La Parábola

La parábola Definición: Definición: Se llama parábola al lugar geométrico de un punto “P” que se mueve en un  plano, en forma tal que su distancia a un punto fijo “F” (llamado foco) es igual a su distancia a una recta fija “D” (llamada directriz).



d PF









d PA

Elementos de la parábola:  Foco: Es el punto fijo “F”. Directriz: Es la recta fija “D”.   Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro “ p”  p”.  Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje de simetría de la parábola.  Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se  puede ver como el punto de intersección del eje con la  parábola.  Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la  parábola con el foco. Ecuación de la parábola en las formas ordinaria y general con ejes coordenados:

 Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0 Para resolver este problema, nos remitiremos remiti remos nuevamente a la ayuda de los sistemas siste mas de coordenadas, para interpretar y describir las relaciones existentes. Consideremos una parábola con su eje paralelo eje paralelo al eje “x”. o Denotemos por “h” y “k” las coordenadas del vértice V (h, k ) . o Si la distancia del vértice al foco es d(VF)=d(EV), entonces las coordenadas del foco son  F  h  p k  o

,

.

El punto “A” es “A” es el pie de la  perpendicular desde el punto  P ( x, y )  a la directriz “D” y “D” y sus coordenadas son  A  h  p y  o

,

.

Por definición d(PF)=d(PA), aplicando la fórmula de la distancia entre 2  puntos del plano; se tiene: o



d PF

  x

sustituimos valores:

 P



xF

2





Y

P

 YF

2





x

P



xA

2





Y

P

 YA

2







d PA



2

2

2

2

 x   h  p     y  k    x   h  p    y  y  2

2

 x  h  p    y  k   x  h 

p

Elevando al cuadrado ambos miembros, desarrollando, simplificando y ordenado:

 x  h  p 

2



y k

2



 x  h  p

2

2 2   2 ph  2 ph  y  2ky  k  x 2  h 2  p 2  2hx

 y 2  2ky  k 2

 y  k 

2





2

2

2

 p    x  h   2hx

2 px  2ph

4 px  4 ph 2

4 px  4 ph   y  k   4 p  x  h  ; p  0... 1

La ecuación (1) es la forma ordinaria de la parábola. Concordancia de la parábola: Ecuación del eje focal: y=k, ecuación de la directriz”: x-h-p, coordenadas del vértice  h k  , coordenadas del foco  h  p k  con  p  0 , la cuerda que pasa por el foco y es ,

,

 paralela a la directriz es lado recto (o ancho focal) de la parábola y la denotamos con las letras L y R, como son puntos de la parábola sus coordenadas deben satisf acer su ecuación, o sea que sabemos que su abscisa es  h  p  , su ordenada es: sustituyendo en (1). 2

2

 y  k   4 p  h  p  h  ; y  k   4 p 2 ; y  k   L  h  p, k  2 p   y  R  h  p, k  2 p  .

2

4p ; y

 k 2p

, por lo tanto,

El primer miembro de la ecuación (1) siempre es no negativo (porque esta elevado al cuadrado), por lo tanto, también lo es el segundo miembro, esto nos indica que “x” debe de tener el mismo sigo que la parábola “p”. si el parámetro “p” es negativo (p