La Integral Definida-1

 

Universidad de Panamá Facultad de Ingeniería Ingeniería Civil en Edificaciones

Integrantes: José Chao  Yesenia Lewis Karla Pinzón Christian Sepúlveda

Profesor: Benjamín Martínez Tema: Aplicación de la integral definida Grupo CE1-2

Fecha de entrega: 5 de agosto de 2022

 

Introducción El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones más inmed inm ediat iatas as de la integ integra rall defin definida ida es el cálcu cálculo lo de área áreas s de recint recintos os plano planos s acotados y definidos por curvas o gráficas de funciones. El cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar al alumn alu mno o a compr compren ende derr la poten potencia cia del del cálcu cálculo lo integ integra rall y a famili familiari ariza zars rse e con aspe aspect ctos os pr prác ácti tico cos s del del mi mism smo. o. Ha de serv servir ir co como mo intr introd oduc ucci ción ón para para otra otras s aplicac apli cacione iones s de las integrales integrales en los diferent diferentes es campos campos de la ciencia: ciencia: Física, Física, Biología Biol ogía,, Ingenier Ingeniería ía o Economí Economía. a. En ellas, ellas, la integra integrall definid definida a permitir permitirá á medir  medir  magnitudes a través de la medida de áreas. Para realizar las actividades de esta unidad, el alumno deberá estar familiarizado con la definición de integral definida y la Regla de Barrow.

¿Cómo podemos encontrar el área que esta debajo de la curva? 1.Si queremos encontrar el área de una curvatura entre dos puntos (a, b)

 

Si dividimos el intervalo intervalo (a,b), en intervalos intervalos más pequeños pequeños y procedemos procedemos a dibujar  rectángulos que suban hasta la gráfica.

Y al realizar esto nos percatamos que el área de todos los rectángulos nos da un área un poco más pequeña del área que esta debajo de la curva.

 

Solo quedarían estos pequeños pedazos fuera del área de los rectángulos al dividir los intervalos.

Entonce Enton ces s al ver es esto to se proce procedi dió ó a dividi dividirr los rectán rectángu gulos los en espa espacio cio más más pequeños, para realizar rectángulos de base cada vez más pequeños, de forma que la suma del área de los rectángulos este cada vez más cercada a el área debajo de la curva.

 

Y realizamos el grafico de los rectángulos ahora más pequeños, para que el área este cada vez más cercana.

Y el límite de esas sumas será el área encerrada bajo la curva, a este límite de la suma lo llamaron integral y le colocaron la connotación que ya conocemos y con ella podemos encontrar el área que esta debajo de la curva.

 

Realiza Real izarr este este proc proceso eso de calcu calcula larr estas estas sumas sumas podr podría ía ser ser un proce proceso so muy muy complicado, ya que no nos podemos poner a trazar rectángulo debajo de cada curva, de allí sale el Teorema fundamental del cálculo, en donde dice que la integral y la derivada son operaciones inversas.

La Integral Definida Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La té técn cnic ica a de inte integr grac ació ión n se desa desarr rrol olló ló sobre obre todo todo a part partir ir del del sig siglo XVI VII, I, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial. La integral definida es un caso de la integral utilizado para determinar el valor de las áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje horizontal. Sele Se le pued puede e enco encont ntra rarr en dive divers rsas as área áreas s y cont contex exto tos s como como la biol biolog ogía ía (en (en crecim cre cimien iento to de pobl poblac acion iones) es),, robót robótica ica (algo (algorit ritmo mo de segu seguimi imien ento to de líneas líneas), ), ar arqui quite tectu ctura ra (volúm (volúmene enes s de sólid sólidos) os),, etc., etc., más adela adelant nte e se dará dará un ejempl ejemplo o específico de una aplicación.

Aplicaciones

 

El conce concept pto o de integ integra rall tuvo tuvo su orige origen n histó históric rico o en la ne nece cesid sidad ad de resol resolve ver  r  problemas problema s concretos como: cálculo de área limitada por dos curvas, curvas, longitudes de arcos, arco s, volúmen volúmenes, es, trabajo, trabajo, velocida velocidad, d, momentos momentos de inercia, inercia, etc.; etc.; todos todos estos estos cálculos se pueden realizar mediante la integral definida.

¿Qué es la integración? Integrar es el proceso derivar, es decir, dada una función ƒ(x), busca aquellas funciones F(x)recíproco que al serdederivadas conducen a ƒ(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de ƒ(x); dicho de otro modo, las primitivas de ƒ(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

Si una función ƒ(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

 

 

 ƒ(x) es el integrando o función a integrar. C  es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de ƒ(x) entonces: ʃ ƒ(x) dx = F(x)+C  Para Pa ra compr comprob obar ar que que la primi primitiv tiva a de una una funci función ón es correc correcta ta basta basta con con derivar.

¿Qué es la integral definida? La in inte tegr gral al defi defini nida da es uno uno de los los conc concep epto tos s fund fundam amen enta tale les s del del Anál Anális isis is Matemático.   La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

 

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

    

Se lee: integral de ƒ de x diferencial de x.  ʃ es el signo de integración. a es el límite inferior de la integración. b es el límite superior de la integración.  ƒ(x) es el integrando o función a integrar. dx  es  es el diferencial de x y nos indica cuál es la variable de la función que se integra.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Figura Nº1 Para resolver o evaluar una integral definida, se calcula la integral sin tomar en cuenta los límites de integración. Posteriormente se evalúa el resultado de la integral, restando el valor obtenido al sustituir el límite de integración inferior al del obtenido al sustituir el límite de integración superior.

 

¿Qué representa la integral definida y cómo la calculamos? Recordemos que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integral definida se puede calcular utilizando.

donde F(x) es cualquier antiderivada de ƒ(x) (o primitiva).  Además, recordemos que la integral definida mide el área debajo de la curva de f(x) entre los puntos a y b, tal y como se aprecia en la siguiente figura:

Figura Nº2

Propiedades de la integral definida La Integral definida cumple las siguientes propiedades: 

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto es igual a cero.   En realidad, al tener el mismo límite de integración en ambos extremos no existe ningún área a calcular, es por eso por lo que la integral es igual a cero en este caso.

 





Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas toma das por separad separado. o.  Est Esta a propieda propiedad d nos puede servir para no tener  tener  expresiones muy largas dentro de una misma integral y así manipular y hacer cálculos más fácilmente, o en el otro caso, agrupar expresion expresiones es para un cálculo más cómodo.







La integral del producto de una constante k por una función es igual a la cons constan tante te k multi multipl plica icada da por la integ integral ral de la funci función. ón. La integ integra rall del del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integ integra rall de la func función ión (es (es decir decir,, se pued puede e «saca «sacar» r» la const constan ante te de la integral).

 Al permutar los límites de una integral, integral, ésta cambia de signo.  Esta propiedad nos puede servir para no operar con signos negativos.

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer descomp oner como una suma de dos integrales integrales extendidas a los intervalos intervalos [a, c] y [c, b]. Al  Al estar el punto c entre a y b sobre el eje de las abscisas, el área limitada por el intervalo [a, b] es la suma de las áreas limitadas por [a, c] y [c,d], lo mismo ocurre con el valor de la integral. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

 

Figura Nº3 - Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Función Integral Sea ƒ(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral, que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de ƒ, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F , se la llama x. Geométricamente la función integral, F (x), representa el área del recinto limitado por la curva y = ƒ(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

Figura Nº4 - Interpretación geométrica de la función integral o función área.

 A la función integral, integral, F(x), también también se le llama función de áreas áreas de f en el intervalo [a, b].

 

Teorema fundamental del cálculo integral La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente porr medi po medio o del del deno denomi mina nado do teor teorem ema a fund fundam amen enta tall del del cálc cálcul ulo o inte integr gral al,, que que establece que, dada una función ƒ (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

 A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para pa ra calcu calcular lar la integ integral ral defini definida da de una una funci función ón ƒ(x) ƒ(x) en un interv interval alo o [a, b], denominado regla de Barrow:  



Se busca primero una función F(x) que verifique que F(x) = ƒ (x). Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Regla de Barrow La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua ƒ(x) en un intervalo cerrado [ a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de ƒ(x), en los extremos de dicho intervalo.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

 

Si una función es continua en un intervalo cerrado [ a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Figura Nº5

Problemas Recordemos que una integral definida se refiere a un intervalo especifico de una integral, por lo que el proceso se puede resumir de una forma muy simple: Paso 1: Realiza la integración de la función usando las fórmulas definidas. Paso 2: Evalúa el resultado de tu integración en ambos extremos del intervalo. Paso 3: Al resultado del punto mayor del intervalo debes restarle el resultado del punto menor del intervalo.

Ejemplo Integral definida de un polinomio de 3º

 

Como se trata de un polinomio, es decir, diferentes términos algebraicos que se están sumando o restando, podemos integrar uno por uno:

Después de evaluar en resultado en 1 y en -1, realizamos la resta:

Ejemplo Integral definida de función seno

La fórmula para integrar la entidad trigonométrico seno es:

Entonces:

Ejemplo de función integral

 

Ejemplo aplicando la Regla de Barrow

 

Ejemplo de Aplicación En este ejemplo implementaremos las propiedades anteriores en una aplicación de la integral en crecimiento poblacional, para una mejor visualización. Una población crece con una tasa de e1.5t 3t individuos individuos por año (donde t  es el número de años). En el primer año la población es de 1500 personas. ¿Cuánto creció la población entre en primer y tercer año? 1. Dado Dado que nos pide pide el crecimie crecimiento nto de la poblac población ión entre entre 1 y 3, es decir, el área bajo la curva de la tasa de crecimiento entre 1 y 3, lo expresaremos como sigue:

2. Al hace hacerr los los cálc cálcul ulos os,, note notemo mos s que pode podemo mos s usar usar la prop propie ieda dad d 4 y separamos en una suma.

3. Tamb También ién podem podemos os utiliza utilizarr la propied propiedad ad 5 y sacamo sacamos s la constan constante te -3 que multiplica a t.

4. Dado que que 1.5=3/2 1.5=3/2 sustituimos sustituimos y hacemos hacemos los los cálculos cálculos que correspon correspondientes dientes para hallar la respuesta a la primera pregunta:

 

Área entre una función positiva y el eje de abscisas Si la función es positiva en un intervalo intervalo [a,b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x)=0 y resolviendo la ecuación. El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte. Calcular el área del recinto limitado por la curva y=9-x 2 y el eje OX. En primer lugar, hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

 

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x=0 y x=3.

Área entre una función negativa y el eje de abscisas Si la función es negativa en un intervalo [ a,b ] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Calcular el área del recinto limitado por la curva y=x2-4x y el eje OX.

 

La función toma valores positivos y negativos En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 





Se ca calc lcul ulan an los los punt puntos os de co cort rte e con con el eje eje OX, OX, haci hacien endo do f(x) f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. Se or orde dena nan n de meno menorr a mayo mayorr las las raíc raíces es,, qu que e se será rán n los los lími límite tes s de integración. El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Hallar el área limitada por la recta y=3x-6/2, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

 

Conclusión La integral definida es una herramienta que revolucionó revolucionó a las matemáticas y otras cien cienci cias as en much muchos os aspe aspect ctos os,, ya que que es capa capaz z de co comp mpro roba barr y reso resolv lver  er  problemas muy complejos que, sin ella, sería muy difícil hacerlo y no se tendría tal exactitud que esta tiene. Cabe destacar que se debe agradecer a las personas que. Contribuyeron Contribuyeron y aportaron aportaron al desarrollo desarrollo de esta y reconocerles reconocerles lo valioso que fue su aporte a la historia. En conclusión, la integral definida es una de las herramientas más eficaces de hacer cálculos no sólo de áreas, sino de volúmenes e infinidad de usos, puede parecer compleja para algunos, y lo es, pero conociéndola y sabiendo aplicar  to toda das s la las s re regl glas as que que se debe deben n se segu guir ir,, pu pued ede e ser ser muy muy fáci fácill de util utiliz izar arla la y desarrollarla.