La Programación Cuadrática

 

La programación cuadrática (QP) se refiere al problema de minimizar una función cuadrática sujeta a restricciones lineales de igualdad y desigualdad. En su forma estándar, este problema se representa de la siguiente manera

Donde  ∈   , ∈   , ∈   ,  ∈   y  ∈   . Son clases especiales de problemas de optimización no lineal y contienen problemas de programación lineal como casos especiales. Las estructuras de programación cuadrática se encuentran con frecuencia en la optimización de modelos. Por ejemplo, problemas de mínimos cuadrados ordinarios que son usados a menudo en el ajuste de datos son QPs sin restricciones. Optimización de varianza media, problemas desarrollados por Markowitz para la selección de las carteras son problemas de QP. Además, los problemas de QP se resuelven como subproblemas en la solución de problemas generales de optimización no lineal a través de enfoques de programación cuadrática secuencial (SQP). Recuerde que, cuando Q es una matriz semidefinida positiva, es decir, cuando:

   ≥ 0   para todo y, la función objetivo del problema es una función convexa de X. Dado que el conjunto factible es un conjunto poliédrico (es decir, un conjunto definido por restricciones lineales) es un conjunto convexo. Por lo tanto, cuando Q es positivo semidefinido, el QP es un problema de optimización convexa. Como tal, sus soluciones óptimas locales también son soluciones óptimas globales. Esta propiedad se ilustra en la Figura donde los contornos de una función cuadrática con un semidefinido positivo Q se contrastan con los de una Q indefinida.

 

  Programación Cuadrática Secuencial Volvemos al problema general de Programación No Lineal minimizar

 ( ( )  Sujeta a :

 ( ) = 0  ( ) ≥ 0

 ∈    ∈  

La idea de los métodos SQP (Sequential (Se quential Quadratic Programming ) es desarrollar un proceso iterativo en el que en cada punto  (  ,  ) ,se modeliza el problema mediante uno de programación cuadrática:

1         ∇    2 

Sujeta a

∇ci( )  ∇ci(∇c ∇ci(∇cii( ) = 0

 ∈  

∇ci( )  ∇ci(∇c ∇ci(∇cii( ) ≥ 0

 ∈  

Cuyo optimo llevara a (  (   ,  + ), el nuevo punto.