Laboratorio de compensadores en adelanto y atraso

Diseño, Implementación y Análisis de Compensadores en el dominio de la Frecuencia para sistemas de Control. Cristian Daniel Martínez Pérez Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia  –  Escuela  Escuela de Ingeniería Electrónica Tunja

 Abstrac  Abstract  t : One of the ways to improve the time response of a plant is to use compensators in the frequency domain. In this practice the  parameters and characteristics are evaluated with the analysis of the transfer function function and Bode plots. the compensator is designed in advance and retard pha se and evaluated.

Ya teniendo la ganancia estática, el polo de primer ord en y el polo de segundo orden del sistema se puede proceder a normalizar la función de transferencia.

  =  ∗∗ +++  ∗   =   ∗     −    ..  

1. DESARROLLO Pr imera imera par par te: Análisis frecuencial 1.1. Utilizar el comando bode de MATLAB para graficar la respuesta de magnitud y fase del diagrama de bode d el sistema G(s) con N=4:

>>numG=500; >>denG=[1 9 30 400]; >>Gs=tf(numG,denG); >>bode(Gs); a)

Descomponer la función de transferencia en sus elementos fundamentales y representarla de for ma normalizada. Graficar el diagrama de bode de cada componente y sumarlos.

Mediante el uso de Matlab se hallan los ceros, los polos y la ganancia estática de la función G(s).

>>[z,gain]=zero(Gs); >>roots(denG);

Cuando una función de segundo grado está normalizada el valor del numerador debe ser igual al valor independiente del denominador de este modo:

Lo mismo debe suceder para el polo de primer orden pero ya no es el valor de Wn sino el valor de 1/T, multiplicando la ganancia por los valores necesarios para normalizar la función se obtiene lo siguiente:

 = . .  ∗   ∗   −.   .  Teniendo la función normalizada ya se puede obtener el diagrama de bode correspondiente a cada una de las partes de la función. En Matlab se definen cada uno de los componentes y se grafican.

>>Gks=tf(1.25,1) >>G1o=tf(10,[1 10]) >>G2o=tf(40.0005,[1 -1 40.0005])

Para poder normalizar la función, el denominador debe descomponerse de tal manera que ya no se tenga el polo de tercer grado, para pasar a tener un polo de primer grado y uno de segundo grado, entonces usando el comando roots d e Matlab se obtienen los valores de las raíces:

>>bode(Gks) ;hold on on; ; >>bode(G1o, 'r' 'r') ) >>bode(G2o, 'g' 'g') ) >>bode(Gks*G1o*G2o, 'y' 'y') )

-10.0000 0.5000 + 6.3048i 0.5000 - 6.3048i ¿Qué es un decibelio? El polo con valor real es el polo de primer orden, los otros dos valores con componente imaginaria hacen parte del polo de segundo orden pero deben representarse como un polinomio, usando el comando poly de Matlab se halla dicho polinomio.

>>densg=[0.5000+6.3048i 0.5000-6.3048i] >>poly(densg) 1.0000 -1.0000 40.0005

Una unidad de referencia para medir la potencia de una señal o la intensidad de un sonido. El decibel es una unidad relativa de una señal, tal como la potencia, voltaje, etc.

 b)

Describir como se hallan los márgenes de ganancia y de fase en el diagrama de b ode y establecer si el sistema es estable.

Margen de ganancia: Gm el margen de ganancia es el cambio en ganancia en lazo abierto, expresado en dB, necesarias para que a 180° de desfasamiento haga inestable el sistema en lazo cerrado. 1 Para medir el margen de ganancia, la forma más fácil es haciendo un análisis grafico de los diagramas de bode. situándose en el diagrama de fase se busca a que frecuencia la línea de fase pasa po r -180° esta frecuencia se conoce como frecuencia de corte de ganancia ωg, una vez conocida la frecuencia ωg se procede a buscar dicha frecuencia en el diagrama de ganancia, el valor de ganancia que corresponde a esta frecuencia es el margen de ganancia. Margen de Fase: el margen de fase es el cambio en desfasamiento en lazo abierto necesario a una ganancia unitaria, para hacer inestable el sistema a lazo cerrado. Para hallar el margen de fase se ubica el diagrama de ganancia y se  busca a que frecuencia se tiene una ganancia unitaria es decir 0dB esta frecuencia es la frecuencia de corte de fase conocida como ωf, teniendo la frecuencia ωf se busca esta frecuencia en el diagrama de fase y se observa a que valor de fase corresponde este valor de frecuencia, este valor se le resta a 180° p ara poder hallar finalmente el margen de fase.

Fig 2. Sistema de control a lazo cerrado

a)

Teniendo en cuenta el margen de ganancia ¿a qué valor de ganancia se obtiene la frecuencia de corte? Calcular por inspección el margen de ganancia, el margen de fase y el ancho de banda. ¿el sistema es estable?

Para el caso particular se usa un k=12 y la función de transferencia usada en el numeral anterior, p or inspección las frecuencias de corte  pueden ser halladas en la gráfica, una frecuencia de corte correspondiente al margen de fase y otra correspondiente al margen de ganancia.

Ahora para establecer la estabilidad del sistema, el margen de ganancia en el sistema es infinito ya que en el diagrama de fase la gráfica no pasa por los -180°, si se tuviese en cuenta solo este  parámetro el sistema a lazo cerrado seria estable pero hay que tener en cuenta el margen de fase y para este sistema el margen de fase es negativo lo que hace que el sistema sea inestable. En la fig1 se  puede observar gráficamente cuando el margen de ganancia o de fase es negativo el sistema es inestable. Fig 3. Frecuencias de corte en un diagrama de bode

A continuación el código de Matlab para p oder obtener el diagrama de bode y ver el margen de fase, margen de ganancia y frecuencias de corte correspondientes.

>>Gk=tf(12,1) >>numG=500; >>denG=[1 9 30 400]; >>Gs=tf(numG,denG) >>Gt=Gk*Gs >>bode(Gt)  b)

Utilizando el comando margin de Matlab verificar las mediciones halladas por inspección.

>>[Mg,Mf,Wg,Wf]=margin(Gt)

Fig 1. Márgenes de fase y de ganancia de sistemas estables e inestables

1.2. Del sistema mostrado en la fig 2. Con ganancia k ajustable y la planta G(s) usada en el anterior ejercicio.

1

 Sistemas de Control Para Ingeniería 3ra Edición Norman S. Nise  –  Pag 631

1.3. Realizar script de Matlab para representar la siguiente función de transferencia con N=4.

>>numG=50 >>denG=[1 0.5 4] >>Gs=tf(numG,denG) a)

Obtener frecuencia natural no amortiguada del sistema ωn y estimular con señales sinusoidales con frecuencia igual, menor y mayor. Observar respuesta en magnitud.

Como la función de transferencia corresponde a un sistema de segundo orden y es de tipo:

40 40   =  ∗  =   3 ∗ 1 = 12   3 12 Ya teniendo la función a lazo abierto se puede hallar el error estable aplicando la ecuación necesaria para una entrada de tipo rampa, es decir un error en estado estable de velocidad.

1  ∗ 1  = lim  3 12  = lim  ∗ → 1  ∗   →   3  12  40 Aplicando el límite y haciendo el debido procedimiento se encuentra el valor de  K   necesario para tener un error en estado estable menor al 12%.

Se normaliza para separar la ganancia estática, una vez hecho esto se procede a buscar la frecuencia natural.

ωn = 4 →  =  Ya teniendo el valor de la frecuencia natural se puede estimular el sistema con funciones seno con frecuencias variables.

36  ≤ 12% → 36  ≤  →  ≥ .  = 40 40∗0.12 Ahora se pasa al diseño como tal del compensador en adelanto, para esto se debe conocer el margen de fase (Mf) del sistema el cual hallado por inspección es de 14.1°, en la Fig 4. Se puede verificar dicho valor.

>>wn=2; >>w1=0.5; >>w2=3.5; >>t=0:0.01:50; >>u=sin(w*t); >>u1=sin(w1*t); >>u2=sin(w2*t); >>[y,t]=lsim(Gs,u,t); >>[y1,t]=lsim(Gs,u1,t); >>[y2,t]=lsim(Gs,u2,t);

 Segunda parte:   Diseño e implementación análoga y digital de compensadores. 1.4. Considerar el sistema servo para el control de posición cuya función de transferencia es: Fig 4. Diagrama de bode de K*G(s) sistema sin compensar

Con el valor de margen de fase y el margen de fase deseado se puede hallar el ángulo de corrección de fase.

Con N=4 y K=12.

Compensador en adelanto a)

Diseñar controlador en adelanto de fase que satisfaga las siguientes condiciones:   

Estabilidad a lazo cerrado Error en estado estable ≤ 12%. Margen de fase MFd=44°

Para hallar el error en estado estable se necesita saber la función de transferencia del sistema a lazo abierto, en ese caso la realimentación es unitaria por lo que la función a lazo abierto es la misma función G(s)

 =  −    8 ≤  ≤ 12  = 44°− 14.1° 12° = 41.9° Con este valor de corrección de fase se procede a hallar el parámetro

alfa α.

−41.9 = 0.199  =  1141.9 Ahora se puede hallar la nueva frecuencia de corte

ω’c.

′ = 10∗ logα = 10 ∗ log0.199 = −7.0079 En el diagrama de bode de ganancia se busca la ganancia hallada anteriormente, la frecuencia que corresponda a este nivel de ganancia es la nueva frecuencia de corte del compensador. Entonces por simple inspección

ω’c=6.68rad/s

Ya conociendo este valor de frecuencia se puede hallar el tabo inverso y el tabo por alfa que son las constantes necesarias para  poder armar el compensador en adelanto.

1 = ’√ α = 2.98 ; 1  = 14.97 ;  = 37.68  α  Entonces el compensador en adelanto queda de la siguiente manera:

 .  = .∗  . Mediante la herramienta de Matlab también se pueden hallar todos los parámetros para armar el compensador en adelanto, a continuación se encuentra el código usado para poder hallar dichos valores. >>k=7.5; >>numG=40; >>raíces=[-3 -12 0]; >>denG=poly(raíces); Definición de función de transferencia >>Gs=tf(numG,denG) >>[mag,pha,w]=bode(k*Gs); >>[Mg,Mf,Wg,Wf]=margin(k*Gs); >>Mag=20*log10(mag); Valor de alfa >>a = sin(41.9*pi/180); >>alfa = (1-a)/(1+a) Ganancia para hallar w’c >>Gwc= 10*log10(alfa) Frecuencia de corte >>Wm=spline(Mag,w,Gwc) Tabo inverso >>Tinv=Wm*sqrt(alfa) Tabo inverso por alfa >>Talfa = Tinv/alfa K sobre alfa >>Kalfa = k/alfa >>Cad2=Kalfa*tf([1 Tinv],[1 Talfa])

 b)

Respuestas en frecuencia representadas en los diagramas de  bode del sistema compensado, sin compensar y el compensador en adelanto.

Con Matlab se grafican los diagramas de bode del sistema sin compensar, del sistema compensado y del compensador en adelanto.

Fig 5. Simulación de respuesta temporal de sistema compensado y sin compensar

f)

Obtener modelo equivalente discreto. Para obtener el modelo discreto del compensador se usa Matlab, se d ebe contar con el tiempo de muestreo que cumpla con el teorema de muestreo  para funciones discretas.

Como la función de transferencia de un compensador en adelanto es la siguiente, se puede observar que cuenta con un tiempo tabo, este tiempo se divide 10 veces para poder obtener un tiempo de muestreo que cumpla con las exigencias de funcionamiento.

1 = 2.98 →  = 0.335 →  = 0.03355  Ya teniendo el tiempo de muestreo se puede discretizar mediante Matlab por el método de tustin y ser simulada su respuesta temporal en simulink como se puede ver en la Fig 6.

>>tm1=0.03355; >>cadz=c2d(Cad2,tm1, 'tustin')

>>bode(k*Gs, 'r'); >>bode(Cad2*Gs,'b'); >>bode(Cad2); c)

Usar diagramas de bode para hallar ancho de banda, margen de ganancia y margen de fase del sistema compensado y sin compensar

d)

Obtener respuesta al escalón del sistema compensado y sin compensar en la fig 5. se puede ver el esquema realizado en simulink de Matlab, en esté se muestra el sistema compensado en adelanto, el sistema sin compensar y el sistema compensado en atraso.

e)

Haciendo un análisis de las gráficas obtenidas en la simulación del sistema se puede hacer un análisis para saber si el sistema es implementable analógicamente.

Fig 6. Compensador en adelanto y atraso disc retizados.

g)

Realizar síntesis circuital del compensador en adelanto.

Un compensador en adelanto y atraso es implementable electrónicamente mediante un circuito r c y un p ar de amplificadores operacionales, en la Fig 7. se puede ver el circuito que se usa para implementar los compensadores.

Ya teniendo el β se hallan los demás valores que se necesitan para el compensador.

 = 48.97 ; 1  = 0.0204∗ 0.17 = 0.003438 ;  = 0.1531 Ya teniendo todas las constantes necesaria para armar la función de transferencia el compensador en atraso diseñado es el siguiente:

  .  = . ∗ . Mediante la herramienta de Matlab también se pueden hallar algunos de los parámetros para armar el compensador en atraso, a continuación se encuentra el código usado para poder hallar dichos valores. Como para el compensador en atraso se u sa más el análisis grafico del diagrama de bode no todo s los valores se pueden hallar  >>k=7.5; >>numG=40; >>raíces=[-3 -12 0]; >>denG=poly(raíces); Definición de función de transferencia >>Gs=tf(numG,denG) >>[mag,pha,w]=bode(k*Gs); >>[Mg,Mf,Wg,Wf]=margin(k*Gs); Hallar beta inverso >>X = -33.8/20 >>Binv = 10^X Beta >>B=1/Binv Beta inverso por 1/T >>BTinv=0.17*Binv K sobre beta >>KBinv = k*Binv >>Catr=KBinv*tf([1 0.185],[1 BTinv])

Fig 7. Circuito electrónico que consiste en una red de adelanto si

R 1C1 > R 2C2 una red de atraso si R 1C1 >bode(k*Gs, 'r'); >>bode(Catr*Gs, 'b'); >>bode(Catr)

La K hallada para el compensador en adelanto es la misma para el compensador en atraso. El diseño del compensador en atraso resulta ser más fácil que el de adelanto, primero se halla el ángulo de corrección de fase sin necesidad saber el margen de fase.

Respuestas en frecuencia representadas en los diagramas de  bode del sistema compensado, sin compensar y el compensador en adelanto.

 j)

Para la obtención del modelo discreto del compensador en atraso al igual que en adelanto se necesita establecer un tiempo de muestreo.

  =    − 180°  5 ≤  ≤ 8   = 44°  8°− 180° = −128° En el diagrama de bode de fase se busca el valor de frecuencia correspondiente al ángulo de corrección de fase.

   = 0.17   = 1.7  →   =   10 Ahora en el diagrama de bode de ganancia se busca el valor de ganancia correspondiente a la frecuencia    este valor es de 33.8dB y se puede h allar el β.



| | = 20log1⁄ →  1 = (33.8 20  ) = 0.0204

1 = 0.17 →  = 5.88 →  = 0.588  Ya teniendo el tiempo de muestreo se puede discretizar mediante Matlab por el método de tustin y ser simulada su respuesta temporal en simulink como se puede ver en la Fig 6.

>>tm2=0.588; >>catz=c2d(Catr,tm2, 'tustin')

2. ANALISIS DE RESULTADOS Pr imera parte: Análisis frecuencial  2.1. Primero se observa cual es la respuesta del sistema sin normalizar, ósea ingresando directamente la función de transferencia a Matlab, en la Fig 8. Esta el diagrama de bode de la función de transferencia, por simple inspección se puede ver que el sistema es inestable por que el margen de fase es negativo.

Fig 10. Suma de las componentes de la función de transferencia inicial.

Por simple inspección se puede comprobar que el comportamiento de la función de transferencia inicial y la suma de sus componentes en la función normalizada son el mismo, esto quiere decir que la función de transferencia está bien normalizada y cada una de las componentes si hacen parte de la función de transferencia inicial.  b) Fig 8. Diagrama de bode de función sin normalizar.

a)

En la fig 9. Se encuentra el diagrama de bode d e la función de transferencia normalizada es decir dividida en cada una de sus componentes

Por simple inspección revisando el diagrama de bode obtenido de la función d e transferencia, se puede decir que el sistema es inestable ya que para que el sistema sea estable debe cumplir con dos condiciones: el margen de ganancia y de fase deben ser positivos, en este caso el margen de ganancia es infinito lo cual es bueno, pero el margen de fase es negativo lo que hace inmediatamente que el sistema sea inestable.

2.2. Usando el sistema del numeral anterior ahora se va evaluar su desempeño agregándole un valor de ganancia de K=12.

Fig 9. Diagrama de bode de función normalizada en cada una de sus componentes.

La línea de color azul representa la ganancia estática de la función de transferencia es decir 1.25. El polo de primer corresponde a la línea de color rojo y finalmente la línea de color verde representa el  polo de segundo orden, ahora bien para ver el resultado de la suma de las componentes mediante Matlab se hace la operación. En la Fig10. se observa el resultado de la suma y se compara con la gráfica obtenida directamente con la función de transferencia es decir la Fig8.

Fig 11. Diagrama de bode de sistema con ganancia k=12

a)

La frecuencia de corte se obtiene cuando la ganancia del sistema es igual a 3dB para este caso es de aproximadamente 20 rad/s.

Por inspección y haciendo uso del diagrama de bode se puede decir que el margen de ganancia es infinito y el margen de fase tiene un valor de -64.7° entonces podemos decir que el sistema con una

ganancia k=12 sigue siendo inestable porque tiene un margen de fase negativo. Para lograr que el sistema se estabilice se tendría que hacer una corrección de fase para evitar que el margen de fase sea negativo, esto se puede lograr mediante el diseño de un compensador en frecuencia.

 Segunda parte:   Diseño e implementación análoga y digital de compensadores.

Compensador en adelanto 2.4.  b)

 b)

Las medidas obtenidas mediante el comando MARGIN de matlab son las siguientes:

En la Fig 13 y 14 se puede ver las distintas respuestas en frecuencia del sistema compensado, sistema sin compensar y el compensador en adelanto.

Mg=Inf Mf=-64.7252 Wg=NaN Wf=18.1408 Entonces se puede comprobar que el margen de ganancia si es infinito y adicionalmente que el margen de fase si es negativo y tiene el mismo valor qu e el hallado gráficamente. 2.3. a)

En el desarrollo de esta parte se logró obtener la frecuencia natural del sistema la cual es de 2rad/s, con la ayuda de Matlab se procede a estimular el sistema con funciones seno de distintas frecuencias.

Fig 13. Diagrama de bode del sistema sin compensar y compensado en adelanto

En la figura anterior la línea de color rojo corresponde al diagrama de bode del sistema sin compensar tiene un margen de ganancia de 5.11dB y un margen de fase de 14.1°, el sistema compensado corresponde a la línea de color azul. El sistema compensado tiene un mayor ancho de banda y se puede observar que el margen de fase corregido es de 37° esto quiere decir que no se alcanzó el margen de fase deseado pero si se obtuvo un valor cercano, este margen se pu ede mejorar mediante SISOTOOL  pero en este caso el compensador se dejara con este valor de margen de fase.

Fig 12. Respuesta del sistema a funciones con distintas frecuencias

El objetivo de esta sección es ver qué sucede con la amplitud de salida en la función de transferencia. En la fig12. Se puede ver la respuesta del sistema ante tres frecuencias, una igual a la frecuencia natural, una mayor y una menor. La línea de color azul corresponde a una función cuya frecuencia es igual a la frecuencia natural del sistema, a simple vista se puede observar que es el caso en que se tiene mayor y máxima amplitud. La línea negra y roja corresponden a una frecuencia menor y mayor respectivamente, a una frecuencia menor se puede ver que la amplitud se disminuye, pero a una frecuencia mayor la reducción de amplitud es aun mayor.

Fig 14. Respuesta en frecuencia del compensador en adelanto

El compensador en adelanto es un filtro pasa altas. Para este diseño el filtro atenúa frecuencia menores a 6.58rad/s, de ahí en adelante todas las frecuencia son permitidas. El compensador debe alcanzar

su máximo corrimiento de fase a los 6.58rad/s y este corrimiento debe ser de un valor cercano a los 41.9°. c)

Ancho de banda, margen de ganancia y fase d el sistema.

Ancho de banda Margen de ganancia Margen de fase

Sistema sin compensar 5.31rad/s 5.11dB 14.1°

Sistema compensado 8.49rad/s 10.2dB 37°

El compensador en adelanto tiene los siguientes efectos sobre el sistema: Aumenta el ancho de banda del sistema. Duplica el margen de ganancia y por ende aumenta un  poco la ganancia del sistema. Corrige el margen de fase, pasa de tener un margen de fase de 14.1° a 37°. 

Fig 16. Señal de control de compensador en adelanto.





d)

Efecto del compensador en el sistema y respuesta temporal.

f)

Compensador discretizado.

En la fig 17. Se puede ver el comportamiento del sistema con el compensador en adelanto discreto, el comportamiento temporal es el mismo al compensador análogo. La única diferencia entre el compensador análogo y discreto es que la señal de control tiene un distinto valor de amplitud, para el compensador discreto la salida no supera los 20v.

Fig 17. Respuesta temporal del c ompensador discreto en adelanto

g)

Simulación e implementación del compensador en adelanto, análogo.

Mediante el software PROTEUS se simula la síntesis circuital obtenida en la sección 1.4. Numeral g. Fig 15. Respuesta temporal del sistema compensado en adelanto

El efecto que tiene el compensador sobre el sistema es que reduce el tiempo de establecimiento y adicionalmente reduce el sobre pico, mientras que al sistema sin compensar le toma aproximadamente 10 segundos en estabilizarse al sistema compensado le toma 3 segundos y el sistema pasa de tener un sobre pico de 1.7 a 1.3 aproximadamente. e)

Verificar si las señales de control son implementables.

En la Fig 16. Se puede observar el nivel de salida de la señal de control comparada con la señal escalón. La señal de control no es implementable ya que alcanza un valor de salida mayor a 24v llegando a un nivel de aproximadamente 38v.

Fig 18. Simulación de compensador en PROTEUS.

Mediante un barrido de frecuencia se puede observar la respuesta del compensador en adelanto. Se varía la frecuencia desde 1mHz a 10Hz. Si se compara el resultado obtenido en la fig 19. Con la respuesta del compensador en adelanto (fig 14.) podemos concluir que la síntesis circuital está bien elaborada porque a valores  pequeños de frecuencia el sistema debe tener una ganancia entre 16 y 20dB, y a valores mayores de frecuencia se debe tener una ganancia máxima entre 30 y 35dB.

Fig 21. Diagrama de bode del sistema sin compensar y compensado en atraso

En la figura anterior la línea de color rojo corresponde al diagrama de bode del sistema sin compensar tiene un margen de ganancia de 5.11dB y un margen de fase de 14.1°, el sistema compensado corresponde a la línea de color azul.

Fig 19. Barrido frecuencial del compensador en adelanto.

El sistema compensado tiene un menor ancho de banda y se puede observar que el margen de fase compensado es de 45.7°, esto quiere decir que en este caso al diseñar el compensador el margen de fase deseado estuvo más próximo a los 44°. En el caso del margen de ganancia aumento considerablemente.

Ahora bien experimentalmente es muy difícil poder ver la respuesta frecuencial del compensador ya que las frecuencias que atenúa el compensador son muy pequeñas, lo que se puede comprobar experimentalmente es el corrimiento de fase. El máximo corrimiento de fase se encuentra a 6.58rad/s es decir a 1.05Hz, a esta frecuencia se debe tener un corrimiento de aproximadamente 40° como se puede observar en la fig 20.

Fig 22. Respuesta en frecuencia del compensador en atraso

Fig 20. Corrimiento de fase experimental

Compensador en atraso h)

En la Fig 21 y 22 se puede ver las distintas respuestas en frecuencia del sistema compensado, sistema sin compensar y el compensador en atraso.

El compensador en atraso es un filtro pasa bajas. Para este diseño el filtro atenúa frecuencias mayores a 0.024rad/s, y frecuencias menores a esta son permitidas. El compensador debe alcanzar su máximo corrimiento de fase a los 0.024rad/s y este corrimiento debe ser de un valor cercano a los -75°. i)

Ancho de banda, margen de ganancia y fase d el sistema.

Ancho de banda Margen de ganancia Margen de fase

Sistema sin compensar 5.31rad/s 5.11dB 14.1°

Sistema compensado 0.28rad/s 38.2dB 45.7°

El compensador en atraso tiene los siguientes efectos sobre el sistema: disminuye el ancho de banda del sistema. Aumenta considerablemente el margen de ganancia y por ende aumenta un poco la ganancia del sistema. Corrige el margen de fase, pasa de tener un margen de fase de 14.1° a 45.7°.  



 j)

Efecto del compensador en el sistema y respuesta temporal.

Fig 24. Señal de control de compensador en atraso.

Fig 25. Respuesta temporal del compensador discreto en atraso

m) Simulación e implementación del compensador en adelanto, análogo. Fig 23. Respuesta temporal del sistema compensado en atraso

El efecto que tiene el compensador sobre el sistema es que aumenta el tiempo de establecimiento pero reduce el sobre pico, mientras que al sistema sin compensar le toma aproximadamente 10 segundos en estabilizarse al sistema compensado le toma 50 o más segundos y el sistema pasa de tener un sobre pico de 1.7 a 1.3 aproximadamente. k)

Verificar si las señales de control son implementables.

En la Fig 24. Se puede observar el nivel de salida de la señal de control comparada con la señal escalón. La señal de control es implementable ya que alcanza un valor de salida menor a 24v llegando a un nivel de aproximadamente 0.2v. l)

Compensador discretizado.

En la fig 25. Se puede ver el comportamiento del sistema con el compensador en atraso discreto, el comportamiento temporal es el mismo al compensador análogo. En este caso la señal de control es igual para el compensador análogo y discreto.

Diseño compensador en atraso análogo Suponiendo los valores de los condensadores con C1=0.47µF y C2=0.22µ y la resistencia R4=10k 

 Ω 1  = 1 = 0.17 → 1 = 1  = 12.51Ω 11  0.17∗1 1  = 1  = 0.003468 → 2 = 1  = 1310.68Ω 22  0.003468∗2 41 =  = 0.1531 → 3 = 139540Ω 32 

Mediante el software PROTEUS se simula la síntesis circuital obtenida anteriormente. Mediante un barrido de frecuencia se puede observar la respuesta del compensador en atraso. Se varía la frecuencia desde 0.1mHz a 10Hz. Si se compara el resultado obtenido en la fig 26. Con la respuesta del compensador en atraso (fig 22.) podemos concluir qu e la síntesis circuital está bien elaborada porque a valores pequeños de frecuencia el sistema debe tener una ganancia entre 16 y 20dB,

y a valores mayores de frecuencia se debe tener una ganancia máxima entre -15 y -20dB.

Fig 26. Barrido frecuencial del compensador en atraso.

Ahora bien experimentalmente es muy difícil obtener los componentes para realizar el circuito, además qu e el compensador en atraso trabaja con frecuencias aún más bajas q ue el compensador en adelanto.

compensador de retardo, ambos como elementos independientes, es más económico utilizar únicamente un compensador de retardoadelanto.

Una red en adelanto-atraso se puede diseñar mediante técnicas de compensación de retardo-adelanto basadas en el método del lugar de las raíces, el compensador es:

2.5. Tabla comparativa Compensador en adelanto

√Aumento de ancho de banda √Reducción de tiempo de establecimiento √Reducción de sobre pico ×Margen de fase de 37° ×Señal de control no implementable

Implementable experimentalmente

Compensador en atraso ×Reducción de ancho de banda ×Aumento del tiempo de establecimiento √Reducción de sobre pico

Margen de fase de 45° √Señal de control implementable ×No se puede implementar experimentalmente.

Teniendo en cuenta los pros y los contras de cada uno de los compensadores, el mejor es el compensador en adelanto  ya que cuenta con una mejor respuesta temporal. Ambos compensadores tienen problemas a la ho ra de ser implementados físicamente, el de adelanto a lazo cerrado genera una señal de control de alto voltaje y el de atraso para poder ser implementado necesita valores de resistencias demasiado grandes que no son comerciales.

Al diseñar los compensadores de retardo-adelanto, se consideran dos casos: β≠γ y β=γ. Caso 1: β≠γ En este caso, el proceso de diseño es una combinación del diseño del compensador de adelanto con el del compensador de retardo Caso 2: β=γ Si se requiere que en la ecuación β=γ, el p rocedimiento de diseño anterior para el compensador de retardo-adelanto se modifica del modo siguiente:

Este tipo de compensador es un filtro pasa band a.

3. CONSULTAS ¿Cómo se diseña un compensador en adelanto – atraso de fase? ; ¿qué consideraciones se deben tener en cuenta para su diseño?; ¿qué tipo de filtro es?

4. CONCLUSIONES 

¿Qué efectos tiene sobre el control de una planta un compensador en adelanto – atraso de fase? La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de retardo mejora la precisión en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.

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Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario, deben utilizarse de forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de retardo. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un

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A la hora de analizar una función de transferencia en el dominio de la frecuencia se deben tener en cuenta varios conceptos como márgenes de ganancia y fase, ancho de banda y frecuencias de corte, dichos valores y los diagramas de bode  permiten analizar la estabilidad de un sistema a lazo cerrado. Para mejorar la velocidad de respuesta de un sistema una manera es agregar un compensador en adelanto, con un buen diseño el tiempo de establecimiento del sistema se puede reducir a un valor deseado. El diagrama de bode que se obtiene de una función de transferencia de cierto grado es el mismo que la suma de la

función de transferencia normalizada. Cada uno de los diagramas de bode que se ob tienen en la función normalizada una vez sumados forman el diagrama de b ode de la función de transferencia sin no rmalizar. 

La frecuencia natural no amortiguada en un sistema de segundo orden es un valor que debe ser conocido ya que cuando el sistema se estimula con señales con un valor de frecuencia igual a la natural la ganancia que entrega el sistema es la máxima.

5. BIBLIOGRAFIA 

Sistemas de Control Para Ingeniería 3ra Edición Norman S.  Nise