Lab 6 Newtol Nl 2013

Universidad Peruana Unión

Ingeniería Civil Métodos Numéricos - Docente: Braulio Gutiérrez P.

Laboratorio 6 0.1. 0.1.

Intr Introdu oducci cción ón a Siste Sistema mass No No Line Lineal ales es

Uno de los métodos más populares para resolver sistemas de ecuaciones no lineales es el método de Newton. Dada una función F n : Rn → Rn y un sistema F n (x) = 0. El Método de Newton consiste en repetir consecutivamente, para k = 0, 1, 2,...,hasta ,...,hasta que F n (xk ) < ε, donde ε > 0, en la siguiente regla: F n (xk ) k+1 k x =x − F n (xk ) 7

°° °°

0

Note que xk denota un vector de aproximación de la solución del sistema de ecuaciones F n (x) = 0, además, x0 es el vector inicial y F n (xk ) es el Jacobiano de F n en xk . 0

Algoritmo 0.1 (Algoritmo Básico de Newton) Sea  Sea  x0 ∈ Rn un punto inicial lo su  fi cientemente cientemente cerca de la solución y  ε > 0 el parámetro de precisión deseado:

°° °°

Paso 1: Si  F ( F (xk ) < ε, detenerse, xk es la aproximación buscada. Caso contrario, ir al paso 2. Paso 2: hacer  k ←− k + 1 Paso 3: xk+1 = xk − (F n (xk )) 1 F n (xk ) Volver al paso 1. 0

−

Naturalmente, el sistema F ( F (x) = 0 puede no tener solución, entonces es posible modificar el algoritmo para que finalice después de un número determinado de iteraciones indicando la posibilidad de infactibilidad. Ejercicio 0.1 En algún lenguaje de su preferencia, implemente el método de  Newton para sistema de ecuaciones no lineales 

1

Una Implementación Básica: function.....= NEWTON_NL(x, prec) iter =.... while norm(Fn(x))>.... iter = ............... x =................. if ........... error(’parece que newton no converge’); end end

Ejercicio 0.2 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  x + 2y − 4 = 0 (x − 6)2 − y + 2 = 0 −

∙1¸ ∙9¸

Al ejecutar newton , con los siguientes puntos iniciales

2

y

3

Solución: Definamos el sistema de ecuaciones y el Jacobiano F (x) =

F n (xk ) = J (x) = 0

"

∙

df  dx1 dg dx1

x + 2x2 − 4 (x1 − 6)2 − x2 + 2 − 1

df  dx2 dg dx2

¸

;

# ∙ =

Al ejecutar el programa newton , con un punto inicial parámetro de precisión 0,000001, observamos:

¸ ∙ ¸ 1 2

con un

∙ 4._______________ ¸ 4._______________

(¡Verifíquelo!) Ahora ejecutando newton , con otro punto inicial

2

∙9¸ 3

te-nemos:

que converge a otra raíz

∙ 8._______________ ¸ 6._______________

(¡Verifíquelo!). Ejercicio 0.3 Haga sus respectivas grá  fi cas del ejercicio anterior y comente, porqué el mismo sistema de ecuaciones no lineales, para puntos distintos  converge a dos raices distintas  Ejercicio 0.4 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  (x − 3)2 − y + 4 = 0 x + 2y − 16 = 0 Al ejecutar newton , verifique con los siguientes puntos iniciales

∙6

10

¸

∙1¸ 2

y

Ejercicio 0.5 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones no li-neales  de 3 incógnitas y 3 ecuaciones: 7x1 x2 + 5x2 − x23 sen x1 − 12 = 0 4 2 3 −x1 + cos x2 + 2x3 − 8 = 0 6x1 + 2x2 − x3 + 34 = 0 Observe que 

2 3

(1)

⎡ 7x x + 5x x sen x 12 ⎤ x + cos x + 2x 8 ⎦ F (x) = ⎣ 6x + 2x x + 34 y  ⎡ 7x x cos x 7x + 5 2x sen x ⎤ ⎦ 4x 2cos x sen x 6x J (x) = ⎣ 6 1 ⎡ 10 2⎤ Si usamos como punto inicial  x = ⎣ 20 ⎦ y como parámetro de precisión  50 ε = 10 , una implementación computacional básica nos otorga: ⎡ 4, 23134959407946 ⎤ x = ⎣ 1, 56752981158965 ⎦ 2− 2

1 2 4 − 1

2−

−

2 3

1

3 1

2

2−

1

1− 3 3−

3

−

1

−

2

3

2

−

0

−

6

−

−

13

−

5, 47684281234392

(¡verifíquelo!) 3

1

2 3

Ejercicio 0.6 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  5x21 + 6x1x2 + 5x22 − 4x1 + 4x2 − 4 = 0 x21 + x22 − 1 = 0 Al ejecutar newton  con punto inicial

∙1¸ 1

y con una precisión de prec=0.000001

Ejercicio 0.7 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  x3 + y3 − 2xy = 0 x2 + y2 − 1 = 0 Al ejecutar Newton, verifique con los siguientes puntos iniciales

∙1¸ 2

Ejercicio 0.8 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  2x4 − 2x2 y + y2 − 2y3 + y 4 = 0 3x2 − 2xy − 6y2 + 3 = 0 Ejercicio 0.9 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  x3 + x2 y − xz + 6 = 0 ex + ey − z = 0 y 2 − 2xz − 4 = 0

⎡ 1⎤ Use el método de Newton, con el punto inicial ⎣ 2 ⎦ y con parámetro − −

1

de precisión ε = 10

6

−

Ejercicio 0.10 Del grá  fi co adjunto

4

1. Plantear el sistema de ecuaciones no lineales  2. Obtener aproximaciones iniciales del grá  fi co para las raices. 3. Resuelva el sistema de ecuaciones planteado en la parte ( 1) con el méto12 −12 do de Newton, pruebe con los puntos iniciales  y. Itere  2 −2 hasta que  x(k) − x(k 1) < 10 6

∙

°

−

°

−

¸ ∙ ¸

∞

Ejercicio 0.11 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  sen(xy) + z = 1 2sen(xz) + y = 2 3sen(yz) + x = 3

⎡0⎤ pruebe con un punto inicial  ⎣ 0 ⎦ y con parámetro de precisión  ε = 10 0 también anote su Jacobiano ⎡ ⎤ ⎦ J (x) = ⎣

6

.y 

6

.y 

−

iter 1 2  .. .

x1

x2

x3

Ejercicio 0.12 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  3x − cos(yz) = 1/2 4x2 − 625y 2 + 2y = 1 e xy + 20z + 10π3 3 = 0 −

−

⎡1⎤ pruebe con un punto inicial  ⎣ 2 ⎦ y con parámetro de precisión  ε = 10 3 también anote su Jacobiano ⎡ ⎤ ⎦ J (x) = ⎣

−

5

iter 1 2  .. .

x1

x2

x3

Ejercicio 0.13 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  9y +

p 

x2

6x − 2 cos(yz) = 1 + sen(z) + 1,06 + 0,9 = 0 60z + 3e xy + 10π = 3 −

⎡0⎤ Use el método de Newton, con el punto inicial  ⎣ 0 ⎦ y con parámetro de  0

precisión  ε = 10

6

−

y también anote su Jacobiano

⎡ J (x) = ⎣

⎤ ⎦ x=

iter = Ejercicio 0.14 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  x3 + x2y − xz = −6 ex + ey − z = 0 y 2 − 2xz = 4

⎡ 1⎤ Use el método de Newton, con el punto inicial  ⎣ 2 ⎦ y con parámetro de  − −

1

precisión  ε = 10

6

−

y también anote su jacobiano

⎡ J (x) = ⎣

⎤ ⎦ 6

x=

iter = Ejercicio 0.15 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  4x − y + z = xu −x + 3y − 2z = yu x − 2y + 3z = zu x2 + y 2 + z 2 = 1

⎡7⎤ ⎢ ° 5 ⎥ ⎢ ⎥ Use el método de Newton , con el punto inicial  ⎣ ⎦ Itere hasta que  x 6

(k)

(k−1)

+x

7

10

6

−

y anote su Jacobiano

⎡ J (x) = ⎣

⎤ ⎦

x=

iter = Ejercicio 0.16 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones no li-neales  de 3 incógnitas y 3 ecuaciones: 7x1 x2 + 5x2 − x23 sen x1 − 12 = 0 4 2 3 −x1 + cos x2 + 2x3 − 8 = 0 6x1 + 2x2 − x3 + 34 = 0 Observe que 

2 3

⎡ 7x x + 5x x sen x x + cos x + 2x F (x) = ⎣ 2− 2

1 2 4 − 1

2

1 − 12

3 3−

6x1 + 2x2 − x3 + 34 7

8

(2)

⎤ ⎦

°

∞

<

y 

⎡ 7x J (x) = ⎣

x23 cos x1 3 −4x1 6

2−

7x1 + 5 −2cos x2 sen x2 2

2x3 sen x1 6x23 −1

−

⎤ ⎦

⎡ 10 ⎤ Si usamos como punto inicial  x = ⎣ 20 ⎦ y como parámetro de precisión  0

50 ε = 10 , una implementación computacional básica nos otorga: −

6

−

x13

⎡ =⎣

4, 23134959407946 −1, 56752981158965 5, 47684281234392 −

⎤ ⎦

(¡verifíquelo!) Ejercicio 0.17 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  5x21 + 6x1x2 + 5x22 − 4x1 + 4x2 − 4 = 0 x21 + x22 − 1 = 0 Al ejecutar NEWTON_NL con punto inicial de prec=0.000001

∙1¸ 1

y con una precisión

Ejercicio 0.18 Se quiere resolver el sistema de ecuaciones no lineales  2x4 − 2x2 y + y2 − 2y3 + y 4 = 0 3x2 − 2xy − 6y2 + 3 = 0 Ejercicio 0.19 Resolver el sistema de ecuaciones no lineales  x3 + x2 y − xz + 6 = 0 ex + ey − z = 0 y 2 − 2xz − 4 = 0

⎡ 1⎤ Use el método de Newton, con el punto inicial ⎣ 2 ⎦ y con parámetro − −

1

de precisión ε = 10

6

−

8