LABORATORIO 02

UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA

Programa Académico de Ingeniería Mecánico - Eléctrica Informe de Laboratorio 02 Curso:  Sistemas Automáticos de Control (SC) Profesor: Ing. William Ipanaque Alama Alumno: Pool Nolasco Ramírez Tema: Análisis de respuesta r espuesta en frecuencia

Piura, 04 de mayo de 2017

1. OBJETIVOS -Aplicación del significado físico de la función de transferencia -Obtención del diagrama de Bode a partir de pruebas hechas sobre un modelo -Análisis de la influencia de los polos y ceros usando los diagramas de Bode y de Nyquist

2. ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema que tiene una respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada (precisamente una entrada senoidal). En el caso de una estructura mecánica, la respuesta de frecuencia es el espectro de la vibración de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada al sistema. Las mediciones de respuesta de frecuencia se usan mucho en el análisis modal de sistemas mecánicos. La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Frente a una entradas senoidal se tiene: ti ene: La relación de amplitudes, que constituye la ganancia del sistema.   

 = |()|

Y el desfase. ∅ = ⦟()

La respuesta del sistema a una entrada senoidal estará caracterizada entonces por la relación de amplitudes y por el desfase.

Diagrama de Bode Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan las frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas empleando rad/s. El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases f ases representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados. En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma solapada de representar la amplitud de salida en escala logarítmica. Conviene resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20 de la (ecu.1) se debe en  parte al uso uso de la fracción fracción del belio belio y en parte al empleo de la potencia potencia de la señal, lo que que hace que haya que elevar al cuadrado la amplitud dentro del logaritmo y salga fuera de él como un factor de dos. En el eje logarítmico de frecuencias se denomina década a cualquier intervalo que va desde una determinada frecuencia hasta otra diez veces mayor. Se denomina octava a cualquier intervalo que va desde una frecuencia hasta su doble.

3. TRABAJO PRÁCTICO El presente trabajo se debe tener en cuenta las siguientes especificaciones: 1. Se ira aplicando aplicando entradas sinusoidales sinusoidales de amplitud unitaria, unitaria, de desfase desfase cero y de frecuencia variable, como se muestra en la Figura 1, puede verse en la configuración de entrada senoidal en simulink se ha puesto una frecuencia f recuencia general, F. 2. Los bloques To Workspace nos permitirán trabajar con los vectores de entrada y de salida en el entorno Matlab, es por ello que anteriormente se puso en frecuencia F. El tiempo de simulación deberá ser el adecuado según la frecuencia de la señal de entrada. 3. Se calculará la relación de ganancia que relaciona la amplitud de la salida entre la amplitud de entrada. Esta ganancia deberá calcularse tomando datos del período estacionario. Las amplitudes se pueden obtener por observación de los resultados gráficos o de los vectores de datos. 4. De la misma manera se calculará el desfase entre las señales de entrada y de salida. Las sugerencias son las mismas que para el cálculo de la ganancia.

Figura 1. Cuadro de configuración entrada senoidal. En Matlab también podemos realizar el diagrama de bode, directamente, si se requiere hacer comprobaciones comprobaciones al verificar el diagrama de bode real, es decir sin asíntotas, en este caso no se hace uso de simulink, solo introducimos i ntroducimos la función de transferencia y luego un comando bode(T)  me graficará el diagrama de bode. Cabe indicar que es solo para

cálculos rápido y para comprobaciones, los siguientes ejercicios si se trabajarán con simulink. Ejemplo: 1/ (4s + 1) En Matlab, Comand Windows : >> S=tf('s') S= s Continuous-time transfer function. >> T=1/(4*S + 1) T= 1 ------4s+1 Continuous-time transfer function. >> bode(T)

Figura 2. Diagrama de bode para el ejemplo (sin Simulink)

3.1. INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: RECONSTRUIR LOS DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

a. 1/ (2 + 2 + 1) Se aprecian en las figuras, 3 y 4, los diagramas de Bode y Nyquist para el primer apartado, estas gráficas se realizaron con el código anterior realizado, para Nyquist el comando viene dado por nyquist(T), Se realizó estas gráficas para ver donde podría estar la frecuencia de corte y en base a ello escoger cinco puntos para realizar el posterior análisis.

Figura 3. Diagrama de Bode ejercicio a). En la Figura 3 la frecuencia de corte más o menos se puede estimar en 0.7 rad/s, es por ello que mis puntos a escoger y teniendo en cuenta que mi gráfica posterior, la cual he realizado en Excel, se basa en estos puntos debo buscar puntos que me ayuden a visualizar cierta similitud con la gráfica expuesta en Matlab. Los puntos de frecuencia que se tomaron para este apartado viene dado por: F = 0.01 - 0.1 - 0.7 - 1 y 10 rad/s En cuanto al diagrama de Nyquist, hay que aclarar que el programa Matlab trabaja con todo el rango de frecuencias y me va dibujar unas gráficas bien definidas, sin embargo en  base a resultados obtenidos, al contar con cinco puntos en Excel no se verá tan definida, sin embargo los puntos tomados si aproximan muy bien a los que se muestran en la curva

 proporcionada por Matlab. Es por ello que se ha seleccionado un punto en cada gráfica de Matlab para luego ser compara con un punto de Excel.

Figura 4. Diagrama de Nyquist ejercicio a).  b. 1 / (2 + 0.1 + 1)

Figura 5. Diagrama de Bode apartado b).

En este apartado y el subsiguiente, se realizará los mismos pasos que el apartado a), sin embargo cabe aclarar que en base al diagrama de bode realizado en Matlab, con fines de elección de puntos y luego posterior comparación, se escogerán otros puntos de frecuencia. En este caso se ha elegido: F = 0.05 –  0.2 –  0.9 –  5 y 15 rad/s Para el Diagrama de Nyquist se ha escogido también un punto para luego comprobar con el graficado en Excel.

Figura 6. Diagrama de Nyquist apartado c). c. −2 / (2 + 0.1 + 1) En este apartado nuevamente se ha realizado ambos diagramas en las figuras 7 y 8. En el diagrama de Bode, se ha marcado un punto aproximado a la frecuencia de corte para ver que frecuencias en torno a ella se escogen, en este caso: F = 0.01 –  0.3 –  1 –  10 y 20 rad/s Además se ha remarcado un punto en el diagrama de Nyquist, Figura 8, para la posterior comprobación con nuestra gráfica obtenida en Excel.

Figura 7. Diagrama de bode apartado c)

Figura 8. Diagrama de Nyquist apartado c). Como puede apreciarse en el apartado a, se tiene una función de segundo orden con polos reales, sin embargo en los apartados b y c, la influencia de polos imaginarios convierte los diagramas de Bode y Nyquist, el diagrama de Bode ahora presenta una sobreoscilación

y en el caso del apartado c) que tiene un tiempo muerto, el diagrama de Nyquist presenta una concatenación de ciclos.

3.1.1 Solución apartado a) Ahora en esta parte para solucionar los apartados se hará uso de simulink y de la ventana de comandos de Matlab ( Comand Windows ), debido a que se usó una frecuencia general, F, ahora vamos a trabajar en ambas plataformas y determinar la amplitud de salida y amplitud de entrada, para los cuales se usó unos comandos integrados en Matlab, para determinar la ganancia, así como un comando para determinar el desfase.

Figura 9. Diseño en bloques de nuestro sistema apartado a) En base a la Figura 9, mi variable de entrada será llamada “u” y mi variable de salida “y”, ambas como pueden verse irán a un bloque de Worksapce para luego poder trabajar en

conjunto con Comand Windows, ya que mi frecuencia F, será introducida en esta ventana. A continuación se expone en la Figura 10 la gráfica entrada y Salida para F=0.1 rad, en la cual, la curva de color púrpura hace referencia a la salida y la curva de color azul es la entrada, cabe indicar que esta gráfica se obtuvo en simulink para un tiempo de 200 seg. Además de ello también se realizó el ploteo de la gráfica en Comand Windows, plot(u,y) que puede apreciarse en la Figura 11, aunque ahora la entrada en color rojo y la salida en color azul. Sin embargo un detalle porque luego nos servirá es que la escala trabajada es ahora en el eje de las abscisas en términos de x10 5 , en ese caso tendrá consecuencias al momento de calcular el desfase. Pero la gráfica no tendrá cambio alguno.

Figura 10. Gráfica expresada por Simulink.

Figura 11. Gráfica expresada por Comand Windows.

Picos o amplitudes: Ahora para determinar la amplitud de salida y la amplitud de la entrada se ha realizado un comando que pudo obtenerse de la página web de Mathworks, este está descrito como se aprecia en la figura 12.a) y b). en donde Ps, amplitud de salida y Pe, amplitud de entrada:  pks = findpeaks(data) En donde data hace referencia a mi variable de la cual quiero obtener mis valores de amplitud, “u” o “y” según sea el caso, como ven se ha añadido un ( :,1n) dentro del  paréntesis, esto indica el número de columna compuesta por los datos, en este caso 1  porque solo se tiene una columna de datos para cada variable.

a) Amplitud de salida

b) Amplitud de entrada Figura 12

Desfase Para el cálculo del desfase se usó otro comando que también se pudo encontrar en la  página oficial de Mathworks, en este caso se indica entre paréntesis las variables de las cuales se quiere conocer el desfase.

D = finddelay(X, Y):  Donde X y Y son vectores de fila o columna, devuelve una estimación del desfase entre X y Y, donde X sirve como el vector de referencia. Si Y se retrasa con respecto a X, entonces el desfase es positivo. Si Y se avanza con respecto a X, entonces el desfase es negativo.

Figura 13. Desfase para F = 0.1 rad/s Ahora es cuando se debe especificar el cambio de escala, en este caso el desfase real de la Figura 13 es 1642/1000 , que equivale a 1.642 rad.

Ahora se hará un análisis para F = 0.7 rad/ seg, para ver la influencia del tiempo de muestreo, debido a que si se escoge un intervalo pequeño el valor de amplitudes que  puedo obtener de mi código puede ser erróneo, debido a que puedo haber tomado un intervalo donde aún la curva no se encuentra en su estacionario, y por ende puedo tomar un valor de amplitud relativamente diferente al que se tiene en el estacionario.

Figura 14. Gráfica expresada por Simulink para F = 0.7 rad/seg.

Figura 15. Gráfica expresada por Comand Windows para F = 0.7 rad/seg.

Como puede verse en la Figura 16.a) el valor del primer pico corresponde a un valor del transitorio 0.7199 y luego puede verse que se estabiliza en 0.6711. para el valor de entrada Figura 16.b) se mantiene constante debido a que no sufre perturbaciones.

a) Amplitud de salida

b) Amplitud de entrada Figura 16

A continuación se ha tabulado para los cinco valores de frecuencia; tener en cuenta que |T(jw)| es la relación de amplitudes, es decir Ps/Pe, y > T=T1*T2*T3 T= 1.406 s ----------------------4e-05 s^2 + 0.014 s + 1

Continuous-time transfer function. >> bode(T)

Figura 32. Filtro Pasa Banda En esta parte se tiene un filtro pasa banda, como puede apreciarse cumple con los requisitos que se solicita, la Ganancia corresponde a 40 dB y se ha supuesto de primer orden, es decir pendiente 20dB/dec. El desfase que va de 90 a -90 corresponde a un diagrama de fase de un filtro Pasa banda, de esta manera se tiene una buena apreciación. Hay tener en cuenta que el diagrama Pasa banda simplificado me  presenta una ganancia casi constante, a lo que en mi diagrama real se ve solo una ligera curva, sin embargo es una aproximación. Los polos en este caso, al tenerse  polos reales y negativos, no han producido picos o alguna alteración en cuando empieza a elevarse la ganancia. Se tiene un sistema estable. En el caso de la primera  parte puede verse en las figuras 5 y 7 en los que se tenía sistemas con polos complejos conjugados, el diagrama de Bode presentaba un pico al momento en que comenzaba la pendiente. 3.2.D Proponer una aplicación o ejemplo práctico (Utilizar de preferencia la función de transferencia de proceso del trabajo del curso), analizar y comentar su comportamiento según el diagrama de Bode del mismo.

Del Libro: “Sistemas de control Moderno”, Dorf 

EJEMPLO DE DISEÑO: Sistema de control de una máquina de estampación El manipulador láser que se muestra en la Figura 33, utiliza dos motores de arrastre y los tornillos de control asociados para posicionar el punzón de estampación en la dirección x. tal y como se muestra, se utiliza un motor separado para los ejes y y z. En la Figura 34 se muestra el modelo de diagrama de bloques para el sistema de control de posición en el eje x. el objetivo es seleccionar una ganancia K, utilizando métodos de respuesta en frecuencia, de forma que el tiempo de respuesta frente a escalones sea aceptable. Para representar la respuesta en frecuencia del sistema, se obtendrán en primer lugar los diagramas de Bode en lazo abierto y en lazo errado. Después se utilizará el diagrama de Bode en lazo cerrado para predecir el tiempo de respuesta de un sistema y para contrastar los resultados predichos con los reales. Para dibujar la respuesta en frecuencia, se selecciona arbitrariamente K=2 y se continúa con el diagrama de Bode que se obtenga. Si el sistema resultante no es aceptable, se ajustará esta ganancia con posterioridad. En la tabla a continuación se presenta parcialmente la respuesta en frecuencia de G(jw) y se dibuja en la figura 35 . Se necesita la respuesta en frecuencia de la función de transferencia de lazo cerrado.

Respuesta en frecuencia para G(jw) w 20log|G| φ (°)

0.2 14 107

0.4 7

0.8 -1 150.5

-123

1 -4

1.4 -9

-13

-162

-179.5

-193

Tabla 7 ()  =

2   + 3  + 2 + 2

Por lo tanto, si s = jw, se obtiene (  )  =

2 (2 − 3  ) + (2 −  )

1.8

Fig. 33 Sistema de control de una máquina de estampación.

Fig. 34 Modelo de diagrama de bloques

Fig. 35 Diagrama de Bode para G(jw) En la figura 8.31 se muestra el diagrama de Bide para el sistema en lazo cerrado, donde 20log|T| = 5 dB en wr = 0.8. De allí 20 log MPw = 5

o

MPw = 1.78

Si se supone que el sistema tiene raíces dominantes de segundo orden, se puede aproximar el sistema con una respuesta en frecuencia de segundo orden. Como M Pw = 1.78, y estimando un valor para ξ = 0.29 (cálculo realizado a partir de gráficas). Utilizando ξ y wr = 0.8, se puede estimar a partir de la figura 37 que wr/wn = 0.91. Por tanto, Wn= 0.8/0.91 = 0.88 Como se está aproximando T(s) por un sistema de segundo orden, se tiene ()  =

   + 3 ∗  ∗  + 

=

0.774   + 0.51 + 0.774

Si se predice la sobreelongación frente a una entrada escalón se obtiene ξ = 0.29. El

tiempo de asentamiento se estima. Ts = 4/ ξ*wn = 4 / (0.29*0.88) = 15.7 seg

L sobreoscilación real para una entrada es el 34% y el tiempo de asentamiento real es de 17 seg. Como se ve, la aproximación de segundo orden es razonable en este casoy se puede utilizar para determinar los parámetros del sistema de forma adecuada. En caso de requerir un sistema con sobreelongación menor, se debería reducir K a 1 y repetir el procedimiento.

Figura 36 Diagrama de Bode para el sistema a lazo cerrado.

Fig. 37 Máximo de la respuesta en frecuencia, Mpw, y de la frecuencia de resonancia wr, frente a ξ para un par de polos complejos conju gados. e) Elaborar metodología paso a paso (detallada) de cómo obtener una función de transferencia en base a un diagrama de Bode. Dar 2 ejemplos. f) Identificar limitaciones, ventajas y desventajas del uso del diagrama de Bode. Dar ejemplos.

Ventajas de las trazas de Bode 



En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist.

Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de  Nyquist.



La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma.



Cuenta con un método simple para dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica



Desventajas de las trazas de Bode 



La estabilidad absoluta y relativa de sistemas de fase mínima se puede determinar desde las trazas de Bode.  No es posible dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la frecuencia logarítmica (log 0=- ∞).

4 CONCLUSIONES 4.1. Matlab es una buena herramienta para poder trabajar los diagramas de Bode y  Nyquist, de tal manera que me permite resolver problemas de manera muy rápida, con resultados precisos y para un amplio rango de valores. La primera parte del trabajo  práctico da cuenta de ello, con solo ingresar una función de transferencia obtengo los respectivos diagramas. No dejamos de lado el cálculo numérico, el cual se verificó también cumple con los requisitos y aproxima muy bien a los diagramas que pueda obtener de Matlab, sin embargo tomaría tiempo calcular muchos valores, para mejorar la  precisión de los mismos, como por ejemplo el diagrama de Nyquist. 4.2. Cuando se tiene funciones de segundo orden, sobre todo los que presentan polos conjugados, debe tenerse en cuenta que el factor de amortiguamiento ξ originará efecto de resonancia, pudiendo observarse en la señal atenuada o amplificada, para cierto valor de frecuencia, en la segunda parte del trabajo práctico, no tuvo mucha influencia este  parámetro, debido a que se contó con polos reales y negativos, los cuales garantizan estabilidad, en ese caso si se hubiera tenido complejos conjugados en los cambios de  pendiente se hubiera observado sobreoscilaciones. Es muy importante tener en cuenta la influencia de los polos en sistemas, porque puede ayudarme a corregir o prevenir grandes errores en cuanto corresponde a temas donde se involucra la frecuencia y resonancia de sistemas mecánicos, acústicos, sonoros, etc. 3. Es importante el desarrollo de filtros, y no solo en la parte acústica o sonora, sino también en sistemas mecánicos, por ejemplo en sistemas de resorte o de carga, es importante estudiar el sobreamortiguamiento al que puede estar sometido cualquiera de estos tipos de sistema. El estudio en frecuencia me proporciona una mejor interpretación en el estudio del comportamiento dinámico de los sistemas.