La ley de Fourier y la ecuación de calor

Ley de Fourier

Ley de Fourier flux x cal calor or con conduc ducido ido • Esta Esta ley ley pe permi rmite te cua cuant ntif ific icar ar el el flu distri tribuc bución ión de tem temper peratu atura ra en el medio a partir del conocimiento de la dis • Su forma forma más más general general (vectori (vectorial) al) para para una conducción conducción multidimens multidimensional ional es: →

Implicaciones:

→

q ′′ = −k ∇ T 

– el calor se transfiere en la dirección en la disminuye la

temperatura (es por esto que aparece el signo menos). – a partir de la ley de de Fourier se puede determin determinar ar el coeficiente coeficiente

conduc ductiv tivida idad d tér térmic mica a medio de con r

k  ≡ −

q"

r

∇T 

– la dirección en la que fluye el calor es perpendicular a las líneas

isotérmas). ). de temperatura constante (isotérmas – el vector de flux de calor puede ser descompuesto en sus

componentes ortogonales.

• Coordenadas Cartesianas:T ( x, y, z )

∂T  r ∂T  r ∂T  r q" = − k  x i − k  y  j − k  z k  ∂ x ∂ y ∂ z r

r"

r"

r"

q y

q x

q z

• Coordenadas Cilíndricas:T ( r , φ , z )

∂T  r ∂T  r ∂T  r q" = − k r  i − k φ   j − k  z k  ∂r  ∂ z r ∂φ  r

r"

qr 

r"

qφ 

r"

q z

• Coordenadas Esféricas:T ( r , φ , θ )

∂T  r ∂T  r ∂T  r q" = − k r  i − k θ   j − k φ  k  ∂r  r ∂θ  r sin θ ∂φ  r

r"

qr 

r"

qθ 

r"

qφ 

cond nduc ucci ción ón ra radi dial al en una dimensión, • La tasa de calor para una co en un cilindro o en una esfera esta dada por: – Cilindro

q r  =  A r  q r  = 2 π rLq "

o,

q r  = '

 A r   L

"

r 

q r  = 2 π rq r  "

"

– Esfera

q r  =  A r  q r  = 4 π r  q r  "

2

"

La Ecuación de difusión del Calor • Es una ecuación ecuación diferenci diferencial, al, su solución solución nos nos da la distribució distribución n de temperatur temperatura a en un medio en reposo. • Se basa en la aplicar aplicar la ley de conservació conservación n de de lla a energía energía a un un element elemento o diferencial de volumen a través del cual la energía se transfiere exclusivamente por conducción. • Coordenadas Cartesianas :

∂ ⎛  ∂T  ⎞ ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ∂T  ⎜ k  ⎟ + ⎜⎜ k  ⎟⎟ + ⎜ k  ⎟ + q& =  ρ c p ∂ x ⎝  ∂ x  ⎠ ∂ y ⎝  ∂ y  ⎠ ∂ z ⎝  ∂ z  ⎠ ∂t  Cambio en la energía

• Coordenadas Cilíndricas :

∂ ⎛  ∂T  ⎞ 1 ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ∂T  & ⎜ ⎟ kr  k  k  q  ρ  c + + + = ⎜ ⎟ 2 p ⎜ ∂φ  ⎟ ∂ z ⎜ ∂ z ⎟ ∂t  r  ∂r  ⎝  ∂r  ⎠ r  ∂φ  ⎝  ⎝   ⎠  ⎠

1

• Coordenadas Esféricas :

∂ ⎛  2 ∂T  ⎞ ∂ ⎛  ∂T  ⎞ ∂ ∂T  ⎞ ∂T  1 ⎛  & ⎜ ⎟ θ   ρ  + + + = sin kr  k  k  q c ⎜ ⎟ ⎟ p ⎜ ∂φ  ⎟ r 2 sin θ ∂θ  ⎜ θ  r 2 ∂r  ⎝  ∂r  ⎠ r 2 sin 2 θ  ∂φ  ⎝  ∂ ∂t  ⎝   ⎠  ⎠ 1

Ecua Ecuaci ción ón de difus difusió ión n del del calo calorr (cas (casos os espe especi cial ales es))

Conductio Conduc tion n Uni Uni-Dim -Dimens ension ional al en un Me Medi dio o Pl Plan ano o con Pro Propie piedad dades es Con Constan stantes tes Sin n Ge Gene nera raci ción ón In Inte tern rna a de Ca Calo lorr y Si

∂ T  1 ∂T  = 2 ∂ x α  ∂t  2

α  =

k 

 ρ c p

Difu fusi sivi vida dad d té térm rmic ica a del medio ⇒ Di

Condiciones Iniciales y de Frontera conduc ducció ción n tran transito sitoria ria, la ecuación del calor es de primer orden en tiempo, • Para con T ( x, t )t = 0 = T ( x, 0 ) distribució bución n inicia iniciall de de temperatu temperatura ra por lo tanto se debe especificar la distri • Como la la ecuación ecuación del calor es de segundo segundo orden en en el espacio espacio,, se deben deben especifi especificar car dos condiciones de frontera . Algunos casos representativos son: Temperatura Superficial Constante :

T (0, t ) = T s Flux de calor Constante : Flux de calor aplicado

Superficie aislada  

∂T  − k  = qs" ∂ x  x =0 Convección

∂T  − k  ∂ x

= h[T ∞ − T (0, t )] 0

∂T  =0 ∂ x  x =0

Propiedades térmicas

Propiedades Térmicas Conductividad térmica : Es una medida de la capacidad de un material para transferir energía por conducción.

Difusivid Difusi vidad ad térm térmica ica: es una medida de la capacidad de un material para responder a los cambio del ambiente. Tablas de Propiedades: Sólido Sólidos: s: Tablas Tablas A.1 – A.3 Gases: Tabla A.4 Líquid Líq uidos: os: Tablas Tablas A.5 – A.7

Análisis de Conducción

Metodología para el Análisis de la Conducción • Resolver Resolver la la forma forma apropiada apropiada de la ecuación ecuación del del calor calor para para obtener obtener la la distribución de la temperatura.

• Conocida Conocida la la distribuc distribución ión de temperatura, temperatura, aplicar aplicar la ley de de Fourier Fourier para obtener el flux de calor en cualquier instante de tiempo, ubicación y dirección de interés.

• Aplicaciones: Capítulo Capítu lo 3: Con Conduc ducció ción n Uni-Di Uni-Dimen mensio sional nal,, Estado Estado Establ Estable e Capítu Cap ítulo lo 4: Con Conduc ducció ción n Bi-Dim Bi-Dimens ension ional, al, Esta Estado do Estab Estable le Capítu Cap ítulo lo 5: Con Conduc ducció ción ne en ne esta stado do Transi Transitor torio io