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La transformada Z y respuesta en frecuencia usando Matlab Daniel.M.Toaquiza.U. Departamento de Eléctrica y Electrónica en Automatización y control Universidad de la Fuerzas Armadas ESPE Quito, Ecuador E-mail:
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MatLab es un software que permite la Resumen — MatLab resolución de problemas en tiempo, con soluciones rápidas implementando el uso de la transformada z como ayuda a la solución de problemas en tiempo real y el uso de la respuesta en frecuencia como simplificación de problemas en filtros.
2.
Respuesta en frecuencia
La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada Z de la salida y la transformada Z de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.
I. I NTRODUCCION Matlab es un sistema basado en matrices que permite resolver problemas numéricos relativamente complejos y visualizar los resultados con facilidad, debido a que los planteamientos planteamientos y las soluciones soluciones se expresan de manera similar a su forma matemática original. En general, con el uso de Matlab se visualiza las diferentes soluciones que se pueden mostrar en las ventanas de Matlab, en donde se visualiza, lo que realiza las funciones discretas en diferentes intervalos de tiempos. II.
FUNDAMENTOS TEORICOS
() =
III.
() ()
IMPLEMENTACION Y RESULTADO EXPERIMENTOS
A. EXPERIM ENTO 2.1 2.1
En este primer experimento se buscara una manera de encontrar la transformada Z inversa así tendremos que el residuo de comandos de MatLab puede ser utilizado para encontrar dicha transformada de una función de transferencia dada así tendremos en MatLab los siguientes comandos para un P = 20:
En las matemáticas las matemáticas y procesamiento de señales, Transformada Z la convierte una señal una señal real real o compleja definida en el dominio el dominio del tiempo tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. frecuencia compleja. 1.
Transformada Z bilateral
TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define.
Fig. 1 código experimento 1
Se observa en la sucesión de comandos de la figura1 que utilizamos la función seros la cual nos permite localizar los seros que presenta dicha función de transferencia como también el comando “residue” que nos permitirá realizar la
transformada Z inversa
B. Ex per per im ento 2.3
En este experimento se presenta una función de transferencia en la cual se trabajara con el comando freqz que nos permitirá encontrar sus valores de magnitud y fase y el comando zplane para encontrar los valores de polos y seros que posee dicha función:
Fig. 4 código códig o MatLab
IV.
A. Experimento Experimento 2.1
Fig. 2 Respuesta de y{n}
Si Tomamos esta relación en el dominio z y utilizando la propiedad de desplazamiento de tiempo asociado con la transformada z, se obtiene la siguiente función de transferencia: [] =
[] []
=
RESULTADOS
Luego de implementar el código en MatLab con el comando residue la transformada z inversa será:
1 − . . . −+
Para determinar la respuesta en frecuencia utilizaremos el comando freqz y lo primero que se hace es reescribir H(z) en su forma racional polinómica con exponentes negativos. Para valores grandes de N, los polinomios del numerador y el denominador de H (z) se define de manera eficiente con el comando de ceros de la matriz para N = 10 tendremos
Fig. 3 código en Matlab de la respuesta en frecuencia
Fig. 5 función y{n}
B. Experimento Experimento 2.2
Al incluir el comando freqz encontraremos la magnitud y fase lo que nos da como resultado:
Fig. 6 Magnitud y fase para N=10
Ahora determinaremos los seros y polos de la función de transferencia utilizando el comando zplane asi tendremos como resultado para N = 10 con el plano de convergencia.
Fig. 8 amplitud y fase para N=3, 6,10
C. Experimento Experimento 2.3
En esta resolución luego de ser implementado el código se dará respuesta a la función de transferencia H[z] reemplazando el valor de z con para distintos valores de de w así tendremos:
1 = 0.9
4
, z = [1 1]
Fig. 7 polos y zeros del plano de convergencia
Siguiendo con la misma sucesión de pasos encontraremos para N = 3, 6, 10. Determinando que pasa mientras más pequeño es N obtendremos el grupo de retardo mostrado en la siguiente figura.
Fig. 9 grafica de la función
1 = 0.9
4
8
, z = [
3 8
]
V.
Fig. 10 amplitud y fase de H {z}
Para p1 = 0.9 4 , p2 = 0.9 p3 = 0.9
(
+ ) 4 2 y
− ) 4 2 ,
(
z = [ 8
3 8
]
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Al momento de realizar las gráficas con las distintas funciones de MatLab, se muestra como representar la misma función en diferentes planos. Las gráficas de fase se atenúan con se propagan hacia el infinito. A la atenuación observada se la puede llamar también como ruido Mientras mayor es el valor de N mayor es su rango de operación. Con el uso de la transformada z se puede facilmete dar uso al respuesta en frecuencia. VI.
Fig. 11 amplitud y fase de H{z}
Para p1 = 0.9* 4 , p2 = 0.9* p3 = 0.9*
(
+ ) 4 2 y
z = [ 8
(
− ) 4 2 ,
3 8
]
Fig. 12 amplitud y fase de H{Z}
CONCLUSIONES
Matlab facilita el cálculo cálculo tanto de magnitud como de fase de una función de transferencia con dos comandos fáciles de usar como lo son el freqz y el zplane para grafica de zeros y polos. Al utilizar los comandos adecuados se puede modelar de forma práctica cualquier función de transferencia de todo tipo de sistema. Al realizar esta práctica se aprende a crear de una manera eficiente modelos de polos y ceros o como también modelos de función de transferencia, lo cual tiene suma importancia al momento de procesar señales. Para el cálculo de aproximado de polos y zeros en respuesta en frecuencia MatLab ayuda en gran parte mediante el uso de un simple comando como zplane. Después del análisis y comparación de funciones de transferencia se verifico que si una función tiene un N=10 su grupo de retardo para N
