LABORATORIO N°4 TEOREMA DE TORRICELLI

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO FACULTAD DE ARQUITECTURA E INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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ESCULELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL INFORME N°4: TEOREMA DE TORRICELLI ESTUDIANTE: KENNY BORIS ZARATE

CHILQQUETUMA AULA: 232-B (miércoles 9-11) DOCENTE DE TEORIA:  VICTOR AYMA GIRALDO DOCENTE DE LABORATORIO:

LEONIDAS

GUSTAVO

LABORATORIO N° 4 “TEOREMA DE TORRICELLI”

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Contenido 1

RESUMEN .............................................................................................................................. 3

2

OBJETIVOS ............................................................................................................................. 3

3

INTRODUCCION ..................................................................................................................... 3

4

MARCO TEORICO................................................................................................................... 4

5

EQUIPOS ................................................................................................................................ 4

6

TOMA DE DATOS ................................................................................................................... 5

7

OBSERVACIONES EXPERIMENTALES...................................................................................... 6

8

ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES ................................................................................. 6

 y  .......................................................................................... 6 Grafica  = (ℎ) ....................................................................................................... 7

8.1

Determinación de

8.2 8.3

curva de tendencia valor de los parámetros................................................................. 7

8.3.1

CURVA DE TENDENCIA .......................................................................................... 7

8.3.2

VALOR DE LOS PARAMETROS.............................................................................. 10

8.4

significado de los parámetros ..................................................................................... 12

8.5

calculo del error porcentual ........................................................................................ 12

8.6

gasto o caudal ............................................................................................................. 13

9

CONCLUSIONES ................................................................................................................... 13

10

LIMITACIONES ................................................................................................................. 13

11

RECOMENDACIONES ....................................................................................................... 13

ILUSTRACIONES Ilustración 1. gráfico de puntos velocidad vs profundidad. .......................................................... 7 Ilustración 2. gráfico de la línea de tendencia ............................................................................ 12

TABLAS Tabla 1. datos de laboratorio ........................................................................................................ 5 Tabla 2. velocidad en función de la profundidad .......................................................................... 6 Tabla 3. nueva distribución de datos ............................................................................................ 7 Tabla 4. distribución de datos para caso lineal ............................................................................. 8 Tabla 5. nueva distribución de datos ............................................................................................ 8 Tabla 6. distribución de datos para el caso potencial ................................................................... 8 Tabla 7. nueva distribución de datos ............................................................................................ 9 Tabla 8. distribución de datos para el caso exponencial .............................................................. 9 Tabla 9. datos para hallar parámetros ........................................................................................ 10

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RESUMEN

El presente laboratorio se hizo con la finalidad de:   

2

Hallar las velocidades de salida del agua por el orificio y la velocidad de llegada a la superficie tomada como nivel de referencia. Hallar los caudales para cada altura Hallar el valor de la gravedad experimentalmente por el método de los mínimos cuadrados

OBJETIVOS  



Desafiar los conocimientos adquiridos en las horas teóricas, usándolas experimentalmente Comprobar el Teorema de Torricelli

Estudiar el comportamiento de la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente.

3 INTRODUCCION El Teorema de Torricelli es una expresión matemática que nos indica la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente abierto a la atmósfera. La forma explícita es: v



2 gh

Esta expresión puede obtenerse aplicando la ecuación de Bernoulli a dos puntos de la figura 1, uno de ellos colocado en la superficie libre del líquido y el otro en el orificio de salida. Debe considerarse además que el nivel del líquido en el recipiente prácticamente no disminuye. Es posible obtener una expresión para la velocidad de salida del líquido  para el caso en el que el nivel dentro del recipiente baja con una velocidad no despreciable.

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4

MARCO TEORICO

Velocidad de salida por un orificio (teorema de Torricelli)

aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2

1  +  + ℎ = 1  +  + ℎ 2 2 como S1 ≫ S2, de    =   se tiene que   ≃ 0, por lo que la velocidad de salida por un orificio en un depósito abierto a la atmósfera es:

 =  √ 2ℎ h0

5

Obsérvese que la expresión obtenida es válida únicamente cuando el depósito está abierto a la atmósfera y no cuando el depósito está a presión o hay alguna capa de otro líquido encima de la del líquido que está de desaguando.

EQUIPOS

RECIPIENTE CON AGUJEROS DEL MISMO DIAMETRO

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VERNIER MECANICO

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REGLA GRADUADA

RECIPIENTE CON AGUA

TRAPOS PARA SECAR EL AGUA

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TOMA DE DATOS

TABLA N°1 Datos tomados en el laboratorio H(m) 1 2 3 4 5 6

0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259

 (m) 0.069 0.099 0.129 0.159 0.192 0.221

(m) 0.19 0.16 0.13 0.1 0.067 0.038

X(m)

0.132 0.194 0.201 0.2 0.19 0.139

Tabla 1. datos de laboratorio

Datos adicionales a considerar H(m)

/) ∅(m)

g(

0.259

9.79 0.0058

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OBSERVACIONES EXPERIMENTALES

¿Cómo es la trayectoria del agua que sale del orificio?

La trayectoria que agua que sale por el agujero es un movimiento semiparabolico que tiene su vértice en el punto por donde sale el agua. De acuerdo a la trayectoria observada podemos decir que es composición de dos movimientos. ¿Cuáles son tales movimientos? La caída del agua al igual que cualquier otro objeto, sufre la fuerza gravitatoria, motivo por la cual su movimiento es un movimiento semiparabolico, compuesto por un Movimiento Rectilíneo Uniforme en el eje x y un Movimiento de caída libre en el eje y. ¿Qué tipo de presión actúa en la superficie del agua y el orificio? En la superficie solo actúa la presión atmosférica, y en el orificio actúa también la presión atmosférica y la presión hidrostática, ya que esta esta sumergida una cierta profundidad. ¿para qué altura el alcance es máximo? Y ¿Por qué?



Se alcanzo el mayor alcance horizontal para el agujero 3, por que en ella la velocidad  era el mayor valor, y al depender de esta el alcance horizontal, fue esta la que llego a mas distancia.

8

ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES

 

8.1 Determinación de   y  Empleando la fórmula que determina la TABLA N°2 orificio 1 2 3 4 5 6

 y  tabla con los valores de   y  H(m)  (m) (m) 0.069 0.099 0.129 0.159 0.192 0.221

0.19 0.16 0.13 0.1 0.067 0.038

0.132 0.194 0.201 0.2 0.19 0.139

(m/s)

1.162333859 1.392271525 1.589282857 1.76443192 1.938906909 2.080187492

(m/s)

0.66999796 1.07304537 1.23339087 1.39928553 1.62402439 1.57760891

Tabla 2. velocidad en función de la profundidad 

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8.2

Grafica

 = (ℎ) GRAFICO DE PUNTOS

2.5 2      )     s      /     m1.5      (      d     a      d      i     c 1     o      l     e     v

0.5 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

profundidad(m)

Ilustración 1. gráfico de puntos velocidad vs profundidad.

8.3 curva de tendencia valor de los parámetros 8.3.1 CURVA DE TENDENCIA Para determinar la línea de tendencia, hallamos los coeficientes de correlación de los tres casos hipotéticos: lineal, potencial y exponencial. CÁLCULO DE

 = +B

 PARA UN CASO LINEAL

TABLA N°3 Nueva distribución de datos

 (m)

0.069 0.099 0.129 0.159 0.192 0.221

(m/s)

1.16233386 1.39227153 1.58928286 1.76443192 1.93890691 2.08018749

Tabla 3. nueva distribución de datos

TABLA N°4 distribución de datos para un caso lineal i 1 2 3 4 5 6 ∑

0.069 0.099 0.129 0.159 0.192 0.221

1.16233386 1.39227153 1.58928286 1.76443192 1.93890691 2.08018749

0.080201036 0.137834881 0.205017489 0.280544675 0.372270126 0.459721436

0.004761 0.009801 0.016641 0.025281 0.036864 0.048841

1.35102 1.93842 2.52582 3.11322 3.75936 4.32718

0.869

9.92741456

1.535589643

0.142189

17.01502

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO FACULTAD DE ARQUITECTURA E INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL Tabla 4. distribución de datos para caso lineal 

  − ∑ ∑  = √∑  −∑  (∑ )√  ∑  − (∑ ) 6(1.535589643) −(0.869)(9.92741456)  = √ 6(0.142189)− (0.869)√ 6(17.01502) − (9.92741456)  = 0.99657306 CÁLCULO DE  PARA UN CASO POTENCIAL Linealizamos la ecuación potencial  =   log = log log = log + log  = log + Blog  =  + ′ Para valores:

’ = log  = log  ’ =  ’ = log TABLA N°5 Nueva distribución de datos

   ()

-1.16115091 -1.00436481 -0.88941029 -0.79860288 -0.71669877 -0.65560773 -5.22583538

 ’ ()

0.06533089 0.14372394 0.2012012 0.24660491 0.28755696 0.31810248 1.26252037

Tabla 5. nueva distribución de datos

TABLA N°6 Distribución de datos para un caso POTENCIAL i 1 2 3 4 5 6 ∑

′

′

′′

  ′

′

-1.16115091 -1.00436481 -0.88941029 -0.79860288 -0.71669877 -0.65560773

0.06533089 0.14372394 0.2012012 0.24660491 0.28755696 0.31810248

-0.07585902 -0.14435127 -0.17895042 -0.19693939 -0.20609172 -0.20855044

1.348271434 1.008748662 0.791050663 0.637766553 0.513657129 0.429821491

0.00426813 0.02065657 0.04048192 0.06081398 0.082689 0.10118919

-5.22583538

1.26252037

-1.01074226

4.729315932

0.31009879

Tabla 6. distribución de datos para el caso potencial 

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  − ∑ ∑  = √∑  −∑  (∑ )√  ∑  − (∑ ) 6(−1.01074226) −(−5.22583538)(1.26252037)  = √ 6(4.729315932)−(−5.22583538) √ 6(0.31009879) −(1.26252037)  = 1 CÁLCULO DE  PARA UN CASO EXPONENCIAL Linealizamos la ecuación potencial  =   ln = ln  ln = ln + ln   = ln + ln  = ′ + ′′ Para valores:

 = ln  =    = ln  = ln TABLA N°7 Nueva distribución de datos

 

0.069 0.099 0.129 0.159 0.192 0.221

 ’ ()

0.15042993 0.3309366 0.46328288 0.56782878 0.66212437 0.73245803

Tabla 7. nueva distribución de datos

TABLA N°8 Distribución de datos para un caso EXPONENCIAL i 1 2 3 4 5 6 ∑

′

0.069 0.099 0.129 0.159 0.192 0.221 0.869

′

0.15042993 0.3309366 0.46328288 0.56782878 0.66212437 0.73245803 2.90706059

′′

0.010379665 0.032762724 0.059763492 0.090284776 0.127127878 0.161873225 0.482191759

′

0.004761 0.009801 0.016641 0.025281 0.036864 0.048841 0.142189

′

0.02262916 0.10951904 0.21463103 0.32242952 0.43840867 0.53649477 1.64411219

Tabla 8. distribución de datos para el caso exponencial 

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  − ∑ ∑  = √∑  −∑  (∑ )√  ∑  − (∑ ) 6(0.482191759) −(0.869)(2.90706059)  = √ 6(0.142189)− (0.869)√ 6(1.64411219) −(2.90706059)  = 0.98591129 Comparando los grados de confiabilidad de los casos

= 0.99657306 =1 Caso POTENCIAL Caso EXPONENCIAL = 0.98591129 Caso LINEAL

El caso en el que nuestro coeficiente de correlación para el caso potencial viene a ser 1 y este es un valor ideal, perfecto, así que la línea de tendencia es la potencial. 8.3.2 VALOR DE LOS PARAMETROS TABLA N°9 Distribución de datos para hallar los parámetros A y B i 1 2 3 4 5 6 suma



-1.16115091 -1.00436481 -0.88941029 -0.79860288 -0.71669877 -0.65560773 -5.22583538



0.06533089 0.14372394 0.2012012 0.24660491 0.28755696 0.31810248 1.26252037



-0.07585902 -0.14435127 -0.17895042 -0.19693939 -0.20609172 -0.20855044 -1.01074226



1.34827143 1.00874866 0.79105066 0.63776655 0.51365713 0.42982149 4.72931593

Tabla 9. datos para hallar parámetros

Reemplazamos en la fórmula para hallar los parámetros.

  − (∑ )(∑) ∑      =  ∑( ) − (∑ )   = 6(−1.01074226)−(−5.22583538)(1.26252037) 6(4.72931593)− (−5.22583538)   = 0.499999 )∑(  ) − (∑ )(∑   )  (∑   = ∑( ) − (∑ ) − (−5.22583538)(−1.01074226)  = 1.26252037(4.72931593) 6(4.72931593)−(−5.22583538)  = 0.64590632 ANALISIS DE LA ECUACION Reemplazando en la ecuación linealizada

’ = 0.5′+0.64590632 LABORATORIO N° 4 “TEOREMA DE TORRICELLI”

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Reemplazando para valores antes de ser linealizada

’ = log  = log  ’ =  ’ = log log = 0.5log +0.64590632 Convirtiendo a su forma exponencial

 = 10..  = 4.4249. ……. (1) De la formula    = 2ℎ Dando la forma teniendo a y (velocidad) como variable dependiente y x (profundidad) como variable independiente.

 =  √ 2ℎ/ Haciendo una analogía con (1) tenemos

 =  4.4249 = √ 2………. (2) De (2) tenemos

 = 9.789870  = ℎ 0.5 = 1/2

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GRAFICO N°5 grafica de puntos y su línea de tendencia para un caso potencial

curva potencial y = 4.4249x0.5 R² = 1

2.5 2      )     m      ( 1.5      d     a      d      i     c     o 1      l     e     v

0.5 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

profundidad(m/s)

Ilustración 2. gráfico de la línea de tendencia

8.4

significado de los parámetros

A

 No tiene ningún significado físico, en nuestra ecuación solo representa el valor numérico del exponente B

De la ecuación (2)

4.4249 = √ 2 B representa la raíz cuadrada de dos veces la gravedad, de la cual hallamos el valor experimental de la gravedad. 8.5 calculo del error porcentual Calculamos el error para el parámetro con valor físico, en este caso el valor de la aceleración de la gravedad.

 ó  = 9.79  ó  = 9.789870 % = | −  |100% % = |9.79−9.789870 9.79 |100% % = 0.001%

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8.6 gasto o caudal Definiendo el caudal se calcula como

 =  ∗  Utilizando esta formula hallaremos los caudales para cada experiencia



orificio 1 2 3 4 5 6

1.16233386 1.39227153 1.58928286 1.76443192 1.93890691 2.08018749

)

área orificio (

9

Q (caudal)

3.06856E-05 3.6756E-05 4.19571E-05 4.6581E-05 5.11871E-05 5.49169E-05

0.0000264

CONCLUSIONES  

El teorema de Torricelli se cumple en la experiencia realizada El coeficiente de correlación en el caso potencial, nos dio un valor ideal, perfecto, lo que se puede traducir que los datos tomados en el laboratorio fueron perfectos, cometiéndose un mínimo error, lo cual es despreciable para datos un poco grandes

10 LIMITACIONES 

Al haber pocos instrumentos, cada 10 personas realzaron solo una experiencia.

11 RECOMENDACIONES 



Que el laboratorio se implemente con mas equipos para realizar los laboratorios de manera más efectiva. Que el informe a presentara cumpla ciertas normas, como las normas APA, para así estar aprendiendo a digitar futuros informes científicos.

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