La Parábola

LA PARÁBO PARÁBOLA LA Una parábola es un conjunto de puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

CONSTRUCC!N "# $% &%R'(O$% Se trazan paralelas a la recta ) *que es la directriz+ a distancias con,enientes y arbitrarias - / 0 y 1 desde el foco 2 se trazan arcos con radio igual a la distancia de separaci3n desde el punto % 4asta - / 0 1 que se encuentran a las paralelas trazadas anteriormente en los puntos -5 /5 05 15 -6 /6 06 y 16. %l unir estos puntos con una cur,a continua queda construida la parábola.

$a figura es una parábola de ,=rtice 7 en el origen de coordenadas. $a recta ) es la directriz de la  parábola y el punto punto 2 es el foco. #l segmento ((5 es una cuerda CC5 es la cuerda focal $$5 es el lado recto y &2 es el radio ,ector.

#CU%C!N "# $% &%R'(O$% "# 78RTC# #N #$ OR9#N "# COOR"#N%"%S : #;# CONC"#NT# CON #$ #;# < #n el gráfico se representa una  parábola con ,=rtice ,=rtice en el origen de coordenadas con eje en el eje > directriz la recta >? @a y foco el punto 2*a A+ la e>centricidad de la parábola es igual a - por lo tantoB

 PF 

=

 PA  x + a

-C ⇒  PF 

=

 PA  PA . Entonces B

* x − a + /

=

 y /

+

eliminando la raDz cuadradaB * x + a +/

=

* x − a +/

+

y/

resol,amos las operaciones indicadas y transpongamosB  x

/

 y

/

+ =

/ax + a

/

=

 x

/

−

/ax +  x

/

+

 y

/

1ax

que es la ecuaci3n can3nica de la parábola de ,=rtice el origen con eje sobre el eje < y el foco a una distancia Ea6 del ,=rtice. "e la ecuaci3n y / ? 1a> despejando el ,alor de : se obtieneB

 y /

= ±/

ax

 para que y

sea real a y > deben ser de igual signo. Si a F A entonces > F A la cur,a se abre 4acia la derec4a Si a G A entonces > G A la cur,a se abre 4acia la izquierda

#CU%C!N "# $% &%R'(O$% "# 78RTC# #N #$ OR9#N "# COOR"#N%"%S : #;# CONC"#NT# CON #$ #;# : $a e>centricidad de la parábola es

Mgs. Mario O. Suárez I.

/

gual a - por lo tantoB  PF 

 PA .  Entonces B = -C ⇒  PF  =  PA

 PA  PA  y

+

a

=

* x

−

A+ /

+

* y

−

a+ /

eliminando la raDz cuadradaB * y + a+ /

=

* x − A+ /

+

* y − a + /

resol,amos las operaciones indicadas y transpongamosB  y

/

 x /

+

/ ay + a

=

1ay

/

=

 x

/

+

 y

/

−

/ay + a

/

Hue es la ecuaci3n can3nica de la parábola con ,=rtice en el origen eje sobre el eje : foco a una una distancia a del ,=rtice. Si a F A entonces y F A la cur,a se abre 4acia la arriba Si a G A entonces y G A la cur,a se abre 4acia la abajo. $a longitud del lado recto a latus rectum *$R+ es igual a 1 a $R ? 1a #CU%C!N "# $% &%R'(O$% "# 78RTC# *4I+ #;# &%R%$#$O %$ #;# <

%

Considere la gráfica de una parábola cuyo eje es una recta paralela al eje @-0 ? A

1+ Calcular el radio focal del punto  de la parábola y / ? /A> /A> si la abscisa abscisa del punto punto  es igual a  R ? -/ + Calcular el radio focal del punto  de la parábola y / ?-/> si la ordenada ordenada del punto  es igual a  R? + Mallar en la parábola y / ? -> los puntos cuyos radios focales son iguales a -0

Mgs. Mario O. Suárez I.



RB &*Q-/+ &5*Q -/+ + Mallar la ecuaci3n de la parábola de ,=rtice en el origen y directriz la recta >L?A. Mállese la longitud de su lado recto  R B  y

/

=

/A x  

$R ? /A

P+ Una cuerda de la parábola y / @ 1> ? A es un segmento de la recta >@/yL0?A 4allar su longitud  R B 1 T

Q+ Mallar la ecuaci3n de lugar geom=trico de los puntos cuya distancia al punto fijo *@/ 0+ sea igual a su distancia a la recta >L ?A  R B  y

/

−

O x − P x − /0 = A

-A+ "adas las parábolas siguientes calcular las coordenadas del ,=rtice foco longitud del latus rectum y la ecuaci3n de la directriz. a + y

/

b+0 x c + y

/

− /

1 y + O x − P

−

−

=

Q x − T y − /

A

=

A

1 y − O x + -0 = A

RB 7*//+ 2*-/ 2*-/ /+  $R?  "irecB >@/?A RB7*0/ @1+ 2*0/@10+ 2*0/@10+ $R? 0 RB7*0//+ 2*0/+ 2*0/+ $R? "irecB "irecB >?A

--+ Mallar la ecuaci3n de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje E>6 y que por los  puntos %*00+ %*00+ (*+ y C*@0+  R B  y

/

−

/ y − 1 x + Q = A

-/+ Mallar la ecuaci3n de una parábola de eje ,ertical y que pase por los puntos %*1+ (*@/--+ y C*@1/-+  R B  x /

−

1 x − / y + -A = A

-0+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice este sobre la recta /y@0>?A que su eje sea paralelo al de coordenadas > y que pase por los puntos *0+ y *@-+.  R B  y

-- y

/

/

− O y −

1 x + -S

=

A

− QP y − -AP x + T0Q =

A

-1+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de ,=rtice 7*-+ distancia focal 0 y se abre 4acia la derec4a.  R B  y

Mgs. Mario O. Suárez I.

/

−

/ y

−

-/x + S0 = A



-+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de 7*@/0+ distancia focal 0 y se abre a la derec4a.  R B  y

/

−

O y

−

-/ x

−

-T = A

-+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de 7*@-/@-+ distancia focal 0/ y se abre a la izquierda.  R B  y /

+

/ y

+

Ox + 1 = A

-+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de 7*0@-+ y su directriz es la recta y ? /  R B  x

/

−

O x + -/ y + /- = A

-P+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de foco 2*@/@-+ y cuyo latus rectum es el segmento entre los puntos *@//+ y *@/@1+  R B  y  y

/

+

/

+

/ y

/ y +

−

O x

O x − /A = A +

1=A

-Q+

Mallar la ecuaci3n de la parábola de foco 2*01+ y directriz >@-?A  R B  y

/

−

P y

−

1 x + /1 = A

/A+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de 2*@--+ y directriz > Ly   ? A  R B  x /

Mgs. Mario O. Suárez I.

+

 y /

−

/ xy

+

1 x + O y

−

/- = A

