Lab 3

 

3. Gráficos y Funciones Parte A: FUNCIÓN DE UNA VARIABLE 1. Un recipie recipiente nteorificio. que contiene contiene un líquido hasta una altura h, comienza a vaciarse a través de un Para diferentes alturas de llenado la variación del tiempo de vaciado se recoge en la siguiente tabla. Tabla 1 h(pul g) t(s)

22. 22 1.5

20. 11 2.0

16. 46 3.0

13. 43 4.0

a) Gaf Gafica icarr h vs t en una ho hoja ja milime milimetra trada da

12. 20 4.5

10. 39 5.3

7. 86 6. 7

6. 83 7. 4

 

b)

Graficar en hoja logarítmica y determinar la relación entre variables

 

c)

Calcula el valor inicial de la altura.

h = 29.956e-0.2t = 29.956e-0.2(0) =29,95 pulg d)

determine la altura a los 20 s.

h = 29.956e-0.2t = 29.956e-0.2(20) =0,548 pulg e)

¿en qué instante su altura es 12.0

pulg? h = 29.956e-0.2t ln(29,956 29,956)) − ln(ℎ)  = ln( 0.2 ln()

=

ln(29,956) − ln(12) = 4.57 0.2 ln()

 

1. La tempe temperat ratura ura de un unaa sus sustan tancia cia,, som someti etida da a calen calentam tamien iento, to, aumenta aumenta en el tiempo tal como lo recogen los siguientes datos, obtenidos de una experiencia real.

 

Tabla 2 T(°C ) t (min )

2. 70 1. 0

4. 36 2. 6

5. 55 3. 4

10 .4 5. 5

13.6

6.4

28 .0 8. 8

a) Graf Grafiar iar T vs t eenn ho hoja ja m mili ilimet metrad radaa

b) Graf Grafique ique en ho hoja ja loga logarítm rítmica ica y determine determine la ecua ecuación ción T(t) T(t)

41 .4 10 .1

80 .1 12 .3

 

c) Calcu Calcule le el va valor lor iinicia niciall de la Tem Temper peratu atura ra T = 1.9988e0.3t T = 1.9988e0.3(0s) T = 1.9988°c d) Dete Determin rminee en que ins instant tantee la temp temperat eratura ura tie tiene ne 100ºc T = 1.9988e0.3t

=

ln(T)−ln(1,9988) 0,3ln(e)

=

ln(100)−ln(1,9988) =13.04 0,3ln(e)

min

e) Calcu Calcule le la temp temperat eratura ura a los 330s 0s.. 30  

1 

= 0.5 

60 

T = 1.9988e0.3t T = 1.9988e0.3(0.5min) T = 2.32°c 2. Un recipi recipiente ente se eestá stá llena llenando ndo de un líqu líquido ido descon desconocido, ocido, la tabla muestra muestra el comportamiento de la altura (h) y el intervalo de tiempo (t) transcurrido. Tabla 3 h(c

18.

28.

71.

80.

136.

146.

316.

512.

m) t(mi n)

137 .5

228 .0

317 .7

400 .0

501 .7

697 .0

123 0.0

145 3.8

a) Graf Graficar icar h vs t en una una ho hoja ja mi milim limetr etrada ada

 

b) Graf Grafique ique eenn hoja logarí logarítmica tmica y det determi ermine ne h(t) h(t)

 

c) Calcu Calcule le la altur alturaa del líqu líquido ido cua cuando ndo hay hayaa transc transcurri urrido do 1h 1h.. h = 9.9998t1.4999 h = 9.9998(60min)1.4999 h=4645.58m d) ¿Cuánto ttiempo iempo tardara tardara en llenar eell recipien recipiente te si su capacidad capacidad máxima máxima es ddee 1m de altura? h = 9.9998t1.4999

= =

1,4999

√ ℎ⁄

9.9998 √ 100 ⁄9.9998 = 4.64 

1,4999

3. La veloci velocidad dad de un bote cuando su motor se apaga es registrada según la siguiente tabla. v(m/ s) t(s)

7. 41 30

Tabla 4 5.2

3.01

0.50

65

120

300

a) Graf Graficar icar vvss t en pap papel el mi milim limetr etrado ado

0. 07 50 0

 

b) utiliza el papel llogarítmico ogarítmico (ya sea ddoble oble o semi-log) para det determinar erminar v(t) v(t)

 

c) Dete Determin rminar ar la velo velocida cidadd del bot botee a lo loss 3.0 min V = 9.9139e-0.01t V = 9.9139e-0.01(160s)

 

V=2.0 m/s d) ¿en qué instante (en (en minut minutos) os) la velo velocidad cidad insta instantánea ntánea se reduce al al 10% del valor inicial en el justo momento en que se apagó el motor? 7.41m/s (10%)=0.74 m/s

ln ln((9.9139 9.9139)) − ln() 0.01 ln() ln(9.9139) − ln(0.74/) = = 259.50  0.01 ln() =

t = 259.50/60 t = 4.32 min 4. La sigui siguiente ente tabla tabla muestra el compo comportamiento rtamiento de la intensidad intensidad luminosa I,I, de una lámpara cuando se mide dicha intensidad para diferentes distancias d. Tabla 5 l(cd) D (m) a)

 

1

  1

 

1/4

1/9

1/16

1/25

2

3

4

5

Graficar I vs d en papel milimetrado

 

b)

Utilizar el papel logarítmico para determinar/como función de d.

 

c)

¿a qué distancia la intensidad luminosa será 1/3 cd

(candela)? l = D-2 −2

 = √ −2

 = √ 1⁄ = 1.73  3

 

d)

Calcule la intensidad I para d = 1.25

m l = D-2 l = 1.25-2=0.64 cd 5. Sea R la conce concentración ntración ddee part partículas/m3 ículas/m3 qque ue están contenidas contenidas en ccierta ierta región. región. Se supone que el comportamiento de la existencia de partículas decrece expo expone nenc ncia ialm lmen ente te con con el tiem tiempo po.. Sa Sabi bien endo do que que en 4 dí días as;; R=80 R=80x1 x106 06 partículas/m3 y 3 días después, R=50x106 partículas/m3. Tabla 6 t (días )

R

(partícula s/ m^3) 80x10^6

 

4

50x10^6

 

3

a) Graf Grafiqu iquee en el papel semi-loga semi-logarítm rítmico ico la info informac rmación ión suministra suministrada, da, es decir R (partículass /m3) vs t(días). (partícula

 

b) Extrapole uusando sando el gr gráfico áfico anter anterior ior median mediante te una recta y obtenga la la lectura de la cantidad de partículas inicialmente Ro. 80x10^6 = Ae^-m(4) 50x10^6 = Ae^-m(7) 8/5= e^3m m=

0.16

 

c) Escrib Escribaa la ec ecuaci uación ón R(t), R(t), don donde de t es esta ta en ddías ías.. 2,51049−0.16

d) ¿en cuánt cuántos os días aaproximadame proximadamente, nte, la can cantidad tidad ddee partícu partículas las se reduce reduce al 90% del valor inicial? 80x10^6 (inicial) 90% = 72000000. 2,51049−0.16 = 597.00 días. e) Ca Calcu lcule le la can cantid tidad ad de pa partí rtícul culas/ as/m3 m3 que que contie contiene ne la reg región ión cuando han transcurrido 3 meses. 1.39348E+4

 

Conclusiones 





• 

Las gráficas nos pueden ayudar a determinar la relación entre un determinado grupo de datos. Se logra obtener una gráfica lineal aplicando distintos tipos de métodos para graficar. Conocemos los distintos tipos de funciones y como graficarlos.

Con Microsoft Excel se puede realizar fácilmente los cálculos y los gráficos de distintos datos Parte B: FUNCIÓN DE MULTIPLES VARIABLES: Esta experiencia consiste en determinar cómo varía el tiempo (T) que tarda una vasija en vaciarse a través de un orificio que se encuentra en el fondo de esta, como es lógico este tiempo depende del diámetro del orificio (d) y de la cantidad de agua contenida en en la vasija indicada a través de su altura (h). De ser posible, o sea si hay fuente de agua en el laboratorio, realice la experiencia siguiendo las instruccioness de su profesor. De lo contrario, presen instruccione presentamos tamos a continuación los valores obtenidos de una experiencia antes realizada. 







Para deducir la dependencia del diámetro (d) se llenaron con agua a la misma altura (h) cuatro recipientes cilíndricos del mismo tamaño, pero con orificios de salida de diferente diámetro. Para determinar la dependencia con la cantidad de agua, las mismas vasijas se llenaron a diferente diferentess niveles de agua, o sea diferentes diferentes alturas, y se mantuvo constante el diámetro. Cada medida se repitió varias veces y en la tabla se registran los valores medios de los tiempos, en segundos, empleados en vaciarse cada uno de los recipientes. Toda la información que se utilizará; está contenida en la tabla. Los valores que aparecen en la tabla representan los tiempos de vaciado

TABLA (tiempo de vaciado T en segundos) h(cm)/d(cm) 1.5 2.0 3.0 5.0

30.0 73.0 41.2 18.4 6.8

10.0 43.5 23.7 10.5 3.9

Matemáticamente se tiene: T (d, h) = cd nhm

4.0 26.7 15.0 6.8 2.2

1.0 13.5 7.2 3.7 1.5

 

Donde c presenta una constante de proporcionalidad entre ambas variables d y h. Realice las siguiente s iguientess instrucciones: 1. Graficar T vs h, m mantenien anteniendo do d co constante, nstante, una ffamilia amilia de curvas en papel milimetrado. Grafica

 

2. Utilice uuna na hoja logarítmi logarítmica ca para determin determinar ar el valor de m de la la familia de curvas. Grafica:

 

3. Graficar T vs d, m mantenien anteniendo do h co constante, nstante, una ffamilia amilia de curvas pap papel el milimetrado. Grafica

4. Utilice un unaa hoja llogarítmica ogarítmica para de determinar terminar eell valor de de n de la familia familia de curvas. Grafica:

 

5. Util Utilizan izando do los datos datos de la tabla calc calcule ule el valo valorr medio de la constan constante te de proporcionalidad c. T=A√hd2  6.8/√4(3) 2 A = 3.77 6. Determin Determinee la ecuación que rrelaciona elaciona el tiemp tiempoo con las variables. variables. T=A√hd2 7. Calcule el tiempo tiempo que tardaría en vaciar el líqui líquido do para d=4.0cm y h=20cm. 2 T=A√hd = 3.77√20(4)2 = 270.3 s 8. Calcule el valor del diá diámetro metro nnecesario ecesario para para vacia vaciarr el lílíquido, quido, si h=45 cm en 30s. T=A√hd2 D= √T/A√h D=√30/3.77√45 D=1.08 cm

 

 Análisis de Resultado: Resultado: ¿Qué tipo de función obtuvo cuando represento en papel milimetrado el tiempo en función del diámetro? Se obtuvo una función potencial. 



¿Qué función cuando represento en papel milimetrado el tiempotipo en de función de obtuvo la altura? Se obtuvo una función potencial. ¿Qué facilidad le dio el papel doblemente logarítmico para encontrar la ecuación que relaciona a las variables? Nos pedía a ver facilitado mucho pero no podemos conseguir hoja. 

¿Cómo es la familia de curva en la hoja doblemente logarítmica? En una hoja doblemente logarítmica está representada en forma de recta. 

¿El valor de la pendiente en la hoja doblemente logarítmica es el mismo para la familia de curvas? Si es la misma pendiente ya que los valores dados son de la misma familia. 

¿Puede usted predecir valores dentro de la gráfica milimetrada perfectamente? ¿cómo se le llama a este proceso? Es muy difícil ya que no tenía hoja y predecir los valores ya que no determina con exactitud si es una función potencial o exponencial. Este proceso se llama interpolar. 

¿Puede usted predecir valores fuera de la gráfica milimetrada perfectamente? ¿cómo se le llama a este proceso? No se puede predecir los valores con exactitud fuera de la gráfica ya que no se sabe cuál es la misma. Este proceso se le llama como extrapolar. 

 

Glosario: I.

Escal Escalaa sem semii lo loga garít rítmic mica: a: Es una una rrep epre resen senta tació ciónn gr gráfi áfica ca de de una una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas o el eje de ordenadas tienen escala logarítmica mientras el otro eje tiene una escala lineal o proporcional.

II. II.

Var Variab iable: le: Una var variab iable le es es la mag magni nitud tud que que pu pued edee in influ fluir ir en en el estado de un sistema físico. Por ejemplo: peso, velocidad, fuerza, etc.

III. III.

Inten Intensid sidad ad:: In Inte tensi nsida dadd es el nnive ivell de fu fuerz erzaa co conn que que se expresa una magnitud, una propiedad, un fenómeno, etc.

IV. IV.

Lumin Luminosa osa:: El ttérm érmino ino lum lumino inosid sidad ad hhace ace refer referenc encia ia a aalgo lgo qu quee emite luz propia o artificial; comprendiendo que la luz es una energía que permite que percibamos los objetos a través del sentido de la vista.

V.

Pendi Pendient ente: e: se ddeno enomin minaa ppen endi dient entee a la incl inclina inació ciónn ddee un un elemento lineal, natural o constructivo respecto de la horizontal (de 0° o 180°).

VI. VI.

Funció Funciónn ex expo pone nenci ncial: al: uuna na ffun unció ciónn ex expo pone nenci ncial al eess un unaa funci función ón de la forma en el que el argumento x se presenta como un exponente.

VII. VII.

Fun Funció ciónn po pote tenci ncial: al: La fun funció ciónn po poten tencia cia es una una funció funciónn de la forma donde a es un número real, distinto de 0, y n es un número natural distinto de 1. La función potencia está definida para los números reales y su gráfica depende del exponente.

VIII VIII..

Gra Grafic ficaa lin linea eal:l: La Lass grá gráfic ficas as liline neale aless son repr represe esenta ntacio cione ness visuales de datos que ayudan a los estudiantes, educadores y profesionales a entender y analizar una amplia variedad de información.

IX. IX.

Grafic Graficaa no linea lineal:l: F Fun uncio cione ness no liline neale aless son tod todas as aq aque uella llass en las que la gráfica de la función no es una línea recta.

 

X.

Const Constant antee de pro propor porcio ciona nalid lidad ad:: La cons consta tante nte de de propo proporci rciona onalid lidad ad es un elemento numérico relacional, usado para definir el patrón de semejanza entre 2 magnitudes que se ven alteradas de manera simultánea.