LABORATORIO 2, Dinamica Aplicada

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Lic. En Ingeniería Electromecánica Dinámica Aplicada Alejandro Boyd

LABORATORIO #2 VIBRACIÓN LIBRE DE UN SISTEMA MASA RESORTE Nombre: Felix Aversa Cédula: 8-918-236 e-mail:

Nombre: Ovidio De León Cédula: 8-904-976 e-mail:

Nombre: Alexander García Cédula: 8-917-1297 e-mail:

Nombre: José González Cédula: 9-153-715 e-mail:

Nombre: Antonio Lagruta Cédula: 8-911-2010 e-mail:

Nombre: Gabriel Morales Cédula: 4-762-1560 e-mail:

Nombre: Luis Ortiz Cédula: 8-912-1395 e-mail:

Nombre: Rigoberto Quintero Cédula: 9-746-2220 e-mail:

Nombre: Felipe Villanueva Cédula: 8-920-488 e-mail:

Resumen. La realización de este laboratorio tiene como objetivo principal desarrollar y analizar el modelo físico y matemático de un sistema masa-resorte, de un grado de libertad, bajo vibración libre con movimiento de traslación puro. Para realizar esta experiencia se eligen tres resortes distintos, se colocan a un punto fijo con una masa. Para cada uno de los resortes, se desplaza la masa de su posición de equilibrio estático y se permite que vibre libremente para así medir el periodo de la vibración libre resultante y calcular la frecuencia natural experimental del sistema. Estos parámetros también se obtienen matemática y analíticamente, para así comparar resultados. Descriptores: Frecuencia natural, Equilibrio estático, Vibración libre 1.Introducción: Movimiento vibratorio o vibración es la variación o cambio de configuración de un sistema en relación al tiempo, en torno a una posición de equilibrio estable, su característica fundamental es que es periódico. Si un sistema que es perturbado inicialmente se deja vibrando por si mismo se dice que está en vibración libre. No existe una fuerza externa actuando en el sistema. Un modelo simple para estudiar vibraciones es un resorte con un extremo fijo y una masa adherida en el otro extremo.

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Lic. En Ingeniería Electromecánica Dinámica Aplicada Alejandro Boyd

Los objetivos generales y específicos de esta experiencia son: Objetivos Generales: 1. Desarrollar y analizar el modelo físico y matemático de un sistema masa-resorte, de un grado de libertad, bajo vibración libre con movimiento de traslación puro. Objetivos Específicos: 1. Determinar las características principales de los componentes de un sistema dinámico. 2. Determinar la posición de equilibrio estático de un sistema masa-resorte. 3. Obtener el modelo matemático de un sistema masa-resorte. 4. Reconocer la importancia de la posición de equilibrio estático en el desarrollo del modelo matemático de un sistema. 5. Definir las condiciones iniciales de movimiento de un sistema. 6. Comprender el efecto de la no-linealidad sobre la complejidad del modelo. 7. Determinar la ecuación diferencial de movimiento para el sistema lineal aproximado. 8. Medir el periodo natural de la vibración libre resultante. 9. Calcular la frecuencia natural (Hz) de la vibración resultante a partir del periodo medido. 10. Calcular la frecuencia circular natural (rad/s) de la vibración libre resultante a partir del periodo medido. 11. Calcular la frecuencia circular natural (rad/s) y el periodo natural de la vibración libre resultante a partir del modelo matemático desarrollado. 12. Comparar los resultados obtenidos del modelo matemático con los resultados medidos. Explicar las diferencias en función de las aproximaciones y simplificaciones hechas al desarrollar el modelo. 13. Comparar los resultados obtenidos al variar la masa y la constante del resorte. Explicar el efecto que tiene variar la masa y/o la elasticidad en la frecuencia natural de un sistema. 2.Materiales: 1.Resortes helicoidales de tensión 2. Discos metálicos, 3.Marco para soporte, 4.Base para los discos metálicos, 5.Balanza de resorte, 6.Cinta métrica 3. Análisis y resultados

Se utilizan los resortes de la experiencia anterior, para los cuales se obtuvieron las constantes mostradas en la “Tab. 1”. Tabla 1. Constante de cada resorte tomadas del laboratorio #1. Constante K obtenida desde la grafica Resorte 1

71.497 N/m

Resorte 2

156.16 N/m

Constante K calculada Resorte 1

66 N/m

Resorte 2

138.621 N/m

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Lic. En Ingeniería Electromecánica Dinámica Aplicada tensión al marco Alejandro Boyd

Para cada uno de los resortes se realiza lo siguiente: se asegura un extremo del resorte de soporte. Se coloca la base de los discos en el extremo libre del resorte y se agregan los discos a la base hasta lograr la masa necesaria para la deflexión del resorte. Se desplaza ligeramente la base con los discos y se libera el mismo para que oscile. Con la ayuda de un cronómetro se toma el tiempo en que demora dar 3 oscilaciones de la masa. Los resultados obtenidos para cada resorte se muestran en la “Tab. 2”. Tabla 2. Datos de tiempo obtenidos para 3 oscilaciones de cada resorte.

Tiempo (s)

Tiempo (s)

Resorte 1

Resorte 1

Desplazamiento (m)

0.385

0.454

Masa colocada (kg)

1.9

2.308

Prueba 1

3.09

3.54

Resorte 2

Resorte 2

Desplazamiento (m)

0.294

0.324

Masa colocada (kg)

1.9

2.308

Prueba 1

2.17

2.27

Considerándose como desplazamiento la diferencia entre el estiramiento y el punto de equilibro del sistema masa-resorte simple, para las determinadas masas. Se calcula la frecuencia natural, tanto en rad/s como en Hertz, y el periodo para los dos resortes; tanto experimental como teóricamente y se comparan estos valores. Para calcular estos parámetros experimentalmente, el periodo se obtiene dividiendo el tiempo promedio entre tres, la frecuencia natural en Hz es el inverso del periodo y la frecuencia natural en rad/s es igual a 2ᴨf. Para calcular estos parámetros teóricamente se calcula la frecuencia natural en rad/s utilizando la masa y la constante de cada resorte obtenida en la experiencia anterior (3). Y con esta frecuencia se calculan la frecuencia natural en Hz (1) y posteriormente el periodo (2). Fórmulas utilizadas:

w n=2 π f n (1)

f n=

1 Tn

(2)

w n= (3)

√

k m

Los resultados obtenidos tanto experimentalmente como teóricamente se presentan en la

%Error = ¿ Valor teórico−Valor experimental∨

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Lic. En Ingeniería Electromecánica Dinámica Aplicada “Tab. 3”, en donde Alejandro Boyd

¿ ¿ valor teórico

Tabla 3. Relación del método teórico y experimental.

Sistema

Periodo (s)

Resorte (

N ) m

Frecuencia (rad/s)

Masa (kg)

Exp.

Teor.

%Error

Exp.

Teor.

%Error

K 1= 71.497

N m

1.900

1.03

1.038

0.77%

6.10

6.13

0.48%

K 2=156.16

N m

1.900

0.723

0.702

2.99%

8.7

9.06

3.97%

Sistema

Periodo (s)

Resorte (

N ) m

Frecuencia (rad/s)

Masa (kg)

Exp.

Teor.

%Error

Exp.

Teor.

%Error

K 1= 71.497

N m

2.308

1.18

1.14

3.5%

5.32

5.56

4.31%

K 2=156.16

N m

2.308

0.756

0.77

1.32%

8.31

8.22

1.09%

Tabla 4. Relación del método teórico y experimental para la frecuencia natural (Hz) Con masa de 1.9 kg Sistema Resorte (

Con 2.308

Frecuencia (Hz)

N ) m

Teor.

Exp.

Error

K 1= 71.497

N m

6.13

5.89

4.07%

K 2=156.16 Sistema

N m

9.06 8.54 Frecuencia (Hz)

6.08%

Teor.

Exp.

Error

Resorte (

N ) m

K 1= 71.497

N m

5.56

5.34

4.11%

K 2=156.16

N m

8.22

7.75

6.06%

masa de kg

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Lic. En Ingeniería Electromecánica Dinámica Aplicada Alejandro Boyd

Para el método analítico se utilizó la herramienta Simulink (Matlab), para la representación del sistema masaresorte mediante el siguiente diagrama de bloque, mostrado en la “Fig. 1”

Figura 1. Bloques para un sistema de masa-resorte simple Utilizando los valores presentados en la “Tab. 5”

Tabla 5. Condiciones iniciales para la simulación del sistema masa/resorte simple.

Resorte 1

V (0 ) [m/s] 0

Resorte 2

X (0) [m]

V (0 ) [m/s]

X (0) [m]

0

Obteniendo los siguientes resultados, mostrados en la “Fig. 2”

Figura 2. Datos (periodo y frecuencia) obtenidos de las simulaciones.

Figura 3. Comportamiento del movimiento armónico simple

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Lic. En Ingeniería Electromecánica Dinámica Aplicada Alejandro Boyd

Tabla 6. Relación del método teórico analítico.

Sistema Resorte (

K 1=

N m

K 2=

N m

Periodo (s)

N ) m

Masa (kg)

Ana.

Teor.

Frecuencia (rad/s) %Error

Ana.

Tabla 7. Relación del método teórico y analítico para la frecuencia natural. Sistema Resorte (

En donde: %Error =

Frecuencia (Hz)

N ) m

Ana.

Teor.

Error

K 1=

N m

%

K 2=

N m

%

¿ Valor teórico−Valor experimental∨

¿ ¿ valor teórico

Teor.

%Error