Laboratorio 2-Fisica I-ANALISIS DE EXPERIMENTO

 

Análisis de experimento

I.- TITULO

: ANALISIS DE EXPERIMENTO

II.-OBJETIVO: Determinar la expresión matemática (fórmula empírica) que determina la correlación entre las variables propias del fenómeno en experimentación.

III.-FUNDAMENTO TEÓRICO. En todo proceso experimental se registran datos de parámetros que involucran el fenómeno en avaluación, en condiciones controladas. Es de interés relacionar dichos parámetros para establecer la correlación que existe entre ellas. Usualmente se busca correlacionar dos variables, una de ellas se le conoce como variable independiente (x) y la otra es consecuencia de la primera y se le denomina variable dependiente o variable respuesta (y); la función se relaciona y=ƒ(x), se denomina fórmula empírica. De manera que es nuestro interés, establecer procedimientos que permitan obtener la formula empírica, que correlaciones óptimamente los datos experimentales obtenidos en un proceso de medición.

1.- GRÁFICAS TIPO 1.1 Forma lineal Es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es: Y= m X + b , donde “ m” representa la  la  pendiente y el ermina la ordenada la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje valor de “b” det ermina Y).

1.2.- Forma no lineal 1.2.1.-Forma potencial: Y = a X n 

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Análisis de experimento

1.2.2.- Forma exponencial: Y = kanx 

2.-Determinación de la fórmula empírica 2.1.-Forma lineal. Para establecer la correlación entre dos variables x, y a partir de los datos obtenidos experimentalmente, proponemos la fórmula empírica: y = f(x); a partir de las gráficas tipo. Si los datos experimentales

al ser graficados establecen una distribución distribución de

puntos que se aproximan a una forma lineal, lineal, asumimos la for formula mula empírica Y = mx + b. en donde para que la expresión este bien determinada se debe conocer los valores de la pendiente m y el punto de corte de la recta al eje Y b.

Método gráfico: Se traza la mejor recta posible, distribuyendo uniformemente los puntos a uno y otro lado de la recta trazada. Esta recta debe pasar por un punto llamado centroide que es la media aritmética de los puntos obtenidos experimentalmente. Luego, se mide el valor de b y al pendiente de la recta, de acuerdo a la escala establecida.

Método analítico: Mínimos cuadrados Dado un conjunto n-ésimo (xi,yi) de datos experimentales, para encontrar la ecuación lineal Y = mx + b que pasa lo más cerca posible de los puntos experimentales (de modo que estos estén aproximadamente equirepartidos alrededor de la recta), usamos la técnica del ajuste de los mínimos cuadrados (o regresión lineal), la que permite obtener la pendiente m de la recta y la ordenada b en el origen, correspondiente a la recta que mejor se ajusta a los n datos experimentales. Las expresiones que permiten calcular b y m son las siguientes

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  ∑  ∑  ∑ ∑      ∑   ∑     ∑  ∑     ∑∑   ∑  Los errores absolutos correspondientes a la pendiente y a la ordenada en el origen son:

  ∑   Δm=√       ∑ ̅    Δb=√         Donde D=

∑ ̅  

d1=yi-mxi-b 

̅ =∑ 

2.2.-Forma no lineal Si la gráfica obtenida, de los datos experimentales, es de una forma no lineal, se aproxima a la curva tipo más apropiada considerando la densidad de puntos que mejor presente la función asumida.

Para determinar los valores características de la formula empírica, esta se linealiza aplicando logaritmos u otras conversiones. Ejemplo:

Forma potencial: Y = axn 

 Aplicando logaritmos:

         Haciendo cambio de variables:



Y  = log (Y) m=n

X'=log(X)

b= log(a)

Tenemos:

Y' = mx'+b 

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Análisis de experimento

Graficando Y' versus x'  obtenemos una recta, en las que se determina las constantes m y b las cuales permiten calcular n y a que definen la formula empírica asumida.

IV.- MATERIALES E INSTRUMENTOS:              

Cronometro Regla patrón Péndulo Pesas de 50g Resorte Juego de dados Soporte universal

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Análisis de experimento

V.-PROCEDIMIENTOS Péndulo 1.  Instale el péndulo en un soporte universal

2.  Desplace el péndulo de su posición de equilibrio y déjelo oscilar. Para una longitud determinada, tome el tiempo de 10 oscilaciones, repita en cada caso tres veces anote sus resultados en una tabla I.

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Resorte 1.  Suspenda un resorte sobre un soporte universal.

2.  Coloque sucesivamente, en un extremo de resorte, masas de 10, 20, 30,40, 50,60g; en cada caso mida la deformación X en el resorte. Coloque sus resultados en la tabla ii.

Juego de dados 1.  Asuma que se tiene 100 dados. 2.  Elija un número de 1 al 6.  3.  Lance el número de dados anteriores y cuente el número de dados que indique el número elegido. 4.  Resta el número de dados que dan el número elegido del número anterior de dados y complete la tabla.

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VI.- DATOS EXPERIMENTALES

DATOS DEL EXPERIMENTO CON EL PENDULO

TABLA I N

L(m)

t(oscilaciones)

1

2

tprom

T(s)

1 2 3 4 5 6 7 8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

5.75 8.65 10.47 12.18 13.72 14.91 16.31 17.29

5.84 8.79 10.63 12.12 13.84 15.06 16.15 17.28

5.795 8.72 10.55 12.15 13.78 14.985 16.23 17.285

0.5795 0.8720 1.0550 1.2150 1.3780 1.4985 1.6230 1.7285

9 10

0.9 1

18.41 19.53

18.57 19.31

18.49 19.42

1.8490 1.9420

DATOS DEL EXPERIMENTO CON EL RESORTE

TABLA II

Física I-Ing. Civil

N

Deformación Masa del resorte suspendida x(cm) m(g)

1 2 3 4 5 6

2.8 6.2 9.0 12.0 15.1 18.0

10 20 30 40 50 60

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Análisis de experimento

DATOS DEL EXPERIMENTO CON LOS DADOS (Numero elegido: 6)

TABLA III

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n

Numero de lanzamientos N

Numero de dados que quedan N’ 

1

0

100

2

1

87

3

2

69

4

3

57

5

4

45

6

5

34

7

6

30

8

7

27

9

8

25

10

9

23

11

10

19

12

11

18

13

12

14

14

13

12

15

14

10

16

15

10

17

16

9

18

17

7

19

18

6

20

19

5

21 22

20 21

3 3

23

22

3

24

23

2

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Análisis de experimento

VII.- RESULTADOS

PÉNDULO 1.  Con los datos de la tabla I, determine el periodo del péndulo, luego haga el grafico de T y L.

a) Procedemos hallar el periodo (T), dividiendo el tiempo promedio entre el número de oscilaciones:

Usando los datos de la TABLA I obtenemos: LA TABLA (A) N

L(m)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t(10 oscilaciones)

1

2

5.75 8.65 10.47 12.18 13.72 14.91 16.31 17.29 18.41 19.53

5.84 8.79 10.63 12.12 13.84 15.06 16.15 17.28 18.57 19.31

Tprom(s) T(s) 5.795 8.72 10.55 12.15 13.78 14.985 16.23 17.285 18.49 19.42

0.5795 0.8720 1.0550 1.2150 1.3780 1.4985 1.6230 1.7285 1.8490 1.9420

b) Con los datos obtenidos en la TABLA (A) procedemos a graficar T (Periodo) en función de L (longitud) es decir: T=f (L)

  Hallando el centroide C=( L,T)



  ∑        ∑   05

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Análisis de experimento

2.  Determine la formula empírica mediante: a) el método grafico (b) el método de los mínimos cuadrados (c) mediante el graficador de la hoja de Cálculo Excel.  A.  EL MÉTODO GRAFICO a)  Como la GRAFICA I, T(Periodo) en función de L(Longitud) es de forma potencial, procedemos a linealizar aplicando logaritmos; para ello consideramos: T = y; L = x

                                                                               

 









TABLA (B) L(m)

T(s)

Log(T)= Y’ 

Log(L) = X’ 

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.5795 0.8720 1.0550 1.2150 1.3780 1.4985 1.6230

-0.2369 -0.0595 0.0233 0.0846 0.1392 0.1757 0.2103

-1.0000 -0.6990 -0.5229 -0.3979 -0.3010 -0.2218 -0.1549

0.8 0.9 1

1.7285 1.8490 1.9420

0.2377 0.2669 0.2882

-0.0969 -0.0458 0.0000

b)  Con los datos obtenidos en la TABLA (B), procedemos a graficar Y’  (Log(T)) en función de X’ (Log(L)) es decir: Y’ =f (X’)   Hallando el centroide C=( X’,Y’) 



  ∑   

 

  ∑   

 

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Análisis de experimento

c)  De la GRAFICA II, que es la forma linealizada de la ecuación obtiene: Tgθ gθ =  =

 se

         

 



                                    Luego              









FINALMENTE LA ECUACIÓN EMPÍRICA ES:

 

B.  EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS.

  obtenida para el     y

a)  La linealización de la ecuación procedimiento del METODO GRAFICO es:  es de la forma: 

   

         

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L(m)

T(s)

Log(T)= Y’ 

Log(L) = X’ 

0.1

0.5795

-0.2369

-1.0000

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.8720 1.0550 1.2150 1.3780 1.4985 1.6230 1.7285 1.8490 1.9420

-0.0595 0.0233 0.0846 0.1392 0.1757 0.2103 0.2377 0.2669 0.2882

-0.6990 -0.5229 -0.3979 -0.3010 -0.2218 -0.1549 -0.0969 -0.0458 0.0000

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Análisis de experimento

b)  Usando los datos de la TABLA (B) y el graficador de la hoja de Cálculo  : Excel, graficamos la forma linealizada de la ecuación:



GRAFICA III

X’=f(Y’)  0.4000

0.3000

y = 0.518x + 0.2912 R² = 0.9989

0.2000

    ’    Y   =     )    T     (    g    o    L

0.1000 Series1

-1.2000

-1.0000

-0.8000

-0.6000

-0.4000

0.0000 -0.2000 0.0000

Lineal (Series1)

-0.1000

-0.2000 -0.3000

Log(L) = X’ 

c) Procedemos hallar la formula empírica por el MMC :

                                     N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

   

2

log( L) =

-1.0000 -0.6990 -0.5229 -0.3979 -0.3010 -0.2218 -0.1549 -0.0969 -0.0458 0.0000

1.0000 0.4886 0.2734 0.1583 0.0906 0.0492 0.0240 0.0094 0.0021 0.0000

 x'

 x'

  i

 -3.4402

 

2 i



2.0956 Física I-Ing. Civil

TABLA (C)

   2

   

   

-0.2369 -0.0595 0.0233 0.0846 0.1392 0.1757 0.2103 0.2377 0.2669 0.2882

0.2369 0.0416 -0.0122 -0.0337 -0.0419 -0.0390 -0.0326 -0.0230 -0.0122 0.0000

 y' 

 y ' x'

1.1295

0.0839

  i

i 

i



Página 12 

 

Análisis de experimento

 



( x'  i ) 2  11.8350

d)  Usando los datos del TABLA (C) y Considerando , en la formula asumimos :

            y  x b n x

2

  x xy

2



 x 

,

  

2

 

          m

    y

 

n  yx   x  y n x 2   x 

2

 

  1       

 

  , la forma linealizada

e)  En consecuencia para  es: de la ecuación  

           (La ecuación coincide con la

ecuación de la GRAFICA III)

              Luego         1   Luego reemplazamos en:       FINALMENTE LA ECUACIÓN EMPÍRICA ES:    









Física I-Ing. Civil

Página 13 

 

Análisis de experimento

f)  MEDIANTE EL GRAFICADOR DE LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL. GRAFICA IV

GRAFICA DE T=f(L) 2.1000 2.0000 1.9000 1.8000 1.7000 1.6000 1.5000     ) 1.4000    s     (    T 1.3000 1.2000    O1.1000    D    O1.0000    I    R0.9000    E 0.8000    P 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0.0000

y = 1.9552x0.5181  R² = 0.9989 T(s) Potencial (T(s))

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

LONGITUD L(m)

DE LA GRAFICA IV SE CONCLUYE QUE LA ECUACIÓN EMPÍRICA ES:



 

3.  De acuerdo a los resultados obtenidos halle el valor de k según la fórmula:

  K=  , donde a es la constante de la formula empírica 

(a) para el método grafico



  = 10.3366

(b) para el método de los mínimos cuadrados



  = 10.3271

(c) para la hoja de cálculo Excel.



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    3271 3271

Página 14 

 

Análisis de experimento

RESORTE 1.- Con los resultados con de la tabla II, haga la gráfica m con x. determine la formula empírica por el MMC. a)  Con los datos obtenidos en la TABLA II procedemos a graficar X (Deformación del resorte) en función de m (Masa suspendida) es decir: X=f (m). GRAFICA V

GRAFICA DE X=f(m) 20 18     )    m16    c     (    X    e 14    t    r    o 12    s    e    r     l    e 10     d    n    o    i    c    a    m    r    o     f    e    D

y = 0.302x - 0.0533 R² = 0.9995

X(cm) Lineal (X(cm))

8 6 4 2 0 0

10

20

30

40

50

60

70

Masa suspendida m(g)

b)  Procedemos hallar la formula empírica por el MMC :                                                  TABLA (D) n

mi ( g ) →X 

mi

1 2 3 4 5 6

10 20 30 40 50 60

100 400 900 1600 2500 3600

m

  i

 210

2

→X2 

 

m

i

2

 9100

 xi (cm) →Y 

 xi mi →XY 

2.8 6.2 9.0 12.0 15.1 18.0

28 124 270 480 755 1080

 x

  i



 x m i 

i

 2737

63.1

Física I-Ing. Civil

Página 15 

 

Análisis de experimento

 



  2 ( mi )  44100

c)  Usando los datos de la TABLA (D) y Considerando X (deformación del resorte) en función de m (masa suspendida); asumimos mi = x y xi = y

 y  x b n x

2

  x  xy

2



 x 

2

                  m

n  yx   x   y n x 2   x 

2

 

        

 

d)  Como la GRAFICA V tiene forma lineal, hemos hallado la pendiente m y b, luego reemplazamos en: e) 

y = mx + b

                    

 

JUEGO DE DADOS 1.- con los datos de la tabla III, haga el grafico del número de dados que dan (N´) con el número de lanzamientos (N) realizados. Luego determine su fórmula empírica, por el MMC

a)  Con los datos obtenidos en la TABLA III  procedemos a graficar N’ (N° de dados que quedan) en función de N (N° de lanzamientos) es decir: N’=f (N) 

Física I-Ing. Civil

Página 16 

 

Análisis de experimento

GRAFICA VI

GRAFICA N’=f(N)  106 104 102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72     ’ 70    N 68    N    A 66    D    E 64    U 62    Q    E 60    U 58    Q 56    S    O 54    D 52    A    D 50    E 48    D    ° 46    N 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22

y = 91.919e-0.158x  R² = 0.9882

N’  Exponencial (N’) 

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 14 15 16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 N° DE LANZAMIENTOS N

Física I-Ing. Civil

Página 17 

 

Análisis de experimento

b)  Como la GRAFICA VI N’ en función de N es de forma exponencial, procedemos a linealizar aplicando logaritmos; para ello consideramos: N’ = y; N = x 

                                                                                                       











TABLA (E) 0

   

100

   

     

4.6052

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

87 69 57 45 34 30 27 25 23 19 18 14

4.4659 4.2341 4.0430 3.8067 3.5264 3.4012 3.2958 3.2189 3.1355 2.9444 2.8904 2.6391

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

12 10 10 9 7 6 5 3 3 3 2

2.4849 2.3026 2.3026 2.1972 1.9459 1.7918 1.6094 1.0986 1.0986 1.0986 0.6931

Física I-Ing. Civil

Página 18 

 

Análisis de experimento

c)  Usando los datos de la TABLA (E) y el graficador de la hoja de Cálculo   Excel, graficamos la forma linealizada de la ecuación:



GRAFICA VII

X’=f(Y’)  5 4.5 4

y = -0.1582x + 4.5209 R² = 0.9882

3.5 3     ′     =     )     ′ 2.5     (   

Series1

2

Lineal (Series1)

1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425   = =

′ 

d) procedemos hallar la formula empírica por el MMC. MM C.

                      

      TABLA  (F) N              x

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 9

Física I-Ing. Civil

2

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

  

2

4.6052 4.4659 4.2341 4.0430 3.8067 3.5264 3.4012 3.2958 3.2189 3.1355

0 4.4659 8.4682 12.129 15.2268 17.632 20.4072 23.0706 25.7512 28.2195 Página 19 

 

Análisis de experimento

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

10 11 12 13 14 15 16

100 121 144 169 196 225 256

2.9444 2.8904 2.6391 2.4849 2.3026 2.3026 2.1972

29.444 31.7944 31.6692 32.3037 32.2364 34.539 35.1552

17 18 19 20 21 22 23

289 324 361 400 441 484 529

1.9459 1.7918 1.6094 1.0986 1.0986 1.0986 0.6931

33.0803 32.2524 30.5786 21.972 23.0706 24.1692 15.9413

 y' 

 y ' x'

 x'

  i



 276

 

x' i

2



  i

 

i

 563.5767

64.8299

4324



i 

x'  i ) 2  76176

(



     y                     :

e)  Con los datos de la TABLA (F) y Considerando   , asumimos

 y  x b n x

2

  x  xy

2



 x 

2

 

          m

n  yx   x  y n x 2   x 

2

                   

Física I-Ing. Civil

Página 20 

 

Análisis de experimento

f)  En consecuencia, consecuencia, para m= 0.15 0.1582 82 y b= 4.5209, 4.5209, la form formaa lin linealizada ealizada de  es: la ecuación

             (La ecuación coincide con la

ecuación de la gráfica VII).

                              Luego reemplazamos en:       









FINALMENTE LA ECUACIÓN EMPÍRICA ES:

Física I-Ing. Civil

 

Página 21 

 

Análisis de experimento

VIII.- BIBLIOGRAFIA:

         



Física general y experimental



Física experimental



J. Goldemberg. Vol. I



Skires



http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_instant%C3%A1nea

Física I-Ing. Civil

J. Goldemberg. Vol.1 Skires

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