La Línea Recta

La línea recta La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula. Eucl Euclid ides es,, en su trata tratado do deno denomi mina nado do Los Los Elem Elemen ento tos, s, 1 establ establece ece varias varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta: • •

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Un línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2). Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3). Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).

También estableció dos postulados relacionados con la línea recta: •

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Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, postulado 5).

Características de la recta  Algunas de las características características de la recta son las siguientes: siguientes: • •

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La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

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Ecuación de la recta Tomados dos puntos de una recta, la pendiente

, es siempre constante. Se

calcula mediante la ecuación: Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente: ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y 2 − y 1 = m( x 2 −  x 1):

ECUACIÓN ORDENADA AL ORIGEN Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)  Así como a la ordenada al origen se le puede llamar  b, a la abscisa al origen se le puede llamar  a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una

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recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y 2 − y 1 = m( x 2 −  x 1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:

ECUACIÓN SIMÉTRICA

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.

Forma normal de la ecuación de la recta Esta es la forma normal de la recta:

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Donde k  que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:

Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular  p dividimos a C entre k. Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C