La Transformada Z

 

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La Transformada Z

   

Análisis de Sistemas y Señales Control Digital

 

TRANSFORMADA Z

11- D!F" D!F"N" N"C" C"#N #N $ R!LA R!LAC" C"#N #N CON CON LA TRAN TRANSF SFOR ORMA MADA DA D! FO%R"!R !N T"!M&O D"SCR!TO La tran transf sfor orma mada da de Fo'r Fo'rie ierr tien tienee 'na 'na im(o im(ort rtan an)i )iaa f'nd f'ndam ament ental al en la re(re e(ressent enta)i* a)i*nn y anál análiisis de señal eñales es y sist istemas emas dis dis)r )ret etos os %na generali+a)i*n de ella es la transformada transformada Z !l moti,o (rin)i(al (ara tratar )on la transformada Z )onsiste en 'e la transformada de Fo'rier no )on,erge (ara todas las se)'en)ias. lo 'e /a)e ne)esario (lantear 'na transforma)i*n 'e )'0ra 'na más am(lia gama de señales Adi) Ad i)io iona nalm lmen ente te la tr tran ansf sfor orma mada da Z (r (res esen enta ta la ,e ,ent nta2 a2aa de 'e 'e en  (ro0lemas anal3ti)os el mane2o de s' nota)i*n e4(resiones y álge0ra es )on fre)'en)ia más )on,eniente !l em(leo de la transformada Z en señales dis)retas tiene s' e'i,alente en la transformada de La(la)e (ara señales )ontin'as y )ada 'na de ellas mantie man tiene ne s' rela)i rela)i*n *n )orres )orres(on (ondie diente nte )on la transf transform ormada ada de Fo'rie Fo'rier r Anteriorm Anter iormente ente se defini* defini* la transformada transformada de Fo'rier Fo'rier de 'na se)'en)ia  x5k 6 )omo7  x

 k 

k 8 9:

La transformada de la misma se)'en)ia se define )omo7

516

 

 

:

 X 5  z  z 6 8

 z  ;  x5k 6 z 

51rm t>rmin inoo

r 9

k

 la

transformada Z )on,erge a'n si la transformada de Fo'rier de la se)'en)ia  x5k 6 

no lo /a)e /a)e As3 s3 'na 'na se se)' )'en en)i )iaa es es)a )al* l*nn 'nit 'nitar ario io  x5k 6 8  s5k 6  no es

a0sol'tamente s'ma0le (or lo 'e la transformada de Fo'rier no )on,erge Sin em0argo r 9  s5k 6 es a0sol'tamente s'ma0le si r 1 !sto signifi)a 'e k

la trans ransffor orma mada da Z (ara (ara 'n es)a es)al* l*nn 'nit 'nitar ario io e4 e4is iste te en 'na 'na re regi gi*n *n de )on,ergen)ia  z 1 La )on,ergen)ia de la transformada Z de(ende solamente de  z  !s de)ir  'e si7 enton)es7

;

X ( z)  x(k   )   z

5J6



-k 

∞ 

:

 

 

La regi regi*n *n en dond dondee se )'m )'m(le (le la des desig'al g'alda dadd J J es la re regi gi*n *n de )on,ergen)ia Si algn ,alor  z 1 está '0i)ado en di)/a regi*n enton)es los ,aloress so0re ,alore so0re la )ir)'n )ir)'nfer feren) en)ia ia defini definida da )omo )omo  z 8  z 1  están dentro de la regi*n de )on,ergen)ia La fig'ra J< il'stra lo anterior Im

Re

 

Fig'ra 1<

Si la regi*n de )on,ergen)ia in)l'ye la )ir)'nferen)ia 'nitaria se tiene )on,ergen)ia de la transformada Z (ara

 z

8 1 lo 'e e'i,ale a 'e la

transformada de Fo'rier tam0i>n )on,erge "n,ersamente si la regi*n de )on,ergen)ia de la transformada Z no in)l'ye la )ir)'nferen)ia 'nitaria enton)es la transformada de Fo'rier de la se)'en)ia no )on,erge La transformada Z es 'na f'n)i*n anal3ti)a en todos los ('ntos de la regi*n de )on,ergen)ia. de a'3 'e la transformada Z y todas s's deri,adas )on res( res(e) e)to to a w son f'n)iones )ontin'as en di)/a regi*n &or ltimo si la regi*n reg i*n de )on,er )on,ergen gen)ia )ia in)l'y in)l'yee la )ir)'n )ir)'nfer feren) en)ia ia 'nitar 'nitaria ia ent enton)e on)ess la

 

transformada de Fo'rier y todas s's deri,adas )on res(e)to a w de0en ser  f'n)iones )ontin'as de la misma ,aria0le 1 &RO&"!DAD!S D! LA TRANSFORMADA Z Fre)'e Fre) 'ent ntem emen ente te se /an /an em(l em(lea eado do m>to m>todo doss de tran transf sfor orm ma)i* a)i*nn (a (ara ra sim(lifi)ar el análisis y s3ntesis de sistemas go0ernados (or e)'a)iones diferen)iales o en diferen)ias La transformada Z es 'na regla (or la )'al 'na se)'en)ia de nmeros son )on,ertidos a 'na f'n)i*n de la ,aria0le )om )o m(le2 (le2aa

 z.

De0i De 0ido do a s' es estr tr') ')t' t'ra ra 0ási 0ási)a )a la tran transf sfor orma mada da Z (ose (oseee

 (ro(iedades 'e fa)ilitan la sol')i*n de e)'a)iones en diferen)ias lineales 'sando sim(lemente mani('la)iones alge0rai)as &RO&"!DAD!S MS "M&ORTANT!S a6 S%&!R&OS"C"#N Se )om(one de las )ara)ter3sti)as de7 1 om omogen ogenei eida dad7 d7  f 5k 6 B F 5 z   z 6 af 5k 6 B aF 5 z   z 6

nti)a a )ero (ara 'n tiem(o negati,o es a(li)ada a la entrada de 'n sistema )'ya salida es ig'al a la entrada (ero retrasada m 'nidades de tiem(o dis)reto La res('esta del sistema se define enton)es (or7  y5k 6 8 f 5k 9 m6

Q

La transformada de la salida y5Q6 se define a s' ,e+ )omo7 :

Y 5  z  z 6 8

;  y5k 6  z z 

9 k 

k 8 

:

Y 5  z  z 6 8

;  f 5k 9 m6  z z 

9 k 

k 8 

 

Re)o Re )ord rdan ando do 'e la se)'e se)'en) n)ia ia  f 5k 6  f'e f'e es es(e (e)i )ifi fi)ad )adoo en )ero (ara (ara

k 

negati,o tenemos7 Y 5  z  z 6 8 f 56  z  z 9 m P f 516  z  z 9 m91 P f 5