Laboratorio oscilaciones amortiguadas

LABORATORIO FISICA 3 OSCILACIONES AMORTIGUADAS AUTORES DANIEL FELIPE RIVERA CASAS [email protected] JOSEPH NICOLÁS SILVA ORDÓÑEZ [email protected] ANDRES FERNANDO CHINGATÉ HORTUÁ [email protected] HENDER KEVIN SÁNCHEZ LARA [email protected] ABSTRAC In this lab, we will study the phenomenon in which an oscillating friction forces involved, and we can say that the simple harmonic motion no longer describes this phenomenon very well. Some experiments and measurements were carried out on a mass-spring system with inclined plane, where values of amplitude and time will be obtained to identify this friction involving the free movement of a system. To refer to this movement in this document will call damped oscillations. Keywords: damped oscillations, amplitude, time, physical phenomena, mass-spring system, and frictional forces. RESUMEN En esta práctica, estudiaremos el fenómeno en el cual en una oscilación intervienen las fuerzas de fricción, y podemos decir que el movimiento armónico simple ya no describe este fenómeno muy bien. Se realizaran algunos experimentos y mediciones en un sistema de masa-resorte con plano inclinado, en donde se obtendrán unos valores de la amplitud y tiempo, para poder identificar esta fricción que interviene al libre movimiento de un sistema. Para referirnos a este movimiento en este documento lo llamaremos oscilaciones amortiguadas. Palabras claves: oscilaciones amortiguadas, amplitud, tiempo, fenómenos físicos, sistema masa-resorte y fuerzas de fricción. INTRODUCCION En todos los sistemas del mundo real, en todo momento existen fuerzas disipadoras (fuerza de fricción o rozamiento) del movimiento, que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor, ocasionando que las oscilaciones se apagan con el tiempo si no existe un mecanismo externo que repongo la energía mecánica disipada. Para un caso real, las campanas que oscilan en una iglesia, si se dejan de impulsar, tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras (resistencia del aíre o del medio y fricción, en el punto de suspensión) harán que dejen de oscilar. Este fenómeno es lo que se conoce como oscilación amortiguada.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Analizar e interpretar el comportamiento de las oscilaciones amortiguadas por medio de un sistema masaresorte en plano inclinado.

OBJETIVOS ESPECIFICOS.    

Observar las características de las oscilaciones sub-amortiguadas. Medir la amplitud de las oscilaciones amortiguadas y determinar el comportamiento de la amplitud (A) respecto al tiempo. Determinar experimentalmente el valor de la constante que describe la intensidad del amortiguamiento (b) del medio. Hallar la relación de la constante (b) con respecto a diferentes variables como lo es la masa del sistema, área de sección transversal e inclinación del plano.

MARCO TEORICO La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguación, y el movimiento correspondiente se llama oscilación amortiguada. El caso más sencillo para un análisis detallado es un oscilador armónico simple con una fuerza de amortiguación por fricción directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos o el deslizamiento de superficies lubricadas con aceite. Así, sobre el

F X =−b v X

cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción,

, donde

v X =dx /dt

es la

velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora. El signo menos indica que la fuerza siempre tiene dirección opuesta a la velocidad. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es entonces:

∑ F X =−kx−b v X Y la segunda ley de Newton para el sistema es:

−kx−b v X =ma X O también:

−kx−b

dx d2 x =m 2 ⋯(1) dt dt

La ecuación anterior es una ecuación diferencial en x; sería igual a la ecuación diferencial del MAS, que da la aceleración en MAS, si no fuera por el término adicional

– b dx /dt

. La resolución de esta ecuación es un

problema sencillo en ecuaciones diferenciales, pero no entraremos aquí en detalles. Si la fuerza de amortiguación es relativamente pequeña, el movimiento está descrito por:

−(

x= A e

b )t 2m

cos ( ω A t + φ ) ⋯ ( oscilador con poca amortiguación )(2)

La frecuencia angular de la oscilación

ωA

está dada por:

√

k b2 ωA = − ⋯ ( oscilador con poca amortiguación ) (3) m 4 m2

Podemos verificar que la ecuación (2) es una solución de la ecuación (1) calculando la primera y segunda derivadas de x, sustituyéndolas en la ecuación (1) y viendo si los miembros derecho e izquierdo son iguales. Este procedimiento es sencillo aunque algo tedioso.

El movimiento descrito por la ecuación (2) difiere del caso no amortiguado en dos aspectos. Primero, la amplitud

−(

b )t 2m

−(

b )t 2m

Ae

decreciente

e

cuanto mayor es

b

no es constante sino que disminuye con el tiempo a causa del factor exponencial

. La figura siguiente es una gráfica de la ecuación (2) para el caso φ = 0; muestra que, , más rápidamente disminuye la amplitud.

Segundo, la frecuencia angular

ω=√ k /m

ωA

, dada por la ecuación del oscilador (3), ya no es igual a

, sino un poco menor, y se hace cero si

b

es tan grande que:

k b2 − =0 , o bien b=2 √ km ⋯(4) m 4 m2

Si se satisface la ecuación (4), la condición se denomina amortiguación crítica. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta.

Si

b

2 √ km

es mayor que

, la condición se denomina sobre-amortiguación. Aquí tampoco hay

oscilación, pero el sistema vuelve al equilibrio más lentamente que con amortiguación crítica. En este caso, las soluciones de la ecuación (1) tienen la forma:

x=C 1 e−a t +C 2 e−a t 1

Donde

C1

2

y

C2

son constantes que dependen de las condiciones iniciales, y

constantes determinadas por m, k y

b

a1

y

a2

, son

.

Si b es menor que el valor crítico, como en la ecuación (2), la condición se llama sub-amortiguación. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente.

En un diapasón o cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos la mínima amortiguación posible. En cambio, la amortiguación es benéfica en las oscilaciones de la suspensión de un auto. Los amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pasa por un bache, no siga rebotando eternamente. En la figura lateral vemos el esquema de un amortiguador de automóvil. El fluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativa de los dos extremos de la unidad. Esto ayuda a controlar el rebote y las sacudidas de las ruedas. Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debe estar críticamente amortiguado o un poco sub-amortiguado. Al hacerse viejos los amortiguadores, el valor de

b

disminuye y el rebote persiste más tiempo. Esto no sólo causa náuseas,

perjudica la dirección porque las ruedas delanteras tienen menos contacto positivo con el suelo. Así, la amortiguación es una ventaja en este sistema.

Demasiada amortiguación sería contraproducente; si

b

es excesiva, el sistema estará sobreamortiguado y

la suspensión volverá al equilibrio más lentamente. En tal caso, si el auto cae en otro bache, justo después del primero, los resortes de la suspensión todavía estarán comprimidos un poco por el primer golpe y no podrán absorber plenamente el impacto. MATERIALES MATERIALES

Material Soporte universal

Sistema riel-móvil

Descripción

Uso Soporte para el sistema riel-móvil.

Sistema que permite la visualización de los movimientos que se son motivo de estudio en este informe

Flexómetro

Medición de longitudes, de la cuerda, de la elongación del resorte ,etc.

Cronómetro

Medición de los tiempos de oscilación de los sistemas.

Resorte

Constituye el sistema de oscilación proporciona la fuerza resultante para que se genere la oscilación.

Masas de laboratorio

En los experimentos los sistemas de oscilación varían las masas para comprobar su incidencia en conceptos como la amplitud y el periodo.

METODOLOGIA Con el fin de cumplir con los objetivos planteados previamente en este informe se realizó un procedimiento que será detallado a continuación. Primero se hizo la instalación del sistema de riel-móvil en la base universal de laboratorio.

Ilustración 1 Montaje sistema riel-móvil en la base universal Como se observa en la figura el sistema es un plano que tiene un ángulo de inclinación, el cual puede ser modificado de acuerdo a la distancia que se toma en la base universal. Para el primer ensayo se tomó un ángulo de inclinación de 19.22 grados, el carro móvil tiene una masa inicial de 496.6 gramos que en un principio no tendrá una carga adicional, con este montaje y teniendo además que el punto donde el sistema permanece en reposo, es decir el punto de equilibrio del sistema se encuentra a 46 centímetros en el plano inclinado, se procede con el análisis del movimiento. Para empezar la oscilación, se separa el móvil del punto de equilibrio una distancia determinada, la que corresponde a la amplitud para este tipo de movimiento.

Ilustración 2Ensayo 1 en la amplitud inicial y tiempo cero Para este primer ensayo en la posición 1, la amplitud es de 10 centímetros y la idea en este ensayo es medir el tiempo que tarda cierto número de oscilaciones, primero, se mide el tiempo que tarda una oscilación, y la amplitud a la cual esta llego como máximo en ese tiempo, luego se aumenta el número de oscilaciones, con el fin de ver la relación que tiene el número de oscilaciones con la amplitud alcanzada, lo que se espera es que a mayor número de oscilaciones la amplitud se haga menor, hasta finalmente determinar, en cuanto tiempo y cuantas oscilaciones hacen falta para que el sistema se detenga. De acuerdo a lo descrito anteriormente se recogió una serie de datos que se mostraran a continuación y serán analizados posteriormente en el análisis de resultados.

Tabla 1 Datos obtenidos, ensayo 1 En la tabla anterior se muestran el número de oscilaciones medidas y los tiempos tomados de acuerdo a esto, también se estima un tiempo promedio para determinar con más precisión como se relacionan, el periodo y la amplitud para las oscilaciones de tipo amortiguado. Ensayo 2 Para la segunda toma de datos se mantiene la misma masa del móvil, solo que ahora se hace un cambio de ángulo en la inclinación del plano, para ver cómo afecta de esta variable al sistema. En este caso se toma un ángulo de 22.28 grados, con lo que el punto de equilibrio ahora se encuentra en una longitud mayor a la del anterior ensayo de 49.2 centímetros, y se realizó el mismo procedimiento que en ensayo previo, con lo que se obtuvieron los datos mostrados a continuación.

Tabla 2 Datos obtenidos en el ensayo 2

Ensayo 3 Como se dijo anteriormente dentro de los objetivos planteados se encuentra determinar cómo afecta la masa del objeto móvil al movimiento como tal, para lo cual se decidió probar con un cambio de masa del objeto móvil, en este caso aumentando esta magnitud, respecto del ensayo anterior el ángulo se mantiene igual pero lo que varía es su masa, para lo cual se tiene una masa de 996.6 gramos, al igual que los dos ensayos anteriores los datos que se recogieron corresponden a los tiempos promedio de las oscilaciones del sistema de acuerdo al número de las mismas, y reconocer la amplitud máxima que alcanzan también a lo largo de la oscilación, la idea también es relacionar, en este caso el incremento en la masa del objeto con el tiempo que tarda ese en detenerse.

Ilustración 3Montaje del ensayo 3, con masa adicional Con el montaje anterior se recogió igual número de datos que los ensayos anteriores y se analizó el movimiento, los daos se muestran en la tabla siguiente

Tabla 3 Datos tomados en el ensayo 3 Ensayo 4 El objetivo de este cuarto y último ensayo es determinar como el área de sección transversal también afecta directamente en la amortiguación del sistema oscilante, por eso en este procedimiento, para el objeto móvil,

se toma el ángulo del ensayo anterior, pero la masa utilizada en el primer y segundo ensayo, solo que además al móvil se le agrega una sección transversal mucho mayor a los ensayos previos, con el fin de ver cómo afecta en el proceso.

Ilustración 4 Montaje del ensayo 4, con sección transversal aumentado En la imagen anterior se observa el montaje, listo para empezar el movimiento oscilatorio, pero en la siguiente imagen, la sección transversal del móvil se verá más claramente.

Ilustración 5 Área de sección transversal del móvil aumentada La ilustración 5 muestra el aumento significativo del área transversal del móvil en el movimiento oscilatorio respecto de los anteriores ensayos, esta área final utilizada para la toma de datos fue de 870.4 cm 2 que es un aumento notable respecto de los 30.1 cm2 utilizados en los ensayos previos.

Tabla 4 Datos tomados en el ensayo 4 La tabla 4 muestra datos obtenidos con el montaje y ensayo de sección transversal aumentada, a continuación se muestra un resumen de los valores iniciales para cada ensayo realizado y descrito previamente, de esta forma se distinguirá la naturaleza de cada uno y se mostraran algunos detalles Medición de la amplitud con masa constante y cambiando el ángulo de inclinación del plano. Ángulo 1:

Tabla 5. Parámetros para la toma de datos. Ángulo 2:

Tabla 6 .Parámetros para la toma de datos.

Medición de la amplitud para un ángulo 2 de inclinación del plano, pero aumentando la masa.

Tabla 7. Parámetros para la toma de datos. Medición de la amplitud para un ángulo 2 de inclinación del plano, pero aumentando la sección de área transversal.

Tabla 8. Parámetros para la toma de datos.

DATOS OBTENIDOS Y ANALISIS En este espacio vamos a ilustras los datos obtenidos para los diferentes objetivos propuestos en la práctica de laboratorio y la relación entre las magnitudes o variables. Medición de la amplitud con masa constante y cambiando el ángulo de inclinación del plano. Angulo 1:

Tabla 1. Datos obtenidos para un sistema sub sub-amortiguado con un ángulo de inclinación de 19,22 grados y una masa de 496.6 gramos.

En la tabla 1 se puede observar los datos de amplitud (A) y tiempo para un sistema sub-amortiguado a diferentes oscilaciones. Para tener mayor precisión en los datos se realizó tres mediciones para cada oscilación y se hizo un promedio. Todo lo anterior se realizó para poder obtener el valor de la constante b, el cual es la constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguada, para este laboratorio el aire en el ambiente y la fricción en las llantas del carrito. Para hallar el valor de la constante b, es necesario graficar y obtener la relación de la amplitud vs el tiempo para un número distinto de oscilaciones, lo cual se presenta a continuación.

En la gráfica 1. Se puede observar la relación del tiempo vs amplitud. Mediante la ayuda de una línea de tendencia de tipo exponencial, ya que esta es la que describe la amplitud para un sistema sub-amortiguado. La ecuación de la gráfica es:

Y =10.004 e−0.067 x Podemos comprar la esta ecuación de la gráfica con la ecuación que describe la amplitud para este sistema la cual es: −b

A= A 0 e−ω t ¿ A0 e 2m b

t

Entonces tenemos que la (Y) viene siendo la amplitud final, la constaste 10.004 es la amplitud máxima que alcanza el sistema en este caso

A (¿¿ 0) ¿

. La (x) viene siendo la variable en este caso es el tiempo como

podemos observar en la ecuación que describe la amplitud para este sistema. Y por último tenemos que la constante que acompaña a la (X) viene siendo el valor de la frecuencia del medio. De lo anterior podemos despejar el valor de la constante (b) para tener una aproximación de la intensidad de la fuerza amortiguada.

ω b=

b =0.067 2m

b=( 2m ) 0.067

Tenemos en cuenta las unidades de la frecuencia natural

ωb

las cuales son

1 seg

, también el valor de

la masa para esta configuración la cual es 496.6 gr. Por lo tanto procedemos hallar el valor de la constante b.

b=( 2∗496.6 gr ) 0.067

b=66.54

1 seg

gr seg

Se puede analizar que las unidades de (b) al ser gramos sobre segundo, se dice que es un flujo másico, que es la cantidad de masa que se opone al movimiento en un determinado tiempo. Esto es característico de las oscilaciones amortiguadas, esta magnitud de b es la intensidad que se opone al libre desplazamiento del sistema. Angulo 2:

Tabla 2. Datos obtenidos para un sistema sub-amortiguado con un ángulo de 22.28 grados y una masa de 496.6 gramos. Basado en la tabla 6 se obtiene la Grafica 2. Tiempo vs amplitud a 22.28 grados, con el fin de poder obtener la ecuación de amplitud para este sistema sub-amortiguado, por medio de una línea de tendencia, de este modo poder obtener el valor de la frecuencia del medio (Wb), consecuentemente se obtendrá el valor de la constante (b).

Con la ecuación exponencial hallada con ayuda de la línea de tendencia de la gráfica 2. Se puede realizar una analogía de sustituir esa ecuación de la gráfica con la ecuación de amplitud para un sistema sub-amortiguado, de este modo:

y=9.8773 e−0.078 x → A=A 0 e−ωbt Donde quedaría. −0.078 t

A=9.8773 e

De la anterior analogía se puede decir que amplitud máxima, y se obtuvo

ωb=

−b 2m

ωb

A0

es 9.877 siendo muy aproximado a los 10 cm de la

que con este valor se obtendrá el valor del medio ambiente (b) ya que

, donde el valor de b seria:

b=−ωb∗2 m

(

b= 0.078

b=77.47

1 ∗2 ( 496.6 gr ) seg

)

gr seg

Podemos identificar que este valor de la constante b, es mayor al valor obtenido en la configuración de masaresorte con ángulo de inclinación menor. Podemos relacionar que a mayor ángulo de inclinación, la fuerza de fricción es menor, por lo tanto la frecuencia natural del medio tiene que ser mayor para poder detener el sistema, y si la frecuencia es mayor la constante b va hacerlo ya que son directamente proporcionales.

Medición de la amplitud para un ángulo 2 de inclinación del plano, pero aumentando la masa.

Tabla 3. Se obtuvieron los siguientes datos para un sistema sub-amortiguado con una inclinación de 22,28 y una masa de 996.6 gr En la tabla 7. Se pueden observar los datos obtenidos de amplitud vs tiempo para un número determinado de oscilaciones, la medición de los datos se realiza igual que las anteriores configuraciones ya explicadas. En este sistema se cambia la masa por una de mayor magnitud con respecto a las anteriores configuraciones, para evidenciar la relación que tiene la frecuencia natural

ωb

y la constante b con respecto a la masa.

Para poder determinar esta relación se aplica el mismo principio de los casos anterior, una gráfica con su respectivo ajuste de datos de tipo exponencial.

Grafica 3. Tiempo vs Amplitud (masa mayor) 12 10

f(x) = 10.5 exp( -0.14 x ) R² = 0.99

8 6

Amplitus (cm)

4 2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

tiempo (S)

Grafica 3. Se puede observar la ecuación de tipo exponencial que mejor se ajusta a los datos. Con esta podemos despejar el valor de la constante b y determinar su relación de acuerdo a la masa. −0.121 x

y=10.942 e

−ωbt

→ A= A0 e

En donde tenemos que:

A=10.942 e−0.121t Podemos verificar que el valor de

A0

es igual a 10.942, un valor similar a la amplitud máxima que es de

10, se puede verificar esto en la tabla 3. Tenemos también que el valor de la frecuencia natural

ωb

es

igual a 0.121, lo cual con solo fijarnos es mayor al valor de las anteriores configuraciones. Esto nos dice que la frecuencia natural es directamente proporcional a la masa. Ahora obtenemos el valor para la constante b.

b=ωb∗2 m

(

b= 0.121

1 ∗2 ( 996.6 gr ) seg

b=241.177

)

gr seg

Este valor de b podemos observar que es mayor al de las otras configuraciones por lo tanto esta constante es directamente proporcional a la masa en el sistema que se está analizando. Pero si nos damos cuenta la frecuencia del medio también es mayor pero esto no es debido a la masa, esto sucede ya que como se agregó masa al sistema también si vario involuntariamente el área de sección transversal, con mayor área de sección mayor es la cantidad de aire que se opone al movimiento. Medición de la amplitud para un ángulo 2 de inclinación del plano, pero aumentando la sección de área transversal.

Tabla 4. Datos obtenidos para un sistema sub-amortiguado con un ángulo de 22.28 grados y una masa de 517.98 gramos. Basado la tabla 8 se obtiene la Grafica 4. Tiempo vs amplitud (con área transversal mayor), con el fin de poder obtener la ecuación de amplitud para unas oscilaciones sub-amortiguadas, con una línea de tendencia y como se ha venido aplicando en las configuraciones anteriores, se obtendrá el valor de la frecuencia del medio (Wb), consecuentemente se obtendrá el valor de la constante (b).

Grafica 4. Tiempo vs Amplitud (area trasnversal mayor) 12 10

f(x) = 9.96 exp( -0.2 x ) R² = 0.99

8

Amplitud (cm)}

6 4 2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Tiempo (s)

Con la ecuación exponencial hallada con ayuda de la línea de tendencia de la gráfica 4. Se puede realizar una analogía de las anteriores configuraciones, de este modo: −0.149 x

y=9.938 e

−Wbt

→ A=A 0 e

Donde quedaría.

A=9.938 e−0.149 t De la anterior analogía se puede decir que amplitud máxima, y se obtuvo

Wb=

−b 2m

Wb

A0

es 9.938 siendo muy aproximado a los 10 cm de la

que con este valor se obtendrá el valor de la constate (b), ya que

.

b=Wb∗2 m b= 0.149

1 ∗2 ( 517.98 gr ) seg

b=154.36

gr seg

(

)

La constante (b) en este caso es el de mayor magnitud comparando con las otras configuraciones, ya que en este experimento se aumentó la área transversal del sistema; de 30.1 cm 2 a 870.4 cm2 siendo esto un aumento del 28.92% de área trasversal, esto nos quiere decir que al haber mayor área de contacto con el medio en este caso el aire, este se opone al movimiento, por lo tanto se obtiene un valor más grande para la constante (b) que describe la fuerza amortiguadora.

CONCLUSIONES 

Podemos evidenciar que la amplitud de las oscilaciones disminuye exponencialmente mediante pasa el tiempo, y que este decaimiento depende directamente del valor de la constante que describe la intensidad de la fuerza de rozamiento (b) que produce el medio y la fricción en el plano.



Con los datos obtenidos en el experimento se pudo realizar una gráfica, que con ayuda de una línea de tendencia en Excel se halló la ecuación de la gráfica, generando una ecuación exponencial, donde el valor de la potencia (

ωb

) es la frecuencia natural, se pudo despejar (b) de este modo:

ω b=

b → b=ωb∗2 m 2m

Con base al despeje de la ecuación se pudo observar las unidades de (b) que son

[ ] gr s

siendo

esto un flujo másico. 

Se realizaron 3 tipos diferentes de análisis, con diferentes ángulos, con más peso sobre el carro y por ultimo aumentándole el área transversal frontal del carro, donde se concluye: El aumento del ángulo de inclinación es directamente proporcional con (b), ya que en a los 19.22 grados dio un

b=66.54

gr seg

y a 22.28 grados dio

b=77.47

gr seg

.

El aumento de peso al carro tiene mucha más influencia en el valor de (b) que del aumento del área transversal del frente del carro, ya que aumentando la masa de 496.6grs a 996.6grs dio un valor de

b=241.177

gr seg

y en el aumento del área transversal fue de un 2892% con un peso de

517.98grs genero un valor

b=154.36

gr seg

.

BIBLIOGRAFÍA 

Daniel Maggiolo. (no especifica). OSCILACIONES. 11 de febrero del 2015, de apuntes de acústica musical Sitio web: daniel maggiolo. (no especifica). OSCILACIONES. 11 de febrero del 2015, de daniel maggiolo Sitio web: http://www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo/acuapu/osc.html

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Raymond A. Serway &John W. Jewett, Jr. (2008). FÍSICA para ciencias e ingeniería volumen 1 séptima edición. México, D.F: Cengage Learning Editores.

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Zemansky,S. Física universitaria. Movimiento periódico. Decimosegunda edición volumen 1, recuperado 11 de febrero 2015, de http://es.slideshare.net/ZeebaXtian/fisica-universitaria-vol-1-12aedicin-sears-zemansky-young-freedman-27384076. capítulo 13, pp 419-455



“Física Universitaria” por Francis W. Sears, Mark W. Zemansky y Hugh D. Young, Tomo 1, Decimoprimera edición en español, Editorial Pearson Addison Wesley Longman, México, 2005

ANEXOS En esta parte final del informa de laboratorio se quiere mostrar algunos videos y fotos tomados en la obtención de datos en la práctica, estos videos nos ayudaron a comprender los fenómenos que ante nosotros estaban ocurriendo. Este material se encuentran en la carpeta donde se encuentra este documento Word con su respectivo documento en Excel.