La Machine Asynchrone

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Cours : Machine Asynchrone

Modélisation de la MAS I.

Schéma électrique équivalent :

On ne s’intéressera qu’à un modèle équivalent monophasé ramené à une seule phase de la machine.

Rapport de transformation en tension : a) Tension induite au stator par le champ tournant : 1)

L’entrefer de la MAS est le siège d’une induction tournante sinusoïdale sinusoïdale : b (θ , t ) = Bm . cos  p (θ  − Ω s t ) 

 

On suppose que l’enroulement comporte  N S  S  spires ponctuelles (Figure 1). D’autre part, cette figure représente la MAS avec une seule paire de pôles ( p = 1), mais le calcul sera mené pour  p quelconque. Dans ces conditions, l’enroulement occupe un arc angulaire π /p.

Figure 1 : Illustration avec p=1.

→ Détermination de l’expression l’expression du flux flux φ s ( t )  sous un pôle :

  b (θ , t ) = Bm . cos  p (θ − Ω s t )   donc dφ s = φ m . cos  p (θ − Ω s t )  .dθ     avec φ m = Bm .R.l  ds = R.l.dθ    dφ s = b (θ , t ) .ds

Le flux sous un pôle est obtenu en parcourant l’arc polaire : π  2 p

∫φ

φs ( t ) = −

π 

m

φ  . cos  p (θ − Ω s t )  .dθ = 2   m . cos ( pΩ s t )  p

2 p

D’où l’expression du flux sous un pôle :  B .R.l  B .R.l φ s ( t ) = 2 m . cos ( pΩ s t )  Où φ s ( t ) = 2 m . cos ( w.t )  p  p

→ Expression de la tension statorique induite V S  S (t)   La loi de Faraday : Vs ( t ) = − N s . Vs ( t ) = 2 N s

w  p

d φ s dt 

. Permet d’écrire :

Bm .R.l. sin ( w.t ) ou   Vs ( t ) = 2 N s .Ω s .Bm .R.l. sin ( w.t )  

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 Remarque : La force électromotrice statorique induite par le champ tournant est une tension sinusoïdale :

• de fréquence  f telle que  f = p

Ωs

=

w

. La fréquence de la tension 2π 2π  statorique est identique à celle du réseau d’alimentation ;

• de valeur efficace Vs telle que Vs = 2 2π . N s .Bm .R.l.

 f   p

.

b) Tension induite au rotor par le champ tournant On détermine maintenant la force électromotrice V r (t ) induite par le champ dans un enroulement rotorique supposé ponctuel de  Nr spires.

Figure 2 En considérant la variation du flux φ r  ( t )   du champ tournant à travers l’enroulement, Vr (t ) s’écrit : Vr ( t ) = − N r .

dφ r  ( t ) dt 

La seule différence par rapport au calcul précédent provient du fait que le rotor tourne à la pulsation Ωr . En conséquence, relativement au rotor, le champ tourne donc avec une pulsation ( Ω s − Ω r  ) .

Ω s − Ω r  Ωs

→ Définition du glissement g : Le glissement g est défini par : g = → Expression de la variation du flux φ r  ( t )  sous un pôle :

Le calcul est identique au cas précédent, en remplaçant Ω s  par Ω s − Ω r = g .Ω s et  Ns par Nr .  B .R.l  B .R.l φ r ( t ) = 2 m .cos ( g. p.Ω s .t )  ou φ r  ( t ) = 2 m .cos ( g.w.t ) .  p  p

 

Expression de Vr(t) : Vr ( t ) = 2 N r .g .Ω s .Bm .R.l.sin ( g.w.t ) .    Remarques : La force électromotrice induite par le champ tournant dans un enroulement rotorique est une tension sinusoïdale : . De fréquence fr (r pour rotorique) :  f r  = g . f  .

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. De valeur efficace Vr telle que Vr = 2 2π .N r .Bm .R.l. g.

 f   p

.

c) Rapport de transformation en tension (et en fréquence) .Rapport de transformation en tension  :

Vr

= g.

Vs

. Rapport de transformation en fréquence  : m.g en tension g en fréquence

 f r  f s

=

Nr Ns f r  f 

= m.g

avec m =

N r  N s

;

= g.

 I r 

V s

Vr = m .g Vs  

m =

 N r   N s

Transformateur parfait

Figure 3 : transformateur tension/fréquence.

2) Schéma équivalent par phase de la machine asynchrone réelle Le schéma équivalent électrique de la MAS réelle présenté à la Figure 4.  I 1

R1

m.g en tension g en fréquence  I 

L1

r 

R2

L2

 I 1 µ   I 1 µ a

 I 1 µ r 

V 

V s Rµ

Vr = m.gVs  

Lµ m=

Imperfections des enroulements

Imperfections du circuit magnétique

 N r   N s

Transformateur parfait

Stator : fréquence f

Imperfections électriques du rotor

Rotor : fréquence f r= g.f

Figure 4 : Schéma électrique équivalent de la MAS réelle pour une phase. Avec : . La résistance Rµ symbolise les pertes fer dans le rotor de la MAS; . L’inductance Lµ est l’inductance magnétisante du circuit magnétique ; . La résistance R1 est celle propre à chacun des enroulements statoriques ; . L’inductance L1 est celle des fuites des enroulements statoriques. . La résistance R 2 est celle du circuit rotorique ; . L’inductance L 2 est celle des fuites magnétiques du circuit rotorique ;

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3) Représentation des puissances : Un tiers de la puissance totale fournie à la machine par phase.

a) Rapport de transformation en courant Dans une machine parfaite, le théorème d’Ampère indique que le champ  Hs est compensé à tout instant par le champ  Hr . Or, ces champs sont directement proportionnels aux valeurs efficaces des courants dans les enroulements et au nombre de spires de ces enroulements. Il en résulte que :  N r .I r = N s .I s ⇒

 I r   I s

=

 N s N r 

=

1 m

Cette relation définit le rapport de transformation en courant :

 I r   I s

=

 N s N r 

=

1 m

Ce résultat complète les relations décrivant le transformateur équivalent et peut prendre la forme synthétique de la Figure5.  I s = m.I r 

 I r 

Vr = m.gVs  

V s

Fréquence f

Fréquence f r = g.f

Figure 5 : tension, courant et rapport de transformation.

b) Modélisation de la puissance active La puissance fournie par le stator, nommée aussi puissance transmise au rotor P tr : Ptr = 3.Vs .I s .cos (V s .I s )    

 

Au rotor, la puissance active (dû à l’effet Joule dans  R2) est :

(

 

 

)

P jr = 3.Vr .I r .cos V r .I r  .  

Or pour le transformateur est parfait, les déphasages rotoriques et statoriques sont identiques. On note alors ϕ ce déphasage.  I  P jr = 3.Vr .I r .cos (ϕ ) = 3.m.Vs . s .cos (ϕ ) = g.3.Vs . I s .cos (ϕ ) = g. Ptr  m

On en conclut que toute la puissance électrique active au stator n’est pas transmise au rotor par ce transformateur si particulier.

→ Puissance électromagnétique La différence entre la puissance au stator et celle au rotor Ptr − Pjr = (1 − g).Ptr Traduit le déséquilibre du bilan des puissances. Cette différence est la puissance électromagnétique Pem = (1 − g ).Ptr  celle qui anime   mécaniquement le rotor et la charge.

4) Évolution du schéma équivalent

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Le schéma équivalent précédent ne peut modéliser le transfert en puissance car aucun élément électrique ne lui correspond. Il faut donc modifier la localisation des puissances comme montre la Figure 6 pour traduire les transferts.

Figure 6 : transfert des puissances actives. Puisque les puissances mises en jeu sont actives, elles seront représentées par des résistances parcourues par le courant  I r  : . R2 pour P jr  ; . Rem pour Pem. Les relations sur les puissances permettent d’exprimer Rem : Pem = 3.Rem .I r = (1 − g ) .Ptr   2

 

2

P jr = 3.R2 .I r = g.Ptr 

 

donc Rem =

1− g g

R2

Ceci conduit au nouveau schéma équivalent de la partie secondaire de la MAS représenté à la Figure 7. On remarque alors que la résistance équivalente au  R secondaire représente toute la 2 puissance active secondaire. g  I s = m.I r 

R2

 I r 

V s

 Rem =

1− g g

 R2

R2

L2

g

L2

Vr ′  = mV s

Vr ′  = mV s

m=

 I r 

 N r   N s

Figure 7 : Schéma équivalent complet de la MAS (partie secondaire)

5) Dernière évolution : Schéma équivalent sans transformateur

Le modèle électrique précédent règle le problème de la puissance. Cependant, les fréquences au primaire  f et au secondaire fr sont différentes.

→ Côté stator : Rµ et Lµ sont inchangées par rapport au schéma précédent.

→ Transfert de R2/g (ou R2 et Rem simultanément) et L2 Comme pour un transformateur, pour passer au primaire, l’impédance secondaire est divisée par le carré du rapport de transformation en courant m, donc :  R2′ =

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 R2 m

2

et

L2′ =

L2 m

2

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Ce résultat permet de présenter à la Figure 8 le nouveau schéma équivalent sans transformateur. C’est aussi l’occasion de préciser la localisation des différentes puissances actives dans la machine. Siège Pjr R’2

 I S 

 I 1

L’2

 I 1 µ 

Siège Pem

 I 1 µ r 

 I 1 µ a

1− g

V s

g

Rµ

 R2′

Lµ

Figure 8 : Schéma équivalent statorique sans transformateur.

6)

Bilan des puissances actives

La connaissance des différentes puissances actives permet de tracer le bilan des puissances sur la forme de l’arbre de la Figure 9. Puissance délivrée au stator par le réseau

P

1

Puissance transmise au rotor

= 3U1 I 1 cos ϕ  Pertes joules au stator 2 P  js = 3 R1I 1

Pu

Puissance élecromagnétique

Pertes fer au stator V S 2 = 3 P  fs  R  µ 

Pertes fer au Pertes joules rotor quasi nulles au rotor

P

 jr 

Pertes mécaniques Pméc

= 3 R2 I r 2

Figure 9 : Arbre des puissances.

II. Expression et étude du couple électromagnétique 1) Puissances et grandeurs mécaniques → Puissance transmise au rotor P tr C’est ce qu’apporte « mécaniquement » le champ tournant : Ptr = C em .Ω s

→ Puissance électromagnétique Pem : C’est la différence « mécanique » des puissances : Pem = (1 − g ) Ptr = (1 − g ) Cem .Ωs   (Expression au stator)

Mais cette puissance anime le rotor : Pem = C em .Ω r  (Expression au rotor)  

2) Expression du couple La puissance électromagnétique est dissipée par la résistance  R’em parcourue 2 V s 1− g 2 2 par le courant I 2 : Pem = 3. .R2′ I S , or I S =    2 g  R2′  2  g  + ( L2′ .w )  

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: Pem = 3.

Donc

1− g g

.R2′ .

V s

2

2

 R2′  2  g  + ( L2′ .w )  

Avec C em =

Pem

(1 − g ) Ωs

,

on

obtient l’expression finale du couple électromagnétique :  R2′ C em = 3.

V s

2

g

.

Ω s  R′ 2 2

Avec  R2′ =

 + ( L2′ .w )

 g  

2

 R2 m2

et L2′ =

L2 m2

où

vitesse de synchronisme qui caractérise le champ tournant : Ω s =

m=

w  p

N r  N s

, Ωs est la

.

3) Étude de la caractéristique de couple a) Couple fonction du glissement : C em( g) Le couple est une fonction impaire, si bien que la caractéristique présente une symétrie par rapport à l’origine.

→ Position et valeur du maximum La caractéristique de couple passe par un maximum C max pour g = gmax. dCem dg

Ce qui conduit à : C max

= 0 quand

g max = ±

R2′ L2′ w

2 3 V s 1 =± . . . 2 Ω s  L2′ w

→ Tracé de C em(g) :

Figure 10 : Couple électromagnétique de la MAS en fonction du glissement. On remarquera que C max est essentiellement influencé par la tension statorique et par l’inductance rotorique, tandis que gmax ne dépend que du rotor.

b) Couple fonction de la vitesse rotorique : C em(Ω r) Le tracé de cette caractéristique couple/vitesse se déduit aisément du tracé précédent par transformations géométriques : une translation de Ωs et une symétrie d’axe OΩr  pour le signe moins.

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Figure 11 : Couple électromagnétique de la MAS en fonction de la vitesse rotorique.

c) Remarque : Par rapport à une machine à courant continu, la machine asynchrone dispose d’un couple au démarrage relativement faible.

III. Vue éclatée de la MAS :

La boite à bornes 

Le rotor 

Clavette 

Plaque  signalétiqu 

Roulement  Carter  Joint 

Flasque 

Le stator 

1. Plaque signalétique :

Classe d’isolement Constructeu r

Référence moteur Service

N°de série

Masse Indice de protection

Intensité nominale

Couplage en fonction de la tension réseau

Facteur de puissance Fréquence de Vitesse de rotation la tension du réseau

2. Plaque à bornes  :

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Puissance utile

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C’est sur la plaque à bornes située dans la boite à bornes, que sont raccordés les enroulements du moteur. C’est également sur cette plaque que vient de raccorder l’alimentation du moteur.

Alimentation Vis de raccordements U1

W2

V1

W1

U2

V2

Masse Enroulement

Connexion des enroulements

Masse

3. Couplage : Le couplage des enroulements statorique permet de faire fonctionner les moteurs asynchrones sous deux tensions. II est fonction de la tension du réseau et de la tension que peuvent supporter les enroulements. Le couplage est réalisé par une connexion, à l’aide de barrettes, sur la plaque à bornes. Méthode: Repérer la plaque signalétique sur laquelle le constructeur a indiqué les caractéristiques du moteur. Extraire les indications se reportant au tension admissible par le moteur asynchrone ainsi que les couplages possibles.

couplage Triangle : utilisé pour la tension de fonctionnement la plus basse  couplage Étoile : utilisé pour la tension de fonctionnement la plus élevée.

Pour déterminer le couplage des trois enroulements d'un moteur asynchrone, il faut:

Connaître la tension sous laquelle il sera alimenté. Retrouver sur la plaque signalétique cette tension. Lire le couplage qui lui est associé.

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(position des barrettes) L1

U1

L1

U1

U2 

W2 

V1

V2 

U2  V2 

W2 

W1

L2

W1

V1

L3

L3

L2

Couplage triangle L1

L2

U1

W2

V1

U2

Couplage Etoile L1

L3

L2

U1

W1

V1

W2

V2

L3 W1

U2

V2

Position des barrettes 

Position des barrettes 

Exemple de positionnement 

IV. Détermination expérimentale du schéma équivalent  I 1

L’2

 I s  I 1 µ 

MAS 3~

 I 1 µ r 

 I 1 µ a

1

 R2′

V s

3

g

Rµ

Lµ

Figure 12 : Modèle équivalent d’une phase de la MAS.

1) Essai préliminaire : relevé de p et de m a) Les pôles (2 p) La vitesse de synchronisme d’une MAS est le sous multiple de la vitesse de synchronisme maximale (3000 tr/min sous 50 Hz) juste supérieure à la vitesse de rotation nominale (fournie par la plaque signalétique ou par un essai). On a donc successivement en tr/min : 3000, 1500, 1000, 750, 600, 500, etc. C’est un moyen simple de déterminer le nombre de paires de pôles  p. Exemple : N n = 1 462 tr/min.  Ns = 1 500 tr/min. Ω= P  N s tr  min

(

1 300

)

2

w  p

3 1000

1500

=

2π N s 60

=

2π  f  p

4 750

⇒  N s =

60 f   p

5 600

b) Essai à rotor ouvert Dans ces conditions la machine ne tourne pas donc g = 1. De plus le courant dans la branche de droite est nul. Le transformateur est à vide : la mesure de la tension au rotor permet de déterminer le rapport de transformation m.

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Par mesure de Vs et Vr : m =

Cours : Machine Asynchrone V r  V s

2) Essai au synchronisme ( g=0) : Rµ et Lµ Lors de cet essai, l’impédance de la branche de droite est très élevée, donc  I’2 = 0. Les puissances actives et réactives sont donc intégralement dissipées dans  Rµ et Lµ.

En l’entraînant par une MCC, la vitesse de rotation de la machine est synchronisée avec la vitesse du champ tournant : ses pertes mécaniques lui sont fournies. Le synchronisme est vérifié par observation des courants au rotor :  I r  = 0. Les puissances consommées sont mesurées par la méthode des deux wattmètres.

MCC

U 

 M 

Ωs

A

1

  

i1 (t)

C  pertes

V

MAS

u13 (t)

i2 (t)

2

3~

u23 (t) 3

Figure 13 : Montage de l’essai à la vitesse de synchronisme.

Exploitation des mesures

Il s’agit d’une évaluation comme pour une bobine à noyau de fer :  R µ  =

V s

2

(P3)

La puissance réactive Q est obtenue à partir du cos ϕ, ce qui conduit à la réactance : 2

V   X  µ  = s Q 3

( )

3) Essai à rotor bloqué ( g = 1) : R’2 et L’2 Le rotor de la machine est bloqué ( g = 1) tout en alimentant le stator au courant nominal. Pour rendre ceci possible, la tension statorique est réduite en utilisant un autotransformateur triphasé. Dans ces conditions, la résistance  R’2 est minimale. En conjonction avec le fait que les pertes fer sont proportionnelles au carré de la tension, on peut négliger  Is = I 10 devant I ’2n. La puissance active provient alors essentiellement de  R’2, la puissance réactive de L’2.

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Ωs = 0 1

Autotransformateur

i1 (t)

A

MAS

u13 (t)

2

i2 (t)

V

3~

u23 (t)

3

Figure 14 : Schéma de l’essai en rotor bloqué.

Exploitation des mesures Puisque l’on connaît  Is, le courant commun aux deux éléments, on a :  R2′ =

P

3 I s

2

La puissance réactive Q est obtenue à partir du cos ϕ, ce qui conduit à la réactance : Q  X 2′ = 2 3 I s

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