L’Analyse Structurale

Formation CTC Alger 2016. ► Béton armé et maçonnerie. L’analyse structurale.

FORMATEUR Xavier Lauzin

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Généralités.  Son objet est de déterminer la façon dont vont se distribuer les

sollicitations ou les contraintes, les déformations et déplacements de la structure.  Elle peut être complétée par une analyse locale dans les cas particulier suivants:  À proximité des appuis  Au droit des charges concentrées  Aux nœuds de jonction des et poteaux  Dans les zones d’ancrage  Aux changements de section transversale.

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Modèles d’analyse structurale. L’analyse structurale peut utiliser les modèles suivants: Le comportement élastique: c’est l’analyse linéaire classique utilisée pour les calculs aux ELU et aux ELS Le comportement élastique avec redistribution limitée: il est utilisé pour les calculs des éléments structuraux aux ELU Le comportement plastique: c’est le modèle des bielles et tirants, des lignes de rupture… utilisables aux ELU. Le comportement non linéaire: c’est la méthode d’intégration des courbures utilisée aux ELS et aux ELU.

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Exigences spécifiques des fondations.  Il s’agit de déterminer si les fondations ont une influence

significative sur la structure (comme par exemple le tassement des appuis sur une poutre continue créant des dénivellations.)  L’interaction entre pieux peut être négligée si la distance entre pieux est supérieure à 2 fois le diamètre (et non 3 fois comme actuellement).

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Cas de charges et combinaisons.  Les combinaisons d’action sont celles définies dans l’EC0.  L’EC2 propose les cas de charges simplifés pour les bâtiments:

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Cas de charges et combinaisons. Simplifications de l’Annexe Nationale. Pour l’estimation des charges appliquées sur les planchers de bâtiments: On peut négliger l’effets de continuité des hourdis pour le calcul des charges sur les poutres La transmission des charges apportées par les structures autres que les hourdis tient compte des ca de planchers à charge d’exploitation modérée et les autres. Les planchers à charge d’exploitation modérée sont définis par:  Une charge Q ≤ Min ( 2 G; 5 kN/m2)  La fissuration n’est pas préjudiciable  Les sections transversales sont identiques dans toutes les travées  Les portées successives sont dans un rapport de 0.8 à 1.25. On retrouve les principes de la méthode forfaitaire du BAEL.

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Cas de charges et combinaisons. Simplifications de l’Annexe Nationale.  Les charges verticales appliquées sur les poteaux par les

poutres sont majorées de: 15% pour les poteaux centraux dans le cas de poutres à 2 travées 10% pour les poteaux voisins des poteaux de rive dans le cas de poutres à plus de 2 travées.

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Imperfections. L’analyse des structures doit tenir compte des imperfections géométriques éventuelles si elles ont un effet défavorable. Les imperfections sont à prendre en compte dans le calcul aux ELU.

La valeur de Ɵ0 est de l/200 (cf annexe nationale). Formation CTC Alger 2016

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Imperfections. La formule peut alors se simplifier:

La définition de l et n est résumée dans les cas suivants: Pour un poteau isolé tenu ou libre en tête: l=hauteur de l’élément et n=1 Pour des ossatures poteaux poutres (avec continuité): l=hauteur du bâtiment et n=3 Pour les effets sur les diaphragmes, l= hauteur étage, n=nbre d’éléments verticaux agissant sur le plancher. Formation CTC Alger 2016

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Imperfections.

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Imperfections. Cas des éléments isolés: pour un poteau isolé, les imperfections peuvent être prises en compte: 

Soit en retenant une excentricité de ei=Ɵi lo/2

Soit en introduisant un effort horizontal conduisant au moment maximal:

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Imperfections. Dans le cas de structures, l’effet de l’inclinaison peut être étudié à partir des efforts horizontaux:

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Imperfections.

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Imperfections. Excentricité minimale: L’EC2 demande la prise en compte dans la justification des sections d’un moment minimal: M=NED e0 avec eo=Max(2cm;h/30) h est la hauteur de la section et N la charge axiale. Cette condition est plus pénalisante que l’imperfection l/400.

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Modélisation de la structure. Les éléments de chaque structure sont classés et étudiés selon leur nature et fonction, on distingue donc les classes suivantes: Les poutres Les poteaux Les dalles Les voiles les plaques Les arcs Les coques… Chaque structure est un assemblage de ces différents éléments.

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Les poutres.

Une poutre est un élément dont la portée est supérieure à 3 fois la hauteur. Dans le cas contraire, il s’agit d’une poutre-voile ou poutre-cloison. Formation CTC Alger 2016

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Les dalles. Une dalle est un élément dont la plus petite dimension dans son plan est supérieure à 5 fois son épaisseur. Nota: les hypothèses classiques de la RDM assimile une poutre à un élément tel que 1/30 ≤ h/l ≤ 1/5.

On considère qu’une dalle peut porter dans 2 directions à partir du moment où lx/ly ≤ 0.5 (au lieu de 0.4 dans le BAEL).

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Les poteaux. Un poteau est un élément dont le grand côté de la section transversale ne dépasse 4 fois le petit coté et dont la hauteur est au moins égale à 3 fois le grand coté. Sinon il s’agit d’un voile.

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Les planchers nervurés.

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Portée utile des dalles et des poutres.

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Portée utile des dalles et des poutres. 





L’EC2 compte la portée entraxe des appuis alors que le BAEL considérait entre nus (pour des appuis en béton armé) mais également entraxe pour des appuis sur maçonnerie et sur appareils d’appui. Pour le calcul des poutres, les charges sont prises en compte à partir du nus des appuis (pour les contraintes d’effort tranchant le BAEL permettait de déroger). Ecrêtement des moments sur appuis intermédiaires: ils peuvent être minorés de ΔM=Fed,sup t/8 . (F est la réaction d’appui et t l’épaisseur de l’appui).

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Sollicitations au droit des appuis et des poteaux. Pour le calcul des poteaux, il est interdit de redistribuer les moments élastiques provenant de l’effet portique. Dans les travées continues, l’EC2 demande que le moment de calcul aux nus des appuis ne soit pas inférieur à 65% du moment calculé sur appui. C’est l’équivalent du BAEL (§ B6.1.1). Cette condition peut conduire à relever la redistribution sur appui de 0.7.

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Largeur participante des tables de compression. 

Pour les poutres en T, la largeur participante de la table dépend de: • La dimension de l’âme • Des dimensions de la table • Du type de chargement • De la portée • Des conditions d’appui • Des armatures transversales.

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Largeur participante des tables de compression. La largeur de la table est donnée par: beff = bw + (0.2bi + 0.1lo )

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L’analyse linéaire élastique.  Le modèle suit les lois classiques de la RDM.  Il est applicable aux calculs aux ELU et ELS pour le calculs des

sollicitations sous les conditions suivantes: Les sections sont considérées non fissurées Utilisation du diagramme contrainte déformation dans la partie linéaire Utilisation de la valeur moyenne du module d’élasticité (Ecm)  A l’ELU pour les effets du retrait, du fluage, de la température, des tassements on peut prendre en compte une raideur incluant la fissuration des éléments.  A l’ELS une fissuration progressive des sections peut être envisagée. Formation CTC Alger 2016

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L’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments.   

Cette analyse ne peut être utilisée qu’aux ELU. Les moments aux ELU peuvent être redistribués sous réserve que la nouvelle distribution équilibre les forces extérieures appliquées. La redistribution des moments sur appui en travée si les sections critiques ont une capacité de rotation suffisante sauf dans les cas suivants:

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L’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments. Application: Moments RDM avant Redistribution.

Moments après redistribution.

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L’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments. Nota: Pour les ponts la redistribution est limitée à 0.85. Pour les bâtiments, le coefficient est proche de 0.8 ce qui nous ramène à la méthode de Caquot sauf que la portée est basée entraxe des appuis et les moments calculés au nu des appuis. Le calcul au feu limite la valeur de la redistribution à 0.85. L’EC2 autorise de prendre en compte le coefficient δ pour un chargement donnant le moment maximal sur appui mais ne retient pas le même pour le moment maximal en travée. Le BAEL prenait le même coefficient de distribution pour le moment sur appui et en travée (théorie de Caquot ou méthode forfaitaire). Cette méthode nécessite de faire des vérifications cas de charges par cas de charges aux ELU et aux ELS. Formation CTC Alger 2016

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L’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments.

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L’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments.

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Analyse non linéaire. Cette méthode passe par l’intégration des courbures.

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Analyse non linéaire. Nota: Cette méthode est complexe et peu praticable par calcul manuel L’EC2 ne fournit aucune valeur de la rotation admissible. Il est alors loisible de prendre en compte celles retenues pour l’analyse plastique.

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Analyse non linéaire.

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Analyse non linéaire.

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L’analyse plastique. Conditions d’application de la méthode: Elle ne doit être utilisée que pour les justifications aux ELU La ductilité des sections critiques doit être suffisante La création de rotules plastiques doit être possible Elle peut utiliser la théorie de la cinématique ou les méthodes bielles tirants. Cette méthode d’analyse n’était pas retenue par le BAEL.

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L’analyse plastique. Notion de plasticité/généralités: La théorie de l’élasticité linéaire est basée: • Sur la réversibilité des déformations • Sur des déformations de faible intensité. Il est possible de travailler sur des déformations plus importantes mais non réversibles. Il s’agit de déformations plastiques: déformation totale = déformation élastique + déformation plastique

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L’analyse plastique. Lois de déformation élastoplastiques. Corps élastoplastique écrouissables:

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L’analyse plastique. Lois de déformation élastoplastiques. Corps élastoplastiques parfaits:

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L’analyse plastique. Lois de déformation élastoplastiques. Corps rigides ou corps plastiques parfaits:

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L’analyse plastique. Lois de déformation élastoplastiques. Exemple sur des fixations par boulons:

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L’analyse plastique. Application à la flexion simple. Considérons une section rectangulaire b*h, soumise à un moment fléchissant du type pl2/8.

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L’analyse plastique. Application à la flexion simple. Dans le domaine plastique, le diagramme contrainte déformation évolue de la façon suivante:

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L’analyse plastique. Application à la flexion simple.

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L’analyse plastique. Application à la flexion simple. Nota: Dans le cas d’une section rectangulaire, Mp=1.5 Me. Le gain est moins intéressant pour une section en T. Définition de rotule plastique:

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L’analyse plastique. Application à la flexion simple.

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L’analyse plastique. Définition du domaine de plasticité. Domaine de plasticité: On admet qu’il existe un domaine E tel que tous les points situés à l’intérieur ne subissent pas de déformation plastique. Ce domaine est le domaine élastique et le domaine de rigidité . Théorèmes fondamentaux:

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L’analyse plastique. Supposons que sous la charge F1 le moment fléchissant vaut 5 MNm, sous le charge F2 le moment vaut 2 MNm… Alors la 1° rotule plastique se produira en F1, la seconde à l’encastrement, la 3° en F2,… A chaque apparition d’une rotule plastique, le champ des contraintes est au plus égal aux contraintes limites et M=Mp. Le nombre k de rotules traduit l’équilibre du système: Si k≤n ,le système reste hyperstatique Si k=n, le système est isostatique Si k>n, le système se transforme en mécanisme.

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L’analyse plastique. Définitions:  Un champ de contraintes est dit statiquement admissible s’il est en équilibre sous les forces extérieures appliquées  Un champ de contraintes est dit stable si en tout point du corps le ,point représentatif de l’état de contrainte appartient au domaine de rigidité: Qmin ≤ Q ≤ Qmax.  Un champ de vitesse de déplacement est dit cinématiquement admissible s’il est compatible avec la continuité du corps t des liaisons imposées.  Un champ de vitesses de déplacement est dit instable lorsque le travail des forces extérieures est supérieur au travail des forces intérieures.

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L’analyse plastique. Théorèmes fondamentaux. Théorème de la borne inférieure: La charge limite que peut supporter une structure ou une partie de structure soumise à un système de forces proportionnellement croissant est la borne inférieure de toutes les charges correspondant aux différents mécanismes stables et cinématiquement admissibles. Si cette borne n’est pas atteinte, les mécanismes correspondants sont statiquement inadmissibles. Théorème de la borne supérieure: La charge limite que peut supporter une structure ou une partie de structure soumise à un système de forces proportionnellement croissant est la borne inférieure de toutes les charges correspondant aux différents champs de contrainte statiquement admissibles.

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L’analyse plastique. Théorèmes fondamentaux. Démonstration: Le théorème est basé sur le principe des travaux virtuels. On écrit l’égalité des travaux des forces intérieures et extérieures: We=Wi. Dans l’état 1 avant déformation: We = ρu1 F δ1 Wi = somme ( Mpi Ɵi1) Dans l’état 2: We = ρu2 F δ1

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L’analyse plastique. Théorèmes fondamentaux.

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L’analyse plastique. Exemple.

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L’analyse plastique. Exemple.

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L’analyse plastique. Exemple.

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L’analyse plastique. Exemple.

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Analyse plastique. Prescriptions de l’EC2. Généralités: o La méthode plastique ne peut être utilisée que pour les justifications aux ELU. o La ductilité des sections doit être suffisante pour que la déformation se produise. o L’analyse plastique peut être basée sur: La méthode statique (borne inférieure de la plasticité) La méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité).

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Analyse plastique. Prescriptions de l’EC2. Analyse plastique des poutres, portiques, dalles (règles simplifiées): 1)L’analyse peut être faite sans vérification de la capacité de rotation dans les conditions suivantes: L’aire de la section des armatures tendues est limitée à:  x/d ≤ 0.25 pour les bétons ≤ C50/60  x/d ≤ 0.15 pour les bétons > C55/67. Les armatures sont de classe B ou C Le rapport des moments 0.5≤ Mapp/Mt≤ 2 Nota: la limite sur l’aire des armatures tendues permet de conserver une hauteur de béton comprimée faible la France conserve la méthode forfaitaire avec calcul entre nu des appuis. Formation CTC Alger 2016

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Analyse plastique. Prescriptions de l’EC2. 2) Dans les autres cas, il convient de vérifier la capacité de rotation de la structure. L’EC2 admet que cette vérification soit faite sur une longueur de 1.2h.comme la courbe est constante sur 1.2h, la rotation plastique est égale à : Ɵ=ʃ1/r dx.

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Analyse plastique. Prescriptions de l’EC2.

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Analyse plastique. Prescriptions de l’EC2. Nota: Pour plus de renseignement, on pourra se référer aux différentes études sur le sujet:  Professeur Macchi (1960):rotations imposées  Professeur Baker (1960)  …

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