Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Civil Licenciatura en Ingeniería Civil Laboratorio de Física I Prof. Guadalupe González
GRÁFICOS Y FUNCIONES Tathiana Arrocha Cédula: 7-708-2130 e-mail:
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Jefferson De León Cédula: 4-764-2178 e-mail:
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Stephanie Espinoza Cédula: 4-745-811 e-mail:
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Gustavo Montenegro Cédula: 4-766-271 e-mail:
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Resumen. En esta experiencia se realizaron gráficas de diversos tipos con el objetivo de analizar la relación funcional entre las variables que interviene en un fenómeno, que en los casos estudiados, fueron relaciones potenciales y exponenciales, lo que también permitió obtener las ecuaciones que relacionan las variables a través de los gráficos. Al realizar las graficas con funciones de múltiples variables se puedo analizar la relación que existe entre los fenómenos en los que hay más de dos factores determinantes. A través de ello se llegó a conclusiones acerca de la importancia que tienen las graficas para el estudio de situaciones que ocurren en el entorno, además a identificar las relaciones en las gráficas que fueron potenciales y exponenciales. Descriptores: Funciones de múltiples variables, funciones exponenciales, funciones potenciales, gráficos, logaritmos. 1. Introducción. Gráfica es la denominación de la representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos gráficos (líneas, vectores, superficies o símbolos), para que se manifieste visualmente la relación que guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, sino mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental). Función potencial: Tiene como ecuación . Donde depende de , representa la pendiente y la constante de proporcionalidad. Este tipo de función se muestra como función lineal solo en una hoja doblemente logarítmica. Función exponencial: Tiene como ecuación . Donde depende de , representa la pendiente y la constante de proporcionalidad. Este tipo de función se muestra como función lineal solo en una hoja semi-logarítmica. 2. Materiales y Métodos Papel milimetrado: se utilizó para graficar las tablas de datos proporcionadas en la guía.
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Papel doblemente logarítmico: se utilizó para graficar las tablas de datos proporcionadas en la guía. En esta las funciones potenciales se presentan como una recta. Papel semi-logarítmico: se usó para graficar las tablas de datos proporcionadas en la guía. En esta las funciones exponenciales se presentan como una recta. Regla: se usó para trazar los ejes de las gráficas. 3. Resultados y Discusión
Parte A: Función de una Variable 1. Un recipiente que contiene un líquido hasta la altura h, comienza a vaciarse a través de un orificio. Para diferentes alturas de llenado la variación del tiempo de vaciado se recoge en la tabla No. 1. Tabla 1. Resultados experimentales de vaciado de líquido desde una altura (h) en un tiempo (t). t(s) 1.5 2.0 3.0 4.0 4.5 5.3 6.7 7.4 8.6 20.11 16.46 13.43 12.20 10.39 7.86 6.83 5.37 h(pulg) 22.22 Gráfica 1. Altura del líquido vs variación del tiempo de vaciado
h vs t 25.00
h (pulg)
20.00 15.00 10.00
Expon. (Series1) y = 29.976e-0.2x R² = 1
5.00 0.00 0.0
2.0
4.0
6.0 t (s)
8.0
10.0
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Gráfica 2. Altura del líquido vs variación del tiempo de vaciado
h vs t
h (pulg)
100.00
10.00 Expon. (Series1)
y = 29.976e-0.2x R² = 1 1.00 0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
t (s)
2. La temperatura de una sustancia, sometida a calentamiento, aumenta en tiempo tal como lo recogen los siguientes datos de la Tabla No. 2, obtenidos de una experiencia real. Tabla 2. Resultados experimentales de temperatura (T) de una sustancia sometida a calentamiento en un tiempo (t). 1.0 2.70
2.6 4.36
3.4 5.55
5.5 10.4
6.4 13.6
8.8 28.0
10.1 41.4
Gráfica 3. Temperatura al calentar una sustancia vs el tiempo
T vs t
T (⁰C)
t (min) T (⁰C)
90.00 80.00 70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00
y = 1.9988e0.3x R² = 1
Expon. (Series1)
0.0
5.0
10.0 t (min)
15.0
12.3 80.1
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Gráfica 4. Temperatura al calentar una sustancia vs el tiempo
T vs t 100.00
T (⁰C)
y = 1.9988e0.3x R² = 1
10.00 Expon. (Series1)
1.00 0.0
5.0
10.0
15.0
t (min)
3. Un recipiente se está llenando de un líquido desconocido, la tabla No. 3 muestra el comportamiento de la altura (h) y el intervalo de tiempo (t) transcurrido. Tabla 3. Resultados experimentales de comportamiento de la altura (h) y el intervalo de tiempo (t) al llenar un recipiente con líquido desconocido t (min) 1.5 2.0 3.7 4.0 5.7 6.0 10.0 13.8 18.37 28.28 71.17 80.00 136.01 146.97 316.23 512.45 h (cm)
Gráfica 5. Comportamiento de la altura al llenar un recipiente vs intervalo de tiempo
h vs t 600.00 y = 9.9998x1.4999 R² = 1
500.00 h (cm)
400.00 300.00 Power (Series1)
200.00 100.00 0.00 0.0
5.0
10.0 t (min)
15.0
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Gráfica 6. Comportamiento de la altura al llenar un recipiente vs intervalo de tiempo
h vs t 1000.00 y = 9.9998x1.4999 R² = 1 h (cm)
100.00
Power (Series1)
10.00
1.00 1.0
10.0
100.0
t (min)
4. La velocidad de un bote cuando su motor se apaga es registrado según la siguiente tabla No. 4. Tabla 4. Resultados experimentales de velocidad (V) de un bote cuando su motor se apaga en un tiempo (t) t (s) 30 65 120 300 500 7.41 5.20 3.01 0.50 0.07 V (m/s) Gráfica 7. Velocidad de un bote al apagar su motor vs el tiempo
V vs t 8.00 7.00
V (m/s)
6.00 5.00 4.00
Series1
3.00
Expon. (Series1)
y = 9.9139e-0.01x R² = 1
2.00 1.00 0.00 0
100
200
300 t (s)
400
500
600
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Gráfica 8. Velocidad de un bote al apagar su motor vs el tiempo
V vs t 10.00
1.00 V (m/s)
0
200
400
600 Series1
0.10
Expon. (Series1)
y = 9.9139e-0.01x R² = 1
0.01
t (s)
5. La siguiente tabla No. 5 muestra el comportamiento de la intensidad luminosa I, de una lámpara cuando se mide dicha intensidad para diferentes distancias d. Tabla 5. Resultados experimentales del comportamiento de la intensidad luminosa (I) de una lámpara para diferentes distancias d (m) 1 2 3 4 5 1 1/4 1/9 1/16 1/25 I (cd) Gráfica 9. Comportamiento de la intensidad luminosa vs las diferentes distancias en las que se mide
I vs t 1 1 I (cd)
1 1 Power (Series1)
0
y = x-2 R² = 1
0 0 0
2
4 d (m)
6
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Gráfica 10. Comportamiento de la intensidad luminosa vs las diferentes distancias en las que se mide
I vs t 1
I (cd)
1
10
0
Power (Series1) x-2
y= R² = 1
0
d (m)
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Parte B: Función de Múltiples Variables Determinar cómo varía el tiempo (t) que tarda una vasija en vaciarse a través de un orificio que se encuentra en el fondo de la misma, como es lógico este tiempo depende del diámetro del orificio (d) y de la cantidad de agua contenida en la vasija indicada a través de su altura (h). Toda la información que a utilizar; está contenida en la Tabla No. 6, los valores que aparecen en la tabla representan los tiempos de vaciado.
h (cm)
d (cm)
Table 6. Resultados experimentales de tiempo (t) que tarda una vasija en vaciarse a través de un orificio de diferente diámetro (d) y a una altura (h) determinada.
1.5 2.0 3.0 5.0
30.0
10.0
4.0
1.0
73.0 41.2 18.4 6.8
43.5 23.7 10.5 3.9
26.7 15.0 6.8 2.2
13.5 7.2 3.7 1.5
Gráfica 11. Tiempo que tarda una vasija en vaciarse vs la cantidad de agua contenida (altura) cuando se mantiene constante el diámetro del orificio
t vs h 80.0 y = 13.508x0.4989 R² = 0.9996
70.0 60.0 50.0 h (cm)
1.5
y = 7.2674x0.5123 R² = 0.9998
2.0 3.0
40.0
5.0 Power (1.5)
30.0
y = 3.6249x0.4708 R² = 0.9986
Power (2.0)
20.0
Power (3.0) y = 1.3701x0.4531 R² = 0.9727
10.0
Power (5.0)
0.0 0.0
5.0
10.0
15.0
20.0 t (s)
25.0
30.0
35.0
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Gráfica 12. Tiempo que tarda una vasija en vaciarse vs el diámetro del orificio cuando se mantiene constante la cantidad de agua contenida (altura)
t vs d 80.0 70.0
y = 161.77x-1.972 R² = 1
60.0
d (cm)
30.0 50.0
10.0
y = 96.093x-1.999 R² = 0.9997 40.0
4.0
30.0
Power (30.0)
1.0
62.912x-2.067
20.0 10.0
y= R² = 0.9991
Power (10.0) Power (4.0)
y = 26.664x-1.798 R² = 0.9975
Power (1.0)
0.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
t (s)
1. ¿Qué tipo de función obtuvo cuando represento en papel milimetrado el tiempo en función del diámetro? Función potencial. 2. ¿Qué tipo de función obtuvo cuando represento en papel milimetrado el tiempo en función del altura? Función potencial. 3. ¿Qué facilidad le dio el papel doblemente logarítmico para encontrar la ecuación que relaciona a las variables? 4. ¿Cómo es la familia de curva en la hoja doblemente logarítmica? 5. ¿El valor de la pendiente en la hoja doblemente logarítmica es el mismo para la familias de curvas? 6. ¿Puede usted predecir valores dentro de la gráfica milimetrada perfectamente? ¿cómo se le llama a este proceso? 7. ¿Puede usted predecir valores fuera de la gráfica milimetrada perfectamente? ¿cómo se le llama a este proceso?
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4. Conclusiones Las grafica son muy importantes al momento de interpretar los datos ya que el análisis de un problema físico se puede hacer a partir de la forma del gráfico. Es decir, graficando los valores experimentales se tendrá una curva uniforme que muestra la tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello predicho teóricamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobación experimental de la ley física considerada. La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto es útil linealizar la curva cuando ésta no sea una recta como es el caso de la función exponencial y la función potencial y que para linealizarlas se utilizan paginas logarítmicas y semi logarítmicas. 5. Referencias Bibliográficas
