Laboratorio Pely TERMINADO

Laboratorio Física II

Informe TP N°1 Grupo N°1: #Gutierrez Cesar Alejandro # Perez Franco Martin #Almiron Carlos Cesar #Francisco Franco Alejandro Maximiliano # Julian

El proceso de medición – Introducción al cálculo de errores 1-Mediciones directas, cálculo del promedio, error mínimo, error accidental. 1.1 Actividades: 1.1.a) Estime el orden de magnitud de: a.1) la masa de una persona adulta: 10² kg. a.2) el volumen del aire del laboratorio: 10² m³ a.3) el espesor de una hoja de papel: 10¯¹mm Obs.: en el punto a.1 consideramos que la masa de una persona adulta varía entre 60 kg y 80 kg, en el punto a.2 estimemos las medidas del laboratorio (altura, largo, ancho) y calculamos su volumen como si fuera un prisma, por ultimo en el punto a.3 es notorio que el espesor de una hoja de papel es menor a 1 mm. 1.1.b) Mida con el instrumento que le facilitará el docente: b.1) La masa de una bolilla: Instrumento: Balanza Digital Electrónica Alcance: 400 g Apreciación: 0,0001 g es decir se aprecia hasta la diezmilésima de g. Pues tenemos que: 1g Ap = -------------- = 0.0001 g. 100000 Medicion: M1=1,0 g b.2) El diámetro de una pieza de máquina: Instrumento: Calibre Alcance:20 cm Apreciación: 0,05 mm. El calibre que utilizamos, en la escala del vernier tenia 20 divisiones de estos datos calculamos la apreciación del instrumento: Informe N°1 -1-

1 mm Ap = ----------- = 0,05 mm 20 Medicion: D1=44,2 mm Obs.: a la medicion realizada con el calibre la efectuamos de la siguiente manera, Leímos la escala fija del calibre hasta el cero del vernier y a esta medida le sumamos el número de la división del vernier coincidente con la escala fija del calibre. Para entenderlo mejor veamos el siguiente Ej.: 5 Dibujo de las escalas para ejemplo mm + ------ mm

12

20 Conclusiones: Se trabajó en grupo como en la experiencia anterior. Se utilizó un calibre de 0,05 mm de apreciación para medir el diámetro de una pieza de máquina. b.3) El tiempo de oscilación de un péndulo físico: Instrumento: Cronómetro Apreciación: Centésimas de segundo Alcance:100hs En esta experiencia resulta complicado medir exactamente una oscilación del péndulo físico, por lo que recurrimos a medir 10 oscilaciones y luego al valor obtenido dividirlo por diez y así obtener aproximadamente el tiempo de una oscilación. Medición: M1=10 M2=10 M3=10 M4=10 M5=10

oscilaciones oscilaciones oscilaciones oscilaciones oscilaciones

_____________________t1=20,80 s _____________________t2=20,47 s _____________________t3=20,00 s _____________________t4=20,13 s _____________________t5=20,10 s

Vp=10 oscilaciones ______________________tp=20.30 s Entonces el tiempo de una oscilación será: 20,30s Informe N°1 -2-

_____ = 2,03 s 10

→ 1 oscilación = 2,03 s

1.2) Búsqueda de información: Proceso de Medición: El proceso de medición consiste en un proceso físico experimental en el cual interactúan tres sistemas: lo que va a medirse, el instrumento o conjunto de instrumentos (del cual forma parte el observador) y el sistema de referencia con el que compara, es decir las unidades.

Sistema a medir

↔ Sistema medidor Sistema unidad

↔

Medir es comparar y al comparar siempre se producen incertezas, las cuales nos llevan siempre a cometer errores. En un proceso de medición debemos estudiar cuales son las fuentes de incertezas y cuanto valen.

Errores de una medición: Errores mínimos: ●Error de Apreciación: (eAp) es el error de apreciación del instrumento, es decir la apreciación con que mide. Si el instrumento esta correctamente calibrado el error de apreciación estará asociado a la mínima variación que podemos detectar. El error de apreciación puede ser, o no, menor que la apreciación nominal. ●Error de Exactitud: (eexact) tiene que ver con la exactitud del instrumento. La exactitud de un instrumento generalmente es un dato que proporciona el fabricante del mismo. ●Error de Definición: (edef) Un objeto introduce también sus propias limitaciones en el proceso de medición. Las rugosidades y asperezas del borde de un objeto introducen errores, es decir la definición del objeto es el que da lugar al error de definición. ●Error de Interacción: (eint) Cuando realizamos una medición, el método y los instrumentos al interaccionar con el objeto de medición pueden modificar justamente lo que se esta midiendo. La única forma de detectar estos errores de interacción es realizar un análisis cuidadoso del método utilizado. Informe N°1 -3-

Error Mínimo: Es la suma de todos los errores mínimos.

emin

=

eint + . . .

eAp

+

eexact

+

edef

+

Errores Sistemáticos: Son aquellos errores que se producen por un instrumento que no esta bien calibrado. Resulta de factores que comprenden el “sistema de medición”. Estos pueden corregirse calibrando el mediciones instrumento, o bien conociendo el (error de calibración) podemos corregir las medidas que se efectuaron m1 con dicho instrumento. m2 . . .

Errores

mn

Accidentales:

Son ligeras diferencias entre unas y otras mediciones, pueden ser por exceso o por defecto respecto del mejor valor. Esos errores son producidos por causas fortuitas, varían al azar y por ello pueden producirse tano en un sentido como en el otro y no siempre con el mismo valor absoluto. Por tener comportamiento estadístico (al azar) pueden corregirse repitiendo las mediciones. Valor Promedio: En una serie de mediciones se define el valor promedio de una medición que también lo llamamos mejor valor (mmv) a la siguiente expresión: Sean: n

∑ mmv=

mi

i=1 ----------------------

n

Informe N°1 -4-

Error del Promedio: Es aquel error que depende del número de mediciones realizadas y se expresa de la siguiente manera:

σ E= -----------

donde

medición y n el √(n-1)

σ es el error cuadrático medio de cada

numero de mediciones.

El error cuadrático del promedio esta definido como:

½

n

σ

=

(∑

(mi- mmv)/n)

i=1

Cota de una Medición Directa: La cota de una medición es el apartamiento del mejor valor de la medición, puede ser por exceso o por defecto, es decir el error total en el que puede variar el mejor valor; por ello es que se la expresa con los signos (±). Cabe destacar que la cota de una medición no puede ser nunca menor que el orden del error mínimo. Ej:

m = (16,24 ± 0,03) mm. Donde ± 0,03 es la cota de la medición. Error Absoluto (eabs) y Error Relativo (Erel): Consideramos por ahora como error absoluto de una medición a la diferencia entre el valor medido (mi) y el verdadero valor (mv). En tanto al error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero de la magnitud m.

eabs = mi - mv Erel = eabs/ mv

Informe N°1 -5-

Sabemos que el valor verdadero de una magnitud no se puede conocer, por eso es que tomamos para hacer estos sencillos cálculos el mejor valor de la medición. El error relativo es una medida de la precisión, es decir, de la calidad de la medición. Esta precisión suele expresarse en porcentaje. Ej.:

Erel = 0,05

→ Erel % = Erel x 100 = 5 → Erel =5%

Instrumentos: Principio de funcionamiento del Calibre y Tornillo micrométrico Calibre: El calibre es un instrumento que nos permite medir pequeños diámetros ya sean interiores o exteriores, separación entre planos paralelos, espesores, etc. Sobre la regla fija tiene grabada dos escalas, la superior en pulgadas y la inferior en milímetros. La corredera dispone de un nonio o vernier que tiene por ejemplo 20 divisiones que equivalen a 19mm o 10 divisiones que equivalen a 9mm, es decir siempre el numero de divisiones del vernier es menor que las divisiones en mm. Para realizar una medición utilizando un calibre se hace lo siguiente: primero se lee la escala fija hasta el cero del vernier y luego a dicha medición se le suma la lectura de la división del vernier que coincide con una división de la escala fija dividida en el numero de divisiones del vernier.

Dibujo el calibre

Tornillo Micrométrico: Informe N°1 -6-

Es un instrumento que permite medir pequeños diámetros o espesores, el mismo consta de una escala fija graduada (superiormente en milímetros e inferiormente líneas que dividen a los milímetros en dos), un tambor en este caso con 50 divisiones que sirven para apreciar la centésima del milímetro. Para realizar una medición con un tornillo micrométrico, primero se lee la escala fija y Lugo nos fijamos con que división del tambor coincide la línea central de la escala fija. Algunos tornillos micrométricos aprecian la milésima de milímetro, lo que conocemos como micra, de ahí su nombre tornillo micrométrico. Dibujo del tornillo micrométrico

1.3) Discuta en el grupo de trabajo las siguientes cuestiones: a) Determine las características (alcance, apreciación, exactitud) de los instrumentos utilizados: Características de los instrumentos: Alcance y Rango: Cuando se construye un instrumento de medición se lo hace con el propósito de medir una magnitud entre un valor mínimo y máximo. El intervalo de valores que puede medir un instrumento se llama rango y el máximo valor que se puede medir con el instrumento se llama alcance. Ej.: el termómetro de uso domestico mide entre 35°C y 42°C. El rango entonces para este instrumento es el intervalo (35,42) °C y el alcance será 42°C Apreciación: Es la minima unidad que puede ser detectada en un instrumento Ej.: en una regla milimetrada la ap. es el milímetro. Exactitud: Informe N°1 -7-

La exactitud de un instrumento de medición es en general un dato que proporciona el fabricante. Habitualmente esta exactitud se expresa en términos de clase, especialmente para los instrumentos eléctricos. La clase se expresa por un número que indica el error de exactitud a plena escala expresada en porcentaje. Ej.: un instrumento de clase 2 significa que a plena escala su error de exactitud es de 2%.

En el laboratorio medimos el diámetro de una pieza de máquina utilizando lo siguiente. Instrumento: Calibre 1mm Ap= ----------- = 0,05 mm (las 20 div son del vernier) 20 div Exactitud = despreciable b) Estime el error mínimo:

emin = eap + eexact + edef + eint + . . . (eexact, edef, eint) son despreciables, entonces la estimación del error mínimo será

emin = 0,05 mm

emin = eap

→

c) Controle la presencia de errores sistemáticos: El instrumento carece de errores sistemáticos, pues antes de iniciar el proceso de medición nos informamos sobre si el instrumento estaba en condiciones para medir. d) Calcule la dispersión y el error cuadrático medio del promedio: Objeto: pieza de maquina

Informe N°1 -8-

(foto similar de la pieza dada para trabajar en laboratorio)

Tomando 5 mediciones piloto calculamos lo siguiente:

mi

xi

xi²

m1=24,32 mm 0,0 mm 0,00 mm2 m2=24,28 mm -0,04 mm 0,0016 mm2 m3=24,30 mm -0,02 mm 0,0004 mm2 m4=24,40 mm 0,08 mm 0,0064 mm2 m5=24,30 mm -0,02 mm 0,0004 mm2 mprom=24,32 mm Suma de los xi²=0,0088 mm2 m6=24,42 mm m7=24,28 mm m8=24,26 mm m9=24,28 mm m10=24,24 mm

Informe N°1 -9-

Donde Xi = mi – mprom Calculemos el error cuadrático de cada medición: σ = 0,0419 mm Ahora calculemos el error cuadrático del promedio: Eo = 0,02 mm e) Dé el valor de la magnitud acotado: Para poder acotar el valor de la magnitud medida tenemos que,

etotal = eap + Eo = 0,05 mm + 0,02 mm = 0,07 mm Finalmente el valor acotado de la magnitud medida será:

m = (24,3 ± 0,7) mm

f) Calcule el error relativo de la medición:

σ Erel = --------- = (0,0419mm/24,32mm) = 0,0017→ Erel = 0,1% mmv g) Para saber si realizamos un número suficiente de mediciones debemos calcular el número de mediciones:

n = (Eo/emin)² (no – 1) + 1

→n=2

Deberíamos haber realizado 2 mediciones para que el error mínimo sea igual al error cuadrático del promedio, en consecuencia se realizo un número suficiente de mediciones. Conclusiones: En el laboratorio medimos la longitud de una pieza de maquina, usamos un calibre de Ap= 0,05 mm. Solo realizamos 10 mediciones, lo que resultó suficiente para que el error mínimo sea igual al error cuadrático medio del promedio. Trabajamos en grupo, consideramos que el error de definición, exactitud e interacción eran despreciables. Por ultimo dimos el valor acotado de la magnitud medida.

Informe N°1 - 10 -

2- Mediciones indirectas, Propagación de errores, Planificación según un error prefijado.

2.1) Actividades: Mida con el error prefijado la densidad del material (sólido) que le entregara el docente.(Imagen similar a la de la pieza que nos dieron en laboratorio para trabajar)

MEDICION : 1- Medimos la densidad del elemento a partir de un error porcentual proporcionada por el docente el error porcentual es de 3%: a)- la p=m/v=m/(π.d^2.e/4) b)- aplicando la propiedad de un error en un conciente obtuvimos la siguiente formula: Δp/p=Δm/m+Δπ/π+ 2Δd/d+Δe/e=0,03 c)- a partir del error porcentual que nos dieron, nos fijamos cual de los valores eran despreciable de acuerdo a su exactitud y luego distribuimos el error porcentual de acuerdo a la precisión de cada medicion y obtuvimos. Δm/m=0,0015 Δπ/π=0,0015 (valor despreciable) 2Δd/d= 0,01 Δe/e=0,02 d)- medios cada una de las dimensiones del elemento con una regla y la masa con la balanza (fue de 6,023gr). e)- calculamos la apreciacion que debe tener el instrumento con el que Informe N°1 - 11 -

realizaremos las medidas. EI calculo se realiza de siguiente manera: 2Δd/d= (0,01xd)/2 → Δd= (0,01x 2,4cm)/2=0,012cm. Δe=0,02xe=0,02x 2,0cm=0,004cm. f)- este resultado nos indica que el instrumento con el que debemos medir es el calibre ya que necesitamos un instrumento que aprecie la milésima de cm. 2- Medimos n veces el elemento que nos dio el profesor. Las mediciones que obtuvimos fueron: n: numeros de mediciones realizadas d: valor del diámetros del elemento e: valor de espesor del elemento n 1 2 3 4 5

D 2,415cm 2,425cm 2,415cm

e 0,155cm 0,170cm 0,180cm 0,175cm 0,155cm

2,425cm 2,420cm 3- Luego calculamos el mejor valor de d, l y m, lo óptimos de la suma de de todas las mediciones realizadas sobre el número de mediciones realizadas; la cual nos dio: d= 12,10cm/5=2,42cm e= 0,835cm/5= 0,167cm 4- A)-Calculamos el valor de xi que es el error cometido por cada medición y xi. Adonde a xi la obtenemos de la diferencia entre el d menos las mediciones realizadas (d). n 1 2 3 4 5

Xi 0,005cm -0,005cm 0,005cm -0,005cm 0,000cm

xi 2,5x10^5cm 2,5x10^5cm 2,5x10^5cm 2,5x10^-

Informe N°1 - 12 -

5cm 0,000cm B)-Calculamos el valor de xi que es el error cometido por cada medicion y xi. A donde a xi la obtenemos de la diferencia entre el e menos las mediciones realizadas (e). n 1 2 3 4 5

xi 0,012cm -3x10 cm 0,013cm -8x10 cm 0,012cm

xi 1,44x10 cm 9x10 cm 1,69x10 cm 6,4x10 cm 1,44x10 cm

5- Continuamos calculan en este caso calcularemos el error cuadrático que se lo obtiene de la siguiente formula E= [la suma de los xi/ n x (n-l)]1/2 Error cuadrático del diámetro E= [1xl0 cm/5x (5-1)]1/2 = [5xl0]1/2 =2,23x10^-3 Error cuadrático del espesor E= [5,3x10 cm/5x(5-1)]1/2= (2,65xl0 cm]1/2=5,15x10^-3 6- Calculo del error de medicion (Δd y Δe) que se lo obtiene a través de la suma de el error cuadrático mas el error mínimo (es la apreciación del instrumento en este caso el calibre). Δd= E+e=2,23x10^-3cm+0,005cm=0,007 cm. Δe=E+e=5,15x10^-3cm+0,005cm=0,010em. 7- A)- el valor acotado es el d +/- Δd: (2,420 +/- 0,007) cm. B)- el valor acotado es el e+/-Δe: (0,16+/- 0,01) cm. 8- Calcularemos ahora la densidad de la moneda a partir de los mejores Informe N°1 - 13 -

valores obtenido del diámetro y el espesor. Δm=0,0015x6,023gr=0,009gr Δπ=0,0015x3,141 =0,004 v= (π.d.e/4)=(3,141.(2,42)^2 .0,167)/4=0, 768cm3

ρ=m/v=6,023gr/ 0,768cm3=7 ,84gr/ cm3 Δρ=0,03x7,84=0,2gr/cm3 9- el valor acotado es: (7,8+/- 0,2)gr/cm3 2.2) Búsqueda de información: Medición indirecta: Es la determinación de una magnitud física derivada a partir de la medición directa de otras magnitudes, es decir el objetivo es determinar el mejor valor de una magnitud que se calcula en función de otras que se miden. Por ejemplo: áreas, volúmenes, densidades etc. Propagación de errores Propagación de errores en una suma: El error de una suma es la suma de los errores de los respectivos sumandos. Sea por ejemplo la suma S=a+b

∆S ∆a ∆b ----- = ------ + -----S a b Propagación de errores en un producto: El error de un producto es la suma de los errores de los respectivos factores. Sea por ejemplo el producto B= c . d ∆B ∆c ∆d ------- = ------ + -------B c d

Informe N°1 - 14 -

Propagación de errores en un cociente: El error de un cociente es la suma de los errores del dividendo y del divisor. Sea por ejemplo el cociente h M= -------t ∆M ∆h ∆t ------- = ------- + -------M h t Propagación de errores en potencias: El error de una magnitud en la que aparecen potencias es el exponente de la potencia por el error de la base de la potencia. Sea un caso general P= aⁿ=a a a …….a (n-veces) ∆P ∆a ------ = n ---------P a Planificación de una medición a parir de un error prefijado: Para planificar una medición a partir de un error prefijado debemos ser muy cautelosos a la hora de adjudicarle a cada magnitud una parte del error prefijado para así saber que tipo de instrumentos se utilizará, lo que esta directa y principalmente relacionado con la apreciación del mismo. También debemos tener muy en cuenta los órdenes de magnitud de cada una de las magnitudes que aparecen en nuestra expresión que se miden de manera directa. Por otro lado tenemos que obtener la ecuación matemática de la propagación de errores de nuestra magnitud indirecta.

2.3) 1- Medimos el volumen de un elemento el cual tiene una perforación a partir de un error porcentual proporcionada por el docente el error porcentual es de 5%: a)- calculamos que porcentaje ocupa del volumen total la perforación de la siguiente manera: Vp/Vt= [(π.(0,03)^2.1,5cm)/4]/(π.(2,8)^2.1,5cm)/4=0,01 b)- al porcentaje que nos dio el docente le descontamos el porcentaje que ocupa la perforaci6n. EI total nos queda de 4% Informe N°1 - 15 -

c) procederemos calcular el volumen del elemento es: Vt=π.r^2.h d)- aplicando la propiedad de un error en un conciente obtuvimos la siguiente formula: ΔV/Vt=Δπ/π+2Δd/d+Δh/h=0,04 e)- A partir del error porcentual que nos dieron, nos fijamos cual de los valores eran despreciable de-acuerdo a su exactitud y luego distribuimos el error porcentual de acuerdo a la precisión de cada medicion y obtuvimos. Δπ/π=0,001(valor despreciable) Δd/d= 0,02 Δh/h=0,02 f)- medios cada una de las dimensiones de el elemento con una regla. g)- calculamos la apreciacion que debe tener el instrumento con el que realizaremos las medidas. EI calculo se realiza de siguiente manera: 2Δd/d= (0,02xd)/2 → Δd= (0,02x 2,8cm)/2=0,028cm Δh= 0,02xh= 0,02x 1,5cm=0,03cm. h)- este resultado nos indica que el instrumento con el que debemos medir es el calibre ya que necesitamos un instrumento que aprecie la milésima de cm. 2- Medimos n veces el elemento que nos dio el profesor. Las mediciones que obtuvimos fueron: n: números de mediciones realizadas d: valor del diámetros del elemento h: altura del elemento n 1 2 3 4 5

D 2,825cm 2,830cm 2,855cm 2,860cm 2,855cm

H 1,560cm 1,555cm 1,580cm 1,585cm 1,580cm

3- Luego calculamos el mejor valor de d y h, lo óptimos de la suma de todas las mediciones realizadas sobre el número de mediciones realizadas; la cual nos dio:

Informe N°1 - 16 -

d=14,225cm/5=2,845cm h=7,86cm/5= 1,572cm

4- A)-Calculamos el valor de xi que es el error cometido por cada medición y xi. Adonde a xi la obtenemos de la diferencia entre el h menos las mediciones realizadas (d). N 1 2 3 4 5

xi 0,020cm 0,015cm -0,010cm -0,015cm

xi 4x10cm 2,25x10 cm 1x10cm 2,25x10 cm 1x10cm

-0,010cm

B)-Calculamos el valor de xi que es el error cometido por cada medicion y xi. Adonde a xi la obtenemos de la diferencia entre el h menos las mediciones realizadas (h). N 1 2 3 4 5

xi 0,012cm 0,017cm -8x10^3cm -0,013cm -8x10^3cm

xi 1,44x10 cm 2,89x10 cm 6,4x10c m 1,69x10 cm 6,4x10c m

5- Continuamos calculando en este caso calcularemos el error cuadrático que se 10 obtiene de siguiente formula E= (la suma de los xi/ n x (n-l)]^1/2 Informe N°1 - 17 -

Error cuadrático del diámetro E= (10,5x10 cm/ 5x (5-1)]^1/2 = [5,25x10]^1/2 = 7,24x10^-3 cm. Error cuadrático de la altura E= [7,3xl 0 cm/5x (5-1)]^1/2= (3,65x10 cm.)^1/2=6,04xl0^-3cm. 6- Calculo del error de medicion (Δd y Δh) que se lo obtiene a través de la suma de el error cuadrático mas el error mínimo (es la apreciacion del instrumento en este caso el calibre). Δd= E+e=7 ,24x10^-3 cm +0,005cm=0,010cm. Δh=E+e=6,04x10^-3 cm+ 0,005cm=0,010cm. 7- A)-EI valor acotado es el d +/- Δd: (2,84+/- 0,01) cm. B)- el valor acotado es el h +/- Δb: (1,57+/- 0,01) cm. 8- Calcularemos ahora el volumen del elemento a partir de los mejores valores obtenidos del diámetro y la altura. V= (π.d.h)/4=(3,141.(2,845).1,572)/4=9,99cm ΔVt=2.Δd/d+Δh/h= 2.0,010/2,845+ 0,010/1,572=0,01 cm 9- el valor acotado es: (9,99+/- 0,01) cm.

Informe N°1 - 18 -