Laborator 1 Cucu Eugeniu

Ministerul Educației al Republicii Moldova Universitatea Tehnică a Moldovei Catedra Automatica si Tehnologii Informationale

RAPORT Lucrarea de laborator nr.1 la Cercetari Operaționale Tema: Optimizarea necondiționată Varianta 9

A efectuat: st. gr. SI-141

E. Cucu

A verificat: lector superior

V.Bagrin

Chișinău 2016

Scopul lucrării  

 

Studiul metodelor de optimizare neliniară fără restricții. Definirea și utilizarea unor proceduri pentru minimizarea funcțiilor cu ajutorul metodei gradientului și a metodelor de direcții conjugate cu o eroare mai mică 𝜀 = 10−5 . Analiza rezultatelor obținute, inclusiv stabilirea tipului minimului local sau global. Să se compare rezultatele, luând în considerare numărul de iterații, evaluările pentru funcție si gradient.

Mersul lucrării Să se determine minimul global al funcției 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑏𝑦 2 − 2𝑥 − 3𝑦 Varianta 9 : a = 2, b = 4. Aproximația inițiala (𝑥0 , 𝑦0 ) = (1,1) Argumentarea solutiei: 4𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 => 𝑥 = 0.3 2𝑥 + 8𝑦 − 3 = 0 => 𝑦 = 0.2 4 2 det(1) = det(4) = 4 > 0 ; det(2) = 20 > 0 deci (0.3,0,2) este punct minim. 2 8 1. Determinam gradientul funcției ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (

4𝑥 + 2𝑦 − 2 4 ) = ∇𝑓(1,1) = ( ) 2𝑥 + 8𝑦 − 3 7

2. Determinam 𝛼(alfa) din formula (2(1-4 𝛼)^2+2*(1-4 𝛼)(1-7 𝛼)+4(1-7 𝛼)^2-2(1-4 𝛼)-3(1-7 𝛼))' = 0 3. Cu ajutorul metodei iterative cu condiția de stopare ||∇𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )|| < 10−5, determinam 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 minimul global al funcției 𝑓(𝑥, 𝑦) cu dupa forula (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) = (𝑥𝑘−1 , 𝑦𝑘−1 ) − 𝛼𝑘 ∇𝑓(𝑥𝑘−1 , 𝑦𝑘−1 ).

Listingul programului import javacalculus.core.CALC; import javacalculus.core.CalcParser; import javacalculus.evaluator.CalcSUB; import javacalculus.struct.CalcDouble; import javacalculus.struct.CalcObject; import javacalculus.struct.CalcSymbol; //2*x^2+2*x*y+4*y^2-2*x-3*y import java.util.Scanner; public class MinimumCalculate { public static void main(String[] args) throws Exception { Scanner in = new Scanner(System.in); System.out.println("Enter expression:"); String expressionFunction = in.nextLine(); CalcParser parser = new CalcParser(); CalcObject resultX = parser.parse("DIFF(" + expressionFunction + ", "

+ "x" + ")").evaluate(); CalcObject resultY = parser.parse("DIFF(" + expressionFunction + ", " + "y" + ")").evaluate(); CalcObject resultFunction = parser.parse(expressionFunction).evaluate(); System.out.println("Gradient Method"); gradientMethod(expressionFunction, resultX, resultY, resultFunction); System.out.println("Hestenes-Stiefel Method"); hestenesStiefelMethod(4,2,8,1,1,resultX, resultY, resultFunction); } private static void hestenesStiefelMethod(double h11, double h12, double h22, double firstX, double firstY, CalcObject resultX, CalcObject resultY, CalcObject resultFunction) throws InterruptedException { double x = 0,y = 0; double alpha; double[] d0 = new double[2]; double[] d1 = new double[2]; double gradient0X = getValue(firstX, firstY, resultX); double gradient0Y = getValue(firstX, firstY, resultY); if((int)gradient0X == 0 && (int)gradient0Y == 0) System.out.println("x = " + firstX + "\ny = " + firstY + "\nf(x) = " + getValue(firstX,firstY,resultFunction)); else { d0[0] = gradient0X * (-1); d0[1] = gradient0Y * (-1); alpha = ((gradient0X*d0[0]+gradient0Y*d0[1])/((2*d0[0]+1*d0[1])*d0[0])+((1*d0[0]+1*d0 [1])*d0[1])); x = firstX + (alpha*d0[0]); y = firstY + (alpha*d0[1]); if((int)getValue(x,y,resultX) == 0 && (int)getValue(x,y,resultY) == 0) { System.out.println("x = " + x + "\ny = " + y + "\nf(x) = " + getValue(x,y,resultFunction)); } else { double x1,y1; x1 = getValue(x,y,resultX); y1 = getValue(x,y,resultY); while((int)x1 != 0 && (int)y1 != 0) { x1 = getValue(x, y, resultX); y1 = getValue(x, y, resultY); d1[0] = -x1 + ((((x1 * x1) + (y1 * y1)) / ((gradient0X * gradient0X) + gradient0Y * gradient0Y)) * d0[0]); d1[1] = -y1 + ((((x1 * x1) + (y1 * y1)) / ((gradient0X * gradient0X) + gradient0Y * gradient0Y)) * d0[1]); alpha = -((x1 * d1[0] + y1 * d1[1]) / (((h11 * d1[0] + h12 * d1[1]) * d1[0]) + ((h12 * d1[0] + h22 * d1[1]) * d1[1]))); gradient0X = x1; gradient0Y = y1; x = x + (alpha * d1[0]); y = y + (alpha * d1[1]); } System.out.println("x = " + x + "\ny = " + y + "\nf(x) = " + getValue(x,y,resultFunction)); } } } private static double getValue(double prevX, double prevY, CalcObject result) { result = substituteVariable(result, "x", prevX); result = substituteVariable(result, "y", prevY); result = CALC.SYM_EVAL(result); return Double.parseDouble(result.toString()); }

private static String getAlpha(double prevX, double prevY, String expression, CalcObject resultX, CalcObject resultY) { resultX = substituteVariable(resultX, "x", prevX); resultX = substituteVariable(resultX, "y", prevY); resultY = substituteVariable(resultY, "x", prevX); resultY = substituteVariable(resultY, "y", prevY); resultX = CALC.SYM_EVAL(resultX); resultY = CALC.SYM_EVAL(resultY); expression = expression.replace("x","(1-" + (int)Double.parseDouble(resultX.toString()) + "*alpha)"); expression = expression.replace("y","(1-" + (int)Double.parseDouble(resultY.toString()) + "*alpha)"); return expression; } static CalcObject substituteVariable(CalcObject input, String var, double number) { CalcSymbol symbol = new CalcSymbol(var); CalcDouble value = new CalcDouble(number); return CalcSUB.numericSubstitute(input, symbol, value); } private static void gradientMethod(String expression, CalcObject resultX, CalcObject resultY, CalcObject resultFunction) { double prevX = 1,prevY = 1; double x = 0,y = 0; double alpha = 0.5; double gradientX; double gradientY; double error = 1000000; int iterator = 0; while(error > 0.001) { iterator++; gradientX = getValue(prevX, prevY, resultX); gradientY = getValue(prevX, prevY, resultY); x = prevX - (alpha * gradientX); y = prevY - (alpha * gradientY); if(getValue(x,y,resultFunction) getValue(prevX,prevY,resultFunction) > 0) { alpha /= 2; iterator--; } else { error = Math.sqrt(Math.pow(gradientX, 2) + Math.pow(gradientY, 2)); prevX = x; prevY = y; } } System.out.println("x = " + x); if (expression.contains("y")) { System.out.println("y = " + y); System.out.println("f(x,y) = " + getValue(x, y, resultFunction)); } else System.out.println("f(x) = " + getValue(x,y,resultFunction)); System.out.println("iterator = " + iterator); } }

Afisarea rezulatelor obținute

Concluzie În urma efectuării lucrării de laborator, am obținut cunoștințe in determinarea minimului global al unei funcții. În programul elaborat utilizatorul introduce expresia funcției si automat se genereaza funcția pentru determinarea lui alfa, la rezolvarea acestei ecuatii(derivarea apoi determinarea lui alfa din egalarea ecuatiei cu 0) automat de program am întilnit greutăți deoarece nu am putut realiza determinarea necunoscutei, de pe alta parte programul calculeaza automat gradientul lui x si y astfel generindu-se o functie pentru determinarea lui alfa, usor determînd manual sau folosindu-ne de platforma wolframalpha.com unde copiem functia obtinuta si obtinem rezultatul. Dupa determinarea lui alfa îl introducem in program si automat se calculează minimul global al funcției și afișînd la ecran valoarea minima a lui x,y funcția in punctul dat si numarul de iterații realizate.