Laboratorio 2

Laboratorio N°2 MEDICIONES Y ESTADISTICA DE DATOS

I.OBJETIVOS 



Determinar la incertidumbre y la curva de distribución normal en un proceso de medición, correspondiente a la medición de la resistencia de una muestra de resistores. Hacer uso del programa Excel para obtener valores aleatorios de los transistores.

II.FUNDAMENTO TEORICO Fue Gauss quien desenvolvió la teoría matemática de errores. Esa teoría se basa en los cálculos de probabilidades y tiene por finalidad conocer mejor el grado de precisión de una serie particular de medidas. Todos los resultados presentados en el apéndice A son consecuencia de la teoría de probabilidades. Nunca se consigue reproducir una medida exactamente. Intuitivamente, podemos percibir que, realizando una serie muy grande de medidas, ellas deberán se distribuir simétricamente en torno de un cierto valor, que es el llamado de valor medio. Si fuese posible hacer infinitas mediciones, la distribución de las medidas tendría una forma bien definida, la llamada distribución gaussiana o distribución normal, mostrada en la Figura B.2. Esta distribución es definida matemáticamente como: 2

1 F ( x 1 )= e σ √2 π

−(x i − x´ ) 2σ

2

(B.1)

Pero, como nunca es posible hacer infinitas mediciones, La serie de medidas realizadas en el laboratorio no es continua por tanto solo podemos obtener una aproximación de ella. Vamos a presentar una manera útil de presentar los resultados en forma de gráfica, el llamado histograma. Las frecuencias relativas de los diferentes valores medidos pueden ser observados gráficamente en un histograma, el cual representa la frecuencia relativa para cada intervalo (o clase) de medidas (ver fig. B.1). A continuación, mostramos los pasos que debemos seguir para construir un histograma. Supongamos que fueron obtenidos N medidas de una magnitud x , x 1 ,… , x n siendo x max y x min el mayor y el menor valor obtenido respectivamente, se define la amplitud de la muestra (Δ h x) por: ∆ h x=x max −x min(B.2) Se debe saber cuál es el número de intervalos (o clases) adecuados al histograma, un histograma con un número muy grande o pequeño de clases no trae ninguna información sobre la distribución de X. Un valor razonable del número de clases (n) es dado por la fórmula de Sturges:

(B.3)

El próximo paso es calcular la amplitud de cada intervalo

. Este valor es dado por:

(B.4) Se obtiene así, la estructura del histograma. Se debe entonces hacer el levantamiento de cuantas medidas xi están en cada intervalo (xmin + k

, xmin (k+1)

) , k=0,…n. Siendo

Nk el número de medidas en este intervalo, la frecuencia es dada por:

(B.5) El tamaño de las barras del histograma, entonces son proporcionales a las frecuencias relativas, un ejemplo de un histograma es mostrado en la Figura B.1.

Fig. B.1

En la figura B.2 muestra la distribución gaussiana sobre un histograma, Representando gráficamente la frecuencia normalizada en el eje Y y los intervalos en el eje X.

Fig. B.2

IV.PROCEDIMINTO EXPERIMENTAL 1. Simulamos en una hoja de cálculo la medida de los 1000 resistores utilizando el siguiente criterio:

        

En la celda B1 escribimos el número final del código de uno de nuestros compañeros. En la celda E1 escribimos 500 + 10(B1) En la celda E2 escribimos 550 + 10(B1) En la celda E3 escribimos 525 + 10(B1) En la celda E4 escribimos 575 + 10(B1) En la celda A6 escribimos, =ALEATORIO.ENTRE($E$1; $E$2), generando un numero aleatorio en el intervalo (E1, E2). En la celda B6 escribimos, =ALEATORIO.ENTRE($E$3; $E$4), generando un numero aleatorio en el intervalo (E3, E4). Luego en la celda C6 escribimos, A6 + B6 Finalmente rellenamos la hoja de cálculo con los 1000 valores de medida de los resistores.



Obteniendo como medida de los resistores lo siguiente

Tabla 1: 1172 1137 1138 1140 1168 1155 1173 1176 1160 1163 1180 1180 1169 1163 1129 1158 1170 1159 1141 1153 1141 1133 1151 1174 1140 1129 1201 1182 1191 1176 1144 1174 1152 1140 1157 1168 1172 1187 1145 1105 1119 1201 1188 1167 1147

1146 1146 1151 1148 1188 1188 1137 1155 1140 1124 1157 1114 1130 1167 1188 1145 1124 1145 1109 1122 1153 1185 1144 1194 1163 1129 1188 1151 1166 1185 1165 1175 1133 1127 1127 1158 1141 1156 1157 1166 1166 1156 1165 1153 1150

1141 1141 1168 1175 1195 1145 1153 1154 1119 1152 1181 1159 1183 1147 1159 1151 1138 1146 1174 1156 1163 1156 1179 1177 1114 1171 1148 1134 1179 1174 1171 1126 1164 1179 1132 1167 1149 1180 1129 1163 1156 1131 1173 1146 1171

1186 1149 1166 1164 1157 1127 1147 1145 1154 1184 1178 1147 1139 1194 1188 1128 1171 1176 1162 1134 1192 1126 1179 1122 1112 1113 1177 1196 1189 1145 1161 1137 1176 1157 1157 1159 1190 1170 1167 1179 1123 1127 1179 1149 1191

1163 1133 1123 1143 1145 1111 1175 1170 1186 1115 1128 1174 1175 1173 1148 1149 1142 1180 1172 1138 1136 1189 1116 1190 1161 1118 1131 1151 1149 1165 1198 1154 1131 1164 1166 1172 1146 1187 1156 1162 1155 1166 1157 1173 1193

1174 1194 1139 1174 1158 1118 1167 1154 1143 1169 1176 1181 1189 1170 1147 1161 1124 1135 1162 1132 1163 1170 1166 1151 1143 1162 1202 1191 1152 1120 1166 1179 1167 1154 1130 1145 1145 1189 1188 1123 1143 1158 1114 1163 1126

1122 1118 1169 1165 1139 1162 1172 1190 1185 1161 1138 1164 1172 1119 1193 1161 1153 1134 1160 1149 1147 1115 1190 1128 1169 1120 1179 1150 1175 1136 1156 1131 1160 1159 1190 1171 1146 1142 1164 1163 1147 1162 1171 1142 1153

1168 1151 1181 1123 1164 1144 1160 1145 1115 1144 1152 1146 1154 1175 1189 1109 1131 1144 1187 1124 1154 1136 1159 1183 1157 1145 1189 1112 1161 1146 1181 1160 1155 1178 1145 1174 1155 1161 1152 1170 1141 1174 1158 1161 1144

1161 1124 1168 1189 1152 1158 1144 1174 1128 1126 1167 1156 1153 1166 1167 1130 1149 1151 1120 1201 1126 1167 1130 1155 1166 1190 1146 1153 1151 1179 1203 1141 1151 1187 1180 1188 1176 1147 1159 1133 1172 1135 1141 1158 1197

1160 1182 1170 1155 1152 1181 1147 1150 1151 1142 1150 1161 1159 1142 1126 1116 1124 1159 1125 1152 1149 1167 1127 1179 1147 1119 1152 1137 1161 1131 1150 1196 1192 1128 1166 1130 1188 1145 1179 1152 1142 1175 1121 1118 1139

1175 1123 1141 1198 1173 1146 1163 1171 1137 1128 1172 1168 1194 1156 1158 1199 1130 1202 1143 1176 1196 1139 1155 1168 1164 1162 1194 1108 1151 1190 1198 1200 1183 1125 1178 1138 1184 1154 1155 1176 1171 1155 1185 1127 1174

1145 1165 1185 1171 1176 1168 1127 1130 1159 1155 1154 1141 1191 1172 1166 1164 1139 1139 1179 1169 1151 1123 1168 1165 1156 1172 1185 1164 1175 1180 1176 1168 1151 1188 1155 1152 1131 1151 1179 1115 1176 1129 1158 1144 1179

1151 1205 1161 1131 1127 1165 1147 1154 1122 1148 1123 1174 1164 1168 1137 1190 1122 1204 1121 1154 1133 1172 1159 1131 1166 1183 1189 1174 1158 1120 1184 1192 1158 1175 1159 1177 1128 1151 1145

1195 1172 1142 1191 1113 1108 1171 1182 1124 1153 1138 1152 1157 1175 1164 1151 1134 1180 1186 1145 1160 1126 1153 1141 1112 1139 1135 1139 1185 1195 1172 1166 1145 1148 1124 1193 1195 1175 1134

1116 1147 1180 1151 1179 1118 1164 1120 1170 1182 1131 1158 1168 1135 1166 1193 1151 1116 1140 1144 1179 1163 1116 1148 1199 1165 1145 1153 1136 1165 1159 1141 1140 1125 1118 1135 1190 1138 1147

1123 1145 1167 1114 1159 1177 1162 1139 1156 1128 1150 1169 1157 1160 1180 1174 1135 1186 1191 1165 1158 1155 1139 1140 1167 1165 1170 1157 1156 1135 1154 1136 1145 1157 1150 1188 1162 1123 1165

1118 1163 1159 1149 1165 1183 1150 1128 1178 1149 1137 1163 1114 1168 1136 1184 1150 1186 1125 1134 1173 1188 1131 1189 1130 1130 1170 1119 1184 1149 1181 1135 1167 1153 1196 1193 1141 1133 1153

1189 1151 1149 1181 1132 1166 1131 1163 1195 1148 1176 1138 1157 1127 1172 1164 1139 1136 1151 1183 1183 1152 1187 1158 1113 1167 1172 1115 1160 1150 1195 1146 1148 1131 1161 1148 1153 1144 1172

1188 1169 1143 1169 1159 1140 1188 1178 1148 1142 1150 1132 1150 1156 1153 1136 1140 1116 1157 1143 1146 1138 1179 1145 1197 1158 1179 1156 1130 1136 1137 1188 1161 1145 1181 1186 1125 1154 1142

1193 1120 1199 1174 1150 1168 1178 1184 1143 1191 1151 1145 1170 1183 1141 1149 1148 1149 1160 1192 1128 1117 1174 1123 1132 1181 1141 1168 1137 1126 1155 1160 1167 1148 1118 1160 1118 1169 1175

1151 1185 1156 1166 1182 1192 1173 1116 1160 1176 1150 1137 1165 1138 1156 1162 1161 1164 1184 1154 1171 1120 1187 1123 1160 1147 1181 1139 1140 1195 1129 1114 1157 1149 1161 1137 1151 1162 1137

1144 1180 1157 1165 1166 1162 1146 1170 1151 1179 1170 1147 1122 1162 1166 1141 1174 1190 1126 1157 1169 1169 1167 1124 1201 1133 1123 1188 1150 1170 1148 1160 1118 1191 1165 1194 1156 1164 1197

1151 1148 1148 1153 1129 1152 1179 1163 1134 1174 1142 1157 1142 1162 1154 1176 1130 1173 1133 1153 1202 1125 1144 1153 1153 1178 1151 1198 1179 1131 1183 1167 1127 1196 1142 1137 1138 1156 1137

1148 1130 1122 1176 1186 1167 1131 1192 1173 1133 1160 1169 1144 1138 1149 1128 1179 1131 1164 1146 1134 1157 1118 1156 1160 1161 1180 1155 1131 1152 1143

V. Cálculos y análisis de los resultados 1. Determinamos el valor más probable del valor de la resistencia R prom  Para hallar el valor mas probable, calculamos el promedio de los 1000 resistores:

1000

∑ Ri

R prom = i=1 Ω 1000 

Utilizando nuestra hoja de cálculo y con los datos obtenidos en la Tabla 1, tenemos que:

∴ R prom=1156.353 Ω

2. Determinando la incertidumbre de la resistencia Para determinar la incertidumbre de la Resistencia la calcularemos al igual que la desviación estándar, como veremos a continuación: 3. Determine la desviación estándar de la medición σ  Utilizando la Formula de Desviación estándar (σ):

o=

√

n

∑ (Ri−R prom)2 i =1

n−1 

Reemplazando con los datos obtenidos en la Figura 2:

o= 

√

1000

∑ (Ri −1155.63)2 i=1

999

Utilizando nuestra hoja de cálculo obtenemos como respuesta:

∴ o=21.5932086 4. Ahora hallaremos el valor de la medición.  El valor de la medición de los resistores lo calcularemos como: R=R prom ± o 

Luego con los datos obtenidos en la Figura 2 y Figura 3 tenemos que:

R=1156.353 ±21.5932086 ∴ R=1177.946209 o 1134.759791

5. Determinaremos la cantidad de resistores (y el porcentaje) cuyo valor de resistencia se encuentre entre: [ Rprom - σ; Rprom + σ] Rprom – σ = 1156.353 – 21.5932086 = 1134.759791 Rprom – σ = 1156.353 + 21.5932086 = 1177.946209  Utilizando nuestra hoja de cálculo hallamos todos los valores que se encuentra en dicho intervalo: [1134.75; 1177.94]



Luego en la misma hoja hallamos la cantidad de datos que pertenecen a dicho intervalo:

 

De la Figura 5 vemos que 635 resistores pertenecen al intervalo [1134.75; 1177.94] Finalmente, para hallar el porcentaje de resistores que pertenecen a dicho intervalo hacemos:

635 ( 100 % )=63.5 % 1000

6. Ahora calcularemos la cantidad de resistores (y el porcentaje) cuyo valor de resistencia se encuentre entre: [ Rprom - 2σ; Rprom + 2σ]  De la Figura 2 y Figura 3 sabemos que Rprom= 1156.353 y σ= 21.5932086  Luego:

Rprom - 2σ= 1156.353 – 2(21.5932086) = 1113.166583 Rprom + 2σ= 1156.353 + 2(21.5932086) = 1199.39417 

Con nuestra hoja de calculo realizamos los mismos pasos que en la Figura 4, pero cambiando el valor del intervalo a [1113.16; 1199.39]



En la misma hoja calculamos la cantidad de resistores que pertenecen a dicho intervalo.



De la Figura 7 vemos que la cantidad de resistores que pertenecen al intervalo [1113.16; 1199.39] es 977.



Finalmente calculamos el porcentaje de resistores que pertenecen al intervalo:

977 ( 100 % )=97.7 % 1000

7. Determinaremos la cantidad de resistores (y el porcentaje) cuyo valor de resistencia se encuentre entre: [ Rprom - σ/2; Rprom + σ/2]  Como en los pasos anteriores calculamos el intervalo pedido:

Rprom - σ/2 =1156.353 – 21.5932086/2 = 1145.556396 Rprom + σ/2 =1156.353 + 21.5932086/2 =1167.149604 

Como en los pasos anteriores calculamos en nuestra hoja de cálculo los resistores que pertenecen al intervalo [1145.556396; 1167.14904]



Luego calculamos la cantidad de resistores que pertenecen al intervalo:



Vemos que en la Figura 9 en el cuadro de color verde, que la cantidad de resistores es 369. Finalmente calculamos el porcentaje de resistores que pertenecen al intervalo dado anteriormente con respecto al total de resistores.



369 ( 100 % )=36.9 % 1000

8. Ahora con los datos hallados en la Tabla 1 realizaremos un histograma:  Primero hallaremos la Amplitud de la muestra( ∆¿¿ h x)¿:

∆ h x=x max −x min De la Tabla 1 obtenemos que: x max =¿ 1205

∴ ∆h x=100

x min =1105 

Calcularemos el número de clase (n) o la cantidad de intervalos que irán en nuestra tabla de frecuencia, mediante la regla de Sturges:

n ≈ 1+3.22(log N ) De la Tabla 1 sabemos que el número de datos N=1000 n ≈ 1+3.22(log 1000) ∴ n ≈10.66 Tomamos un valor entero, por lo tanto n=10  δ h x=

Luego hallaremos la amplitud de cada intervalo (δ h x ):

∆h x n De los datos obtenidos anteriormente tenemos: ∴ δ h x=10 

Finalmente, en nuestra hoja de calculo hallamos la tabla de frecuencia:

 





Con los datos obtenidos en la Tabla 2 generamos nuestro Histograma: Observamos en el Histograma que el valor mas probable al escoger un resistor de los 1000 esta en el rango de [1145; 1155], como lo vimos al

calcular el valor probable en la Figura 2. Ahora utilizando una distribución de frecuencia Normalizada el promedio hallado en la Figura 2 y la desviación estándar hallado en la Figura 3 calcularemos la distribución gaussiana, utilizando nuestra hoja de cálculo:

Asimismo, hallamos la gráfica de distribución Gaussiana:



Finalmente juntando el Histograma de frecuencias con la distribución Gaussiana tenemos:

VI. PREGUNTAS 1. Deduzca el porcentaje que se espera encontrar en los cálculos 5, 6 y 7.  Al calcular los porcentajes obtenemos que: En el intervalo [1134.75; 1177.94] el porcentaje es de 63.5% En el intervalo [1113.16; 1199.39] el porcentaje es de 97.7% En el intervalo [1145.556396; 1167.14904] el porcentaje es de 36.9% Que corresponde a los cálculos 5, 6 y 7 respectivamente; y nos damos cuenta de que al tener un intervalo de gran rango obtendremos un porcentaje alto como en el segundo intervalo, en cambio al tener un rango corto el porcentaje de resistores en dicho intervalo disminuye, esto nos indica, por ejemplo, en el segundo caso hay un 97.7% de probabilidades de encontrar un resistor cuya medida este entre 1113 y 1199 redondeando.

2. Determine el valor medio entre el menor valor de resistencia y el mayor valor de la resistencia y denominemos a este valor, valor esperado de la resistencia.  El menor y mayor valor fueron hallados anteriormente en el punto 8 de los cálculos y obtuvimos que: Rmax =1205

Por lo tanto el valor medio sería:

Rmin =1105

(1205+1105) /2 = 1155

Este valor es el llamado "Valor esperado de la resistencia", y si nos damos cuenta este valor es muy cercano al valor probable de resistencia que hallamos en el punto 1 de los cálculos.

3. ¿Qué información puede brindarnos a partir del valor esperado de la resistencia y de los valores medidos “experimentalmente”?  El valor esperado de la resistencia sería la medida más aproximada que esta tendría al escoger un resistor al azar, en el punto 1 de los cálculos vemos que el Rprom, posee el mismo valor que el valor esperado, que es 1156.353 como vemos en la Figura 2 por lo que se podría considerar que tienen la misma definición, por lo que al escoger un resistor de los 1000, el valor de medida que tendrá este resistor se aproximara al valor esperado (R prom), con este valor esperado luego podremos calcular la incertidumbre y la desviación estándar, que nos indicaran la tendencia de los datos a estar o no cerca de su media, o valor esperado.

VII.CONCLUCIONES  

Los intervalos correspondientes a pequeños desvíos en relación al valor medio son más poblados. La figura es simétrica en relación al valor medio de la serie de medidas. En el caso limite cuando ∆ → 0 y el número de mediciones tiende al infinito, vamos a obtener una curva continúa llamada distribución gaussiana. Esa curva es característica de una gama de medidas físicas.

VIII.BIBLIOGRAFIA    

https://ingenioempresa.com/histograma/ https://jesusgarciaj.com/2010/01/22/la-curva-de-distribucion-normal/ Guía de Laboratorio 2 de Física I – Medición de errores y Estadística de datos Hugo Medina Guzmán, 2010, Fisca I, Primera Edición, Lima Perú. Fondo Editorial de la Pontifica Universidad Católica del Perú