Laboratorio 5

Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Coclé Facultad de Ingeniera Industrial

Asignatura: Dinámica Aplicada

Laboratorio #5 “Oscilaciones de un péndulo simple-Barras”

Profesor: Carlos Marín

Integrantes: Oscar Gonzales Katleem Delgado Rubén Barrios C Grupo: 6II131

Semestre I

Fecha de entrega: 10-6-2016

Introducción

El objetivo de este experimento es encontrar un modelo matemático entre tres variables, usando para ello un péndulo bifilar. Un péndulo bifilar está formado por una varilla metálica suspendida de dos hilos paralelos, como se muestra en la figura 1, el cual realizará un movimiento oscilatorio de torsión de la barra luego de ser desviada un ángulo pequeño respecto del eje horizontal OA paralelo a la varilla en reposo, es decir, el movimiento oscilatorio se realiza en el plano horizontal.

El período de oscilación, T, de la varilla respecto del eje vertical que pasa por O depende del momento de inercia, I, el cual depende de la distribución de masas respecto al cual gira la barra, del largo de los hilos, y de la distancia de separación, d, entre ellos, entre otras magnitudes que permanecen constantes. . Al analizar las variables involucradas se observa el largo de los hilos, el momento de inercia y la distancia de separación entre ellos.

Materiales

2 Barras de acero

Cinta métrica

Micrómetro

Balanza

Cronometro Marco para Soporte

Hilo de monofilamento de pesca

Resultados

1. Barra 1 Masa 1 = 0.0786 kg Diámetro= 0.00811m Longitud de la barra= 0.157 m Longitud del hilo= 40 cm

Sistema (XY) Periodo de Oscilaciones T1=3.74 s T2=3.87 s T3=3.60 s

Tprom= 3.60 s

Frecuencias Experimentales

Wn =

3 3.74

= 0.80

Wa= 2

πWn

=5.03

Ecuación diferencial Wn= 5.03

Ɵ =tan -1 (

0.40

0.22 0.40

Ɵ= 28.81° Ɵ(t)= A1

cos wn t

+A2

sin wn t

0.22

)

´ Ɵ

Ɵ(0)= Ɵ0 28.81= A1

cos(5.03)( 0)

(0)=0

+A2

sin(5.03)(0)

A1=28.81 ´ Ɵ

(t)= -5.03 A1

sin(5.03)(0)

+5.03 A2

cos( 5.03)(0)

A2=0

Posición= Ɵ(t)= 28.81 Velocidad= Aceleración =

´ Ɵ ´ Ɵ

cos( 5.03)

(t)= -144.91 (t)= 728.89

t

sin ( 5.03 ) t cos ( 5.03 ) t

Graficas (X-Y) Posición

Velocidad

Aceleración

Sistema Y)

(Z-

Periodo

de

Oscilaciones T1=3.62 s T2=3.55 s T3=3.70 s

Tprom= 3.62 s

Frequencias Experimentales

Wn =

3 3.62

= 0.83

Wa= 2

πWn

=5.21

Ecuación diferencial Wn= 5.21

Ɵ =tan -1 (

0.40

0.096 0.40

Ɵ= 13.49° Ɵ(t)= A1

cos wn t

+A2

sin wn t

0.096

)

´ Ɵ

Ɵ(0)= Ɵ0 13.49= A1

cos(5.21)(0)

(0)=0

+A2

sin(5.21)(0)

A1=13.49

´ Ɵ

(t)= -5.21A1

sin(5.21)(0)

+5.21 A2

cos( 5.21)(0)

A2=0

Posición = Ɵ(t)= 13.49 Velocidad= Aceleración=

´ Ɵ ´ Ɵ

cos( 5.21)

(t)= -70.28 (t)= 366.16

t

sin ( 5.21 ) t cos ( 5.21 ) t

Graficas (Z-Y) Posición

Velocidad

Aceleracion

2. Barra 2 Masa 1 = 0.0736 kg

Diámetro= 0.00986m Longitud de la barra= 0.155 m Longitud del hilo= 0.4 m

Sistema (XY) Periodo de Oscilaciones T1=3.53 s T2=3.68 s T3=3.48 s

Tprom= 3.56s

Frecuencias Experimentales

Wn =

3 3.74

= 0.84

Wa= 2

πWn

=5.28

Ecuación diferencial Wn= 5.28

-1

0.40

Ɵ =tan (

0.18 0.40

Ɵ= 24.23° Ɵ(t)= A1

Ɵ(0)= Ɵ0

cos wn t

+A2

sin wn t

´ Ɵ

(0)=0

0.18

)

24.23= A1

cos(5.28)( 0)

+A2

sin(5.28)(0)

A1=24.23 ´ Ɵ

(t)= -5.28 A1

sin(5.28)(0)

+5.28 A2

cos( 5.28)(0)

A2=0

Posición= Ɵ(t)= 24.23 Velocidad = Aceleración =

´ Ɵ ´ Ɵ

cos( 5.28)

(t)= -127.93 (t)= 675.47

t

sin ( 5.28 ) t cos ( 5.28 ) t

Grafica (X-Y) Posición

Velocidad

Aceleracion

Sistema (ZY) Periodo de Oscilaciones T1=3.40 s T2=3.54 s T3=3.88 s

Tprom= 3.61s

Frecuencias Experimentales

Wn =

3 3.74

Wa= 2

πWn

= 0.83 =5.21

Ecuación diferencial Wn= 5.21

-1

0.40

Ɵ =tan (

0.10 0.40

Ɵ= 14.03° Ɵ(t)= A1 Ɵ(0)= Ɵ0

cos wn t

+A2

sin wn t ´ Ɵ

(0)=0

0.10

)

14.03= A1

cos(5.21)(0)

+A2

sin(5.21)(0)

A1=14.03 ´ Ɵ

(t)= -5.21 A1

sin(5.21)(0)

+5.21 A2

cos(5.21)(0)

A2=0

Posición= Ɵ(t)= 14.03 ´ Ɵ

Velocidad= Aceleración =

´ Ɵ

(t)= -73.09 (t)= 380.79

Grafica(Z-Y) Posición

Velocidad

cos(5.21)

t

sin ( 5.21 ) t cos ( 5.21 ) t

Aceleracion

Procedimientos 1. Medir la barra con un micrómetro

2. Recortar el hilo y unir la barra al soporte

3. en los

Medir el tiempo durante 3 oscilaciones sistemas XY y ZY

4. Repetir los anteriores con otra barra

Preguntas ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales , frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación , para los sistemas de péndulo simple estudiados? En conclusión período de una oscilación u onda (T) es el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la onda. El periodo (T) es inverso a la frecuencia (f): y puede ser representado por :

La frecuencia angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Y se representa por :

La frecuencia natural un sólido alterado de su posición de descanso tiende a vibrar a ciertas frecuencias denominadas naturales o

resonantes cuando éste es excitado. Para cada frecuencia natural, el sólido adquiere una determinada forma denominada forma modal. Se analizan las ecuaciones: Partiendo de la ecuación para un resorte analizamos:

¿Como se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de las barras? En que los resultados experimentales se fundamenta en los valores reales obtenidos en la practica realizada y la teórica en los cálculos realizados teóricamente a partir de datos reales establecidos previamente, los factores que establecen diferencias entre las dos, son: el control de las variables establecidas en el experimento, y el rendimiento del proceso en relación con el rendimiento calculado teóricamente. ¿Que concluye respecto al momento masa inercia de las barras y el plano de oscilación? La varilla es homogénea por lo que su masa es M = λL El momento de inercia de la varilla respecto al extremo O es igual al momento de inercia respecto a cualquier eje perpendicular a la misma que pase por el punto O. Consideramos que la varilla está sobre el eje OX, de forma que el momento de inercia respecto a O (igual al momento de inercia respecto a los ejes OY y OZ) ¿Cómo obtendría el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos? Es ∫ = L IO x dm 0 2 . Se ha elegido un elemento diferencial de longitud a una distancia x desde el punto O (0≤x≤L), cuya masa es dm = λdx . El momento de inercia respecto al plano O es :

El momento de inercia respecto al centro de gravedad G, es , aplicando el teorema de Steiner

Conclusiones Luego de realizada esta experiencia, podemos mostrar que los sistemas pendulares son mecanismos que permiten la Interacción de muchos factores como la gravedad, la masa, la longitud y demás unidades de medidas. La masa es un factor que no determina ninguna influencia al momento de calcular el periodo pendular, por tanto, la masa y la naturaleza del objeto son independientes del funcionamiento del sistema La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento dela masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. Bibliografía Mecanica de Materiales. James M. Gere. Octava edicion. Ceangel Learning , Mexico 2013.