bk la somma parziale n-esima della serie. Essendo

k=1

(bn ) decrescente, si ha che S2n+2 =

2n+2 X k=1

k

(−1) bk =

2n X

(−1)k bk − (b2n+1 − b2n+2 ) ≤ S2n ,

k=1

|

{z

≥0

}

2.3 Criteri di convergenza per le serie a termini di segno variabile

S2n+1 =

2n+1 X

(−1)k bk =

k=1

2n−1 X k=1

153

(−1)k bk + (b2n − b2n+1 ) ≥ S2n−1 . |

{z

}

≥0

Quindi la successione delle somme parziali con indice pari (S2n ) `e decrescente, mentre quella con indice dispari (S2n+1 ) `e crescente. Inoltre, S2n − S2n+1 = b2n+1 ≥ 0 implica che S2n ≥ S2n+1 per ogni n da cui segue che, essendo (S2n+1 ) crescente, S2n ≥ S1 . a dei limiti Quindi la successione (S2n ) `e anche limitata inferiormente. Per le propriet` delle successioni monotone, ne segue che esiste lim S2n = inf S2n = S ∈ R. In particolare, n

fissato ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥

n

n0 2

si ha

|S2n − S| < ε. Chiaramente S2n ≥ S per ogni n. Per l’ipotesi ii) si ha che lim S2n+1 = lim(S2n − b2n+1 ) = S. n

n

In particolare, esiste n1 ∈ N, n1 ≥ n0 , tale che per ogni n ≥

n1 2

si ha

|S2n+1 − S| < ε. Quindi per ogni n > n1 si ha

Ne segue che la serie

∞ X

|Sn − S| < ε. (−1)n bn converge a S. Chiaramente S2n+1 ≤ S per ogni n, da

n=1

cui segue che S2n+1 ≤ S ≤ S2n per ogni n. In particolare 0 ≤ S − S2n−1 ≤ S2n − S2n−1 ≤ b2n ,

0 ≤ S2n − S ≤ S2n − S2n+1 ≤ b2n+1 ,

da cui segue che |Sn − S| ≤ bn+1 per ogni n.

(2.39) Esempio (Serie armonica a termini di segno alterno) Consideriamo la serie

∞ X (−1)n

n=1

n

.

Nell’Osservazione (2.14) abbiamo gi` a mostrato che non converge assolutamente. Posto bn = n1 , si ha che i) lim bn = lim n

n

1 = 0; n

ii) per ogni n ≥ 1 si ha che bn+1 = decrescente.

1 n+1

≤

1 n

= bn e quindi la successione (bn ) `e

154

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Per il Criterio di Leibniz la serie armonica a termini di segno alterno converge. ∞ X (−1)n Vedremo nel capitolo sulle serie di Taylor che = − log 2. n n=1 (2.40) Osservazione Il Criterio di Leibniz stabilisce una condizione sufficiente affinch´e una serie a termini di segno alterno converga. Quindi, in generale, se non sono soddisfatte le ipotesi, allora NON `e possibile concludere nulla sulla convergenza, divergenza o indeterminatezza della serie. Tuttavia, conviene essere pi` u precisi e considerare separatamente le due ipotesi: a) se non vale l’ipotesi i) del Criterio di Leibniz, cio`e se lim bn 6= 0, allora anche n

lim(−1)n bn 6= 0 e per la condizione necessaria della convergenza di una serie, si ha n

che

∞ X

(−1)n bn non converge, e quindi diverge oppure `e indeterminata;

n=1

b) se la successione (bn ) non `e decrescente, allora o `e crescente, oppure non `e n´e crescente n´e descrescente. Se `e crescente, ma non costantemente nulla, allora risulta che lim bn = sup bn > 0, e quindi per la condizione necessaria della convergenza di n

una serie

∞ X

n

(−1)n bn non converge. Se invece non `e n´e crescente n´e descrescente,

n=1

allora NON `e possibile concludere nulla sulla convergenza, divergenza o indetermi` necessario ricorrere ad altri metodi per stabilire il carattere natezza della serie. E della serie.

(2.41) Teorema

(Criterio di Dirichl´ et) Siano

∞ X

an una serie, (Sn ) la suc-

n=0

cessione delle somme parziali di questa serie e (bn ) una successione con bn ≥ 0 per ogni n. Supponiamo che: a) la successione (Sn ) sia limitata; b) la successione (bn ) sia infinitesima e decrescente. Allora la serie

∞ X

an bn converge.

n=0

Dimostrazione. Sia σn =

n X

ak bk la somma parziale n-esima della serie di an bn .

k=0

Essendo ak = Sk − Sk−1 per ogni k ≥ 1 e a0 = S0 , si ha che σn =

n X

k=0

ak bk = S0 b0 +

n X

(Sk − Sk−1 )bk =

k=1

155

2.3 Criteri di convergenza per le serie a termini di segno variabile

= S0 b0 + (S1 − S0 )b1 + (S2 − S1 )b2 + · · · + (Sn − Sn−1 )bn = = S0 (b0 − b1 ) + S1 (b1 − b2 ) + · · · + Sn−1 (bn−1 − bn ) + Sn bn .

Posto Tn =

n X

k=1

Sk−1 (bk−1 − bk ), si ha che per ogni n ∈ N, n ≥ 1

(2.42)

σn = Tn−1 + Sn bn .

Poich´e (Sn ) `e limitata, esiste M > 0 tale che |Sn | ≤ M per ogni n ∈ N. Inoltre, essendo (bn ) decrescente, si ha che bn−1 − bn ≥ 0, per ogni n ≥ 1. Osserviamo che la serie

∞ X

n=1

Sn−1 (bn−1 − bn ) converge assolutamente. Infatti, se consideriamo la successione

delle somme parziali della serie

∞ X

n=1 n X

k=1

|Sn−1 (bn−1 − bn )| si ha che

n X

|Sk−1 (bk−1 − bk )| =

k=1

|Sk−1 |(bk−1 − bk ) ≤

n X

k=1

M (bk−1 − bk ) =

= M (b0 − b1 ) + M (b1 − b2 ) + · · · + M (bn−1 − bn ) = M b0 − M bn ≤ M b0 . | {z } ≥0

Quindi la successione delle somme paziali della serie il Teorema (2.6) questa serie converge, cio`e

∞ X

n=1

∞ X

n=1

|Sn−1 (bn−1 − bn )| `e limitata. Per

Sn−1 (bn−1 − bn ) converge assolutamente

e quindi converge. Essendo Tn−1 la somma parziale (n − 1)-esima di questa serie, ne segue che lim Tn−1 = T ∈ R. n

Poich´e (Sn ) `e limitata e bn → 0 per n → +∞, da (2.42) si ha che lim σn = lim(Tn−1 + Sn bn ) = T ∈ R, n

n

da cui segue la tesi.

(2.43) Osservazione Il Criterio di Leibniz `e un caso particolare del Criterio di Dirichl´et. Infatti, in tal caso an = (−1)n e la somma parziale n-esima della serie di an `e Sn =

n X

k

(−1) =

k=0

(

1 se n `e pari 0 se n `e dispari.

156

3

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Prodotto di due serie

(3.1) Definizione

Siano

∞ X

an e

n=0

∞ X

bn n=0 ∞ X

Cauchy delle serie di an e bn la serie

due serie. Si chiama prodotto di cn , dove

n=0

cn =

n X

ak bn−k .

k=0

(3.2) Teorema

∞ X

(di Mertens) Siano

an e

n=0

∞ X

bn due serie convergenti

n=0

rispettivamente a A e B. Supponiamo che almeno una delle due serie converga assolutamente. Allora il prodotto di Cauchy delle serie di an e bn converge a AB. In altri termini, se cn =

n X

ak bn−k , allora

k=0 ∞ X

∞ X

cn =

n=0

an

n=0

Dimostrazione. Supponiamo che

P

!

∞ X

n=0

!

bn .

an converga anche assolutamente. In modo del

tutto analogo si procede se a convergere assolutamente `e somme parziali n-esime delle serie Cn =

n X

k=0

P

an ,

P

bn e

P

P

bn . Siano An , Bn e Cn le

cn rispettivamente. Si ha che

ck = c0 +c1 +· · ·+cn = a0 b0 +(a0 b1 +a1 b0 )+· · ·+(an b0 +an−1 b1 +· · ·+a0 bn ) = = a0 Bn + a1 Bn−1 + · · · + an−1 B1 + an B0 =

= a0 (Bn − B + B) + a1 (Bn−1 − B + B) + · · · + an−1 (B1 − B + B) + an (B0 − B + B) = posto Rn =

∞ X

bk (`e detto il resto n-esimo della serie di bn ) si ottiene

k=n+1

= An B − a0 Rn − a1 Rn−1 − · · · − an−1 R1 − an R0 . Quindi per ogni n ∈ N (3.3)

Cn = An B −

n X

k=0

ak Rn−k .

157

3 Prodotto di due serie

Poich´e la serie di bn converge a B, si ha che ∞ X

lim Rn = lim n

n

Mostriamo che lim n

n X

k=0

∞ X

bk = lim n

k=n+1

k=0

bk −

n X

bk

k=0

!

= B − B = 0.

ak Rn−k = 0. Sia ε > 0. Poich´e Rk → 0 per k → +∞, esiste

k0 ∈ N tale che |Rk | < ε per ogni k ≥ k0 . Posto M = max{|Rk |}, si ha che per ogni k≤k0

n ≥ k0

n−k X0

≤ Poich´e

P

k=0

n−k n n X X0 X ak Rn−k = ak Rn−k + ak Rn−k ≤ k=0 k=n−k0 +1 k=0

|ak ||Rn−k | +

n X

k=n−k0 +1

|ak ||Rn−k | ≤ ε

an converge assolutamente, posto

∞ X

n=0 n−k X0 k=0

n−k X0 k=0

|ak | + M

n X

k=n−k0 +1

|ak |.

|an | = σ ∈ R, si ha che

|ak | ≤ σ.

Inoltre, n X

k=n−k0 +1

Poich´e

∞ X

n=0

|ak | = σ −

n−k X0 k=0

|ak | −

∞ X

k=n+1



|ak | = σ −

n−k X0 k=0



|ak | − σ −

n X

k=0

|ak | .

|an | = σ, si ha che lim n

n−k X0 k=0

Quindi lim n

n X

k=n−k0 +1

|ak | = lim n



|ak | = lim σ − n

n−k X0 k=0

n X

k=0

|ak | = σ. 

|ak | − σ −

n X

k=0

Ne segue che esiste n1 ∈ N, n1 ≥ k0 , tale che per ogni n ≥ n1 n X

k=n−k0 +1

!

|ak |  = 0.

|ak | ≤ ε.

Pertanto si ha che per ogni n ≥ n1 n n−k X X0 ak Rn−k ≤ ε |ak | + M k=0

k=0

n X

k=n−k0 +1

!

|ak | ≤ εσ + εM = ε(σ + M ).

158

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Per l’arbitrariet` a di ε si ha che lim n

n X

ak Rn−k = 0. Da (3.3) si ha che

k=0

lim Cn = lim An B − n

n

n X

ak Rn−k

k=0

!

= AB,

da cui segue la tesi.

(3.4) Osservazione Se

P

an e

P

bn convergono ma nessuna delle due converge as-

solutamente, allora il loro prodotto di Cauchy potrebbe non convergere. Infatti, se consideriamo ad esempio an = bn =

(−1)n √ , n+1

si ha che

assolutamente. Inoltre. cn =

n X

k=0

Poich´e

ak bn−k =

n X

k=0

P

an e

P

bn convergono ma non

(−1)n . (k + 1)(n − k + 1)

p

(−1)n 1 1 ≥ , p = p (k + 1)(n − k + 1) n+1 (k + 1)(n − k + 1)

si ha che

n n X X (−1)n 1 1 p p |cn | = ≥ (n + 1) = 1. = n+1 (k + 1)(n − k + 1) (k + 1)(n − k + 1) k=0

k=0

Ne segue che lim cn 6= 0 e per la condizione necessaria per la convergenza di una serie

P

n

cn non converge.

159

4 Serie complesse

4

Serie complesse

Poich´e la nozione di limite per una successione in C `e la stessa di quella per le successioni reali (vedi Definizione (1.1) in Appendice E limitatamente al caso l ∈ C), in modo del tutto analogo a quanto visto precedentemente possiamo introdurre la nozione di serie anche nel campo C dei numeri complessi. (4.1) Definizione

Sia (zn ) una successione in C. Si chiama serie di zn la

scrittura formale

∞ X

zn

n=0

o pi` u semplicemente (dove non vi sia ambiguit` a) detto termine generale della serie.

P

zn . Il numero complesso zn `e

Poniamo S0 = z0 , Sn =

n X

k=0

zk = z0 + z1 + · · · + zn ,

∀n ≥ 1.

Per ogni n, Sn `e detta somma parziale n-esima della serie di zn . Osserviamo che per ogni n ≥ 1 si ha che Sn = Sn−1 + zn . Diciamo che

∞ X

n=0

zn converge (o che ` e convergente) se lim Sn = S ∈ C e in tal n

caso chiamiamo somma della serie di zn il numero complesso S e poniamo ∞ X

n=0

zn = lim Sn = S. n

Se lim Sn non esiste, allora diciamo che n

zn non converge (o che non ` e

n=0

convergente). Diciamo che positivi)

∞ X

∞ X

n=0

∞ X

zn converge assolutamente se converge la serie (reale a termini

n=0

|zn |.

(4.2) Osservazione Sia (zn ) una successione in C e siano Re (zn ) e Im (zn ) rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di zn . Essendo zn = Re (zn )+iIm (zn ) ,

|Re (zn ) | ≤ |zn |, |Im (zn ) | ≤ |zn |,

dall’algebra delle serie e dal Criterio del confronto segue che

|zn | ≤ |Re (zn ) |+|Im (zn ) |,

160

a)

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

P

zn converge a S ∈ C se e solo se

P

Re (zn ) e

mente a Re (S) e Im (S) e in tal caso si ha che ∞ X

zn =

n=0

b)

P

∞ X

Re (zn ) + i

n=0

∞ X

Im (zn ) convergono rispettiva-

Im (zn ) ;

n=0

zn converge assolutamente se e solo se

lutamente.

P

∞ X cos n

(4.3) Esempio Consideriamo le serie

P

Re (zn ) e

P

Im (zn ) convergono asso-

∞ X sin n

e . Sono serie reali a termini n n n=1 di segno variabile ma non alterno. Dalla formula di Eulero si ha che ein = cos n + n=1

i sin n. Quindi queste due serie sono le serie della parte reale e della parte immaginaria ∞ in X e in rispettivamente di en . Osserviamo che non converge assolutamente. Infatti, n n=1 ∞ in ∞ X X 1 e = n n

n=1

1 n

∞ in X e

∞ X

1 = ein · ricorriamo al Criterio di n n n=1 n=1 (il Criterio di Dirichl´et vale anche se (an ) `e una

Per studiare la convergenza della serie Dirichl´et, ponendo an = ein , bn =

che diverge.

n=1

successione complessa). Si ha che la successione (bn ) `e non negativa, infinitesima e decrescente. Detta Sn la somma parziale n-esima della serie di an , si ha che n n X X  k ik i |Sn | = e = e k=0

k=0

= x 

vedi pag. 134

1 − ei(n+1 ) 2 . ≤ 1 − ei |1 − ei |

Quindi (Sn ) `e limitata (in C). Per il Criterio di Dirich´et vazione (4.2) anche le serie

∞ X cos n

∞ X sin n

n=1

n

converge e per l’Osser-

convergono. n n n=1 Osserviamo che queste due serie non convergono assolutamente. Per l’Osservazio∞ in X e ne (4.2) non possono convergere entrambe assolutamente perch´e altrimenti anche n n=1 convergerebbe assolutamente, contraddicendo quanto affermato in precedenza. Essendo n=1

e

∞ in X e

| cos n| ≤ 1, | sin n| ≤ 1, si ha che cos2 n ≤ | cos n|, sin2 n ≤ | sin n|. Per le formule di bisezione si ha che | cos n| cos2 n 1 + cos (2n) 1 cos (2n) ≥ = = + , n n 2n 2n 2n | sin n| sin2 n 1 − cos (2n) 1 cos (2n) ≥ = = − . n n 2n 2n 2n

161

4 Serie complesse

∞ X | cos n|

e

∞ X | sin n|

convergesse, allora per il n n n=1 Criterio del confronto convergerebbero anche le serie i cui termini generali sono Se per assurdo una delle due serie

n=1

1 cos (2n) + , 2n 2n Osserviamo che anche

∞ X cos 2n

n=1

Per il Criterio di Dirich´et

2n

∞ i2n X e

n=1

2n

1 cos (2n) − . 2n 2n

converge. Infatti, `e la serie della parte reale di

converge (si procede come nel caso precedente). Ne

segue che, per l’algebra delle serie, anche

∞ X 1

n=1

2n

convergerebbe: assurdo perch´e la se-

rie armonica `e divergente. Ne segue che entrambe le serie convergono assolutamente.

ei2n 2n .

∞ X cos n

n=1

n

e

∞ X sin n

n=1

n

non

162

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Appendice E

Richiami sulle successioni reali 1

Limiti di successioni

Richiamiamo la definizione di limite di una successione.

(1.1) Definizione

Sia (an ) una successione reale e l ∈ R ∪ {±∞}.

Diciamo che (an ) ha limite l per n che tende a +∞ se per ogni intorno I(l) di l esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha che an ∈ I(l). In tal caso scriviamo lim an = l

n→+∞

o pi` u semplicemente

lim an = l. n

In particolare se l ∈ R si ha lim an = l n

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N: ∀n ∈ N con n ≥ n0

⇐⇒

si ha che |an − l| < ε,

mentre se l = +∞ (risp. l = −∞) lim an = +∞ (−∞) n

⇐⇒

∀b ∈ R ∃n0 ∈ N: ∀n ∈ N con n ≥ n0 si ha che an > b (an < b).

Diciamo che (an ) converge a l (oppure che (an ) ` e una successione convergente) se lim an = l ∈ R. n

163

164

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Diciamo che (an ) diverge positivamente (risp. negativamente) (oppure che (an ) ` e una successione divergente positivamente (risp. negativamente)) se lim an = +∞ (risp. −∞). n

Diciamo che (an ) ` e indeterminata se non esiste lim an . n

(1.2) Osservazione Poich´e il limite di successione altro non `e che il limite di funzione per la variabile che tende a +∞, per esso valgono tutti i teoremi e le considerazioni fatti per i limiti di funzione di una variabile reale. Pi` u precisamente valgono: 1) il Teorema di unicit` a del limite; 2) il Teorema della limitatezza locale; 3) il Teorema della permanenza del segno e le sue conseguenze; 4) l’algebra dei limiti (somma, prodotto, quoziente e composizione); 5) i teoremi del confronto e loro conseguenze; 6) il teorema sui limiti delle successioni monotone. Inoltre anche per i limiti di successione si introducono le stesse forme indeterminate e si hanno i seguenti limiti notevoli: 1) lim

√ n

2) lim

√ n

3) lim

√ n

n

n

n



nk = 1, per ogni k ∈ R.

ak = 1, per ogni a > 0 e k ∈ R.

n! = +∞.

4) lim 1 + n

5) lim n

a n

n

= ea , per ogni a ∈ R.

logp n = 0, per ogni p, k ∈ R con k > 0. nk

165

Appendice E Limiti di successioni

6) lim n

nk = 0, per ogni k, a ∈ R con a > 1. an

7) lim nk an = 0, per ogni k > 0 e 0 < a < 1; n

8) lim

an = 0, per ogni a ∈ R. n!

9) lim

n! = 0. nn

n

n

Formula di Stirling

(1.3) Definizione

√ n! ∼ nn e−n 2πn,

n → +∞.

Sia (an ) una successione. Diciamo che una successione (bn )

` e una sottosuccessione (o successione estratta) di (an ) se bn = aϕ(n) , dove ϕ : N → N `e una successione strettamente crescente. Usualmente una sottosuccessione di (an ) si denota con (ank ).

Una sottosuccessione di una successione (an ) `e quindi una successione i cui termini sono selezionati tra quelli della successione di partenza, in modo che se un elemento `e selezionato, allora i successivi sono selezionati fra quelli che hanno un indice maggiore di quest’ultimo. (1.4) Teorema

Sia (an ) una successione reale.

Supponiamo che lim an = l ∈ R ∪ {±∞}. n

Allora per ogni sottosuccessione (ank ) di (an ) si ha che lim ank = l. k

(1.5) Teorema

(di Bolzano-Weierstrass) Sia (an ) una successione reale

limitata. Allora (an ) ammette almeno una sottosuccessione convergente.

166

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(1.6)

Teorema

(Criterio

del

rapporto

Sia (an ) una successione a termini positivi. an+1 lim = l ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. n an Allora valgono i seguenti fatti:

per

le

successioni)

Supponiamo che esista

i) se l < 1, allora lim an = 0; n

ii) se l > 1, allora lim an = +∞. n

` necessario ricorrere ad (1.7) Osservazione Se l = 1 NON si pu` o concludere nulla. E un altro metodo per calcolare lim an . n

(1.8) Teorema

(Criterio della radice per le successioni) Sia (an ) una suc√ cessione a termini positivi. Supponiamo che esista lim n an = l ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. n

Allora valgono i seguenti fatti: i) se l < 1, allora lim an = 0; n

ii) se l > 1, allora lim an = +∞. n

` necessario ricorrere ad (1.9) Osservazione Se l = 1 NON si pu` o concludere nulla. E un altro metodo per calcolare lim an . n

Il Criterio della radice `e pi` u generale di quello del rapporto, come afferma il seguente risultato (vedi pag. 146). (1.10) Teorema Sia (an ) una successione a termini positivi. Supponiamo che an+1 esista lim = l ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. n an √ Allora lim n an = l. n

Capitolo 7

Successioni di funzioni Nel seguito considereremo m ∈ N, m ≥ 1.

1

Nozioni preliminari sulle successioni di funzioni

Introduciamo le nozioni per le funzioni reali. In modo del tutto analogo si introducono per le funzioni complesse.

(1.1) Definizione

Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, (fn ) una successione di funzioni

da Ω in R e f : Ω → R. Diciamo che (fn ) converge puntualmente a f in Ω se ∀x ∈ Ω :

lim fn (x) = f (x). n

In tal caso la funzione f `e detta il limite puntuale della successione (fn ) e scriviamo lim fn = f. n

Equivalentemente, (fn ) converge puntualmente a f in Ω se ∀x ∈ Ω :

lim |fn (x) − f (x)| = 0. n

Quindi la successione di funzioni (fn ) converge puntualmente a f in Ω se per ogni x ∈ Ω la successione reale (fn (x)) converge a f (x). 167

168

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(1.2) Definizione

Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, (fn ) una successione di funzioni

limitate da Ω in R e f : Ω → R una funzione. Diciamo che (fn ) converge uniformemente a f in Ω se lim kfn − f k∞ = 0, n

dove kfn − f k∞ = sup |fn (x) − f (x)|. x∈Ω

(1.3) Osservazione Per il Teorema di Weierstrass se Ω ⊆ Rm `e compatto, cio`e chiuso e limitato, non vuoto e f : Ω → R `e continua, allora |f | ammette massimo. In tal caso si ha che

kf k∞ = sup |f (x)| = max |f (x)|. x∈Ω

x∈Ω

(1.4) Osservazione Per definizione (fn ) converge uniformemente a f in Ω se

lim kfn − f k∞ = 0, n

dove kfn − f k∞ = sup |fn (x) − f (x)|. Questo significa che x∈Ω

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tale che ∀n ≥ n0 e ∀x ∈ Ω si ha f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε.

Quindi definitivamente (cio`e da un certo n0 in poi) il grafico di tutte le funzioni fn `e contenuto nella “striscia” compresa fra i grafici delle funzioni f − ε e f + ε.

169

1 Nozioni preliminari sulle successioni di funzioni

y

f +ε fn f f −ε

O

a

b

x

Figura 7.1: Convergenza uniforme su un intervallo.

(1.5) Esempio Consideriamo la successione di funzioni fn : [0, 1] → R definite da fn (x) = xn . Determiniamo il limite puntuale della successione (fn ) e controlliamo se la convergenza `e uniforme. Si ha che per ogni x ∈ [0, 1] n

lim fn (x) = lim x = n

n

(

0 se 0 ≤ x < 1 1 se x = 1.

Quindi la successione (fn ) converge puntualmente su [0, 1] alla funzione f (x) =

(

0 se 0 ≤ x < 1 1 se x = 1.

Controlliamo se la convergenza `e uniforme, ossia se lim kfn − f k∞ = lim sup |fn (x) − f (x)| = 0. n

n x∈[0,1]

Si ha che per ogni n |fn (x) − f (x)| =

(

xn

se 0 ≤ x < 1

0

se x = 1.

Quindi per ogni n kfn − f k∞ = sup |fn (x) − f (x)| = sup xn = 1. x∈[0,1]

x∈[0,1)

170

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Ne segue che lim kfn − f k∞ = 1 6= 0 e quindi (fn ) non converge uniformemente a f su n

[0, 1]. Questo fatto `e ben visibile anche graficamente. Infatti, in un intorno sinistro del punto x = 1 non `e vero che per ogni ε > 0 il grafico delle funzioni fn `e definitivamente contenuto fra quello delle funzioni f − ε e f + ε, y



1

fn

f

ε


1

O

x

−ε

Figura 7.2: Il grafico di fn non `e definitivamente contenuto fra i grafici di f − ε e f + ε.

(1.6) Esempio Consideriamo la successione di funzioni fn : [0, a] → R definite da fn (x) = xn , con 0 < a < 1. Determiniamo il limite puntuale della successione (fn ) e controlliamo se la convergenza `e uniforme. Si ha che per ogni x ∈ [0, a] lim fn (x) = lim xn = 0. n

n

Quindi la successione (fn ) converge puntualmente su [0, a] alla funzione f (x) = 0. Controlliamo se la convergenza `e uniforme, ossia se lim kfn − f k∞ = lim sup |fn (x) − f (x)| = 0. n

n x∈[0,a]

Si ha che per ogni n |fn (x) − f (x)| = xn

=⇒

kfn − f k∞ = sup |fn (x) − f (x)| = an . x∈[0,a]

171

1 Nozioni preliminari sulle successioni di funzioni

Essendo 0 < a < 1, ne segue che lim kfn − f k∞ = lim an = 0 n

n

e quindi (fn ) converge uniformemente a f su [0, a]. Questo fatto `e ben visibile anche graficamente. Infatti, per ogni ε > 0 il grafico delle funzioni fn `e definitivamente contenuto fra quello delle funzioni f − ε e f + ε, y

f2 (x) = x2

f5 (x) = x5

ε

f

O

a

x a = 0, 75

−ε

Figura 7.3: Il grafico di fn `e definitivamente contenuto fra i grafici di f − ε e f + ε.

(1.7) Proposizione Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, (fn ) una successione di funzioni limitate da Ω in R convergente uniformemente a f in Ω. Allora (fn ) converge puntualmente a f in Ω. Dimostrazione. Per ogni x ∈ Ω si ha che 0 ≤ |fn (x) − f (x)| ≤ kfn − f k∞ . Poich´e kfn −f k∞ → 0, per il Secondo teorema del confronto (sui limiti) anche |fn (x)−f (x)| → 0 per ogni x ∈ Ω, da cui la tesi.

(1.8) Proposizione

Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, (fn ) una successione di funzioni

continue e limitate da Ω in R convergente uniformemente a f in Ω. Allora f `e continua.

172

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Dimostrazione. Sia x0 ∈ Ω. Proviamo che f `e continua in x0 , cio`e che ∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che ∀x ∈ Ω con |x − x0 | < δ si ha |f (x) − f (x0 )| < ε. Sia ε > 0. Poich´e (fn ) converge uniformemente a f in Ω, si ha che ∃n0 ∈ N tale che ∀n ≥ n0 e ∀x ∈ Ω si ha |fn (x) − f (x)| < 3ε . Poich´e fn0 `e continua, si ha che ∃δ > 0 tale che ∀x ∈ Ω con |x − x0 | < δ si ha |fn0 (x) − fn0 (x0 )| < 3ε . Ne segue che per ogni x ∈ Ω con |x − x0 | < δ si ha che |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − f (x0 )| <

ε ε ε + + = ε. 3 3 3

Pertanto f `e continua in x0 e per l’arbitrariet` a di x0 si ha la tesi.

(1.9) Osservazione Nell’Esempio (1.5) abbiamo visto che la successione di funzioni fn (x) = xn su [0, 1] non converge uniformemente al suo limite puntuale f (x) =

(

0 se 0 ≤ x < 1 1 se x = 1.

Questo fatto si pu` o dedurre molto pi` u facilmente facendo ricorso alla Proposizione (1.8). Infatti, poich´e le funzioni fn sono continue mentre f non `e continua su [0, 1], per la Proposizione (1.8) la successione (fn ) non converge uniformemente a f su [0, 1].

2

Passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata (2.1) Teorema

(Passaggio al limite sotto il segno di integrale)

Sia (fn ) una successione di funzioni continue su [a, b] convergente uniformemente a f in [a, b]. Allora

Z

b

a

f (x) dx =

Z

b

a



lim fn (x) dx = lim n

n

Z

b

a

fn (x) dx.

Dimostrazione. Proviamo che ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tale che ∀n ≥ n0 si ha

Z Z b b fn (x) dx − f (x) dx < ε. a a

173

2 Passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata

Sia ε > 0. Poich´e (fn ) converge uniformemente a f in [a, b], esiste n0 ∈ N tale che per ε b−a .

ogni n ≥ n0 si ha che kfn − f k∞ <

Ne segue che per ogni n ≥ n0

Z Z Z Z b b b b fn (x) dx − f (x) dx = (fn (x) − f (x)) dx ≤ |fn (x) − f (x)| dx ≤ a a a a

≤

Z

b

a

kfn − f k∞ dx = kfn − f k∞ (b − a) <

Pertanto lim n

(2.2) Teorema

Z

b

a

fn (x) =

Z

ε (b − a) = ε. b−a

b

f (x) dx.

a

(Passaggio al limite sotto il segno di derivata)

Siano I ⊆ R un intervallo aperto e (fn ) una successione di funzioni di classe C 1 su I. Supponiamo che: i) la successione (fn ) converga puntualmente ad una funzione f su I; ii) la successione (fn0 ) converga uniformemente ad una funzione g su ogni sottointervallo chiuso e limitato contenuto in I. Allora f `e di classe C 1 su I e f 0 (x) = g(x) per ogni x ∈ I. In particolare si ha che 



f 0 = D lim fn = lim D(fn ), n

dove D `e l’operatore di derivazione.

n

Dimostrazione. Sia x0 ∈ I. Proviamo che f `e derivabile in x0 con derivata continua

e che f 0 (x0 ) = g(x0 ).

Sia [a, b] ⊆ I con x0 ∈ [a, b].

Poich´e fn0 `e continua su [a, b], per il Teorema

fondamentale del calcolo integrale si ha che ∀x ∈ [a, b] :

fn (x) = fn (x0 ) +

Z

x x0

fn0 (t) dt.

Introduciamo la funzione G : [a, b] → R definita da ∀x ∈ [a, b] :

G(x) = f (x0 ) +

Z

x

g(t) dt.

x0

Dimostriamo che (fn ) converge uniformemente a G su [a, b]. Sia ε > 0.

174

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Poich´e per l’ipotesi i) (fn ) converge puntualmente a f su I, esiste n0 ∈ N tale che

per ogni n ≥ n0 si ha |fn (x0 ) − f (x0 )| < 4ε .

Poich´e per l’ipotesi ii) (fn0 ) converge uniformemente a g su [a, b], esiste n1 ∈ N, n1 ≥

n0 , tale che per ogni n ≥ n1 si ha kfn0 − gk∞ <

ε 4(b−a) .

Inoltre per la Proposizione (1.8)

si ha che g `e continua su [a, b]. Allora per ogni n ≥ n1 e per ogni x ∈ [a, b] con x ≥ x0 si ha che Z |fn (x) − G(x)| = fn (x0 ) +

x

x0

Z

≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| +

≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| +

x

x0

Z

fn0 (t) dt

− f (x0 ) −

Z

x

x0



(fn0 (t) − g(t)) dt ≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| + b

a

Z

x

Z

b

|fn0 (t) − g(t)| dt ≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| +

= |fn (x0 ) − f (x0 )| + kfn0 − gk∞ (b − a) <

g(t) dt ≤ x0

a

|fn0 (t) − g(t)| dt ≤ kfn0 − gk∞ dt =

ε ε ε ε ε + (b − a) = + = . 4 4(b − a) 4 4 2

Similmente per ogni n ≥ n1 e per ogni x ∈ [a, b] con x < x0 si ha che |fn (x) − G(x)| < 2ε .

Quindi per ogni n ≥ n1 e per ogni x ∈ [a, b] si ha che |fn (x) − G(x)| < 2ε . Ne segue che per ogni n ≥ n1 kfn − Gk∞ = sup |fn (x) − G(x)| ≤ x∈[a,b]

ε < ε. 2

Quindi (fn ) converge uniformemente a G su [a, b]. In particolare (fn ) converge puntualmente a G su [a, b]. Poich´e per l’ipotesi i) (fn ) converge puntualmente a f su I, per il Teorema di unicit` a del limite si ha che G = f su [a, b]. Quindi si ha che ∀x ∈ [a, b] :

f (x) = f (x0 ) +

Z

x

g(t) dt.

x0

Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che f `e derivabile in [a, b] con f 0 (x) = g(x) per ogni x ∈ [a, b]. In particolare f `e derivabile in x0 con derivata continua e f 0 (x0 ) = g(x0 ). Per l’arbitrariet` a di x0 si ha la tesi.

175

3 Approfondimenti: scambio di ordine nei limiti

3

Approfondimenti: scambio di ordine nei limiti (3.1) Teorema m

Siano Ω ⊆ R

(Scambio di ordine nei limiti)

non vuoto, x0 ∈ Rm un punto di accumulazione per Ω e (fn ) una

successione di funzioni limitate da Ω in R. Supponiamo che: i) (fn ) converga uniformemente ad una funzione f in Ω; ii) per ogni n ∈ N esista lim fn (x) = ln ∈ R. x→x0

Allora esiste lim ln = l ∈ R e si ha che lim f (x) = l. In particolare si ha che n

x→x0

lim

x→x0





lim fn (x) = lim n

n





lim fn (x) .

x→x0

Dimostrazione. Proviamo inizialmente che la successione (ln ) `e di Cauchy in R, cio`e che ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tale che ∀n, m ≥ n0 si ha che |ln − lm | < ε. Sia ε > 0. Poich´e (fn ) converge uniformemente a f in Ω, esiste n0 ∈ N tale che per ogni

n ∈ N, con n ≥ n0 , si ha kfn − f k∞ < 3ε . Ne segue che per ogni n ∈ N, con n ≥ n0 , e per ogni x ∈ Ω si ha (3.2)

|fn (x) − f (x)| <

ε . 3

In particolare per ogni n, m ∈ N, con n, m ≥ n0 , e per ogni x ∈ Ω si ha |fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| <

2 ε ε + = ε. 3 3 3

Poich´e fn (x) → ln per x → x0 , si ha che 2 |ln − lm | = lim |fn (x) − fm (x)| ≤ ε < ε. x→x0 3 Quindi (ln ) `e di Cauchy. Poich´e R `e uno spazio normato completo 1 , la successione (ln ) converge ad un certo l ∈ R. Dimostriamo ora che lim f (x) = l. Poich´e ln → l per n → +∞, esiste n1 ∈ N, con x→x0

n1 ≥ n0 , tale che per per ogni n ∈ N con n ≥ n1 si ha |ln − l| < 3ε . In particolare per n = n1 si ha |ln1 − l| < 3ε . Poich´e fn1 (x) → ln1 per x → x0 , esiste δ > 0 tale che per ogni 1

Uno spazio normato `e completo se ogni successione di Cauchy in questo spazio `e convergente (vedi Appendice F).

176

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

x ∈ Ω con 0 < |x − x0 | < δ si ha |fn1 (x) − ln1 | < 3ε . Quindi, applicando (3.2) si ha che per ogni x ∈ Ω con 0 < |x − x0 | < δ |f (x) − l| ≤ |f (x) − fn1 (x)| + |fn1 (x) − ln1 | + |ln1 − l| < Ne segue che f (x) → l per x → x0 , da cui la tesi.

ε ε ε + + = ε. 3 3 3

Capitolo 8

Serie di funzioni Nel seguito considereremo m ∈ N, m ≥ 1.

1

Nozioni preliminari sulle serie di funzioni

Introduciamo le nozioni per le funzioni reali. In modo del tutto analogo si introducono per le funzioni complesse.

(1.1) Definizione

Siano Ω ⊆ Rm non vuoto e (fn ) una successione di funzioni

da Ω in R. Si chiama serie di fn la scrittura formale ∞ X

fn (x).

n=0

Per ogni x ∈ Ω poniamo S0 (x) = f0 (x), Sn (x) =

n X

k=0

fk (x) = f0 (x) + f1 (x) + · · · + fn (x),

n ≥ 1.

Per ogni n, Sn `e detta somma parziale n-esima della serie di fn . Diciamo che

∞ X

n=0

fn (x) converge puntualmente in Ω alla funzione f : Ω → R

se la successione (Sn ) converge puntualmente a f in Ω, cio`e se per ogni x ∈ Ω lim Sn (x) = f (x). n

177

178

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

In tal caso f `e detta somma della serie di fn e poniamo ∀x ∈ Ω : Diciamo che

∞ X

∞ X

fn (x) = lim Sn (x) = f (x). n

n=0

fn (x) converge assolutamente in Ω se la serie

n=0

n=0

converge puntualmente in Ω.

Fissato x ∈ Ω, la serie

∞ X

∞ X

|fn (x)|

fn (x) `e una serie numerica. Quindi questa definizione

n=0

corrisponde a quella introdotta per le serie numeriche.

(1.2) Definizione

Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, (fn ) una successione di funzioni

limitate da Ω in R, (Sn ) la successione delle somme parziali della serie di fn e f : Ω → R una funzione. Diciamo che

∞ X

fn (x) converge uniformemente a f

n=0

in Ω se la successione (Sn ) converge uniformemente a f in Ω, cio`e se lim kSn − f k∞ = 0, n

dove kSn − f k∞ = sup |Sn (x) − f (x)|. Diciamo che

∞ X

x∈Ω

fn (x) converge totalmente (o normalmente) in Ω se converge

n=0

la serie numerica

∞ X

n=0

kfn k∞ ,

dove kfn k∞ = sup |fn (x)|. x∈Ω

(1.3) Osservazione Evidentemente le serie numeriche sono serie di funzioni costanti. In tal caso la convergenza uniforme coincide con quella puntuale e la convergenza totale coincide con quella assoluta. Il prossimo risultato stabilisce quale relazione sussista fra i quattro tipi di convergenza introdotti per una serie di funzioni limitate.

179

1 Nozioni preliminari sulle serie di funzioni

(1.4) Proposizione Siano Ω ⊆ Rm non vuoto e (fn ) una successione di funzioni limitate da Ω in R. Allora valgono le seguenti implicazioni fra i vari tipi di convergenza della serie ∞ X

fn (x):

n=0

Convergenza totale

=⇒

w w 

Convergenza assoluta =⇒ 1

Dimostrazione. Se convergenza assoluta

∞ X

n=0 ∞ X

Convergenza uniforme w w 

Convergenza puntuale

fn (x) converge assolutamente in Ω, allora per il Criterio della fn (x) converge puntualmente in Ω e si ha

n=0

∀x ∈ Ω : Se

∞ X

∞ ∞ X X fn (x) ≤ |fn (x)|. n=0

n=0

fn (x) converge uniformemente in Ω, allora la successione (Sn ) delle somme parziali

n=0

della serie di fn converge uniformemente in Ω. Per la Proposizione (1.7) del Capitolo 7 (Sn ) converge puntualmente in Ω e quindi Se

∞ X

∞ X

fn (x) converge puntualmente in Ω.

n=0

fn (x) converge totalmente in Ω, allora

n=0

∞ X

n=0

kfn k∞ converge. Essendo |fn (x)| ≤

kfn k∞ per ogni x ∈ Ω, per il Criterio del confronto anche x ∈ Ω, quindi

∞ X

∞ X

n=0

fn (x) converge assolutamente in Ω.

n=0

Infine, supponiamo che converga. Dimostriamo che nei passi precedenti, la serie

∞ X

fn (x) converga totalmente in Ω, cio`e che

n=0 ∞ X

1

∞ X

n=0

kfn k∞

fn (x) converge uniformemente in Ω. Per quanto visto

n=0 ∞ X

fn (x) converge assolutamente e puntualmente in Ω con

n=0

(1.5)

|fn (x)| converge per ogni

∀x ∈ Ω :

∞ ∞ X X fn (x) ≤ |fn (x)|. n=0

Vale pi` u in generale anche per funzioni non limitate.

n=0

180

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Siano Sn (x) =

n X

fk (x) la somma parziale n-esima della serie e f (x) =

k=0

∞ X

fk (x) la

k=0

somma della serie. Per ogni x ∈ Ω si ha che

n ∞ ∞ X X X |Sn (x) − f (x)| = fk (x) − fk (x) = fk (x) ≤ x  k=0 k=0 k=n+1

(1.5)

≤

∞ X

k=n+1

|fk (x)|

≤ x 

k=n+1

|fk (x)|≤kfk k∞

Ne segue che

∞ X

kSn − f k∞ = sup |Sn (x) − f (x)| ≤ x∈Ω

Poich´e

∞ X

k=0

lim n

kfk k∞ .

∞ X

kfk k∞ .

∞ X

kfk k∞ −

k=n+1

kfk k∞ converge, allora

∞ X

k=n+1

kfk k∞ = lim n

∞ X

k=0

kfk k∞ −

n X

k=0

kfk k∞

!

=

k=0

∞ X

k=0

kfk k∞ = 0.

Per il Secondo teorema del confronto (sui limiti) anche lim kSn − f k∞ = 0 n

da cui segue che

∞ X

fn (x) converge uniformemente in Ω.

n=0

(1.6) Proposizione Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, (fn ) una successione di funzioni continue e limitate da Ω in R e f : Ω → R una funzione. Se

∞ X

fn (x) converge uniformemente a f in Ω, allora f `e continua.

n=0

Dimostrazione. Si applica la Proposizione (1.8) del Capitolo 7 alla successione (Sn ) delle somme parziali della serie di fn .

(1.7) Osservazione Fra convergenza uniforme e convergenza assoluta non c’`e alcuna implicazione. Questo significa che esistono serie che convergono uniformemente ma non assolutamente e serie che convergono assolutamente ma non uniformemente. Per esempio, la serie di funzioni costanti fn (x) =

(−1)n n

converge uniformemente

ma non assolutamente su R. Infatti, per l’Osservazione (1.3) la convergenza uniforme

181

1 Nozioni preliminari sulle serie di funzioni

coincide con quella puntuale, ed essendo convergente

∞ X (−1)n

n

n=1

formemente in R. Inoltre per ogni x ∈ R si ha che ∞ X

n=1

Quindi

∞ X

∞ ∞ X (−1)n X 1 |fn (x)| = = n n n=1

, converge anche uni-

`e divergente.

n=1

fn (x) non converge assolutamente.

n=1

Un esempio di serie convergente assolutamente ma non uniformemente `e ∞  X



arctan (nx) − arctan [(n − 1)x] .

n=1

` una serie di funzioni continue su R. Per ogni n ≥ 1 poniamo fn (x) = arctan (nx) − E arctan [(n − 1)x]. Osserviamo che la serie data `e telescopica. Consideriamo inizialmente la convergenza puntuale. La somma parziale n-esima della serie `e Sn (x) =

n X

n  X

fk (x) =

k=1

k=1



arctan (kx) − arctan [(k − 1)x] =

= arctan x + arctan 2x − arctan x + · · · + arctan (nx) − arctan [(n − 1)x] = = arctan (nx). Quindi la somma della serie `e

f (x) = lim Sn (x) = lim arctan (nx) = n

n

 π −    2

0

  π 2

se x < 0 se x = 0 se x > 0.

Quindi la serie converge puntualmente in R alla funzione f . Osserviamo che fn `e continua in R, mentre f non `e continua in 0. Per la Proposizione (1.6) la serie data non converge uniformemente e totalmente in R. Infine consideriamo la convergenza assoluta. Osserviamo che fn (x) ≥ 0 se e solo se x ≥ 0. Inoltre fn `e dispari. Ne segue che se x ≥ 0, allora la serie f (x); se x < 0, allora la serie

∞ X

n=1

|fn (x)| =

serie data converge assolutamente in R a g(x) =

(

∞ X

∞ X

n=1

|fn (x)| converge a

fn (−x) converge a f (−x) = π2 . Quindi la

n=1

0

se x = 0

π 2

se x 6= 0

= |f (x)|.

182

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(1.8) Teorema (Criterio di Weierstrass) Siano Ω ⊆ Rm non vuoto e (fn ) una successione di funzioni da Ω in R. Suppponiamo che esista una successione (Mn ) in R tale che: i) |fn (x)| ≤ Mn per ogni x ∈ Ω e ogni n ∈ N; ii) la serie

∞ X

Mn sia convergente.

n=0

Allora

∞ X

fn (x) converge totalmente in Ω.

n=0

Dimostrazione. Poich´e |fn (x)| ≤ Mn per ogni x ∈ Ω e ogni n ∈ N si ha che kfn k∞ = sup |fn (x)| ≤ Mn . x∈Ω

Poich´e ∞ X

∞ X

Mn converge, per il Criterio del confronto anche

n=0

∞ X

n=0

kfn k∞ converge e quindi

fn (x) converge totalmente in Ω.

n=0

(1.9) Osservazione Per l’ipotesi i) le funzioni fn sono tutte limitate.

1.1

Integrazione e derivazione termine a termine

(1.10) Teorema

(di integrazione termine a termine) Sia (fn ) una

successione di funzioni continue in [a, b].

Supponiamo che

∞ X

fn (x) converga

n=0

uniformemente ad una funzione f in [a, b]. Allora

Z

b

a

f (x) dx =

Z

∞ bX

a n=0

fn (x) dx =

∞ Z X

b

n=0 a

fn (x) dx.

(Si dice che la serie `e integrabile termine a termine). Dimostrazione. Si applica il Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale alla successione delle somme parziali della serie di fn (vedi Teorema (2.1) del Capitolo 7).

183

1.1 Integrazione e derivazione termine a termine

(1.11) Teorema

(di derivazione termine a termine) Siano I ⊆ R un in-

tervallo aperto e (fn ) una successione di funzioni di classe C 1 su I. Supponiamo che: i)

∞ X

fn (x) converga puntualmente ad una funzione f su I;

∞ X

fn′ (x) converga uniformemente ad una funzione g su ogni sottointervallo

n=0

ii)

n=0

chiuso e limitato contenuto in I. Allora f `e di classe C 1 su I e f ′ (x) = g(x) per ogni x ∈ I. In particolare si ha che per ogni x ∈ I ′

f (x) = D

∞ X

n=0

!

fn (x)

=

∞ X

Dfn (x),

n=0

dove D `e l’operatore di derivazione. (Si dice che la serie `e derivabile termine a termine). Dimostrazione. Si applica il Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata alla successione delle somme parziali della serie di fn (vedi Teorema (2.2) del Capitolo 7).

184

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(1.12) Osservazione Abbiamo gi` a osservato che le serie numeriche sono particolari serie di funzioni (costanti). Nei prossimi capitoli studieremo con maggiore attenzione serie di funzioni non costanti che godono di particolari propriet` a. Pi` u precisamente ci occuperemo di serie di potenze, serie di Taylor (e di McLaurin), serie di Fourier. Da un punto di vista grafico possiamo cos`ı rappresentare questi insiemi di serie di funzioni:

Serie di funzioni

Serie numeriche Serie di potenze

Serie di Taylor e di McLaurin Serie di Fourier

185

1.2 Approfondimenti: limite di una serie

1.2

Approfondimenti: limite di una serie

(1.13) Teorema

(Limite di una serie)

Siano Ω ⊆ Rm non vuoto, x0 ∈ Rm un punto di accumulazione per Ω e (fn ) una successione di funzioni limitate da Ω in R. Supponiamo che: i)

∞ X

fn (x) converga uniformemente ad una funzione f in Ω;

n=0

ii) per ogni n ∈ N esista lim fn (x) = ln ∈ R. x→x0

Allora

∞ X

n=0

ln converge a l ∈ R e si ha che lim f (x) = l. In particolare si ha che x→x0

lim

x→x0

∞ X

n=0

!

fn (x)

=

∞  X

n=0



lim fn (x) .

x→x0

Dimostrazione. Si applica il Teorema sullo scambio di ordine nei limiti alla successione delle somme parziali (Sn ) della serie di fn (vedi Teorema (3.1) del Capitolo 7).

186

2

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Serie di potenze

Introduciamo le serie di potenze reali. Per quelle complesse si veda pag. 213. (2.1) Definizione

Siano x0 ∈ R e (an ) una successione di numeri reali. Si

chiama serie di potenze centrata in x0 la serie di funzioni ∞ X

n=0

an (x − x0 )n ,

con la convenzione che 00 = 1. Si chiama raggio di convergenza della serie di potenze

∞ X

n=0

(

R = sup t ∈ R :

∞ X

an (x − x0 )n l’entit` a

)

n

an t `e convergente .

n=0

Con il cambiamento di variabile t = x − x0 la serie di potenze centrata in x0 diventa una serie di potenze centrata in 0. Infatti, ∞ X

n=0

an (x − x0 )n

= x 

t=x−x0

∞ X

an tn .

n=0

Poich´e la serie di potenze converge certamente in x = x0 , ovvero in t = 0, si ha che R ∈ [0, +∞]. Per semplicit` a espositiva, nel seguito considereremo serie di potenze centrate in 0. (2.2) Teorema Siano

∞ X

n=0

(sull’insieme di convergenza)

an xn una serie di potenze e R ∈ [0, +∞] il suo raggio di convergenza.

Valgono i seguenti fatti: i) se R = 0, allora la serie

∞ X

an xn converge solo in x = 0;

n=0

ii) se 0 < R < +∞, allora la serie

∞ X

an xn converge assolutamente nell’in-

n=0

tervallo (−R, R) e uniformemente in ogni intervallo [−k, k], con 0 < k < R; iii) se R = +∞, allora la serie

∞ X

an xn converge assolutamente in R e

n=0

uniformemente in ogni intervallo [−k, k], con k > 0.

187

2 Serie di potenze

Dimostrazione. La i) `e ovvia. Proviamo ii). Sia x ∈ (−R, R). Essendo (

R = sup t ∈ R : esiste |x| < x1 < R tale che

∞ X

∞ X

)

n

an t `e convergente ,

n=0

an xn1 converge. Per il Criterio del confronto

n=0

∞ X

an xn

n=0

converge assolutamente e per l’arbitrariet` a di x ∈ (−R, R) la serie di potenze converge assolutamente in (−R, R). Sia ora 0 < k < R. Per quanto appena dimostrato la serie di potenze converge assolutamente in k. Inoltre per ogni x ∈ [−k, k] si ha che per ogni n ∈ N |an xn | = |an ||x|n ≤ |an |kn . Per il Criterio del Weierstrass

∞ X

an xn converge totalmente, e quindi uniformemente, in

n=0

[−k, k].

Infine la iii) si prova in modo analogo alla ii).

(2.3) Teorema

(di Abel) Siano

n=0

il suo raggio di convergenza. Se la serie di potenze

∞ X

n=0

∞ X

an xn una serie di potenze e R ∈ (0, +∞)

an xn converge anche in x = R (risp. x = −R), allora

converge uniformemente in ogni intervallo [−k, R] (risp. [−R, k]), con 0 < k < R. In particolare, se converge in x = ±R, allora converge uniformemente in [−R, R]. Per la dimostrazione si veda pag. 199. (2.4) Esempio Consideriamo la serie di potenze

∞ X xn

. Determiniamo il raggio di n convergenza. Al momento non abbiamo strumenti per determinare il raggio di convern=0

genza e quindi dobbiamo ricorrere alla definizione. Vedremo in seguito alcuni modi per determinarlo (Teoremi (2.6) e (2.8)). Sia x ∈ R. Si ha che

Poich´e la serie geometrica

∞ X

n=0

n x ≤ |x|n . n

|x|n converge se e solo se |x| < 1, per il Criterio del

confronto la serie di potenze converge in ogni x con |x| < 1. Consideriamo ora x con

188

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

|x| ≥ 1. Si ha che x=1

∞ X xn

=⇒

n=0

x = −1

|x| > 1

=⇒

∞ X xn

=⇒

n=0

xn = lim n n

(

n

n

=

=

∞ X 1

n=0

n

=⇒

∞ X (−1)n

n=0

=⇒

n

+∞

se x > 1

6∃

se x < −1

=⇒

diverge;

converge; ∞ X xn

n=0

n

non converge.

Quindi (

x∈R:

∞ X xn

n=0

n

`e convergente

)

= [−1, 1).

Ne segue che il raggio di convergenza `e R = sup[−1, 1) = 1. La serie di potenze converge assolutamente in (−1, 1) e per il Teorema di Abel converge uniformemente in [−1, k], per ogni 0 < k < 1.

(2.5) Osservazione Siano

∞ X

n=0

an xn una serie di potenze, I ⊆ R l’insieme di conver-

genza puntuale della serie e f : I → R la somma della serie. Allora f `e continua. Dimostrazione. Sia x0 ∈ I. Dimostriamo che la funzione f : I → R definita da ∀x ∈ I :

f (x) =

∞ X

an xn

n=0

`e continua in x0 . Se il raggio di convergenza della serie `e R = 0, allora x0 = 0, I = {0} e la tesi `e ovvia. Sia quindi R ∈ (0, +∞]. Se x0 = 0, essendo R > 0 la serie di potenze converge

uniformemente in [−k, k] per ogni 0 < k < R. Poich´e le funzioni fn (x) = an xn sono continue su I, quindi anche su [−k, k], per la Proposizione (1.6) f `e continua su [−k, k], quindi anche in x0 = 0. Supponiamo che x0 > 0 (analogamente se x0 < 0). Le funzioni fn (x) = an xn sono continue su I, quindi anche su [0, x0 ]. Per i Teoremi (2.2) e (2.3) la serie converge uniformemente in [0, x0 ]. Per la Proposizione (1.6) f `e continua in [0, x0 ] e in particolare in x0 . Per l’arbitrariet` a di x0 si ha la tesi.

189

2 Serie di potenze

(2.6) Teorema

(della radice o di Cauchy-Hadamard) Sia

∞ X

an xn una

n=0

serie di potenze. Supponiamo che esista q n

lim n

|an | = l ∈ [0, +∞].

Allora il raggio di convergenza della serie di potenze `e

R=

 +∞    1

se l = 0 se 0 < l < +∞

 l   

0

se l = +∞.

Dimostrazione. Sappiamo che la serie di potenze converge in x = 0. Sia x 6= 0. Applichiamo il Criterio della radice alla serie numerica

∞ X

n=0

lim n

q n

q n

|an xn | = lim n

|an | |x| =

Se l = 0, allora per il Criterio della radice

∞ X

n=0

 0      

|an xn |. Si ha che

se l = 0 se 0 < l < +∞

l|x|

+∞ se l = +∞. n

|an x | converge. Quindi

assolutamente e di conseguenza converge in ogni x 6= 0. Pertanto (

x∈R:

∞ X

n

an x `e convergente

n=0

)

∞ X

an xn converge

n=0

=R

e il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = +∞. Se 0 < l < +∞, allora per il Criterio della radice e diverge se l|x| > 1. Quindi se |x| < conseguenza converge. Se |x| > 1l , allora

∞ X

1 l,

allora

∞ X

∞ X

n=0

|an xn | converge se l|x| < 1

an xn converge assolutamente e di

n=0

an xn non converge assolutamente. Se per assurdo convergesse

n=0

in qualche x con |x| > 1l , allora il raggio di convergenza della serie sarebbe R ≥ |x| >

1 l

e quindi per il Teorema (2.2) la serie convergerebbe assolutamente in (−R, R). Quindi convergerebbe assolutamente in qualche t con |t| >

1 l,

contraddicendo quanto appena

dimostrato. Ne segue che 

1 1 − , l l



⊆

(

x∈R:

∞ X

n=0

n

an x `e convergente

)





1 1 ⊆ − , . l l

190

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Quindi 

1 1 sup − , l l |

{z

= 1l



}

(

≤ sup x ∈ R :

∞ X

n

an x `e convergente

n=0

|

)

{z

}

=R

|

Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = 1l . Se l = +∞, allora per il Criterio della radice

∞ X

n=0





1 1 ≤ sup − , . l l {z

= 1l

}

|an xn | diverge e quindi

∞ X

an xn

n=0

non converge assolutamente in alcun x 6= 0. Se per assurdo convergesse in qualche x 6= 0, allora il raggio di convergenza della serie sarebbe R ≥ |x| > 0 e quindi per il Teorema (2.2) la serie convergerebbe assolutamente in (−R, R). Quindi convergerebbe assolutamente in qualche t 6= 0, contraddicendo quanto appena dimostrato. Pertanto (

x∈R:

∞ X

n

an x `e convergente

n=0

)

= {0}

e il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = 0.

(2.7) Osservazione Se non esiste lim

q n

|an |, allora NON possiamo concludere nulla ` sul raggio di convergenza della serie di potenze utilizzando il Teorema della radice. E n

necessario ricorrere ad un altro metodo per determinarlo.

(2.8) Teorema

(del rapporto o di D’Alembert) Sia

∞ X

an xn una serie di

n=0

potenze. Supponiamo che esista an+1 = l ∈ [0, +∞]. lim n a n

Allora il raggio di convergenza della serie di potenze `e

R=

 +∞    1  l   

0

se l = 0 se 0 < l < +∞ se l = +∞.

Dimostrazione. Sappiamo che la serie di potenze converge in x = 0. Sia x 6= 0. Applichiamo il Criterio del rapporto alla serie numerica

∞ X

n=0

 0   

a n+1 an+1 n+1 x |x| = l|x| lim = lim n n  an xn an  

|an xn |. Si ha che

se l = 0 se 0 < l < +∞

+∞ se l = +∞.

191

2 Serie di potenze

Da qui in poi la dimostrazione procede in modo del tutto identico a quella del Teorema della radice.

an+1 , allora NON possiamo concludere nulla (2.9) Osservazione Se non esiste lim n a n

` sul raggio di convergenza della serie di potenze utilizzando il Teorema del rapporto. E necessario ricorrere ad un altro metodo per determinarlo.

(2.10) Osservazione Come gi` a visto nel capitolo sulle serie numeriche (vedi Osservazione (2.27) del Capitolo 6 e Teorema (1.10) dell’Appendice E), se (an ) `e una succes q an+1 = l, allora anche lim n |an | = l. In altri termini, il Teorema sione e se lim n→+∞ an n→+∞ della radice `e pi` u generale di quello del rapporto. q an+1 n . Quindi Si osservi che se non esiste lim |an |, allora non esiste neppure lim n n an in tal caso NON `e possibile n´e applicare il Teorema della radice n´e quello del rapporto ` necessario ricorrere ad un altro per determinare il raggio di convergenza della serie. E metodo per determinarlo. (2.11) Esempio Consideriamo la serie di potenze

∞ X

(2n + 3n ) xn . Determiniamo il

n=0

raggio di convergenza. Proviamo ad applicare il Teorema della radice. Si ha che r

n √ n 2 + 1 = 3. lim n 2n + 3n = lim 3 n n 3n

Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = 



1 3.

Ne segue che la serie

converge assolutamente in − 13 , 13 .

Consideriamo ora x = ± 13 . Si ha che x=

x=−

1 3

1 3

=⇒

lim n

2n + 3n = 1 6= 0 3n

lim(−1)n

=⇒

n

Quindi la serie di potenze

2n + 3n 6∃ 3n

∞ X

∞ X 2n + 3n

=⇒

n=0

=⇒

∞ X

(−1)n

n=0

3n

diverge;

2n + 3n non converge. 3n

(2n + 3n ) xn converge puntualmente in

n=0

formemente in [−k, k] per ogni 0 < k < 13 . (2.12) Esempio Consideriamo la serie di potenze

∞ X

n=0

n

− 13 , 13



e uni-

n! xn . Determiniamo il raggio di

convergenza. Proviamo ad applicare il Teorema del rapporto. Si ha che lim



(n + 1)! (n + 1) n! = lim = lim(n + 1) = +∞. n n n! n!

192

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = 0. Ne segue che la serie converge solo in x = 0. ∞ X 2n

xn . Determiniamo il raggio n! n=0 n di convergenza. Proviamo ad applicare il Teorema del rapporto. Posto an = 2n! , si ha (2.13) Esempio Consideriamo la serie di potenze

che lim n

an+1 2n+1 2 · 2n 2 n! n! = lim · n = lim · n = lim = 0. n (n + 1)! 2 n (n + 1) n! 2 n n+1 an

Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = +∞. Ne segue che la serie ∞ X 2n n x converge assolutamente su tutto R e uniformemente su [−k, k], per di potenze n! n=0 ogni k > 0. (2.14) Osservazione Sia x0 ∈ R e consideriamo la serie di potenze

∞ X

n=0

an (x − x0 )n .

Il raggio di convergenza R della serie si pu` o determinare come negli esempi precedenti, mediante i teoremi della radice o del rapporto. Si ha che i) se R = 0, la serie

∞ X

n=0

an (x − x0 )n converge solo in x0 ;

ii) se 0 < R < +∞, la serie

∞ X

n=0

an (x − x0 )n converge assolutamente nell’intervallo

(x0 − R, x0 + R) e uniformemente in ogni intervallo [a, b], con x0 − R < a < b < x0 + R; iii) se R = +∞, la serie

∞ X

n=0

an (x − x0 )n converge assolutamente in R e uniformemente

in ogni intervallo [a, b], con a < b. Inoltre, se R ∈ (0, +∞) e la serie di potenze

∞ X

n=0

an (x − x0 )n converge anche in

x = x0 + R (risp. x = x0 − R), allora converge uniformemente in ogni intervallo [a, x0 + R] (risp. [x0 − R, b]), con x0 − R < a < x0 + R (risp. x0 − R < b < x0 + R). In particolare, se converge in x = x0 ± R, allora converge uniformemente in [x0 − R, x0 + R]. Dimostrazione. Per esercizio.

Suggerimento Nelle applicazioni, data la serie di potenze

∞ X

n=0

an (x − x0 )n , conviene ricondursi ad una

serie centrata in 0 mediante il cambiamento di variabile t = x−x0 . Determinato il raggio di convergenza R e gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della serie di potenze

193

2 Serie di potenze

∞ X

an tn , si determinano quelli della serie centrata in x0 (il raggio `e lo stesso) mediante

n=0

il cambiamento di variabile inverso, cio`e x = t + x0 . ∞ X

1 ` una (x − 1)n . E n log (n + 1) 2 n=1 serie di potenze centrata in x0 = 1. Posto t = x − 1 si ha che

(2.15) Esempio Consideriamo la serie di potenze

∞ X

∞ X 1 1 n (x − 1) = tn n n 2 log (n + 1) 2 log (n + 1) n=1 n=1

che `e una serie di potenze centrata in 0.

Determiniamo il raggio di convergenza.

Proviamo ad applicare il Teorema della radice. Si ha che

lim n

s n

1 1 1 = lim p = . n 2 n log (n + 1) 2n log (n + 1) 2

Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = 2. Ne segue che la serie di ∞ X 1 potenze tn converge assolutamente in (−2, 2). n 2 log (n + 1) n=1 Consideriamo ora t = ±2. Si ha che t=2

Essendo

1 log (n+1)

>

1 n+1 ,

=⇒

∞ X

1 . log (n + 1) n=1

per il Criterio del confronto questa serie diverge. Inoltre

t = −2

=⇒

∞ X

(−1)n . log (n + 1) n=1

Per il Criterio di Leibniz questa serie converge. Quindi la serie di potenze centrata ∞ X 1 tn , converge puntualmente in [−2, 2) e, per il Teorema di Abel, in 0, n 2 log (n + 1) n=1 uniformemente in [−2, k] per ogni 0 < k < 2. ∞ X

1 (x − 1)n converge puntuallog (n + 1) n=1 mente in [−1, 3) e uniformemente in [−1, b] con −1 < b < 3. Essendo x = t + 1, si ha che la serie

2n

194

2.1

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Somma e prodotto di serie di potenze

(2.16) Teorema

(Somma di serie di potenze) Siano

∞ X

n=0

due serie di potenze con raggi di convergenza rispettivamente R1 e R2 . Allora la serie di potenze

∞ X

∞ X

an xn e

bn xn

n=0

(an + bn )xn ha raggio di convergenza R

n=0

min{R1 , R2 }.

≥

Se R1 6= R2 , allora il raggio di convergenza `e R = min{R1 , R2 }. Inoltre, per ogni x ∈ R con |x| < min{R1 , R2 } si ha che ∞ X

(an + bn )xn =

n=0

Dimostrazione. ∞ X

rie ∞ X

an xn e

n=0

∞ X

∞ X

an xn +

n=0

∞ X

bn xn .

n=0

Sia Rm = min{R1 , R2 }. Se x ∈ R con |x| < Rm , allora le sebn xn convergono e quindi per l’algebra delle serie converge anche

n=0

(an + bn )xn e si ha che

n=0 ∞ X

n

(an + bn )x =

n=0

∞ X

n

an x +

n=0

∞ X

bn xn .

n=0

In particolare (−Rm , Rm ) ⊆

(

∞ X

x∈R:

)

(an + bn )xn `e convergente .

n=0

Quindi il raggio di convergenza R della serie

∞ X

(an + bn )xn `e tale che

n=0

(

R = sup x ∈ R :

∞ X

n

(an + bn )x `e convergente

n=0

)

≥ sup(−Rm , Rm ) = Rm .

Infine, sia R1 6= R2 , per esempio R1 < R2 (analogamente si procede se R1 > R2 ). In questo caso Rm = min{R1 , R2 } = R1 . Sia R1 < x < R2 e proviamo che non converge. Infatti, se per assurdo convergesse, essendo

∞ X

(an + bn )xn

n=0

an xn = (an + bn )xn − bn xn , allora per l’algebra delle serie anche la serie

∞ X

an xn convergerebbe: assurdo perch´e

n=0

x > R1 . Quindi il raggio di convergenza R della serie

∞ X

(an + bn )xn `e R ≤ R1 = Rm .

n=0

Essendo R ≥ Rm , si ha che R = Rm = min{R1 , R2 }.

195

2.1 Somma e prodotto di serie di potenze

(2.17) Osservazione Si ha che: a) se R1 = R2 = +∞, evidentemente R = +∞; b) se i raggi delle due serie coincidono, pu` o succedere che il raggio di convergenza R della serie somma sia maggiore del loro comune valore. Infatti, se consideriamo ad esempio bn = −an , e se R1 ∈ (0, +∞) `e il raggio di convergenza della serie di potenze

∞ X

an xn , allora il raggio di convergenza della serie di potenze

n=0

∞ X

bn xn `e

n=0

evidentemente R2 = R1 e essendo an + bn = an − an = 0, la serie somma `e nulla e ha raggio di convergenza R = +∞ > R1 .

(2.18) Teorema e

∞ X

(Prodotto di Cauchy di serie di potenze) Siano

∞ X

an xn

n=0 n

bn x due serie di potenze con raggi di convergenza rispettivamente R1 e R2 .

n=0

∞ X

Allora il prodotto di Cauchy delle serie, cio`e la serie di potenze

cn xn , dove

n=0

cn =

n X

ak bn−k ,

k=0

ha raggio di convergenza R ≥ min{R1 , R2 }. Inoltre, per ogni x ∈ R con |x| < min{R1 , R2 } si ha che ∞ X

∞ X

n

cn x =

n

an x

n=0

n=0

!

∞ X

n

bn x

n=0

!

.

Dimostrazione. Sia Rm = min{R1 , R2 }. Se x ∈ R con |x| < Rm , allora le serie ∞ X

n=0

an xn e

∞ X

bn xn convergono assolutamente. Poich´e

n=0 n X

k

n−k

(ak x )(bn−k x

)=

k=0

n X

ak bn−k xn = cn xn ,

k=0

per il Teorema di Mertens sul prodotto di serie, la serie

∞ X

cn xn converge. In particolare

n=0

(−Rm , Rm ) ⊆

(

x∈R:

∞ X

n=0

n

)

cn x `e convergente .

196

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Quindi il raggio di convergenza R della serie

∞ X

cn xn `e tale che

n=0

(

∞ X

R = sup x ∈ R :

cn xn `e convergente

n=0

)

≥ sup(−Rm , Rm ) = Rm .

Infine, sempre per il Teorema di Mertens sul prodotto di serie, si ha che se x ∈ R con |x| < Rm , allora

∞ X

∞ X

cn xn =

n=0

n=0

2.2

an xn

!

∞ X

!

bn xn .

n=0

Integrazione e derivazione termine a termine per le serie di potenze

(2.19) Teorema

(di derivazione termine a termine per le serie di

potenze) Siano

an xn una serie di potenze e R ∈ (0, +∞] il suo raggio di

convergenza.

∞ X

n=0

Allora anche la serie di potenze

∞ X

nan xn−1 ha raggio di convergenza R e si ha

n=1

che ∀x ∈ (−R, R) :

∞ X

D

n

an x

n=0

!

=

∞ X

D (an xn ) =

n=0

∞ X

nan xn−1 ,

n=1

dove D `e l’operatore di derivazione.

Dimostrazione. Denotiamo con R1 il raggio di convergenza della serie Dimostriamo che R1 = R. Per assurdo supponiamo che R1 6= R. ∞ X

n=1

∞ X

nan xn−1 .

n=1

Se fosse R1 > R, allora esisterebbe x ∈ R con R < |x| < R1 tale che la serie nan xn−1 convergerebbe assolutamente. Poich´e |an xn−1 | ≤ |nan xn−1 | per ogni n ≥ 1,

per il Criterio del confronto anche

∞ X

an xn−1 convergerebbe assolutamente. Essendo

n=1 ∞ X

n=1

∞ ∞ X X n−1 |an x | = |an xn−1 |, an−1 x = |x| n

per il Criterio del confronto anche

n=2 ∞ X

n=0

|x| > R. Quindi R1 ≤ R.

n=1

an xn convergerebbe assolutamente: assurdo perch´e

197

2.2 Integrazione e derivazione termine a termine per le serie di potenze

Se fosse R1 < R, allora esisterebbe x ∈ R con R1 < |x| < R tale che la serie convergerebbe assolutamente. Sia t ∈ R tale che |x| < t < R. Quindi anche convergerebbe assolutamente. Poich´e 

|x| lim(n + 1) n t

n



|x| |(n + 1)an+1 x | = (n + 1) t Essendo

∞ X

n=1

∞ X

n=0 ∞ X

an tn

n=0



 |x| n t

≤ ε. Allora

ε |an+1 |tn ≤ |an+1 |tn+1 . t

∞ tX ε |a tn+1 , ε n=0 t n+1|

|an tn | =

per il Criterio del confronto anche

n

an xn

= 0,

fissato ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ≥ n0 si ha (n + 1) n

∞ X

(n + 1)an+1 xn =

n=0

∞ X

nan xn−1 convergerebbe as-

n=1

solutamente: assurdo perch´e |x| > R1 . Quindi R1 ≥ R. Ne segue che R1 = R. Infine, applicando il Teorema di derivazione per serie (vedi Teorema (1.11)) alla serie di potenze

∞ X

an xn , si ha che

n=0

∀x ∈ (−R, R) :

D

∞ X

an xn

n=0

!

=

∞ X

D (an xn ) =

n=0

∞ X

nan xn−1 .

n=1

(2.20) Teorema

(di integrazione termine a termine per le serie di

potenze) Siano

an xn una serie di potenze e R ∈ (0, +∞] il suo raggio di

∞ X

n=0

convergenza.

∞ X

1 an xn+1 ha raggio di convergenza R e per n + 1 n=0 ogni x appartenente all’intervallo di convergenza si ha che Allora anche la serie di potenze

Z

x 0

∞ X

n=0

an t

n

!

dt =

∞ Z X

n=0

Dimostrazione. Poich´e an xn = D



0

x

n



an t dt =

1 n+1 n+1 an+1 x



∞ X

1 an xn+1 . n + 1 n=0

, dove D `e l’operatore di derivazione,

per il teorema precedente anche il raggio di convergenza della serie di potenze ∞ X 1 an xn+1 `e R. Inoltre, per ogni x appartenente all’intervallo di convergenza, n + 1 n=0

198

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

la serie di potenze

∞ X

an tn converge uniformemente nell’intervallo di estremi 0 e x, non

n=0

necessariamente in questo ordine. Applicando il Teorema di integrazione per serie (ve∞ X

di Teorema (1.10)) alla serie di potenze

n=0

all’intervallo di convergenza Z

0

x

∞ X

n=0

an t

n

an xn si ha che per ogni x appartenente

!

dt =

∞ Z X

n=0

0

x

n



an t dt =

∞ X

1 an xn+1 . n + 1 n=0

199

2.3 Approfondimenti: dimostrazione del Teorema di Abel

2.3

Approfondimenti: dimostrazione del Teorema di Abel

(2.3) Teorema

(di Abel) Siano

n=0

il suo raggio di convergenza. Se la serie di potenze

∞ X

n=0

∞ X

an xn una serie di potenze e R ∈ (0, +∞)

an xn converge anche in x = R (risp. x = −R), allora

converge uniformemente in ogni intervallo [−k, R] (risp. [−R, k]), con 0 < k < R. In particolare, se converge in x = ±R, allora converge uniformemente in [−R, R]. Dimostrazione. Consideriamo il caso in cui la serie converge in x = R (analogamente si procede nell’altro caso). Sia Sn (x) =

n X

ak xk la somma parziale n-esima della serie

k=0

di potenze. Dimostriamo che la successione (Sn ) `e di Cauchy uniformemente in [0, R], cio`e che ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , ∀p > 0 :

kSn+p − Sn k∞ < ε,

dove kSn+p − Sn k∞ = sup |Sn+p (x) − Sn (x)|. x∈[0,R]

Poich´e la serie converge in x = R, allora la successione reale (Sn (R)) `e di Cauchy. Quindi fissato ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n > n0 e per ogni p > 0 si ha che n+p n+p n X X X |Sn+p (R) − Sn (R)| = ak Rk − ak Rk = ak Rk < ε. k=0 k=0 k=n+1

Sia x ∈ [0, R]. Si ha che

n+p n+p  k X X x |Sn+p (x)−Sn (x)| = ak xk = ak Rk R k=n+1 k=n+1

Poniamo b0 = c0 = 0 e

∀j = 1, . . . , n : Osserviamo che

bj =

p X

j=1



x R

n+j

,

bj γj = bp cp −

= x 

j=k−n

p  n+j X x . an+j Rn+j R j=1

γj = an+j Rn+j ,

cj =

j X

γm .

m=1

p X

(bj − bj−1 )cj−1 .

j=1

Infatti, essendo γj = cj − cj−1 , si ha che bj cj − bj−1 cj−1 = bj cj − bj cj−1 + bj cj−1 − bj−1 cj−1 = = bj (cj − cj−1 ) + (bj − bj−1 ) cj−1 = bj γj + (bj − bj−1 )cj−1 .

200

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Poich´e p X

j=1

(bj cj − bj−1 cj−1 ) = (b1 c1 − b0 c0 ) + (b2 c2 − b1 c1 ) + · · · + (bp cp − bp−1 cp−1 ) = bp cp ,

si ottiene che p X

bj γj +

j=1

p X

(bj − bj−1 )cj−1 =

j=1

p X

j=1

(bj cj − bj−1 cj−1 ) = bp cp

da cui segue immediatamente che p X

j=1

Essendo bj =


x n+j , R

p X

bj γj = bp cp −

(bj − bj−1 )cj−1 .

j=1

γj = an+j Rn+j e j X

cj =

j X

γm =

m=1

m=1

an+m Rn+m = Sn+j (R) − Sn (R),

l’uguaglianza appena provata diventa p X



an+j Rn+j

j=1

=



x R

n+p

(Sn+p (R) − Sn (R)) −

x R

 n+j p X x

R

j=1

n+j 

−

=

x R

n+j−1 !

(Sn+j−1 (R) − Sn (R)) .

Quindi per ogni n > n0 e p > 0 si ha che

≤

 |

x R

n+p

{z

}

n0 e p > 0 kSn+p − Sn k∞ = sup |Sn+p (x) − Sn (x)| ≤ 3ε. x∈[0,R]

Poich´e lo spazio delle funzioni limitate in Ω munito della norma k · k∞ `e completo2 , allora la successione (Sn ) converge uniformemente in [0, R]. Quindi la serie di potenze converge uniformemente in [0, R]. Poich´e la serie di potenze converge uniformemente anche in [−k, k], per ogni 0 < k < R, ne segue che converge uniformemente in [−k, R]3 , per ogni 0 < k < R.

3 Uno spazio normato `e completo se ogni successione di Cauchy in questo spazio `e convergente (vedi Appendice F).   3

Si osservi che

sup

x∈[−k,R]

≤ max

sup , sup

x∈[−k,k] x∈[0,R]

.

202

2.4

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Serie di Taylor

(2.21) Definizione

Siano I ⊆ R un intervallo aperto, x0 ∈ I e f : I → R una

funzione di classe C ∞ su I. Si chiama serie di Taylor di f centrata in x0 la serie di potenze

∞ X 1

n! n=0

f (n) (x0 )(x − x0 )n ,

dove f (n) (x0 ) `e la derivata n-esima di f in x0 (con la convenzione che f (0) (x0 ) = f (x0 )). Se x0 = 0 la serie di Taylor `e anche detta serie di McLaurin.

(2.22) Osservazione Per la Formula di Taylor con il resto di Peano se x0 ∈ I e

f : I → R `e una funzione di classe C ∞ su I, allora per ogni n ∈ N si ha che

1 (n) f (x0 )(x − x0 )n + o ((x − x0 )n ) , n!

f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + · · · + =

dove

n X 1

k! k=0

f (k) (x0 )(x − x0 )k + o ((x − x0 )n ) ,

x → x0

x → x0 ,

n X 1

f (k) (x0 )(x − x0 )k `e il Polinomio di Taylor di f di grado (o ordine) n. k! k=0 Osserviamo che la somma parziale n-esima della serie di Taylor di f `e proprio questo

polinomio. Poich´e la serie di Taylor appare come una generalizzazione dello sviluppo di Taylor, `e lecito chiedersi se la serie di Taylor della funzione f converge a f , cio`e se per ogni x appartenente all’intervallo di convergenza della serie di Taylor di f si ha che f (x) =

∞ X 1

n! n=0

f (n) (x0 )(x − x0 )n .

In generale la risposta `e negativa, come mostra questo esempio. Sia f : R → R definita da f (x) =

(

1

e− x2

se x 6= 0

0

se x = 0.

Si prova facilmente che questa funzione `e di classe C ∞ su R con f (n) (0) = 0 per ogni n ∈ N. Quindi la serie di McLaurin di f `e ∀x ∈ R :

∞ X 1

n! n=0

f (n) (0)xn = 0.

203

2.4 Serie di Taylor

Ne segue che ∀x 6= 0 :

f (x) 6=

∞ X 1

n! n=0

f (n) (0)xn .

Siano I ⊆ R un intervallo aperto, x0 ∈ I e f : I → R una

(2.23) Definizione

funzione di classe C ∞ su I. Diciamo che f ` e sviluppabile in serie di Taylor e analitica in x0 ) se esiste δ > 0 tale che la serie di Taylor di f in x0 (o che f ` centrata in x0 converge in (x0 − δ, x0 + δ) a f , cio`e se ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) :

f (x) =

∞ X 1

n! n=0

f (n) (x0 )(x − x0 )n .

Diciamo che f ` e analitica in I se f `e analitica in ogni x0 ∈ I. La funzione dell’esempio precedente non `e analitica in 0. (2.24) Esempio La funzione f (x) =

1 1−x

`e analitica in 0. Infatti, f `e di classe C ∞ in

(−1, 1) e per ogni n ∈ N si ha che f (n) (x) =

n! (1 − x)n+1

f (n) (0) = n!.

=⇒

Quindi la serie di McLuarin di f `e ∞ X 1

n! n=0

f (n) (0)xn =

∞ X

xn

n=0

che essendo una serie geometrica con ragione x converge se e solo se x ∈ (−1, 1), e in tal caso ∀x ∈ (−1, 1) :

(2.25) Teorema

∞ X

xn =

n=0

1 = f (x). 1−x

Siano x0 ∈ R, δ > 0 e f una funzione di classe C ∞ su

(x0 − δ, x0 + δ). Supponiamo che esista M > 0 tale che ∀n ∈ N,

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) :

|f (n) (x)| ≤ M.

Allora f `e analitica in x0 . Dimostrazione. Proviamo che esiste µ > 0 tale che per ogni n ∈ N e per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) (2.26)

|f (n) (x)| ≤ µ

n! . δn

204

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Poich´e lim n

n! = +∞, esiste n0 ∈ N tale che per ogni n > n0 si ha δn C = min





n! : n = 0, . . . , n0 , δn

ν = min{C, 1},

n! δn

≥ 1. Poniamo

µ=

M . ν

Poich´e n! ≥ ν, δn

∀n ∈ N,

ne segue che per ogni n ∈ N e per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) |f (n) (x)| ≤ M =

M M n! n! ·ν ≤ · n = µ n. ν ν δ δ

Mostriamo ora che f `e analitica in x0 , cio`e che la serie di Taylor di f in x0 converge in (x0 − δ, x0 + δ) a f . Come osservato in precedenza la somma parziale n-esima della serie di Taylor di f `e il Polinomio di Taylor di f di ordine n, n X 1

Pn (x) =

k! k=0

f (k) (x0 )(x − x0 )k .

Sia x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Per la Formula di Taylor con il resto di Lagrange, per ogni n ∈ N esiste tn compreso fra x0 e x (non necessariamente in questo ordine) tale che f (x) − Pn (x) =

1 f (n+1) (tn )(x − x0 )n+1 . (n + 1)!

Quindi |f (x) − Pn (x)| = per (2.26) ≤

1 (n+1) (tn ) |x − x0 |n+1 ≤ f (n + 1)! 

1 (n + 1)! |x − x0 | µ n+1 |x − x0 |n+1 = µ (n + 1)! δ δ

Poich´e |x − x0 | < δ, si ha che

|x−x0 | δ

n+1

.

< 1 e di conseguenza 

|x − x0 | lim n δ

n+1

= 0.

Per il Secondo criterio del confronto (sui limiti) si ha che per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) lim |f (x) − Pn (x)| = 0, n

cio`e che lim Pn (x) = f (x) da cui segue la tesi. n

205

2.4 Serie di Taylor

(2.27) Teorema

Sia

∞ X

an xn una serie di potenze con raggio di convergenza

n=0

R ∈ (0, +∞] e per ogni x ∈ (−R, R) sia f (x) =

∞ X

an xn la somma della serie.

n=0

Allora f `e di classe C ∞ su (−R, R) e per ogni n ∈ N si ha che f (n) (0) = n! an . In particolare f `e analitica in x0 = 0 e il suo sviluppo in serie di McLaurin `e ∞ X

an xn .

n=0

` una immediata conseguenza del Teorema di derivazione termine a Dimostrazione. E termine per le serie di potenze (vedi Teorema (2.19)).

Sviluppi in serie notevoli di McLaurin Gli sviluppi in serie notevoli di McLaurin sono quelli delle funzioni di cui sono gi` a noti gli sviluppi di McLaurin. 1) Si ha che ∀x ∈ R :

ex =

∞ X 1

n! n=0

xn .

Infatti, la funzione f (x) = ex `e di classe C ∞ su R e per ogni n ∈ N e x ∈ R si ha

che f (n) (x) = ex . Quindi se x0 ∈ R, per ogni δ > 0 si ha che ∀n ∈ N,

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ),

(n) f (x) = ex ≤ ex0 +δ .

Per il Teorema (2.25) f `e analitica in x0 . Per l’arbitrariet` a di x0 si ha che f `e analitica in R. Inoltre, essendo δ > 0 qualunque, si ha che ∀x ∈ R :

f (x) = ex =

∞ X 1

n! n=0

f (n) (x0 ) (x − x0 )n =

∞ X 1

n! n=0

ex0 (x − x0 )n .

In particolare per x0 = 0 si ha ∀x ∈ R :

ex =

∞ X 1

n! n=0

xn .

Ne segue che, x=1

=⇒

∞ X 1

n! n=0

= e,

x = −1

=⇒

∞ X (−1)n

n=0

n!

1 = . e

206

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

2) Si ha che ∀x ∈ R :

sin x =

∞ X

(−1)n x2n+1 . (2n + 1)! n=0

Infatti, la funzione f (x) = sin x `e di classe C ∞ su R e per ogni n ∈ N e x ∈ R si ha che f

(n)

(x) =

(

(−1)k sin x

se n = 2k

(−1)k cos x

se n = 2k + 1.

Quindi |f (n) (x)| ≤ 1 per ogni n e per ogni x ∈ R. Per il Teorema (2.25) f `e

analitica in ogni x0 ∈ R. In particolare per x0 = 0 si ha f

(n)

(0) =

(

0

se n = 2k

(−1)k

se n = 2k + 1.

Quindi ∀x ∈ R :

f (x) = sin x =

∞ X 1

n=0

n!

f

(n)

3) Si ha che ∀x ∈ R :

cos x =

Infatti, la funzione f (x) = cos x `e di classe ha che f

(n)

(x) =

(

n

(0) x =

∞ X (−1)n

(2n)!

n=0 C ∞ su

∞ X

(−1)n x2n+1 . (2n + 1)! n=0

x2n .

R e per ogni n ∈ N e x ∈ R si

(−1)k cos x

se n = 2k

(−1)k+1 sin x

se n = 2k + 1.

Quindi |f (n) (x)| ≤ 1 per ogni n e per ogni x ∈ R. Per il Teorema (2.25) f `e

analitica in ogni x0 ∈ R. In particolare per x0 = 0 si ha f (n) (0) =

(

(−1)k

se n = 2k

0

se n = 2k + 1.

Quindi ∀x ∈ R :

f (x) = cos x =

∞ X 1

n! n=0

4) Si ha che ∀x ∈ R :

sinh x =

Infatti, per ogni x ∈ R ex − e−x 1 sinh x = = 2 2

∞ X (−1)n

n=0

(2n)!

∞ X

1 x2n+1 . (2n + 1)! n=0

∞ X 1

n=0

f (n) (0) xn =

n!

n

x −

∞ X (−1)n

n=0

n!

n

x

!

=

x2n .

207

2.4 Serie di Taylor

poich´e le due serie di potenze hanno lo stesso raggio di convergenza R = +∞, dal Teorema (2.16) e dall’Osservazione (2.17) segue che =

∞ 1X 1 (−1)n − 2 n=0 n! n!





xn =

5) Si ha che ∀x ∈ R :

cosh x =

Infatti, per ogni x ∈ R ex + e−x 1 cosh x = = 2 2

∞ X 1

n=0

n!

∞ X

1 x2n+1 . (2n + 1)! n=0

∞ X

1 x2n . (2n)! n=0

n

x +

∞ X (−1)n

n=0

n!

n

x

!

=

poich´e le due serie di potenze hanno lo stesso raggio di convergenza R = +∞, dal Teorema (2.16) e dall’Osservazione (2.17) segue che ∞ 1X 1 (−1)n = + 2 n=0 n! n!





xn =

∞ X

1 x2n . (2n)! n=0

6) Si ha che ∀x ∈ (−1, 1] :

log (1 + x) =

∞ X (−1)n−1

n=1

n

xn =

∞ X (−1)n

n=0

n+1

xn+1 .

Infatti, dall’Esempio (2.24) si ha che ∀x ∈ (−1, 1) :

∞ X 1 = xn . 1 − x n=0

Integrando termine a termine (vedi Teorema (2.20)) si ha che per ogni x ∈ (−1, 1) Z

0

Poich´e

Z

0

x

x

1 dt = 1−t

Z

∞ xX

tn dt =

0 n=0

∞ Z X

x

tn dt =

n=0 0

1 dt = − log (1 − x), si ha che 1−t ∀x ∈ (−1, 1) :

log (1 − x) = −

Osserviamo che per il Criterio di Leibniz la serie x = −1. Infatti, x = −1

=⇒

∞ X

∞ X

1 xn+1 . n + 1 n=0

∞ X

1 xn+1 . n + 1 n=0

∞ X

1 xn+1 converge anche in n + 1 n=0

∞ X 1 (−1)n+1 xn+1 = . n+1 n+1 n=0 n=0

208

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Poich´e per l’Osservazione (2.5) la somma g della serie `e continua in [−1, 1), essendo g(x) = − log (1 − x) per ogni x ∈ (−1, 1), si ha che g(−1) =

lim

x→(−1)+

g(x) =

lim [− log (1 − x)] = − log 2.

x→(−1)+

Quindi ∀x ∈ [−1, 1) :

log (1 − x) = −

Sostituendo −x al posto di x si ottiene ∀x ∈ (−1, 1] : In particolare

log (1 + x) =

∞ X (−1)n

n=0 ∞ X (−1)n

n

n=1

=−

n+1

∞ X (−1)n−1

n

n=1

7) Si ha che ∀x ∈ [−1, 1] :

arctan x =

Infatti, dall’Esempio (2.24) si ha che

∞ X

1 xn+1 . n + 1 n=0 ∞ X (−1)n−1

xn+1 =

n

n=1

xn .

= − log 2.

∞ X (−1)n

2n + 1 n=0

x2n+1 .

∞ X 1 = xn 1 − x n=0

∀x ∈ (−1, 1) : e sostituendo −x2 al posto di x si ottiene

∞ X 1 = (−1)n x2n . 1 + x2 n=0

∀x ∈ (−1, 1) :

Integrando termine a termine (vedi Teorema (2.20)) si ha che per ogni x ∈ (−1, 1) Z

x

0

Poich´e

1 dt = 1 + t2 Z

x 0

Z

∞ xX

n 2n

(−1) t

dt =

0 n=0

∞ Z X

x

n 2n

(−1) t

dt =

n=0 0

∞ X (−1)n

2n + 1 n=0

x2n+1 .

1 dt = arctan x, si ha che 1 + t2 ∀x ∈ (−1, 1) :

arctan x =

∞ X (−1)n

2n + 1 n=0

Osserviamo che per il Criterio di Leibniz la serie in x = ±1. Infatti, x = ±1

=⇒

∞ X (−1)n

n=0

2n + 1

x2n+1 .

∞ X (−1)n

2n + 1 n=0

x2n+1 = ±

x2n+1 converge anche

∞ X (−1)n

n=0

2n + 1

.

209

2.4 Serie di Taylor

Poich´e per l’Osservazione (2.5) la somma g della serie `e continua in [−1, 1], essendo g(x) = arctan x per ogni x ∈ (−1, 1), si ha che g(−1) =

lim

x→(−1)+

g(x) =

lim

x→(−1)+

π arctan x = arctan (−1) = − , 4

g(1) = lim− g(x) = lim− arctan x = arctan 1 = x→1

x→1

Quindi ∀x ∈ [−1, 1] :

arctan x =

∞ X (−1)n

2n + 1 n=0

π . 4

x2n+1 .

8) Si ha che

(1 + x)α =

∞ X

n=0

!

α n x , n

∀x ∈

 (−1, 1)       (−1, 1]   [−1, 1]    

R

α dove per ogni α ∈ R si ha che n

!

se α ≤ −1 se −1 < α < 0 se α ≥ 0, α 6∈ N se α ≥ 0, α ∈ N,

  α(α − 1) · · · (α − (n − 1))

=

n!



se n ∈ N, n ≥ 1

α se n = 0. ! α n Consideriamo la serie di potenze x e determiniamo il suo raggio di conn n=0 vergenza. Consideriamo inizialmente α 6∈ N. Utilizziamo il Teorema del rapporto. ∞ X

Si ha che



α
n+1 α
n

α(α − 1) · · · (α − (n − 1))(α − n)

=

(n + 1)!

·



n! = α(α − 1) · · · (α − (n − 1))

α(α − 1) · · · (α − (n − 1))(α − n) n! = |α − n| . = · (n + 1) n! α(α − 1) · · · (α − (n − 1)) n+1

Quindi

lim n



α
n+1 α
n

= lim n

|α − n| = 1. n+1

Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenze `e R = 1. Quindi ! la serie ∞ X α n converge assolutamente in (−1, 1). Per ogni x ∈ (−1, 1) sia g(x) = x la n n=0 somma della serie. Derivando termine a termine (vedi Teorema (2.19)) si ha che per ogni x ∈ (−1, 1)

∞ X

!

α n−1 g (x) = n x . n n=1 ′

210

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Moltiplicando ad ambo i membri per 1 + x si ottiene !

∞ X

!

!

∞ ∞ α n−1 X α n−1 X α n n x = n x + n x = (1 + x)g (x) = (1 + x) n n n n=1 n=1 n=1 ′

!

α n poich´e per n = 0 si ha che n x = 0, si ottiene n !

∞ X

!

!

"

∞ ∞ X α α n X α α n = (n + 1) x + n x = (n + 1) +n n + 1 n n + 1 n n=0 n=0 n=0

Osserviamo che

!

!#

xn .

!

α α (n + 1) +n = n+1 n = (n + 1)

α(α − 1) · · · (α − (n − 1))(α − n) α(α − 1) · · · (α − (n − 1)) +n = (n + 1)! n!

= (n + 1)

α(α − 1) · · · (α − (n − 1))(α − n) α(α − 1) · · · (α − (n − 1)) +n = (n + 1) n! n! !

α α(α − 1) · · · (α − (n − 1)) =α =α . n n! Quindi ∀x ∈ (−1, 1) :

′

(1 + x)g (x) = α

∞ X

n=0

!

α n x = αg(x). n

In altri termini la somma della serie g soddisfa l’equazione differenziale (1 + x)g′ = αg, che `e del primo ordine a variabili separabili. L’unica soluzione costante `e g(x) = 0 per ogni x ∈ (−1, 1). Per g 6= 0, ricordando che x ∈ (−1, 1), le altre soluzioni sono date da

Z

1 dg = α g

Z

1 dx 1+x c∈R

log |g| = α log (1 + x) + c, log |g| = log [c(1 + x)α ], |g| = c(1 + x)α ,

g(x) = c(1 + x)α ,

c>0

c>0 c 6= 0.

Poich´e g(x) = 0 `e soluzione, tutte le soluzioni dell’equazione sono g(x) = c(1 + x)α ,

c ∈ R.

211

2.4 Serie di Taylor

Quindi la somma della serie `e una funzione della forma g(x) = c(1 + x)α , per qualche c ∈ R. Poich´e per x = 0 la somma della serie `e g(0) = 1, si ottiene c = 1. Quindi la somma della serie `e g(x) = (1 + x)α , cio`e α

∀x ∈ (−1, 1) :

(1 + x) =

∞ X

n=0

!

α n x . n

Inoltre si dimostra che per certi α 6∈ N la serie converge alla funzione somma u precisamente si ha che g(x) = (1 + x)α anche per x = −1 e/o per x = 1. Pi` x∈

 (−1, 1)      

se α ≤ −1

(−1, 1]

se −1 < α < 0

[−1, 1]

se α ≥ 0, α 6∈ N.

Osserviamo che per α = −1, sostituendo −x al posto di x, si ottiene lo sviluppo 1 1−x

in serie di McLaurin di

(vedi Esempio (2.24)).

Se α = m ∈ N, allora α n

∀n ≥ m + 1 : ∞ X

!

m = n

!

=

m(m − 1) · · · (m − (n − 1)) = 0. n!

!

α n Quindi la serie x ha solo un numero finito di termini non nulli. Pi` u n n=0 precisamente si ha che ∞ X

n=0

!

!

!

m α n X α n m 2 x = x = 1 + mx + x + · · · + m xm−1 + xm = (1 + x)m n n 2 n=0

che `e la formula del binomio di Newton applicato a 1 + x. Evidentemente in questo caso il raggio di convergenza della serie `e R = +∞.

(2.28) Esempio Utilizzando gli sviluppi in serie notevoli di McLaurin e i teoremi di derivazione e integrazione per serie applicati alle serie di potenze `e possibile determinare la somma di alcune serie numeriche. Per esempio, calcoliamo la somma della serie ∞ X

n=2

2n

1 . n(n − 1)

∞ X

xn . Per x = 12 si ottiene la serie numerica di n(n − 1) n=2 partenza. Si vede facilmente che il raggio di convergenza di questa serie `e R = 1 e che Consideriamo la serie di potenze

la serie converge anche in x = ±1. Quindi la serie di potenze converge puntualmente e

212

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

uniformemente in [−1, 1], e quindi puntualmente anche in x = 12 . Determiniamo ora la somma f della serie. Sia x ∈ [−1, 1]. Poich´e xn = n si ha che

Z

x

tn−1 dt,

0

∞ X

∞ X xn 1 = n(n − 1) n − 1 n=2 n=2

Z

x

tn−1 dt =

0

per il Teorema di integrazione termine a termine =

Z

0

∞ xX

1 n−1 t dt = − n − 1 n=2

=−

Z

0

∞ xX

h

0

∞ xX

(−1)n−2 (−t)n−1 dt = x n − 1  n=2

(−1)k−1 (−t)k dt = − k k=1 |

integrando per parti ix

= − t log (1 − t)

Z

0

−

{z

}

=log (1−t)

Z

x

0

k=n−1

Z

x

0

log (1 − t) dt =

Z

t dt = −x log (1 − x) + 1−t h

0

ix

= −x log (1 − x) + t + log |1 − t|

0

x

1−

1 1−t



dt =

=

= −x log (1 − x) + x + log (1 − x) = (1 − x) log (1 − x) + x. Le ultime tre righe hanno senso solo se x ∈ [−1, 1). Quindi per ogni x ∈ [−1, 1) la somma della serie `e f (x) = (1 − x) log (1 − x) + x. Poich´e per l’Osservazione (2.5) la somma f della serie `e continua in [−1, 1], si ha che f (1) = lim [(1 − x) log (1 − x) + x] = 1. x→1−

Quindi la somma della serie `e f (x) = In particolare per x =

1 2

(

(1 − x) log (1 − x) + x

se −1 ≤ x < 1,

1

se x = 1.

si ottiene ∞ X

n=2

1 2n n(n

1 = (1 − log 2). − 1) 2

213

2.5 Serie di potenze complesse

2.5

Serie di potenze complesse

Le serie di potenze possono essere introdotte in modo del tutto analogo anche nel campo

C dei numeri complessi. (2.29) Definizione

Siano z0 ∈ C e (an ) una successione di numeri complessi. Si

chiama serie di potenze centrata in z0 la serie di funzioni ∞ X

n=0

an (z − z0 )n ,

con la convenzione che 00 = 1. Si chiama raggio di convergenza della serie di potenze

∞ X

n=0

(

R = sup |z| :

∞ X

an (z − z0 )n l’entit` a

)

an z n `e convergente .

n=0

Poich´e la serie di potenze converge certamente in z = z0 , si ha che R ∈ [0, +∞].

Evidentemente la nozione di serie di potenze in C generalizza quella introdotta in R. Nel

caso di serie complesse, l’insieme di convergenza non `e pi` u un intervallo ma un intorno in C del centro della serie. (2.30) Teorema Siano

∞ X

n=0

(sull’insieme di convergenza)

an z n una serie di potenze in C e R ∈ [0, +∞] il suo raggio di convergenza.

Valgono i seguenti fatti: i) se R = 0, la serie

∞ X

an z n converge solo in z = 0;

n=0

ii) se 0 < R < +∞, la serie

∞ X

n=0

an z n converge assolutamente nell’insieme {z ∈

C : |z| < R} e uniformemente in ogni insieme {z ∈ C : |z| ≤ k}, con 0 < k < R; iii) se R = +∞, la serie

∞ X

an z n converge assolutamente in C e uniformemente

n=0

in ogni insieme {z ∈ C : |z| ≤ k}, con k > 0. Per le serie di potenze complesse continuano a valere i Teoremi della radice e del rapporto, dove in tal caso il simbolo | · | indica in modulo in C.

214

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

In modo del tutto analogo si introducono le serie di Taylor (a patto di definire la nozione di funzione olomorfa in luogo di quella di classe C ∞ ).

215

3 Serie di Fourier

3

Serie di Fourier

Nel seguito con il termine “integrabile” si intender` a “integrabile secondo Riemann”.

(3.1) Definizione

Siano A ⊆ R non vuoto, f : A → R una funzione e T 6= 0.

e periodica di periodo T se: Diciamo che f ` i) per ogni x ∈ A si ha che x + T ∈ A; ii) per ogni x ∈ A si ha che f (x + T ) = f (x).

Richiamiamo brevemente (senza dimostrarle) alcune propriet` a delle funzioni periodiche che saranno utili nel seguito.

(3.2) Proposizione

Sia A ⊆ R non vuoto. Valgono i seguenti fatti:

a) se f : A → R `e periodica di periodo T 6= 0, allora f `e periodica di periodo nT , per ogni n ∈ Z, n 6= 0; b) se f : A → R `e periodica di periodo T 6= 0, allora per ogni k ∈ R, k 6= 0, la funzione g(x) = f (kx) `e periodica di periodo

T k;

c) le funzioni costanti sono periodiche di periodo T 6= 0 qualunque; d) l’insieme dei periodi positivi di una funzione periodica f ha estremo inferiore nullo se e solo se f `e costante. Inoltre se f non `e costante, questo estremo inferiore `e anche minimo e viene detto periodo minimo di f ; e) se f : R → R `e periodica di periodo T > 0 ed `e integrabile nell’intervallo [0, T ], allora si ha che ∀a ∈ R :

Z

T

f (x) dx = 0

Z

a+T

a

f (x) dx =

Z

T

f (x + a) dx. 0

Introduciamo ora la nozione di serie di Fourier di una funzione periodica di periodo 2π.

216

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(3.3) Definizione

Sia f : R → R una funzione periodica di periodo 2π ed

integrabile nell’intervallo [−π, π]. Si chiama serie di Fourier di f la serie di funzioni a0 +

∞  X



an cos nx + bn sin nx ,

n=1

dove a0 , an , bn ∈ R sono detti coefficienti di Fourier di f e sono definiti nel seguente modo: Z

1 π f (x) dx, 2π −π Z 1 π an = f (x) cos nx dx, π −π Z 1 π bn = f (x) sin nx dx. π −π a0 =

∀n ≥ 1 : ∀n ≥ 1 : Si osserva che

f pari =⇒

bn = 0 per ogni n ≥ 1,

f dispari =⇒

an = 0 per ogni n ≥ 0.

In generale per una funzione periodica di periodo T 6= 0 si ha la seguente (3.4) Definizione

Sia f : R → R una funzione periodica di periodo T > 0

ed integrabile nell’intervallo [0, T ]. Si chiama serie di Fourier di f la serie di funzioni a0 +

∞  X

n=1









2πn 2πn x + bn sin x an cos T T

,

dove a0 , an , bn ∈ R sono detti coefficienti di Fourier di f e sono definiti nel seguente modo: a0 =

Z

∀n ≥ 1 :

1 T f (x) dx, T 0   Z 2 T 2πn f (x) cos x dx, an = T 0 T

∀n ≥ 1 :

2 bn = T

Z

0

T





2πn f (x) sin x dx. T

Poich´e le funzioni f (x), cos αx e sin αx sono integrabili in [−π, π] (risp. in [0, T ]), anche f (x) cos αx e f (x) sin αx sono integrabili4 in [−π, π] (risp. in [0, T ]) e quindi

217

3 Serie di Fourier

a0 , an , bn ∈ R, per ogni n ≥ 1. (3.5) Esempio Sia f : R → R la funzione ottenuta prolungando per periodicit`a a

tutto R la funzione g(x) = |x|, definita per ogni x ∈ [−π, π]. y y = g(x)

π

−3π

−2π

−π

O

2π

π

3π x

Figura 8.1: Grafico di f .

Scriviamo la serie di Fourier di f . Essendo f periodica di periodo 2π e pari, la serie di Fourier di f `e della forma a0 +

∞ X

an cos nx,

n=1

dove a0 =

1 2π

Z

π

1 π

f (x) dx =

−π

Z

π

x dx =

0

π 2

e per ogni n ≥ 1 an =

1 π

Z

π

f (x) cos nx dx =

−π

2 π

Z

π

x cos nx dx =

0

integrando per parti 2 = π =− =



1 x sin nx n



π 0

π

2 1 − cos nx nπ n

2 [(−1)n − 1] = n2 π

1 − n

(

=

0

Z

π



sin nx dx = 0

2 [cos nπ − 1] = n2 π

0

se n = 2m,

4 (2m+1)2 π

se n = 2m + 1,

m ∈ N.

Quindi la serie di Fourier di f `e ∞ π 4 X 1 − cos [(2n + 1)x]. 2 π n=0 (2n + 1)2 4

Si ricorda che se f e g sono integrabili in [a, b], allora anche f g `e integrabile in [a, b]. Infatti,  1 f (x)g(x) = (f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 . 4

218

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(3.6) Osservazione Nell’esempio precedente abbiamo visto che la serie di Fourier della funzione f : R → R ottenuta prolungando per periodicit` a a tutto R la funzione g(x) = |x|, definita per ogni x ∈ [−π, π], `e

∞ 4 X 1 π − cos [(2n + 1)x]. 2 π n=0 (2n + 1)2

Ci poniamo le seguenti domande:

1) per quali x ∈ R questa serie converge?

2) per tali x la somma della serie `e f (x)?

3) la convergenza `e uniforme?

Osserviamo che per ogni n ∈ N, n ≥ 1, e ogni x ∈ R si ha che

1 1 ≤ cos [(2n + 1)x] . (2n + 1)2 (2n + 1)2

(3.7)

∞ X

1 converge, per il Criterio di Weierstrass la serie di Fourier (2n + 1)2 n=1 converge totalmente, e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente su Poich´e la serie

R. Quindi in questo caso abbiamo risposto a due delle tre domande che ci siamo posti. Nel prossimo paragrafo, vedremo che sotto opportune ipotesi `e possibile rispondere anche alla domanda 2) e, pi` u precisamente, `e possibile determinare la somma della serie (per la serie di Fourier in questione si veda l’Osservazione (3.19)).

219

3 Serie di Fourier

(3.8) Definizione

Siano f : R → R una funzione periodica di periodo 2π ed

integrabile nell’intervallo [−π, π] e n ∈ N, n ≥ 1. Si chiama polinomio trigonometrico di grado n associato a f la funzione Pn (x) = a0 +

n  X



ak cos kx + bk sin kx

k=1

dove a0 , ak , bk sono i coefficienti di Fourier di f . Osserviamo che per ogni n ≥ 1 il polinomio trigonometrico Pn `e la somma parziale n-esima della serie di Fourier di f . Per ogni n ≥ 1 la funzione an cos nx + bn sin nx `e detta armonica n-esima di f . Se n = 1 la funzione a1 cos x + b1 sin x `e detta armonica fondamentale di f . Si chiama frequenza dell’armonica n-esima il numero reale

n 2π

(`e il reciproco del

periodo minimo dell’armonica). Si chiama ampiezza dell’armonica n-esima il numero reale ρn =

p

a2n + b2n .

Si chiama fase dell’armonica n-esima l’angolo ϑn rappresentato in Fig. 8.2.

an b

ρn

ϑn b

bn Figura 8.2: Fase dell’armonica. Evidentemente si ha che an = ρn sin ϑn ,

bn = ρn cos ϑn .

Sostituendo queste espessioni nella serie di Fourier di f si ottiene a0 +

∞  X

n=1



an cos nx + bn sin nx = a0 +

= a0 +

∞ X

n=1 ∞ X

n=1





ρn sin ϑn cos nx + cos ϑn sin nx =

ρn sin (nx + ϑn )

220

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

che `e l’espressione della serie di Fourier di f in termini di ampiezza e fase delle singole armoniche. Convergenza della serie di Fourier In virt` u della propriet` a b) della Proposizione (3.2) possiamo considerare solo le funzioni periodiche di periodo 2π ed enunciare i risultati per queste funzioni. Infatti, se f `e periodica di periodo T 6= 0, allora la funzione g(x) = f





T 2π x

`e periodica di periodo 2π.

(3.9) Definizione Sia f : [a, b] → R una funzione. Diciamo che f ` e continua a tratti se f `e continua, tranne che in un numero finito di punti di [a, b] in cui f presenta una discontinuit` a di prima specie (salto). Evidentemente ogni funzione continua su [a, b] `e anche continua a tratti. (3.10) Esempio La funzione segno definita sgn(x) =

   −1    

tratti su ogni intervallo [a, b] ⊆ R ma non `e continua su R.

se x < 0

0

se x = 0 `e continua a

1

se x < 0

(3.11) Definizione Sia f : [a, b] → R una funzione. Diciamo che f ` e di classe

C 1 a tratti se f `e derivabile con derivata continua, tranne che in un numero finito di punti di [a, b] in cui f ammette derivate laterali. Evidentemente ogni funzione di classe C 1 su [a, b] `e anche di classe C 1 a tratti. (3.12) Esempio La funzione f (x) = |x| `e classe C 1 a tratti su ogni intervallo [a, b] ⊆ R ma non `e C 1 su R.

(3.13) Teorema

Siano f : R → R una funzione periodica di periodo 2π e

continua a tratti nell’intervallo [−π, π], n ∈ N, n ≥ 1 e n  X

Pn (x) = a0 +



ak cos kx + bk sin kx

k=1

il polinomio trigonometrico di grado n associato a f . Allora si ha che Z

π

−π

2

|f (x) − Pn (x)| dx =

Z

π

−π

|f (x)|2 dx − 2πa20 − π

n  X



a2k + b2k .

k=1

221

3 Serie di Fourier

(3.14) Osservazione Nel Teorema precedente, essendo f continua a tratti nell’intervallo [−π, π], risulta che f `e integrabile in [−π, π], e quindi sono ben definiti i coefficienti di Fourier di f e di conseguenza anche il polinomio trigonometrico Pn associato a f . Inoltre, si dimostra che fra tutti i polinomi trigonometrici di grado minore o uguale a n, il polinomio trigonometrico Pn (x) = a0 +

n  X



ak cos kx + bk sin kx `e quello che approssi-

k=1

ma meglio in media (o in norma quadratica) la funzione f . In termini pi` u espliciti si ha che se Qn (x) = α0 +

n  X



αk cos kx + βk sin kx `e un polinomio trigonometrico (con

k=1

α0 , αk , βk ∈ R), allora Z

π

−π

|f (x) − Pn (x)|2 dx ≤

Z

π

−π

|f (x) − Qn (x)|2 dx.

Enunciamo (senza dimostrarli) i principali risultati sulla convergenza della serie di Fourier. (3.15) Teorema

(Convergenza quadratica o convergenza in media) Siano

f : R → R una funzione periodica di periodo 2π e continua a tratti nell’intervallo [−π, π] e Pn (x) = a0 +

n  X



ak cos kx + bk sin kx

k=1

il polinomio trigonometrico di grado n associato a f (ovvero la somma parziale n-esima della serie di Fourier di f ). Allora la serie di Fourier di f converge quadraticamente (o in media) a f , cio`e lim n

Z

π

−π

|f (x) − Pn (x)|2 dx = 0.

Inoltre si ha che Z

π −π

|f (x)|2 dx = 2πa20 + π

∞  X



a2n + b2n .

n=1

Identit` a di Parseval

(3.16) Osservazione Dall’identit` a di Parseval segue immediatamente che se f : R →

R `e una funzione periodica di periodo 2π e continua a tratti nell’intervallo [−π, π], allora ∞  X



a2n + b2n converge e quindi che

n=1

lim an = lim bn = 0. n

n

222

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

L’identit` a di Parseval si pu` o anche scrivere nel seguente modo: 1 2π

Z

π

−π

|f (x)|2 dx = a20 +

∞ X a2n + b2n

n=1

2

.

Il primo membro rappresenta l’energia del segnale f mentre il termine generale della serie a secondo membro rappresenta l’energia della n-esima armonica. La formula stabilisce che l’energia del segnale f `e data dalla somma delle energie delle singole armoniche. (Convergenza puntuale) Siano f : R → R una funzione

(3.17) Teorema

periodica di periodo 2π, continua a tratti nell’intervallo [−π, π] e x0 ∈ R. Supponiamo che esistano f ′ (x− 0 ) = lim−

f (x) − f (x− 0) ∈ R, x − x0

(pseudo derivata sinistra di f in x0 )

f ′ (x+ 0 ) = lim+

f (x) − f (x+ 0) ∈ R, x − x0

(pseudo derivata destra di f in x0 )

x→x0

x→x0

+ dove f (x− 0 ) = lim f (x) e f (x0 ) = lim f (x). x→x− 0

x→x+ 0

 1 + f (x− ) + f (x ) . 0 0 2 Inoltre, se f `e anche continua in x0 , allora la serie di Fourier di f calcolata in x0

Allora la serie di Fourier di f calcolata in x0 converge a

converge a f (x0 ). (3.18) Osservazione Se f `e derivabile da destra (risp. sinistra) in x0 , allora esiste la pseudo derivata destra (risp. sinistra) e coincide con la derivata destra (risp. sinistra) di f in x0 . In particolare, se f `e derivabile in x0 , allora esistono le pseudo derivate destra e sinistra e coincidono con la derivata di f in x0 . (3.19) Osservazione Abbiamo osservato in precedenza (vedi Osservazione (3.6)) che la serie di Fourier della funzione f : R → R ottenuta prolungando per periodicit` a a tutto

R la funzione g(x) = |x|, definita per ogni x ∈ [−π, π], cio`e

∞ π 4 X 1 − cos [(2n + 1)x], 2 π n=0 (2n + 1)2

converge puntualmente, ma anche uniformemente, su R.

Si ha che f `e continua su R, `e derivabile in ogni x 6= kπ, per ogni k ∈ Z, e ammette derivate laterali distinte in ogni kπ. Infatti, posto xk = kπ, si ha che k pari =⇒ D− f (xk ) = lim

x→x− k

f (x) − f (xk ) = −1, x − xk

D+ f (xk ) = lim

x→x+ k

f (x) − f (xk ) = 1; x − xk

223

3 Serie di Fourier

k dispari =⇒ D− f (xk ) = lim

x→x− k

f (x) − f (xk ) f (x) − f (xk ) = 1, D+ f (xk ) = lim = −1. + x − xk x − xk x→xk

Allora in ogni x ∈ R sono soddisfatte le ipotesi del Teorema (3.17), ed essendo f continua su R, si ha che per ogni x ∈ R la serie di Fourier di f in x converge a f (x). Quindi ∀x ∈ R :

f (x) =

∞ π 4 X 1 − cos [(2n + 1)x]. 2 π n=0 (2n + 1)2

In particolare in x = 0 si ha che la somma della serie di Fourier `e 0 = f (0) =

(3.20) Teorema

∞ π 4 X 1 − 2 π n=0 (2n + 1)2

=⇒

∞ X

1 π2 . = (2n + 1)2 8 n=0

(Convergenza uniforme) Siano f : R → R una funzione

periodica di periodo 2π, continua a tratti nell’intervallo [−π, π] e di classe C 1 a tratti nell’intervallo (α, β) ⊆ [−π, π]. Allora la serie di Fourier di f converge uniformemente a f in ogni intervallo [a, b] ⊆ (α, β). Inoltre, se f `e di classe C 1 a tratti nell’intervallo [−π, π], allora la serie di Fourier di f converge uniformemente a f in R.

(3.21) Osservazione La funzione f : R → R ottenuta prolungando per periodicit` a

a tutto R la funzione g(x) = |x|, definita per ogni x ∈ [−π, π], `e di classe C 1 a tratti nell’intervallo [−π, π]. In tal caso la sua serie di Fourier converge uniformemente alla

sua somma, che per quanto visto in precedenza `e proprio f , su tutto R, in accordo con quanto gi` a provato nell’Osservazione (3.6). (3.22) Osservazione In base ai Teoremi (3.15), (3.17) e (3.20) le convergenze quadratica, puntuale e uniforme della serie di Fourier di una funzione f dipendono esclusiva` quindi possibile stabilirle a priori, senza mente dalle caratteristiche della funzione f . E determinare la serie di Fourier di f . Per esempio, se f non `e continua su R, allora la serie di Fourier di f non converge uniformemente a f su R.

224

3.1

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Approfondimenti: serie di Fourier complesse

Le serie di Fourier si possono introdurre in modo del tutto analogo anche per funzioni complesse di una variabile reale. Premettiamo la seguente Sia f : [a, b] → C una funzione. Quindi per ogni x ∈ [a, b]

(3.23) Definizione

si ha che f (x) = Re (f ) (x) + iIm (f ) (x), dove Re (f ) , Im (f ) : [a, b] → R sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di f . Diciamo che f ` e integrabile su [a, b] se Re (f ) e Im (f ) sono integrabili su [a, b] e in tal caso si ha che Z

b

f (x) dx =

a

Z

b

Re (f ) (x) dx + i

a

Z

b

Im (f ) (x) dx. a

La nozione di serie di Fourier per una funzione complessa di una variabile reale periodica di periodo 2π `e la stessa introdotta per le funzioni reali. (3.24) Definizione

Sia f : R → C una funzione periodica di periodo 2π ed

integrabile nell’intervallo [−π, π]. Si chiama serie di Fourier di f la serie di funzioni a0 +

∞  X



an cos nx + bn sin nx ,

n=1

dove a0 , an , bn ∈ C sono detti coefficienti di Fourier di f e sono definiti nel seguente modo: Z

∀n ≥ 1 : ∀n ≥ 1 :

1 π a0 = f (x) dx, 2π −π Z 1 π an = f (x) cos nx dx, π −π Z 1 π bn = f (x) sin nx dx. π −π

Posto

c0 = a0 , ∀n ≥ 1 : ∀n ≥ 1 :

essendo cos nx =

einx + e−inx , 2

1 cn = (an − ibn ), 2 1 c−n = (an + ibn ), 2 sin nx =

einx − e−inx , 2i

225

3.1 Approfondimenti: Serie di Fourier complesse

si ha che a0 +

∞  X



an cos nx + bn sin nx = c0 +

n=1

∞ X

cn einx +

n=1

∞ X

c−n e−inx =

n=1

5

+∞ X

cn einx

n=−∞

che `e detta forma complessa o (esponenziale) della serie di Fourier di f . Si osserva che ∀n ∈ Z :

cn =

1 2π

Z

π

f (x) e−inx dx.

−π

La nozione di polinomio trigonometrico si introduce in modo analogo anche per le serie di Fourier complesse e, anche per queste serie di Fourier, continuano a valere i teoremi di convergenza quadratica, puntuale e uniforme. Inoltre in questo caso l’identit` a di Parseval diventa Z

π

−π

|f (x)|2 dx = 2π

∞ X

n=−∞

|cn |2 ,

dove | · | indica il modulo complesso.

5

Si `e posto formalmente −1 X

n=−∞

cn einx

= x



k=−n

∞ X k=1

c−k e−ikx .

226

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

Appendice F

Spazi normati

(1.1) Definizione

Sia V uno spazio vettoriale su R. Una norma su V `e una

funzione k · k : V → R che soddisfa le seguenti propriet` a: a) kvk ≥ 0 per ogni v ∈ V ; b) kvk = 0 se e solo se v = 0; c) kλvk = |λ|kvk per ogni λ ∈ R e v ∈ V ; d) kv + wk ≤ kvk + kwk per ogni v, w ∈ V . (Disuguaglianza triangolare) Per ogni v ∈ V il numero reale kvk `e detto norma di v. Lo spazio vettoriale V munito della norma k · k `e detto spazio normato. (1.2) Esempio La funzione modulo di Rn definita da ∀x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn :

|x| =

q

x21 + · · · + x2n

`e una norma su Rn . (1.3) Esempio Sia Ω ⊆ Rm non vuoto. Denotiamo con B(Ω) l’insieme delle funzioni f : Ω → R limitate. Osserviamo che B(Ω) `e uno spazio vettoriale su R. La funzione k · k∞ : B(Ω) → R definita da ∀f ∈ B(Ω) :

kf k∞ = sup |f (x)| x∈Ω

` detta norma infinito (o norma del sup) di f . `e una norma in B(Ω). E 227

228

S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

(1.4) Definizione

Siano V uno spazio normato munito della norma k · k e (vn )

una successione in V . Diciamo che (vn ) ` e di Cauchy in V se per ogni ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n, m ≥ n0 si ha kvn − vm k < ε.

(1.5) Definizione

Siano V uno spazio normato munito della norma k · k, (vn )

una successione in V e v ∈ V . Diciamo che (vn ) converge a v in V (o che (vn ) ` e convergente a v in V ) se lim kvn − vk = 0. n

e il limite di (vn ) e scriviamo lim vn = v. In tal caso diciamo che v ` n

(1.6) Proposizione

Siano V uno spazio normato munito della norma k · k e

(vn ) una successione in V convergente a v ∈ V . Allora (vn ) `e di Cauchy in V . Dimostrazione. Sia ε > 0. Poich´e lim kvn − vk = 0, allora esiste n0 ∈ N tale che per n

ogni n ≥ n0 si ha kvn − vk < 2ε . Quindi per ogni n, m ≥ n0 si ha kvn − vm k ≤ kvn − vk + kv − vm k <

(1.7) Definizione

ε ε + = ε. 2 2

Sia V uno spazio normato.

Diciamo che V ` e completo (o di Banach) se ogni successione di Cauchy in V `e convergente in V .

(1.8) Esempio Ogni spazio normato di dimensione finita `e completo. In particolare per ogni n ∈ N, n ≥ 1, lo spazio Rn `e completo. Lo spazio normato B(Ω) dell’Esempio (1.3), che `e di dimensione infinita, munito della norma k · k∞ `e completo.