La Integral Doble
December 9, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Integrales
• Integrales Simples. • Integrales Múltiples. • Integrales de Superficie. • Integrales en Línea.
Unidad IV Integral doble
La integral doble • Sea Sea R R una una región cerrada en el plano xy y sea g(x, sea g(x, y) una y) una función definida en un rectángulo que contiene a R. R.
Hacemos una partición del rectángulo ue contiene a la región ! en en n x n rectángulos" donde el #$%simo rectángulo tiene dimensiones X k k por Y k k &no necesariamente iguales'. Luego evaluamos una función g(x,y) función g(x,y) en en algún punto ( ", # " ) de ! ! cada rectángulo, y formamos la suma...
n(
g&)# *" +# *' ∆ )# ∆+#
# , - -
La integral doble •
La suma anterior, anter ior, como en la integral definida, defin ida, se llama llam a Suma de Riemann .
continuación se ilustra lo anterior. • /0emplos1 /0emplos1 x,y' = x + 1 -' Integrando g & x,y • !egión ! 1 2rea comprendida entre las cur3as cur3as • y = x4 y = 4 - x " x = 0. • /n las siguientes imágenes se 5ará una partición del rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión ueda dentro de !" se le inclu+e en la partición + por lo tanto en la suma de !iemman. !iemman.
6unciones = 7 x, 4 - x8
• 9ráfica de funciones en el plano xy
La integral doble • Gráfica de la región R
La integral doble • Partición de la región región R en 64 rectáng rectángl!"# l!"#
La integral doble • continuación se muestra el resultado de e3aluar la función g & x, x, y' = x + 1 en el punto el punto medio de cada rectángulosumatoria de la partición + el cálculo de la de !iemann" n( g&)# *" +# *' ∆)# ∆+# #,• + la integral doble de la función sobre la región !" aunue aún no 5emos definido ue significa :Integral doble:. doble:.
La integral doble • ;ara la función g&)" +' , - < ) ) La suma de !iemannIntegral , =.=(>doble para n,,=.====@ =? rectángulos rectángulos • suma Aomo 5abrás obser3ado" el al 3alor dede la está cercano 3alor de !iemann está !iemann lo ue llamamos "Integral doble".
La integral doble • /nseguida se ilustrará la partición tridimensional de el • 3olumen comprendido entre la superficie x, y' + la región • $ = g & x, !.
La integral doble • Se 5ace las columnas para calcular el 3olumen.
La integral doble • Volumen de los =? paralelepipedos es =.=(> • Volumen e)acto , =.====@
La integral doble • continuación continuación 3eremos otro e0emplo de lo anterior para reafirmar el concepto. • /0emplo (. Integrando g%x,y& = '( - x8 - y8
!egión ! 1 área comprendida entre las cur3as y = x8 - 4 ) y = 8
4 - x #
/n seguida se 5ará una partición de la región ! en 8 x 8 = 64 rectángulos.
La integral doble • 6unciones , • 7$ ? < ) " ? $ ) 8 (
(
• 9ráfica de funciones en el plano xy • Gráfica de la región R
La integral doble • ;artición de la región ! en =? rectángulos
La integral doble • continuación continuación se muestra el resultado de e3aluar la función g%x,y& = '( - x' - y' en el punto medio medio de cada rectángulo de la partición + el cálculo de la sumatoria de !iemann" • ;ara la función g%x, y& = '( - x' - y' • • La suma de !iemann , ?-B.@> para n , =? rectángulos • • Integral doble , ?CB.(?(
La integral doble • /n las siguientes gráficas se ilustrará la partición tridimensional de el 3olumen comprendido entre la superficie • $ $ = g & x,y x,y' + la región !.
La integral doble • La región se di3ide en partes iguales &en este caso' + se calcula el 3olumen.
La integral doble • Volumen de los =? paralelepípedos es ?CC.?B? • Volumen e)acto ?CB.(?B
La integral doble • Definición1 Definición1 Si g & x, x, y' está definida en una región cerrada + acotada ! del plano xy" la Integral Doble de g & x x" y' sobre ! se define como1 • n( • g&)" +' d , lim lim g&)# *" +# *' ∆)# ∆+# • ! n E #,• cuando la norma de la partición tiende a cero. & lo ue eui3ale a n E'
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