La Teoria de Lyapunov y Aplicación de Pendulo

 

ESTABILIDAD DE LYAPUNOV

ALEXANDER LYAPUNOV ALEXANDER LYAPUNOV, fue fue un mate matemá máti tico co e inge ingeni nier ero o ruso ruso (1 (185 8577-19 1918 18)) propuso:



TEOR TE OREM EM! ! "E E!T E!T#$% $%$" $"" " "E %&'O 'O* *

: +an +an con+ con+ic icio ione nes s sufi sufici cien ente tes s

para estaii+a+ en puntos +e e.uiirio



TEOREM TEOR EM! ! /O* /O*ER ER!O !O! ! tamin necesarias

: esta esta ec ecen en .ue .ue muc muc0a 0as s +e es esta tas s con con+i +ici cion ones es son son

ALEXANDER LYAPUNOVpropone otras funciones, a+emás +e a energ2a, .ue pue+en utii3arse para +emostrar a estaii+a+ +e un punto en e.uiirio4

!ea una funcin continuamente +iferenciae en un +ominio , .ue contiene a origen4 %a +eri6a+a +e V +e +e as traectorias en (1)  está +a+a por:

ota: Observemos que esta derivada puede pensarse como la derivada direccional de V(x) en la dirección del campo f(x), es decir V ´( x ) =  Lf  V ( x ) TEOREMA

Sea el origen x=0 un punto de equilibrio en la que contiene al origen. Sea que: V (0 )=0 y   V ( x ) > 0  en V ´( x ) ≤ 0 en D

 x´ = f  (  ( x )  y sea

un dominio

una función continuamente diferenciable diferenciable tal

 

Entonces x=0 es estable m!sa"n# si asintóticamente estable.

Demostración:

V ´( x ) < 0 en

 entonces x=0 es

 

$%&'(O&ES $%&'(O&E S DE )*+,%&O-

 

APLICACIÓN DE LYAPUNOV

:

PENDULO

 

/onsi+rese una part2cua +e masa m .ue está suspen+i+a +e un punto fio O me+iante un cae +e ongitu+ % cua masa es +espreciae4 %a siguiente figura muestra e es.uema +e fuer3as .ue inter6ienen en e pn+uo +espus +e +espa3ar a part2cua +e a posicin +e e.uiirio 0asta .ue e cae θ forme un ánguo   con a 6ertica (/), +espus se +ea caer , por e efecto +e a gra6e+a+ se forma un mo6imiento osciatorio4

En a figura e ánguo

θ  es e ánguo .ue in+ica a posicin +e pn+uo,    

+eimitan a ampitu+ máima +e pn+uo, +e esto e +iagrama +e fuer3as para una posicin .ue+a epresa+o +e a forma siguiente:

"e acuer+o a os +atos +e a figura  a segun+a e +e e;ton, a ecuacin .ue representa e mo6imiento +e a part2cua es:

 

!ien+o

at   a aceeracin aceeracin tangencia, e segun+o trmino +e a ecuacin es

negati6o a .ue se opone a mo6imiento4 'or otro a+o

at = L θ´  si se sustitue en

a ecuacin esta .ue+a epresa+a como:

!i se toma

u=θ   se reor+enan os trminos, a ecuacin .ue+a epresa+a como:

a) E//$OE E// $OE! ! "E E!T"O: !e escrie a ecuacin como un sistema +e ecuaciones +e primer or+en, +on+e  x 1=u  x´ 1

 x´ 2

< <

 x 2

−g l

  senx 1

) 'TO 'T O "E E=$%$#R$ E=$ %$#R$O O  x´ 1

<

 x 2=0

−g

 x´ 2

  sen sen x 1=0

<

l

%os puntos +e e.uiirio son

:

(n   π  ,>), n,   ± 1, ± 2, …

'ara n?>) c) %$!$! "E % E!T#$%$"" E  'TO "E E=$%$#R$O 'ara estu+iar a estaii+a+ +e sistema se proce+erá a uscar una funcin +e %apuno64

 

!e sae .ue

g   senx 1   es a fuer3a +e restauracin  l

pn+uo, as2, a energ2a potencia en e +espa3amiento +espa3amiento

1

& su energ2a cintica es

2

u´  es a 6eoci+a+ +e u  +e e.uiirio es:

2

u´

, entonces a energ2a tota es:

!e tomara a a energ2a tota como una funcin +e %apuno6

Esta funcin se pue+e anai3ar gráficamente, para eo intro+ucimos e siguiente c+igo en e script +e mata:

.u2 se cooco os +atos +e g