La méthode du grand M

La méthode du grand M

La méthode du grand M consiste à combiner les deux phases de la méthode des deux phrases on

considère le système suivant 

           

Max Z=

De la méthode consiste à ajouter les variables artificiels Les contraintes seront 

  

      

Et en pénalise les variables artificiels par une très petite valeur La nouvelle fonction objectif

Max Z=

-M

  -    

Les valeurs élevées plus plus grands M ont pour but déliminer déliminer les variables artificiels de au cours des itérations de lalgorithme. Donc on essaie de résoudre le nouveau système : Max Z=

     - 

               i= 1,2 n j=1,2m

Si la méthode du simplexe se termine avec une solution ou tous les variables artificiels sont nuls alors La solution obtenue est optimale Sinon si une des variables artificiels et non nuls alors le problème original na pas de solution réalisable.

Ex emple

1:

M ax Z= -10 x 1 -2 x 2-x 3

           X 1, X 2, X 3 0 en ajoutant une variable artificielle t1 on aura problème devient : Max Z= -10 x 1 -2 x 2-x 3 -M t1

           X 1, X 2, X 3, t1 0

            Z= (-40-3M) + M x 1 + (5+M) x 3 On écrit nos équations sous forme de tableaux :

t1 X2

X1 1 5 M

X2 0 1 0

La variable entrante est X3 La variable sortante est t1

X3 1 3 5+M

T1 1 0 0

B 3 2 40+3M

- Z 

Le Nouveau tableau est :

X3 X2

X1 1 2 -5

X2 0 1 0

X3 1 0 0

T1 1 0 -5

B 3 11 25

- Z 

La solution est  Z*=-25 X1*= O

Ex emple

X2* =

11

x3*=3

2:

Min Z= x 1 +2 x 2+x 3 + M t1+Mt 5

                t1=1-x1-x2 t2=2-x1-x 3 Z=3M+(1-2M)x1+(2-M)x2+(1-M)x3

t1 t2

X1 1 1 1-2M

X2 1 0 2-M

La variable entrante est X1 La variable sortante est t1

X3 0 1 1-M

T1 1 0 0

T2 0 1 0

b 1 2 -3M

- Z 

Le Nouveau tableau est :

x1 t2

X1 1 0 0

X2 1 -1 M+1

X3 0 1 1-M

T1 1 -1 2M-1

T2 0 1 -M-1

b 1 2 -M-1

- Z 

X3 0 1 0

T1 1 -1 M

T2 0 1 M-1

b 1 1 -2

- Z 

La variable entrante est X3 La variable sortante est t2 Le Nouveau tableau est :

x1 X3

X1 1 0 0

X2 1 -1 2

On a un problème de minimisation tous les coefficients dans la fonctions objectifs sont positifs donc on conclut la solution optimale La solution est  Z*=2 X1*= 1

X2* =

0

x3*=1