laboratorio leyes del movimiento oscilatorio armónico simple

OBJETIVOS 

Verificar experimentalmente las leyes del movimiento oscilatorio armónico simple utilizando el sistema mas - resorte.



Verificar las leyes del movimiento oscilatorio amortiguado sujeto a la fricción del aire.

MATERIALES



Sensor de fuerza



Cinta métrica



Interface 3B NetLab



Resorte helicoidal (3 y 5.25 N/m)



Soporte Universal



Nuez Universal



Disco de papel de 12 cm de diámetro.



Juego de pesas

PROCEDIMIENTO 1. Instale el sistema masa resorte utilizando el sensor de fuerza y el resorte helicoidal de 3N/m, de acuerdo a la figura 3, utilice una masa de 40g.

2. Encienda el computador, conecte el sensor a la interface y esta a su vez, a uno de los puertos USB del computador.

3. Ejecute el Software 3B Netlab, verifique que la conexión entre el computador y la interface este correctamente establecida, seleccione una escala de medida de 2ms con una cantidad de valores de 1000.

4. Mueva la masa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte y pulse iniciar en el programa 3B NetLab para iniciar la toma de datos.

Dependencia de las oscilaciones con la amplitud 5. Tomando una masa de 40 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondiente. Guarde sus resultados en un archivo.

6. Mueva la pesa 3.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

Dependencia de las oscilaciones con la masa 7. Cambie la masa por 60 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

8. Cambie la masa por 80 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

Dependencia de las oscilaciones con la constante del resorte 9. Cambie de resorte de 3N/m por la de 5.25N/m y considerando una masa de 40 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

Oscilaciones amortiguadas 10. Con el resorte de 3N/m, adicione un disco de papel de 12 cm de diámetro a la masa de 40 g de acuerdo a la figura 5, cambie el intervalo de medición a 20ms, mueva la pesa 8.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos

y

ajuste

de

curvas.

Guarde

sus

resultados

en

un

archivo.

CALCULOS Y RESULTADOS

1) De acuerdo a los gráficos obtenido en los grafico 5 al 10 del procedimiento

¿los

movimientos

estudiados

son

armónicos

simples?¿porqué?

Los pasos del 5 al 9 son MAS Pues tienen una grafica sinusoidal (periódica) mientras que el paso 10 seria un MAA ya que en su grafica presenta variaciones de fuerza en el tiempo.

2) Con los datos obtenidos en los ajustes de la fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5 y 6 complete la siguiente tabla:

Tabla 1 PASO 5 k=3N/m

PASO 6 k=3N/m

Masa(g)

40 g

40 g

F(t) (N)

0.18*sen(7.85t)

0.11*sen(7.39t)

X (t) = F(t)/K

0.06*sen(7.85t)

0.037*sen(7.39t)

Amplitud (m)

0.02

0.03

W (rad/s)

2pi/0.8=7.85

2pi/0.85=7.39

Periodo (s)

0.8

0.85

velocidad V(t)

0.47*cos(7.85t)

0.27*cos(7.39t)

Aceleración a(t)

-3.69*sen(7.85t)

- 2.02*sen(7.39t)

¿Depende el periodo del MAS de la amplitud?¿concuerdan sus resultados con la teoría del mas? Justifique. No depende de la amplitud pues 2𝜋√𝑚/𝑘 Con lo cual se observa que el periodo depende solo de m y k. Si concuerda con la teoría.

Determinar el error porcentual de los valores experimentales de la frecuencia de la oscilación. Explique Paso 5

E=

Teorico−Experimental Teorico

8.66−7.85

E. experimental = 7.85

𝐸=

E. teórico = 8.66

E = 9.5%

8.66

∗ 100%

Paso 6 8.66−7.39

E. experimental = 7.39

𝐸=

E. teórico = 8.66

E = 14.66%

8.66

∗ 100%

Que indica las faces iniciales de x(t) de cada MAS? X(t) = 0.06*sen(wt+δ)

0° ≤ δ ≤ 90°

Donde δ es la fase inicial La fase inicial de δ indica el ángulo en el cual se inicia el MAS

3) Con los datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5, 7 y 8 complete la siguiente tabla:

Tabla 2 PASO 5 k = 3N/m

PASO 7 k = 3N/m

PASO 8 k = 3N/m

40

60

80

F(t) N

0.18*sen ( 7.85t )

0.09*sen ( 6.61t )

0.05*sen (5.98t )

X(t) = F(t) / k

0.06*sen (7.85t )

0.03*sen ( 6.61t ) 0.017*sen (5.98t )

Amplitud (m)

0.02

0.02

0.02

w (rad/s)

7.85

6.61

5.98

Periodo (s)

0.8

0.95

1.05

Velocidad V(t)

0.47*cos (7.85t )

0.2*cos ( 6.61t )

0.10*cos (5.98t )

Aceleración (t)

-3.69*sen (7.85t ) -1.32*sen ( 6.61t )

Masa (g)

-0.6*sen ( 5.98t )

¿Depende el periodo de MAS de la masa del sistema? ¿Concuerdan sus resultados con la teoría del MAS? Justifique. Si depende de la masa del sistema T = 2𝜋√𝑚/𝑘 No concuerda con la teoría porque el medio en el cual se desarrolla el experimento presenta fuerzas opositoras.

Determinar el error porcentual de los valores experimentales del periodo de oscilación. Explique. Paso 7

E=

Teorico−Experimental Teorico

7.07−6.61

E. experimental = 6.61

𝐸=

E. teórico = 7.07

E = 6.5%

7.07

∗ 100%

Paso 8 6.12−5.98

E. experimental = 5.98

𝐸=

E. teórico = 6.12

E = 2.28%

6.12

∗ 100%

4) Con los datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5, 9 complete la siguiente tabla:

Tabla 3 PASO 5 k = 3N/m

PASO 9 k = 5.25N/m

40

40

F(t) N

0.18*sen ( 7.85t )

0.1*sen (9.67t )

X(t) = F(t) / k

0.06*sen (7.85t )

0.019*sen (9.67t )

Amplitud (m)

0.02

0.02

w (rad/s)

7.85

9.67

Periodo (s)

0.8

0.65

Velocidad V(t)

0.47*cos (7.85t )

0.18*cos (9.67t )

Aceleración (t)

-3.69*sen (7.85t )

-1.74*sen ( 9.67t )

Masa (g)

¿Depende el periodo de MAS de la constante del resorte? ¿Concuerdan sus resultados con la teoría del MAS? Justifique. Si depende de la constante del resorte T = 2𝜋√𝑚/𝑘 El periodo es el tiempo mínimo después del cual se repiten los valores de magnitudes físicas y define el movimiento oscilatorio.

5) Con los datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5, 10 complete la siguiente tabla:

Tabla 4 PASO 5 k = 3N/m 40

Masa (g)

PASO 10 k = 3N/m 40

0.18*sen ( 7.85t )

0.24 ∗ 𝑒 0.08𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (7.85𝑡)

Amplitud (m)

0.02

0.08

Frecuencia (rad/s)

7.85

7.85

Periodo (s)

0.8

0.8

F(t) N

¿Calcular el coeficiente de amortiguamiento β? Justifique

𝐹(𝑡) = 𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) Si t = 7s Sen (wt) = 1 0.14 = 3 ∗ 0.08𝑒 −7𝐵 0.583 = 𝑒 −7𝐵 𝑙𝑛 0.58 = 𝑙𝑛 𝑒 −7𝐵 -0.54 = -7B B = 0.08 kg/s

Determine el tiempo en el cual la amplitud de la fuerza total aplicada disminuye en 50% y 80% de su amplitud inicial.

𝐹(𝑡) = 𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) F(x) = ½ F(t) 𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥) = Sen (wx) = 1

1 2

𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

Sen (wt) = 1

2𝑒 −𝐵𝑥 = 𝑒 −𝐵𝑡 𝑙𝑛 2𝑒 −𝐵𝑥 = 𝑙𝑛 𝑒 −𝐵𝑡 𝑙𝑛 2 + 𝑙𝑛 𝑒 −𝐵𝑥 = 𝑙𝑛 𝑒 −𝐵𝑡 Ln 2 – Bx = -Bt Ln 2 + Bt = Bx

𝑥=

𝑙𝑛2+0.08𝑡 0.08

𝐹(𝑡) = 𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) F(x) = 4/5 F(t) 𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥) = Sen (wx) = 1

4 5

𝑘𝐴𝑒 −𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

Sen (wt) = 1

5𝑒 −𝐵𝑥 = 4𝑒 −𝐵𝑡 𝑙𝑛 5𝑒 −𝐵𝑥 = 𝑙𝑛4 𝑒 −𝐵𝑡 𝑙𝑛 5 + 𝑙𝑛 𝑒 −𝐵𝑥 = 𝑙𝑛4 + 𝑙𝑛 𝑒 −𝐵𝑡 Ln 5 – Bx = ln 4 -Bt Ln 5 + Bt - ln 4 = Bx

𝑥=

𝑙𝑛5−𝑙𝑛4+0.08𝑡 0.08

CUESTIONARIO

1. Deducir detalladamente la ecuación de oscilación del péndulo simple

Cuando una masa colgada de un hilo es desplazada θ

ligeramente de su posición de

l

equilibrio, la masa empieza a oscilar con un movimiento armónico simple.

m

Fp*senθ

Como se deduce de la imagen,

θ

la fuerza restauradora es :

Fp=-mg

−Fp ⋅senθ [1]

Por otro lado, la relación entre el arco recorrido por la masa que cuelga del hilo, la longitud del hilo y el ángulo del hilo con la vertical viene dada por:

s(t)=l ⋅θ(t)

[2]

Derivando dos veces esta expresión respecto del tiempo, obtenemos: 𝒅𝟐 𝒅𝒕𝟐

=

𝒅𝟐 𝒅𝒕𝟐

[3] 𝑑2 𝑠

En donde hay que recordar que, por definición,

𝑑𝑡2

= a. [4]

Combinamos ahora las expresiones [1] ,[3] y [4]

Fp.senɵ = ma

𝒅𝟐 ɵ

Fp*senɵ = m*𝑙 𝒅𝒕𝟐 . [5]

Reordenando términos y recordando que Fp= -mg se tiene: 𝒅𝟐 ɵ

m∗ 𝑙 𝒅𝒕𝟐 + 𝒎𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏ɵ = 𝟎

𝒅𝟐 ɵ 𝒅𝒕𝟐

𝒈

+ 𝒍 ∗ 𝒔𝒆𝒏ɵ = 𝟎

Si ɵ es muy pequeño, podemos hacer el siguiente desarrollo:

[6]

𝒔𝒆𝒏ɵ = ɵ −

ɵ𝟑 𝟑¡

+

ɵ𝟓 𝟓¡

−⋯≈ɵ

[7]

Entonces [6] se puede escribir así: 𝒅𝟐 ɵ 𝒅𝒕𝟐

𝒈

+𝒍ɵ=0

[8]

La cual es una ecuación diferencial del tipo

𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙𝟐

+ 𝒘𝟐 ∗ 𝒚 = 0, de

solución: y = yo sen(wt+δ) En nuestro caso, la ecuación del movimiento y la pulsación del péndulo simple serán: ɵ = ɵ0 sen (wt+δ) 𝒅𝟐 ɵ 𝒅𝒕𝟐

𝒈

+𝒍ɵ=0

𝒈

𝒘 = √𝒍

[9]

2. Deducir detalladamente la ecuación de oscilación armónico amortiguado

CONCLUSIONES

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE



El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.



En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud.



La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.



El

M.A.S.

es

un

movimiento acelerado

no

uniformemente.

Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro. 

Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO



Tras realizar el experimento, logramos demostrar que la frecuencia del oscilador sometido a una fuerza exterior (roce, gravedad, etc.) disminuye, como cabe esperar, ya que las fuerzas se oponen al movimiento.



La amplitud de las oscilaciones (implícitamente la energía también) disminuye de forma exponencial en el transcurso del tiempo, así que la fuerza exterior disipa energía mecánica del sistema.



Podemos ver a través de su representación gráfica como la amplitud disminuye con el tiempo. Esto es una evidencia experimental de la acción de las fuerzas de fricción sobre el movimiento oscilatorio. Si estas no actuaran (en vacío) el resorte oscilaría indefinidamente, y con una amplitud constante.



Como la frecuencia angular en un movimiento armónico es independiente de la amplitud del movimiento, entonces, a pesar de la disminución progresiva de la amplitud, W se mantendrá constante. Nos valemos de esta constancia para determinar el valor de la K del resorte con el que trabajamos. Esta constante nos da una idea de la rigidez del mismo.

ANEXOS Grafica de paso N°5

Grafica de paso N°6

Grafica de paso N°7

Grafica de paso N°8

Grafica de paso N°9

Grafica de paso N°10