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LABORATORIO No 5 TORSIÓN EN VIGAS [ [1]
Cárdenas Eduardo, [1] Moran Valery, [1] Peralta Cristian, [1] , [1] Pinilla Lorena, [2] Rivera Walberto.
[1]
Estudiantes del programa de de Ingeniería Civil. Docente del laboratorio de Resistencia Resistencia de Materiales
[2]
Cartagena de indias Marzo 2019 materiales realizada en el laboratorio de la R esume sumen: En esta práctica de resistencia de materiales universidad de Cartagena sede piedra bolívar, trabajamos la torsión de una viga de acero. Inicialmente ejercimos una fuerza cortante de cargas distintas (2N, 4N, 6N, 8N y 10N) con el fin de conseguir el torque, el momento polar polar de inercia y el momento de rigidez. Posteriormente realizamos a efectuar los cálculos de los primeros tres ensayos donde encontramos que en el ensayo #1 el torque es igual igual a = , . momento polar de inercia es igual a
= . − y momento de rigidez es igual a; = . , realizamos este mismo procedimiento para el ensayo #2 donde encontramos que = , , = . − y = . y en el ensayo #3 , = . − = encontramos los siguientes resultados = , .
P alabr labr as clave claves: s: Esfuerzo cortante, deformación elástica, deformación plástica y torsión. practice of resistance of materials made in the laboratory of the Ab A bstr str act: In this practice university of Cartagena, bolivar stone, we work the torsion of a steel beam. Initially we exert a shear force of different loads (2N, 4N, 6N, 8N and 10N) in order to get the torque, polar moment of inertia and moment of rigidity. Later we made the calculations of the first three tests where we find that in the # 1 test the torque torque is equal to T = 0.0724Nm the polar moment of inertia is equal to J = 〖 6.1359 x10 〗 ^ (- 11) m ^ 4 and moment of rigidity is equal to G = 1.39006 x 〖 10〗 ^ 11 Pa, we perform this same procedure for the test # 2 where we find that T = 0.2Nm, J = 〖 6.1359 x10 〗 ^ (- 11) m ^ 4 and G = 4.8192 x 〖 10〗 ^ 10 Pa and in test # 3 we find the following results T = 0.4Nm, J = 〖 6.1359 x10 〗 ^ (- 11) m ^ 4 and G = 5.5067x 〖 10〗 ^ 10 Pa
K eywo ywor ds: Shear stress, elastic deformation, plastic deformation and torsion.
1. INTRODUCCIÓN El efecto de torsión se presenta en una sección transversal de un elemento estructural cuando la recta de acción de la carga contenida en el plano de dicha sección no pasa por el centro de gravedad . La torsión como esfuerzo, en el caso más general, se presenta en las estructuras combinado con alguno, e inclusive en determinadas circunstancias, con todos los restantes esfuerzos característicos (momento flector (Mf), corte (Q), y axial (N); y por otra parte, no se presenta con tanta frecuencia como estos últimos, pero cuando existe debe ser tenido en cuenta en el diseño. Los efectos de torsión en una estructura se dan por sobre carga que se ejerce y por los movimientos sísmicos que se dan , estos pueden ser en forma paralela o perpendicular a la estructura. En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una
pieza en general se caracteriza por dos fenómenos: 1-Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. 2-Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.
OBJETIVOS 1.1 Objetivo general Analizar el Angulo de torsión y el módulo de rigidez del material (acero) utilizado en el laboratorio, obtenidos a partir del ensayo de torsión.
1.2 Objetivos específicos Analizar el comportamiento del material (acero) al ser sometido a esfuerzo cortante por torsión. Calcular el módulo de rigidez, momento polar de inercia y Angulo de torsión para los distintos materiales. Conocer nuevas terminologías para así manejar el lenguaje ingenieril.
2. MARCO TEORICO HIPOTESIS FUNDAMENTALES En el desarrollo de la teoría de Torsión, se aplica una serie de suposiciones que permite simplificar el problema en gran medida, logrando obtener soluciones analíticas simples, las hipótesis utilizadas se mencionan a continuación:
-
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean. El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsión perpendiculares al eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. En árboles circulares, el esfuerzo no se distribuye de forma uniforme en una sección.
Cuando existe torsión sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ángulo gama, o ángulo de distorsión. El ángulo de distorsión depende del momento torsor aplicado, la geometría del eje circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la sección transversal de la misma) y del material del cual sea elaborado (módulo de rigidez cortante)
TORSION La torsión, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de la sección y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60).
F ig. 1: Torsión de un objeto.
El procedimiento general que siguen todos los casos en los que el esfuerzo no se distribuye uniformemente se resumen en los siguientes pasos:
1. Del examen de las deformaciones elásticas que se producen en un determinado tipo de carga y las aplicaciones de la ley Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en distintos puntos de la sección de manera que sean compatibles con la deformación y que se denominan ecuaciones de compatibilidad. 2. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de sólido aislado se determinan otras relaciones que se deducen de la consideración del equilibrio entre fuerzas exteriores aplicada y las fuerzas interiores resistentes en la sección de exploración. Estas ecuaciones de denominan ecuaciones de equilibrio. 3. Se debe verificar que la solución de las ecuaciones es satisfactoria a las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Para la deducción de fórmulas en el estudio de la torsión, nos basamos en las siguientes hipótesis: - Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. - Las secciones planas permanecen planas y no se alabean. - El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsión perpendiculares al eje. -
Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
DEDUCCION DE FORMULAS El momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir en el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones su simbología es .
F ig. 2: Momentos polares de inercia F ig. 5: Deformación de un elemento circular Eje macizo: = 42= 432 Eje hueco: = 2 (4−4)=32 (4−4) Cuando existe torsión sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ángulo teta, o ángulo de distorsión (Apuntes de resistencia de materiales aplicada, p. 1).
θ F ig. 3: Cambio de forma en un objeto. El ángulo de distorsión depende del momento torsor aplicado, la geometría del eje circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la sección trasversal de la misma) y del material del cual sea elaborado (módulo de rigidez cortante).
Consideremos una barra recta, de sección circular, empotrada en un extremo, y que en el otro se le aplique un par de fuerzas que tienda a hacerla girar alrededor de su eje longitudinal. Como consecuencia de este giro la barra experimenta una deformación, llamada torsión, que se evidencia en el hecho de que una línea cualquiera que siga la dirección de una generatriz de la barra gira un pequeño ángulo con respecto al extremo empotrado. El momento del par de fuerzas aplicado se conoce como momento torsor. Tan pronto se aplica el momento
torsionante, y el ángulo total de torsión θ
de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsión aumenta.
Si se considera una fibra a una distancia ρ del eje del árbol, la fibra girará un ángulo θ, considerando las suposiciones fundamentales expuestas anteriormente, se produce una deformación tangencial DE. ==
Haciendo las mismas consideraciones se obtiene la distorsión:
El esfuerzo cortante se logra obtener remplazando Gθ/ L por su equivalente T/J.
= = = A continuación se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes: ==(
Tρ J
Al sustituir por el radio del árbol tenemos: á=
Tr J
G L
)
A esta ecuación se la denomina ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas. La expresión anterior se suele conocer como la ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados son compatibles con las deformaciones elásticas. Un elemento diferencial de área de la sección MN, presenta una fuerza resistente dada por: =
3. INSTRUMENTOS MATERIALES
Máquina de Torsión Medidor del Angulo de giro Pesas Portapesas (masa de 73,9 gr) Llave Allen Varilla circular
F ig. 6: Máquina de torsión. Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, se llega a la siguiente relación: == ∫ = ∫ ( ) Sustituyendo por su valor en la ecuación de compatibilidad:
=(
G L
) ∫2
Como el momento de inercia polar es ∫2 = J, tenemos que:
=(
G L
)
También se puede escribir esto de forma:
=
TL JG
Fig.7: portapesas y medidor de giro .
Y
4. PROCEDIMIENTO Iniciando el ensayo de torsión se toman las respectivas medidas dimensionales (diámetro y longitud de la barra circular). Posteriormente fijamos la barra a las copas de la máquina de torsión, asegurándonos que la barra quede bien sujeta con ayuda de la llave ALLEN y así no tener problemas de deslizamiento. Antes de comenzar a cargar la barra con las pesas debemos calibrar el medidor de giro el cual se ha fijado junto a una de las copas de los extremos este es una especie de disco que tiene una escala en ángulos que a medida que se le colocan carga al portapesas este realiza un giro a causa de esta carga. Ya fijados y ajustado la barra circular y el medidor procedemos a colocar el portapesas y realizar la primera medición del giro causado por este sobre la barra, similarmente vamos colocando pesas de 2N y apuntando los ángulos de giros que realizan cada una de estas cargas en una tabla de datos luego de cargar completamente la barra comenzamos a descargar el portapesas y tomando las mediciones correspondiente cada vez que retiramos una pesa. (Este ensayo se realiza en el rango de comportamiento linealmente elástico del material.)
F ig. 8: Barra circular cargada con las pesas de 2N.
5. ANALISIS Y RESULTADO Después de realizados los ensayos correspondientes a la práctica de TORSION en el laboratorio se obtuvieron los siguientes datos:
Teniendo en cuenta los datos tomados en laboratorio y los datos anteriores procedemos a hallar el módulo de rigidez (G) de cada fuerza utilizada así:
Teniendo en cuenta que la barra utilizada fue de acero se tiene que:
LONGIT DIAMET FUER ANGU UD RO ZA (N) LO DE (MTS) (MTS) GIRO PORTAPESAS 1.032
5x10^-3
0.724
0.5°
CARGA 1.032 1.032 1.032 1.032 1.032 1.032
5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3
2 4 6 8 10 12
4° 7° 10° 13.5° 16.5° 19.5°
DESCARGA 1.032 1.032 1.032 1.032 1.032 1.032
5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3 5x10^-3
10 8 6 4 2 0.724
16° 13° 9.5° 7° 4° 0
Ensayo # 1 (portapesas):
Tenemos que: -F= 0.724N -D=100mm = 0.1m -L=1.032m -∅ = 0.5°= 0.00872665 rad Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
Torque en la sección: Donde: = ∙
→ = 0.724 ∙ 0,1 = ,
Momento polar de Inercia: Donde: = →=
∙
∙ (510−) 32
Tabla 1. D atos obtenidos en el ensayo de Torsión.
= . −
También se tiene que:
Luego tenemos el Momento de Rigidez
→ () = → () → = ó = ( ∙ ) → = ∙ → = (,) → = → = → ∅ = → = → =
(G): Donde: =
=
∙ ∅∙
0,0724 ∙ 1.032 0.008726 ∙ 6.135910−
= .
Ensayo # 2:
Torque en la sección:
Tenemos que:
Donde: = ∙
-F= 2N
→ = 4 ∙ 0,1
-D=100mm=0.1m
= ,
-L=1.032m -∅=4°=0.0698 rad
Momento polar de Inercia:
Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
Donde: = →=
Torque en la sección: Donde: = ∙
→ = 2 ∙ 0,1
Donde: = →=
∙
∙ (510− )
∙ (510−) 32
= . −
Luego tenemos el Momento de Rigidez (G):
= ,
Momento polar de Inercia:
∙
Donde: =
=
∙ ∅∙
0,4 ∙ 1.032 0.12217 ∙ 6.135910−
= .
32
= . −
Ensayo # 4:
Tenemos que: Luego tenemos el Momento de Rigidez
(G): Donde: =
=
∙ ∅∙
0,2 ∙ 1.032 0.0698 ∙ 6.1359 10−
= .
Ensayo # 3:
Tenemos que: -F= 4N -D=100mm=0.1m -L=1.032m -∅=7°=0.122173rad Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
-F= 6N -D=100mm=0,1m -L=1.032m -∅=10°=0.1745 rad Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
Torque en la sección: Donde: = ∙
→ = 6 ∙ 0,1 = ,
Momento polar de Inercia: ∙
Donde: = →=
0,8 ∙ 1.032 0.2356 ∙ 6.135910−
= .
∙ (510−) 32
= . − Luego tenemos el Momento de Rigidez (G): ∙
Donde: =
=
=
Ensayo # 6 :
Tenemos que: -F= 10N -D=100mm=0,1m
∅∙
0,6 ∙ 1.032 0.1745 ∙
6.135910−
= .
-L=1.032m -∅=16.5°= 0.2879 rad Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
Ensayo # 5:
Tenemos que:
Torque en la sección:
-F= 8N
Donde: = ∙
-D=100mm=0,1m
→ = 10 ∙ 0,1
-L=1.032m
=
-∅=13.5°= 0.2356 rad Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
Momento polar de Inercia: Donde: =
Torque en la sección:
→=
= ,
Donde: = →=
∙
∙ (510−) 32
= . − Luego tenemos el Momento de Rigidez (G): Donde: =
∙ ∅∙
32
= . − Luego tenemos el Momento de Rigidez (G): Donde: =
Momento polar de Inercia:
∙ (5 10−)
Donde: = ∙
→ = 8 ∙ 0,1
∙
=
∙ ∅∙
1 ∙ 1.032 0.2879 ∙ 6.135910−
= .
Ensayo # 7:
Tenemos que: -F= 12N
Por último, se muestra una tabla donde se resume todos los resultados obtenidos después de realizar los cálculos anteriores así:
Fuerza
T
J
G
(N)
(Nm)
( )
(Pa)
0.724
0.0724
. −
.
2
0.2
. −
.
4
0.4
. −
.
6
0.6
. −
.
Torque en la sección:
8
0.8
. −
.
Donde: = ∙
10
1
. −
.
→ = 12 ∙ 0,1
12
1.2
. −
.
-D=100mm=0,1m -L=1.032m -∅=19.5°= 0.3403 rad Para hallar el módulo de rigidez (G) se debe hallar primero:
Tabla 2. Datos obtenidos después de realizados los cálculos .
= .
Momento polar de Inercia: Donde: = →=
∙
∙ (5 10− ) 32
= . − Luego tenemos el Momento de Rigidez (G): Donde: =
=
6. CONCLUSIONES
∙
A través del ensayo de torsión realizado en el laboratorio de resistencia se puede concluir que la máquina de torsión nos proporciona importantes datos con los cuales podemos hallar el esfuerzo cortante y deformación angular unitaria.
∅∙
1.2 ∙ 1.032 0.3403 ∙ 6.135910−
= .
Después de realizado este ensayo de laboratorio se puede concluir que para la varilla, el módulo de elasticidad tangencial dependerá del momento aplicado que sería una fuerza por su distancia, la longitud de la varilla, el diámetro de esta y el ángulo el cual está roto. Resaltando finalmente que los resultados del ensayo de torsión resultan útiles para el cálculo de elementos de maquina sometidos a torsión tales como ejes de transmisión, tornillo y resorte de torsión.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Singer, F. &Pytel, A. (1994). Resistencia de materiales. México: Oxford university Press México. [2] Pandeo. (2016, 22 de abril). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 04:30, febrero 13, 2018 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title =Pandeo&oldid=90623964. [3]Beer, Jhonston, materiales, 5ta edicion
Mecanica
de
SOLUCIÓN DE CUESTIONARIO 1. ¿Cómo aumentaría el momento torsor si con la misma área tuviéramos una sección hueca de 8mm? Hacemos la demostración para el ensayo numero 1 Cuyos datos son: -F= 0.724N
= 0.00780371 ∅ = 0.5 " = ( ) 2 0.0724 0.05 = ((0.05) (0.004) ) 2
-D=100mm = 0.1m -L=1.032m
=
, (0.05)
(9.817010−)
-∅ = 0.5°= 0.00872665 rad
=
Barra circular hueca
, (0.05)
(9.817010−)
= 368.75
Barra circular maciza
=
0.0724 0.05 (0.05) 2
Barra circular maciza = 368.73 Por lo tanto si aplicamos el mismo Mt en los dos casos, la barra circular hueca es mucho más funcional ya que el cortante máximo será mucho mayor que en la barra maciza y esto es lo que se busca en el diseño de estructuras, lo cual es que los rangos permisible de los esfuerzo sean los más altos posible sin aumentar los costos.
Barra circular hueca: = 0.05 ℎ = 0.008 = .
Cabe resaltar que entre más delgado es el espesor más eficiente es la sección. Pero tiene un límite.
2. Deformación de un miembro circular sometido a torsión. Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza ad yacentes de radio c de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig.
Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico. Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte = donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material.
lo que indica que la tensión de corte varía linealmente con la distancia r medida desde el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple la siguiente relación
Suponer que la sección circular transversal está compue sta por dos materiales diferentes. Se asume que en la interacción de ambos materiales existe una compatibilidad de deformación por corte r.
Fig.: Deformación de un elemento circular sometidos a torsión.
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