La Racionalización en Matemáticas.

 

Ejemplo 1 Racionaliza el denominador de la expresión

4 3

6

Solución: En este ejemplo, el índice del radical es n = 3, la potencia de la base, a  = 6, es m = 1, y como 3 > 1, la expresión por la que multiplicaremos el numerador y denominador de la fracción es: n   n−m

a

=

3

6

3−1

=

3

2

6

Ahora aplicamos la fórmula: 4 3

3

4    =

3

6

4

6

2

 ⋅

3

6

3

   =

6

6

2

2

6

Simplificamos la fracción y desarrollamos el exponente: =

2 3

3

3

36 =

Por lo tanto, la racionalización del denominador de  

2 36 3

4 3

6

=

23 3

3

36 =

2 36 3

 

Ejemplo 2 ¿Cuál es la racionalización del denominador de la expresión

5 8

?

Solución:

En este ejemplo, como

8

=

23

,

 <

n

, ya que 2 < 3. Entonces, antes de racionalizar

m

debemos simplificar el radical: 8

 

=

2

=

2

2

=

=

 

3

2

⋅ 21  

2

2

1

 

2 2

  La expresión propuesta se transforma en: 5

5

 

=

8

2 2

Aplicamos la fórmula para racionalizar el denominador: 5

5

2

2 1 −

=

2

2

2

2

2

5

2 1

2

 

=

2

2

2

5 =

2

( )

2 2

5 =

Por tanto,

2

4 5 8

 

  5

=

−

4

2

 

 

 

  E j e m p lo lo 3

Racionaliza el denominador de la expresión 

1+ 2 3 2−

 

3

Solución:

Ésta es una racionalización del denominador binomio

2−

3

; entonces, la expresión por la

que multiplicamos el numerador y denominador de la fracción es

2+

aplicamos la fórmula y simplificamos: 1+ 2 3 2−

=

1+ 2 3

3

2−

=

⋅

3

2+

3

2+

3

1+ 2 3 2 + 2

(2)

 

3

 

  ( 3)

2

−

Realizamos la multiplicación en el numerador y simplificamos el denominador:

( )+1

12 =

2

=

+

( )+ 2

2 3 2 4

+

3

=

=

3

2 + 6 + 

+

4 3

4

−

3

 

 

−

+

3

3

( )

23

3

+

4 3

1

8  + 5 3

 

Por consiguiente, la racionalización de la expresión es

8+5 3

 

3

 

3

, y luego

 

Ejemplo 4

Transforma

3 5

 en una expresión equivalente que carezca de raíz en el numerador.

Solución:

a

Aplicamos el teorema de radicales

n

b

n

a

n

b

3 5

 

=

3 =

5

 

Para racionalizar el numerador identificamos el índice del radical, el cual, aunque no está escrito es n = 2, la potencia de la base a= 3 es 3 5

3 =

m

 = 1. y aplicamos la fórmula:

3

3

5

3

3

3 ⋅

=

5

3

3 =

5

Multiplicamos los radicales: 

−

⋅

=

5

2 1

3

2 1 −

 

 

3 =

(5)(3) 3

=

15

Por lo tanto, la racionalización de la expresión es

 

 

3 15

 

 

 

Ejemplo 5  

¿Cuál es el resultado de racionalizar el numerador de la fracción 

5

−

2

7

3

?

Solución: 5

−

2 3  es

un numerador binomio y su conjugado es

5

+

fórmula y simplificamos:  5

−

7

2 3

5 =

2 3

−

7

+

2 3

5

+

2 3

( 5 ) (2 3 ) ( 5 2 3) 2

=

5 ⋅

2

−

 

+

5 −4 3

=

7

(5

5 =

7

( )

+2

3

) 

3

) 

3

) 

− 12

(5

+2

−7

=

7

(5

+2

Ahora simplificamos la fracción y obtenemos el resultado: −1

=

5

+

2 3

1 = −

5

Por lo tanto, 

5

−

1

2 3

7

= −

5

+

2 3

 

+

2 3

 

 

2 3.

Entonces, aplicamos la