La Théorie Des Jeux

Université Mohammed Premier Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Oujda

Exposé sous le thème :

La théorie des jeux

Année universitaire : 2013/2014

Plan

Introduction……………………………………..2 I –présentation de la théorie des jeux……………………….3-5 1. Historique 2. Définition 3. Hypothèses 4. Eléments des jeux II –typologie des jeux……………………………………….5-11 1. Jeux coopératifs et non coopératifs 2. Jeux à somme nulle et jeux à somme positive 3. Jeux simultanés et jeux séquentiels 4. Jeux finis 5. Jeux répétés 6. Jeux à information complète et incomplète III–Forme des jeux de stratégie…………………………..11-13 1. Forme extensive 2. Forme normale IV –le dilemme du prisonnier……………………………14-15 V –l’équilibre de Nash……………………………………16-19 1. Equilibre de Nash en stratégie pure 2. Equilibre de Nash avec stratégie mixte

Conclusion……………………………………20 Bibliographie Introduction

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La théorie des jeux est une approche distincte et interdisciplinaire du comportement humain, elle a été fondée par les grands mathématiciens John Von Neumanet Oskar Morgenstern dans leur livre publié en 1944, intitulé « Theory of Games and EconomicBehavior » (la théorie des jeux et comportement économique). Lorsque des personnes interagissent entre elles, on peut dire qu’il y a un jeu. Lorsqu’un commerçant détermine le prix d’un bien, il joue un « jeu » avec ses clients et ses concurrents. La négociation des salaires est un « jeu » entre le patron, les employés et les syndicats. Napoléon et Wellington jouaient un « jeu » lors de la bataille de Waterlou tout comme Kroutchev et Kennedy lors de la crise de Cuba. Donc la théorie des jeux est présente souvent en économie, en management, en politique, en sociologie, en situation de guerre…là où des décisions complexes doivent être prises. L’objet de cette théorie est d’étudier les principes et règles mathématiques et les mettre à profit dans des situations de conflits lors d’une interaction stratégique entre plusieurs preneurs de décisions (appelés agents en économie et joueurs en théorie des jeux). Ces preneurs de décisions interagissent dans le sens où le sort de chacun dépend non seulement des décisions qu’il prend mais également des décisions prises par d’autres preneurs de décisions, donc le choix optimal dépend généralement de ce que font les autres. Dans cette recherche, on va essayer en premier lieu de donner un cadre théorique à cette conception, puis parler des différents types et formes de jeux, étudier le dilemme du prisonnier et enfin évoquer la notion d’équilibre de Nash.

I –présentation de la théorie des jeux

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1. Historique

 En 1938, Émile Borel développe, dans son ouvrage « Applications aux Jeux de Hasard »,un théorème du minimax pour les jeux à somme nulle à deux joueurs, c'est-à-dire les jeux dans lesquels ce que gagne l'un est perdu par l'autre.  En 1944, La théorie des jeux devient un champ de recherche à part entière avec lades publication de la Théorie jeux et du comportement économique (Theory of Games and EconomicBehavior) par John von Neumann et Oskar Morgenstern  En 1950, John Nash développe la notion d'équilibre de Nash qui généralise les travaux de Cournot.  En 1994, John Nash, Reinhard Selten et John Harsanyi reçoivent le « prix Nobel d'économie » (prix de la Banque royale de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel) pour leurs travaux sur la théorie des jeux. Ce choix témoigne de l'importance prise par la théorie des jeux dans l'analyse économique.

2. Définition

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La théorie des jeux peut être définie comme l’étude mathématique des Interactions Stratégiques entre plusieurs agents Rationnels. – Interaction : il y a plusieurs agents (appelés aussi joueurs, "décision makers", etc...), et ils interagissent : le contentement (appelé aussi paiement, gain, utilité, bien-être) de chacun ne dépend pas que de lui, mais aussi en partie des autres. – Stratégique : Les joueurs ont le choix entre plusieurs options. – Rationnel : un joueur ne joue pas n’importe comment, il cherche à optimiser son paiement.

3. Hypothèses • Rationalité C’est une hypothèse fondamentale. En effet, chaque joueur cherche à maximiser ses gains. Le gain de chacun dépend autant des décisions des autres que de sa propre décision. Il est donc nécessaire qu’il y ait anticipation de ce que vont faire les autres et cela repose sur des croyances. • Information Complète Chaque joueur connaît tous les détails du modèle et peut se mettre à la place du modélisateur. Il sait que les autres savent qu’il sait, qu’ils savent qu’il sait qu’ils savent, etc.

4. Eléments des jeux

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Lorsque l’on désire modéliser des comportements économiques faisant apparaitre des interactions stratégiques sous la forme d’un jeu, il est nécessaire de définir précisément ces éléments :  Les joueurs  Les règles  Les choix possibles: les stratégies  Résultat: les gains ou pertes

II –typologie des jeux 1. Jeux coopératifs et non coopératifs  Les jeux coopératifs Les joueurs peuvent communiquer librement et passer entre eux des accords qui les lient de façon contraignante. Ils cherchent l’intérêt général suivi d’un partage des gains entre tous les joueurs ( intelligence collective). Jeux solidaires :les joueurs gagnent ou perdent tous ensemble ( ils ne jouent pas l’un contre l’autre). Exemple:Le côté de conduite  Conduire du même côté que les autres permet de se déplacer en relative sécurité (gain de 100).  Conduire dans le sens opposé rend un accident très probable (gain 0).

On obtient la matrice suivante:

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Conduire à gauche

Conduire à droite

Conduire à gauche

100

0

Conduire à droite

0

100

 Jeux non coopératifs Les individus adoptent un comportement égoïste et opportuniste à chaque instant:  Absence de la communication entre les joueurs.  Les joueurs agissent selon le principe de rationalité économique: chacun cherche son intérêt individuel. Exemple : Soit une entreprise 1 et une entreprise 2 ayant à leur disposition les actions: « produire » et « ne pas produire »: E2 E1

Produit

Ne produit pas

Produit

(-3;-2)

(10;0)

Ne produit pas

(0;8)

(0;0)

2. Jeux à somme nulle et jeux à somme positive  Jeux à somme nulle (ou interdépendance compétitive) 6

Un jeu est à somme nulle si la somme des gains est constante : somme égale à zéro. Dans ce type de jeu ce que gagne l’un des joueurs l’autre le perd. Par exemple, les échecs; le poker; la pierre, papier, ciseau sont des jeux à somme nulle. Exemple:Jeu de « matching Pennies »: Deux joueurs annoncent simultanément Pile ou face: - Si les annonces sont identiques: *Le joueur 1 reçoit 20 € que lui paie le joueur 2. - Si les annonces ne concordent pas: *Le joueur 1 verse 20 € à 2. La matrice des gains est donc la suivante : J2

Pile

Face

Pile

(20;-20)

(-20;20)

Face

(-20;20)

(20;-20)

J1

 Jeux à somme non nulle (indépendance coopératifs) Dit aussi jeux à somme positive. Ils représentent les situations où les joueurs peuvent potentiellement gagner s’ils parviennent à coopérer ou à coordonner leurs stratégies. 7

Alors le résultat d’un tel jeu peut être: *(positif; positif): tous les joueurs sont gagnants. *(négatif; négatif):tous les joueurs sont perdants. Exemple: Soit deux entreprises ont le choix dans leur politique de communication entre « lancer une compagne de publicité » ou « ne rien faire ». E2

Lancer la compagne pub

Ne rien faire

Lancer la compagne pub

(40;90)

(60;50)

Ne rien faire

(25;140)

(25;50)

E1

3. Jeux simultanés et jeux séquentiels  Jeux séquentiels Il existe des jeux où les joueurs jouent l’un après l’autre: jeux séquentiels. Celui qui joue en premier est « le leader », celui qui joue en deuxième est « le follower ». 8

Le joueur dans ce cas peut savoir ce que l’autre a joué avant de prendre sa décision. Exemple :  Un monopoleur peut observer le comportement de la demande des consommateurs avant de produire.  Un duopoleur peut observer l’investissement en capital de son concurrent avant de prendre sa propre décision. Remarque: Le duopole: une structure du marché oligopolistique dans laquelle deux entreprises offreuses font face à une infinité de demandeurs.  Jeux simultanés • Chaque joueur choisit son plan d’action complet au début du jeu et une fois pour toutes. • Le joueur ne connaît pas les choix effectué par les autres joueurs donc il doit prévoir les choix des autres. Exemple:Le dilemme du prisonnier.

4. Jeux finis On dit qu'un jeu est fini lorsque l'ensemble des stratégies de chacun des joueurs est fini. Le dilemme du prisonnier est un jeu fini car chacun des joueurs n'a que deux stratégies possibles.

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5. Jeux répétés La répétition d’un jeu, avec connaissance des résultats intermédiaires, change souvent fondamentalement son déroulement (les meilleurs coups et la conclusion). Par exemple, il peut être utile de prendre ponctuellement le risque de perdre « pour voir », tester les autres joueurs, et mettre en place des stratégies de communication par les coups joués (à défaut d’autre moyen de communication).

6. Jeux à information complète et incomplète  Jeux à information complète On dit qu'un jeu est à information complète si chaque joueur connaît lors de la prise de décision :    

ses possibilités d'action les possibilités d'action des autres joueurs Résultats de la décision qui sera prise les motivations des joueurs

 Jeux à information incomplète On dit qu’un jeu est à information incomplète s’il manque de l’information (lorsqu’il n’y a pas de connaissance des gains, ou de certaines règles …). On parle de jeu à information parfaite dans le cas de jeu sous forme extensive, où chaque joueur a une connaissance parfaite de toute l'histoire du jeu. Un jeu à information incomplète est aussi à information imparfaite. Les jeux à information complète peuvent être à information imparfaite soit 10

du fait de la simultanéité des choix des joueurs, soit lorsque des événements aléatoires sont cachés à certains joueurs.

III–Forme des jeux de stratégie 1. Forme extensive Lorsqu’il y a information complète, chaque joueur connait toutes les données du problème, pour lui et pour les autres. Trois types de situations peuvent alors être envisagés : • Soit les joueurs font leurs choix de façon séquentielle, dans un ordre précis fixé à l’avance. • Soit ils prennent leur décision simultanément • Soit ils font face à des situations mixtes, avec des coups successifs et des coups simultanés. Lorsque les règles du jeu stipulent que les joueurs interviennent les uns après les autres, dans un ordre précis et que le nombre d’actions parmi lesquelles leur choix s’exerce est fini, la représentation qui semble la plus appropriée consiste à tracer un « arbre » (appelé arbre de Kuhn). Une telle représentation, dite sous forme extensive, peut être illustrée par l’exemple suivant présenté par Bernard Guerrien.

Exemple d'un arbre de Kuhn

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La construction et l’étude des jeux sous forme extensive offrent un moyen commode de représenter des interactions stratégiques séquentielles dans des jeux à information parfaite. Dans le cas des jeux à information imparfaite, le recours à un arbre de Kuhn est toujours possible. Dans ce cas l’existence de coups simultanés se traduit par l’apparition d’ensembles d’informations regroupant des nœuds de l’arbre relatifs à ces coups. Forme extensive représentant un jeu à information imparfaite

2. Forme normale La forme normale est une façon pratique de présenter les gains (ou utilités) et les stratégies de chaque joueur : elle est constituée d’un tableau (2 dimensions) lorsqu’il y a 2 joueurs. Lorsqu’il y a N joueurs, on est obligé de construire plusieurs tableaux pour reproduire la dimension N. On associe par exemple le gain au nombre 1, le match nul à 0, la défaite à– 1.Si le gain est aléatoire (ex du jeu de carte ou du lancer de dé), son gain ou son utilité est alors son espérance mathématique. 12

Exemple : • Le caillou casse les ciseaux (Caillou> Ciseaux). • La feuille enveloppe le caillou (Feuille > Caillou). • Les ciseaux coupent la feuille (Ciseaux > Feuille).

IV –le dilemme du prisonnier Quelque part, un crime est commis et la police arrête deux suspects. La police est certaine que ces deux hommes sont impliqués dans le crime, mais n'ont aucune preuve. L'un des policiers a eu alors une idée. Il décide de mettre les prisonniers dans des cellules séparées et leur fait la proposition suivante:Ils ont le choix entre dénoncer leur complice et passer moins de temps en prison ou ils peuvent tous deux garder le silence.

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Si aucun des prisonniers ne parle, la police n'aura aucune preuve et les deux prisonniers iront en prison 1 an pour possession d'arme. Si l'un d'eux parle et l'autre garde le silence, le mouchard sera libre et l'autre ira en prison pour 10 ans. Si les deux prisonniers se dénoncent mutuellement, alors ils iront en prison pour 8 ans (et non 10 ans, car ils auront aidé la justice tous les deux). Nous pouvons présenter ces informations sous forme de tableau : P1 Silence

P1 Dénonce

P2 Silence

1,1

0,10

P2 Dénonce

10,0

8,8

Ce tableau s'appelle une matrice où nous voyons tous les résultats

possibles

pour

les

deux

"joueurs"

(les

prisonniers)

impliqués dans ce jeu. Le premier nombre est toujours le résultat pour le premier prisonnier (P1) et le nombre après la virgule est le résultat pour le second prisonnier (P2). En analysant la situation d’interdépendance de chacun des prisonniers, il est évident que pour eux, la meilleure solution est d’avouer le crime en espérant que l’autre niera. Il y a donc une interdépendance compétitive ou il y aura un gagnant et un perdant, sauf que si les deux prisonniers adoptent le même 14

schéma de réflexion alors ils se retrouvent dans une relation de perdant- perdant. Tout cela est un problème de confiance, que se portent les deux prisonniers. Mais s’ils identifient tout les deux qu’il y a une solution gagnantgagnant, il y aura donc une interdépendance coopérative. Imaginons que nous soyons P1. Nous sommes assis dans notre cellule, réfléchissant à ce qu'il faut faire. Nous ignorons ce que fera P2 et nous n'avons aucun moyen de communiquer. Si P2 nous dénonce, alors il est préférable pour nous de le dénoncer également. Si P2, ne nous dénonce pas, alors notre meilleur choix est aussi de le dénoncer. Dans les deux cas, peu importe ce que choisit P2, le dénoncer vous permet de réduire le temps que vous passerez en prison. Pour P2, la situation est exactement la même et il aura intérêt à nous dénoncer pour les mêmes raisons. Certes, P1 peut penser : "Peut-être que je ne devrais rien dire, si P2 fait de même, nous serons libres dans 1 an". Mais si P2 décide de parler, vous irez en prison pour 10 ans ! Avez-vous envie de prendre ce risque ? En général, non. Aussi, à la fin du "jeu", les deux prisonniers écoperont de 8 ans de prisons. Cette situation s'appelle l'équilibre de Nash, 15

d'après le nom du célèbre mathématicien John Forbes Nash. Lorsque cet équilibre est atteint, aucun joueur ne peut ajuster sa stratégie unilatéralement pour en tirer profit. C'est exactement ce qui se passe pour nos deux prisonniers. Imaginons que nous soyons sur le point d'équilibre de Nash, les deux prisonniers se dénoncent et vont en prison pour 8 ans. P1 peut changer sa stratégie et garder le silence, mais il ira en prison pour 10 ans et n'aura rien gagné. La situation est la même pour P2. Aucun changement

unilatéral

de stratégie

ne

peut

profiter

à

ces

"joueurs".

V –l’équilibre de Nash 1. Equilibre de Nash en stratégie pure Soit un jeu à 2 joueurs avec un nombre fini de stratégies. Considérons que chaque joueur :  optimise et poursuit son intérêt individuel: la rationalité ;  choisit une stratégie une fois pour toutes, c’est-à-dire que chaque agent effectuait un seul choix et s’y tenait: la stabilité. La matrice des paiements suivante représente les paiements dont bénéficient les joueurs A et B pour chaque combinaison de stratégies choisies.

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Joueur A

Joueur B gauche haut 2, 1 bas 0, 0

droite 0, 0 1, 2

Quand B choisit gauche, les gains pour A sont 2 ou 0. Quand B choisit droite, les gains pour A sont 0 ou 1. Cela signifie que quand B choisit gauche, A préfère haut et quand B choisit droite, A préfère bas. Le choix optimal de A dépend donc de ce qu’il croit que B fera. La stratégie (haut, gauche) est un équilibre de Nash. En effet, si A choisit haut, la meilleure chose que B puisse faire, c’est choisir gauche puisque son gain est 1 s’il choisit gauche et 0 s’il choisit droite. Nous dirons qu’une paire de stratégies est un équilibre de Nash1 si le choix de A (ou de B) est optimal compte tenu du choix de B(ou de A). Une autre façon de définir un équilibre de Nash est une situation dont personne n’a intérêt à dévier individuellement, sachant la stratégie de l’autre. Ne pas dévier individuellement veut dire que les individus font un choix optimal qui maximise leur utilité compte tenu de la stratégie de l’autre. L’autre fait le même raisonnement compte tenu de la stratégie du premier joueur. Exemple 1 Le concept d’équilibre de Nash montre clairement qu’il s’agit simplement d’une généralisation de l’équilibre de Cournot. Dans le cas de l’équilibre de Cournot, la variable de décision est la quantité d’output produite qui est une variable continue et chaque firme choisit l’output qui maximise son profit compte tenu du choix de l’autre firme. 1John F. Nash junior, né en 1928, a reçu le prix Nobel en 1994 avec ReinhartSelten et John Harsanyi pour la théorie des jeux non coopératifs. 17

En effet, lorsque le concurrent augmente sa production, la « moins mauvaise solution » consiste, pour la firme, à diminuer la sienne : ceci limite la baisse du prix due à la hausse de la production du concurrent, sans nécessairement éviter la diminution de la recette totale, et permet de diminuer le coût de production.

Exemple 2 L’équilibre de Bertrand, également est un équilibre de Nash avec des stratégies en prix. Chaque firme choisit le prix qui maximise son profit, compte tenu du choix qu’elle pense que l’autre firme fera.

Limites de l’équilibre de Nash en stratégie pure  Tout d’abord, un jeu peut avoir plus qu’un équilibre de Nash. En fait, les choix (bas, droite) correspondent également à un équilibre de Nash.  Le second est que pour certains jeux, de tels équilibres n’existent pas.

2. Equilibre de Nash avec stratégie mixte

La notion d’équilibre de Nash en stratégies pures suppose que chaque joueur connaît les stratégies des autres joueurs. Or, il existe des jeux où chaque joueur a intérêt à cacher sa stratégie. Par conséquent, on admet que les agents peuvent choisir des stratégies aléatoires, c’est-à-dire attribuer une probabilité à chaque choix et jouer ces choix sur la base de ces probabilités il s’agit de stratégies mixtes.

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Exemple : Pierre Papier et ciseaux Dans ce jeu, les deux joueurs annoncent leur choix parmi trois possibilités : le poing (la pierre), la paume de la main(le papier) ou les deux premiers doigts(les ciseaux). Les règles sont que la pierre brise les ciseaux, les ciseaux coupent le papier et le papier enveloppe la pierre. Le joueur J1 pourrait choisir de jouer pierre avec une probabilité de 1/3, papier avec 1/3 et ciseaux avec 1/3. De même, le joueur J2: pourrait choisir de jouer pierre avec une probabilité de 1/3, papier avec 1/3 et ciseauxavec 1/3.

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Conclusion

La théorie des jeux fournit un cadre d'analyse permettant d'étudier les situations conflictuelles dans lesquelles les individus ou les firmes sont en interaction. Lorsque peu de firmes dominent un marché ou bien lorsque des pays concluent un accord sur les politiques commerciales, les agents concernés (individus, firmes, États) doivent prendre en compte les réactions des autres et anticiper leurs propres décisions. Il s’agit alors d'analyser la manière dont les agents coordonnent ou peuvent coordonner leurs décisions dans différentes configurations.

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Bibliographie

 Yildizoglu, Introduction à la théorie des jeux, Dunod 2004.  Umbhaver,Théorie des jeux, Vuilbert 2004.  Rasmusen, Jeux et info, De Boeck 2004.  EMMANUELLE BENICOURT, BERNARD GUERRIEN: « La théorie économique néoclassique : microéconomie, macroéconomie et théorie des jeux », édition la découverte,2008.  VARIAN, Hal R.(1996). Intermediate Microeconomics, 4 èmeéd., W. W. Norton and Company, New york/London. 21

 http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_jeux  http://www.cril.univartois.fr/~konieczny/enseignement/TheorieD esJeux.pdf

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